Teine tuletis, kõverus ja käänupunkt
Tuum
Teine tuletis on tuletise tuletis:
$$f''(x)=(f'(x))'.$$
Esimene tuletis kirjeldab funktsiooni tõusu. Teine tuletis kirjeldab, kuidas see tõus muutub.
- Kui $f''(x)>0$, siis tõus suureneb ja graafik kõverdub ülespoole.
- Kui $f''(x)<0$, siis tõus väheneb ja graafik kõverdub allapoole.
Valemid ja tingimused
$$f''(x)=(f'(x))'.$$
- Kui $f''(x)>0$, siis tõus suureneb ja graafik kõverdub ülespoole.
- Kui $f''(x)<0$, siis tõus väheneb ja graafik kõverdub allapoole.
Õpikutes nimetatakse neid vastavalt nõgusus- ja kumerusvahemikeks. Kindla järelduse alus on siiski $f''$ märk ja graafiku kuju.
Käänupunkt on graafiku punkt, kus kõveruse suund muutub. Võrrand $f''(x)=0$ annab ainult kandidaadi; käänupunkti kinnitab $f''$ märgi muutus.
Kiirnäide
Uuri funktsiooni $f(x)=x^3-3x$ ekstreemumeid ja käänupunkti.
$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$
Kriitilised punktid on $x=-1$ ja $x=1$. Tuletise märk näitab maksimumi punktis $(-1;2)$ ja miinimumi punktis $(1;-2)$.
$$f''(x)=6x.$$
Teine tuletis vahetab kohal $x=0$ märki, seega on käänupunkt $(0;0)$.
Pane tähele
Tüüpviga on nimetada iga $f''(x)=0$ lahend käänupunktiks. Näiteks funktsioonil $f(x)=x^4$ on $f''(0)=0$, kuid $f''(x)=12x^2$ ei vaheta nulli läbides märki.
Teine tüüpviga on kasutada $f''$ märki kasvamise otsustamiseks. Kasvamise määrab $f'$; $f''$ kirjeldab tõusu muutumist.