Võrrandid ja võrratused

Enne alustamist7. klass · raskus 3/5

Mõiste

Võrrandis otsime tundmatu väärtust, mis teeb võrduse tõeseks. Võrratus kirjeldab, millal üks avaldis on teisest suurem või väiksem.

Eeldus: oskad lihtsustada avaldisi, töötada negatiivsete arvudega ja kontrollida vastust asendamisega.

Lahendihulk on kõigi lahendite hulk. Näiteks kui võrrandi ainus lahend on $5$, siis lahendihulk on

$$L=\{5\}.$$

Võrrand võib anda ühe arvu; võrratus annab sageli terve piirkonna arvteljel.

Võrratusel võib olla lõpmatult palju lahendeid. Näiteks $x>3$ tähendab kõiki arve, mis on suuremad kui $3$.

Tekstülesande muutmine võrrandiks:

vali tundmatu ja ütle, mida see tähendab;
kirjuta tekstist avaldised;
pane avaldised võrrandisse või võrratusse;
lahenda;
kontrolli vastust algses olukorras.

Tekstülesandes peab vastus sobima ühiku ja piiranguga: inimeste arv ei saa olla 2,5 ning pikkus ei saa olla negatiivne.

Reegel

Võrrandi mõlemale poolele võib liita sama arvu või mõlemalt poolelt lahutada sama arvu. Mõlemad pooled võib korrutada või jagada sama nullist erineva arvuga; need teisendused säilitavad lahendihulga.

Nulliga korrutamine annab näiteks võrrandist $x=2$ võrduse $0=0$, mis sobib iga $x$ korral. Nulliga jagamine ei ole määratud. Tundmatut sisaldava avaldisega jagamisel tuleb eraldi kontrollida, millal see avaldis on null: võrrandi $x(x-1)=0$ jagamisel $x$-ga kaoks lahend $x=0$.

Võrratuse puhul pöördub märk, kui korrutada või jagada sama negatiivse arvuga.

Näiteks:

$$-2x<6.$$

Jagame mõlemad pooled arvuga $-2$. Kuna jagame negatiivse arvuga, pöördub märk:

$$x>-3.$$

Näide

$$3x-5=10 \qquad |+5$$

Liidame võrrandi mõlemale poolele 5:

$$3x-5+5=10+5$$

$$3x=15 \qquad |:3$$

Jagame võrrandi mõlemad pooled kolmega:

$$\frac{3x}{3}=\frac{15}{3}$$

$$x=5.$$

Kontroll:

$$3\cdot5-5=15-5=10.$$

Seega

$$L=\{5\}.$$

Võrratuse näide:

$$4-3x\le 13$$

$$-3x\le9$$

$$x\ge-3.$$

Kontrollime lahendihulka prooviväärtustega. Kui $x=-3$, siis

$$4-3\cdot(-3)=13,$$

seega piirpunkt sobib, sest märk on $\le$. Kui $x=0$, siis

$$4-3\cdot0=4\le13,$$

sobib. Kui $x=-4$, siis

$$4-3\cdot(-4)=16,$$

ei sobi, sest $16\le13$ on väär. Prooviarvud aitavad märgiviga leida. Kogu lahendihulga $x\ge-3$ saame eelnevate samaväärsete teisendustega, mitte ainult kolme prooviarvu kontrollimisega.

Tekstülesande mudel

Kinopilet maksab 6 eurot ja broneerimistasu on 2 eurot. Kui palju pileteid saab osta, kui raha on kuni 32 eurot?

Olgu $x$ piletite arv. Kulu on

$$6x+2.$$

Kuna raha võib kuluda kuni 32 eurot, saame võrratuse

$$6x+2\le32.$$

Lahendame:

$$6x\le30,$$

$$x\le5.$$

Kuna piletite arv peab olema täisarv ja mitte negatiivne, saab osta kuni 5 piletit.

