Pindala ja ruumala
Enne alustamist7. klass · raskus 2/5
Mõiste
Pindala mõõdab pinda. Ruumala mõõdab mahtu.
Eeldus: tunned ühikuid, korrutamist, jagamist, külge, kõrgust, pinda ja serva.
Enne valemit otsusta:
| Küsimus | Otsitav suurus | Ühik |
|---|---|---|
| Kui pikk on äär? | ümbermõõt | cm, m, km |
| Kui suur pind kaetakse? | pindala | cm², m² |
| Kui palju mahub sisse? | ruumala | cm³, m³, l |
Valemid
Pindala
Valemites tähistavad $a,b,h,r$ ja $d_1,d_2$ pikkusi. Väljenda need enne arvutamist samas mõõtühikus. Kõrgus $h$ mõõdetakse alusega risti, mitte mööda kaldkülge.
| Kujund | Valem | Tähendus |
|---|---|---|
| ristkülik | $S=ab$ | $a$ ja $b$ on naaberkülgede pikkused |
| ruut | $S=a^2$ | $a$ on külje pikkus |
| kolmnurk | $S=\frac{ah}{2}$ | $a$ on aluse pikkus, $h$ sellele alusele vastav kõrgus |
| rööpkülik | $S=ah$ | $a$ on aluse pikkus, $h$ sellele alusele vastav kõrgus |
| trapets | $S=\frac{(a+b)h}{2}$ | $a$ ja $b$ on paralleelsete aluste pikkused, $h$ nende vaheline kaugus |
| romb | $S=\frac{d_1d_2}{2}$ | $d_1$ ja $d_2$ on diagonaalide pikkused |
| ring | $S=\pi r^2$ | $r$ on raadiuse pikkus |
Ruumala
| Keha | Valem | Tähendus |
|---|---|---|
| risttahukas | $V=abc$ | $a,b,c$ on ühest tipust lähtuvate servade pikkused |
| kuup | $V=a^3$ | $a$ on serva pikkus |
| prisma | $V=S_p h$ | $S_p$ on põhja pindala, $h$ põhjade vaheline kaugus |
| silinder | $V=\pi r^2h$ | $r$ on põhja raadius, $h$ põhjade vaheline kaugus |
Välispind tähendab pindala, mahutavus ruumala.
Näide
Ristküliku küljed on 4 cm ja 7 cm. Pindala on
$$S=4\cdot7=28\text{ cm}^2.$$
Kui risttahuka mõõtmed on 2 cm, 3 cm ja 5 cm, siis
$$V=2\cdot3\cdot5=30\text{ cm}^3.$$
Kolmnurga alus on 8 cm ja kõrgus 5 cm. Pindala on
$$S=\frac{8\cdot5}{2}=20\text{ cm}^2.$$
Vastus: $28\text{ cm}^2$, $30\text{ cm}^3$ ja $20\text{ cm}^2$.
Võimalikud eksimused
Pindalaühikud on ruutühikud, näiteks cm². Ruumalaühikud on kuupühikud, näiteks cm³.
Kolmnurgas peavad alus ja kõrgus olema risti.
Ära aja pindala ja ümbermõõtu segi: vaip vajab pindala, liist ümbermõõtu.
Harjutused
Lihtne kontroll
- Leia ristküliku pindala, kui küljed on 6 cm ja 9 cm.
- Leia kolmnurga pindala, kui alus on 10 cm ja kõrgus 7 cm.
- Kas otsitakse pikkust, pindala või ruumala: karbi maht; aia pikkus; laua katmiseks vajalik lina?
Rakendus
- Leia kuubi ruumala, kui serv on 4 cm.
- Leia silindri ruumala, kui $r=3$ cm ja $h=5$ cm.
- Ristkülikukujuline tuba on 5 m pikk ja 4 m lai. Kui suur on põranda pindala?
Mõtlemisülesanne
- Miks ei sobi ruumala vastuseks $\text{cm}^2$?
- Risttahuka mõõtmed on 2 cm, 4 cm ja 6 cm. Leia ruumala.
- Kolmnurga pindala on 24 cm² ja alus 8 cm. Leia kõrgus.
- Põranda pindala on 20 m². Kas sellest piisab, et leida toa ümbermõõt? Põhjenda.
- Karpi täidetakse liivaga ja kaetakse paberiga. Kummal juhul otsid ruumala ja kummal pindala?
Vastused
- $54\text{ cm}^2$, sest $6\cdot9=54$ ja otsitakse pinda.
- $35\text{ cm}^2$, sest kolmnurga pindala on $\frac{10\cdot7}{2}$.
- Karbi maht ehk ruumala; aia pikkus: pikkus; lina: pindala.
- $64\text{ cm}^3$, sest kuubi ruumala on $4^3$.
- $45\pi\text{ cm}^3\approx141,4\text{ cm}^3$, sest silindril $V=\pi r^2h$.
- $5\cdot4=20\text{ m}^2$, sest põrand on ristkülik.
- Ruumala mõõdetakse kuupühikutes, näiteks $\text{cm}^3$; $\text{cm}^2$ katab pinda, mitte ruumi.
- $2\cdot4\cdot6=48\text{ cm}^3$, sest risttahukal $V=abc$.
- Valemist $24=\frac{8h}{2}$ saame $24=4h$, seega $h=6$ cm.
- Ei piisa alati. Näiteks ristkülikud 4 m × 5 m ja 2 m × 10 m on mõlemad pindalaga 20 m², aga ümbermõõdud on erinevad.
- Liivaga täitmisel otsid ruumala; paberiga katmisel otsid välispinna pindala.
Seosed
Pindala ja ruumala seovad arvutamise geomeetria, mõõtkava ja päriseluliste mõõtmistega. Järgmises mõõtkava peatükis kasutatakse sama mõtet: pikkuste mõõtkava ei teisendu pindala mõõtkavaks sama kordajaga.