Püramiid ja pöördkehade arvutused
Enne alustamist9. klass · raskus 4/5
Mõiste
Ruumilise keha arvutamisel tuleb enne valemit eristada põhi, külgpind, kõrgus ja kaldpikkus. Täispindala on põhjade ning külgpinna summa; ruumala kasutab põhjaga risti olevat kõrgust.
Korrapärase püramiidi apoteem on külgtahu kõrgus, mitte keha kõrgus. Koonusel täidab sama rolli moodustaja $s$.
Joonisel tuleb kõrgus ja kaldpikkus enne arvutamist selgelt lahus hoida.
Valemid ja tingimused
Püramiidil $V=\frac13S_ph$ ja $S=S_p+S_k$. Pöördkehadel:
$$V_{\text{silinder}}=\pi r^2h,$$
$$V_{\text{koonus}}=\frac13\pi r^2h,$$
$$V_{\text{kera}}=\frac43\pi r^3.$$
Koonuse täispindala on $S=\pi r^2+\pi rs$; moodustaja $s$ ei ole ruumala valemis kasutatav kõrgus $h$.
Näide
Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 6 cm ja kõrgus 4 cm. Külgtahu apoteem tekib täisnurkses kolmnurgas, mille teine kaatet on pool põhiserva:
$$m=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ cm}.$$
Põhja pindala on 36 cm² ja külgpindala 60 cm². Seega täispindala on 96 cm² ning ruumala $V=\frac13\cdot36\cdot4=48\text{ cm}^3$.
Võimalikud eksimused
Tüüpviga on kasutada püramiidi külgtahu pindalas keha kõrgust. Külgtahu kolmnurga kõrgus on apoteem. Teine tüüpviga on panna koonuse ruumala valemisse moodustaja $s$; ruumala kasutab põhjaga risti olevat kõrgust $h$.
Kolmas tüüpviga on jätta täispindalast põhi või teine põhi välja. Silindril on kaks ringikujulist põhja, koonusel üks. Neljas tüüpviga on vastata pindalale kuupühikuga või ruumalale ruutühikuga.
Seosed
Ruumiliste kehade arvutused ühendavad tasandiliste kujundite pindala, Pythagorase teoreemi, trigonomeetria ja ühikud. Keerukas ruumiülesanne muutub enamasti lihtsamaks, kui joonistad telglõike või ühe külgtahu eraldi.