Hajuvus ja jaotused
Enne alustamist10. klass · raskus 4/5
Mõiste
Hajuvus kirjeldab väärtuste laialiolekut: hinded 4; 4; 5 on koos, aga 1; 4; 5 hajusamad.
Keskmine näitab tüüpilist taset, hajuvus väärtuste kõikumist selle ümber.
Enne üldistamist küsi, kas andmeid on piisavalt ja kas need kirjeldavad uuritavat rühma.
Eeldus: oskad andmeid järjestada ning leida keskmist, mediaani ja suurimat-väikseimat väärtust.
Olulised näitajad
- Ulatus: suurim väärtus miinus väikseim väärtus.
- Kvartiilid märgivad järjestatud andmete neljaks osaks jaotamise piire.
- Standardhälve näitab, kui kaugel väärtused keskmisest enamasti paiknevad.
Kvartiilide mõte:
| Tähis | Tähendus |
|---|---|
min |
väikseim väärtus |
| $Q_1$ | alumise poole mediaan |
| mediaan | keskmine väärtus või kahe keskmise väärtuse aritmeetiline keskmine |
| $Q_3$ | ülemise poole mediaan |
max |
suurim väärtus |
Karpdiagrammi kast ulatub $Q_1$-st $Q_3$-ni ning tähistab kvartiilide järgi andmestiku keskmist poolt. Lõpliku valimi ja korduvate väärtuste korral ei pruugi suletud vahemikku $[Q_1;Q_3]$ jääda täpselt 50% vaatlustest. Näiteks andmestikus 1; 1; 1; 1; 1 on $Q_1=Q_3=1$ ning kõik vaatlused asuvad selles suletud vahemikus. Mida pikem kast, seda suurem on andmete keskosa hajuvus.
Standardhälbe arvutamine (gümnaasium)
Kui kirjeldame kogu vaadeldavat andmestikku $x_1,\ldots,x_n$, kus $n\ge1$, siis
$$\sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar x)^2+\cdots+(x_n-\bar x)^2}{n}}.$$
$\bar x$ on aritmeetiline keskmine. Lahutame igast väärtusest keskmise, võtame vahed ruutu, leiame ruutude keskmise ja sellest ruutjuure. Väike standardhälve tähendab väiksemat hajuvust. Valimi põhjal üldkogumi hajuvust hinnates kasutatakse sageli teist valemit, mille jagaja on $n-1$.
Jaotus kirjeldab väärtuste esinemist. Binoomjaotus loendab õnnestumisi kindlas arvus sõltumatutes jah/ei-katsetes, kus õnnestumise tõenäosus püsib sama. Normaaljaotus on kellukakujuline mudel paljude mõõtmistulemuste jaoks.
Usaldusvahemik hindab valimi põhjal üldkogumi keskmist. See ei ole kindel lubadus.
Näide
Kvartiilide kokkulepe siin: leia alumise ja ülemise poole mediaan; paaritu arvu vaatluste korral jäta kogu andmestiku mediaan pooltest välja. Teised meetodid võivad anda teised kvartiilid, eriti väikese andmestiku puhul.
| Järjestatud andmed | Mediaan | $Q_1$ | $Q_3$ |
|---|---|---|---|
| 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 | $(4+5)/2=4,5$ | $(2+3)/2=2,5$ | $(6+7)/2=6,5$ |
| 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 | $5$ | $(2+3)/2=2,5$ | $(7+8)/2=7,5$ |
Mediaan ei pea olema üks andmete väärtustest. Kvartiilist väiksemaks ei pea jääma täpselt 25% vaatlustest.
Andmete 3, 4, 8, 10 ulatus on
$$10-3=7.$$
Andmed: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Mediaan on $7$. Alumine pool on 2, 3, 5, seega
$$Q_1=3.$$
Ülemine pool on 11, 13, 17, seega
$$Q_3=13.$$
Karpdiagrammi viis arvu on
$$\min=2,\quad Q_1=3,\quad \text{mediaan}=7,\quad Q_3=13,\quad \max=17.$$
Võrdlus: andmestikel 4, 5, 6 ja 1, 5, 9 on mõlemal keskmine 5, aga teisel on hajuvus suurem.
Andmete 1, 1, 5, 5 keskmine on 3. Standardhälve on
$$\sigma=\sqrt{\frac{(1-3)^2+(1-3)^2+(5-3)^2+(5-3)^2}{4}}=\sqrt4=2.$$
Võimalikud eksimused
Keskmise teadmine üksi ei ütle, kas väärtused on keskmise lähedal või väga laiali.
Teine tüüpviga on kvartiile otsida enne andmete järjestamist. Kvartiilid ja mediaan leitakse järjestatud andmetest.
Kolmas tüüpviga on nimetada iga kellukakujulist pilti automaatselt normaaljaotuseks. Enne mudeli kasutamist tuleb küsida, kas andmete kuju ja olukord seda toetavad.
Harjutused
Lihtne kontroll
- Leia andmete 2, 3, 9, 11, 15 ulatus.
- Miks on mediaan mõnikord parem kui keskmine?
Rakendus
- Mida näitab karpdiagrammi pikk kast?
- Leia andmete 1, 4, 5, 8, 10 mediaan.
Mõtlemisülesanne
- Leia andmete 1, 4, 5, 8, 10 $Q_1$ ja $Q_3$, kui mediaan jäetakse poolte leidmisel välja.
- Leia sama andmestiku ulatus.
- Millal sobib binoomjaotus paremini kui tavaline keskmise arvutamine?
- Mida ütleb lai usaldusvahemik valimi põhjal tehtud hinnangu kohta?
- Kahel andmestikul on sama ulatus 10. Ühel on karpdiagrammi kast lühike, teisel pikk. Mida see tähendab?
- Leia andmete 2, 2, 6, 6 keskmine ja standardhälve, jagades hälvete ruutude summa andmete arvuga.
- Igale eelmise ülesande väärtusele liidetakse 10. Kas standardhälve muutub? Põhjenda.
Vastused
- $15-2=13$; andmed ulatuvad väikseimast suurimani 13 ühiku võrra.
- Mediaan on erandite suhtes vähem tundlik, sest ta sõltub järjestatud andmete keskosast.
- Kvartiilidega kirjeldatud andmete keskosa on rohkem laiali: vahe $Q_1$-st $Q_3$-ni on suurem.
- $5$, sest järjestatud andmestiku keskel on 5.
- Alumine pool 1, 4 annab $Q_1=2,5$; ülemine pool 8, 10 annab $Q_3=9$. Keskmine pool jääb nende vahele.
- $10-1=9$; see on äärmuste vahe, mitte tüüpiline kõikumine keskosa ümber.
- Kui loendame õnnestumisi kindlas arvus sõltumatutes kahe tulemusega katsetes, mille õnnestumise tõenäosus on sama.
- Hinnang on ebatäpsem; valim võib olla väike või andmed on väga hajuvad.
- Mõlemal on äärmuste vahe sama, aga pika kastiga andmestikus on kvartiilidega kirjeldatud keskosa rohkem hajunud.
- Keskmine on 4; standardhälve on $\sqrt{(4+4+4+4)/4}=2$.
- Ei. Keskmine suureneb samuti 10 võrra, seega hälbed keskmisest jäävad samaks.
Seosed
Hajuvus aitab hinnata, kas üks arv, näiteks keskmine, kirjeldab andmeid piisavalt hästi. Järgmises andmete peatükis kasutatakse sama mõtet valimi, usaldusvahemiku ja statistilise järelduse hindamisel.