Kümnendsüsteem ja ümardamine

Mõiste

Kümnendsüsteemis sõltub numbri väärtus tema järgust ehk kohast arvu kirjutises.

Eeldus: oskad arve järjestada, lugeda numbreid vasakult paremale ning tead, et koma eraldab täisosa ja murdosa.

Ära aja segi järkarvu ja järgarvu. Järkarv $3000$ näitab ühe järgu panust arvu väärtusse; järgarv 3. tähendab „kolmas”.

Arvus $583\ 407$ on tuhandeliste järguühik $1000$, kordaja $3$ ja järkarv $3000$. Järkarvude summana kirjutame

$$583\ 407=500\ 000+80\ 000+3000+400+7.$$

Järguühikute kordsete summana kirjutame

$$583\ 407=5\cdot100\ 000+8\cdot10\ 000+3\cdot1000+4\cdot100+0\cdot10+7\cdot1.$$

Nulliga järgu võib esimesest summast ära jätta; teises näitab $0\cdot10$ kümneliste järku.

Sama kohaväärtuse põhimõte jätkub komast paremale. Näiteks arv $4072,36$ koosneb nii:

Seega

$$4072,36=4000+70+2+0,3+0,06.$$

Iga järgmine koht on eelmisest 10 korda väiksem või suurem:

Seepärast muudab koma asukoht arvu väärtust palju: $4,7$, $47$ ja $470$ kasutavad samu numbreid, aga tähendavad eri suurusi.

Reeglid

Ümardamine tähendab täpse arvu asendamist etteantud järguühiku lähima kordsega. Näiteks kümnelisteni ümardades valime lähima täiskümne, sajalisteni ümardades lähima täissaja.

Vaata ümardamiskohast ühe koha paremale: 0–4 korral jääb ümardamiskoha number samaks, 5–9 korral suureneb see ühe võrra. Näiteks $34\approx30$, kuid $35\approx40$ kümnelisteni; $2,344\approx2,34$, kuid $2,345\approx2,35$ sajandikeni.

Näide

Arv 38,746 ümardatuna sajandikeni on 38,75, sest kolmas kümnendkoht on 6.

Matkaraja $7,64$ km pikkus on ühe kümnendkohani $7,6$ km ja täiskilomeetriteni $8$ km. Sobiv täpsus sõltub ülesandest.

Mõlemal juhul alustame samast täpsest arvust.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Ümarda arv 5827 kümnelisteni.
2. Ümarda arv 14,386 sajandikeni.
3. Selgita, miks 9,995 ümardub sajandikeni kujule 10,00.
4. Kumb on suurem: $4,05$ või $4,5$?

Rakendus

5. Kirjuta arvu 306,48 numbrite kohaväärtused.
6. Ümarda arv 199,95 kümnendikeni.
7. Kirjuta arv $502,709$ kohaväärtuste summana.

Mõtlemisülesanne

8. Ümarda $48,95$ eurot sentideni ja täiseurodeni.
9. Matkaraja pikkus on $12,47$ km. Ümarda see ühe kümnendkohani ja täiskilomeetriteni.
10. Millisteks täiskümneteks ümarduvad arvud $64$, $65$ ja $66$?
11. Leia kaks arvu, mis ümarduvad kümnelisteni arvuks 80, aga ei ole võrdsed.

Vastused

1. $5830$.
2. $14,39$.
3. Kolmas kümnendkoht on 5, seega sajandike koht suureneb. Ülekandega saab $10,00$.
4. $4,5$, sest 5 kümnendikku on suurem kui 5 sajandikku.
5. $3$ sajalist, $0$ kümnelist, $6$ ühelist, $4$ kümnendikku, $8$ sajandikku.
6. $200,0$, sest sajandike 5 tõstab kümnendike koha üle järgmisse sajalisse.
7. $502,709=500+2+0,7+0,009$.
8. Sentideni $48,95$, täiseurodeni $49$.
9. Ühe kümnendkohani $12,5$ km, täiskilomeetriteni $12$ km.
10. $64\approx60$, $65\approx70$, $66\approx70$.
11. Näiteks 76 ja 84.

Seosed

Kohaväärtuse mõistmine on järgmise peatüki alus: naturaalarvude liitmisel, lahutamisel, korrutamisel ja jagamisel peab iga number jääma õigesse järku.

Naturaalarvud ja tehted

Mõiste

Naturaalarvud on loendamise arvud: 1, 2, 3, 4 ja nii edasi. Kui ülesandes on vaja lugeda ka tühja hulka, kasutatakse ka arvu 0. Siis kirjutatakse mõnikord $\mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,\ldots\}$.

Eeldus: oskad arve loendada, võrrelda, kirjutada kümnendsüsteemis ning tunned liitmist ja lahutamist.

Naturaalarvu kirjutises:

• järk on numbri koht;
• järguühik on ühe selle järgu ühiku väärtus;
• kordaja on järgus olev number;
• järkarv on kordaja ja järguühiku korrutise väärtus.

$$\text{kordaja}\cdot\text{järguühik}=\text{järkarv}.$$

Arvus $54\ 307$ on tuhandeliste järguühik $1000$, kordaja $4$ ja järkarv $4000$. Järgud rühmitatakse paremalt kolmekaupa arvuklassideks: siin on $54$ tuhandete ja $307$ ühtede klass.

Tehete järjekord

Kui avaldises on mitu tehet, tehakse need kindlas järjekorras:

1. sulud;
2. korrutamine ja jagamine vasakult paremale;
3. liitmine ja lahutamine vasakult paremale.

Lühidalt:

$$\text{sulud}\rightarrow\text{korrutamine ja jagamine}\rightarrow\text{liitmine ja lahutamine}.$$

Oluline: korrutamine ei ole alati enne jagamist. Need on samal tasemel ja käivad vasakult paremale. Sama kehtib liitmise ja lahutamise kohta.

Näide

Kui klassis on 4 rida ja igas reas 6 tooli, siis toolide arv on

$$4\cdot6=24.$$

Avaldises

$$8+3\cdot5$$

tehakse enne korrutamine:

$$8+3\cdot5=8+15=23.$$

Kui tahame enne liita, tuleb kasutada sulge:

$$(8+3)\cdot5=11\cdot5=55.$$

Avaldises

$$24:3\cdot2$$

on jagamine ja korrutamine samal tasemel, seega liigume vasakult paremale:

$$24:3\cdot2=8\cdot2=16.$$

Tekstülesandes küsi enne arvutamist, mis kordub ja mis lisandub. Näiteks: 4 õpilast ostavad 6-eurose pileti ja klass maksab 3 eurot broneerimistasu. Kogukulu on

$$4\cdot6+3=24+3=27.$$

Kui broneerimistasu oleks iga õpilase kohta, oleks avaldis

$$4\cdot(6+3)=4\cdot9=36.$$

Vastus: 27 eurot või 36 eurot.

Harjutused

Tehete järjekorra treener: viis uut avaldist voorus, tasemed kolmest arvust sulgudega avaldisteni.

Lihtne kontroll

1. Arvuta $7+4\cdot6$.
2. Arvuta $(7+4)\cdot6$.
3. Pane sulud nii, et avaldise $12+8:4$ väärtus oleks $5$.
4. Klassiruumis on 5 lauda ja iga laua juures 4 tooli. Lisaks on õpetaja tool. Mitu tooli on kokku?

Rakendus

5. Arvuta $36:6\cdot3$.
6. Arvuta $36:(6\cdot3)$.
7. Poes ostetakse 3 vihikut hinnaga 2 eurot ja üks pliiats hinnaga 1 euro. Koosta avaldis ja arvuta summa.

Mõtlemisülesanne

8. Bussis on 4 rida, igas reas 2 istekohta. Kõik istekohad on vabad. Peatuses tuleb bussi 5 reisijat ja igaüks istub ühele kohale. Mitu istekohta jääb vabaks?
9. Leia viga: õpilane arvutas $20-6+2=20-8=12$.
10. Koosta lühike tekstülesanne avaldisele $3\cdot(8+2)$.
11. Kirjuta kaks erinevat olukorda, mida saab arvutada tehtega $24:6$: üks jaotamise, teine "mitu korda mahub" tähenduses.

Vastused

1. $31$.
2. $66$.
3. $(12+8):4=5$.
4. $5\cdot4+1=21$, sest õpetaja tool lisandub üks kord.
5. $18$, sest jagamine ja korrutamine käivad vasakult paremale.
6. $2$, sest sulgudes olev korrutis tehakse enne jagamist.
7. $3\cdot2+1=7$ eurot; pliiatsi hind lisandub üks kord.
8. $4\cdot2-5=3$ istekohta jääb vabaks: kaheksast kohast viis on hõivatud.
9. Liitmine ja lahutamine on samal tasemel ning käivad vasakult paremale: $20-6+2=14+2=16$.
10. Näiteks: kolmel õpilasel on igaühel 8 vihikut ja 2 töölehte. Kokku on $3\cdot(8+2)=30$ eset.
11. Näiteks: 24 kommi jaotatakse 6 lapse vahel, iga laps saab 4 kommi. Või: 24 kommi pannakse 6 kaupa kottidesse, vaja on 4 kotti.

Seosed

Naturaalarvud on alus murdudele, negatiivsetele arvudele, protsentidele ja algebralistele avaldistele. Järgmine samm on jaguvus: seal küsime, millal jagamine annab jäägita tulemuse ja kuidas sellest jõuda algarvude ning suurima ühistegurini.

Jaguvus, algarvud ja suurim ühistegur

Mõiste

Arv $a$ jagub arvuga $b$, kui jagamisel jääki ei teki. Algarv on ühest suurem naturaalarv, mis jagub ainult 1 ja iseendaga. Kordarv on ühest suurem naturaalarv, millel on peale 1 ja iseenda veel vähemalt üks positiivne jagaja. Arv 1 ei ole alg- ega kordarv.

Eeldus: oskad naturaalarve korrutada ja jagada ning saad aru, et jagamisel võib tekkida jääk.

Esimesed 100 algarvu

Pikema loendi leiab Wikipedia lehelt List of prime numbers.

Põhireeglid

• 2-ga: viimane number on paaris.
• 3-ga: ristsumma jagub 3-ga.
• 4-ga: kaks viimast numbrit jaguvad 4-ga.
• 5-ga: viimane number on 0 või 5.
• 6-ga: arv jagub 2-ga ja 3-ga.
• 9-ga: ristsumma jagub 9-ga.
• 10-ga: viimane number on 0.

Suurim ühistegur SÜT on suurim arv, millega kõik antud arvud jaguvad. Vähim ühiskordne VÜK on vähim positiivne arv, mis jagub kõigi antud arvudega.

Näiteks 18 punase ja 30 sinise kommi võimalikult paljudeks ühesugusteks pakkideks jagamisel kasutame SÜT-i. Kahe kella 18- ja 30-minutilise kordumise kokkulangemisel kasutame VÜK-i.

Algteguriteks lahutamine

Algteguriteks lahutamine kirjutab arvu algarvude korrutisena.

$$84=2\cdot42=2\cdot2\cdot21=2^2\cdot3\cdot7.$$

Algtegurid aitavad leida nii SÜT-i kui ka VÜK-i:

• SÜT: võta ühised algtegurid väiksema astmega;
• VÜK: võta kõik algtegurid suurema astmega.

Näide

Arvud 24 ja 36:

$$24=2^3\cdot3,\qquad 36=2^2\cdot3^2.$$

Ühised tegurid annavad

$$SÜT(24,36)=2^2\cdot3=12.$$

Vähima ühiskordse jaoks võtame kõik algtegurid suurima astmega:

$$VÜK(24,36)=2^3\cdot3^2=72.$$

Seega võtab SÜT ainult ühise osa:

$$2^2\cdot3=12,$$

aga VÜK võtab kõik vajaliku, et arv jaguks mõlemaga:

$$2^3\cdot3^2=72.$$

Kui 24 ja 36 õuna jagada võimalikult paljudeks ühesugusteks kingikottideks, saab teha 12 kotti. Kui kaks bussi väljuvad iga 24 ja 36 minuti järel, kohtuvad nende väljumised taas iga 72 minuti järel.

Vastus: SÜT=12 ja VÜK=72.

Eukleidese algoritm

Kahe arvu SÜT-i saab leida jääke võttes. See aitab suurte arvudega.

Näiteks leiame SÜT(84,30):

$$84=2\cdot30+24$$

$$30=1\cdot24+6$$

$$24=4\cdot6+0.$$

Viimane nullist erinev jääk on $6$, seega

$$SÜT(84,30)=6.$$

Jaguvuse kontroll: 372 jagub 4-ga ja 6-ga; 729 jagub 9-ga.

Harjutused

Jaguvuse treener: vali kõik sobivad jagajad. Tasemed lisavad uusi jaguvustunnuseid.

Tehete järjekorda saad eraldi korrata tehete järjekorra treeneris.

Lihtne kontroll

1. Leia, kas 372 jagub 3-ga.
2. Lahuta arv 84 algteguriteks.
3. Leia SÜT(18, 30).
4. Leia VÜK(18, 30).

Rakendus

5. Leia Eukleidese algoritmiga SÜT(105, 45).
6. Leia SÜT(24, 40) ja selgita, mida see võiks tähendada võrdsete pakkide tegemisel.
7. Leia VÜK(12, 18) ja selgita, mida see võiks tähendada kahe korduva sündmuse korral.

Mõtlemisülesanne

8. Lahuta arvud 48 ja 60 algteguriteks ning leia tabeli abil SÜT ja VÜK.
9. Kas 1 on algarv? Põhjenda.
10. Leia viga: õpilane ütleb, et SÜT(16,24)=48, sest 48 jagub nii 16 kui 24-ga.
11. Leia SÜT(42,56) ja kasuta seda murru $\frac{42}{56}$ taandamiseks.

Vastused

1. Jah, sest $3+7+2=12$ ja $12$ jagub 3-ga.
2. $84=2^2\cdot3\cdot7$.
3. $SÜT(18,30)=6$.
4. $VÜK(18,30)=90$, sest 90 jagub nii 18 kui ka 30-ga.
5. $105=2\cdot45+15$, $45=3\cdot15+0$, seega $SÜT(105,45)=15$.
6. $24=2^3\cdot3$, $40=2^3\cdot5$, seega $SÜT(24,40)=8$. Saab teha 8 ühesugust pakki: igas 3 ja 5 eset.
7. $12=2^2\cdot3$, $18=2\cdot3^2$, seega $VÜK(12,18)=36$. Sündmused langevad uuesti kokku 36 ühiku järel.
8. $48=2^4\cdot3$, $60=2^2\cdot3\cdot5$, $SÜT=2^2\cdot3=12$, $VÜK=2^4\cdot3\cdot5=240$.
9. Ei. Algarv peab olema ühest suurem, aga 1 seda ei ole.
10. 48 on ühiskordne, mitte ühistegur. SÜT peab jagama mõlemat arvu ja ei saa olla suurem kui 16. Õige vastus on 8.
11. SÜT(42,56)=14, seega $\frac{42}{56}=\frac{3}{4}$.

Seosed

Jaguvus ja SÜT on järgmise murdude peatüki alus: murdu taandades jagame lugeja ja nimetaja nende ühise teguriga.

Murrud ja kümnendmurrud

Mõiste

Murd $\frac34$ tähendab kolme neljandikku. Nimetaja 4 näitab, et tervik on jagatud neljaks võrdseks osaks. Lugeja 3 näitab, et võtame kolm sellist osa. Ühe osa suurus on $\frac14$ ja kolme osa suurus $\frac34$.

Osi võib olla ka rohkem kui ühes tervikus: $\frac54$ on viis neljandikku ehk üks tervik ja veel üks neljandik.

Hariliku murru üldkuju on

$$\frac{a}{b},$$

kus $a$ on lugeja ja $b$ nimetaja; mõlemad on täisarvud. Murrujoon tähendab jagamist: $\frac ab=a:b$. Nimetaja ei tohi olla 0, sest nulliga ei saa jagada.

Eeldus: oskad naturaalarve jagada, tunned jaguvust ning tead, et lugejat ja nimetajat võib taandamisel jagada sama ühise teguriga.

Samaväärsed murrud kirjeldavad sama suurust, kuigi nad näevad erinevad välja:

$$\frac12=\frac24=\frac48.$$

Need asuvad arvteljel samas punktis ja kujutavad sama osa tervikust.

Reeglid

Murdu võib laiendada: korruta lugeja ja nimetaja sama nullist erineva arvuga.

$$\frac12=\frac{1\cdot4}{2\cdot4}=\frac48.$$

Murdu võib taandada: jaga lugeja ja nimetaja sama ühise teguriga.

$$\frac{12}{18}=\frac{12:6}{18:6}=\frac23.$$

Positiivse liigmurru teisendamisel segaarvuks jaga lugeja nimetajaga. Jagatis on täisosa ja jääk on murdosa lugeja:

$$\frac ab=q\frac rb,\qquad a=q\cdot b+r,\quad 0\le r<b.$$

Segaarvu teisendamisel liigmurruks korruta täisosa nimetajaga ja liida lugeja:

$$q\frac rb=\frac{q\cdot b+r}{b}.$$

Samanimelisi murde liidetakse lugejate kaudu:

$$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}.$$

Erinimeliste murdude liitmisel ja lahutamisel vii osad ühisele nimetajale:

$$\frac ab\pm\frac cd=\frac{ad\pm bc}{bd},\qquad b,d\ne0.$$

Murdude korrutamisel korrutatakse lugejad ja nimetajad:

$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},\qquad b,d\ne0.$$

Murruga jagamisel korrutatakse jagaja pöördarvuga:

$$\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc=\frac{ad}{bc},\qquad b,d,c\ne0.$$

Tingimus $c\ne0$ on vajalik, sest jagaja $\frac cd$ ei tohi olla null. Nullil pöördarvu ei ole.

Murdude võrdlemisel võib murrud viia ühisele nimetajale.

$$\frac12=\frac36,\qquad \frac23=\frac46,\qquad \frac12<\frac23.$$

Murru saab kirjutada kümnendmurruna jagades lugeja nimetajaga:

$$\frac14=0{,}25.$$

Mõnikord tekib lõpmatu perioodiline kümnendmurd:

$$\frac13=0{,}333\ldots,\qquad \frac16=0{,}1666\ldots.$$

Kontrolli teisendamisel suurusjärku: kui murd on alla 1, peab ka selle kümnendkuju olema alla 1. Seega ei saa $\frac34$ olla $7{,}5$.

Näide

$$\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.$$

Teisendame liigmurru segaarvuks. Arvu 11 jagamisel arvuga 4 on jagatis 2 ja jääk 3, seega

$$\frac{11}{4}=2\frac34.$$

Tagasiteisendamisel saame

$$2\frac34=\frac{2\cdot4+3}{4}=\frac{11}{4}.$$

Jagame murde:

$$\frac34:\frac25=\frac34\cdot\frac52=\frac{15}{8}=1\frac78.$$

Kontrolliks korrutame vastuse jagajaga:

$$\frac{15}{8}\cdot\frac25=\frac34.$$

Võrdleme murde $\frac34$ ja $\frac57$. Ühine nimetaja on $28$:

$$\frac34=\frac{21}{28},\qquad \frac57=\frac{20}{28}.$$

Seega

$$\frac34>\frac57.$$

$$\frac34=0{,}75,\qquad \frac57\approx0{,}714.$$

Kümnendkujud kinnitavad võrdlust.

Vastus: summa on $\frac56$, jagatis on $1\frac78$ ja võrdluses on $\frac34>\frac57$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Laienda murdu $\frac35$ nimetajani $20$.
2. Taanda murd $\frac{18}{24}$.

Rakendus

3. Võrdle murde $\frac56$ ja $\frac78$.
4. Kirjuta $\frac18$ kümnendmurruna.

Mõtlemisülesanne

5. Millise hariliku murruga võrdub $0{,}333\ldots$?
6. Kumb on suurem: $\frac34$ või $0{,}7$?
7. Kirjuta kolm samaväärset murdu arvule $\frac23$.
8. Kirjuta $0{,}125$ hariliku murruna ja taanda.
9. Kontrolli kahel viisil, kumb on suurem: $\frac{7}{10}$ või $\frac23$.
10. Kirjuta sama arv kolmel kujul: harilik murd, kümnendmurd ja protsent, kui osa on 3 tükki 4 võrdsest tükist.
11. Teisenda $3\frac27$ liigmurruks ja $\frac{23}{6}$ segaarvuks.
12. Arvuta $\frac56:\frac{10}{9}$ ning kontrolli tulemust korrutamisega.

Vastused

1. $\frac35=\frac{12}{20}$.
2. $\frac{18}{24}=\frac34$.
3. $\frac56=\frac{20}{24}$ ja $\frac78=\frac{21}{24}$, seega $\frac56<\frac78$.
4. $\frac18=0{,}125$.
5. $0{,}333\ldots=\frac13$.
6. $\frac34=0{,}75$, seega $\frac34$ on suurem.
7. Näiteks $\frac23=\frac46=\frac69=\frac8{12}$.
8. $0{,}125=\frac{125}{1000}=\frac18$.
9. $\frac{7}{10}=\frac{21}{30}$ ja $\frac23=\frac{20}{30}$, seega $\frac{7}{10}$ on suurem. Kümnendkujuga: $0{,}7>0{,}666\ldots$.
10. $\frac34=0{,}75=75\%$, sest 3 osa 4 võrdsest osast on kolm neljandikku tervikust.
11. $3\frac27=\frac{3\cdot7+2}{7}=\frac{23}{7}$ ja $\frac{23}{6}=3\frac56$.
12. $\frac56:\frac{10}{9}=\frac56\cdot\frac9{10}=\frac34$. Kontroll: $\frac34\cdot\frac{10}{9}=\frac56$.

Seosed

Kümnendmurd, protsent ja harilik murd on sama arvu eri kirjutusviisid. Järgmistes arvude peatükkides kasutatakse sama mõtet negatiivsete arvude võrdlemisel ning protsendi-, suhte- ja võrdeülesannetes.

Negatiivsed arvud

Mõiste

Negatiivsed arvud on nullist väiksemad arvud. Arvteljel asuvad nad nullist vasakul.

Eeldus: oskad arve arvteljel järjestada ning tunned liitmist, lahutamist, korrutamist ja jagamist naturaalarvudega.

Enne märgireegli kasutamist ütle, mida miinus selles olukorras tähendab: võlga, langust, vastassuunda või nullist väiksemat arvu.

Vastandarvud asuvad nullist sama kaugel, aga eri pooltel. Näiteks $5$ ja $-5$ on vastandarvud.

Negatiivne arv kirjeldab sageli puudujääki või suunda:

Arvteljel võib liitmist mõelda liikumisena:

• positiivse arvu liitmine viib paremale;
• negatiivse arvu liitmine viib vasakule;
• lahutamine viib vastassuunas, sest $a-b=a+(-b)$.

Reeglid

• Positiivse ja negatiivse arvu korrutis on negatiivne.
• Kahe negatiivse arvu korrutis on positiivne.
• Lahutamine tähendab vastandarvu liitmist.

$$a-b=a+(-b).$$

Märgireeglid korrutamisel ja jagamisel:

Sulgude avamisel:

$$+(a-b)=a-b$$

$$-(a-b)=-a+b.$$

Miinus sulgude ees vahetab sulgudes olevate liikmete märgid.

Näide

$$-4+9=5.$$

Arvteljel tähendab see: alusta $-4$ juurest ja liigu 9 sammu paremale. Jõuad arvuni $5$.

$$-4-9=-13.$$

See tähendab: alusta $-4$ juurest ja liigu 9 sammu vasakule. Jõuad arvuni $-13$.

$$(-4)\cdot(-9)=36.$$

Temperatuuri näide: hommikul oli temperatuur $-7^\circ\text{C}$. Päeval tõusis see 5 kraadi:

$$-7+5=-2.$$

Pärastlõunal oli temperatuur $-2^\circ\text{C}$.

Raha näide: kui kontol on $-18$ eurot ja sinna laekub 25 eurot, siis uus seis on

$$-18+25=7.$$

Kui kontol on 7 eurot ja maksad 10 eurot, siis

$$7-10=-3,$$

ehk jääd 3 euroga miinusesse.

Sulgude avamine:

$$7-(3-8)=7-3+8=12.$$

Negatiivse arvuga korrutamine:

$$-2(5-9)=-10+18=8.$$

Vastus: näidetes saadakse 5, -13, 36, $-2^\circ\text{C}$, 7 eurot, -3 eurot, 12 ja 8.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Arvuta $-7+12$.
2. Arvuta $-6\cdot4$.
3. Arvuta $(-6)\cdot(-4)$.
4. Ava sulud ja lihtsusta: $15-(8-5)$.

Rakendus

5. Ava sulud ja lihtsusta: $-3(2-7)$.
6. Hommikul oli temperatuur $-9^\circ\text{C}$. Päeval tõusis temperatuur 6 kraadi. Mis oli uus temperatuur?
7. Kontol on $-15$ eurot. Kontole laekub 40 eurot. Mis on uus kontoseis?

Mõtlemisülesanne

8. Arvteljel alustad arvust 3 ja liigud 8 sammu vasakule. Mis arvuni jõuad?
9. Kumb arv on suurem: $-4$ või $-11$? Põhjenda arvtelje abil.
10. Arvuta $12-(-5)$ ja selgita, miks vastus suureneb.
11. Poe kassa seis muutus hommikul -20 eurost õhtuks 35 euroni. Kui suur oli muutus?

Vastused

1. $5$, sest arvust -7 liigud 12 sammu paremale.
2. $-24$.
3. $24$.
4. $15-8+5=12$.
5. $-6+21=15$.
6. $-9+6=-3^\circ\text{C}$.
7. $-15+40=25$ eurot.
8. $3-8=-5$.
9. $-4$ on suurem, sest see asub arvteljel paremal.
10. $12-(-5)=12+5=17$. Negatiivse arvu lahutamine tähendab vastandarvu liitmist.
11. Muutus oli $35-(-20)=55$ eurot.

Seosed

Negatiivseid arve on vaja võrrandites, koordinaatteljestikus, funktsioonides ja muutuse kirjeldamisel. Järgmises protsentide ja suhete peatükis kasutatakse sama mõtet muutuse arvutamisel: enne protsenti tuleb aru saada, kas suurus kasvas või vähenes.

Tehted ratsionaalarvudega

Mõiste

Ratsionaalarv on arv, mida saab kirjutada kahe täisarvu jagatisena

$$\frac ab,\qquad b\ne0.$$

Ratsionaalarv võib olla positiivne, negatiivne või null. Näiteks $-\frac34$, $1,2$ ja $-5$ on ratsionaalarvud, sest

$$1,2=\frac65,\qquad -5=\frac{-5}{1}.$$

Eeldus: oskad harilikke murde taandada, laiendada ja võrrelda ning tunned negatiivsete arvude märgireegleid.

Arvutamisel vali kuju, mis teeb tehte lihtsaks:

• harilike murdude liitmisel ja lahutamisel leia ühine nimetaja;
• lõplike kümnendmurdude puhul võib olla mugavam arvutada kümnendkujul;
• jagamisel asenda jagamine pöördarvuga korrutamisega;
• kui arvud on eri kujul, teisenda need enne tehet samasse sobivasse kujusse.

Kõiki harilikke murde ei saa kirjutada lõpliku kümnendmurruna. Näiteks $\frac13=0,333\ldots$, seega on täpses arvutuses sageli parem jätta vastus hariliku murruna.

Reeglid

Tehete järjekord on:

1. sulud;
2. astendamine;
3. korrutamine ja jagamine vasakult paremale;
4. liitmine ja lahutamine vasakult paremale.

Murdude liitmine ja jagamine:

$$\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd},$$

$$\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc,\qquad c\ne0.$$

Kahe arvu kaugus arvteljel on nende vahe absoluutväärtus:

$$d(a,b)=|a-b|.$$

Enne täpset arvutust hinda vastuse märki ja suurust. Näiteks $-2,9+1,1$ peab olema negatiivne ning ligikaudu $-2$.

Näide

Arvutame eri nimetajatega negatiivsete murdude summa:

$$-\frac34+\frac56=-\frac9{12}+\frac{10}{12}=\frac1{12}.$$

Jagame kümnendmurde:

$$-1,2:0,3=-4.$$

Segaarvuga avaldises teisendame kõigepealt segaarvu liigmurruks:

$$1\frac12-\frac23=\frac32-\frac23=\frac56.$$

Leidkem arvude $-2,5$ ja $1,25$ vaheline kaugus:

$$|-2,5-1,25|=|-3,75|=3,75.$$

Vastus: $\frac1{12}$, $-4$, $\frac56$ ja $3,75$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Arvuta $-\frac25+\frac3{10}$.
2. Arvuta $-1,8+0,65$.
3. Arvuta $\frac34:\left(-\frac12\right)$.
4. Arvuta $-2+5\cdot(-3)$.

Rakendus

5. Arvuta $2\frac14-\frac56$.
6. Leia arvude $-3,2$ ja $1,7$ vaheline kaugus arvteljel.
7. Hommikul oli temperatuur $-4,5^\circ\text{C}$ ja see tõusis $6,8^\circ\text{C}$. Leia uus temperatuur.
8. Kontoseis oli $-12,50$ eurot. Kontole laekus $30$ eurot ja seejärel tasuti $8,75$ eurot. Leia uus kontoseis.

Mõtlemisülesanne

9. Kumb on suurem: $-\frac58$ või $-0,6$? Põhjenda teisendamisega.
10. Arvuta $\left(-\frac23+\frac12\right):\frac5{12}$.
11. Leia viga arvutuses $-3+2\cdot(-4)=(-1)\cdot(-4)=4$ ja kirjuta õige lahendus.
12. Koosta avaldis, mille väärtus on $-2$ ning milles on üks negatiivne murd ja üks kümnendmurd.

Vastused

1. $-\frac25+\frac3{10}=-\frac4{10}+\frac3{10}=-\frac1{10}$.
2. $-1,15$, sest $1,8-0,65=1,15$ ja suurema absoluutväärtusega arv on negatiivne.
3. $\frac34\cdot(-2)=-\frac32=-1\frac12$.
4. $-2-15=-17$; korrutamine tehakse enne liitmist.
5. $\frac94-\frac56=\frac{27}{12}-\frac{10}{12}=\frac{17}{12}=1\frac5{12}$.
6. $|-3,2-1,7|=|-4,9|=4,9$ ühikut.
7. $-4,5+6,8=2,3^\circ\text{C}$.
8. $-12,50+30-8,75=8,75$ eurot.
9. $-0,6=-\frac35=-\frac{24}{40}$ ja $-\frac58=-\frac{25}{40}$; seega $-0,6$ on suurem, sest see asub arvteljel paremal.
10. $\left(-\frac46+\frac36\right):\frac5{12}=-\frac16\cdot\frac{12}{5}=-\frac25$.
11. Korrutamine tuleb teha enne liitmist: $-3+2\cdot(-4)=-3-8=-11$.
12. Näiteks $-\frac52+0,5=-2$. Võimalikke õigeid vastuseid on palju.

Seosed

Ratsionaalarvudega tehted on astendamise, protsentarvutuse, avaldiste, võrrandite ja funktsiooniväärtuste arvutamise alus. Järgmises arvuhulkade peatükis saab nähtavaks, kuhu ratsionaalarvud teiste arvude seas kuuluvad.

Protsendid, suhted ja võrded

Mõiste

Protsent tähendab sajandikku:

$$1\%=\frac{1}{100}=0,01.$$

Tervik on $100\%=1$. Näiteks $40\%=\frac{40}{100}=0,4$. Suhtarvu protsentides väljendamiseks korruta see 100-ga ja lisa protsendimärk: $0,4=40\%$. Vastupidi, protsendiarv 40 jagatud 100-ga annab 0,4.

Promill tähendab tuhandikku:

$$1\text{‰}=\frac{1}{1000}=0,001=0,1\%.$$

Suhe võrdleb kahte suurust. Võrre on kahe suhte võrdsus.

Eeldus: oskad murde ja kümnendmurde teisendada ning saad aru, et protsent, murd ja kümnendmurd võivad kirjeldada sama osa tervikust.

Põhireeglid

Arvu $p\%$ leidmine arvust $A$:

$$\frac{p}{100}\cdot A.$$

Enne arvutamist määra tervik ehk $100\%$.

Kui suurus kasvab $p\%$, korrutatakse teguriga

$$1+\frac{p}{100}.$$

Kui suurus väheneb $p\%$, korrutatakse teguriga

$$1-\frac{p}{100}.$$

Suhteline muutus sõltub algväärtusest. Hinnatõus 80 eurolt 92 eurole on

$$92-80=12$$

ja protsendiline muutus on

$$\frac{12}{80}\cdot100\%=15\%.$$

Protsendipunkt kirjeldab kahe protsendi vahet. Kui intress tõuseb $3\%$ pealt $5\%$ peale, siis muutus on $2$ protsendipunkti. Suhteline kasv on aga

$$\frac{5-3}{3}\cdot100\%\approx66,7\%.$$

Võrret saab lahendada ristkorrutisega:

$$\frac ab=\frac cd \quad \Longleftrightarrow \quad a\cdot d=b\cdot c.$$

Suhet $2:3$ võib lugeda nii: iga 2 osa esimese suuruse kohta on 3 osa teist suurust. Kui joogis on mahla ja vett suhtes $2:3$, siis kokku on 5 osa. Mahla osa kogu joogist on $\frac25=40\%$.

Promilli kasutatakse siis, kui sajandik on kirjeldamiseks liiga suur ühik. Näiteks $4\text{‰}=0,004=0,4\%$.

Näide

Ese maksab 80 eurot ja selle hind tõuseb 15%. Algne hind on tervik ehk 100%. Uus hind on $100\%+15\%=115\%$ algsest hinnast. Kuna $115\%=115/100=1,15$, saame

$$80\cdot1,15=92.$$

Sama saab arvutada kahes sammus: hinnalisa on $80\cdot0,15=12$ eurot ja uus hind $80+12=92$ eurot.

Kui 92-eurose eseme hind langeb 15%, siis uus hind ei ole 80 eurot, vaid

$$92\cdot0,85=78,20.$$

Võrde näide:

$$\frac{x}{12}=\frac{5}{3}.$$

Ristkorrutis annab

$$3x=12\cdot5=60,$$

seega

$$x=20.$$

Suhte näide: kui klassis on poisse ja tüdrukuid suhtes $2:3$ ning õpilasi on kokku 25, siis kokku on 5 võrdset osa. Üks osa on

$$25:5=5.$$

Poisse on $2\cdot5=10$ ja tüdrukuid $3\cdot5=15$.

Promilli näide: $3\text{‰}$ arvust 5000 on

$$5000\cdot\frac3{1000}=15.$$

Vastus: hinnad on 92 eurot ja 78,20 eurot; $x=20$; 10 poissi ja 15 tüdrukut; promilliülesande vastus on 15.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $25\%$ arvust $160$.
2. Hind $120$ eurot kallineb $10\%$. Leia uus hind.
3. Kirjuta $75\%$ hariliku murru ja kümnendmurruna.
4. Kirjuta $6\text{‰}$ kümnendmurru ja protsendina.

Rakendus

5. Hind $120$ eurot odavneb $10\%$. Leia uus hind.
6. Lahenda võrre $\frac{x}{9}=\frac43$.
7. Koolilaadal maksis kohvikus pirukas 1,60 eurot. Päeva lõpus tehti hinnale 25% allahindlust. Mis oli uus hind?
8. Mahl ja vesi on suhtes $2:3$. Kui jooki on kokku 1 liiter, mitu liitrit on mahla?

Mõtlemisülesanne

9. Töötuse määr tõusis $6\%$ pealt $8\%$ peale. Mitme protsendipunkti võrra see tõusis?
10. Klassis on 24 õpilast. Neist 75% sõidab kooli bussi või trammiga. Mitu õpilast see on?
11. Hind tõusis 50 eurolt 60 euroni. Leia protsendiline muutus.
12. Hind 100 eurot langeb 20% ja tõuseb siis uuelt hinnalt 20%. Kas hind on jälle 100 eurot?

Vastused

1. $40$, sest see on veerand arvust 160.
2. $132$ eurot, sest tervik on 120 eurot ja 10% sellest on 12 eurot.
3. $75\%=\frac34=0,75$, see tähendab 75 osa sajast ehk kolm neljandikku tervikust.
4. $6\text{‰}=0,006=0,6\%$; promill on tuhandik ja protsent sajandik.
5. $108$ eurot.
6. $x=12$.
7. $1,60\cdot0,75=1,20$ eurot.
8. Kokku on $2+3=5$ osa; mahla on 2 osa, seega $\frac25$ liitrit ehk 0,4 liitrit.
9. $2$ protsendipunkti, sest $8\%-6\%=2\%$.
10. $24\cdot0,75=18$ õpilast.
11. Muutus on 10 eurot ja $\frac{10}{50}\cdot100\%=20\%$.
12. Ei. Pärast langust on hind 80 eurot ja pärast tõusu $80\cdot1,20=96$ eurot.

Seosed

Protsente kasutatakse statistikas, intressiarvutustes, tõenäosuses ja kasvumudelites.

Astmed, juured ja standardkuju

Mõiste

Astendamine on võrdsete tegurite korrutise lühike kirjaviis. Näiteks

$$3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81.$$

Arv $3$ on siin astendatav ja ülemine $4$ on astendaja. Astendaja näitab tegurite arvu: korrutises on neli kolme. Korrutusmärke on kolm, mitte neli.

Üldiselt on astmes $a^n$ kokku $n$ tegurit $a$, kui $n$ on positiivne täisarv. Astendajaga 1 on $a^1=a$. Nulli ja negatiivse astendaja reeglid on allpool eraldi.

Ruutjuurimine on ruutu tõstmise pöördtehe nulli ja positiivsete arvude korral. Küsime: milline null või positiivne arv annab iseendaga korrutades 9?

$$\sqrt9=3,\qquad 3\cdot3=9.$$

Samuti $\sqrt0=0$. Kuigi ka $(-3)^2=9$, tähistab $\sqrt9$ ainult arvu 3. Negatiivsest arvust reaalarvulist ruutjuurt ei saa.

Eeldus: oskad korrutada, jagada, töötada negatiivsete arvudega ning lugeda kümnendmurde kohaväärtuste järgi.

7. klassis keskendume astmetele ja standardkujule. Ruutjuur ning üldine negatiivne astendaja on siin edasivaade.

Reeglid

Esimeses neljas reeglis on $m$ ja $n$ positiivsed täisarvud. Jagamisel peab alus olema nullist erinev. Nulli ja negatiivse astendaja reeglid vajavad samuti tingimust $a\ne0$; negatiivse astendaja reeglis on $n$ positiivne täisarv.

Positiivse arvu standardkuju:

$$a\cdot10^n,\qquad 1\le a<10.$$

Siin on $n$ täisarv. Standardkujus on esimene tegur vähemalt 1 ja väiksem kui 10. Arvu kümme astendaja näitab, mitu kohta koma liigub. Nulli selles kujus ei esitata; negatiivse arvu korral kirjutame miinusmärgi positiivse arvu standardkuju ette.

Kümne astendaja annab suurusjärgu: $10^7$ tähendab kümneid miljoneid, $10^{-4}$ väga väikest arvu.

Standardkuju leidmiseks:

1. Nihuta koma nii, et ette jääb arv vahemikus $1$ kuni $10$.
2. Loe, mitu kohta koma nihkus.
3. Kui algne arv oli suur ja koma liikus vasakule, on astendaja positiivne.
4. Kui algne arv oli väike ja koma liikus paremale, on astendaja negatiivne.

Näide

$$0,00045=4,5\cdot10^{-4}.$$

Sest koma liigub arvust $0,00045$ arvuni $4,5$ neli kohta paremale. Seetõttu on astendaja negatiivne.