Võimalikud eksimused

Võrrandi lahend peab sobima algsesse võrrandisse. Kontroll asendamisega aitab vigu leida.

Võrratuses võib eksida, jättes märgi pööramata negatiivse arvuga korrutamisel või jagamisel:

$$-x<4 \quad \Longrightarrow \quad x>-4.$$

Teine tüüpviga on kontrollida võrratust ainult ühe sobiva arvuga. Kui saad $x>-4$, kontrolli ühte arvu lahendihulgast ja ühte väljastpoolt. Siis näed, kas suund on õige.

Kolmas tüüpviga on tekstülesandes unustada piirangud. Kui $x$ loendab inimesi või pileteid, siis $x$ peab olema täisarv ja $x\ge0$.

Neljas tüüpviga on piirpunkti valesti kaasata. $x\ge4$ sisaldab arvu $4$, aga $x>4$ ei sisalda.

Kolm viisi sama mõtte jaoks

Võrrandit saab näha tasakaaluna, arvulise kontrollina ja algebraliselt samade tehete tegemisena mõlemal poolel.

Lähenemise valik

Kui sümboltee takerdub, kasuta arvulist kontrolli: vali üks arv lahendihulgast ja üks väljastpoolt. Tekstülesandes alusta sõnalise piiranguga, alles siis võrrandi või võrratusega.

Harjutused

Lihtne kontroll

Lahenda $2x+7=15$.
Lahenda $5x-3=2x+9$.
Lahenda $x+4>10$.
Lahenda $-3x\le12$.

Rakendus

Kontrolli, kas $x=4$ on võrrandi $3x-2=10$ lahend.
Lahenda $7-2x<15$ ja kontrolli lahendihulka kahe prooviväärtusega.
Tekstülesanne: vihik maksab 2 eurot ja pliiats 1 euro. Kui ostetakse $x$ vihikut ja üks pliiats ning kulub 11 eurot, leia $x$.
Tallinna klassiekskursiooni eelarves arvestatakse õpilase kinopiletiks 6 eurot ja joogipudeliks 2 eurot. Kui kulus 26 eurot ning osteti $x$ piletit ja üks joogipudel, leia $x$.

Mõtlemisülesanne

Tekstülesanne: bussipilet maksab 3 eurot. Sul on 20 eurot. Mitu piletit saad kõige rohkem osta?
Lahenda $4x+1\ge 2x+9$.
Kontrolli, kas $x=-5$ kuulub võrratuse $-2x\le8$ lahendihulka.
Lahenda $2x-5<3$ ja otsusta, kas $x=4$ kuulub lahendihulka.

Vastused

$x=4$, $L=\{4\}$.
$3x=12$, seega $x=4$ ja $L=\{4\}$.
$x>6$.
$x\ge-4$, sest negatiivse arvuga jagamisel võrratuse märk pöördub.
Jah, sest $3\cdot4-2=10$.
$-2x<8$, seega $x>-4$. Näiteks $x=0$ sobib: $7<15$; $x=-5$ ei sobi: $17<15$ on väär.
$2x+1=11$, seega $x=5$; vastus sobib, sest vihikute arv on täisarv.
$6x+2=26$, seega $x=4$; vastus sobib, sest piletite arv on täisarv.
$3x\le20$, seega $x\le\frac{20}{3}$. Kõige rohkem saab osta 6 piletit, sest 6 piletit maksab 18 eurot ja 7 piletit maksaks 21 eurot.
$2x\ge8$, seega $x\ge4$; kontrolliks $x=4$ teeb pooled võrdseks.
Ei. $-2\cdot(-5)=10$ ja $10\le8$ on väär.
$2x<8$, seega $x<4$. Arv $4$ ei kuulu lahendihulka, sest märk on range.

Seosed

Võrrandid on tekstülesannete, funktsioonide nullkohtade ja geomeetriliste mudelite põhivahend. Järgmistes algebra peatükkides lahendatakse neid avaldiste teisendamise, hulkliikmete ja tegurdamise abil.