Täisnurkse kolmnurga lahendamine

Mõiste

Kolmnurga lahendamine tähendab kõigi puuduvate külgede ja nurkade leidmist. Täisnurkse kolmnurga määravad kaks kaatetit, hüpotenuus koos sellest lühema kaatetiga või üks külg koos ühe teravnurgaga.

Valemid ja tingimused

Kui $a$ on nurga $\alpha$ vastaskaatet, $b$ lähiskaatet ja $c$ hüpotenuus, siis

$$\sin\alpha=\frac ac,\qquad \cos\alpha=\frac bc,\qquad \tan\alpha=\frac ab.$$

Kui $\beta$ on teine teravnurk, siis lisaks kehtivad

$$a^2+b^2=c^2,\qquad \alpha+\beta=90^\circ.$$

Vali seos, milles esinevad otsitav suurus ja teadaolevad suurused.

Küljepikkused peavad olema positiivsed ning $0^\circ<\alpha<90^\circ$. Ühe külje ja nurga puhul peab olema teada nende vastastikune asend. Hüpotenuus peab olema pikem kui kumbki kaatet. Ainult nurkade põhjal küljepikkusi leida ei saa.

Näide

Täisnurkse kolmnurga lähiskaatet nurga $\alpha=38^\circ$ suhtes on 5 cm. Leiame ülejäänud suurused.

$$a=5\tan38^\circ\approx3,91\text{ cm},$$

$$c=\frac5{\cos38^\circ}\approx6,35\text{ cm}.$$

Teine teravnurk on $52^\circ$.

Seosed

Täisnurkse kolmnurga terviklahendust saab kasutada paljudes tasandi- ja ruumiülesannetes. Gümnaasiumis laiendavad siinus- ja koosinusteoreem sama mõtet kolmnurkadele, milles täisnurka ei ole.