Suur arv standardkujus:

$$72\,000\,000=7,2\cdot10^7.$$

Standardkujust tavakujule:

$$3,08\cdot10^5=308\,000.$$

Siin liigub koma 5 kohta paremale, sest astendaja on positiivne. Kui astendaja oleks negatiivne, liiguks koma vasakule:

$$3,08\cdot10^{-5}=0,0000308.$$

Kontrollküsimus standardkuju puhul: kas vastus on algse arvuga samast suurusjärgust? Näiteks $0,00045$ on väga väike arv, seega peab standardkujus olema negatiivne kümne astendaja.

Juurte näide:

$$\sqrt{49}=7,\qquad \sqrt{0,25}=0,5.$$

Vastus: $0,00045=4,5\cdot10^{-4}$, $72\,000\,000=7,2\cdot10^7$, $\sqrt{49}=7$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lihtsusta $2^5\cdot2^3$.
2. Lihtsusta $\frac{7^6}{7^2}$.
3. Kirjuta standardkujus $0,00082$.
4. Kirjuta tavakujus $6,4\cdot10^3$.

Rakendus

5. Leia $\sqrt{81}$.
6. Kirjuta standardkujus $53\,000\,000$.
7. Kirjuta standardkujus $0,000031$.
8. Arvuta $(-4)^2$ ja $-4^2$.

Mõtlemisülesanne

9. Kirjuta tavakujus $4,7\cdot10^{-3}$.
10. Paranda viga: $0,006=6\cdot10^3$.
11. Miks $18,2\cdot10^5$ ei ole standardkuju?
12. Maa läbimõõt on ligikaudu $12\,700$ km. Kirjuta see standardkujus.

Vastused

1. $2^8=256$, sest sama alusega astmete korrutamisel astendajad liituvad.
2. $7^4$, sest jagamisel astendajad lahutuvad: $6-2=4$.
3. $8,2\cdot10^{-4}$, sest koma liigub arvuni 8,2 neli kohta paremale.
4. $6400$, sest $10^3$ nihutab koma kolm kohta paremale.
5. $9$, sest $9^2=81$.
6. $5,3\cdot10^7$, seega arv on kümnete miljonite suurusjärgus.
7. $3,1\cdot10^{-5}$, sest arv on väiksem kui üks ja koma liigub 5 kohta paremale.
8. $(-4)^2=16$, aga $-4^2=-16$; sulud näitavad, kas ruutu tõstetakse ka miinus.
9. $0,0047$, sest $10^{-3}$ nihutab koma kolm kohta vasakule.
10. Õige on $0,006=6\cdot10^{-3}$, sest algne arv on väike.
11. Esimene tegur peab olema vähemalt 1 ja väiksem kui 10. Õige standardkuju on $1,82\cdot10^6$.
12. $1,27\cdot10^4$ km, suurusjärk on kümned tuhanded kilomeetrid.

Seosed

Astmeid kasutatakse teaduslikus kirjaviisis, geomeetrias, funktsioonides, eksponentkasvus ja logaritmides. Järgmine arvude peatükk kasutab neid ka arvuhulkade ja reaalarvude eristamisel, näiteks $\sqrt2$ kaudu.

Arvuhulgad ja reaalarvud

Mõiste

Arvuhulk on arvude rühm. Sama arv võib kuuluda mitmesse rühma korraga. Põhilised arvuhulgad on:

Eeldus: oskad töötada murdude, kümnendmurdude ja negatiivsete arvudega ning tead, et sama arvu saab vahel kirjutada mitmel kujul.

• $\mathbb{N}$ naturaalarvud: $1, 2, 3, 4, \ldots$; mõnes kokkuleppes ka $0, 1, 2, 3, \ldots$;
• $\mathbb{Z}$ täisarvud: $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$;
• $\mathbb{Q}$ ratsionaalarvud: kõik arvud, mida saab kirjutada kahe täisarvu jagatisena $\frac ab$, kus $b\ne0$; näiteks $\frac12$, $-\frac34$, $-3$, $0,25$;
• $\mathbb{R}$ reaalarvud: kõik arvtelje punktid, näiteks $\frac12$, $-3$, $\sqrt2$, $\pi$.

Reaalarvud ei ole eraldi “uus kast ainult uutele arvudele”: sinna kuuluvad ka kõik eelnevate hulkade arvud.

Need hulgad sisalduvad üksteises:

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.$$

See tähendab, et iga naturaalarv on ka täisarv, iga täisarv on ka ratsionaalarv ja iga ratsionaalarv on ka reaalarv. Reaalarvude hulka kuuluvad lisaks irratsionaalarvud, mis ei kuulu ratsionaalarvude hulka.

Täisarvud kuuluvad ka ratsionaalarvude hulka, sest näiteks $-3=\frac{-3}{1}$. Sama ratsionaalarvu saab sageli kirjutada mitme murruna: näiteks $\frac12$, $\frac24$ ja $\frac48$ tähistavad sama arvu. Üldiselt tähistavad murrud $\frac ab$ ja $\frac cd$ sama ratsionaalarvu, kui $a\cdot d=b\cdot c$.

Murd on kirjutusviis; arv on väärtus, mida see kirjutusviis tähistab.

Mõnda ratsionaalarvu saab kirjutada lõpmatu perioodilise kümnendmurruna: näiteks $\frac13=0,333\ldots$. Irratsionaalarvu ei saa kahe täisarvu jagatisena kirjutada, näiteks $\sqrt2$ ja $\pi$.

Näide

Arv -5 on täisarv ja seega ka ratsionaalarv ning reaalarv. Arv 0,25 on ratsionaalarv ja seega ka reaalarv, sest

$$0,25=\frac14.$$

Kuuluvust saab kontrollida tabelina:

Vastus: tabelis kuuluvad kõik arvud reaalarvude hulka, aga naturaalarvude hulka ainult $7$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Millistesse arvuhulkadesse kuulub -7?
2. Kirjuta 0,125 hariliku murruna.

Rakendus

3. Too üks irratsionaalarvu näide.
4. Millistesse arvuhulkadesse kuulub $\frac56$?

Mõtlemisülesanne

5. Kas $\sqrt9$ on irratsionaalarv?
6. Millistesse hulkadesse kuulub arv $\frac{7}{2}$?
7. Kas $\frac48$ ja $\frac12$ tähistavad sama ratsionaalarvu? Põhjenda.
8. Millistesse hulkadesse kuulub arv $0$, kui sinu kokkuleppes $0\notin\mathbb{N}$?

Vastused

1. $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$, sest $-7=\frac{-7}{1}$.
2. $0,125=\frac18$, seega arv on ratsionaalne.
3. Näiteks $\sqrt2$ või $\pi$, sest neid ei saa kahe täisarvu jagatisena kirjutada.
4. $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$, sest $\frac56$ on kahe täisarvu jagatis.
5. Ei. $\sqrt9=3$, seega see on naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv ja reaalarv.
6. $\mathbb{Q}$ ja $\mathbb{R}$, sest $\frac72=3,5$ ei ole täisarv.
7. Jah, sest $4\cdot2=8\cdot1$; mõlemad tähistavad arvu $\frac12$.
8. Siis $0\in\mathbb{Z}$, $0\in\mathbb{Q}$ ja $0\in\mathbb{R}$, sest $0=\frac01$; valitud kokkuleppes ei ole ta naturaalarv.

Seosed

Arvuhulgad annavad keele, millega hiljem kirjeldada lahendeid: võrrandi lahend võib olla naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv või ainult reaalarv. Järgmistes mõõtmise ja geomeetria peatükkides ilmuvad reaalarvud näiteks pikkuste, pindalade ja ruutjuurte kaudu.

Ruutjuur ja juuravaldised

Mõiste

Milline arv annab iseendaga korrutades 9? Arv 3, sest $3\cdot3=9$. Selle kirjutame ruutjuure märgiga:

$$\sqrt9=3.$$

Ruutjuurimine on ruutu tõstmise pöördtehe nulli ja positiivsete arvude korral: $3^2=9$ ning $\sqrt9=3$. Samuti $\sqrt0=0$.

Kuigi ka $(-3)^2=9$, tähistab $\sqrt9$ ainult arvu 3. Ruutjuure märk annab alati nulli või positiivse arvu.

Üldiselt on arvu $a\ge0$ aritmeetiline ruutjuur $\sqrt a$ see mittenegatiivne arv, mille ruut on $a$. Negatiivsest arvust reaalarvulist ruutjuurt ei saa.

Eeldus: oskad astendada, tunned reaalarve ja leiad taskuarvutiga kümnendlähendi.

Ruutjuure märk annab ühe mittenegatiivse väärtuse. Võrrandil $x^2=49$ on aga kaks lahendit, $x=7$ ja $x=-7$, sest mõlema ruut on 49.

Kui $a,b\ge0$, siis $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$. Jagatise puhul peab lisaks olema $b>0$:

$$\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}.$$

Need reeglid lubavad täisruudu juuremärgi alt välja tuua. Näiteks $72=36\cdot2$, seega $\sqrt{72}=6\sqrt2$.

Näide

Lihtsustame ja hindame avaldist $\sqrt{72}$.

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=\sqrt{36}\sqrt2=6\sqrt2.$$

Sajandikeni ümardamiseks säilitame vahearvutuses rohkem kümnendkohti:

$$6\sqrt2=8,485281\ldots\approx8,49.$$

Kontroll: $8^2<72<9^2$, mistõttu peab tulemus jääma 8 ja 9 vahele. Täpne vastus on $6\sqrt2$, kümnendlähend on umbes 8,49.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $\sqrt{121}$.
2. Milliste täisarvude vahel asub $\sqrt{50}$?

Rakendus

3. Lihtsusta $\sqrt{48}$.
4. Arvuta $\sqrt{18}\cdot\sqrt2$.
5. Leia $\sqrt{\frac{81}{16}}$.

Mõtlemisülesanne

6. Ruudu pindala on 200 cm². Leia külje täpne pikkus ja kümnendlähend.
7. Paranda viga: $\sqrt{4+5}=\sqrt4+\sqrt5$.
8. Selgita, miks võrrandil $x^2=36$ on kaks lahendit, kuid $\sqrt{36}$ on üks arv.

Vastused

1. 11, sest $11^2=121$.
2. 7 ja 8 vahel, sest $7^2=49<50<64=8^2$.
3. $\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt3$.
4. $\sqrt{36}=6$.
5. $\frac94$, sest ruutjuur võetakse lugejast ja nimetajast.
6. $a=\sqrt{200}=10\sqrt2\approx14,14$ cm.
7. Vasak pool on $\sqrt9=3$, parem pool $2+\sqrt5$; ruutjuur ei jaotu summa vahel.
8. Nii 6 kui ka -6 annavad ruutu tõstes 36. Sümbol $\sqrt{36}$ tähistab kokkuleppeliselt mittenegatiivset juurt 6.

Seosed

Juuravaldised valmistavad ette ruutvõrrandi lahendivalemit, Pythagorase teoreemi ja täpsete pikkuste esitamist. Järgmises algebraplokis otsustad lisaks, millal ruutjuure võtmisel tuleb arvestada kahe märgiga.

n-es juur ja ratsionaalarvuline aste

Mõiste

Arvu $a$ n-es juur on arv, mille $n$-s aste on $a$. Seda märgitakse $\sqrt[n]{a}$.

Eeldus: oskad arvutada astmeid, tunned ruutjuure tähendust ja eristad peajuurt võrrandi kahest võimalikust lahendist.

• Kui $n$ on paarisarv, peab reaalarvulise juure korral olema $a\ge 0$ ning $\sqrt[n]{a}$ tähistab mittenegatiivset peajuurt.
• Kui $n$ on paaritu, võib $a$ olla ka negatiivne: $\sqrt[3]{-8}=-2$.

Ratsionaalarvulise astendajaga aste seob astme ja juure:

$$a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m.$$

Kui juurija $n$ on paarisarv, kasutame reaalarvudes $a\ge0$. Negatiivse astendaja korral peab lisaks olema $a\ne0$.

Olulised seosed sobivate määramispiirangute korral:

$$a^{-r}=\frac1{a^r},\qquad \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]a\sqrt[n]b.$$

Paarisarvulise juure puhul tuleb tähele panna absoluutväärtust:

$$\sqrt{x^2}=|x|,\qquad \sqrt[4]{x^4}=|x|.$$

Näide

Arvutame

$$32^{\frac35}=\left(\sqrt[5]{32}\right)^3=2^3=8.$$

Negatiivne astendaja annab pöördarvu:

Lihtsustame avaldise:

$$\sqrt[4]{81x^4}=\sqrt[4]{3^4x^4}=3|x|.$$

Vastus: väärtused on vastavalt $8$, $\frac19$ ja $3|x|$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Arvuta $16^{1/2}$.
2. Arvuta $27^{1/3}$.
3. Arvuta $16^{3/4}$.

Rakendus

4. Kirjuta $\sqrt[5]{x^2}$ astmena.
5. Arvuta $8^{-2/3}$.
6. Lihtsusta $\sqrt[4]{16y^4}$.

Mõtlemisülesanne

7. Miks on $\sqrt[3]{-27}$ reaalarv, aga $\sqrt[4]{-16}$ ei ole?
8. Leia viga väites $\sqrt{(-5)^2}=-5$ ja paranda see.

Vastused

1. $4$, sest $4^2=16$ ja peajuur on mittenegatiivne.
2. $3$, sest $3^3=27$.
3. $8$, sest $(\sqrt[4]{16})^3=2^3$.
4. $x^{2/5}$ sobiva määramispiirkonna korral.
5. $\frac14$, sest $8^{2/3}=(\sqrt[3]8)^2=4$.
6. $2|y|$, sest paarisarvuline juur annab $\sqrt[4]{y^4}=|y|$.
7. Paaritu aste säilitab arvu märgi, kuid paarisarvuline aste ei saa reaalarvude hulgas olla negatiivne.
8. $\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$; ruutjuure märk tähistab mittenegatiivset peajuurt.

Seosed

Ratsionaalarvuline aste on vajalik juuravaldiste, juurvõrrandite, eksponentfunktsiooni ja logaritmi õppimisel. Järgmine algebra peatükk kasutab samu määramispiiranguid võrrandite lahendamisel.

Ühikud ja mõõtmine

Mõiste

Mõõtmine tähendab võrdlemist kindla ühikuga. Kui laud on 2 meetrit pikk, mahub meetripikkune lõik laua pikkusesse kaks korda.

Eeldus: oskad korrutada ja jagada arvudega 10, 100 ja 1000 ning saad aru, et sama suurust saab kirjutada eri ühikutes.

Olulised teisendused

Sama suurus jääb samaks, aga arv muutub: väiksemas ühikus rohkem, suuremas vähem.

Enne teisendamist nimeta lähteühik ja sihtühik. Otsusta suund: meetrist sentimeetriks minnes on ühik väiksem ja arvu rohkem.

$$3,4\text{ km}=3400\text{ m},\qquad 250\text{ cm}=2,5\text{ m}.$$

Kontrollküsimus: kas sama asi mõõdetakse väiksema ühikuga? Kui jah, peab ühikuid olema rohkem.

Ütle ka mõõdetav suurus: pikkus, mass, aeg, pindala, ruumala või maht. Sama arv võib eri suuruste juures tähendada eri asja.

Pindalaühikutes muutub ruut:

$$1\text{ m}^2=100\text{ cm}\cdot100\text{ cm}=10\,000\text{ cm}^2.$$

Ruumalaühikutes muutub kuup:

$$1\text{ m}^3=100\text{ cm}\cdot100\text{ cm}\cdot100\text{ cm}=1\,000\,000\text{ cm}^3.$$

Pikkuse, pindala ja ruumala kordajad erinevad: mõõtmeid on üks, kaks või kolm.

Samamoodi detsimeetritega:

Näide

3,4 km meetrites:

$$3,4\cdot1000=3400\text{ m}.$$

0,75 kg grammides:

$$0,75\cdot1000=750\text{ g}.$$

2,5 m² ruutsentimeetrites:

$$2,5\text{ m}^2=2,5\cdot10\,000=25\,000\text{ cm}^2.$$

0,003 m³ liitrites:

$$1\text{ m}^3=1000\text{ dm}^3=1000\text{ l},$$

seega

$$0,003\text{ m}^3=0,003\cdot1000=3\text{ l}.$$

Vastus: $3400\text{ m}$, $750\text{ g}$, $25\,000\text{ cm}^2$, $3\text{ l}$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Teisenda $4,2\text{ m}$ sentimeetriteks.
2. Teisenda $8500\text{ g}$ kilogrammideks.
3. Teisenda $2\text{ h }15\text{ min}$ minutiteks.
4. Teisenda $3\text{ m}^2$ ruutsentimeetriteks.

Rakendus

5. Teisenda $0,5\text{ m}^3$ kuupsentimeetriteks.
6. Teisenda $0,75\text{ km}$ meetriteks.
7. Teisenda $125\text{ cm}$ meetriteks.

Mõtlemisülesanne

8. Teisenda $4\text{ m}^2$ ruutdetsimeetriteks.
9. Teisenda $6\text{ l}$ kuupsentimeetriteks.
10. Selgita, miks $1\text{ m}^2$ ei võrdu $100\text{ cm}^2$.
11. Vali mõistlik ühik: klassiruumi pikkus, õuna mass, vihiku pindala, veepudeli maht.

Vastused

1. $4,2\text{ m}=420\text{ cm}$, sest meetrist sentimeetriks minnes korrutad 100-ga.
2. $8500\text{ g}=8,5\text{ kg}$, sest grammist kilogrammiks minnes jagad 1000-ga.
3. $2\text{ h}=120\text{ min}$, seega kokku $135\text{ min}$.
4. $30\,000\text{ cm}^2$, sest ruutmeetri kordaja on $100^2=10\,000$.
5. $0,5\cdot1\,000\,000=500\,000\text{ cm}^3$.
6. $750\text{ m}$, sest kilomeeter on meetrist 1000 korda suurem.
7. $1,25\text{ m}$, sest sentimeetrist meetriks minnes jagad 100-ga.
8. $400\text{ dm}^2$.
9. $6\text{ l}=6000\text{ cm}^3$.
10. Meeter koosneb 100 sentimeetrist mõlemas suunas, seega ruudus on $100\cdot100=10\,000$ ruutsentimeetrit.
11. Näiteks klassiruumi pikkus meetrites, õuna mass grammides, vihiku pindala ruutsentimeetrites, veepudeli maht liitrites või milliliitrites.

Seosed

Mõõtmine on vajalik geomeetrias, füüsikas, protsentülesannetes ja mudelites. Järgmine samm on pindala ja ruumala: seal ei piisa enam ühiku teisendamisest, vaid tuleb valida ka kujundile või kehale sobiv valem.

Pindala ja ruumala

Mõiste

Pindala mõõdab pinda. Ruumala mõõdab mahtu.

Eeldus: tunned ühikuid, korrutamist, jagamist, külge, kõrgust, pinda ja serva.

Enne valemit otsusta:

Valemid

Pindala

Valemites tähistavad $a,b,h,r$ ja $d_1,d_2$ pikkusi. Väljenda need enne arvutamist samas mõõtühikus. Kõrgus $h$ mõõdetakse alusega risti, mitte mööda kaldkülge.

Ruumala

Välispind tähendab pindala, mahutavus ruumala.

Näide

Ristküliku küljed on 4 cm ja 7 cm. Pindala on

$$S=4\cdot7=28\text{ cm}^2.$$

Kui risttahuka mõõtmed on 2 cm, 3 cm ja 5 cm, siis

$$V=2\cdot3\cdot5=30\text{ cm}^3.$$

Kolmnurga alus on 8 cm ja kõrgus 5 cm. Pindala on

$$S=\frac{8\cdot5}{2}=20\text{ cm}^2.$$

Vastus: $28\text{ cm}^2$, $30\text{ cm}^3$ ja $20\text{ cm}^2$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia ristküliku pindala, kui küljed on 6 cm ja 9 cm.
2. Leia kolmnurga pindala, kui alus on 10 cm ja kõrgus 7 cm.
3. Kas otsitakse pikkust, pindala või ruumala: karbi maht; aia pikkus; laua katmiseks vajalik lina?

Rakendus

4. Leia kuubi ruumala, kui serv on 4 cm.
5. Leia silindri ruumala, kui $r=3$ cm ja $h=5$ cm.
6. Ristkülikukujuline tuba on 5 m pikk ja 4 m lai. Kui suur on põranda pindala?

Mõtlemisülesanne

7. Miks ei sobi ruumala vastuseks $\text{cm}^2$?
8. Risttahuka mõõtmed on 2 cm, 4 cm ja 6 cm. Leia ruumala.
9. Kolmnurga pindala on 24 cm² ja alus 8 cm. Leia kõrgus.
10. Põranda pindala on 20 m². Kas sellest piisab, et leida toa ümbermõõt? Põhjenda.
11. Karpi täidetakse liivaga ja kaetakse paberiga. Kummal juhul otsid ruumala ja kummal pindala?

Vastused

1. $54\text{ cm}^2$, sest $6\cdot9=54$ ja otsitakse pinda.
2. $35\text{ cm}^2$, sest kolmnurga pindala on $\frac{10\cdot7}{2}$.
3. Karbi maht ehk ruumala; aia pikkus: pikkus; lina: pindala.
4. $64\text{ cm}^3$, sest kuubi ruumala on $4^3$.
5. $45\pi\text{ cm}^3\approx141,4\text{ cm}^3$, sest silindril $V=\pi r^2h$.
6. $5\cdot4=20\text{ m}^2$, sest põrand on ristkülik.
7. Ruumala mõõdetakse kuupühikutes, näiteks $\text{cm}^3$; $\text{cm}^2$ katab pinda, mitte ruumi.
8. $2\cdot4\cdot6=48\text{ cm}^3$, sest risttahukal $V=abc$.
9. Valemist $24=\frac{8h}{2}$ saame $24=4h$, seega $h=6$ cm.
10. Ei piisa alati. Näiteks ristkülikud 4 m × 5 m ja 2 m × 10 m on mõlemad pindalaga 20 m², aga ümbermõõdud on erinevad.
11. Liivaga täitmisel otsid ruumala; paberiga katmisel otsid välispinna pindala.

Seosed

Pindala ja ruumala seovad arvutamise geomeetria, mõõtkava ja päriseluliste mõõtmistega. Järgmises mõõtkava peatükis kasutatakse sama mõtet: pikkuste mõõtkava ei teisendu pindala mõõtkavaks sama kordajaga.

Püstprisma

Mõiste

Prismal on kaks võrdset ja paralleelset põhitahku. Püstprisma külgservad on põhitahkudega risti ning külgtahud on ristkülikud.

Eeldus: oskad leida hulknurga pindala ja ümbermõõtu, teisendada pindala- ning ruumalaühikuid ja eristada pindala ruumalast.

Prisma nimi tuleb põhja kujust:

• kolmnurkse püstprisma põhitahud on kolmnurgad;
• nelinurkse püstprisma põhitahud on nelinurgad.

Prisma tähtsad osad on põhitahud, külgtahud, põhiservad, külgservad, tipud ja kõrgus. Püstprisma kõrgus on kahe põhitahu vaheline kaugus ning võrdub külgserva pikkusega.

Pinnalaotus näitab kõiki tahke tasapinnale laotatuna. Kolmnurkse püstprisma pinnalaotuses on kaks võrdset kolmnurka ja kolm ristkülikut.

Valemid

Kui põhja pindala on $S_p$, põhja ümbermõõt $P_p$ ja prisma kõrgus $h$, siis

$$V=S_ph,$$

$$S_{\text{külg}}=P_ph,$$

$$S_{\text{täis}}=2S_p+P_ph.$$

Ruumala valem mõõdab keha sisse mahtuvat ruumi. Külgpindala liidab ristkülikukujulised külgtahud. Täispindala liidab külgpindalale kaks võrdset põhja.

Näide

Kolmnurkse püstprisma põhja pindala on 12 cm², põhja ümbermõõt 16 cm ja prisma kõrgus 10 cm.

Ruumala on

$$V=12\cdot10=120\text{ cm}^3.$$

Külgpindala on

$$S_{\text{külg}}=16\cdot10=160\text{ cm}^2.$$

Täispindala on

$$S_{\text{täis}}=2\cdot12+160=184\text{ cm}^2.$$

Vastus: ruumala on $120\text{ cm}^3$ ja täispindala $184\text{ cm}^2$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mitu põhitahku on püstprismal?
2. Kolmnurkse püstprisma põhja pindala on 8 cm² ja prisma kõrgus 6 cm. Leia ruumala.
3. Põhja ümbermõõt on 20 cm ja prisma kõrgus 7 cm. Leia külgpindala.

Rakendus

4. Põhja pindala on 15 cm², põhja ümbermõõt 18 cm ja prisma kõrgus 8 cm. Leia ruumala ja täispindala.
5. Nelinurkse püstprisma põhi on ristkülik külgedega 3 cm ja 5 cm. Prisma kõrgus on 10 cm. Leia ruumala.
6. Kolmnurkse püstprisma pinnalaotuses on mitu kolmnurka ja mitu ristkülikut?

Mõtlemisülesanne

7. Püstprisma ruumala on 180 cm³ ja põhja pindala 30 cm². Leia prisma kõrgus.
8. Kahel püstprismal on sama põhja pindala. Teise prisma kõrgus on esimesest kolm korda suurem. Kuidas võrdlevad nende ruumalad?
9. Selgita, miks ei piisa täispindala leidmiseks ainult põhja pindalast ja prisma kõrgusest.
10. Püstprisma külgpindala on 96 cm² ja kõrgus 8 cm. Leia põhja ümbermõõt.

Vastused

1. Kaks võrdset ja paralleelset põhitahku.
2. $V=8\cdot6=48\text{ cm}^3$.
3. $S_{\text{külg}}=20\cdot7=140\text{ cm}^2$.
4. $V=15\cdot8=120\text{ cm}^3$ ja $S_{\text{täis}}=2\cdot15+18\cdot8=174\text{ cm}^2$.
5. Põhja pindala on $3\cdot5=15\text{ cm}^2$, seega $V=15\cdot10=150\text{ cm}^3$.
6. Kaks võrdset kolmnurka ja kolm ristkülikut.
7. $h=180:30=6\text{ cm}$, sest $V=S_ph$.
8. Teise prisma ruumala on kolm korda suurem, sest sama $S_p$ korral muutub $V=S_ph$ kõrgusega võrdeliselt.
9. Külgpindala jaoks on vaja ka põhja ümbermõõtu $P_p$; sama pindalaga põhjadel võivad olla erinevad ümbermõõdud.
10. $P_p=96:8=12\text{ cm}$, sest $S_{\text{külg}}=P_ph$.

Seosed

Püstprisma ühendab tasandiliste kujundite pindala ruumala ja pinnalaotusega. Hiljem laieneb sama põhja pindala korda kõrguse mõte silindrile ning teiste ruumiliste kehade võrdlemisele.

Mõõtkava ja proportsioon

Mõiste

Mõõtkava näitab, mitu korda on joonis tegelikkusest väiksem või suurem. 1 : 50 000 tähendab, et 1 cm kaardil vastab 50 000 cm tegelikkuses.

Eeldus: oskad teisendada pikkusühikuid ning saad aru suhtest ja võrdest.

Mõõtkava on suhe:

$$\frac{\text{joonisel}}{\text{tegelikkuses}}=\frac1{50\,000}.$$

Võrdes on kaks suhet võrdsed. Mõõtkaval 1 : 50 000:

$$\frac{1\text{ cm}}{50\,000\text{ cm}}=\frac{x\text{ cm}}{y\text{ cm}},$$

kus $y$ on tegelik kaugus samas ühikus.

Mõlemal pool suhet peab olema sama ühik. Arvuta sentimeetrites ja teisenda lõpus.

Enne arvutust ütle suund: kas otsid tegelikku pikkust joonise järgi või joonise pikkust tegelikkuse järgi.

Ühikukontroll:

$$1000\text{ cm}=10\text{ m},$$

mitte 1000 m. Mõõtkava ja ühiku teisendus on eri sammud.

Näide

Kaart

Kui kaardil on vahemaa 4 cm ja mõõtkava on 1 : 25 000, siis tegelik vahemaa on

$$4\cdot25\,000=100\,000\text{ cm}=1\text{ km}.$$

Proportsioonina:

$$\frac{1}{25\,000}=\frac{4}{x}.$$

Ristkorrutis annab

$$x=4\cdot25\,000=100\,000\text{ cm}.$$

Plaan

Toa plaani mõõtkava on 1 : 100. Kui sein on plaanil 4,2 cm, siis tegelik sein on

$$4,2\cdot100=420\text{ cm}=4,2\text{ m}.$$

Mudelauto mõõtkava on 1 : 20. Kui mudelauto pikkus on 22 cm, siis tegeliku auto pikkus on

$$22\cdot20=440\text{ cm}=4,4\text{ m}.$$

Kui tegelik pikkus on teada, jagame teguriga. Näiteks 1 : 50 plaanil vastab 3 m ehk 300 cm pikkusele

$$300:50=6\text{ cm}.$$

Mõnikord on mudel suurem, näiteks raku mudel. Mõõtkava 20 : 1 tähendab, et mudel on 20 korda suurem.

Vastus: 1 km, 4,2 m ja 4,4 m.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kui mõõtkava on 1 : 100 000, mitu kilomeetrit vastab 3 cm-le?
2. Mudelauto on tegelikust autost 20 korda väiksem. Mis on mõõtkava?
3. Miks pindala mõõtkava ei ole sama mis pikkuse mõõtkava?
4. Plaani mõõtkava on 1 : 50. Kui laud on tegelikult 150 cm pikk, kui pikk on see plaanil?

Rakendus

5. Kaardil on vahemaa 7 cm ja mõõtkava 1 : 200 000. Kui pikk on vahemaa tegelikkuses kilomeetrites?
6. Toa plaanil on kapi laius 3,6 cm. Mõõtkava on 1 : 25. Kui lai on kapp tegelikult sentimeetrites ja meetrites?
7. Kahe linna vahe on kaardil 8,5 cm. Mõõtkava on 1 : 500 000. Leia tegelik kaugus kilomeetrites.
8. Matkaplaanil on Otepää matkaraja lõik 4,2 cm. Mõõtkava on 1 : 50 000. Leia lõigu tegelik pikkus kilomeetrites.

Mõtlemisülesanne

9. Tegelik aed on 18 m pikk. Kui pikk on see plaanil mõõtkavas 1 : 200?
10. Mudeli mõõtkava on 5 : 1. Kui tegelik detail on 4 cm pikk, kui pikk on mudelil sama detail?
11. Leia viga: õpilane arvutas mõõtkaval 1 : 100 000, et 2 cm kaardil on $2:100\,000=0,00002$ km.
12. Kaart on mõõtkavas 1 : 10 000. Kui tegelik teelõik on 600 m, kui pikk on see kaardil?

Vastused

1. $3\cdot100\,000=300\,000\text{ cm}=3\text{ km}$.
2. 1 : 20, sest mudeli 1 osa vastab tegelikkuse 20 osale.
3. Pindala muutub pikkuse muutuse ruuduga.
4. $150:50=3\text{ cm}$, sest tegelikkusest plaanile minnes jagad.
5. $7\cdot200\,000=1\,400\,000\text{ cm}=14\text{ km}$.
6. $3,6\cdot25=90\text{ cm}=0,9\text{ m}$, sest plaanilt tegelikkusesse minnes korrutad.
7. $8,5\cdot500\,000=4\,250\,000\text{ cm}=42,5\text{ km}$.
8. $4,2\cdot50\,000=210\,000\text{ cm}=2,1\text{ km}$.
9. $18\text{ m}=1800\text{ cm}$, seega $1800:200=9\text{ cm}$.
10. $4\cdot5=20\text{ cm}$, sest 5 : 1 suurendab mudelit.
11. Kui kaardipikkusest otsitakse tegelikku pikkust, tuleb korrutada: $2\cdot100\,000=200\,000\text{ cm}=2\text{ km}$.
12. $600\text{ m}=60\,000\text{ cm}$, seega $60\,000:10\,000=6\text{ cm}$.

Seosed

Mõõtkava kasutab sama suhte mõtet, mida hiljem läheb vaja sarnaste kolmnurkade, trigonomeetria ja mudelite juures.

Punkt, sirge ja nurk

Mõiste

Punkt tähistab asukohta. Sirge ulatub mõlemas suunas lõpmatuseni. Lõik on sirge osa kahe otspunkti vahel.

Eeldus: oskad mõõta pikkust ja nurka ning tead, et joonisel märgitud andmed on tähtsamad kui silma järgi hinnang.

Nurk tekib kahest samast punktist lähtuvast kiirest.

Enne arvutamist märgi joonisel punktid, antud suurused ja otsitav suurus.

Põhiobjektid on sarnased, aga nende ulatus on erinev:

Kui sama tähis $AB$ esineb eri kohtades, otsusta joonise ja teksti järgi, kas mõeldakse sirget või lõiku.

Lõigu $AB$ puhul on punktid $A$ ja $B$ otspunktid. Kiire $\overrightarrow{AB}$ puhul on $A$ alguspunkt ja kiir läheb läbi punkti $B$.

Põhireeglid

• Täisnurk on $90^\circ$.
• Sirgnurk on $180^\circ$.
• Täispööre on $360^\circ$.

Nurkade liigid:

Kõrvunurgad on kaks nurka, millel on üks ühine haar ja mille teised haarad moodustavad sirge. Kõrvunurkade summa on

$$180^\circ.$$

Tippnurgad tekivad kahe sirge lõikumisel. Tippnurgad on võrdsed.

Näide

Kui kaks kõrvunurka moodustavad sirgnurga ja üks on $65^\circ$, siis teine on

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ.$$

Kui kaks sirget lõikuvad ja üks nurk on $42^\circ$, siis tema tippnurk on samuti $42^\circ$.

Sama lõikumise kõrval olev nurk on kõrvunurk:

$$180^\circ-42^\circ=138^\circ.$$

Kui ümber punkti on mitu nurka, siis nende summa on täispööre:

$$360^\circ.$$

Näiteks kui punkti ümber on nurgad $90^\circ$, $120^\circ$ ja $x$, siis

$$x=360^\circ-90^\circ-120^\circ=150^\circ.$$

Vastus: kõrvunurk on $115^\circ$, tippnurk on $42^\circ$, kõrval olev kõrvunurk on $138^\circ$ ja puuduva täispöörde nurk on $150^\circ$.

Kontroll: kõrvunurgad annavad kokku $180^\circ$, tippnurgad on võrdsed ja ümber punkti olevad nurgad annavad kokku $360^\circ$.

Võimalikud eksimused

Joonis võib olla ebatäpne. Geomeetrias tuleb lähtuda antud andmetest, mitte ainult sellest, kuidas pilt paistab.

Näide. Antud on $\angle COB=60^\circ$. Joonisel paistab see umbes $30^\circ$, kuid kõrvunurga leidmiseks kasuta antud suurust: $x=180^\circ-60^\circ=120^\circ$. Pildi järgi saadud $150^\circ$ oleks vale.

Teine tüüpviga on kõrvunurki ja tippnurki segi ajada. Kõrvunurgad liituvad $180^\circ$-ks, tippnurgad on omavahel võrdsed.

Kolmas tüüpviga on lõiku ja sirget samastada. Lõigul on kaks otspunkti ja selle pikkust saab mõõta. Sirgel otspunkte ei ole ning ta ulatub mõlemas suunas lõpmatuseni.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mis liiki nurk on $35^\circ$?
2. Mis liiki nurk on $125^\circ$?
3. Üks kõrvunurk on $73^\circ$. Leia teine.
4. Kaks sirget lõikuvad. Üks nurk on $108^\circ$. Kui suur on tema tippnurk?

Rakendus

5. Kaks sirget lõikuvad. Üks nurk on $108^\circ$. Kui suur on selle kõrval olev kõrvunurk?
6. Mis vahe on lõigul $AB$ ja kiirel $\overrightarrow{AB}$?
7. Üks kõrvunurk on $41^\circ$. Leia teine.

Mõtlemisülesanne

8. Kaks sirget lõikuvad. Üks nurk on $67^\circ$. Leia ülejäänud kolm nurka.
9. Punkti ümber on kolm nurka: $80^\circ$, $95^\circ$ ja $x$. Leia $x$.
10. Nurk $x$ ja nurk $35^\circ$ moodustavad täisnurga. Leia $x$.
11. Joonisel paistab nurk umbes $90^\circ$, aga juurde on kirjutatud $87^\circ$. Millist väärtust kasutad arvutuses ja miks?

Vastused

1. Teravnurk.
2. Nürinurk.
3. $107^\circ$, sest kõrvunurgad annavad kokku $180^\circ$.
4. $108^\circ$, sest tippnurgad on võrdsed.
5. $72^\circ$, sest kõrval olev kõrvunurk on $180^\circ-108^\circ$.
6. Lõigu $AB$ otspunktid on $A$ ja $B$. Kiir $\overrightarrow{AB}$ algab punktist $A$, läbib punkti $B$ ja jätkub samas suunas.
7. $139^\circ$, sest $180^\circ-41^\circ=139^\circ$.
8. Ülejäänud kolm nurka on $67^\circ$, $113^\circ$ ja $113^\circ$, sest tippnurk on võrdne ja kõrvunurgad annavad kokku $180^\circ$.
9. $x=360^\circ-80^\circ-95^\circ=185^\circ$.
10. $x=90^\circ-35^\circ=55^\circ$.
11. Kasutan $87^\circ$, sest arvutustes lähtutakse antud andmetest, mitte joonise silmaga hinnatud kujust.

Seosed

Sirged ja nurgad on kolmnurkade, hulknurkade, trigonomeetria ja tõestuste alus. Järgmises peatükis kasutatakse neid kolmnurga nurkade summa, hulknurkade, ümbermõõdu ja pindala leidmisel.

Kolmnurgad ja nelinurgad

Mõiste

Kolmnurgal on 3 külge ja 3 nurka; nelinurgal 4 külge ja 4 nurka.

Eeldus: tunned nurkade liike, oskad leida ümbermõõtu ja eristad pindala pikkusest.

Külgede järgi:

Nurkade järgi:

Kolm pikkust moodustavad kolmnurga ainult siis, kui kaks lühemat külge kokku on pikemad kui pikim külg. Näiteks 2 cm, 3 cm ja 6 cm ei sobi, sest $2+3<6$.

Nelinurkade erijuhud:

Rööpküliku vastasküljed ja vastasnurgad on võrdsed ning diagonaalid poolitavad teineteist. Romb on rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed; rombi diagonaalid on risti, poolitavad teineteist ja rombi nurki.

Valemid

Kolmnurga nurkade summa:

$$180^\circ.$$

Nelinurga nurkade summa:

$$360^\circ.$$

Kumera $n$-nurga sisenurkade summa:

$$S_n=(n-2)\cdot180^\circ.$$

Kolmnurga pindala:

$$S=\frac{ah}{2}.$$

Kõrgus peab olema valitud alusega risti.

Rööpküliku ja rombi pindala aluse ning kõrguse abil on $S=ah$.

Ristküliku pindala:

$$S=ab.$$

Ruudu pindala:

$$S=a^2.$$

Rombi pindala diagonaalide $d_1$ ja $d_2$ abil:

$$S=\frac{d_1d_2}{2}.$$

Pindalad joonistega

Ümbermõõt liidab küljed. Pindala mõõdab kaetud pinda.

Näide

Kolmnurga alus on 10 cm ja kõrgus 6 cm:

$$S=\frac{10\cdot6}{2}=30\text{ cm}^2.$$

Kui kolmnurga kaks nurka on $48^\circ$ ja $72^\circ$, siis kolmas nurk on

$$180^\circ-48^\circ-72^\circ=60^\circ.$$

Kui nelinurga kolm nurka on $90^\circ$, $110^\circ$ ja $80^\circ$, siis neljas nurk on

$$360^\circ-90^\circ-110^\circ-80^\circ=80^\circ.$$

Kuusnurga sisenurkade summa on

$$S_6=(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ.$$

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kolmnurga kaks nurka on $35^\circ$ ja $65^\circ$. Leia kolmas nurk.
2. Kas kolmnurk nurkadega $40^\circ, 50^\circ, 90^\circ$ on täisnurkne?
3. Leia kolmnurga ümbermõõt, kui küljed on 4 cm, 5 cm ja 6 cm.

Rakendus

4. Nelinurga kolm nurka on $100^\circ$, $80^\circ$ ja $90^\circ$. Leia neljas.
5. Millisel nelinurgal on kõik küljed võrdsed ja kõik nurgad täisnurgad?
6. Ristküliku küljed on 8 cm ja 3 cm. Leia ümbermõõt ja pindala.

Mõtlemisülesanne

7. Rööpküliku alus on 12 cm ja kõrgus 5 cm. Leia pindala.
8. Ristküliku üks külg on 7 cm ja pindala on 35 cm². Leia teine külg.
9. Kolmnurga nurgad on $x$, $2x$ ja $3x$. Leia nurgad.
10. Kas pikkustest 4 cm, 5 cm ja 10 cm saab moodustada kolmnurga?
11. Leia korrapärase kuusnurga ühe sisenurga suurus.
12. Rombi diagonaalid on 6 cm ja 10 cm. Leia rombi pindala.

Vastused

1. $80^\circ$, sest kolmnurga nurgad annavad kokku $180^\circ$.
2. Jah, sest üks nurk on $90^\circ$.
3. Ümbermõõt on $4+5+6=15\text{ cm}$.
4. $90^\circ$, sest nelinurga nurgad annavad kokku $360^\circ$.
5. Ruut, sest ruudul on võrdsed küljed ja täisnurgad.
6. Ümbermõõt $2(8+3)=22\text{ cm}$, pindala $8\cdot3=24\text{ cm}^2$; üks mõõdab äärt, teine pinda.
7. $S=12\cdot5=60\text{ cm}^2$.
8. Teine külg on $35:7=5\text{ cm}$, sest ristkülikul $S=ab$.
9. $x+2x+3x=180^\circ$, seega $x=30^\circ$; nurgad on $30^\circ,60^\circ,90^\circ$.
10. Ei, sest $4+5=9<10$; kahe lühema külje summa peab olema pikem kui pikim külg.
11. Sisenurkade summa on $(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ$. Kõik kuus nurka on võrdsed, seega üks nurk on $720^\circ:6=120^\circ$.
12. $S=\frac{6\cdot10}{2}=30\text{ cm}^2$.

Seosed

Seostub Pythagorase teoreemi, sarnasuse, trigonomeetria, ringi, sümmeetria ja teisendustega.

Ring ja sümmeetria

Mõiste

Ringjoon on kinnine piirjoon keskpunkti ümber. Kõik ringjoone punktid on keskpunktist sama kaugel; seda kaugust nimetatakse raadiuseks.

Eeldus: oskad eristada pikkust ja pindala ning tunned sirget, lõiku ja sümmeetriatelge.

Ring on kogu sisemine piirkond koos piirjoonega. Igapäevases kõnes öeldakse vahel mõlema kohta "ring", aga matemaatikas on neil vahe:

• ringjoon on piirjoon;
• ring on kogu sisemine piirkond koos piirjoonega.

Ringi olulised osad:

Valemid

Ringjoone pikkus:

$$C=2\pi r.$$

Ringi pindala:

$$S=\pi r^2.$$

Need valemid vastavad eri küsimustele:

Kui antud on diameeter, leia enne raadius või kasuta ringjoone pikkuse jaoks valemit $C=\pi d$.

Ringil on palju sümmeetriatelgi: iga keskpunkti läbiv sirge jaotab ringi kaheks võrdseks pooleks. Diameeter asub alati sellisel sümmeetriateljel.

Näide

Kui $r=5$, siis

$$S=\pi\cdot5^2=25\pi\approx78,5.$$

Ringjoone pikkus sama raadiusega on

$$C=2\pi\cdot5=10\pi\approx31,4.$$

Kui diameeter on $12$, siis raadius on

$$r=\frac{12}{2}=6.$$

Sama ringi pindala on

$$S=\pi\cdot6^2=36\pi\approx113,1.$$

Ringjoone pikkus on

$$C=\pi\cdot12=12\pi\approx37,7.$$

Kui tahad katta ümmarguse laua pinna, vajad pindala. Kui tahad panna laua serva ümber paela, vajad ringjoone pikkust.

Vastus: raadiusega 5 on pindala umbes 78,5 ja ringjoone pikkus umbes 31,4; diameetriga 12 on pindala umbes 113,1 ja ringjoone pikkus umbes 37,7.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia diameeter, kui raadius on 7 cm.
2. Leia raadius, kui diameeter on 18 cm.
3. Leia ringi pindala, kui $r=4$.
4. Leia ringjoone pikkus, kui $r=4$.

Rakendus

5. Mis vahe on kõõlul ja diameetril?
6. Leia ringjoone pikkus, kui diameeter on 20 cm.
7. Leia ringi pindala, kui diameeter on 14 cm.

Mõtlemisülesanne

8. Kas ülesandes “ümber lillepeenra pannakse ääris” on vaja ringjoone pikkust või pindala?
9. Kas ülesandes “ümmargune vaip katab põrandat” on vaja ringjoone pikkust või pindala?
10. Mitu sümmeetriatelge on ringil?
11. Kas sirge, mis lõikab ringi kahte võrdsesse poolde, peab läbima keskpunkti?

Vastused

1. $14\text{ cm}$, sest diameeter on kaks raadiust.
2. $9\text{ cm}$, sest raadius on pool diameetrist.
3. $16\pi\approx50,3$ ruutühikut, sest $S=\pi r^2$.
4. $8\pi\approx25,1$ pikkusühikut, sest $C=2\pi r$.
5. Diameeter on kõõl, mis läbib keskpunkti. Kõik kõõlud ei läbi keskpunkti.
6. $C=\pi d=20\pi\approx62,8\text{ cm}$.
7. $r=7\text{ cm}$, seega $S=49\pi\approx153,9\text{ cm}^2$.
8. Ringjoone pikkust, sest ääris käib ümber peenra piiri.
9. Pindala, sest vaip katab põranda osa, mitte ainult serva.
10. Lõpmata palju; iga keskpunkti läbiv sirge on sümmeetriatelg.
11. Jah. Ringi sümmeetriatelg läbib keskpunkti, sest ainult siis jäävad pooled peegeldamisel kokku.

Seosed

Ring on oluline geomeetrias, trigonomeetrias, radiaanides ja ringliikumise mudelites. Järgmises peatükis kasutatakse sümmeetriat koos peegelduse, lükke ja pööramisega.

Teisendused ja sümmeetria

Mõiste

Geomeetriline teisendus viib kujundi punktid uutesse asukohtadesse. Olulised teisendused on lüke, peegeldus, pööre ja homoteetsus.

Eeldus: tunned punkti, sirget, nurka ja sümmeetriatelge. Kui koordinaadid on ebakindlad, korda enne punkti $(x;y)$ lugemist.

Mapiku soovitus: 8. klass. Sümmeetria kordab varasemat; homoteetsus on sarnasuse lisateema, mitte kõigile kohustuslik termin. Positiivse teguriga homoteetsus suurendab või vähendab kujundit kindla keskpunkti suhtes: kaugused keskpunktist korrutatakse teguriga $k>0$. Kui $k=1$, ei muutu midagi.

Lükke puhul liigub iga punkt sama nihega: sama palju ja samas suunas.

Teisendused joonistel

Koordinaatides

Peegeldus $x$-telje suhtes:

$$(x;y)\mapsto(x;-y).$$

Peegeldus $y$-telje suhtes:

$$(x;y)\mapsto(-x;y).$$

Mäluabi: peegeldus $x$-telje suhtes muudab $y$-koordinaadi märki, peegeldus $y$-telje suhtes muudab $x$-koordinaadi märki.

Lüke vektoriga (a; b):

$$(x;y)\mapsto(x+a;y+b).$$

Pööre $90^\circ$ vastupäeva ümber alguspunkti:

$$(x;y)\mapsto(-y;x).$$

Homoteetsus teguriga $k>0$ alguspunkti suhtes:

$$(x;y)\mapsto(kx;ky).$$

Koordinaatreeglit saab kontrollida ühe punktiga:

Kui teisendad tervet kujundit, rakenda sama reeglit kõigile tippudele.

Näide

Punkt (3; -2) peegeldub $x$-telje suhtes punktiks (3; 2).

Lüke vektoriga (-3;4):

$$(2;5)\mapsto(2-3;5+4)=(-1;9).$$

Pööre $90^\circ$ vastupäeva ümber alguspunkti:

$$(3;2)\mapsto(-2;3).$$

Homoteetsus teguriga $2$ alguspunkti suhtes:

$$(3;2)\mapsto(6;4).$$

Kolmnurga tippudele saab sama reeglit rakendada eraldi. Kui

$$A(1;1),\quad B(4;1),\quad C(2;3),$$

ja teeme lükke vektoriga (-2; 3), siis

$$A'(-1;4),\quad B'(2;4),\quad C'(0;6).$$

Kõik punktid liikusid 2 ühikut vasakule ja 3 ühikut üles. Kujundi suurus ja kuju ei muutunud.

Kui sama kolmnurk peegeldada $y$-telje suhtes, siis

$$A'(-1;1),\quad B'(-4;1),\quad C'(-2;3).$$

Siin muutub kujundi suund nagu peeglis, aga pikkused jäävad samaks.

Vastus: lükke järel on tipud $A'(-1;4)$, $B'(2;4)$, $C'(0;6)$; peegelduse järel $A'(-1;1)$, $B'(-4;1)$, $C'(-2;3)$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Peegelda punkt (-4; 1) $y$-telje suhtes.
2. Nihuta punkt (2; 5) vektoriga (-3; 4).
3. Milline teisendus säilitab kujundi suuruse, aga muudab asukohta?
4. Pööra punkt (5; -1) $90^\circ$ vastupäeva ümber alguspunkti.

Rakendus

5. Rakenda punktile (-2; 3) homoteetsust teguriga $3$ alguspunkti suhtes.
6. Peegelda punkt (6; -2) $x$-telje suhtes.
7. Tee punktile (-1; 4) lüke vektoriga (5; -3).

Mõtlemisülesanne

8. Pööra punkt (-3; 2) $90^\circ$ vastupäeva ümber alguspunkti.
9. Kolmnurga tipud on A(0;1), B(2;1), C(1;4). Tee lüke vektoriga (3; -2).
10. Milline teisendus võib muuta kujundi suurust: lüke, peegeldus, pööre või homoteetsus?

Vastused

1. (4; 1), sest peegeldus $y$-telje suhtes muudab $x$-koordinaadi märki.
2. (-1; 9), sest lüke lisab koordinaatidele (-3; 4).
3. Lüke, peegeldus ja pööre säilitavad suuruse; kõige otsesem "asukoha muutmine sama suunaga" on lüke.
4. (1; 5), sest $90^\circ$ vastupäeva pöörde reegel on $(x;y)\mapsto(-y;x)$.
5. (-6; 9), sest homoteetsus teguriga 3 korrutab mõlemad koordinaadid.
6. (6; 2), sest peegeldus $x$-telje suhtes muudab $y$-koordinaadi märki.
7. (4; 1), sest (-1+5;4-3)=(4;1).
8. (-2; -3), sest $(x;y)\mapsto(-y;x)$.
9. A'(3; -1), B'(5; -1), C'(4; 2), sest iga tipp liigub 3 paremale ja 2 alla.
10. Homoteetsus teguriga $k>0$, kui $k\ne1$; teguriga 1 jääb kujund samaks.

Seosed

Teisendused seovad geomeetria koordinaatidega: sama reeglit saab rakendada punktidele, kujunditele ja hiljem vektoritele. See valmistab ette koordinaatteljestiku, vektorite ja funktsioonide graafikute teisendused.

Tabelid, diagrammid ja keskmised

Mõiste

Statistika aitab andmeid tõlgendada.

Eeldus: oskad liita, jagada, järjestada arve ning lugeda lihtsat tabelit.

Põhimõisted

• Sagedus: mitu korda väärtus esineb.
• Suhteline sagedus: sageduse osa kõigist andmetest.
• Aritmeetiline keskmine: summa jagatud väärtuste arvuga.
• Mediaan: järjestatud andmete keskel olev väärtus; paarisarvu vaatluste korral kahe keskmise väärtuse aritmeetiline keskmine.
• Mood: kõige sagedasem väärtus.

Sagedustabel näitab, mitu korda väärtused korduvad.

Näide

Üks pakk kaalub 1 kg, teine 2 kg. Kahe paki kogumass on 3 kg, seega keskmine mass on

$$\frac{1+2}{2}=1,5\text{ kg}.$$

Üldiselt liida kõik massid ja jaga pakkide arvuga. Sama reegel kehtib teistegi arvandmete puhul.

Andmed: 2, 4, 4, 5, 10.

Keskmine:

$$\frac{2+4+4+5+10}{5}=5.$$

Mediaan on 4 ja mood on 4.

Sagedustabel:

Erandi korral võib mediaan olla tüüpilisem kui keskmine. Näiteks andmetes 2, 4, 4, 5, 100 on keskmine

$$\frac{2+4+4+5+100}{5}=23,$$

aga mediaan on 4.

Väikese andmestiku täielik analüüs

Küsiti 10 õpilaselt, mitu minutit nad eelmisel päeval matemaatikat harjutasid:

$$10,\ 15,\ 20,\ 20,\ 25,\ 30,\ 30,\ 30,\ 45,\ 75.$$

Sagedustabel:

Keskmine:

$$\frac{10+15+20+20+25+30+30+30+45+75}{10}=\frac{300}{10}=30.$$

Mediaan: andmeid on 10, seega võtame 5. ja 6. väärtuse:

$$\frac{25+30}{2}=27,5.$$

Mood on 30, sest 30 minutit esineb kõige sagedamini.

Vastus: tüüpiline harjutamise aeg oli umbes 30 minutit. Väärtus 75 tõstab keskmist üles; mediaan on 27,5 minutit.

Diagrammi valik sõltub küsimusest: tulpdiagramm võrdleb rühmi, joondiagramm muutust ajas ja sektordiagramm terviku jaotust.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia andmete 3, 3, 4, 8, 12 aritmeetiline keskmine.
2. Leia andmete 3, 3, 4, 8, 12 mediaan.
3. Leia andmete 3, 3, 4, 8, 12 mood.
4. Andmed on 1, 2, 2, 3, 40. Kumb kirjeldab tüüpilist väärtust paremini: keskmine või mediaan?

Rakendus

5. Tee sagedustabel andmetele 1, 1, 2, 4, 4, 4.
6. Leia andmete 6, 8, 8, 10, 13, 15 aritmeetiline keskmine.
7. Leia samade andmete mediaan.
8. Tartu kooli spordipäeval koguti kaugushüppe tulemused meetrites: 2,1; 2,4; 2,4; 2,8; 3,0. Leia mediaan.

Mõtlemisülesanne

9. Leia ülesandes 8 antud kaugushüppetulemuste mood.
10. Õpilaste lugemisaeg minutites oli 5, 10, 10, 15, 20, 60. Leia keskmine ja mediaan. Kumb kirjeldab tüüpilist lugemisaega paremini?
11. Millist diagrammi kasutaksid, kui võrdled lemmikspordialade valikuid?
12. Kui 30 õpilasest 12 valis korvpalli, leia korvpalli suhteline sagedus.

Vastused

1. $6$, sest summa 30 jagatakse 5 väärtusega.
2. $4$, sest järjestatud andmete keskel on 4.
3. $3$, sest see esineb kõige sagedamini.
4. Mediaan, sest $40$ tõstab aritmeetilist keskmist palju.
5. $1$: 2 korda, $2$: 1 kord, $4$: 3 korda.
6. $\frac{6+8+8+10+13+15}{6}=10$.
7. $\frac{8+10}{2}=9$.
8. $2,4$ m.
9. 2,4 m, sest see kaugushüppetulemus esineb kaks korda, teised ühe korra.
10. Keskmine on $\frac{120}{6}=20$, mediaan on $\frac{10+15}{2}=12,5$. Mediaan kirjeldab tüüpilist lugemisaega paremini, sest 60 minutit on erandlikult suur.
11. Tulpdiagrammi, sest võrreldakse valikurühmi.
12. $\frac{12}{30}=0,4=40\%$ õpilastest; suhteline sagedus on osa kõigist.

Seosed

Statistika toetab tõenäosust, uurimistöid, mudelite hindamist ja andmepõhist otsustamist. Järgmises peatükis muutub suhteline sagedus sillaks tõenäosuse mõisteni.

Tõenäosuse alused

Mõiste

Tõenäosus näitab sündmuse toimumise võimalust. See on arv vahemikus 0 kuni 1.

Eeldus: oskad töötada murdudega, lugeda sagedustabelit ja eristada uuritava sündmuse tulemusi kõigist võimalikest tulemustest.

„Soodne tulemus” tähendab tulemust, mille korral uuritav sündmus toimub, mitte tingimata head tulemust. Näiteks kaotuse tõenäosuse arvutamisel on „soodsad” just kaotusele vastavad tulemused.

Valem

Kui kõik tulemused on võrdvõimalikud, siis

$$P(A)=\frac{\text{soodsate tulemuste arv}}{\text{kõikide tulemuste arv}}.$$

Pildi või tabeli järgi kontrolli: lugejas on soodsad tulemused, nimetajas kõik sama katse võrdvõimalikud tulemused.

Kindel sündmus on tõenäosusega $1$. Võimatu sündmus on tõenäosusega $0$.

$$0\le P(A)\le1.$$

Kui arvutus annab alla 0 või üle 1, on viga loenduses, nimetajas või sündmuste kattumise arvestamises.

Tõenäosus on mudeli järgi oodatav osa. Suhteline sagedus on päris katse tulemus: kui sündmus toimus 30 katsest 12 korda, siis suhteline sagedus on $\frac{12}{30}=0,4$. Paljude katsete korral võib see anda hinnangu tõenäosusele, kuid väheste katsete puhul võib juhus palju kõikuda.

Gümnaasiumis lisandub tinglik tõenäosus: kui tead, et sündmus $B$ juba toimus, siis küsid sündmuse $A$ tõenäosust selle uue info korral.

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B)>0.$$

Näide

Aus münt annab kulli või kirja, kumbki tõenäosusega $\frac12$. Ausa kuue küljega täringuga on 6 saamise tõenäosus $\frac16$; tulemuse 1 või 6 tõenäosus on $\frac26=\frac13$.

Sama täringut visates on paarisarvu saamise tõenäosus

$$P=\frac{3}{6}=\frac12.$$

Soodsad tulemused on 2, 4 ja 6. Kõik võimalikud tulemused on 1, 2, 3, 4, 5 ja 6.

Kahe mündiviske võimalusi saab näidata puudiagrammiga.

Kahe mündiviske tulemused on HH, HK, KH ja KK. Täpselt ühe kulli saamiseks on soodsad tulemused HK ja KH, seega

$$P(\text{täpselt üks kull})=\frac24=\frac12.$$

Kui klassis on 12 tüdrukut ja 8 poissi ning loositakse üks õpilane nende hulgast, kes käivad matemaatikaringis, siis nimetaja ei ole kogu klass, vaid ainult matemaatikaringis käijad. See on tingliku tõenäosuse mõte.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Täringut visates, kui suur on tõenäosus saada arv 5?
2. Täringut visates, kui suur on tõenäosus saada arv, mis on suurem kui 4?

Rakendus

3. Münti kaks korda visates, kui suur on tõenäosus saada kaks kulli?
4. Kotis on 3 punast ja 2 sinist palli. Kui valid ühe palli, kui suur on tõenäosus saada sinine?
5. Klassi loosikastis on 6 sinist, 3 rohelist ja 1 kollane pilet. Kui valid ühe pileti, kui suur on tõenäosus saada roheline?

Mõtlemisülesanne

6. Miks peab kontrollima, kas sündmused kattuvad?
7. Spordipäeva loosimisel võidavad auhinna kõik, kes tõmbavad sinise või kollase pileti. Kui loosikast on eelmise ülesande oma, kui suur on võidu tõenäosus?
8. Klassis on 10 tüdrukut ja 14 poissi. Matemaatikaringis käib 4 tüdrukut ja 2 poissi. Kui tead, et loositud õpilane käib matemaatikaringis, kui suur on tõenäosus, et ta on tüdruk?
9. Kui katset tehti 40 korda ja sündmus toimus 18 korda, mis on sündmuse suhteline sagedus?

Vastused

1. Üks soodne tulemus kuuest: $\frac16$, mis jääb vahemikku 0 kuni 1.
2. Soodsad tulemused on 5 ja 6, kokku kaks tulemust kuuest: $\frac26=\frac13$.
3. Üks soodne tulemus neljast võrdvõimalikust tulemuste paarist: $\frac14$.
4. Siniseid palle on 2 ja palle kokku 5, seega $\frac25$.
5. Rohelisi pileteid on 3 ja pileteid kokku 10, seega $\frac3{10}$.
6. Kui sündmused kattuvad, loetakse kattuvad tulemused lihtsal liitmisel kaks korda.
7. Sinised ja kollased piletid ei kattu, seega soodsaid on 7 kõigist 10-st: $\frac7{10}$.
8. Tingimus kitsendab valiku matemaatikaringi: seal on 6 õpilast, neist 4 tüdrukut, seega $P=\frac46=\frac23$.
9. Suhteline sagedus on $\frac{18}{40}=0,45=45\%$; see on katse tulemus, mitte kindel tõenäosus.

Seosed

Tõenäosus seostub statistika, kombinatoorika, juhuslike protsesside ja riskide hindamisega. Järgmises kombinatoorika peatükis õpid loendama kõiki võimalusi siis, kui ükshaaval üleskirjutamine muutub liiga aeglaseks või veaohtlikuks.

Kombinatoorika

Mõiste

Kombinatoorika aitab lugeda valikuid, järjekordi ja koode.

Eeldus: oskad korrutada naturaalarve ning lugeda tõenäosuses soodsaid ja kõiki võimalusi.

Enne arvutust sõnasta, millal kaks tulemust loetakse samaks ja millal erinevaks.

Põhireeglid

Kolme erineva raamatu A, B ja C kõik järjestused on ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Esimesele kohale on 3, teisele 2 ja viimasele 1 valikut: $3\cdot2\cdot1=6$. Need on permutatsioonid.

Kui üks valik on võimalik $m$ viisil ja teine $n$ viisil, siis järjestikuseid valikuid on

$$m\cdot n.$$

See on korrutamisreegel.

Enne valemi valimist küsi:

Kui valitud objektidel on erinevad rollid või kohad, siis järjekord loeb. Kui moodustub samaväärsete liikmetega rühm, siis järjekord ei loe.

Vastandnäited:

Permutatsioonide arv:

$$n!=1\cdot2\cdot3\cdots n.$$

Variatsioonide arv, kui valitakse $n$ erinevast objektist $k$ objekti ilma kordusteta ja järjekord loeb ($0\le k\le n$, mõlemad täisarvud):

$$V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}.$$

Kombinatsioonide arv samadel tingimustel, kui järjekord ei loe:

$$\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

Näide

Viie erineva raamatu A, B, C, D ja E seast kahe valimisel on järjekorraga $5\cdot4=20$ võimalust. Järjekorrata on AB ja BA sama paar. Iga paari loeti kaks korda, seega $20/2=10$.

Kõik järjekorrata paarid: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE.

Kui valida 5 õpilase seast 2 esindajat, siis võimalusi on

$$\binom52=\frac{5!}{2!3!}=10.$$

Kui samast 5 õpilasest valitakse president ja asepresident, siis järjekord loeb:

$$V_5^2=5\cdot4=20.$$

Kui 4 inimest pannakse järjekorda, siis võimalusi on

$$4!=24.$$

Kui menüüs on 3 jooki ja 4 magustoitu, siis ühe joogi ja ühe magustoidu valikuid on

$$3\cdot4=12.$$

Sama 5 õpilase näide näitab, miks küsimus loeb:

• 2 esindajat: $\binom52=10$;
• esimees ja aseesimees: $5\cdot4=20$;
• kõik 5 õpilast järjekorras: $5!=120$.

Kaks täringut: 36 paari, 21 paaritüüpi või 11 summat?

Esimese ja teise täringu tulemused moodustavad järjestatud paari: $(1;2)$ ja $(2;1)$ on erinevad. Kui võtta esimene tulemus $x$- ja teine $y$-koordinaadiks, saame 36 erinevat punkti.

Järjekorrata on 6 võrdsete arvudega paari ning $30/2=15$ erinevate arvudega paari: kokku 21 paaritüüpi. Summasid on 11, arvud 2 kuni 12. Summa 7 tuleb kuuel viisil, summa 2 ühel.

Sõltumatute ausate täringute 36 järjestatud paari on võrdvõimalikud. Paaritüübid ja summad ei ole: $(1;2)$ või $(2;1)$ tõenäosus on kokku $2/36$, aga $(1;1)$ tõenäosus $1/36$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mitu kolmekohalist koodi saab moodustada numbritest 1, 2, 3, kui kordused on lubatud?
2. Mitu viisi on 4 inimest järjekorda panna?
3. Kui mitmel viisil saab valida 6 õpilase seast 3?
4. Kui mitmel viisil saab valida 6 õpilase seast esimehe ja aseesimehe?

Rakendus

5. Kohvikus on 5 võileiba ja 3 jooki. Mitu viisi on valida üks võileib ja üks jook?
6. Mitu kolmekohalist koodi saab moodustada numbritest 1, 2, 3, kui kordused ei ole lubatud?
7. Klassis on 8 õpilast. Kui mitmel viisil saab valida 2-liikmelise tööpaari?

Mõtlemisülesanne

8. Samast 8 õpilasest valitakse esineja ja ajamõõtja. Mitu võimalust on?
9. Kui mitmel viisil saab 5 raamatut riiulisse järjekorda panna?
10. Otsusta, kas järjekord loeb: valitakse 3 õpilast ekskursiooni korraldustiimi. Põhjenda.
11. Numbrid 1, 2, 3 pannakse juhuslikku järjekorda. Kui suur on tõenäosus, et esimene number on 1?

Vastused

1. $3\cdot3\cdot3=27$.
2. $4!=24$.
3. $\binom63=20$, sest 3-liikmelises rühmas järjekord ei loe.
4. $6\cdot5=30$, sest esimese koha jaoks on 6 ja teise jaoks 5 valikut.
5. $5\cdot3=15$.
6. $3\cdot2\cdot1=6$.
7. $\binom82=28$, sest tööpaaris rollid ei erine.
8. $8\cdot7=56$, sest esineja ja ajamõõtja on eri rollid.
9. $5!=120$.
10. Ei loe, kui kõigil kolmel on sama roll korraldustiimis; siis kasutatakse kombinatsiooni.
11. Kõiki järjekordi on $3!=6$; soodsaid on 2: 123 ja 132. Tõenäosus on $\frac26=\frac13$.

Seosed

Kombinatoorika aitab tõenäosuses nimetajat ja lugejat leida. Järgmistes andmete peatükkides nihkub rõhk loendamiselt hajuvusele, jaotustele ning Bernoulli mudelile.

Hajuvus ja jaotused

Mõiste

Hajuvus kirjeldab väärtuste laialiolekut: hinded 4; 4; 5 on koos, aga 1; 4; 5 hajusamad.

Keskmine näitab tüüpilist taset, hajuvus väärtuste kõikumist selle ümber.

Enne üldistamist küsi, kas andmeid on piisavalt ja kas need kirjeldavad uuritavat rühma.

Eeldus: oskad andmeid järjestada ning leida keskmist, mediaani ja suurimat-väikseimat väärtust.

Olulised näitajad

• Ulatus: suurim väärtus miinus väikseim väärtus.
• Kvartiilid märgivad järjestatud andmete neljaks osaks jaotamise piire.
• Standardhälve näitab, kui kaugel väärtused keskmisest enamasti paiknevad.

Kvartiilide mõte:

Karpdiagrammi kast ulatub $Q_1$-st $Q_3$-ni ning tähistab kvartiilide järgi andmestiku keskmist poolt. Lõpliku valimi ja korduvate väärtuste korral ei pruugi suletud vahemikku $[Q_1;Q_3]$ jääda täpselt 50% vaatlustest. Näiteks andmestikus 1; 1; 1; 1; 1 on $Q_1=Q_3=1$ ning kõik vaatlused asuvad selles suletud vahemikus. Mida pikem kast, seda suurem on andmete keskosa hajuvus.

Standardhälbe arvutamine (gümnaasium)

Kui kirjeldame kogu vaadeldavat andmestikku $x_1,\ldots,x_n$, kus $n\ge1$, siis

$$\sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar x)^2+\cdots+(x_n-\bar x)^2}{n}}.$$

$\bar x$ on aritmeetiline keskmine. Lahutame igast väärtusest keskmise, võtame vahed ruutu, leiame ruutude keskmise ja sellest ruutjuure. Väike standardhälve tähendab väiksemat hajuvust. Valimi põhjal üldkogumi hajuvust hinnates kasutatakse sageli teist valemit, mille jagaja on $n-1$.

Jaotus kirjeldab väärtuste esinemist. Binoomjaotus loendab õnnestumisi kindlas arvus sõltumatutes jah/ei-katsetes, kus õnnestumise tõenäosus püsib sama. Normaaljaotus on kellukakujuline mudel paljude mõõtmistulemuste jaoks.

Usaldusvahemik hindab valimi põhjal üldkogumi keskmist. See ei ole kindel lubadus.

Näide

Kvartiilide kokkulepe siin: leia alumise ja ülemise poole mediaan; paaritu arvu vaatluste korral jäta kogu andmestiku mediaan pooltest välja. Teised meetodid võivad anda teised kvartiilid, eriti väikese andmestiku puhul.

Mediaan ei pea olema üks andmete väärtustest. Kvartiilist väiksemaks ei pea jääma täpselt 25% vaatlustest.

Andmete 3, 4, 8, 10 ulatus on

$$10-3=7.$$

Andmed: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.

Mediaan on $7$. Alumine pool on 2, 3, 5, seega

$$Q_1=3.$$

Ülemine pool on 11, 13, 17, seega

$$Q_3=13.$$

Karpdiagrammi viis arvu on

$$\min=2,\quad Q_1=3,\quad \text{mediaan}=7,\quad Q_3=13,\quad \max=17.$$

Võrdlus: andmestikel 4, 5, 6 ja 1, 5, 9 on mõlemal keskmine 5, aga teisel on hajuvus suurem.

Andmete 1, 1, 5, 5 keskmine on 3. Standardhälve on

$$\sigma=\sqrt{\frac{(1-3)^2+(1-3)^2+(5-3)^2+(5-3)^2}{4}}=\sqrt4=2.$$

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia andmete 2, 3, 9, 11, 15 ulatus.
2. Miks on mediaan mõnikord parem kui keskmine?

Rakendus

3. Mida näitab karpdiagrammi pikk kast?
4. Leia andmete 1, 4, 5, 8, 10 mediaan.

Mõtlemisülesanne

5. Leia andmete 1, 4, 5, 8, 10 $Q_1$ ja $Q_3$, kui mediaan jäetakse poolte leidmisel välja.
6. Leia sama andmestiku ulatus.
7. Millal sobib binoomjaotus paremini kui tavaline keskmise arvutamine?
8. Mida ütleb lai usaldusvahemik valimi põhjal tehtud hinnangu kohta?
9. Kahel andmestikul on sama ulatus 10. Ühel on karpdiagrammi kast lühike, teisel pikk. Mida see tähendab?
10. Leia andmete 2, 2, 6, 6 keskmine ja standardhälve, jagades hälvete ruutude summa andmete arvuga.
11. Igale eelmise ülesande väärtusele liidetakse 10. Kas standardhälve muutub? Põhjenda.

Vastused

1. $15-2=13$; andmed ulatuvad väikseimast suurimani 13 ühiku võrra.
2. Mediaan on erandite suhtes vähem tundlik, sest ta sõltub järjestatud andmete keskosast.
3. Kvartiilidega kirjeldatud andmete keskosa on rohkem laiali: vahe $Q_1$-st $Q_3$-ni on suurem.
4. $5$, sest järjestatud andmestiku keskel on 5.
5. Alumine pool 1, 4 annab $Q_1=2,5$; ülemine pool 8, 10 annab $Q_3=9$. Keskmine pool jääb nende vahele.
6. $10-1=9$; see on äärmuste vahe, mitte tüüpiline kõikumine keskosa ümber.
7. Kui loendame õnnestumisi kindlas arvus sõltumatutes kahe tulemusega katsetes, mille õnnestumise tõenäosus on sama.
8. Hinnang on ebatäpsem; valim võib olla väike või andmed on väga hajuvad.
9. Mõlemal on äärmuste vahe sama, aga pika kastiga andmestikus on kvartiilidega kirjeldatud keskosa rohkem hajunud.
10. Keskmine on 4; standardhälve on $\sqrt{(4+4+4+4)/4}=2$.
11. Ei. Keskmine suureneb samuti 10 võrra, seega hälbed keskmisest jäävad samaks.

Seosed

Hajuvus aitab hinnata, kas üks arv, näiteks keskmine, kirjeldab andmeid piisavalt hästi. Järgmises andmete peatükis kasutatakse sama mõtet valimi, usaldusvahemiku ja statistilise järelduse hindamisel.

Tõenäosusmudelid ja statistiline järeldus

Mõiste

Tõenäosusmudel kirjeldab, millised tulemused võivad juhtuda ja kui tõenäolised need on. Statistiline järeldus liigub vastupidises suunas: valimi andmete põhjal hinnatakse suuremat üldkogumit.

Eeldus: oskad arvutada klassikalist tõenäosust, loendada kombinatsioone ning tõlgendada keskmist ja standardhälvet.

Sündmused hulgajoonistel

Raam $\Omega$ sisaldab kõiki katsetulemusi. Ühend $A\cup B$: toimub vähemalt üks. Ühisosa $A\cap B$: toimuvad mõlemad. Täiend $\overline A$: $A$ ei toimu. Vahe $A\setminus B$: toimub $A$, aga mitte $B$. Piirkonna pindala ei näita siin tõenäosuse suurust.

$P(\overline A)=1-P(A)$ ja $P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)$.

Sündmuste summa tähendab, et toimub vähemalt üks sündmus:

Ühisosa lahutatakse, sest muidu loendataks see kaks korda. Kui sündmused on sõltumatud, siis

Üldisemalt

kus $P(B\mid A)$ on sündmuse $B$ tinglik tõenäosus pärast seda, kui $A$ on toimunud.

Bernoulli mudel sobib, kui tehakse $n$ sõltumatut sama õnnestumistõenäosusega $p$ katset. Täpselt $k$ õnnestumise tõenäosus on

Sellise binoomjaotuse keskväärtus on $E(X)=np$.

Korrelatsioonikordaja $r$ kirjeldab lineaarse seose suunda ja tugevust: $-1\le r\le1$. Korrelatsioon ei tõesta põhjuslikku seost.

Usaldusvahemik annab valimi põhjal mõistliku väärtuspiirkonna üldkogumi tunnusele. Suurem esinduslik valim annab tavaliselt kitsama vahemiku; kallutatud valimit ei paranda pelgalt suur vastajate arv.

Näide

Ausat münti visatakse viis korda. Leiame täpselt kolme kirja tõenäosuse:

Kui uuringus on õppimise aja ja testitulemuse korrelatsioon $r=0{,}62$, näitab see mõõdukat positiivset lineaarset seost. Sellest üksi ei järeldu, et pikem õppimine on ainus tulemuse põhjus.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Visatakse kahte ausat münti. Leia kahe kirja tõenäosus.
2. Kui $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$ ja sündmused on sõltumatud, leia $P(A\cap B)$.
3. Mida tähendab korrelatsioon $r=-0{,}8$?

Rakendus

4. Täringul olgu $A$ paarisarv ja $B$ arv vähemalt 5. Leia $P(A\cup B)$.
5. Katsel on õnnestumise tõenäosus 0,2. Leia täpselt ühe õnnestumise tõenäosus nelja sõltumatu katse korral.
6. Tõlgenda koolilõuna uuringu kahte valimit: söökla ukse juures esimesed 20 vastajat ja juhuvalik kõigi klasside õpilastest. Otsusta, kumb esindab kooli paremini, ning põhjenda.

Mõtlemisülesanne

7. Miks ei tõesta tugev jäätisemüügi ja ujumisõnnetuste korrelatsioon, et jäätis põhjustab õnnetusi?
8. Bernoulli katses on $n=100$ ja $p=0{,}6$. Leia õnnestumiste oodatav arv ning selgita, miks tegelik arv ei pea olema täpselt sama.
9. Kaks uuringut annavad sama valimikeskmise, kuid ühe usaldusvahemik on palju laiem. Nimeta kaks võimalikku põhjust.

Vastused

1. $\frac14$, sest mõlemad sõltumatud mündid peavad andma kirja.
2. $0{,}4\cdot0{,}5=0{,}2$.
3. Tugev negatiivne lineaarne seos: ühe tunnuse kasvuga kipub teine vähenema.
4. $A=\{2,4,6\}$ ja $B=\{5,6\}$; ühend on $\{2,4,5,6\}$, seega $P(A\cup B)=\frac46=\frac23$.
5. $\binom41(0{,}2)(0{,}8)^3=0{,}4096$.
6. Juhuvalik kõigist klassidest, sest see esindab kooli õpilasi paremini ja vähendab valikukallet.
7. Mõlemat võib mõjutada soe ilm; ühine kolmas tegur tekitab seose ilma otsese põhjuslikkuseta.
8. $E(X)=np=60$. Keskväärtus kirjeldab paljude korduste keskmist, mitte ühe katse kohustuslikku tulemust.
9. Valim võib olla väiksem või andmed hajuvamad; mõlemad suurendavad hinnangu ebakindlust.

Seosed

Tõenäosusmudel seob kombinatoorika arvutuse andmete tõlgendamisega. Sama mudelikontrolli kasutatakse hiljem finants-, kasvu- ja optimeerimisülesannetes.

Muutuja ja avaldis

Mõiste

Muutuja on täht, mis tähistab arvu. Avaldis kirjeldab arvutust üldisel kujul.

Tekstülesandes ütle enne avaldist, mida muutuja tähistab ja mis ühikus seda mõõdetakse. Muutuja nimi ei ole ühik: lauses "$p$ on pileti hind eurodes" on $p$ arv ja euro on ühik.

Erista kolme asja: täht on muutuja nimi, asendatav arv on muutuja väärtus ja ühik ütleb, mida see arv mõõdab.

Eeldus: oskad tehete järjekorda, negatiivsete arvudega arvutamist ja lihtsat tekstülesannet arvutuseks tõlkida.

Avaldises ei pea olema võrdusmärki. Võrrand tekib siis, kui kaks avaldist pannakse võrduma.

Avaldise väärtuse leidmiseks asenda muutujad antud arvudega ja järgi tehete järjekorda.

Asendamisel tee kolm sammu:

1. kirjuta avaldis ümber nii, et muutujate asemele tulevad sulgudes arvud;
2. arvuta astmed, sulud ja korrutised;
3. lõpuks liida ja lahuta.

Näide

Ristküliku pindala:

$$S=ab.$$

Kui $a=4$ ja $b=7$, siis

$$S=4\cdot7=28.$$

Avaldise väärtus:

$$2x+3y$$

kui $x=5$ ja $y=-2$, on

$$2\cdot5+3\cdot(-2)=10-6=4.$$

Mitmeastmeline asendamine:

$$3x^2-2y+4$$

kui $x=-2$ ja $y=5$, on

$$3\cdot(-2)^2-2\cdot5+4=3\cdot4-10+4=12-10+4=6.$$

Pane tähele, et negatiivne arv pannakse astme korral sulgudesse: $(-2)^2=4$.

Vastus: ristküliku pindala on 28, avaldise $2x+3y$ väärtus on 4 ja avaldise $3x^2-2y+4$ väärtus on 6.

Kontroll: asendamisel pannakse negatiivne arv sulgudesse, et aste rakenduks kogu arvule, mitte ainult numbrile 2.

Lihtsustamine

Sarnaseid liikmeid saab koondada:

$$3x+5x=8x.$$

Sarnased liikmed on sama muutujaga ja sama astmega liikmed:

$$4x^2+3x-2x^2+7x=2x^2+10x.$$

Sulgude avamisel korrutatakse sulgude ees olev tegur iga sulus oleva liikmega:

$$3(x+2)=3x+6.$$

Kui sulgude ees on miinusmärk, muutuvad märgid:

$$-(x-4)=-x+4.$$

Mitmeastmeline lihtsustamine:

$$2(x+3)-4x+5(x-1).$$

Kõigepealt ava sulud:

$$2x+6-4x+5x-5.$$

Seejärel koonda sarnased liikmed:

$$2x-4x+5x+6-5=3x+1.$$

Kui avaldises on mitu muutujat, koonda iga tüüpi liikmed eraldi:

$$4a-3b+2a+7b-5=6a+4b-5.$$

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia avaldise $4x-3$ väärtus, kui $x=5$.
2. Leia avaldise $2a+b$ väärtus, kui $a=-1$ ja $b=7$.
3. Lihtsusta $6x+2x-5$.
4. Lihtsusta $3y^2+4y-y^2$.

Rakendus

5. Ava sulud ja lihtsusta $2(x-3)+5x$.
6. Leia avaldise $3x^2-2x+1$ väärtus, kui $x=-2$.
7. Lihtsusta $4(a+2)-3a+5$.

Mõtlemisülesanne

8. Lihtsusta $2x-3y+5x+7y-4$.
9. Ava sulud ja lihtsusta $5-(2x-3)$.
10. Leia avaldise $ab+2a-b$ väärtus, kui $a=3$ ja $b=-4$.
11. Pilet maksab $p$ eurot ja teenustasu on 2 eurot. Kirjuta avaldis 4 pileti koguhinna jaoks.
12. Kirjuta avaldis 4 pileti hinna jaoks, kui 2-eurone teenustasu lisandub iga pileti juurde eraldi.

Vastused

1. $17$, sest $4\cdot5-3=17$.
2. $5$, sest $2\cdot(-1)+7=5$.
3. $8x-5$, sest koondada saab ainult $x$-liikmed.
4. $2y^2+4y$, sest $y^2$ ja $y$ ei ole sarnased liikmed.
5. $2x-6+5x=7x-6$, sest sulgude ees olev 2 korrutab mõlemat liiget.
6. $3\cdot(-2)^2-2\cdot(-2)+1=12+4+1=17$, sest negatiivne arv pannakse astme jaoks sulgudesse.
7. $4a+8-3a+5=a+13$, sest $a$-liikmed ja arvliikmed koondatakse eraldi.
8. $7x+4y-4$, sest $x$-liikmed ja $y$-liikmed koondatakse eraldi.
9. $5-2x+3=8-2x$, sest miinus sulgude ees muudab märgid.
10. $3\cdot(-4)+2\cdot3-(-4)=-12+6+4=-2$.
11. $4p+2$, kui teenustasu lisandub kogu ostule ühe korra.
12. $4(p+2)$, sest iga pileti hinnale lisandub 2 eurot.

Seosed

Avaldised on võrrandite, funktsioonide ja valemite keel. Järgmises peatükis kasutatakse avaldisi juba võrduste ja võrratuste koostamiseks.

Võrrandid ja võrratused

Mõiste

Võrrandis otsime tundmatu väärtust, mis teeb võrduse tõeseks. Võrratus kirjeldab, millal üks avaldis on teisest suurem või väiksem.

Eeldus: oskad lihtsustada avaldisi, töötada negatiivsete arvudega ja kontrollida vastust asendamisega.

Lahendihulk on kõigi lahendite hulk. Näiteks kui võrrandi ainus lahend on $5$, siis lahendihulk on

$$L=\{5\}.$$

Võrrand võib anda ühe arvu; võrratus annab sageli terve piirkonna arvteljel.

Võrratusel võib olla lõpmatult palju lahendeid. Näiteks $x>3$ tähendab kõiki arve, mis on suuremad kui $3$.

Tekstülesande muutmine võrrandiks:

1. vali tundmatu ja ütle, mida see tähendab;
2. kirjuta tekstist avaldised;
3. pane avaldised võrrandisse või võrratusse;
4. lahenda;
5. kontrolli vastust algses olukorras.

Tekstülesandes peab vastus sobima ühiku ja piiranguga: inimeste arv ei saa olla 2,5 ning pikkus ei saa olla negatiivne.

Reegel

Võrrandi mõlemale poolele võib liita sama arvu või mõlemalt poolelt lahutada sama arvu. Mõlemad pooled võib korrutada või jagada sama nullist erineva arvuga; need teisendused säilitavad lahendihulga.

Nulliga korrutamine annab näiteks võrrandist $x=2$ võrduse $0=0$, mis sobib iga $x$ korral. Nulliga jagamine ei ole määratud. Tundmatut sisaldava avaldisega jagamisel tuleb eraldi kontrollida, millal see avaldis on null: võrrandi $x(x-1)=0$ jagamisel $x$-ga kaoks lahend $x=0$.

Võrratuse puhul pöördub märk, kui korrutada või jagada sama negatiivse arvuga.

Näiteks:

$$-2x<6.$$

Jagame mõlemad pooled arvuga $-2$. Kuna jagame negatiivse arvuga, pöördub märk:

$$x>-3.$$

Näide

$$3x-5=10 \qquad |+5$$

Liidame võrrandi mõlemale poolele 5:

$$3x-5+5=10+5$$

$$3x=15 \qquad |:3$$

Jagame võrrandi mõlemad pooled kolmega:

$$\frac{3x}{3}=\frac{15}{3}$$

$$x=5.$$

Kontroll:

$$3\cdot5-5=15-5=10.$$

Seega

$$L=\{5\}.$$

Võrratuse näide:

$$4-3x\le 13$$

$$-3x\le9$$

$$x\ge-3.$$

Kontrollime lahendihulka prooviväärtustega. Kui $x=-3$, siis

$$4-3\cdot(-3)=13,$$

seega piirpunkt sobib, sest märk on $\le$. Kui $x=0$, siis

$$4-3\cdot0=4\le13,$$

sobib. Kui $x=-4$, siis

$$4-3\cdot(-4)=16,$$

ei sobi, sest $16\le13$ on väär. Prooviarvud aitavad märgiviga leida. Kogu lahendihulga $x\ge-3$ saame eelnevate samaväärsete teisendustega, mitte ainult kolme prooviarvu kontrollimisega.

Tekstülesande mudel

Kinopilet maksab 6 eurot ja broneerimistasu on 2 eurot. Kui palju pileteid saab osta, kui raha on kuni 32 eurot?

Olgu $x$ piletite arv. Kulu on

$$6x+2.$$

Kuna raha võib kuluda kuni 32 eurot, saame võrratuse

$$6x+2\le32.$$

Lahendame:

$$6x\le30,$$

$$x\le5.$$

Kuna piletite arv peab olema täisarv ja mitte negatiivne, saab osta kuni 5 piletit.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $2x+7=15$.
2. Lahenda $5x-3=2x+9$.
3. Lahenda $x+4>10$.
4. Lahenda $-3x\le12$.

Rakendus

5. Kontrolli, kas $x=4$ on võrrandi $3x-2=10$ lahend.
6. Lahenda $7-2x<15$ ja kontrolli lahendihulka kahe prooviväärtusega.
7. Tekstülesanne: vihik maksab 2 eurot ja pliiats 1 euro. Kui ostetakse $x$ vihikut ja üks pliiats ning kulub 11 eurot, leia $x$.
8. Tallinna klassiekskursiooni eelarves arvestatakse õpilase kinopiletiks 6 eurot ja joogipudeliks 2 eurot. Kui kulus 26 eurot ning osteti $x$ piletit ja üks joogipudel, leia $x$.

Mõtlemisülesanne

9. Tekstülesanne: bussipilet maksab 3 eurot. Sul on 20 eurot. Mitu piletit saad kõige rohkem osta?
10. Lahenda $4x+1\ge 2x+9$.
11. Kontrolli, kas $x=-5$ kuulub võrratuse $-2x\le8$ lahendihulka.
12. Lahenda $2x-5<3$ ja otsusta, kas $x=4$ kuulub lahendihulka.

Vastused

1. $x=4$, $L=\{4\}$.
2. $3x=12$, seega $x=4$ ja $L=\{4\}$.
3. $x>6$.
4. $x\ge-4$, sest negatiivse arvuga jagamisel võrratuse märk pöördub.
5. Jah, sest $3\cdot4-2=10$.
6. $-2x<8$, seega $x>-4$. Näiteks $x=0$ sobib: $7<15$; $x=-5$ ei sobi: $17<15$ on väär.
7. $2x+1=11$, seega $x=5$; vastus sobib, sest vihikute arv on täisarv.
8. $6x+2=26$, seega $x=4$; vastus sobib, sest piletite arv on täisarv.
9. $3x\le20$, seega $x\le\frac{20}{3}$. Kõige rohkem saab osta 6 piletit, sest 6 piletit maksab 18 eurot ja 7 piletit maksaks 21 eurot.
10. $2x\ge8$, seega $x\ge4$; kontrolliks $x=4$ teeb pooled võrdseks.
11. Ei. $-2\cdot(-5)=10$ ja $10\le8$ on väär.
12. $2x<8$, seega $x<4$. Arv $4$ ei kuulu lahendihulka, sest märk on range.

Seosed

Võrrandid on tekstülesannete, funktsioonide nullkohtade ja geomeetriliste mudelite põhivahend. Järgmistes algebra peatükkides lahendatakse neid avaldiste teisendamise, hulkliikmete ja tegurdamise abil.

Hulkliikmed ja tegurdamine

Mõiste

Hulkliige on üksliikmete summa. Näiteks avaldises

$$3x^2-5x+7$$

on kolm liiget: $3x^2$, $-5x$ ja $7$. Liikme ees olev arv on kordaja; märk kuulub kordaja juurde. Hulkliige on korrastatud, kui liikmed on kirjutatud astmete kahanevas järjekorras.

Eeldus: oskad avada sulge, koondada sarnaseid liikmeid ja kasutada astmete põhireegleid.

Hulkliikme väärtuse leidmiseks asenda muutuja etteantud arvuga. Kui $P(x)=3x^2-5x+7$, siis

$$P(-2)=3\cdot(-2)^2-5\cdot(-2)+7=29.$$

Tegurdamine tähendab avaldise kirjutamist korrutisena. See on sulgude avamise vastassuunaline võte.

Tegurdamisel säilib avaldise väärtus.

Põhitehted

Hulkliikmete liitmisel ja lahutamisel ava sulud ning koonda ainult sarnased liikmed:

$$\begin{aligned} (3x^2-2x+1)+(x^2+5x-4)&=4x^2+3x-3,\\ (3x^2-2x+1)-(x^2+5x-4)&=2x^2-7x+5. \end{aligned}$$

Miinus sulgude ees muudab sulgudes iga liikme märgi.

Üksliikmega korrutamisel korruta sellega hulkliikme iga liige:

$$3x(2x^2-x+4)=6x^3-3x^2+12x.$$

Hulkliikme jagamisel üksliikmega jaga iga liige eraldi. Jagaja ei tohi olla null:

$$\frac{12x^3-8x^2+4x}{4x}=3x^2-2x+1,\qquad x\ne0.$$

Kahe hulkliikme korrutamisel korruta esimese hulkliikme iga liige teise iga liikmega ning koonda tulemus:

$$\begin{aligned} (x+2)(x-3)&=x^2-3x+2x-6\\ &=x^2-x-6. \end{aligned}$$

Abivalemid

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

Näiteks

$$(x+3)^2=x^2+6x+9.$$

Tegurdamisel loetakse valemeid vastupidi:

$$x^2+6x+9=(x+3)^2.$$

Tegurdamise valik

Alusta tegurdamisel sellest järjekorrast:

1. Kas kõigil liikmetel on ühine tegur?
2. Kas avaldis sobib mõne abivalemiga?

Valikupuu tabelina:

Pärast tegurdamist kontrolli korrutades, kas saad algse avaldise tagasi.

Kas alati saab tegurdada? Mõni tegurdamine paistab kohe välja, mõni nõuab mitut sammu. Kõik hulkliikmed ei lagune madalama astme teguriteks: näiteks $x^2+1$ ei ole kahe reaalarvuliste kordajatega lineaarteguri korrutis. Tegurdamise võimalus sõltub ka lubatud kordajatest: $x^2-2$ tegurid vajavad irratsionaalarve.

Summa kuju on mugav liitmiseks ja koondamiseks; korrutiskuju nullkohtade leidmiseks ning murdavaldiste taandamiseks. Näiteks $x^2-1$ väärtuse arvutamine on lihtne, aga $(x-1)(x+1)$ näitab kohe nullkohti 1 ja $-1$. Kuju muutmisel säilita avaldise tingimused.

Ühine tegur:

$$6x^2+9x=3x(2x+3).$$

Näide

Lihtsustame avaldise ja kontrollime tulemust väärtusel $x=2$:

$$\begin{aligned} 2x(x+3)-(x^2-4x)&=2x^2+6x-x^2+4x\\ &=x^2+10x. \end{aligned}$$

Algne avaldis annab $x=2$ korral $24$, lihtsustatud avaldis samuti $4+20=24$.

Jagamise näide:

$$\frac{15x^3+10x^2-5x}{5x}=3x^2+2x-1,\qquad x\ne0.$$

Tegurdamise näide:

$$x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5).$$

Täisruudu näide:

$$x^2-10x+25=(x-5)^2.$$

Abivalemi äratundmine:

$$9x^2-25=(3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5).$$

Täisruudu kontroll:

$$4x^2+12x+9=(2x)^2+2\cdot(2x)\cdot3+3^2=(2x+3)^2.$$

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Nimeta hulkliikme $4x^2-3x+8$ liikmed ja nende kordajad.
2. Arvuta $2x^2-3x+1$ väärtus, kui $x=-2$.
3. Lihtsusta $(3x^2-2x+1)-(x^2+4x-5)$.
4. Korruta $3x(2x^2-x+4)$.

Rakendus

5. Jaga $(12x^3-8x^2+4x):(4x)$, kus $x\ne0$.
6. Korruta $(x+4)(x-2)$.
7. Ava sulud abivalemiga: $(x-5)^2$.
8. Tegurda $5x^2+10x$.

Mõtlemisülesanne

9. Tegurda $9x^2-1$.
10. Tegurda $x^2-14x+49$.
11. Ristküliku küljed on $x+2$ ja $x+5$. Avalda selle pindala hulkliikmena.
12. Selgita valemi $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ geomeetrilist tähendust ruudu pindalade abil.

Vastused

1. Liikmed on $4x^2$, $-3x$ ja $8$; kordajad on vastavalt 4, -3 ja 8.
2. $2\cdot(-2)^2-3\cdot(-2)+1=15$.
3. $3x^2-2x+1-x^2-4x+5$. Koondades saad $2x^2-6x+6$.
4. $6x^3-3x^2+12x$.
5. $3x^2-2x+1$, sest iga liige jagatakse $4x$-ga.
6. $x^2+2x-8$.
7. $x^2-10x+25$.
8. $5x(x+2)$, sest ühine tegur on $5x$.
9. $(3x-1)(3x+1)$, sest see on ruutude vahe.
10. $(x-7)^2$, sest avaldis on täisruutkolmliige.
11. $(x+2)(x+5)=x^2+7x+10$.
12. Küljega $a+b$ ruut jaguneb ruuduks pindalaga $a^2$, ruuduks pindalaga $b^2$ ja kaheks ristkülikuks pindalaga $ab$.

Seosed

Hulkliikmete põhitehted ja abivalemid valmistavad ette 9. klassi ruutvõrrandi ning ruutfunktsiooni. Üldise ruutkolmliikme tegurdamine ja nullkorrutise abil võrrandi lahendamine kuuluvad järgmisse õpitee ossa.

Ruutvõrrand

Mõiste

Ruutvõrrandi üldkuju on

$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$

Eeldus: oskad võrrandeid lahendada, kasutada korrutamise abivalemeid, tuua ühise teguri sulgude ette ja rakendada nullkorrutise reeglit.

Kui mõni liige puudub, on selle kordaja 0. Näiteks võrrandis $2x^2-8=0$ on $a=2$, $b=0$, $c=-8$.

Sama ruutmudelit saab vaadata kolmel kujul: ruutavaldis $ax^2+bx+c$ on arvutuskuju, ruutvõrrand $ax^2+bx+c=0$ küsib nullkohti ja ruutfunktsioon $f(x)=ax^2+bx+c$ näitab neid graafikul.

Lahendivalem

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Diskriminant:

$$D=b^2-4ac.$$

Diskriminant ütleb, mitu reaalarvulist lahendit ruutvõrrandil on:

Miks lahendivalem kehtib?

Lahendivalem tuleb täisruudu eraldamisest. Eesmärk on teisendada võrrandit nii, et lõpuks jääks vasakule poole ainult $x=...$.

Selleks muudame alguses liikmed $ax^2$ ja $bx$ täisruuduks. Idee on lihtne: liidame ja lahutame sama lisaliikme, et võrrandi väärtus ei muutuks, aga tekiks tuttav ruudu valem.

Alustame üldkujust:

$$ax^2+bx+c=0.$$

Kuna $a\ne0$, jagame võrrandi kõik liikmed arvuga $a$:

$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.$$

Nüüd liidame ja lahutame vasakul poolel sama lisaliikme $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$. Võrrand ei muutu, sest lisame kokku nulli:

$$x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}=0.$$

Nüüd kirjutame esimesed kolm liiget täisruuduna:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}=0.$$

Viime ülejäänud liikmed paremale poole:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}.$$

Parema poole võib kirjutada ühise nimetajaga:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.$$

Võtame ruutjuure. Ruutjuurel on kaks märki:

$$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Viime liikme $\frac{b}{2a}$ teisele poole:

$$x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

See ongi ruutvõrrandi lahendivalem.

Miks täisruudu võte annab õige tulemuse? Korrutamise abivalem ütleb:

$$(x+p)^2=x^2+2px+p^2.$$

Kui $p=\frac{b}{2a}$, siis

$$2px=2\cdot\frac{b}{2a}x=\frac{b}{a}x.$$

Seepärast ongi

$$x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2.$$

Näide

$$x^2-5x+6=0$$

Tegurdame:

$$(x-2)(x-3)=0.$$

Lahendid on $x=2$ ja $x=3$.

Lahendivalemiga:

$$2x^2+3x-2=0.$$

Siin $a=2$, $b=3$, $c=-2$.

$$D=3^2-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25.$$

$$x=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2\cdot2}=\frac{-3\pm5}{4}.$$

Seega

$$x_1=\frac12,\qquad x_2=-2.$$

Kui

$$x^2+4x+4=0,$$

siis

$$D=4^2-4\cdot1\cdot4=0,$$

ja võrrandil on üks kahekordne lahend:

$$x=\frac{-4}{2}=-2.$$

Vastus: esimese võrrandi lahendid on 2 ja 3, teise lahendid $\frac12$ ja -2, kolmandal on kahekordne lahend -2.

Kui vajad abi

Korda enne lineaarvõrrandi lahendamist, tegurdamist ja nullkorrutise reeglit. Vaata näitest, kuidas kordajad $a$, $b$, $c$ kõigepealt kirja pannakse. Alusta harjutustest 1 ja 2; kui need on kindlad, kasuta lahendivalemit ülesandes 4.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda tegurdamisega $x^2-7x+12=0$.
2. Leia diskriminant võrrandil $x^2-6x+9=0$.

Rakendus

3. Mitu reaalarvulist lahendit on võrrandil $x^2+1=0$?
4. Lahenda valemiga $x^2+x-6=0$.

Mõtlemisülesanne

5. Mida tähendab $D=0$ ruutfunktsiooni graafikul?
6. Mitu reaalarvulist lahendit on võrrandil $x^2-4x+4=0$?
7. Lahenda $2x^2-8=0$.
8. Kirjuta võrrandi $3x^2-12x=0$ kordajad $a$, $b$, $c$ ja lahenda tegurdamisega.

Vastused

1. $(x-3)(x-4)=0$, seega $x=3$ või $x=4$; kontrolliks teeb kumbki tegur ühe lahendi korral nulliks.
2. $D=36-36=0$, seega on üks kahekordne lahend.
3. Mitte ühtegi reaalarvulist lahendit, sest $x^2$ ei saa olla -1.
4. Lahenduskäik: siin $a=1$, $b=1$, $c=-6$, seega $D=1^2-4\cdot1\cdot(-6)=25$. Siis $x=\frac{-1\pm5}{2}$, seega $x=2$ või $x=-3$.
5. Parabool puutub $x$-telge ühes punktis. Lahenduskäik: $D=0$ tähendab, et ruutjuure osa lahendivalemis on 0 ja kaks lahendit langevad kokku.
6. Üks, sest $x^2-4x+4=(x-2)^2$ ja sama tegur kordub.
7. $2x^2=8$, seega $x^2=4$ ja $x=\pm2$; kontrolliks mõlemal juhul $2x^2=8$.
8. $a=3$, $b=-12$, $c=0$. $3x^2-12x=3x(x-4)=0$, seega $x=0$ või $x=4$.

Seosed

Järgmine peatükk võrdleb täielikke ja mittetäielikke ruutvõrrandeid, kasutab Viète'i seost ning koostab ruutvõrrandi tekstülesandest. Seejärel muutuvad võrrandi lahendid ruutfunktsiooni nullkohtadeks.

Ruutvõrrandi lahendusviisid ja rakendused

Mõiste

Ruutvõrrand tuleb enne lahendamist viia normaalkujule

$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$

Eeldus: tunned ruutvõrrandi lahendivalemit, diskriminanti ja nullkorrutise reeglit.

Täielikus ruutvõrrandis on $a,b,c\ne0$. Mittetäielikus ruutvõrrandis on $b=0$, $c=0$ või mõlemad. Võtte valib võrrandi kuju:

Kui jagad normaalkuju kordajaga $a$, saad taandatud ruutvõrrandi $x^2+px+q=0$.

Viète'i seos ütleb selle lahendite kohta

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$

See aitab lihtsate täisarvuliste lahendite leidmisel ja vastuse kontrollimisel.

Üldkuju või taandatud kuju?

Üldjuhul $D=b^2-4ac$. Kui $D\ge0$, on reaalarvulised lahendid

$$x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}.$$

Jagades kõik liikmed arvuga $a\ne0$, saad $x^2+px+q=0$, kus $p=b/a$ ja $q=c/a$. Taandatud kujul on ruutliikme kordaja 1. Lahendid ei muutu.

Näiteks $2x^2-10x+12=0$ jagamine 2-ga annab $x^2-5x+6=0$. Otsime kaht arvu, mille summa on 5 ja korrutis 6. Need on 2 ja 3, seega

$$(x-2)(x-3)=0,\qquad x=2\text{ või }x=3.$$

Kontrolliks korruta sulud lahti. Korrutis saab olla null ainult siis, kui vähemalt üks tegur on null.

Jagamine ei tee arvutamist alati lihtsamaks: $2x^2+x-1=0$ annaks murdudega kordajad. Otse tegurdades $(2x-1)(x+1)=0$ saame $x=1/2$ või $x=-1$. Kui lihtsaid tegureid ei leia, kasuta lahendivalemit.

Näide

Ristküliku pikkus on laiusest 2 cm suurem ja pindala on 48 cm². Olgu laius $x$, siis pikkus on $x+2$.

$$x(x+2)=48,$$

$$x^2+2x-48=0.$$

Viète'i järgi peab lahendite summa olema -2 ja korrutis -48. Need tingimused täidavad 6 ja -8. Seega

$$(x-6)(x+8)=0,$$

ning $x=-8$ või $x=6$. Negatiivne pikkus ei sobi. Ristküliku laius on 6 cm ja pikkus 8 cm. Kontroll: $6\cdot8=48$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $5x^2=0$.
2. Lahenda $2x^2-18=0$.
3. Lahenda $x^2-7x=0$.

Rakendus

4. Vii normaalkujule ja lahenda $x^2+4=5x$.
5. Leia Viète'i seosega võrrandi $x^2-9x+20=0$ lahendid.
6. Kontrolli Viète'i seosega võrrandi $x^2+2x-15=0$ lahendeid 3 ja -5.

Mõtlemisülesanne

7. Kahe järjestikuse positiivse täisarvu korrutis on 72. Leia arvud.
8. Ruudu pindala suureneb külje pikendamisel 3 cm võrra 45 cm² võrra. Leia algne külg.
9. Koosta ruutvõrrand, mille lahendid on 2 ja 7.

Vastused

1. $x=0$.
2. $x^2=9$, seega $x=\pm3$.
3. $x(x-7)=0$, seega $x=0$ või $x=7$.
4. $x^2-5x+4=0$, seega $x=1$ või $x=4$.
5. Arvud 4 ja 5 annavad summa 9 ning korrutise 20; lahendid on 4 ja 5.
6. $3+(-5)=-2$ ja $3\cdot(-5)=-15$, seega lahendid sobivad.
7. $n(n+1)=72$, seega $n^2+n-72=0$; positiivsed arvud on 8 ja 9.
8. $(x+3)^2-x^2=45$, seega $6x+9=45$ ja $x=6$ cm.
9. $(x-2)(x-7)=0$ ehk $x^2-9x+14=0$.

Seosed

Ruutvõrrandi lahendid muutuvad ruutfunktsiooni nullkohtadeks. Tekstülesandes lisandub alati viimane samm: tõlgenda lahendeid algse olukorra järgi ja jäta sobimatu väärtus kõrvale.

Murdavaldised

Mõiste

Murdavaldis on avaldis, mille nimetajas on muutuja, näiteks

$$\frac{x+1}{x-3}.$$

Avaldist saab lihtsustada või selle väärtust arvutada, kui $x$ on antud. Näiteks $x=4$ korral on väärtus $\frac{4+1}{4-3}=5$. See ei ole veel võrrand, millest otsida $x$-i.

Nimetaja ei tohi olla null: selles näites ei sobi $x=3$.

Eeldus: oskad harilike murdudega arvutada, tegurdada ja lahendada lihtsaid võrrandeid, millega leitakse nimetaja nullkohad.

Määramispiirkond näitab, milliste muutujaväärtuste korral avaldis on defineeritud. Murdavaldise puhul tuleb välistada kõik väärtused, mis teevad nimetaja nulliks.

Kahe tiimi suuruste suhe

Kahes tiimis oli kummaski $x$ inimest. Esimesse lisandub üks, teisest lahkub kolm. Uued suurused on $x+1$ ja $x-3$, seega esimese tiimi suuruse suhe teise tiimi suurusse on $\frac{x+1}{x-3}$.

Suhe 5 tähendab viis korda nii palju inimesi. Tiimide näites peab $x$ olema täisarv vähemalt 4, et teine tiim ei jääks tühjaks. Avaldist ennast saab arvutada kõigi reaalarvude korral peale $x=3$: olukorra piirang ja avaldise määramispiirkond on eri asjad.

Reeglid

1. Leia keelatud väärtused algse nimetaja järgi.
2. Tegurda lugeja ja nimetaja.
3. Taanda ainult ühiseid tegureid.
4. Liitmisel või lahutamisel vii murdavaldised ühisele nimetajale.

Keelatud väärtused jäävad vastuse juurde ka siis, kui neid põhjustanud tegur hiljem taandub.

Lihtsustatud kuju on algse avaldisega samaväärne ainult algse määramispiirkonna sees.

Kui nimetaja on ruutavaldis, leia keelatud väärtused tegurdamise või ruutvõrrandi abil.

Näide

Taandamisel jagame lugeja ja nimetaja sama nullist erineva teguriga:

$$\frac{6x}{9x}=\frac{2\cdot3\cdot x}{3\cdot3\cdot x}=\frac23,\qquad x\ne0.$$

Siin taandame ühise teguri $3x$. Tingimus $x\ne0$ tuleb algsest nimetajast $9x$.

Avaldis

$$\frac{x^2-9}{x-3}$$

lihtsustub tegurdamise abil:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3,$$

aga ainult tingimusel $x\ne3$.

Määramispiirkond enne taandamist:

$$\frac{x^2-4}{x^2-2x}.$$

Kõigepealt nimetaja:

$$x^2-2x=x(x-2).$$

Seega $x\ne0$ ja $x\ne2$. Nüüd tegurdame kogu avaldise:

$$\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}.$$

Taandame ühise teguri $x-2$:

$$\frac{x+2}{x},$$

aga tingimused jäävad alles:

$$x\ne0,\qquad x\ne2.$$

Kuigi lihtsustatud avaldises $\frac{x+2}{x}$ ei paista enam tegurit $x-2$, ei tohi $x=2$ algses avaldises lubatud olla.

Ühise nimetajaga liitmine:

$$\frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}.$$

Ühine nimetaja on $x(x+1)$, kus $x\ne0$ ja $x\ne-1$.

$$\frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}=\frac{2(x+1)}{x(x+1)}+\frac{3x}{x(x+1)}.$$

$$=\frac{2x+2+3x}{x(x+1)}=\frac{5x+2}{x(x+1)}.$$

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Millise $x$ korral pole $\frac{5}{x+2}$ defineeritud?
2. Lihtsusta $\frac{x^2-4}{x-2}$.
3. Miks ei saa avaldises $\frac{x+2}{x}$ taandada lugejast ainult $x$-liiget ära?
4. Leia keelatud väärtused avaldises $\frac{x+1}{x^2-9}$.

Rakendus

5. Liida $\frac1x+\frac2{x+3}$.
6. Lihtsusta $\frac{x^2-16}{x-4}$ ja kirjuta tingimus.
7. Lihtsusta $\frac{x^2-3x}{x}$ ja kirjuta tingimus.

Mõtlemisülesanne

8. Leia määramispiirkond avaldisele $\frac{x+5}{x^2+x-6}$.
9. Liida $\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}$ ja kirjuta tingimused.
10. Selgita, miks $\frac{(x-2)(x+4)}{x-2}$ ei ole defineeritud väärtusel $x=2$, kuigi pärast taandamist jääb $x+4$.
11. Leia keelatud väärtused avaldises $\frac{x+1}{x^2-5x+6}$.

Vastused

1. Keelatud väärtus on $x=-2$, seega määramispiirkonnas peab $x\ne-2$.
2. $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$, kuid algne nimetaja nõuab $x\ne2$.
3. $x+2$ ei ole korrutis, kus $x$ oleks eraldi tegur.
4. Kuna $x^2-9=(x-3)(x+3)$, siis $x\ne3$ ja $x\ne-3$.
5. $\frac{x+3+2x}{x(x+3)}=\frac{3x+3}{x(x+3)}$, kus $x\ne0,-3$; tingimus tuleb algsetest nimetajatest $x$ ja $x+3$.
6. $\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4$, kuid algne nimetaja nõuab $x\ne4$.
7. $\frac{x(x-3)}{x}=x-3$, kus $x\ne0$; taandada tohib alles pärast selle tingimuse märkimist.
8. $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$, seega $x\ne-3$ ja $x\ne2$.
9. $\frac{x+1+2(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x-1}{(x-1)(x+1)}$, kus $x\ne1,-1$; need on algsete nimetajate nullkohad.
10. Algse avaldise nimetaja oleks siis $x-2=0$. Nulliga jagada ei saa; taandamine ei muuda algse avaldise keelatud väärtust.
11. $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, seega $x\ne2$ ja $x\ne3$.

Seosed

Murdavaldised kasutavad samu ideid nagu arvumurrud, kuid lisavad määramispiirkonna. Järgmine peatükk rakendab neid tingimusi korrutamisel, jagamisel, astendamisel ning mitme tehtega ratsionaalavaldistes.

Kui kirjutame $\frac{x+1}{x-3}=2$, saame murdvõrrandi: nüüd otsime sobivat $x$-i. Murdavaldiste teisendamine kuulub Mapikus 9. klassi; murdvõrrandite lahendamine on 10. klassi teema.

Ratsionaalavaldiste tehted

Mõiste

Algebraliste murdude tehted kasutavad samu põhimõtteid nagu arvumurrud. Erinevus on selles, et enne arvutamist tuleb leida muutujate keelatud väärtused ja avaldised sageli tegurdada.

Eeldus: oskad leida murdavaldise määramispiirkonda, tegurdada ning arvutada harilike murdudega.

Põhireeglid:

$$\frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd},$$

$$\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc,$$

$$\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n},$$

$$\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}.$$

Jagamisel ei tohi jagaja olla null. Kõik tingimused leitakse algavaldise järgi enne taandamist.

Hea tööjärjekord on: tingimused, tegurdamine, tehe, taandamine, kontroll.

Näide

Lihtsustame

$$\frac{x^2-9}{x^2-x-6}:\frac{x+3}{x-3}.$$

Algavaldise tingimused: $x^2-x-6=(x-3)(x+2)\ne0$, seega $x\ne3,-2$. Jagaja $\frac{x+3}{x-3}$ ei tohi olla null, mistõttu ka $x\ne-3$.

Tegurdame ja pöörame jagaja:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}\cdot\frac{x-3}{x+3} =\frac{x-3}{x+2}.$$

Vastus: $\frac{x-3}{x+2}$, kus $x\ne-3,-2,3$. Taandunud tegurid ei kaota algseid tingimusi.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Korruta $\frac{x}{3}\cdot\frac{6}{x+1}$.
2. Jaga $\frac{x}{5}:\frac{2x}{15}$.
3. Astenda $\left(\frac{x}{x-1}\right)^2$.

Rakendus

4. Liida $\frac2x+\frac1{x-2}$ ja kirjuta tingimused.
5. Lahuta $\frac3{x+1}-\frac1{x-1}$.
6. Lihtsusta $\frac{x^2-4}{x^2}\cdot\frac{x}{x+2}$.

Mõtlemisülesanne

7. Lihtsusta $\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}:\frac{x+1}{x-1}$ ja säilita kõik tingimused.
8. Selgita, miks jagamisel võib tekkida keelatud väärtus ka jagaja lugejast.
9. Lihtsusta $\frac1x+\frac1{x+1}-\frac1{x(x+1)}$.

Vastused

Kontroll: iga vastuse tingimused peavad pärinema algavaldise nimetajatest ja jagajast.

1. $\frac{2x}{x+1}$, kus $x\ne-1$.
2. $\frac{x}{5}\cdot\frac{15}{2x}=\frac32$, kus $x\ne0$.
3. $\frac{x^2}{(x-1)^2}$, kus $x\ne1$.
4. $\frac{3x-4}{x(x-2)}$, kus $x\ne0,2$.
5. $\frac{3(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{2x-4}{x^2-1}$, kus $x\ne-1,1$.
6. $\frac{(x-2)(x+2)}{x^2}\cdot\frac{x}{x+2}=\frac{x-2}{x}$, kus $x\ne0,-2$.
7. Tulemuseks on 1, kuid algavaldis nõuab $x\ne-1,1$.
8. Kui jagaja lugeja on null, on jagaja ise null; nulliga jagada ei saa.
9. $\frac{x+1+x-1}{x(x+1)}=\frac{2}{x+1}$, kus $x\ne0,-1$.

Seosed

Ratsionaalavaldiste lihtsustamine ühendab murdude reeglid, tegurdamise ja määramispiirkonna. Sama oskus tuleb tagasi valemite teisendamisel ning ratsionaalvõrrandites.

Murd- ja juurvõrrandid

Mõiste

Murdvõrrandis esineb tundmatu nimetajas. Juurvõrrandis esineb tundmatu juure all. Mõlemas tuleb enne teisendamist kirja panna, millised väärtused on lubatud.

Eeldus: oskad taandada ratsionaalavaldisi, lahendada lineaar- ja ruutvõrrandeid ning kontrollida juuravaldise määramispiirkonda.

Murdvõrrandi tööjärjekord:

1. kirjuta nimetajate nullkohad keelatud väärtustena;
2. korruta võrrand nimetajate vähima ühiskordsega;
3. lahenda saadud võrrand;
4. kontrolli, et lahend ei oleks keelatud.

Juurvõrrandi tööjärjekord:

1. eralda juuravaldis;
2. kirjuta vajalikud märgi- ja määramistingimused;
3. astenda võrrandi mõlemad pooled;
4. lahenda ja kontrolli lahendeid algvõrrandis.

Astendamine ei ole alati samaväärne teisendus: ruutu tõstmisel võivad tekkida võõrlahendid. Seetõttu on algvõrrandi kontroll kohustuslik.

Näide

Lahendame murdvõrrandi

$$\frac{x+1}{x-2}=2.$$

Tingimus on $x\ne2$. Korrutame võrrandi arvuga $x-2$:

$$x+1=2x-4,$$

$$x=5.$$

Kontroll: $5\ne2$ ja $\frac{5+1}{5-2}=2$.

Lahendame juurvõrrandi

$$\sqrt{x+1}=x-1.$$

Parema poole tõttu peab $x\ge1$. Ruutu tõstes saame

$$x+1=(x-1)^2=x^2-2x+1,$$

$$x(x-3)=0.$$

Kandidaadid on $0$ ja $3$, kuid tingimusele ning algvõrrandile vastab ainult $x=3$.

Vastus: murdvõrrandi lahend on $5$ ja juurvõrrandi lahend $3$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $\frac{x}{x-1}=2$.
2. Lahenda $\sqrt{x}=5$.
3. Nimeta võrrandi $\frac2{x+3}=1$ keelatud väärtus.

Rakendus

4. Lahenda $\frac3{x} + 1=4$.
5. Lahenda $\sqrt{x+4}=x-2$.
6. Ristküliku pikkus on $\sqrt{x+9}$ meetrit ja see võrdub 4 meetriga. Leia $x$.

Mõtlemisülesanne

7. Miks ei sobi $x=-1$ võrrandi $\sqrt{x+1}=x+1$ ainsaks kontrollimata vastuseks?
8. Lahenda $\frac{x+2}{x}=3$ ning selgita, miks $x=0$ ei saa olla lahend.
9. Too näide teisendusest, mis võib juurvõrrandisse võõrlahendi tekitada.

Vastused

1. $x=2$; tingimus $x\ne1$ on täidetud.
2. $x=25$, sest peajuur võrdub 5-ga.
3. $x\ne-3$, sest nimetaja ei tohi olla null.
4. $x=1$; tingimus $x\ne0$ ja algvõrrand on täidetud.
5. $x=5$. Ruutu tõstmisel saadakse kandidaadid $0$ ja $5$, kuid algvõrrandisse sobib ainult 5.
6. $x=7$, sest $x+9=16$ ning $7+9\ge0$.
7. Tegelikult sobib $x=-1$ algvõrrandisse, kuid ühe kandidaadi nägemine ei asenda lahenduskäiku; võrrandi ruutu tõstmine annab ka $x=0$, mis samuti sobib. Lahendid on -1 ja 0.
8. $x=1$; $x=0$ muudaks algvõrrandi nimetaja nulliks.
9. Mõlema poole ruutu tõstmine: vastandmärgiga pooled annavad pärast ruutu sama tulemuse.

Seosed

Murd- ja juurvõrrandid ühendavad määramispiirkonna, avaldiste teisendamise ja ruutvõrrandi. Järgmistes võrratustes tuleb lisaks jälgida avaldise märki tervetel vahemikel.

Lineaarvõrrandisüsteemid

Mõiste

Võrrandisüsteemis otsime väärtusi, mis rahuldavad korraga kõiki võrrandeid.

Kahe tundmatuga süsteemi lahend on arvupaar (x;y). See peab sobima mõlemasse võrrandisse.

Eeldus: oskad lahendada lineaarvõrrandeid, teisendada sirge võrrandit ja lugeda koordinaate.

Enne lahendamist kirjuta, mida $x$ ja $y$ tähistavad ning mis ühikus. Alles siis vali võte.

Võtte valik:

Graafiline lahendus aitab mõista. Ebatäpse joonise korral leia täpne vastus algebra abil.

Lõikepunkt sobib mõlemasse võrrandisse.

Näide

Geomeetriline tähendus

Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi graafik on sirge; süsteemi lahendile vastab sirgete lõikepunkt.

Lõikuvatel sirgetel on üks lahend, paralleelsetel sirgetel lahend puudub ja kokkulangevatel sirgetel lahendeid lõpmata palju.

Süsteemi

lõikepunkti saab leida paremaid pooli võrdsustades:

$$x+1=-x+5$$

$$2x=4,$$

$$x=2.$$

Siis $y=2+1=3$; lahend on (2;3).

Sama süsteem liitmisvõttega

Liidame sama süsteemi võrrandite vasakud ja paremad pooled:

$$y+y=(x+1)+(-x+5).$$

$$2y=6,\qquad y=3.$$

Esimesest võrrandist $3=x+1$, seega $x=2$. Teisest $3=-x+5$, samuti $x=2$. Mõlemad võtted annavad lahendi $(2;3)$.

Kui võtet pole ette antud, vali see, millega saad lahendi lihtsamalt. Kui ülesanne nõuab kindlat võtet, kasuta seda. Kontrolli lahendit mõlemas algses võrrandis.

Asendusvõte

Süsteem

Esimene võrrand annab $y$, seega asendame selle teise võrrandisse:

$$x+(2x+1)=10$$

$$3x+1=10$$

$$x=3.$$

Siis

$$y=2\cdot3+1=7.$$

Lahend on (3;7).

Liitmisvõte

Süsteem

sobib liitmisvõtteks pärast ettevalmistust. Korrutame teise võrrandi arvuga 3, et $y$ kordajad oleksid vastandarvud:

Liidame:

$$8x=36,$$

$$x=4,5.$$

Asendame algsesse võrrandisse:

$$2\cdot4,5-y=6,$$

$$9-y=6,$$

$$y=3.$$

Lahend on (4,5;3).

Katseta graafikul

Võrdle kaht sirget graafikuvaatlejas. Jäta $y=x$ mällu ja sea uus valem $y=-x+2$. Loe lõikepunkti koordinaadid ning kontrolli neid mõlemas võrrandis.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda süsteem x+y=8, x-y=2.
2. Joonisel oleva süsteemi lahend on (2;3). Mida tähendab see graafiliselt? Selgita, mida näitavad arvud 2 ja 3.
3. Too näide süsteemist, millel lahend puudub.
4. Lahenda asendusvõttega: $y=x+4$, $x+y=12$.

Rakendus

5. Millal on süsteemil lõpmata palju lahendeid?
6. Lahenda liitmisvõttega: $x+y=9$, $x-y=1$.
7. Lahenda asendusvõttega: $y=3x-2$, $x+y=10$.

Mõtlemisülesanne

8. Kontrolli, kas (2;3) on süsteemi $y=x+1$, $y=-x+5$ lahend.
9. Milline võte sobib hästi süsteemile $2x+y=7$, $y=5-x$? Põhjenda.
10. Too näide süsteemist, millel on lõpmata palju lahendeid.
11. Lahenda süsteem $2x+y=5$, $4x+2y=10$. Mitu lahendit on?
12. Lahenda süsteem $2x+y=5$, $4x+2y=12$. Mitu lahendit on?

Vastused

1. Lahend on (5;3), sest $x=5$ ja $y=3$; kontroll: $5+3=8$ ja $5-3=2$.
2. Sirged $y=x+1$ ja $y=-x+5$ lõikuvad punktis (2;3): lõikepunkti $x$-koordinaat on 2 ja $y$-koordinaat 3. See arvupaar sobib süsteemi mõlemasse võrrandisse.
3. Näiteks $y=x+1$ ja $y=x+3$.
4. $x+(x+4)=12$, seega $x=4$ ja $y=8$; arvupaar (4;8) sobib mõlemasse võrrandisse.
5. Kui mõlemad võrrandid kirjeldavad sama sirget.
6. Lahenduskäik: liida võrrandid $x+y=9$ ja $x-y=1$, siis $2x=10$ ja $x=5$. Asendades saad $5+y=9$, seega $y=4$.
7. Lahenduskäik: asenda $y=3x-2$ teise võrrandisse: $x+3x-2=10$, seega $x=3$. Siis $y=7$; kontroll: $3+7=10$.
8. Jah, sest arvupaar (2;3) annab mõlemas võrrandis tõese võrduse: $3=2+1$ ja $3=-2+5$.
9. Asendusvõte, sest teine võrrand annab kohe $y=5-x$.
10. Näiteks $y=2x+1$ ja $2y=4x+2$, sest need kirjeldavad sama sirget.
11. Teine võrrand on esimese kahekordne, seega kirjeldavad need sama sirget. Lahendeid on lõpmata palju.
12. Vasak pool on esimese võrrandi kahekordne, aga parem pool peaks siis olema $10$, mitte $12$. Lahend puudub.

Seosed

Süsteemid seovad algebra ja geomeetria: sama olukorda saab kirjeldada võrrandite, graafikute või tekstülesandena. Võrratustes võib lahend olla punktide piirkond või arvude vahemik.

Võrrandisüsteemide tekstülesanded

Mõiste

Tekstülesandes ei ole süsteem ette antud: see tuleb olukorrast ise koostada. Kahe tundmatu kasutamine sobib siis, kui otsitakse kaht seotud suurust ja tekst annab nende kohta kaks sõltumatut seost.

Eeldus: oskad lahendada kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi ning kontrollida arvupaari mõlemas võrrandis.

Tööjärjekord:

1. nimeta tundmatud koos ühikutega;
2. koosta kummagi seose kohta võrrand;
3. lahenda süsteem sobiva võttega;
4. kontrolli arvupaari mõlemas võrrandis;
5. kontrolli, kas arvud sobivad olukorda;
6. kirjuta sõnaline vastus.

Kui tekstis on „kokku”, saad sageli summa võrrandi. Hinna, teepikkuse või tehtud töö seos annab teise võrrandi.

Näide

Koolietendusele müüdi 34 piletit. Täiskasvanu pilet maksis 8 eurot ja õpilase pilet 5 eurot. Pileteid müüdi kokku 218 euro eest. Mitu kummagi hinnaga piletit müüdi?

Olgu $x$ täiskasvanupiletite ja $y$ õpilaspiletite arv.

Koguarv ja kogutulu annavad eri seosed:

Esimesest võrrandist $y=34-x$. Asendame teise:

$$8x+5(34-x)=218.$$

Avame sulud ja koondame:

$$8x+170-5x=218.$$

$$3x=48,\qquad x=16.$$

Siis $y=34-16=18$.

Kontroll: $16+18=34$ ja $8\cdot16+5\cdot18=218$.

Vastus: müüdi 16 täiskasvanupiletit ja 18 õpilaspiletit.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kahe arvu summa on 24 ja vahe 6. Tähista arvud ning koosta süsteem.
2. Klassis on kokku 28 õpilast. Tüdrukuid on poistest 4 rohkem. Koosta süsteem.
3. Selgita, miks tuleb tekstülesande lõpus kirjutada ühikuga vastus.

Rakendus

4. Muuseumisse osteti 20 piletit. Täiskasvanupilet maksis 7 eurot ja õpilaspilet 4 eurot, kokku maksti 98 eurot. Leia kummagi liigi piletite arv.
5. Ristküliku ümbermõõt on 30 cm ja pikkus laiusest 3 cm suurem. Leia küljed.
6. Kahe arvu summa on 41. Üks arv on teisest 7 võrra suurem. Leia arvud.

Mõtlemisülesanne

7. Koosta ise piletihindade ülesanne, mille lahend on 12 täiskasvanu- ja 18 õpilaspiletit.
8. Jalgrattur ja jalakäija läbisid kokku 39 km. Jalgrattur läbis jalakäijast kolm korda pikema maa. Koosta süsteem, lahenda ning hinda, kas vastus on mõistlik.
9. Miks ei piisa tekstülesandes alati ainult sellest, et arvupaar rahuldab võrrandeid?

Vastused

1. Näiteks $x+y=24$ ja $x-y=6$; lahend on $x=15$, $y=9$.
2. Kui $t$ on tüdrukute ja $p$ poiste arv, siis $t+p=28$ ning $t-p=4$.
3. Ühik näitab, mida leitud arv olukorras tähendab.
4. Süsteem on $x+y=20$ ja $7x+4y=98$; lahend on 6 täiskasvanu- ning 14 õpilaspiletit.
5. Kui pikkus on $x$ ja laius $y$, siis $x+y=15$ ning $x-y=3$; küljed on 9 cm ja 6 cm.
6. Arvud on 24 ja 17.
7. Näiteks: müüdi 30 piletit hinnaga 8 ja 5 eurot ning saadi 186 eurot.
8. Kui vahemaad on $x$ ja $y$, siis $x+y=39$ ning $x=3y$; jalgrattur läbis 29,25 km ja jalakäija 9,75 km.
9. Lahend peab lisaks sobima olukorra piirangutega, näiteks inimeste arv ei saa olla negatiivne ega murdarvuline.

Seosed

Tekstülesanne on matemaatiline mudel: sõnadest saavad muutujad ja võrrandid, kuid lõpus tuleb tulemus alati algsesse olukorda tagasi tõlgendada.

Võrratused ja vahemikud

Mõiste

Võrratus kirjeldab väärtuste hulka, mitte ainult ühte arvu. Lahendit esitatakse sageli arvteljel või vahemikuna.

Eeldus: oskad lahendada lineaarvõrratusi, lugeda arvtelge ning eristada rangeid ja mitterangeid märke.

Reegel

Negatiivse arvuga korrutades või jagades pöördub võrratuse märk:

Näiteks $-2x<6$. Jagame mõlemad pooled arvuga −2 ja pöörame märgi:

$$\frac{-2x}{-2}>\frac6{-2},\qquad x>-3.$$

Teine võimalus: korrutame mõlemad pooled arvuga −1, saades $2x>-6$. Seejärel jagame positiivse arvuga 2; märk enam ei pöördu ja saame samuti $x>-3$.

Vahemikud

• $[a;b]$ sisaldab otspunkte.
• $(a;b)$ ei sisalda otspunkte.
• $[a;b)$ sisaldab vasakut, aga mitte paremat otspunkti.
• Lõpmatuse märgi juures kasutatakse alati ümarsulgu, näiteks $(-\infty;3]$.

Märkide tähendus:

Vahemike ühisosa $\cap$ tähendab väärtusi, mis sobivad mõlemasse hulka. Mõtle sellest kui sõnast "ja". Vahemike ühend $\cup$ tähendab väärtusi, mis sobivad vähemalt ühte hulka. Mõtle sellest kui sõnast "või".

Näide

$$3x+1\le10$$

$$3x\le9$$

$$x\le3.$$

Vahemikuna:

$$(-\infty;3].$$

Ühisosa:

$$[1;6]\cap[4;9]=[4;6].$$

Ühend:

$$[1;6]\cup[4;9]=[1;9].$$

Kui vahemikud ei puutu kokku, jääb ühend kaheks osaks:

$$[1;3]\cup[5;7].$$

Kui vahemikel pole ühiseid arve, on ühisosa tühi:

$$[1;3]\cap[5;7]=\varnothing.$$

Vastus: võrratuse lahend on $(-\infty;3]$; ühisosa ja ühend on vastavalt [4;6] ja [1;9].

Kui vajad abi

Korda kõigepealt lineaarvõrrandi lahendamise samme ja arvteljel võrdlemist. Vaata näitest, millal märk pöördub ja kuidas otspunkt vahemikus märgitakse. Alusta harjutustest 1 ja 2, siis kontrolli ühisosa ning ühendit ülesannetes 4 ja 5.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $2x-5>7$.
2. Lahenda $-3x\le12$.

Rakendus

3. Kirjuta vahemikuna “kõik arvud 2-st suuremad ja 5-st väiksemad”.
4. Rattalaenutus maksab 5 eurot ja lisaks 3 eurot iga tunni eest. Eelarve on kuni 23 eurot. Koosta aja $t$ kohta võrratus ja leia võimalik ajavahemik, kui $t\ge0$.

Mõtlemisülesanne

5. Leia $[0;8]\cap[3;10]$.
6. Leia $[0;2]\cup[2;5]$.
7. Leia $(1;6)\cap[4;8]$.
8. Lahenda $5-2x<1$ ja kirjuta vastus vahemikuna.
9. Õpilane väidab, et arv 2 kuulub hulka $(-\infty;2]\cap(2;6)$. Kas väide on õige? Leia ühisosa ja põhjenda.

Vastused

1. $2x>12$, seega $x>6$; vahemikuna $(6;\infty)$, sest 6 ise ei kuulu hulka.
2. Jagades negatiivse arvuga -3 pöördub märk: $x\ge-4$; vahemikuna $[-4;\infty)$.
3. $(2;5)$, sest mõlemad märgid on ranged ja otspunktid ei kuulu hulka.
4. $5+3t\le23$, seega $t\le6$. Koos tingimusega $t\ge0$ on võimalik aeg $[0;6]$ tundi.
5. $[3;8]$, sest need arvud kuuluvad mõlemasse vahemikku.
6. $[0;5]$, sest vahemikud puutuvad punktis 2 kokku ja ühend jääb üheks lõiguks.
7. $[4;6)$; 4 kuulub mõlemasse, 6 ei kuulu esimesse vahemikku.
8. $-2x<-4$, jagamisel -2-ga pöördub märk, seega $x>2$; vahemikuna $(2;\infty)$.
9. Väide ei ole õige. Ühisosa on $\varnothing$, sest arv $2$ kuulub esimesse, aga mitte teise vahemikku.

Seosed

Võrratused ja vahemikud on vajalikud funktsioonide määramispiirkonna, graafikute piirkondade ja analüüsi piirangute kirjeldamisel. Järgmised õpiteekonna moodulid kasutavad neid oskusi teemasid kokku sidudes.

Ruut- ja ratsionaalvõrratused

Mõiste

Ruut- või ratsionaalvõrratus küsib, millistes arvtelje osades on avaldis positiivne, negatiivne või null. Üksiku lahendi asemel saadakse tavaliselt vahemik või vahemike ühend.

Eeldus: oskad lahendada ruutvõrrandit, tegurdada lihtsat ruutkolmliiget, määrata ratsionaalavaldise keelatud väärtusi ning kasutada vahemikke.

Märgiskeemi meetod:

1. vii kõik liikmed ühele poole;
2. tegurda lugeja ja nimetaja, kui see on võimalik;
3. leia nullkohad ning nimetaja keelatud väärtused;
4. jaga arvtelg nende kriitiliste punktidega vahemikeks;
5. määra igal vahemikul avaldise märk;
6. vali võrratusele sobivad vahemikud ja kontrolli otspunkte.

Ruutvõrratust saab tõlgendada ka parabooli kaudu: $f(x)\le0$ küsib, kus graafik asub $x$-teljel või sellest allpool.

Näide

Lahendame

$$x^2-x-6\le0.$$

Tegurdamiseks otsime kahte arvu, mille korrutis on −6 ja summa −1. Sobivad −3 ja 2, sest $(-3)\cdot2=-6$ ning $-3+2=-1$. Kontrolliks avame sulud:

$$(x-3)(x+2)=x^2+2x-3x-6.$$

See on $x^2-x-6$, seega võrratus on

$$(x-3)(x+2)\le0.$$

Nullkohad on $-2$ ja $3$. Ülespoole avanev parabool on nullkohtade vahel mittepositiivne, seega

$$x\in[-2;3].$$

Kui tegurid kohe silma ei hakka, leia kõigepealt ruutvõrrandi $x^2-x-6=0$ lahendid üldvalemiga.

Lahendame ratsionaalvõrratuse

$$\frac{x-1}{x+2}>0.$$

Kriitilised punktid on $x=-2$ ja $x=1$. Punkt $-2$ on keelatud, punktis 1 on avaldis null. Avaldis on positiivne vahemikes

$$(-\infty;-2)\cup(1;\infty).$$

Vastus: esimese võrratuse lahend on $[-2;3]$, teise lahend $(-\infty;-2)\cup(1;\infty)$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $x^2-9<0$.
2. Lahenda $x^2-4x\ge0$.
3. Milline väärtus on avaldises $\frac{x+1}{x-5}$ keelatud?

Rakendus

4. Lahenda $\frac{x+1}{x-2}\le0$.
5. Palli kõrgus on $h(t)=-t^2+6t$. Millal on $h(t)\ge5$?
6. Lahenda $(x-2)^2>0$.

Mõtlemisülesanne

7. Miks ei tohi võrratust $\frac{x-1}{x+2}>0$ ilma nimetaja märki uurimata arvuga $x+2$ korrutada?
8. Võrdle võrratuste $x^2-1<0$ ja $x^2-1>0$ lahendeid graafiku abil.
9. Lahenda $\frac{(x-3)(x+1)}{x-2}\ge0$ märgiskeemi abil.

Vastused

1. $(-3;3)$, sest parabool on nullkohtade vahel negatiivne.
2. $(-\infty;0]\cup[4;\infty)$, sest tegurite korrutis on väljaspool nullkohti mittenegatiivne.
3. $x\ne5$.
4. $[-1;2)$; lugeja null $-1$ kuulub lahendisse, nimetaja null 2 ei kuulu.
5. $t\in[1;5]$, sest $-t^2+6t\ge5$ taandub $(t-1)(t-5)\le0$.
6. $(-\infty;2)\cup(2;\infty)$; ruut on positiivne kõikjal peale punkti 2.
7. Nimetaja $x+2$ võib olla positiivne või negatiivne; negatiivsega korrutades peaks märk pöörduma.
8. Esimese lahend on $(-1;1)$, teise $(-\infty;-1)\cup(1;\infty)$; graafik on vastavalt teljest all- või ülalpool.
9. $[-1;2)\cup[3;\infty)$; punkt 2 on keelatud, nullkohad -1 ja 3 kuuluvad lahendisse.

Seosed

Märgiskeem seob algebra funktsiooni graafikuga. Funktsioonide teisenduste peatükis saab sama küsimust vaadelda kui graafiku asukohta telje või teise graafiku suhtes.

Koordinaatteljestik

Mõiste

Punkti asukohta tasandil kirjeldab paar (x; y). Esimene arv näitab liikumist horisontaalselt, teine vertikaalselt.

Selles materjalis eraldab koordinaate semikoolon, sest koma kasutatakse kümnendkohana.

Eeldus: oskad kasutada negatiivseid arve ja lugeda arvteljel paremat, vasakut, üles- ja allasuunda.

Horisontaalne telg on $x$-telg. Vertikaalne telg on $y$-telg. Telgede lõikepunkt on alguspunkt (0;0).

Punkti lugemise järjekord:

1. alusta alguspunktist;
2. liigu $x$ järgi paremale või vasakule;
3. liigu $y$ järgi üles või alla.

Märgid ütlevad suuna:

Koordinaatide märgid veerandites:

Kui üks koordinaat on null, asub punkt teljel:

Näide

Punkt (3; -2) asub 3 ühikut paremal ja 2 ühikut allpool alguspunkti.

Punkt (-4; 2) asub 4 ühikut vasakul ja 2 ühikut üleval. See on II veerandis.

Punkt (0; -5) ei ole üheski veerandis, sest ta asub $y$-teljel.

Punktide lugemisel kontrolli alati järjekorda:

$$P(x;y).$$

Esimene arv on horisontaalne liikumine, teine vertikaalne liikumine.

Funktsiooni graafikul saab sama punktipaar tähendada sisendit ja väljundit: $x$ on sisend, $y$ on sellele vastav väärtus.

Tõlgendus: funktsiooni punkt (x;y) tähendab seost $y=f(x)$: vali sisend $x$, arvuta väljund $y$.

Kui seos on antud tabeli, valemi ja graafikuna, peavad samad sisendid andma samad väljundid.

Katseta graafikul

Liiguta punkte graafikuvaatlejas. Muuda punkti A puhul ainult $x$-koordinaati ja seejärel ainult $y$-koordinaati. Võrdle tabelit punkti asukohaga.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Millises veerandis asub punkt (4;5)?
2. Millises veerandis asub punkt (-4;5)?
3. Kirjelda sõnadega, kuidas jõuda punktini (-3;-2).
4. Mis on punkti (0;6) eriline omadus?

Rakendus

5. Kas punktid (2;-1) ja (-1;2) on samad?
6. Millises veerandis asub punkt (-6;-1)?
7. Millises veerandis asub punkt (7;-3)?

Mõtlemisülesanne

8. Kus asub punkt (8;0)?
9. Kirjelda sõnadega, kuidas jõuda punktini (5;-4).
10. Kirjuta üks punkt igast veerandist.
11. Kui punkt (4;9) on funktsiooni graafikul, siis mis on sisend ja mis on väljund?

Vastused

1. I veerandis, sest mõlemad koordinaadid on positiivsed.
2. II veerandis, sest $x$ on negatiivne ja $y$ positiivne.
3. 3 ühikut vasakule ja 2 ühikut alla; esimene arv juhib horisontaalselt, teine vertikaalselt.
4. See asub $y$-teljel, sest $x=0$.
5. Ei. Punktis (2;-1) on $x=2$ ja $y=-1$; punktis (-1;2) on need vastupidi.
6. III veerandis, sest mõlemad koordinaadid on negatiivsed.
7. IV veerandis, sest $x$ on positiivne ja $y$ negatiivne.
8. $x$-teljel, sest $y=0$.
9. 5 ühikut paremale ja 4 ühikut alla; kontrolli alati järjekorda (x;y).
10. Näiteks (1;1), (-1;1), (-1;-1), (1;-1).
11. Sisend on $x=4$ ja väljund on $y=9$, sest punkt kirjutatakse kujul (x;y).

Seosed

Koordinaatteljestik on funktsioonide, vektorite, analüütilise geomeetria ja andmegraafikute alus. Järgmine funktsiooni mõiste peatükk kasutab punkte sisendi ja väljundi seose näitamiseks.

Funktsioon kui sisendi ja väljundi seos

Mõiste

Funktsioon on reegel, mis annab igale lubatud sisendile täpselt ühe väljundi. Kui sisend on $x$ ja funktsiooni nimi $f$, kirjutame väljundi kujul

$$y=f(x).$$

Eeldus: oskad avaldisse arvu asendada, tabelit lugeda ning punkti $(x;y)$ koordinaattasandile kanda.

Tähed on nimed. Kirjutised $f(x)$, $g(x)$ ja $h(x)$ võivad tähistada eri funktsioone. Ka sisendi nimi võib muutuda: valemis $h(t)=2t+3$ on funktsiooni nimi $h$ ja sisend $t$. Funktsiooni mõte jääb samaks.

Sama funktsiooni saab esitada neljal viisil:

• sõnadega: mida sisendiga tehakse;
• tabelina: valitud sisendite ja väljundite paarid;
• valemina: näiteks $f(x)=2x+1$;
• graafikuna: punktid $(x;f(x))$ koordinaattasandil.

Lubatud sisendite hulka nimetatakse määramispiirkonnaks. Näiteks klassi õpilaste arv ei saa olla negatiivne ega murdarv.

Näide

Jalgratta laenutus maksab 3 eurot alustuseks ja 2 eurot iga täistunni eest. Olgu $t$ tundide arv ja $h(t)$ hind eurodes. Siis

$$h(t)=2t+3.$$

Siin $t=0$ tähendab laenutuse algust: 3 eurot tuleb tasuda ka enne esimese tunni möödumist.

Kui $t=4$, siis

$$h(4)=2\cdot4+3=11.$$

Tabeli paar $(4;11)$ tähendab, et nelja tunni hind on 11 eurot. Graafikul tähistab seda sama punkt $(4;11)$.

Vastus: $h(4)=11$ eurot.

Katseta graafikul

Ava lineaarne seos graafikuvaatlejas. Sea $a=2$, $b=1$. Arvuta $y$ sisendi $x=3$ korral ja kontrolli tulemust rakenduse $x$-väljal.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kui $f(x)=3x-2$, leia $f(4)$.
2. Valemis $p(n)=5n$ nimeta funktsioon ja sisend.
3. Kirjuta valemi $y=x+4$ järgi punkt, mille $x=2$.

Rakendus

4. Koosta valemi $g(x)=2x+1$ väärtuste tabel sisenditele $0$, $1$ ja $3$.
5. Kas paarid $(1;4)$, $(2;5)$ ja $(1;6)$ kirjeldavad ühte funktsiooni? Põhjenda.
6. Kinopilet maksab 7 eurot. Kirjuta $n$ pileti koguhinna funktsioon $H(n)$.

Mõtlemisülesanne

7. Funktsiooni tabelis on paarid $(0;3)$, $(1;5)$, $(2;7)$ ja $(3;9)$. Paku sobiv valem.
8. Too näide funktsioonist, mille eri sisendid annavad sama väljundi.
9. Miks ei sobi inimese pikkuse sisendiks negatiivne arv? Millist funktsiooni võiks pikkus mõjutada?

Vastused

1. $f(4)=3\cdot4-2=10$.
2. Funktsiooni nimi on $p$ ja sisend on $n$.
3. $(2;6)$, sest $2+4=6$.
4. Paarid on $(0;1)$, $(1;3)$ ja $(3;7)$.
5. Ei, sest sisendile 1 on antud kaks eri väljundit.
6. $H(n)=7n$, kus $n$ on piletite arv.
7. Näiteks $y=2x+3$, sest iga sisendi suurenemisel ühe võrra kasvab väljund kahe võrra.
8. Näiteks $f(x)=x^2$: sisendid $-2$ ja 2 annavad mõlemad väljundi 4.
9. Pikkus on mõõdetav kaugus ega saa selles olukorras olla negatiivne; näiteks võib pikkusest sõltuda sobiva rõivasuuruse valik.

Seosed

Järgmine peatükk uurib võrdelist seost, kus väljundi ja sisendi suhe on püsiv ning graafik läbib alguspunkti.

Võrdeline seos

Mõiste

Kaks suurust on võrdelises seoses, kui ühe suuruse mingi arv kordi muutumisel muutub teine sama arv kordi. Võrdelise seose valem on

$$y=kx,$$

kus $k$ on võrdetegur.

Eeldus: oskad arvutada suhet, kasutada funktsiooni valemit ning märkida tabeli punktid koordinaattasandile.

Kui $x\ne0$, saab võrdeteguri leida suhtest

$$k=\frac{y}{x}.$$

Võrdetegur näitab, kui palju väljundit vastab ühele sisendi ühikule. Näiteks hind 2 eurot kilogrammi kohta tähendab $k=2\ \text{€/kg}$.

Võrdelise seose tunnused:

• suhe $\frac yx$ on kõigis tabeli ridades sama;
• kui $x=0$, siis $y=0$;
• graafik on alguspunkti läbiv sirge.

Näide

Õunte hind on 2 eurot kilogrammi kohta. Kui $x$ on õunte mass kilogrammides ja $y$ hind eurodes, siis

$$y=2x.$$

Kolme kilogrammi hind on

$$y=2\cdot3=6\text{ eurot}.$$

Suhe $y:x$ on alati 2. Kui õunu ei osteta, on nii mass kui hind null; seetõttu läbib graafik alguspunkti.

Vastus: 3 kg õunu maksab 6 eurot ja võrdetegur on 2 €/kg.

Katseta graafikul

Uuri võrdelist seost graafikuvaatlejas. Jäta $b=0$ ja muuda ainult $a$ väärtust. Milline punkt jääb alati sirgele?

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kui $y=4x$, leia $y$, kui $x=3$.
2. Leia võrdetegur, kui $x=5$ ja $y=15$.
3. Kas seos $y=7x$ läbib alguspunkti?

Rakendus

4. Tabelis on paarid $(2;6)$, $(4;12)$ ja $(7;21)$. Leia võrdetegur ja valem.
5. Üks vihik maksab 1,50 eurot. Kirjuta $n$ vihiku hinna valem.
6. Jalgrattur liigub ühtlase kiirusega 18 km/h. Kirjuta teepikkus $s$ aja $t$ kaudu.

Mõtlemisülesanne

7. Kas tabeli paarid $(0;2)$, $(1;5)$ ja $(2;8)$ kirjeldavad võrdelist seost? Põhjenda.
8. Võrdelise seose graafik läbib punkti $(4;-6)$. Leia $k$ ja kirjuta valem.
9. Võrdle seoseid $y=3x$ ja $y=3x+5$: mis on sama ning mis erinev?

Vastused

1. $y=4\cdot3=12$.
2. $k=15:5=3$.
3. Jah, sest $x=0$ korral on $y=0$.
4. $k=3$ ja $y=3x$, sest igas reas on $y:x=3$.
5. $H(n)=1{,}5n$, kus võrdetegur 1,5 €/vihik on ühe vihiku hind.
6. $s(t)=18t$, kus võrdetegur 18 km/h on kiirus.
7. Ei, sest nullile ei vasta null ja suhted $y:x$ ei ole püsivad.
8. $k=-6:4=-1{,}5$, seega $y=-1{,}5x$.
9. Mõlemal on sama tõus 3. Esimene läbib alguspunkti ja on võrdeline; teise algväärtus on 5 ning see ei ole võrdeline.

Seosed

Lineaarfunktsioon $y=kx+b$ laiendab võrdelist seost: kui $b=0$, on seos võrdeline; kui $b\ne0$, lisandub püsiv algväärtus.

Lineaarfunktsioon

Mõiste

Lineaarfunktsiooni kuju on $$y=kx+b.$$

Eeldus: oskad võrdelist seost tabeli, valemi ja graafikuna kirjeldada ning lahendada lihtsat võrrandit.

Sama mõtet kirjutatakse ka kujul $f(x)=kx+b$. Täht $f$ on funktsiooni nimi ja $x$ sisend. Kui ülesandes on $h(t)=t+5$, siis nimi on $h$ ja sisend $t$; seose tüüp ei muutu.

Tabel, valem ja graafik kirjeldavad sama seost.

$k$ on tõus ja $b$ on algordinaat. Graafiku lõikepunkt $y$-teljega on $(0;b)$.

• Kui $k>0$, siis sirge tõuseb vasakult paremale.
• Kui $k<0$, siis sirge langeb vasakult paremale.
• Kui $k=0$, siis funktsioon on konstantne: $y=b$.

Kui $x=0$, siis $y=b$. Seetõttu määrab algordinaat $b$ graafiku lõikepunkti $(0;b)$ $y$-teljega.

Tõus näitab, kui palju $y$ muutub, kui $x$ suureneb 1 võrra:

$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}.$$

Tekstülesandes on tõusul ühik: $h(t)=t+5$ korral 1 euro lisatunni kohta.

Kahe punkti $(x_1;y_1)$ ja $(x_2;y_2)$ järgi:

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\qquad x_1\ne x_2.$$

Kui $k$ on teada, leia $b$ ühe punkti asendamisega valemisse.

Näide

Funktsioon

$$y=2x-1$$

läbib punktid $(-1;-3)$; $(0;-1)$; $(1;1)$ ja $(2;3)$.

Kontrolliks asenda graafiku punkt valemisse: pooled peavad võrduma.

Siin $b=-1$, sest graafik lõikab $y$-telge punktis $(0;-1)$. Tõus $k=2$: kui $x$ suureneb 1 võrra, suureneb $y$ 2 võrra.

Sama valemi leiame punktidest $(1;1)$ ja $(2;3)$. Tõus on $k=(3-1)/(2-1)=2$. Punkti $(1;1)$ asendamisel saame $1=2\cdot1+b$, seega $b=-1$. Teine punkt sobib, sest $3=2\cdot2-1$.

Punktide $(1;2)$ ja $(4;8)$ tõus on

$$k=\frac{8-2}{4-1}=\frac63=2.$$

Leiame nende kahe punkti järgi kogu sirge valemi.

Kasutame punktis $(1;2)$ valemit $y=2x+b$:

$$2=2\cdot1+b,$$

$$b=0.$$

Seega sirge valem on

$$y=2x.$$

Sirge läbib punkte $(-2;5)$ ja $(4;-1)$. Tõus on

$$k=\frac{-1-5}{4-(-2)}=\frac{-6}{6}=-1.$$

Seega $y=-x+b$. Kasutame punkti $(4;-1)$:

$$-1=-4+b,$$

$$b=3.$$

Sirge valem on

$$y=-x+3.$$

Vastus: $y=2x$ ja $y=-x+3$.

Katseta graafikul

Võrdle sirgeid graafikuvaatlejas. Rakenduses on tõusu tähis $a$, siin $k$. Jäta $y=x$ mällu, muuda esmalt ainult tõusu ja seejärel ainult algordinaati.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mis on funktsiooni $y=3x+5$ tõus?
2. Mis on funktsiooni $y=3x+5$ algordinaat?
3. Kas funktsioon $y=-2x+1$ tõuseb või langeb?
4. Leia tõus punktide $(0;4)$ ja $(2;10)$ järgi.

Rakendus

5. Millises punktis lõikab $y=4x-7$ graafik $y$-telge?
6. Leia tõus punktide $(2;3)$ ja $(6;11)$ järgi.
7. Leia tõus punktide $(-1;4)$ ja $(3;-4)$ järgi.
8. Kujuteldavas Tartu rattalaenutuses maksab päevapilet 5 eurot ja iga lisatund 1 euro. Kirjuta hinna valem $h(t)$, kui $t$ on lisatundide arv.

Mõtlemisülesanne

9. Sirge tõus on $k=3$ ja ta läbib punkti $(2;7)$. Leia $b$.
10. Leia sirge valem, kui sirge läbib punkte $(0;-2)$ ja $(4;6)$.
11. Leia sirge valem, kui sirge läbib punkte $(1;5)$ ja $(3;9)$.
12. Rong liigub ühtlase kiirusega. Kell 10.00 on ta Tallinnast 40 km kaugusel ja kell 11.00 130 km kaugusel. Kirjuta kauguse valem tundide arvu $t$ järgi pärast kella 10.00.
13. Tabelis on $x$-väärtused 1; 2; 3; 4 ja neile vastavad $y$-väärtused 4; 7; 10; 13. Kas seos on lineaarne? Põhjenda.
14. Valemis $h(t)=2t+5$ kirjeldab $h$ hinda eurodes ja $t$ aega tundides. Mida tähendab tõus 2?

Vastused

1. Tõus on $3$: kui $x$ kasvab 1 võrra, kasvab $y$ 3 võrra.
2. Algordinaat on $5$, sest $x=0$ korral on $y=5$.
3. Langeb, sest tõus $k=-2$ on negatiivne.
4. $k=\frac{10-4}{2-0}=3$.
5. $(0;-7)$, sest $y$-teljel on $x=0$ ja siis $y=-7$.
6. $k=\frac{11-3}{6-2}=2$.
7. $k=\frac{-4-4}{3-(-1)}=-2$.
8. $h(t)=t+5$; $t$ on sisend ja $h(t)$ hind eurodes.
9. $7=3\cdot2+b$, seega $b=1$; kontrolliks annab punkt $(2;7)$ valemis õige väärtuse.
10. Tõus $k=\frac{6-(-2)}{4-0}=2$, algordinaat on $-2$, seega $y=2x-2$.
11. $k=\frac{9-5}{3-1}=2$. Kasutades punkti $(1;5)$: $5=2\cdot1+b$, seega $b=3$ ja $y=2x+3$.
12. Kiirus on $90$ km/h, seega $s(t)=90t+40$.
13. Jah, sest $y$ suureneb iga kord 3 võrra, kui $x$ suureneb 1 võrra.
14. Tõus 2 tähendab, et iga lisatund kasvatab hinda 2 euro võrra; ühik on eurot tunnis.

Seosed

Lineaarfunktsioon on mudel püsiva muutumiskiirusega olukordadele: hind, teepikkus, palk, temperatuurimuutus. Järgmine pöördvõrdeline seos näitab teistsugust sõltuvust, kus korrutis püsib, aga muutumiskiirus ei ole püsiv.

Pöördvõrdeline seos

Mõiste

Pöördvõrdeline seos on kujul

$$y=\frac{k}{x},\qquad x\ne0.$$

Eeldus: oskad kasutada võrdeid ning kirjeldada võrdelist seost tabeli, valemi ja graafikuna.

Siin $k\ne0$ ning korrutis $xy=k$ jääb samaks. Kui $k>0$, kahaneb funktsioon kummalgi harul eraldi; kui $k<0$, kasvab ta kummalgi harul.

Graafik on hüperbool. See läheneb telgedele ehk asümptootidele, aga ei läbi punkti, kus $x=0$.

Kontrollküsimus: kas korrutis jääb samaks? Kui $xy=k$, siis seos on pöördvõrdeline.

Kolme 7. klassi mudeli võrdlus:

Enne valemi valimist otsusta tabeli või olukorra järgi, milline suurus jääb muutumisel samaks.

Näide

Vaja on värvida 12 meetrit tara. Iga inimene värvib tunnis ühe meetri. Eeldame, et kõik töötavad sama kiiresti, saavad korraga eri lõike värvida ega sega üksteist. Tööaeg tundides on siis

$$y=\frac{12}{x},$$

kus $x$ on inimeste arv.

Kui töötegijaid on 3, siis

$$y=\frac{12}{3}=4.$$

Sama mudeli järgi kulub 3 inimesel 4 tundi ja $x\cdot y=12$.

Kui kasutada saab ainult üht pintslit ja korraga töötab üks inimene, ei lühenda inimeste lisamine aega. Valem ei sobi igale tööle.

Sama mõtet saab kasutada ühtlase liikumise korral. Kui vahemaa on 120 km, siis

$$t=\frac{120}{v}.$$

Vastus: $v=60$ km/h annab $t=2$ h ja $v=80$ km/h annab $t=1,5$ h; korrutis $v\cdot t=120$ jääb samaks.

Mudeli piirid

Pöördvõrdeline mudel on lihtsustus ega pruugi päriselus igavesti töötada.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kui $y=\frac{20}{x}$, leia $y$, kui $x=4$.
2. Miks $x=0$ pole lubatud?
3. Too päriseluline pöördvõrdelise seose näide.
4. Kui 6 inimest teevad töö 5 tunniga, mitu tundi kuluks sama mudeli järgi 3 inimesel?

Rakendus

5. Kui vahemaa on 180 km, kirjuta aeg $t$ kiiruse $v$ kaudu.
6. Kui 4 inimest teevad töö 9 tunniga, mitu tundi kuluks sama mudeli järgi 6 inimesel?
7. Sama raha on 24 eurot. Kirjuta ostetav kogus $q$ ühikuhinna $p$ kaudu.

Mõtlemisülesanne

8. Kui $q=\frac{24}{p}$, leia $q$, kui $p=3$.
9. Miks ei sobi töötegijate mudel alati väga suure inimeste arvu korral?
10. Teepikkus on 240 km. Kui kiirus on 80 km/h, leia aeg. Mis ühikus vastus on?
11. Tabelis on paarid (2;12), (3;8), (4;6). Kas seos võib olla pöördvõrdeline? Põhjenda.

Vastused

1. $5$, sest $20:4=5$; kontrolliks $x\cdot y=4\cdot5=20$.
2. Nulliga ei saa jagada; valem $\frac{k}{x}$ pole siis defineeritud ja $x=0$ tuleb välistada.
3. Näiteks kindla vahemaa läbimiseks kuluv aeg ühtlase kiiruse korral: $t=s/v$, kus $s$ on püsiv ja $v>0$.
4. Töö kogus on $6\cdot5=30$ inimtundi, seega $30:3=10$ tundi.
5. $t=\frac{180}{v}$, kus $v\ne0$ ja konstant 180 on teepikkus.
6. Töö kogus on $4\cdot9=36$ inimtundi, seega $36:6=6$ tundi.
7. $q=\frac{24}{p}$, kus $p\ne0$ ja konstant 24 on raha kogus.
8. Kui sisend on $p=3$, siis väljund on $q=\frac{24}{3}$, ehk $q=8$.
9. Inimesed võivad üksteist segada, tööpind võib olla piiratud ja osa töid ei saa korraga teha.
10. $t=\frac{240}{80}=3$ tundi.
11. Jah, sest korrutis on alati 24: $2\cdot12=3\cdot8=4\cdot6=24$.

Seosed

Pöördvõrdeline seos näitab, et mitte iga vähenemine ei ole lineaarne. Järgmine ruutfunktsiooni peatükk lisab veel ühe graafiku kuju: parabooli, kus muutumise kiirus ise muutub.

Ruutfunktsioon

Mõiste

Ruutfunktsiooni üldkuju on

$$y=ax^2+bx+c,\qquad a\ne0.$$

Eeldus: oskad lahendada ruutvõrrandit, lugeda koordinaatteljestikku ja eristada nullkohta $y$-telje lõikepunktist.

Selle graafik on parabool.

Graafikult loetud tähtis punkt peab asendamisel andma sama $y$-koordinaadi.

Olulised seosed

• Nullkohad leitakse ruutvõrrandist $ax^2+bx+c=0$.
• Kui $a>0$, avaneb parabool üles.
• Kui $a<0$, avaneb parabool alla.
• Parabooli haripunkt ehk tipp on sümmeetriateljel asuv parabooli kõige madalam või kõige kõrgem punkt.

Haripunkti $x$-koordinaat üldkujus $y=ax^2+bx+c$ on

$$x_h=-\frac{b}{2a}.$$

Haripunkti $y$-koordinaadi saab leida, asendades $x_h$ funktsiooni avaldisse.

Nullkohad on need $x$ väärtused, mille korral $y=0$. Seetõttu tekibki ruutvõrrand

$$ax^2+bx+c=0.$$

Olulised punktid graafikul:

Kontroll: $x$-teljel pane $y=0$; $y$-teljel pane $x=0$.

Kui nullkohti pole, parabool ei lõika $x$-telge. Kui nullkoht on üks, puutub ta telge haripunktis.

Diskriminant $D=b^2-4ac$: $D>0$ annab kaks nullkohta, $D=0$ ühe kahekordse nullkoha ja $D<0$ mitte ühtegi reaalarvulist nullkohta.

Näide

Funktsiooni $y=x^2-4$ nullkohad:

$$x^2-4=0$$

$$x=\pm2.$$

Haripunkt on punktis (0;-4), sest parabool on sümmeetriline $y$-telje suhtes ja kõige madalam punkt on seal.

Näide üldkujus:

$$y=2x^2-8x+3.$$

Siin $a=2$ ja $b=-8$, seega

$$x_h=-\frac{-8}{2\cdot2}=2.$$

Haripunkti $y$-koordinaat:

$$y_h=2\cdot2^2-8\cdot2+3=8-16+3=-5.$$

Haripunkt on (2;-5).

Leiame funktsiooni

$$y=x^2-6x+8$$

tähtsad punktid.

$y$-telje lõikepunkt:

$$x=0\quad\Rightarrow\quad y=8,$$

seega punkt (0;8).

Nullkohad:

$$x^2-6x+8=0,$$

$$(x-2)(x-4)=0,$$

seega $x=2$ ja $x=4$.

Haripunkti $x$-koordinaat:

$$x_h=-\frac{-6}{2\cdot1}=3.$$

Haripunkti $y$-koordinaat:

$$y_h=3^2-6\cdot3+8=9-18+8=-1.$$

Vastus: $y$-telje lõikepunkt on (0;8), nullkohad on 2 ja 4 ning haripunkt on (3;-1).

Kui vajad abi

Korda enne ruutvõrrandi nullkohtade leidmist ja koordinaatteljestiku lugemist. Vaata näitest, kuidas nullkohad ja haripunkt samal graafikul kokku käivad. Alusta harjutustest 1-4; haripunkti ülesannete juurde mine siis, kui nullkohad ja teljelõige on selged.

Katseta graafikul

Ava parabool graafikuvaatlejas. Sea $a=1$, $b=0$ ja $c=-4$. Võrdle nullkohti valemi $x^2-4=0$ lahenditega.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia funktsiooni $y=x^2-9$ nullkohad.
2. Kas funktsiooni $y=-x^2+4$ parabool avaneb üles või alla?
3. Leia funktsiooni $y=x^2+2x-3$ $y$-telje lõikepunkt.
4. Leia funktsiooni $y=x^2+2x-3$ nullkohad.

Rakendus

5. Leia funktsiooni $y=x^2-6x+8$ haripunkti $x$-koordinaat.
6. Leia funktsiooni $y=x^2-6x+8$ haripunkt.
7. Leia funktsiooni $y=-2x^2+5$ $y$-telje lõikepunkt ja avanemissuund.

Mõtlemisülesanne

8. Leia funktsiooni $y=x^2+4x+4$ nullkoht või nullkohad.
9. Leia funktsiooni $y=2x^2-4x-6$ $y$-telje lõikepunkt.
10. Mis on parabooli sümmeetriatelg, kui haripunkti $x$-koordinaat on 3?
11. Funktsioonidel $y=x^2$ ja $y=2^x$ on mõlemal kasvavad väärtused positiivsetel $x$-idel. Kumb on ruutfunktsioon ja kumb eksponentfunktsioon?

Vastused

1. $x=-3$ ja $x=3$, sest nullkohas $y=0$.
2. Alla, sest $a=-1<0$.
3. (0;-3), sest $y$-teljel on $x=0$.
4. Nullkohad on $x=-3$ ja $x=1$; parabooli lõikepunktid $x$-teljega on $(-3;0)$ ja $(1;0)$.
5. $x_h=3$, seega sümmeetriatelg on $x=3$.
6. Lahenduskäik: $x_h=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot1}=3$. Asendades saad $y_h=3^2-6\cdot3+8=9-18+8=-1$, seega haripunkt on (3;-1).
7. Lõikepunkt on (0;5), avaneb alla, sest $a=-2<0$.
8. Lahenduskäik: $x^2+4x+4=(x+2)^2$. Nullkoht tekib siis, kui $(x+2)^2=0$, seega üks nullkoht $x=-2$.
9. (0;-6).
10. Sirge $x=3$.
11. $y=x^2$ on ruutfunktsioon, $y=2^x$ on eksponentfunktsioon.

Seosed

Vaata parabooli kuue muutuse pildilugu või katseta kordajatega graafikuvaatlejas.

Ruutfunktsioon on seotud pindalade, viskeliikumise, optimeerimise ja paraboolidega. Järgmine peatükk kasutab nullkohti, haripunkti ja sümmeetriat parabooli käsitsi joonestamiseks ning ruutmudeli tõlgendamiseks.

Ruutfunktsiooni graafik ja mudel

Mõiste

Ruutfunktsiooni $y=ax^2+bx+c$ graafiku skitseerimiseks ei piisa ühest punktist. Vaja on avanemissuunda, sümmeetriatelge, haripunkti, nullkohti ja $y$-telje lõikepunkti.

Eeldus: oskad leida ruutfunktsiooni nullkohad ja haripunkti ning kanda punkte teljestikku.

Tööjärjekord:

1. vaata $a$ märki;
2. leia nullkohad;
3. leia $x_h=-\frac{b}{2a}$ ja $y_h=f(x_h)$;
4. märgi punkt (0;c);
5. lisa sümmeetrilised kontrollpunktid ja joonesta sujuv parabool.

Kordaja absoluutväärtuse kasvades muutub parabool kitsamaks. Vabaliige $c$ määrab lõikepunkti $y$-teljega.

Näide

Joonestame funktsiooni $y=-x^2+2x+3$.

Parabool avaneb alla, sest $a=-1$. Nullkohad:

$$-x^2+2x+3=0\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-2x-3=0,$$

seega $x=-1$ ja $x=3$. Sümmeetriatelg on nullkohtade keskel $x=1$. Haripunkti väärtus on $f(1)=4$, seega haripunkt on (1;4). $y$-telje lõikepunkt on (0;3); selle sümmeetriline paariline on (2;3).

Vastus: viie tugipunkti (-1;0), (0;3), (1;4), (2;3), (3;0) kaudu saab joonestada allapoole avaneva parabooli.

Katseta graafikul

Kontrolli oma visandit graafikuvaatlejas. Sisesta näite kordajad $a=-1$, $b=2$, $c=3$ ja võrdle viit tugipunkti. Mudelülesandes arvesta ainult lubatud sisendite vahemikku.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mis suunas avaneb $y=-2x^2+5$?
2. Leia funktsiooni $y=x^2-4x+3$ nullkohad.
3. Leia sama funktsiooni haripunkt.

Rakendus

4. Koosta funktsiooni $y=x^2-4$ jaoks viis sümmeetrilist tugipunkti.
5. Kontrolli arvutusega, kas punkt (4;5) asub graafikul $y=x^2-3x+1$.
6. Visanda $y=-x^2+4x$ ja märgi ajavahemik, kus $y\ge0$.

Mõtlemisülesanne

7. Pall liigub kõrgusmudeli $h(t)=-5t^2+20t+1$ järgi. Millal on pall kõige kõrgemal ja kui kõrgel?
8. Kuidas muutub $y=ax^2$ graafik, kui $a$ muutub arvust 1 arvuks 3?
9. Koosta ruutfunktsioon, mille nullkohad on 2 ja 6 ning $a=1$.

Vastused

1. Alla, sest $a<0$.
2. $x=1$ ja $x=3$.
3. $x_h=2$ ja $f(2)=-1$, seega (2;-1).
4. Näiteks (-2;0), (-1;-3), (0;-4), (1;-3), (2;0).
5. $f(4)=16-12+1=5$, seega punkt asub graafikul.
6. Nullkohad on 0 ja 4; mudel on mittenegatiivne vahemikus $0\le x\le4$.
7. $t_h=2$ s ja $h(2)=21$ m.
8. Parabool jääb ülespoole avatuks, kuid muutub kitsamaks.
9. $y=(x-2)(x-6)=x^2-8x+12$.

Seosed

Graafik seob ruutvõrrandi lahendid, funktsiooni väärtused ja olukorra tõlgenduse. Järgmises ratsionaalavaldiste plokis liigub tähelepanu graafikult avaldise lubatud väärtustele ja teisendustele.

Eksponentfunktsioon ja logaritm

Mõiste

Eksponentfunktsioonis on muutuja astendajas:

$$y=a^x,\qquad a>0,\ a\ne1.$$

Eeldus: oskad kasutada astmeid, protsente ja funktsiooni väärtuse arvutamist.

Logaritm vastab küsimusele: millisesse astmesse tuleb alus võtta?

$$\log_a b=x \quad \Leftrightarrow \quad a^x=b.$$

Logaritmis peab alus olema $a>0,\ a\ne1$ ja argument $b>0$.

Seega logaritm on astendamise pöördtehe:

Funktsioonid $y=a^x$ ja $y=\log_a x$ on pöördfunktsioonid: üks vahetab teise sisendi ja väljundi tagasi.

Püsiva protsendilise kasvuga mudel on kujul

$$A(t)=A_0\cdot q^t,$$

kus $A_0$ on algväärtus, $q$ on kasvutegur ja $t$ on aeg.

Kontroll: lineaarse mudeli korral on järjestikuste väärtuste vahe püsiv; eksponentmudeli korral on järjestikuste väärtuste jagatis ehk kordaja püsiv.

Kui suurus kasvab $p\%$ igal sammul, siis

$$q=1+\frac p{100}.$$

Kui suurus väheneb $p\%$ igal sammul, siis

$$q=1-\frac p{100}.$$

Näide

$$\log_2 8=3,$$

sest

$$2^3=8.$$

Kui 1000 eurot kasvab 5% aastas, siis ühe aasta kasvutegur on $1,05$. Kolme aasta pärast on summa

$$1000\cdot1,05^3\approx1157,63\text{ eurot}.$$

Kui aine kogus väheneb igal tunnil 20%, siis kasvutegur on $0,8$. Kui alguses on 50 grammi, siis 4 tunni pärast on

$$50\cdot0,8^4=20,48\text{ g}.$$

Kui küsitakse, mitme sammuga jõutakse mingi väärtuseni, kasutatakse logaritmi. Näiteks

$$2^x=32$$

annab

$$x=\log_2 32=5.$$

Veel üks näide:

$$10^x=0,001.$$

Kuna $0,001=10^{-3}$, siis

$$x=\log_{10}0,001=-3.$$

Kasvumudelis saab logaritmiga leida aja. Kui summa kahekordistub iga sammuga ja alguses on 100 eurot, siis

$$100\cdot2^t=800.$$

Jagame 100-ga:

$$2^t=8.$$

Seega

$$t=\log_2 8=3.$$

Vastus: 800 euroni jõutakse 3 sammuga.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $\log_2 16$.
2. Kirjuta logaritmina võrdus $5^3=125$.
3. 200 eurot kasvab 10% aastas. Kirjuta summa valem $A(t)$.
4. Leia 200 euro suurune summa 2 aasta pärast 10% aastase kasvuga.

Rakendus

5. Ravimit on 500 mg ja kogus väheneb 30% tunnis. Kirjuta mudel ning leia kogus kahe tunni pärast.
6. Baktereid on 40 ja nende arv kolmekordistub tunnis. Kui palju on neid kolme tunni pärast?
7. Kumb kahaneb kiiremini: $A(t)=100\cdot0{,}8^t$ või $B(t)=100\cdot0{,}9^t$? Põhjenda teguri järgi.

Mõtlemisülesanne

8. Investeeringut kirjeldab $A(t)=200\cdot1{,}15^t$. Mitme täisaasta pärast on summa esimest korda vähemalt 400 eurot? Kasuta logaritmi.
9. Võrdle hetkel $t=5$ mudeleid $P(t)=100\cdot1{,}2^t$ ja $Q(t)=150\cdot1{,}1^t$. Kumb on suurem, kuigi alguses väiksem?
10. 50 ühikut kahekordistub igal sammul. Millal jõuab väärtus esimest korda vähemalt 350-ni? Leia reaalne lahend ja tõlgenda täissammu.
11. Miks ei ole $\log_2(-8)$ reaalarvuna defineeritud?

Vastused

1. $4$, sest $2^4=16$.
2. $\log_5 125=3$; alus on 5 ja vastus on aste.
3. $A(t)=200\cdot1,10^t$, sest 10% kasv annab teguri 1,10.
4. $200\cdot1,10^2=242$ eurot; korrutatakse kasvuteguriga kaks korda.
5. $A(t)=500\cdot0{,}70^t$ ja $A(2)=245$ mg; alles jääb iga tund 70%.
6. $B(t)=40\cdot3^t$, seega $B(3)=1080$ bakterit.
7. $A$, sest tegur 0,8 eemaldab tunnis 20%, tegur 0,9 ainult 10%.
8. $t\ge\frac{\log 2}{\log 1{,}15}\approx4{,}96$; esimene sobiv täisaasta on 5.
9. $P(5)\approx248{,}8$ ja $Q(5)\approx241{,}6$, seega $P$ on möödunud mudelist $Q$.
10. $t\ge\log_2 7\approx2{,}81$; esimene täissamm on 3 ja siis on väärtus 400.
11. Ükski reaalarvuline aste arvust 2 ei anna negatiivset tulemust; logaritmi argument peab olema positiivne.

Seosed

Eksponentfunktsioon kirjeldab kasvu ja kahanemist: intress, populatsioon, radioaktiivne lagunemine, skaala ja helitugevus. Järgmine trigonomeetriliste funktsioonide peatükk käsitleb teist olulist funktsioonipere: perioodilisi seoseid.

Logaritmireeglid, võrrandid ja võrratused

Mõiste

Logaritmireeglid teisendavad korrutise summaks, jagatise vaheks ja astme kordajaks:

Eeldus: oskad vahetada seoseid $a^x=b$ ja $\log_a b=x$ ning kontrollida tingimusi $a>0$, $a\ne1$ ja logaritmi argument $>0$.

Aluse vahetamise valem on

See võimaldab kasutada kalkulaatori $\log$- või $\ln$-klahvi ka teise aluse korral.

Eksponentvõrrandis püütakse esmalt saada mõlemale poole sama alus. Kui see ei õnnestu, võetakse mõlemast poolest logaritm. Logaritmvõrrandis kontrollitakse enne teisendamist kõigi argumentide positiivsust.

Eksponent- ja logaritmvõrratuse suund sõltub alusest:

• kui $a>1$, on $a^x$ ja $\log_a x$ kasvavad;
• kui $0<a<1$, on need kahanevad ning argumentide võrdlemisel pöördub võrratuse märk.

Näide

Lahendame

Tingimused annavad $x>1$. Korrutise reegli järgi

seega

Saame $x^2=9$, mistõttu kandidaadid on $x=3$ ja $x=-3$. Tingimuse $x>1$ täidab ainult $x=3$.

Võrratuses

on alus arvude 0 ja 1 vahel. Funktsioon on kahanev, seega $x<3$.

Logaritmvõrratus

Lahendame $\log_2(x-1)\le3$. Kõigepealt $x-1>0$, seega $x>1$. Alus 2 on suurem kui 1, mistõttu

$$x-1\le2^3=8.$$

Ühendades tingimused, saame $1<x\le9$.

Võrratuses $\log_{1/2}(x+1)\ge-2$ nõuame $x>-1$. Kahaneva funktsiooni tõttu pöördub märk:

$$x+1\le(1/2)^{-2}=4.$$

Vastus on $-1<x\le3$. Alumine otspunkt ei kuulu lahendisse, sest seal on logaritmi argument null.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Avalda ühe logaritmina $\log_3 5+\log_3 9$.
2. Avalda $\log_2 32-\log_2 4$.
3. Arvuta $\log_2 7$ aluse vahetamise valemiga kahe komakoha täpsusega.

Rakendus

4. Kasvumudel on $N(t)=3^{t+1}$. Leia aeg $t$, mil mudeli väärtus on 27.
5. Lahenda $\log_5(x-4)=2$ ja kontrolli tingimust.
6. Lahenda $\log_2 x+\log_2(x-2)=3$.

Mõtlemisülesanne

7. Lahenda $2^x>8$.
8. Lahenda $\left(\frac13\right)^x\le\frac1{27}$ ja põhjenda märgi suunda.
9. Lahenda $\log_2(x-1)+\log_2(x-3)=3$ ning selgita, miks mõlemad algebra kandidaadid ei sobi.
10. Lahenda $\log_3(x-2)<2$ koos määramispiirkonna tingimusega.
11. Lahenda $\log_{1/2}(x-1)\le1$ ja põhjenda märgi muutumist.

Vastused

1. $\log_3 45$, sest logaritmide summa ühendab argumendid korrutiseks.
2. $\log_2 8=3$, sest logaritmide vahe ühendab argumendid jagatiseks.
3. $\log_2 7=\frac{\log 7}{\log2}\approx2{,}81$.
4. $t=2$, sest $27=3^3$ ja seega $t+1=3$.
5. $x=29$; argument $x-4=25$ on positiivne.
6. Tingimus on $x>2$. Võrrand annab $x(x-2)=8$, kandidaadid 4 ja $-2$; vastus on $x=4$.
7. $x>3$, sest alus 2 on suurem kui 1 ja funktsioon kasvab.
8. $x\ge3$, sest funktsioon alusega $\frac13$ on kahanev ning võrratuse suund pöördub.
9. Tingimus on $x>3$. Võrrand annab $(x-1)(x-3)=8$, seega kandidaadid $x=5$ ja $x=-1$; ainult $x=5$ täidab tingimuse.
10. $2<x<11$: argument peab olema positiivne ning $x-2<9$.
11. $x\ge1{,}5$: tingimus on $x>1$ ja kahanev logaritm annab $x-1\ge1/2$.

Seosed

Logaritmireeglid ühendavad eksponentmudeli algebra ja funktsiooni omadustega. Hiljem kasutatakse naturaallogaritmi ning eksponentfunktsiooni tuletisi muutumiskiiruse uurimisel.

Trigonomeetrilised funktsioonid

Mõiste

Funktsioonid $\sin x$, $\cos x$ ja $\tan x$ kirjeldavad perioodilisi seoseid. Need on seotud ringliikumise ja lainetega.

Eeldus: oskad kasutada täisnurkse kolmnurga siinust, koosinust ja tangensit ning lugeda punkti koordinaatteljestikul.

Täisnurkses kolmnurgas oli

$$\sin\alpha=\frac{\text{vastaskaatet}}{\text{hüpotenuus}},\qquad \cos\alpha=\frac{\text{lähiskaatet}}{\text{hüpotenuus}}.$$

Ühikringil on hüpotenuusi asemel raadius pikkusega 1. Seetõttu muutuvad suhted otse koordinaatideks:

$$\cos\alpha=x,\qquad \sin\alpha=y.$$

See ongi sild täisnurkse kolmnurga ja trigonomeetriliste funktsioonide vahel: kolmnurga külgede suhted saavad ühikringil punkti koordinaatideks.

Põhiseosed

$$\sin^2x+\cos^2x=1.$$

Tangens:

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\qquad \cos x\ne0.$$

Sama nurka saab suurendada täisringi võrra ja punkt jõuab ühikringil samasse kohta:

$$\sin(x+360^\circ)=\sin x,\qquad \cos(x+360^\circ)=\cos x.$$

Radiaanides on täisring $2\pi$, seega

$$\sin(x+2\pi)=\sin x,\qquad \cos(x+2\pi)=\cos x.$$

Tangensi periood on lühem:

$$\tan(x+180^\circ)=\tan x,$$

ehk radiaanides $\tan(x+\pi)=\tan x$.

Funktsioonide $\sin x$ ja $\cos x$ väärtused jäävad vahemikku [-1;1]. Nende amplituud on 1 ja periood on $360^\circ$ ehk $2\pi$.

Graafikul tähendab periood seda, et sama lainekuju kordub. Siinusgraafik algab väärtusest 0, koosinusgraafik algab väärtusest 1.

Märgid veerandites

Ühikring aitab näha, millal siinus ja koosinus on positiivsed või negatiivsed.

Telgedel, näiteks nurkade $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$ ja $270^\circ$ korral, on üks koordinaat null. Null ei ole positiivne ega negatiivne.

Väärtused, mida tasub tunda

Näide

Kui $\alpha=30^\circ$, siis

$$\sin30^\circ=\frac12.$$

Ühikringil tähendab see, et vastava punkti $y$-koordinaat on $\frac12$.

Kui $\alpha=150^\circ$, siis nurk on II veerandis. Seal on siinus positiivne ja koosinus negatiivne:

$$\sin150^\circ=\frac12,$$

$$\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Kui $x=45^\circ$, siis

$$\tan45^\circ=\frac{\sin45^\circ}{\cos45^\circ} =\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1.$$

Vastus: $\sin30^\circ=\sin150^\circ=\frac12$, $\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}$ ja $\tan45^\circ=1$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $\cos0^\circ$.
2. Mis on $\sin^2x+\cos^2x$ väärtus?
3. Miks $\tan90^\circ$ pole defineeritud?

Rakendus

4. Mis on ühikringil punkti koordinaadid, kui nurk on $60^\circ$?
5. Mis märgiga on $\sin220^\circ$ ja $\cos220^\circ$?
6. Vaateratta kõrgust kirjeldab $h(x)=12+10\sin x$, kus $x$ on nurk kraadides. Leia $h(30^\circ)$ ja tõlgenda arvu 12.

Mõtlemisülesanne

7. Kui $\cos x=0$, siis miks võib tangensiga probleem tekkida?
8. Leia kõik nurgad vahemikus $0^\circ\le x\le720^\circ$, mille korral $\sin x=0$.
9. Kas $\sin x$ väärtus võib olla 2? Põhjenda.

Vastused

1. $1$, sest ühikringil on nurga $0^\circ$ punkt (1;0).
2. $1$; see on ühikringi seos $\sin^2x+\cos^2x=1$.
3. Sest $\cos90^\circ=0$ ja tangensis jagatakse koosinusega.
4. $\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right)$, sest punkt on $(\cos60^\circ;\sin60^\circ)$.
5. Mõlemad on negatiivsed, sest $220^\circ$ on III veerandis.
6. $h(30^\circ)=12+10\cdot\frac12=17$ m; arv 12 on vaateratta keskpunkti kõrgus.
7. Sest $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$; kui nimetaja on 0, pole jagamine lubatud.
8. $0^\circ,180^\circ,360^\circ,540^\circ,720^\circ$; siinus on null iga poolpöörde järel.
9. Ei. Siinuse väärtused jäävad vahemikku [-1;1], sest ühikringi $y$-koordinaat ei saa sellest väljuda.

Seosed

Trigonomeetrilised funktsioonid kirjeldavad perioodilist muutumist. Edasi seotakse nende graafikud radiaanmõõduga ning ühikringi seostest tuletatakse trigonomeetrilised valemid ja põhivõrrandid.

Funktsioonide teisendused

Mõiste

Funktsiooni graafikut saab nihutada, venitada ja peegeldada. See aitab uute graafikute kuju mõista ilma kõike punktide kaupa arvutamata.

Eeldus: oskad lugeda graafiku punkte, tunned lineaar- ja ruutfunktsiooni ning saad aru koordinaatide muutumisest.

Reeglid

Nihkereeglites eeldame, et $c>0$. Kui $c=0$, nihet ei ole; negatiivse $c$ korral on suund vastupidine.

Enne/pärast võrdlus funktsiooni $f(x)=x^2$ põhjal:

Teisendust kontrollides vali üks tuttav punkt. Kui (1;1) on graafikul $y=x^2$, siis graafikul $y=x^2+3$ vastab sellele (1;4): ülesnihke korral muutub ainult $y$.

Näide

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$g(x)=(x-3)^2+2$$

on parabool, mis on nihutatud 3 ühikut paremale ja 2 üles.

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$q(x)=(x+4)^2-1$$

on 4 ühikut vasakule ja 1 ühik alla nihutatud. Haripunkt liigub

$$(0;0)\to(-4;-1).$$

Kui $f(x)=\sqrt{x}$, siis

$$g(x)=\sqrt{x-2}$$

nihkub 2 ühikut paremale. Vastus: alguspunkt (0;0) liigub punktiks (2;0).

Katseta graafikul

Ava algparabool graafikuvaatlejas ja jäta see mällu. Liiguta haripunkti kaks ühikut paremale. Võrdle uut valemit kujuga $(x-2)^2$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kuhu nihkub $y=x^2+5$?
2. Kuhu nihkub $y=(x+2)^2$?
3. Mida teeb $y=-\sqrt{x}$ võrreldes $y=\sqrt{x}$?
4. Mida teeb $y=3f(x)$ võrreldes $y=f(x)$?

Rakendus

5. Kui $f(x)=x^2$, siis kuidas saad funktsiooni, mis on 4 ühikut paremale nihutatud?
6. Kuhu liigub parabooli $y=x^2$ haripunkt funktsioonis $y=(x-5)^2-2$?
7. Andur näitab tegelikust väärtusest $f(t)$ alati 7 ühikut rohkem. Kirjuta anduri näit $g(t)$ ja kirjelda graafikute erinevust.

Mõtlemisülesanne

8. Kirjelda sammhaaval, kuidas saad graafikust $y=f(x)$ graafiku $y=-f(x+4)$.
9. Selgita, miks $y=f(x)+4$ ja $y=f(x+4)$ ei kirjelda sama nihet.
10. Kui $f(x)=\sqrt{x}$, siis kuidas kirjutada funktsioon, mis on 3 ühikut paremale nihutatud?
11. Kui punkt (2;5) on graafikul $y=f(x)$, siis mis punkt on graafikul $y=f(x)+3$?
12. Kui punkt (2;5) on graafikul $y=f(x)$, siis mis punkt on graafikul $y=f(x-4)$?

Vastused

1. 5 ühikut üles, sest +5 on funktsioonist väljaspool.
2. 2 ühikut vasakule, sest sisendis olev +2 toimib vastassuunas.
3. Peegeldab graafiku $x$-telje suhtes; iga $y$-väärtus vahetab märki.
4. Venitab graafikut vertikaalselt 3 korda; $x$ jääb samaks ja iga $y$-koordinaat korrutatakse 3-ga.
5. $y=(x-4)^2$, sest paremale nihe kirjutatakse sisendis x-4.
6. Haripunkt liigub punktist (0;0) punkti (5;-2).
7. $g(t)=f(t)+7$; anduri graafik on tegeliku väärtuse graafikust 7 ühikut kõrgemal.
8. Nihuta graafik 4 ühikut vasakule ja peegelda seejärel $x$-telje suhtes.
9. $f(x)+4$ nihutab üles, sest liidetav on funktsioonist väljas; $f(x+4)$ nihutab vasakule, sest muutus on sisendi sees.
10. $y=\sqrt{x-3}$; paremale nihe kirjutatakse sisendis x-3.
11. (2;8), sest muutub ainult $y$-väärtus.
12. (6;5), sest graafik nihkub 4 ühikut paremale ja $y$ ei muutu.

Seosed

Funktsioonide teisendused kasutavad sama koordinaatide mõtet nagu geomeetrilised teisendused: nihe, peegeldus ja venitus. Järgmine geomeetria süvenduse plokk seob need ideed Pythagorase teoreemi, sarnasuse ja vektoritega.

Geomeetriline definitsioon ja tõestus

Mõiste

Definitsioon ütleb täpselt, mida mõiste tähendab. Teoreem on matemaatiline väide, mille tõesus tuleb tõestada. Tõestus seob antud tingimused põhjendatud sammude kaudu järeldusega.

Eeldus: oskad eristada näidet, väidet ja vastunäidet ning tunned punkti, sirget, lõiku ja nurka.

Näiteks rööpküliku definitsioon on: rööpkülik on nelinurk, mille mõlemad vastaskülgede paarid on paralleelsed. Väide „rööpküliku vastasküljed on võrdsed” on omadus, mitte definitsioon; see tuleb põhjendada.

Mõnda põhimõistet, näiteks punkti, sirget ja tasandit, kasutatakse teiste mõistete defineerimiseks. Neid nimetatakse algmõisteteks. Aksioom on lähteväide, mida selles teoorias eraldi ei tõestata. Näiteks paralleelide aksioom ütleb:

> Läbi sirgel mitte asuva punkti saab tõmmata täpselt ühe antud sirgega paralleelse sirge.

Teoreemi sõnastus: „kui ..., siis ...”. „Kui”-osa on eeldus ja „siis”-osa väide. Näiteks teoreemis „kui nelinurk on rööpkülik, siis selle vastasküljed on võrdsed” on rööpkülikuks olemine eeldus ja vastaskülgede võrdsus väide.

Ka aritmeetika põhiteoreem on teoreemi näide: iga ühest suurem naturaalarv esitatakse algarvude korrutisena üheselt, kui tegurite järjekorda mitte arvestada.

Geomeetrilise tõestuse tööjärjekord:

1. kirjuta antud andmed;
2. sõnasta tõestada olev väide;
3. märgi joonisele ainult teadaolev;
4. kirjuta iga vaheväite juurde põhjus;
5. lõpeta otsese järeldusega.

Näide

Tõestame, et kahe lõikuva sirge tippnurgad on võrdsed.

Antud: sirged lõikuvad ning tekivad nurgad $\alpha$, $\beta$ ja $\gamma$, kus $\alpha$ ja $\gamma$ on tippnurgad.

Kõrvunurkade summa on $180^\circ$, seega

$$\alpha+\beta=180^\circ$$

ja

$$\beta+\gamma=180^\circ.$$

Järelikult $\alpha+\beta=\beta+\gamma$. Lahutades mõlemalt poolelt $\beta$, saame $\alpha=\gamma$.

Vastus: tippnurgad on võrdsed, sest mõlemad täiendavad sama nurga sirgnurgaks.

Kolmnurga abitulemused

Kolmnurga sisenurkade summa

Tõestame, et kolmnurga sisenurkade summa on $180^\circ$.

Tõmbame läbi kolmnurga tipu $C$ vastasküljega $AB$ paralleelse sirge. Kolmnurga nurkadega $A$ ja $B$ võrdsed põiknurgad paiknevad nüüd tipu $C$ juures. Need kaks nurka ja kolmnurga nurk $C$ moodustavad sirgnurga. Seega

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.$$

Siin kasutati paralleelide aksioomi, põiknurkade võrdsust ja sirgnurga suurust.

Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad

Olgu $AB=AC$ ja $AD$ tipunurga poolitaja, kus $D\in BC$. Kolmnurkades $ABD$ ja $ACD$ on $AB=AC$, $AD$ ühine ning $\angle BAD=\angle CAD$. Külg-nurk-külg tunnuse järgi on kolmnurgad võrdsed. Järelikult $\angle ABC=\angle BCA$.

Külg-nurk-külg tunnus on siin lähteomadus, mitte alusnurkade võrdsuse järeldus.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kas „kolmnurga sisenurkade summa on $180^\circ$” on definitsioon, aksioom või teoreem?
2. Sõnasta trapetsi definitsioon.
3. Sõnasta paralleelide aksioom oma sõnadega.

Rakendus

4. Kirjuta tippnurkade tõestusest välja antu ja eesmärk.
5. Nimeta kolmnurga sisenurkade summa teoreemi eeldus ja väide.
6. Leia viga põhjenduses „nurgad on võrdsed, sest nad paistavad võrdsed”.

Mõtlemisülesanne

7. Milliseid kolme varasemat seost kasutatakse kolmnurga sisenurkade summa tõestuses?
8. Kas vastunäide tõestab väite või lükkab üldväite ümber?
9. Koosta kaheveeruline väite-põhjuse tabel tippnurkade tõestusele.

Vastused

1. Teoreem, sest see on põhjendatav väide kolmnurkade kohta.
2. Trapets on nelinurk, millel on vähemalt üks paar paralleelseid vastaskülgi.
3. Läbi antud sirgel mitte asuva punkti saab tõmmata täpselt ühe selle sirgega paralleelse sirge.
4. Antud: kaks sirget lõikuvad. Eesmärk: näidata, et vastastikku asuvad tippnurgad on võrdsed.
5. Eeldus: kujund on kolmnurk. Väide: selle kolme sisenurga summa on $180^\circ$.
6. Võrdsus pole põhjendatud definitsiooni ega teoreemiga.
7. Paralleelide aksioomi, põiknurkade võrdsust ja sirgnurga suurust $180^\circ$.
8. Vastunäide lükkab üldväite ümber.
9. Näiteks „$\alpha+\beta=180^\circ$ — kõrvunurgad”; „$\beta+\gamma=180^\circ$ — kõrvunurgad”; „$\alpha=\gamma$ — võrdsetest summadest lahutati sama nurk”.

Seosed

Järgmistes peatükkides kasutatakse seda tõestuse vormi paralleelsete sirgete, kolmnurga, ringjoone ja sarnasuse omaduste põhjendamiseks.

Paralleelsed sirged ja nurgad

Mõiste

Paralleelsed sirged on kaks eri sirget, mis asuvad samal tasandil ega lõiku. Lõikaja lõikab neid kahes eri punktis.

Eeldus: tunned kõrvunurki ja tippnurki ning oskad lühikese põhjenduse sammud kirja panna.

Vastavad nurgad asuvad mõlemas lõikepunktis samas asendis. Siin vaatleme sisemisi põiknurki, mis asuvad kahe sirge vahel ja lõikaja eri pooltel. Samapoolsed sisenurgad asuvad sirgete vahel ja lõikaja samal poolel.

Kui $a\parallel b$, siis:

• vastavad nurgad on võrdsed;
• põiknurgad on võrdsed;
• samapoolsed sisenurgad annavad kokku $180^\circ$.

Iga nimetatud nurgaseos on ka paralleelsuse tunnus.

Nurgaseoste põhjendus

Kasutame paralleelide aksioomi Eukleidese kuju: kui kahe samapoolse sisenurga summa on väiksem kui $180^\circ$, lõikuvad sirged sellel pool lõikajat.

Paralleelsete sirgete korral ei saa summa olla väiksem kui $180^\circ$. Kui summa oleks suurem, oleks teise poole sisenurkade summa väiksem kui $180^\circ$, sest kõik neli sisenurka annavad kokku $360^\circ$. Ka siis sirged lõikuksid. Järelikult on summa $180^\circ$.

Joonisel on seega $\beta+\gamma=180^\circ$. Kõrvunurgad annavad $\beta+\delta=180^\circ$, mistõttu $\delta=\gamma$. Tippnurkadest $\alpha=\delta$, seega ka $\alpha=\gamma$.

Pöördväite jaoks tõmba läbi teise lõikepunkti esimese sirge paralleel. Selle nurgad rahuldavad äsja põhjendatud seoseid. Fikseeritud alguskiirest antud nurga all valitud pooltasandisse saab samast tipust tõmmata ainult ühe kiire. Seetõttu langeb teine sirge selle paralleeliga kokku.

Näide

Sirged $a$ ja $b$ on paralleelsed. Lõikaja tekitab sirgel $a$ nurga $64^\circ$.

Sellele vastav nurk sirgel $b$ on samuti $64^\circ$. Tema kõrvunurk on

$$180^\circ-64^\circ=116^\circ.$$

Sama tulemuse annab samapoolsete sisenurkade summa.

Vastus: vastav nurk on $64^\circ$ ja selle kõrval olev nurk $116^\circ$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lõikaja lõikab kahte paralleelset sirget. Üks vastav nurk on $52^\circ$. Kui suur on teine?
2. Lõikaja lõikab kahte paralleelset sirget. Üks samapoolne sisenurk on $71^\circ$. Leia teine.
3. Kas põiknurgad on paralleelsete sirgete korral võrdsed?

Rakendus

4. Leia $138^\circ$ nurga kõrval olev kõrvunurk.
5. Lõikaja tekitab võrdse paari vastavaid nurki. Mida saab sirgete kohta järeldada?
6. Kaks paralleelset sirget lõikuvad lõikajaga. Üks põiknurk on $83^\circ$. Leia temaga paari moodustav põiknurk ja põhjenda.

Mõtlemisülesanne

7. Paralleelsete sirgete üks nurk on $x$ ja selle samapoolne sisenurk $3x$. Leia mõlemad.
8. Miks ei piisa paralleelsuse tõestamiseks sellest, et sirged joonisel ei paista lõikuvat?
9. Lõikaja lõikab kahte paralleelset sirget. Ühes lõikepunktis on nurk $47^\circ$. Leia teise lõikepunkti nürinurgad ja põhjenda.

Vastused

1. $52^\circ$, sest paralleelsete sirgete vastavad nurgad on võrdsed.
2. $109^\circ$, sest paralleelsete sirgete samapoolsed sisenurgad annavad kokku $180^\circ$.
3. Jah, põiknurgad on paralleelsete sirgete korral võrdsed.
4. $42^\circ$, sest kõrvunurkade summa on $180^\circ$.
5. Sirged on paralleelsed vastavate nurkade tunnuse järgi.
6. $83^\circ$, sest paralleelseid sirgeid lõikava sirge tekitatud põiknurgad on võrdsed.
7. $x+3x=180^\circ$, seega nurgad on $45^\circ$ ja $135^\circ$.
8. Sirged võivad lõikuda väljaspool joonise nähtavat osa; vaja on nurgaseost või muud põhjendust.
9. Vastav teravnurk on $47^\circ$ ja selle kõrvunurk $180^\circ-47^\circ=133^\circ$. Mõlemad nürinurgad on $133^\circ$, sest need on tippnurgad.

Seosed

Paralleelsete sirgete nurgaseosed annavad kolmnurga kesklõigu, trapetsi ja sarnaste kolmnurkade põhjendustele vajaliku keele.

Kolmnurga kesklõik, mediaan ja trapets

Mõiste

Kolmnurga kesklõik ühendab kahe külje keskpunkte. See on kolmanda küljega paralleelne ja sellest kaks korda lühem.

Eeldus: tunned kujundite osi ja paralleelsete sirgete nurgaseoseid.

Kui kolmnurgas $ABC$ on $M$ külje $AB$ ja $N$ külje $AC$ keskpunkt, siis

$$MN\parallel BC,\qquad MN=\frac{BC}{2}.$$

Kolmnurga mediaan ühendab tipu vastaskülje keskpunktiga. Kolm mediaani lõikuvad raskuskeskmes, mis jagab iga mediaani suhtes $2:1$: tipupoolne osa on pikem.

Trapetsi paralleelseid külgi nimetatakse alusteks. Trapetsi kesklõik ühendab haarade keskpunkte, on alustega paralleelne ja selle pikkus on aluste aritmeetiline keskmine:

$$m=\frac{a+b}{2}.$$

Trapetsi kõrgus $h$ on aluste vaheline ristkaugus. Trapetsi pindala on

$$S=\frac{(a+b)h}{2}=mh.$$

Sama haara lähisnurkade summa on $180^\circ$, sest alused on paralleelsed. Erineva pikkusega aluste ja võrdsete haaradega trapetsil on kummagi aluse lähisnurgad võrdsed: kõrguste tõmbamisel tekivad võrdsed täisnurksed kolmnurgad.

Kesklõikude põhjendused

Kolmnurk. Pikenda $MN$ üle $N$ punktini $D$, nii et $ND=MN$. Kolmnurgad $AMN$ ja $CDN$ on võrdsed külg-nurk-külg tunnuse järgi: $AN=NC$, $MN=ND$ ja nurgad $N$ juures on tippnurgad. Seega $CD=AM=MB$ ja $CD\parallel MB$. Nelinurk $MBCD$ on rööpkülik: üks vastaskülgede paar on võrdne ja paralleelne. Seetõttu $MD=BC$ ja $MD\parallel BC$. Kuna $MD=2MN$, saame $MN=BC/2$.

Lähteomadused: kolmnurkade võrdsuse ja rööpküliku tunnused; sarnasust ei eeldata.

Trapets. Olgu alused $AB\parallel CD$ ning $E,F$ haarade $AD,BC$ keskpunktid. Diagonaali $AC$ keskpunkt $K$ annab kolmnurkade kesklõigud $EK=CD/2$ ja $KF=AB/2$. Mõlemad on alustega paralleelsed ja moodustavad koos lõigu $EF$. Järelikult $EF=(AB+CD)/2$.

Sama diagonaal jagab trapetsi kaheks kolmnurgaks kõrgusega $h$. Nende pindalade summa on $ah/2+bh/2=(a+b)h/2=mh$.

Raskuskeskme põhjendus

See lisapõhjendus kasutab hilisemas peatükis õpitavat kolmnurkade sarnasust.

Olgu $M,N$ vastavalt külgede $AB,AC$ keskpunktid ja $G$ mediaanide $CM,BN$ lõikepunkt. Kesklõik $MN\parallel BC$ ja $MN=BC/2$. Kolmnurgad $GBC$ ja $GNM$ on sarnased vastavate nurkade võrdsuse tõttu. Seega $GB/GN=GC/GM=BC/NM=2$. Kolmas mediaan lõikab sama põhjenduse järgi $CM$ suhtes $2:1$, seega läbib samuti punkti $G$.

Näide

Kui $BC=14$ cm, on kolmnurga kesklõik $MN=14/2=7$ cm.

Trapetsi alused on 8 cm ja 16 cm ning kõrgus 5 cm. Leiame kesklõigu ja pindala:

$$m=\frac{8+16}{2}=12\text{ cm},\qquad S=mh=12\cdot5=60\text{ cm}^2.$$

12 cm pikkusel mediaanil on tipupoolne osa $12\cdot2/3=8$ cm ja küljepoolne $12\cdot1/3=4$ cm. Kontroll: $8+4=12$ ja $8:4=2:1$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kolmnurga külg $BC=18$ cm. Leia sellega paralleelne kesklõik.
2. Trapetsi alused on 6 cm ja 10 cm. Leia kesklõik.
3. Milliste trapetsi külgedega on kesklõik paralleelne?
4. Milliseid punkte ühendab kolmnurga mediaan?

Rakendus

5. Kolmnurga kesklõik on 9 cm. Leia paralleelse kolmanda külje pikkus.
6. Trapetsi kesklõik on 13 cm ja üks alus 8 cm. Leia teine alus.
7. Trapetsi alused on 9 cm ja 15 cm ning kõrgus 6 cm. Leia pindala.
8. Mediaan on 15 cm. Leia raskuskeskme tekitatud kahe osa pikkused.

Mõtlemisülesanne

9. Trapetsi alused on $x$ cm ja $(x+6)$ cm, kesklõik 12 cm. Leia alused.
10. Miks on kolmnurga kesklõigu paralleelsus oluline nurgaseoste jaoks?
11. Trapetsi üks alus suureneb 4 cm ja teine ei muutu. Kui palju muutub kesklõik?
12. Trapetsi alused on eri pikkusega ja haarad võrdsed. Üks alumine alusnurk on $68^\circ$. Leia ülejäänud kolm nurka.

Vastused

1. 9 cm, sest kesklõik on kolmanda külje pool.
2. 8 cm, sest $(6+10):2=8$.
3. Mõlema alusega.
4. Kolmnurga tippu ja vastaskülje keskpunkti.
5. 18 cm, sest kolmas külg on kesklõigust kaks korda pikem.
6. $26-8=18$ cm, sest aluste summa on $2m=26$ cm.
7. $S=(9+15)\cdot6:2=72$ cm².
8. Tipupoolne osa on 10 cm ja küljepoolne osa 5 cm.
9. $(x+x+6):2=12$, seega $x=9$; alused on 9 cm ja 15 cm.
10. Paralleelsus tekitab võrdsed vastavad ja põiknurgad, mida saab põhjendustes kasutada.
11. 2 cm, sest kesklõigus jagatakse aluste summa kahega.
12. Alumised alusnurgad on mõlemad $68^\circ$ ja ülemised mõlemad $112^\circ$.

Seosed

Kesklõik seob paralleelsuse ja sarnasuse. Raskuskese on ühtlase kolmnurkse plaadi tasakaalupunkt.

Ringjoone nurgad ja korrapärane hulknurk

Mõiste

Kesknurga tipp on ringi keskpunktis. Piirdenurga tipp on ringjoonel. Kui mõlemad toetuvad samale kaarele, on kesknurk piirdenurgast kaks korda suurem:

$$\alpha_{\text{kesk}}=2\alpha_{\text{piire}}.$$

Eeldus: tunned ringjoone osi, kolmnurga nurkade summat ja põhjenduse põhietappe.

Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Diameetrile toetuv piirdenurk on $90^\circ$.

Kõõl ühendab ringjoone kaht punkti ja kaar on nende punktide vaheline ringjoone osa. Lõikaja läbib ringjoont kahes punktis. Puutuja puudutab ringjoont ühes punktis ning on selles punktis raadiusega risti. Ühest ringjoonevälisest punktist tõmmatud kahe puutujalõigu pikkused on võrdsed.

Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad ümberringjoone keskpunktis. Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad siseringjoone keskpunktis. Esimene punkt on kõigist tippudest, teine kõigist külgedest võrdsel kaugusel.

Korrapärasel hulknurgal on kõik küljed ja kõik nurgad võrdsed. Kui hulknurgal on $n$ külge, on keskpunkti ümber tekkiv kesknurk

$$\frac{360^\circ}{n}.$$

Ühe sisenurga suurus on

$$\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}.$$

Korrapärase hulknurga apoteem on keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik. Kui ümbermõõt on $P$ ja apoteem $r$, saab hulknurga jagada võrdseteks kolmnurkadeks ning

$$S=\frac{Pr}{2}.$$

Näide

Piirdenurk toetub samale kaarele kui kesknurk $124^\circ$. Piirdenurk on

$$124^\circ:2=62^\circ.$$

Korrapärase kuusnurga kesknurk on

$$360^\circ:6=60^\circ,$$

ja üks sisenurk

$$\frac{(6-2)\cdot180^\circ}{6}=120^\circ.$$

Ringjoone puutepunkti tõmmatud raadiuse ja puutuja vaheline nurk on alati $90^\circ$.

Korrapärase ruudu külg on 8 cm ja apoteem 4 cm. Selle ümbermõõt on 32 cm ning pindala

$$S=\frac{32\cdot4}{2}=64\text{ cm}^2.$$

Vastus: piirdenurk on $62^\circ$; korrapärase kuusnurga kesk- ja sisenurk on vastavalt $60^\circ$ ning $120^\circ$; ruudu pindala on 64 cm².

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kesknurk on $90^\circ$. Leia sama kaare piirdenurk.
2. Piirdenurk on $38^\circ$. Leia sama kaare kesknurk.
3. Leia korrapärase kaheksanurga kesknurk.
4. Kui suur on puutuja ja puutepunkti tõmmatud raadiuse vaheline nurk?

Rakendus

5. Kaks piirdenurka toetuvad samale kaarele. Üks on $52^\circ$. Leia teine.
6. Leia korrapärase viisnurga ühe sisenurga suurus.
7. Miks on diameetrile toetuv piirdenurk täisnurk?
8. Milliste sirgete lõikepunkt annab kolmnurga ümberringjoone keskpunkti?
9. Korrapärase hulknurga ümbermõõt on 40 cm ja apoteem 5 cm. Leia pindala.

Mõtlemisülesanne

10. Korrapärase hulknurga kesknurk on $30^\circ$. Mitu külge hulknurgal on?
11. Korrapärase hulknurga üks sisenurk on $135^\circ$. Mitu külge sellel on?
12. Punktist $P$ on ringjoonele tõmmatud puutujad puutepunktidega $A$ ja $B$. Kui $PA=7$ cm, leia $PB$.
13. Selgita, miks korrapärase hulknurga kesknurkade summa on $360^\circ$.

Vastused

1. $45^\circ$, sest piirdenurk on sama kaare kesknurgast poole väiksem.
2. $76^\circ$, sest kesknurk on kaks korda suurem.
3. $45^\circ$, sest $360^\circ:8=45^\circ$.
4. $90^\circ$.
5. $52^\circ$, sest samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed.
6. $108^\circ$, sest $(5-2)\cdot180^\circ:5=108^\circ$.
7. Diameetrile vastav kesknurk on $180^\circ$, seega piirdenurk on $90^\circ$.
8. Kolmnurga külgede keskristsirgete lõikepunkt.
9. $S=40\cdot5:2=100$ cm². Sellised mõõtmed on ruudul küljega 10 cm.
10. 12 külge, sest $360^\circ:30^\circ=12$.
11. 8 külge, sest $180^\circ-360^\circ:n=135^\circ$, millest $n=8$.
12. $PB=7$ cm, sest ühest punktist tõmmatud puutujalõigud on võrdsed.
13. Need paiknevad ühise keskpunkti ümber ja moodustavad täispöörde.

Seosed

Ringjoone nurgad, puutuja ning sise- ja ümberringjoon valmistavad ette Thalese teoreemi põhjalikku tõestust. Apoteem seob korrapärase hulknurga ringjoone, kolmnurkade ja pindalaga.

Sarnasus ja kaudne mõõtmine

Mõiste

Sarnased kujundid saadakse üksteisest kõigi pikkuste korrutamisel sama positiivse arvuga ning vajaduse korral nihutamisel, pööramisel või peegeldamisel. Sarnastel hulknurkadel on vastavad nurgad võrdsed ja vastavate külgede pikkused võrdelised.

Eeldus: oskad koostada võrret, tunned paralleelsete sirgete nurgaseoseid ning loed kolmnurkade tippude järjekorda.

Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, siis vastavad tipud samas järjekorras:

$$A\leftrightarrow D,\quad B\leftrightarrow E,\quad C\leftrightarrow F.$$

Sarnasustegur esimeselt kolmnurgalt teisele on $k=DE/AB=EF/BC=DF/AC>0$. Vastupidises suunas on tegur $1/k$. Kui $k<1$, kujund väheneb; kui $k=1$, on kujundid võrdsed.

Kolmnurkade sarnasuse põhitunnused:

• kaks vastavat nurka on võrdsed;
• kolm vastavate külgede suhet on võrdsed;
• kahe vastava külje suhted ja nendevahelised nurgad on võrdsed.

Kui pikkused muutuvad $k$ korda, muutuvad ümbermõõdud $k$ ja pindalad $k^2$ korda.

Sarnasuse põhjendused

Ühtlane suurendamine või vähendamine säilitab nurgad ja korrutab kõik pikkused sama positiivse teguriga. Vali tegur nii, et üks vastavate külgede paar muutuks võrdseks. Kahe võrdse nurga korral on võrdsed ka kolmandad nurgad: nüüd rakendub kolmnurkade võrdsuse nurk-külg-nurk tunnus. Kolme küljesuhte või kahe küljesuhte ja nendevahelise nurga korral rakendub vastavalt külg-külg-külg või külg-nurk-külg tunnus. Seega on saadud kolmnurk teisega võrdne ning algsed kolmnurgad sarnased.

Ümbermõõt on külgede summa, seega $P'=kP$. Kolmnurga alus ja kõrgus muutuvad mõlemad $k$ korda:

$$S'=\frac{(ka)(kh)}2=k^2\frac{ah}2=k^2S.$$

Hulknurga saab jagada kolmnurkadeks; nende pindalade liitmisel säilib sama tegur $k^2$.

Näide

Püstise 1,5 m pikkuse lati vari on 2 m ja püstise puu vari 8 m. Mõõdame samal ajal horisontaalsel maal ning käsitleme päikesekiiri paralleelsetena. Kolmnurkadel on täisnurk ja võrdne päikesekiire kaldenurk, seega on need kahe nurga järgi sarnased:

$$\frac{h}{8}=\frac{1{,}5}{2}.$$

Siit

$$h=8\cdot\frac{1{,}5}{2}=6\text{ m}.$$

Vastus: mudeli järgi on puu kõrgus 6 m. Kaldus puu või maapinna korral ei saa sama võrret ilma lisapõhjenduseta kasutada.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Vastavad küljed on 4 cm ja 10 cm. Leia sarnasustegur väiksemalt suuremale.
2. Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, millisele küljele vastab $BC$?
3. Kui pikkused suurenevad 3 korda, mitu korda suureneb pindala?

Rakendus

4. Sarnasustegur on 2,5 ja väiksema kujundi külg 6 cm. Leia vastav suurem külg.
5. Püstise posti vari on 6 m ja püstise 1 m pikkuse lati vari 1,5 m. Varjud mõõdetakse samal ajal horisontaalsel maal. Leia posti kõrgus paralleelsete päikesekiirte mudelis.
6. Plaani mõõtkava on $1:500$. Kui pikk on plaanil 3 cm lõik tegelikkuses?

Mõtlemisülesanne

7. Väiksema kujundi pindala on 12 cm² ja sarnasustegur 2. Leia suurema pindala.
8. Punkt $A$ on vastaskaldal, punktid $B,C,D$ selles järjekorras sirgel kaldal ning $AB$ on kaldaga risti. Olgu $BC=6$ m ja $CD=3$ m. Märgi maismaale punkt $E$ nii, et $DE$ on kaldaga risti ja $A,C,E$ ühel sirgel. Kui $DE=4$ m, leia jõe laius $AB$. Joonesta skeem ja põhjenda sarnasust.
9. Miks tuleb varjumeetodil mõõta lati ja objekti vari samal ajal?

Vastused

1. $k=10:4=2{,}5$.
2. Küljele $EF$, sest tipud vastavad samas järjekorras.
3. 9 korda, sest pindala tegur on $3^2$.
4. $6\cdot2{,}5=15$ cm.
5. $h:6=1:1{,}5$, seega $h=4$ m.
6. $3\cdot500=1500$ cm ehk 15 m.
7. $12\cdot2^2=48$ cm².
8. Kolmnurgad $ABC$ ja $EDC$ on sarnased: nurgad $B,D$ on täisnurgad ning nurgad $ACB,ECD$ tippnurgad. Vastavus on $A\leftrightarrow E$, $B\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow C$. Seega $AB/DE=BC/DC=6/3=2$ ja $AB=8$ m.
9. Päikese kõrgus ja seega kiirte nurk muutub ajas; eri ajal mõõdetud kolmnurgad ei pruugi olla sama mudeli järgi sarnased.

Seosed

Sarnasus on mõõtkava, maa-ala plaanistamise, Pythagorase teoreemi rakenduste ja trigonomeetria oluline eeldus.

Pythagoras ja sarnasus

Mõiste

Täisnurkses kolmnurgas kehtib Pythagorase teoreem:

$$a^2+b^2=c^2.$$

Siin $c$ tähistab hüpotenuusi ehk täisnurga vastaskülge.

Eeldus: tunned täisnurkset kolmnurka ja sarnasust ning oskad arvutada ruutjuurt.

Sarnastel kujunditel on vastavad nurgad võrdsed ja vastavad küljed võrdelised.

Sarnasustegur $k$ näitab, mitu korda on ühe kujundi vastavad pikkused teise omadest suuremad:

$$k=\frac{\text{uue kujundi külg}}{\text{algse kujundi vastav külg}}.$$

Kui pikkused muutuvad $k$ korda, siis pindalad muutuvad $k^2$ korda.

Vastavate külgede leidmiseks:

1. leia võrdsed nurgad;
2. vaata, millised küljed on nende nurkade vastas;
3. pane samas rollis küljed ühte suhtesse;
4. kontrolli, et kõik suhted annaksid sama sarnasusteguri.

Kui kolmnurgad on kirjutatud kujul $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, siis vastavus käib samas järjekorras:

Näide

Kui kaatetid on 6 ja 8, siis

$$c^2=6^2+8^2=100,$$

seega $c=10$.

Sarnasuse näide: kaks kolmnurka on sarnased. Väiksema kolmnurga külg on 4 cm ja vastav suurema kolmnurga külg 10 cm. Siis sarnasustegur väiksemalt suuremale on

$$k=\frac{10}{4}=2,5.$$

Kui väiksema kolmnurga pindala on $12\text{ cm}^2$, siis suurema kolmnurga pindala on

$$12\cdot2,5^2=12\cdot6,25=75\text{ cm}^2.$$

Vastavate külgede näide: olgu

$$\triangle ABC\sim\triangle DEF,$$

kus $AB=6$, $BC=8$, $AC=10$ ning $DE=9$. Kuna $AB$ vastab küljele $DE$, on sarnasustegur

$$k=\frac{DE}{AB}=\frac{9}{6}=1,5.$$

Siis

$$EF=BC\cdot1,5=8\cdot1,5=12,$$

ja

$$DF=AC\cdot1,5=10\cdot1,5=15.$$

Vastus: suurem kolmnurk on külgedega 9, 12 ja 15; juhuslikult $BC$ ja $DE$ võrreldes saaks vale teguri.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 5 ja 12. Leia hüpotenuus.
2. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on 13 ja üks kaatet 5. Leia teine kaatet.
3. Kaks kujundit on sarnased. Vastavad küljed on 6 cm ja 15 cm. Leia sarnasustegur väiksemalt suuremale.
4. Kui sarnasustegur on 3, mitu korda muutub pindala?

Rakendus

5. Väikese kujundi pindala on 20 cm² ja sarnasustegur suuremale on 2. Leia suurema kujundi pindala.
6. Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, millisele küljele vastab külg $BC$?
7. Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, $AB=4$, $DE=10$ ja $BC=7$, leia $EF$.
8. Koolimaja ees oleva lipumasti vari on 9 m ja samal ajal 1,5 m pikkuse õpilase vari on 1 m. Kui kõrge on lipumast?

Mõtlemisülesanne

9. Kui sarnasustegur väiksemalt suuremale on 2,5 ja väiksema ümbermõõt on 18 cm, leia suurema ümbermõõt.
10. Kui sarnasustegur väiksemalt suuremale on 4, mitu korda on suurema kujundi pindala suurem?
11. Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuus 10 ja üks kaatet 8. Leia teine kaatet.
12. Päästeameti redel ulatub 8 m kõrgusele, kui redeli alumine ots on seinast 6 m kaugusel. Kui pikk peab redel vähemalt olema?

Vastused

1. $13$, sest täisnurkses kolmnurgas $5^2+12^2=13^2$.
2. $12$, sest teine kaatet rahuldab $13^2-5^2=144$.
3. $k=\frac{15}{6}=2,5$.
4. $3^2=9$ korda.
5. $20\cdot2^2=80\text{ cm}^2$.
6. Küljele $EF$, sest vastavus käib järjekorras $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$.
7. $k=\frac{10}{4}=2,5$, seega $EF=7\cdot2,5=17,5$.
8. Lipumast on $9\cdot1,5=13,5$ m kõrge; kasutatakse sarnaste kolmnurkade võrdelisi külgi.
9. $18\cdot2,5=45\text{ cm}$.
10. $4^2=16$ korda.
11. $b^2=10^2-8^2=100-64=36$, seega $b=6$.
12. $\sqrt{8^2+6^2}=10$ m.

Seosed

Pythagoras ja sarnasus on trigonomeetria, mõõtkava ning analüütilise geomeetria alus. Järgmine peatükk põhjendab Pythagorase teoreemi pindalade abil ja rakendab seda korrapäraste hulknurkade joonelementide leidmisel.

Pythagorase tõestus ja korrapärane hulknurk

Mõiste

Pythagorase teoreem ei ole ainult arvutusreegel. Seda saab tõestada pindalade võrdlemisega.

Eeldus: tunned ruutu ja täisnurkset kolmnurka, kolmnurga pindala ning nurkade summat. Tõestatav seos $a^2+b^2=c^2$ ei ole tõestuse eeldus.

Pythagorase teoreemi pindalatõestus

Olgu täisnurkse kolmnurga kaatetid $a,b>0$, hüpotenuus $c$ ja teravnurgad $\alpha,\beta$. Kolmnurga nurgasummast saame $\alpha+\beta=90^\circ$.

Paigutame neli selle kolmnurga koopiat küljega $a+b$ ruudu nurkadesse nagu joonisel. Need ei kattu. Keskmise nelinurga kõik küljed on hüpotenuusid pikkusega $c$. Iga selle nurk koos kahe kolmnurga teravnurkadega moodustab sirgnurga, seega on keskmine nurk $180^\circ-(\alpha+\beta)=90^\circ$. Järelikult on keskmine kujund ruut.

$$ (a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2.$$

Avades vasaku poole saame $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$. Lahutades mõlemalt poolelt $2ab$, jääb

$$a^2+b^2=c^2.$$

Korrapärase hulknurga pindala põhjendus

Korrapärane hulknurk on siin kumer ning võrdsete külgede ja nurkadega. Ühenda keskpunkt kõigi tippudega. Tekkinud võrdhaarsete kolmnurkade alused on hulknurga küljed. Nende ühine kõrgus ehk apoteem $r$ ühendab keskpunkti külje keskpunktiga ja on küljega risti.

Iga osakolmnurga pindala on külje pikkus korda $r$ jagatud kahega. Aluste pikkuste summa on ümbermõõt $P$, seega

$S=\frac{Pr}{2}.$

Apoteem on korrapärase hulknurga siseringjoone raadius, mitte ümberringjoone raadius.

Näide

Korrapärase kuusnurga külg on 4 cm. Kuusnurk koosneb kuuest võrdkülgsest kolmnurgast: kesknurk on $360^\circ/6=60^\circ$ ning võrdhaarsete kolmnurkade alusnurgad samuti $60^\circ$. Ühe kolmnurga kõrgus on

$$h=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3.$$

Ühe kolmnurga pindala on $\frac{4\cdot2\sqrt3}{2}=4\sqrt3$, kogu kuusnurga pindala

$$S=6\cdot4\sqrt3=24\sqrt3\text{ cm}^2.$$

Kontroll: sama tulemuse annab $P=24$ ja $r=2\sqrt3$ asetamine valemisse $S=\frac{Pr}{2}$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kui palju on nelja kaatetitega $a,b$ kolmnurga pindala kokku?
2. Leia ruudu diagonaal, kui külg on 5 cm.

Rakendus

3. Leia võrdkülgse kolmnurga kõrgus, kui külg on 6 cm.
4. Leia sama kolmnurga pindala.
5. Korrapärase hulknurga ümbermõõt on 40 cm ja apoteem 5 cm. Leia pindala.

Mõtlemisülesanne

6. Selgita pindalade abil, miks tõestusest kaob liige $2ab$.
7. Leia korrapärase kuusnurga pindala, kui külg on 2 cm.
8. Kas valem $S=\frac{Pr}{2}$ sobib igale hulknurgale? Põhjenda.

Vastused

1. $4\cdot\frac{ab}{2}=2ab$.
2. $d=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt2$ cm.
3. $h=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt3$ cm.
4. $S=\frac{6\cdot3\sqrt3}{2}=9\sqrt3\text{ cm}^2$.
5. $S=\frac{40\cdot5}{2}=100\text{ cm}^2$. Sellised mõõtmed on ruudul küljega 10 cm.
6. Liige $2ab$ on nelja kolmnurga kogupindala mõlemas sama ruudu pindala kirjelduses ja lahutatakse mõlemalt poolelt.
7. Ühe kolmnurga pindala on $\sqrt3$, seega kokku $6\sqrt3\text{ cm}^2$.
8. Ei. Kõigil hulknurkadel pole sisepunkti, mis oleks kõigist külgedest sama kaugel. Valem kehtib ka siseringjoonega kumeral hulknurgal, mis ei ole korrapärane; siis on $r$ siseringjoone raadius.

Seosed

Pythagorase teoreemi tõestus ühendab algebra ja pindala. Korrapäraste hulknurkade poolitamisel tekkivad täisnurksed kolmnurgad valmistavad ette siinuse, koosinuse ja tangensi kasutamist.

Tõestamine ja ringjoone teoreemid

Mõiste

Tõestus põhjendab, miks väide kehtib kõigil tema eeldusi rahuldavatel juhtudel. Ringjoonega on seotud keskpunkt, kaared, kõõlud, nurgad, puutujad ja lõikajad. Käsitleme nelja nurgateoreemi, mitte kõiki omadusi.

Eeldus: tunned ringjoone osi, paralleelsete sirgete nurgaseoseid ja kolmnurkade võrdsuse külg-nurk-külg tunnust. Kolmnurga nurgasumma ja võrdhaarse kolmnurga alusnurkade tõestused on varasemas tõestamispeatükis.

Ringjoone põhiteoreemid

Punktid $A$, $B$ ja $C$ on ringjoonel ning paarikaupa erinevad; $O$ on keskpunkt. Piirdenurk $\angle ACB$ toetub kaarele $AB$, millel $C$ ei asu.

Teoreem kesk- ja piirdenurgast

Samale kaarele toetuv kesknurk on piirdenurgast kaks korda suurem. Tähistame kesknurka $\theta$ ja piirdenurka $\alpha$: $\theta=2\alpha$. Ka üle $180^\circ$ ulatuva kaare puhul tuleb valida just sellele kaarele vastav kesknurk.

Teoreem samale kaarele toetuvatest piirdenurkadest

Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Tõestus: mõlemad on pool samale kaarele vastavast kesknurgast. Ainult ühistest otspunktidest ei piisa: tipud peavad asuma samal kaarel, nurgad toetuvad teisele kaarele.

Thalese teoreem

Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk. Olgu $AB$ diameeter ja $C$ ringjoonel, kus $C\ne A$ ning $C\ne B$.

Thalese teoreemi tõestus

Kaar $AB$, millel $C$ ei asu, on poolring. Selle kesknurk on $180^\circ$. Kesk- ja piirdenurga teoreemist järeldub $\angle ACB=180^\circ:2=90^\circ$.

Teoreem puutujast ja raadiusest

Puutuja on puutepunkti tõmmatud raadiusega risti.

Näide

Piirdenurk on $35^\circ$. Leia samale kaarele toetuv kesknurk ja teine piirdenurk, mille tipp asub ringjoone teises punktis.

Lahendus: kesknurk on $2\cdot35^\circ=70^\circ$, teine piirdenurk aga $35^\circ$. Need tulemused kehtivad teoreemide, mitte joonise mõõtmise tõttu.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kesknurk on $124^\circ$. Leia samale kaarele toetuv piirdenurk.
2. Kaar vastab kesknurgale $240^\circ$. Leia sellele kaarele toetuv piirdenurk.
3. Miks ei tohi Thalese teoreemis võtta $C=A$?

Rakendus

4. Piirdenurk on $48^\circ$. Leia samale kaarele toetuv teine piirdenurk ja kesknurk.
5. Raadius $OT$ lõpeb puutepunktis $T$. Kui suure nurga moodustab ta puutujaga?
6. Põhjenda Thalese teoreemi kesk- ja piirdenurga seose abil.

Mõtlemisülesanne

7. Tõesta Thalese teoreem teisiti: ühenda $C$ keskpunktiga $O$. Kasuta võrdhaarseid kolmnurki $AOC$ ja $BOC$ ning kolmnurga $ABC$ nurgasummat.
8. Kõõlu otspunktid on $A$ ja $B$. Piirdenurga tipp liigub ühelt kaarelt teisele. Miks ei pruugi nurk samaks jääda?

Vastused

1. $124^\circ:2=62^\circ$.
2. $240^\circ:2=120^\circ$; piirdenurk võib olla nürinurk.
3. Üks haar kaob ja kolmnurka ei teki.
4. Teine piirdenurk on $48^\circ$, kesknurk $96^\circ$.
5. $90^\circ$, sest puutuja on puutepunkti raadiusega risti.
6. Poolringi kesknurk on $180^\circ$, piirdenurk sellest pool ehk $90^\circ$.
7. Kuna $OA=OB=OC$, on kolmnurgad võrdhaarsed. Olgu nende alusnurgad punktis $C$ vastavalt $\alpha$ ja $\beta$. Siis $\angle BAC=\alpha$, $\angle ABC=\beta$ ja $\angle ACB=\alpha+\beta$. Nurgasumma annab $2\alpha+2\beta=180^\circ$, seega $\angle ACB=90^\circ$.
8. Nüüd toetub nurk teisele kaarele. Näiteks $120^\circ$ ja $240^\circ$ kaartele toetuvad nurgad on $60^\circ$ ja $120^\circ$.

Seosed

Tõestuste alus: Eukleidese „Elemendid”, III.20 ja III.21. Puutuja põhjendus kasutab telgsümmeetria kauguste säilimist; klassikaline tõestus on III.18.

Vektorid

Mõiste

Vektor kirjeldab nihet. Vektoril on pikkus ja suund, aga tal ei ole kindlat asukohta: sama vektorit võib joonisel nihkena ümber paigutada, kui pikkus ja suund jäävad samaks.

Eeldus: oskad lugeda koordinaate, kasutada Pythagorase teoreemi ja eristada punkti asukohta nihkest.

Koordinaatteljestikus saab vektorit kirjeldada komponentidega. Näiteks vektor $\vec a=(3;2)$

tähendab nihet 3 ühikut $x$-suunas ja 2 ühikut $y$-suunas.

Negatiivne komponent tähendab liikumist vastassuunas: $(4;-2)$ liigub 4 ühikut paremale ja 2 ühikut alla.

Kui vektor viib punktist $A(x_1;y_1)$ punkti $B(x_2;y_2)$, siis

$$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;\ y_2-y_1).$$

Tehted

Kui

$$\vec a=(a_1;a_2),\qquad \vec b=(b_1;b_2),$$

siis

$$\vec a+\vec b=(a_1+b_1;\ a_2+b_2),$$

$$\vec a-\vec b=(a_1-b_1;\ a_2-b_2),$$

$$k\vec a=(ka_1;\ ka_2).$$

Vektorite liitmisel võib mõelda nii: pane teise vektori algus esimese vektori lõppu. Summa läheb esimese algusest teise lõppu.

Sama mõtet saab kasutada ka mitme vektori korral. Aseta vektorid järjestikku; summa ühendab esimese vektori alguse ja viimase vektori lõpu.

Kontrolli pildilt: kui alustad punktist (0;0), peab viimase noole lõpp olema sama punkt, mille saad komponentide summana.

Näiteks

$$(2;3)+(4;-2)+(1;4)+(2;-1)=(9;4).$$

Võid liita järjest või rühmitada:

$$(2;3)+(4;-2)=(6;1),$$

$$(1;4)+(2;-1)=(3;3),$$

$$(6;1)+(3;3)=(9;4).$$

Vektori pikkus:

$$|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}.$$

Nullvektor on $\vec 0=(0;0)$. Selle pikkus on 0 ja suunda tavaliselt ei määrata.

Kolmemõõtmeline vektor

Ruumis on vektoril kolm komponenti:

$$\vec v=(x;y;z).$$

Esimene komponent kirjeldab liikumist $x$-suunas, teine $y$-suunas ja kolmas $z$-suunas.

Näiteks $(2;3;1)$ tähendab: 2 ühikut $x$-suunas, 3 ühikut $y$-suunas ja 1 ühik $z$-suunas.

Kolmemõõtmeliste vektorite liitmine käib samuti komponentide kaupa:

$$(x_1;y_1;z_1)+(x_2;y_2;z_2)=(x_1+x_2;\ y_1+y_2;\ z_1+z_2).$$

Kolmemõõtmelise vektori pikkus on

$$|\vec v|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$

Näiteks vektori $(2;3;1)$ pikkus on

$$\sqrt{2^2+3^2+1^2}=\sqrt{14}.$$

Joonisel ja arvutustes loetakse komponente alati samas järjekorras: esmalt $x$, siis $y$, ruumis lisaks $z$.

Näide

Kui $\vec a=(2;1)$ ja $\vec b=(3;-2)$, siis

$$\vec a+\vec b=(2+3;\ 1+(-2))=(5;-1).$$

Kui punktid on $A(1;2)$ ja $B(4;6)$, siis

$$\overrightarrow{AB}=(4-1;\ 6-2)=(3;4).$$

Vektori (3; 4) pikkus on

$$|(3;4)|=\sqrt{3^2+4^2}=5.$$

Vastus: vektorite summa on (5;-1), punktide vaheline nihe on (3;4) ja selle pikkus on 5.

Kui vajad abi

Korda koordinaatteljestikul punkti lugemist ja kahe punkti vahe leidmist. Vaata näitest, kuidas punktidest $A$ ja $B$ tekib nihe $\overrightarrow{AB}$. Alusta harjutustest 1 ja 3; pikkuse leidmist tee pärast seda, kui komponentide liitmine on kindel.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia (2; -1)+(5; 3).
2. Leia vektori (-6; 8) pikkus.
3. Mis vektor viib punktist (1; 2) punkti (4; 6)?
4. Leia 2(3; -1).

Rakendus

5. Robot liigub ruumis nihetega (1;2;3) ja (4;-2;0). Leia kogunihe.
6. Drooni nihe stardipunktist on (1;2;2) meetrit. Kui kaugel on droon?
7. Leia vektor punktist $A(2;-5)$ punkti $B(-3;4)$.

Mõtlemisülesanne

8. Kui $\overrightarrow{AB}=(2;3)$ ja $\overrightarrow{BC}=(4;-1)$, leia $\overrightarrow{AC}$ ning põhjenda liitmist.
9. Kas vektoritel (5;12) ja (-5;-12) on sama pikkus ja suund? Põhjenda.
10. Leia vektorite (2;-1;4) ja (-3;5;1) summa ning selle summa pikkus.
11. Kui $\overrightarrow{AB}=(4;-3)$, siis mis on $\overrightarrow{BA}$?

Vastused

1. Summa on (7;2), ehk nihe 7 ühikut paremale ja 2 ühikut üles.
2. 10, sest $\sqrt{(-6)^2+8^2}=\sqrt{100}$.
3. (3;4), sest nihe on 3 ühikut paremale ja 4 ühikut üles.
4. Tulemus on (6;-2), sest mõlemad komponendid korrutatakse arvuga 2.
5. (5;0;3), sest liitmine käib komponentide kaupa.
6. 3, sest $\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt9$.
7. (-5;9), sest lõpp-punktist lahutatakse alguspunkt.
8. (6;2), sest $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.
9. Mõlema pikkus on 13, kuid suunad on vastupidised, sest komponendid on vastasmärgiga.
10. Summa on (-1;4;5) ja pikkus on $\sqrt{42}$; enne pikkust liida komponendid.
11. (-4;3), sest vastassuunaline vektor muudab mõlema komponendi märgi.

Seosed

Vektorid seovad koordinaate, suunda ja pikkust. Järgmine koordinaatgeomeetria peatükk kasutab samu ideid sirgete, kauguste ja keskpunktide leidmisel.

Skalaarkorrutis ja vektorite nurk

Mõiste

Kahe vektori skalaarkorrutis on arv, mis seob nende pikkused ja vahelise nurga. Tasandil

$$\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2.$$

Eeldus: oskad vektoreid komponentide kaupa liita, leida vektori pikkust ning kasutada koosinust.

Geomeetriliselt

$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\alpha,$$

kus $\alpha$ on vektorite vaheline nurk vahemikus $0^\circ$ kuni $180^\circ$.

Seega mittenullvektorite korral

$$\cos\alpha=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}.$$

• Kui $\vec a\cdot\vec b>0$, on $0^\circ\le\alpha<90^\circ$.
• Kui $\vec a\cdot\vec b=0$, on mittenullvektorid risti.
• Kui $\vec a\cdot\vec b<0$, on $90^\circ<\alpha\le180^\circ$.

Vektorid on kollineaarsed, kui üks on teise arvkordne: $\vec b=k\vec a$. Samasuunaliste korral $k>0$, vastassuunaliste korral $k<0$.

Näide

Olgu

$$\vec a=(3;4),\qquad \vec b=(-4;3).$$

Siis

$$\vec a\cdot\vec b=3\cdot(-4)+4\cdot3=0.$$

Mõlemad vektorid on mittenullvektorid, seega on nad risti.

Olgu nüüd $\vec u=(1;0)$ ja $\vec v=(1;1)$. Siis

$$\cos\alpha=\frac{1}{1\cdot\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2},$$

seega $\alpha=45^\circ$.

Vastus: $\vec a$ ja $\vec b$ on risti ning $\vec u$ ja $\vec v$ moodustavad 45-kraadise nurga.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $(2;3)\cdot(4;-1)$.
2. Kas vektorid (1;2) ja (2;-1) on risti?
3. Kas (2;4) ja (-1;-2) on kollineaarsed?

Rakendus

4. Leia vektorite (1;0) ja (0;5) vaheline nurk.
5. Jõuvektor on $(6;8)$ njuutonit ja nihkevektor $(3;4)$ meetrit. Leia nende skalaarkorrutis ehk tehtud töö.
6. Leia vektorite (1;1) ja (-1;1) vaheline nurk.

Mõtlemisülesanne

7. Miks on vastassuunaliste mittenullvektorite skalaarkorrutis negatiivne?
8. Leia $k$, et vektorid (k;2) ja (4;-2) oleksid risti.
9. Kas sama pikkusega vektorid peavad olema võrdsed? Põhjenda skalaarkorrutise või suuna abil.

Vastused

1. $5$, sest $2\cdot4+3\cdot(-1)=5$.
2. Jah, sest $1\cdot2+2\cdot(-1)=0$ ja kumbki pole nullvektor.
3. Jah, sest $(-1;-2)=-\frac12(2;4)$; suunad on vastupidised.
4. $90^\circ$, sest skalaarkorrutis on 0.
5. $50\ \text{J}$, sest $6\cdot3+8\cdot4=50$ ja njuutonmeeter on džaul.
6. $90^\circ$, sest skalaarkorrutis $-1+1=0$.
7. Nende nurk on $180^\circ$ ja $\cos180^\circ=-1$.
8. $k=1$, sest $4k-4=0$.
9. Ei. Sama pikkusega vektorid võivad olla eri suundades; võrdsus nõuab nii sama pikkust kui ka sama suunda.

Seosed

Skalaarkorrutis annab koordinaatgeomeetriale ristseisu ja nurga kontrolli. Järgmistes peatükkides kasutatakse seda sirgete asendi ning geomeetriliste mudelite kirjeldamisel.

Koordinaatgeomeetria

Mõiste

Koordinaatgeomeetria kasutab geomeetriliste objektide kirjeldamiseks arve ja võrrandeid.

Eeldus: oskad lugeda koordinaate, arvutada vektori pikkust ja leida lineaarfunktsiooni tõusu.

Punkti asukohta kirjeldavad koordinaadid, lõigu pikkust saab arvutada Pythagorase teoreemi abil ning sirget saab kirjeldada võrrandiga.

Samad arvud võivad olla eri rollis: punkt (3;2) ütleb asukoha, vektor (3;2) või nihe (3;2) ütleb, kui palju liikuda $x$- ja $y$-suunas.

Sirge võrrand ei ole sirge ise; see on tingimus, mida täidavad täpselt selle sirge punktide koordinaadid.

Kaugus ja keskpunkt

Kahe punkti $A(x_1;y_1)$ ja $B(x_2;y_2)$ vaheline kaugus:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$$

Lõigu keskpunkt:

$$M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right).$$

Keskpunkti mõlemas koordinaadis võetakse otspunktide vastavate koordinaatide keskmine.

Kauguse valem tuleb sellest, et punktide vaheline nihe on

$$(x_2-x_1;\ y_2-y_1),$$

ja selle komponendid moodustavad täisnurkse kolmnurga kaatetid.

Enne valemi kasutamist ütle, milline on horisontaalne vahe ja milline vertikaalne vahe; siis on näha, kust kaatetid tulevad.

Kaugus ise on alati mittenegatiivne; suund kaob ruutu tõstes ära.

Sirge võrrand

Kõige sagedamini kirjutatakse sirge võrrand kujul

$$y=kx+b.$$

Siin $k$ on tõus ja $b$ on algordinaat. Sirge lõikab $y$-telge punktis (0;b).

Kui sirgel on kaks punkti $A(x_1;y_1)$ ja $B(x_2;y_2)$, siis tõus on

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\qquad x_1\ne x_2.$$

Pärast tõusu leidmist saab $b$ leida, asendades sirge võrrandisse ühe teadaoleva punkti.

Kui $x_1=x_2$, on sirge vertikaalne. Seda ei saa kirjutada kujul $y=kx+b$; selle võrrand on

$$x=x_1.$$

Kui $y_1=y_2$, on sirge horisontaalne ja selle võrrand on $y=y_1$.

Näide

Punktide (1; 2) ja (4; 6) kaugus:

$$d=\sqrt{3^2+4^2}=5.$$

Nende keskpunkt on

$$M\left(\frac{1+4}{2};\frac{2+6}{2}\right)=(2{,}5;4).$$

Leiame sirge võrrandi, mis läbib punkte (1;3) ja (3;7).

Tõus on

$$k=\frac{7-3}{3-1}=2.$$

Seega on sirge kujul $y=2x+b$. Asendame punkti (1;3):

$$3=2\cdot 1+b,$$

$$b=1.$$

Sirge võrrand on

$$y=2x+1.$$

Vastus: kaugus on 5, keskpunkt (2,5;4) ja sirge võrrand $y=2x+1$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia punktide (0; 0) ja (5; 12) kaugus.
2. Leia lõigu otspunktidega (-2; 4) ja (6; 8) keskpunkt.
3. Kuidas on kauguse valem seotud Pythagorase teoreemiga?

Rakendus

4. Matkaraja profiil läbib punktid (2;1) ja (5;7). Leia tõus ja selgita selle märki.
5. Tee läbib punktid (0;-3) ja (4;5). Leia tee sirgvõrrand ning kontrolli teise punktiga.

Mõtlemisülesanne

6. Mis on vertikaalse sirge võrrand, kui ta läbib punkti (6;-2)?
7. Leia punktide (-1;-1) ja (2;3) kaugus ning keskpunkt.
8. Kas vertikaalset sirget $x=6$ saab kirjutada kujul $y=kx+b$? Põhjenda.

Vastused

1. 13, sest vahed on 5 ja 12 ning $\sqrt{5^2+12^2}=13$.
2. (2;6), sest keskpunktis võetakse mõlema koordinaadi keskmine.
3. Punktide koordinaatide vahed on täisnurkse kolmnurga kaatetid; kaugus on hüpotenuus.
4. $k=\frac{7-1}{5-2}=2$; positiivne tõus tähendab, et $x$ kasvades kasvab ka $y$.
5. $y=2x-3$, sest tõus on 2 ja punkt (0;-3) annab algordinaadi; punkt (4;5) sobib kontrolliks.
6. $x=6$, sest vertikaalsel sirgel on kõigil punktidel sama $x$.
7. Kaugus on 5, keskpunkt on $(0{,}5;1)$; vahed on 3 ja 4, seega kasutatakse Pythagorast.
8. Ei. Vertikaalsel sirgel ei ole lõplikku tõusu ja ühele $x$-ile vastab mitu $y$ väärtust; võrrand jääb $x=6$.

Seosed

Koordinaatgeomeetria ühendab vektorid, lineaarfunktsiooni ja Pythagorase teoreemi. Järgmine ruumigeomeetria peatükk laiendab sama koordinaatide ja pikkuste mõtte kolmemõõtmeliseks.

Joone ja ringjoone võrrandid

Mõiste

Joone võrrand on tingimus, mida täidavad täpselt selle joone punktide koordinaadid. Sirget saab kirjeldada mitmel samaväärsel kujul.

Eeldus: oskad leida kahe punkti vahelist vektorit, sirge tõusu ja lõigu keskpunkti ning tunned vektorite ristseisu.

Sirge levinud kujud:

$$y=kx+b,$$

$$y-y_0=k(x-x_0),$$

$$Ax+By+C=0,\qquad A^2+B^2>0.$$

Tingimus tähendab, et $A$ ja $B$ ei tohi mõlemad olla nullid.

Kui sirge läbib punkti $P(x_0;y_0)$ ja tema sihivektor on $(p;q)$, siis sobib võrrand

$$q(x-x_0)-p(y-y_0)=0.$$

Paralleelsetel mittevertikaalsetel sirgetel on sama tõus. Ristuvate sirgete korral on $k_1k_2=-1$, kui mõlemad tõusud on olemas.

Ringjoon keskpunktiga $K(a;b)$ ja raadiusega $r$:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.$$

Joonte lõikepunkti leidmiseks lahendatakse nende võrranditest moodustatud süsteem.

Näide

Sirge läbib punkte $A(1;2)$ ja $B(3;6)$. Tõus on

$$k=\frac{6-2}{3-1}=2.$$

Punkti-tõusu kuju annab

$$y-2=2(x-1),$$

seega $y=2x$ ehk üldkujul $2x-y=0$.

Ringjoone keskpunkt on $K(1;-2)$ ja raadius 3. Selle võrrand on

$$(x-1)^2+(y+2)^2=9.$$

Ringjoone $x^2+y^2=25$ ja sirge $y=0$ lõikepunktid leiame asendades:

$$x^2=25,$$

seega lõikepunktid on $(-5;0)$ ja $(5;0)$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kirjuta punkti (2;3) läbiva tõusuga 4 sirge võrrand punkti-tõusu kujul.
2. Kirjuta ringjoone võrrand, kui keskpunkt on (0;0) ja raadius 5.
3. Leia ringjoone $(x-2)^2+(y+3)^2=16$ keskpunkt ja raadius.

Rakendus

4. Leia punkte (0;1) ja (2;5) läbiva sirge võrrand.
5. Kas sirged $y=2x+1$ ja $y=2x-3$ lõikuvad?
6. Leia sirge $y=x$ ja ringjoone $x^2+y^2=8$ lõikepunktid.

Mõtlemisülesanne

7. Kirjuta punkti (1;2) läbiva sihivektoriga (3;1) sirge võrrand.
8. Leia sirge, mis läbib punkti (2;-1) ja on sirgega $y=\frac12x+4$ risti.
9. Selgita, miks sirgel ja ringjoonel võib olla 0, 1 või 2 lõikepunkti.

Vastused

1. $y-3=4(x-2)$.
2. $x^2+y^2=25$.
3. Keskpunkt on (2;-3) ja raadius 4.
4. $y=2x+1$; tõus on 2 ja algordinaat 1.
5. Ei. Sirgetel on sama tõus ja erinev algordinaat, seega on nad paralleelsed.
6. (2;2) ja (-2;-2), sest asendamisel saadakse $2x^2=8$.
7. $x-3y+5=0$, sest $1(x-1)-3(y-2)=0$.
8. $y+1=-2(x-2)$ ehk $y=-2x+3$; tõusude korrutis on -1.
9. Sirge võib jääda ringjoonest väljapoole, puutuda seda ühes punktis või läbida seda kahes punktis.

Seosed

Joonevõrrandid ühendavad vektorid, funktsioonid ja võrrandisüsteemid. X klassi lõpus saab sama joonist kirjeldada koordinaatide, vektori, sirge võrrandi ja trigonomeetria kaudu.

Ruumigeomeetria

Mõiste

Ruumigeomeetrias töötame kolmemõõtmeliste kehadega: prismad, püramiidid, silindrid, koonused ja kerad. Neid saab käes hoida, ehitada või joonisel kujutada.

Eeldus: oskad arvutada pindala ja ruumala, kasutada Pythagorase teoreemi ning eristada keha põhja, kõrgust ja külgpinda.

Kolmemõõtmelise keha puhul küsitakse sageli kahte asja:

• pindala: kui suur on keha välispind;
• ruumala: kui palju ruumi keha hõivab või mahutab.

Keha pindala tähendab kogu välispinda kokku, mitte ainult põhja pindala.

Tahukad

Tahukas on keha, mille tahud on hulknurgad. Näiteks kuup, risttahukas, prisma ja püramiid on tahukad.

Prisma ruumala:

$$V=S_p h,$$

kus $S_p$ on põhja pindala ja $h$ on kõrgus.

Püramiidi ruumala:

$$V=\frac13 S_p h.$$

Kuubi erijuht, kui serv on $a$:

$$V=a^3,\qquad S=6a^2.$$

Risttahuka ruumala, kui servad on $a,b,c$:

$$V=abc.$$

Pöördkehad

Pöördkeha tekib siis, kui tasandiline kujund pöörleb ümber sirge. Ristküliku pöörlemisel ümber ühe külje tekib silinder. Täisnurkse kolmnurga pöörlemisel ümber ühe kaateti tekib koonus.

Olulisemad valemid:

Koonuse valemis on $s$ moodustaja ehk külgjoone pikkus.

Lõiked

Lõige on kujund, mis tekib, kui keha mõttes tasandiga läbi lõigata. Lõike kuju sõltub lõiketasandi asendist.

Näiteks:

• silindri horisontaalne lõige on ring;
• silindri telglõige on ristkülik;
• koonuse telglõige on võrdhaarne kolmnurk;
• kera iga tasandlõige on ring, kui tasand kera üldse lõikab.

Lõigete ülesannetes aitab kõigepealt joonistada nähtavale tasandiline kujund: sageli muutub ruumiülesanne kolmnurga või ristküliku ülesandeks.

Märgi abijoonisel eraldi pikkused, kõrgused ja otsitav lõik.

Näide

Silindri raadius on 3 cm ja kõrgus 5 cm:

$$V=\pi\cdot3^2\cdot5=45\pi.$$

Kui kuubi serv on 4 cm, siis

$$V=4^3=64\text{ cm}^3,$$

ja pindala on

$$S=6\cdot4^2=96\text{ cm}^2.$$

Kui püramiidi põhja pindala on 30 cm² ja kõrgus 9 cm, siis

$$V=\frac13\cdot30\cdot9=90\text{ cm}^3.$$

Vastus: silindri ruumala on $45\pi$, kuubi ruumala 64 cm³, kuubi pindala 96 cm² ja püramiidi ruumala 90 cm³.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia kuubi ruumala, kui serv on 4 cm.
2. Leia silindri ruumala, kui $r=2$ ja $h=10$.
3. Miks kera ruumala valemis on $r^3$?

Rakendus

4. Leia risttahuka ruumala, kui mõõtmed on 2 cm, 5 cm ja 7 cm.
5. Leia püramiidi ruumala, kui põhja pindala on 18 cm² ja kõrgus 12 cm.
6. Leia koonuse ruumala, kui $r=3$ ja $h=8$.

Mõtlemisülesanne

7. Mis kujuga on silindri telglõige?
8. Mis kujuga on kera tasandlõige?
9. Koonusel on raadius 3 cm ja kõrgus 4 cm. Leia moodustaja.
10. Miks tuleb koonuse külgpindala valemis kasutada moodustajat, mitte kõrgust?

Vastused

1. 64 cm³, sest kuubi ruumala on $4^3$.
2. $V=\pi\cdot2^2\cdot10=40\pi$; kui mõõdud on sentimeetrites, siis ühik on $\text{cm}^3$.
3. Ruumala mõõdab kolmemõõtmelist suurust; raadius mõjutab pikkust, laiust ja kõrgust, seega ühik on kuupühik.
4. 70 cm³, sest risttahuka ruumala on $2\cdot5\cdot7$.
5. 72 cm³, sest püramiidi ruumala on kolmandik $S_p h$-st.
6. $24\pi\text{ cm}^3$, sest koonuse ruumala on $\frac13\pi r^2h$.
7. Ristkülik; telglõige läbib silindri telge.
8. Ring, kui tasand kera lõikab.
9. $\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm.
10. Külgpind kulgeb mööda koonuse külge; kõrgus on keha sees põhjaga risti ja ei mõõda külgpinna kallakut.

Seosed

Ruumigeomeetria kasutab pindala, ruumala, Pythagorase teoreemi ja lõikejooniseid. Järgmine ruumigeomeetria peatükk eristab kõrgust, apoteemi ja moodustajat ning ühendab need püramiidi ja pöördkehade arvutustes.

Püramiid ja pöördkehade arvutused

Mõiste

Ruumilise keha arvutamisel tuleb enne valemit eristada põhi, külgpind, kõrgus ja kaldpikkus. Täispindala on põhjade ning külgpinna summa; ruumala kasutab põhjaga risti olevat kõrgust.

Eeldus: tunned püramiidi, silindrit, koonust ja kera ning oskad kasutada Pythagorase teoreemi.

Korrapärase püramiidi apoteem on külgtahu kõrgus. See ei ole keha kõrgus. Koonusel täidab sama rolli moodustaja $s$.

Sfäär on kera pind; kera sisaldab ka sisemust. Silindri telglõige on ristkülik, koonuse telglõige võrdhaarne kolmnurk ja kera suurringi raadius võrdub kera raadiusega.

Näide

Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 6 cm ja kõrgus 4 cm. Külgtahu apoteem tekib täisnurkses kolmnurgas, mille teine kaatet on pool põhiserva:

$$m=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ cm}.$$

Põhja pindala on $36\text{ cm}^2$. Nelja külgtahu pindala kokku on

$$S_k=4\cdot\frac{6\cdot5}{2}=60\text{ cm}^2.$$

Seega täispindala on 96 cm² ja ruumala

$$V=\frac13\cdot36\cdot4=48\text{ cm}^3.$$

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mitu põhja on silindril ja mitu koonusel?
2. Leia kera pindala, kui $r=3$ cm.
3. Leia silindri ruumala, kui $r=2$ cm ja $h=5$ cm.

Rakendus

4. Leia koonuse ruumala, kui $r=3$ cm ja $h=4$ cm.
5. Koonuse raadius on 5 cm ja kõrgus 12 cm. Leia moodustaja.
6. Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 8 cm ja kõrgus 3 cm. Leia apoteem.

Mõtlemisülesanne

7. Leia eelmise püramiidi täispindala ja ruumala.
8. Silindri raadius kahekordistub, kõrgus ei muutu. Mitu korda muutub ruumala?
9. Kumb mahutab rohkem: silinder või sama põhja ja kõrgusega koonus? Mitu korda?

Vastused

1. Silindril kaks, koonusel üks põhi.
2. $4\pi\cdot3^2=36\pi\text{ cm}^2$.
3. $20\pi\text{ cm}^3$.
4. $\frac13\pi\cdot3^2\cdot4=12\pi\text{ cm}^3$.
5. $s=\sqrt{5^2+12^2}=13$ cm.
6. $m=\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm.
7. $S=8^2+4\cdot\frac{8\cdot5}{2}=144\text{ cm}^2$; $V=\frac13\cdot64\cdot3=64\text{ cm}^3$.
8. Neli korda, sest ruumala sisaldab tegurit $r^2$.
9. Silinder mahutab kolm korda rohkem; koonuse ruumala on sama $S_p$ ja $h$ korral kolmandik.

Seosed

Ruumiliste kehade arvutused ühendavad tasandiliste kujundite pindala, Pythagorase teoreemi, trigonomeetria ja ühikud. Keerukas ruumiülesanne muutub enamasti lihtsamaks, kui joonistad telglõike või ühe külgtahu eraldi.

Trigonomeetria

Mõiste

Täisnurkses kolmnurgas seovad siinus, koosinus ja tangens nurka külgedega.

Eeldus: oskad kasutada Pythagorase teoreemi, tunned täisnurkse kolmnurga külgi ja oskad lahendada lihtsat võrret.

Vaatleme nurka $\alpha$. Selle nurga suhtes:

• hüpotenuus on täisnurga vastas olev pikim külg;
• lähiskaatet on nurga $\alpha$ kõrval olev kaatet;
• vastaskaatet on nurga $\alpha$ vastas olev kaatet.

Märgi vaadeldav nurk enne külgede nimetamist.

Joonisel on nurga $\alpha$ vastaskaatet $a$, lähiskaatet $b$ ja hüpotenuus $c$. Vaatleme teravnurka $0^\circ<\alpha<90^\circ$; kõik küljepikkused on positiivsed.

$$\sin\alpha=\frac ac,\qquad \cos\alpha=\frac bc,\qquad \tan\alpha=\frac ab.$$

Kuna kumbki kaatet on hüpotenuusist lühem, siis $0<\sin\alpha<1$ ja $0<\cos\alpha<1$. Tangens on positiivne, kuid võib olla ka suurem kui 1.

Miks sõltub külgede suhe ainult nurgast?

Kahel täisnurksel kolmnurgal, mille teravnurk $\alpha$ on sama, on kaks võrdset nurka: täisnurk ja $\alpha$. Seetõttu on kolmnurgad sarnased. Kui ühe kolmnurga küljed on $a,b,c$, siis teise omad on $ka,kb,kc$, kus $k>0$.

Suhted ei muutu: $\frac{ka}{kc}=\frac ac$, $\frac{kb}{kc}=\frac bc$ ja $\frac{ka}{kb}=\frac ab$. Seepärast saab neid suhteid kasutada nurga, mitte kolmnurga suuruse kirjeldamiseks.

Sobiva seose valimine

Kui kaks külge on teada ja nurka ei küsita, kasuta Pythagorase teoreemi:

$$a^2+b^2=c^2.$$

Näide

Vastaskaateti leidmine

Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on $c=10$ cm ja $\sin\alpha=\frac35$. Leia vastaskaatet $a$.

$$\frac35=\frac a{10}$$

$$a=10\cdot\frac35=6.$$

Vastaskaatet on $6$ cm.

Hüpotenuusi leidmine

Täisnurkse kolmnurga vastaskaatet on $a=8$ cm ja $\sin\alpha=0,8$. Leia hüpotenuus $c$.

$$0,8=\frac8c$$

$$c=\frac8{0,8}=10.$$

Hüpotenuus on $10$ cm.

Nurga leidmine

Täisnurkse kolmnurga vastaskaatet on $a=6$ cm ja hüpotenuus $c=10$ cm. Leia nurk $\alpha$.

$$\sin\alpha=\frac6{10}=0,6$$

$$\alpha=\arcsin 0,6\approx36,9^\circ.$$

Kui vajad abi

Alusta harjutustest 1 ja 2. Märgi joonisele nurga vastas- ja lähiskaatet ning hüpotenuus. Vajaduse korral korda Pythagorase teoreemi ja võrde lahendamist.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Milline külg on täisnurkses kolmnurgas alati hüpotenuus?
2. Kui $\cos\alpha=\frac45$ ja hüpotenuus on $15$, siis kui pikk on lähiskaatet?

Rakendus

3. 5-meetrine redel toetub püstisele seinale ja ulatub 4 meetri kõrgusele. Maapind on horisontaalne. Leia redeli nurk maapinnaga.
4. Kaldtee tõuseb 1,2 meetrit 6-meetrise horisontaalse vahemaa jooksul. Leia kaldtee kaldenurk.

Mõtlemisülesanne

5. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 9 ja 12. Leia hüpotenuus ja väiksem teravnurk.
6. Kahel sarnasel täisnurksel kolmnurgal on $\sin\alpha=\frac12$. Hüpotenuus kasvab 10-lt 20-le. Kuidas muutub vastaskaatet? Põhjenda.
7. Täisnurkses kolmnurgas on teada lähiskaatet $b=7$ ja $\tan\alpha=2$. Millise külje saad kohe leida ja kui pikk see on?

Vastused

1. Täisnurga vastas olev pikim külg ehk hüpotenuus.
2. $12$, sest $\cos\alpha=\frac{\text{lähiskaatet}}{\text{hüpotenuus}}$ ja $\frac45\cdot15=12$.
3. $\sin\alpha=\frac45$, seega $\alpha=\arcsin\frac45\approx53{,}1^\circ$.
4. $\tan\alpha=\frac{1{,}2}{6}=0{,}2$, seega $\alpha\approx11{,}3^\circ$.
5. $c=15$; väiksem nurk on lühema kaateti vastas: $\arcsin\frac9{15}\approx36{,}9^\circ$.
6. Vastaskaatet kasvab 5-lt 10-le, sest suhe vastaskaatet/hüpotenuus jääb võrdseks arvuga $\frac12$.
7. Vastaskaateti: $a=b\tan\alpha=7\cdot2=14$, sest tangens võrdleb kahte kaatetit.

Seosed

Järgmises peatükis lahendad täisnurkseid kolmnurki, ühendades Pythagorase teoreemi trigonomeetriliste seostega.

Täisnurkse kolmnurga lahendamine

Mõiste

Kolmnurga lahendamine tähendab kõigi puuduvate külgede ja nurkade leidmist. Pindala ja ümbermõõt on lisasuurused: need leia siis, kui ülesanne neid küsib.

Täisnurkne kolmnurk on määratud, kui lisaks täisnurgale on teada:

• kaks positiivse pikkusega kaatetit;
• hüpotenuus $c$ ja kaatet $a$, kus $0<a<c$;
• üks positiivse pikkusega külg ning teravnurk $0^\circ<\alpha<90^\circ$, mille asend selle külje suhtes on teada.

Kui hüpotenuus pole kaatetist pikem, ei teki kolmnurka. Kaks teravnurka määravad kuju, kuid mitte suuruse: kolmnurka saab suurendada või vähendada nurki muutmata.

Eeldus: oskad nimetada hüpotenuusi ja kaateteid, kasutada Pythagorase teoreemi ning leida kalkulaatoriga trigonomeetrilise suhte või nurga.

Tähistame teravnurgad $\alpha$ ja $\beta$. Tööjärjekord:

1. joonista ja märgi täisnurk;
2. kirjuta teadaolevad suurused joonisele;
3. vali seos, milles on otsitav ja teadaolevad suurused;
4. leia ülejäänud külg või nurk;
5. kontrolli $\alpha+\beta=90^\circ$ ja seda, et hüpotenuus on pikim.

Näide

Täisnurkse kolmnurga lähiskaatet nurga $\alpha=38^\circ$ suhtes on 5 cm. Leiame puuduvad küljed ja nurga ning lisaks pindala.

$$a=5\tan38^\circ\approx3,91\text{ cm},$$

$$c=\frac5{\cos38^\circ}\approx6,35\text{ cm}.$$

Teine teravnurk on $\beta=90^\circ-38^\circ=52^\circ$. Pindala on

$$S=\frac{ab}{2}=\frac{25\tan38^\circ}{2}\approx9,77\text{ cm}^2.$$

Pindala arvutame kaateti ümardamata väärtusega ning ümardame alles lõppvastuse.

Kontroll: $c$ on mõlemast kaatetist pikem ja nurkade summa on $180^\circ$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Üks teravnurk on $27^\circ$. Leia teine teravnurk.
2. Kaatetid on 6 cm ja 8 cm. Leia hüpotenuus.

Rakendus

3. Hüpotenuus on 12 cm ja nurk $35^\circ$. Leia selle nurga vastaskaatet.
4. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 7 cm ja 4 cm. Leia väiksem teravnurk.
5. Kaatetid on 5 cm ja 9 cm. Leia pindala ning mõlemad teravnurgad.

Mõtlemisülesanne

6. Täisnurkse trapetsi kõrgus on 6 cm ja kaldhaar moodustab alusega nurga $45^\circ$. Kui palju erinevad aluste pikkused?
7. Püstine 8-meetrine lipumast heidab horisontaalsele maapinnale 11-meetrise varju. Leia päikese tõusunurk.
8. Miks ei piisa täisnurkse kolmnurga lahendamiseks ainult kahe teravnurga teadmisest?

9. Kas täisnurksel kolmnurgal saab olla hüpotenuus 5 cm ja kaatet a) 3 cm; b) 5 cm; c) 7 cm? Põhjenda.

Vastused

Kontroll: kahe teravnurga summa peab olema $90^\circ$ ja hüpotenuus peab jääma pikimaks küljeks.

1. $63^\circ$.
2. 10 cm.
3. $a=12\sin35^\circ\approx6,88$ cm.
4. $\alpha=\arctan\frac47\approx29,7^\circ$.
5. $S=22,5\text{ cm}^2$; väiksem nurk on $\arctan\frac59\approx29,1^\circ$, teine umbes $60,9^\circ$.
6. Erinevus on $6: \tan45^\circ=6$ cm.
7. $\alpha=\arctan\frac8{11}\approx36,0^\circ$.
8. Nurgad määravad kuju, kuid mitte mõõtkava; sama nurgaga kolmnurki saab suurendada või vähendada.

9. a) Jah, teine kaatet on $\sqrt{5^2-3^2}=4$ cm. b) Ei, teine kaatet oleks 0 ja kolmnurka ei teki. c) Ei, hüpotenuus ei saa olla kaatetist lühem; $5^2-7^2<0$.

Seosed

Täisnurkse kolmnurga terviklahendust saab kasutada paljudes tasandi- ja ruumiülesannetes. Gümnaasiumis laiendavad siinus- ja koosinusteoreem sama mõtet kolmnurkadele, milles täisnurka ei ole.

Trigonomeetrilised valemid

Mõiste

Trigonomeetrilised valemid võimaldavad nurki teisendada ja avaldisi lihtsustada. Nende alus on ühikring ning seos

Eeldus: oskad ühikringilt lugeda siinuse ja koosinuse märki ning tead radiaani ja kraadi seost.

Negatiivse nurga valemid on

Summa ja vahe valemid:

Kui $\alpha=\beta$, saadakse kahekordse nurga valemid:

Taandamisvalemite mõte pole eraldi tabeli päheõppimine. Leia ühikringilt võrdlusnurk, otsusta veerandi järgi märk ning vaata, kas koordinaadi roll jääb samaks või vahetub.

Näide

Leiame $\sin75^\circ$:

Seega

Kui $\sin\alpha=\frac35$ ja $\alpha$ on teravnurk, siis $\cos\alpha=\frac45$. Järelikult

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lihtsusta $\sin(-x)$.
2. Kirjuta lahti $\sin(\alpha+\beta)$.
3. Kirjuta $\cos2x$ ainult $\cos x$ kaudu.

Rakendus

4. Ühikringi punkt vastab nurgale $75^\circ$. Leia punkti $x$-koordinaat täpselt.
5. Kui $\sin\alpha=\frac5{13}$ ja $\alpha$ on teravnurk, leia $\sin2\alpha$.
6. Lihtsusta $\sin^2x+\cos^2x+\cos2x$ ainult koosinuse kaudu.

Mõtlemisülesanne

7. Põhjenda valemi abil, miks $\sin(90^\circ-x)=\cos x$.
8. Leia täpselt $\sin15^\circ$.
9. Lahenda $\cos2x=0$ vahemikus $0\le x<\pi$ ning kontrolli mõlemat lahendit algvõrrandis.

Vastused

1. $-\sin x$, sest siinus on paaritu funktsioon.
2. $\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$.
3. $\cos2x=2\cos^2x-1$.
4. $\cos75^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$; summa valemis lahutatakse siinuste korrutis.
5. $\cos\alpha=\frac{12}{13}$ ja $\sin2\alpha=\frac{120}{169}$.
6. $1+\cos2x=2\cos^2x$.
7. Kasuta vahe valemit ja väärtusi $\sin90^\circ=1$, $\cos90^\circ=0$.
8. $\sin15^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$, kasutades vahet $45^\circ-30^\circ$.
9. $2x=\frac\pi2+k\pi$, seega vahemikus sobivad $x=\frac\pi4$ ja $x=\frac{3\pi}{4}$. Mõlemal juhul on $2x$ paaritu arvu $\frac\pi2$ kordne ning koosinus on 0.

Seosed

Valemid võimaldavad trigonomeetrilisi põhivõrrandeid teisendada ning aitavad üldise kolmnurga ja perioodiliste mudelite seoseid põhjendada.

Siinusteoreem ja koosinusteoreem

Mõiste

Siinus- ja koosinusteoreem kehtivad igas kolmnurgas. Küljed $a,b,c>0$ on vastavalt nurkade $A,B,C$ vastas; $0^\circ<A,B,C<180^\circ$ ja $A+B+C=180^\circ$. Tipp ja selle juures olev nurk kasutavad siin sama tähte.

Eeldus: tunned täisnurkse kolmnurga trigonomeetriat ja kolmnurga nurgasummat. Tõestustes kasutame ka ühikringi seoseid.

Siinusteoreem

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.$$

Siinusteoreemi tõestus

Kolmnurga pindala $S$ on alus korda kõrgus jagatud kahega. Aluse $c$ kõrgus on $b\sin A$: nürinurga korral kasutame selle kõrvunurka ja seost $\sin(180^\circ-A)=\sin A$. Täisnurga korral on kõrgus $b$. Valides kordamööda kõik kolm alust, saame

$$2S=bc\sin A=ac\sin B=ab\sin C.$$

Jagame positiivse korrutisega $abc$:

$$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}.$$

Positiivsete suhete pöördväärtused annavad siinusteoreemi.

Koosinusteoreem

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$

Nurk $C$ jääb külgede $a$ ja $b$ vahele.

Koosinusteoreemi tõestus

Valime koordinaadid $C=(0;0)$, $B=(a;0)$ ja $A=(b\cos C;b\sin C)$. Kahe punkti kauguse valem annab küljele $AB=c$:

$$c^2=(b\cos C-a)^2+(b\sin C)^2.$$

Avame ruudud ja kasutame $\sin^2 C+\cos^2 C=1$:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$

Nürinurga korral on $\cos C<0$, kuid sama arvutus kehtib. Täisnurga korral on $\cos C=0$ ja tulemuseks on Pythagorase teoreem.

Millal kumba kasutada?

Näide

Külg koosinusteoreemiga

Kui $a=7$, $b=9$ ja $C=60^\circ$, siis $\cos60^\circ=1/2$. Koosinusteoreemist

$$c^2=7^2+9^2-2\cdot7\cdot9\cdot\frac12=67.$$

Külje pikkus on positiivne: $c=\sqrt{67}\approx8{,}2$.

Külg siinusteoreemiga

Olgu $A=40^\circ$, $B=70^\circ$ ja $a=6$. Otsime vastaskülge $b$ ning kasutame võrdust $a/\sin A=b/\sin B$:

$$b=\frac{6\sin70^\circ}{\sin40^\circ}\approx8{,}8.$$

Kaks võimalikku kolmnurka

Olgu $A=30^\circ$, $a=7$ ja $b=10$. Siis $\sin B=b\sin A/a=5/7$.

Saame $B_1\approx45{,}6^\circ$ või $B_2\approx134{,}4^\circ$. Mõlemal juhul on $A+B<180^\circ$. Kolmas nurk on vastavalt $C_1\approx104{,}4^\circ$ või $C_2\approx15{,}6^\circ$: antud tingimustele vastab kaks kolmnurka.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Millal piisab Pythagorase teoreemist?
2. Kirjuta koosinusteoreem külje $a$ jaoks.
3. Mis andmeid on vaja siinusteoreemi kasutamiseks?

Rakendus

4. Maamõõtja saab kolmnurkse ala külgedeks $a=4$ m ja $b=6$ m ning nendevaheliseks nurgaks $C=60^\circ$. Leia kolmas piir $c$.
5. Leia külg $b$, kui $A=30^\circ$, $B=80^\circ$ ja $a=5$.

Mõtlemisülesanne

6. Kolmnurga küljed on 3, 4 ja 5. Kas pikima külje vastasnurk on täisnurk? Põhjenda.
7. Külgede 5, 7 ja 8 vastas on nurgad $A,B,C$. Leia suurim nurk.
8. Teada on $a=10$, $b=12$ ja nende vaheline nurk $C=40^\circ$. Millist teoreemi kasutad esimesena ja miks?
9. Teada on külg $a$, nurk $A$ ja nurk $B$. Millist teoreemi kasutad külje $b$ leidmiseks?
10. Olgu $A=30^\circ$ ja $b=10$. Mitu kolmnurka on võimalik, kui a) $a=4$, b) $a=5$, c) $a=7$?

Vastused

1. Kui kolmnurk on täisnurkne ja otsitakse külgede seost; siis on Pythagoras lihtsam erijuht.
2. $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, kus nurk $A$ on külje $a$ vastas.
3. Vähemalt ühte külje ja vastasnurga paari ning veel üht seotud suurust, näiteks $a,A,B$.
4. Koosinusteoreem, sest teada on $a=4$, $b=6$ ja nende vaheline nurk $C=60^\circ$: $c^2=4^2+6^2-2\cdot4\cdot6\cos60^\circ=28$, seega $c=2\sqrt7\approx5{,}3$ m.
5. Siinusteoreem, sest teada on vastaspaar $a=5$, $A=30^\circ$ ja nurk $B=80^\circ$: $\frac{b}{\sin80^\circ}=\frac{5}{\sin30^\circ}$, seega $b=\frac{5\sin80^\circ}{\sin30^\circ}\approx9{,}8$.
6. Jah, sest $5^2=3^2+4^2$; Pythagorase teoreemi pöördväite järgi on vastasnurk $90^\circ$.
7. Suurim on $C$, sest see on külje 8 vastas. Koosinusteoreemist $\cos C=\frac{5^2+7^2-8^2}{2\cdot5\cdot7}=\frac17$, seega $C\approx81{,}8^\circ$.
8. Koosinusteoreemi, sest teada on kaks külge $a,b$ ja nende vaheline nurk $C$.
9. Siinusteoreemi, sest teada on vastav külje ja vastasnurga paar $a,A$ ning otsitakse paarilist $b,B$.
10. a) 0: $\sin B=5/4>1$. b) 1: $B=90^\circ$ ja $C=60^\circ$. c) 2: näites leitud $45{,}6^\circ$ ning $134{,}4^\circ$ annavad mõlemad positiivse kolmanda nurga.

Seosed

Teoreemid ühendavad trigonomeetria, pindala ja koordinaatgeomeetria.

Radiaanid ja perioodilisus

Mõiste

Radiaan on nurga mõõtühik. Ühe radiaani suurusele kesknurgale vastava kaare pikkus võrdub ringjoone raadiusega. Täispööre on

$$2\pi\text{ rad}=360^\circ.$$

Seega

$$\pi\text{ rad}=180^\circ.$$

Ühe radiaani definitsioon on täpne iga raadiusega ringjoonel. Ainult selle kraadiväärtus on siin ümardatud: $1\text{ rad}=\frac{180^\circ}{\pi}\approx57,3^\circ$.

Kesknurga $\alpha\ge0$ suurus radiaanides on $\alpha=s/r$, kus $s$ on vastava kaare pikkus ja $r>0$ raadius samas pikkusühikus. Sama kesknurgaga sektorid on sarnased: raadiuse suurendamisel kasvab ka kaare pikkus sama teguriga, nii et suhe ei muutu.

See suhe on ühikuta arv, aga kirjutame juurde rad, et oleks selge, et arv mõõdab nurka.

Suunatud nurga puhul märgitakse lisaks pöörde suund: vastupäeva pööre on positiivne, päripäeva pööre negatiivne.

Eeldus: tunned ühikringi, trigonomeetriliste funktsioonide perioodi ning kraadides mõõdetud nurki.

Kui nurk $\alpha\ge0$ on radiaanides, siis kaare pikkus on

$$s=r\alpha,$$

kus $r$ on raadius ja $\alpha$ nurk radiaanides.

Ühikute teisendamine:

$$\text{kraadid}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\text{radiaanid},$$

$$\text{radiaanid}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=\text{kraadid}.$$

Teisendustabel

Perioodilisus

Positiivne arv $T$ on funktsiooni periood, kui määramispiirkond säilib nihkel $T$ mõlemas suunas ja $f(x+T)=f(x)$ kõigi lubatud $x$ väärtuste korral. Funktsioonil võib olla mitu perioodi; siin otsime neist vähimat positiivset.

Siinuse ja koosinuse vähim positiivne periood on $2\pi$:

$$\sin(x+2\pi)=\sin x.$$

$$\cos(x+2\pi)=\cos x.$$

See tähendab, et graafik kordub iga täispöörde järel.

Ühikringil jõuad pärast $2\pi$ lisamist samasse punkti tagasi.

Tangensi vähim positiivne periood on $\pi$. Tangens on määratud ainult siis, kui $\cos x\ne0$, s.t $x\ne\frac\pi2+k\pi$, $k\in\mathbb Z$. Lubatud väärtuste korral

$$\tan(x+\pi)=\tan x.$$

Põhjus on see, et poole pöörde järel on ühikringi punkt vastaspunktis, kuid suhe $\frac{\sin x}{\cos x}$ jääb samaks:

$$\frac{-\sin x}{-\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}.$$

Miks ei piisa väiksemast nihkest? Siinus saavutab väärtuse 1 ainult nurkadel $\pi/2+2k\pi$, koosinus nurkadel $2k\pi$. Perioodinihe viib maksimumikoha teiseks maksimumikohaks, seega on see $2\pi$ täisarvkordne. Tangensi nullkohad on $k\pi$. Kuna perioodinihe viib nullkoha teiseks nullkohaks, on tangensi periood $\pi$ täisarvkordne. Siin on $k\in\mathbb Z$.

Periood on ka vähima positiivse perioodi iga positiivne täisarvkordne, näiteks siinuse puhul $4\pi$.

Näide

$$90^\circ=\frac{\pi}{2}\text{ rad}.$$

Teisendame $150^\circ$ radiaanideks:

$$150^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{6}.$$

Teisendame $\frac{3\pi}{4}$ kraadideks:

$$\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=135^\circ.$$

Perioodilisuse tõttu

$$\sin\left(x+2\pi\right)=\sin x,$$

näiteks

$$\sin\left(\frac{\pi}{6}+2\pi\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12.$$

Vastus: $150^\circ=\frac{5\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$ ja täispöörde lisamine ei muuda siinuse väärtust.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Teisenda $180^\circ$ radiaanideks.
2. Teisenda $\frac{\pi}{3}$ kraadideks.
3. Mis on siinusfunktsiooni vähim positiivne periood?

Rakendus

4. Paigal oleva keskpunktiga ratas raadiusega 3 pöördub $120^\circ$. Kui pika kaare läbib serval olev punkt?
5. Ratas pöördub $\frac{5\pi}{6}$ radiaani. Mitu kraadi ja milline osa täispöördest see on?
6. Milline väikseim positiivne radiaaninurk tuleb liita nurgale $35^\circ$, et tangensi väärtus korduks?

Mõtlemisülesanne

7. Miks $\sin(x+4\pi)=\sin x$?
8. Kas $60^\circ$ ja $\frac{\pi}{3}$ rad on sama nurga suurus? Võrdle ka nende koosinusi.
9. Kahe ratta keskpunktid püsivad paigal. Nende raadiused on 5 ja 10 ning mõlemad pöörduvad nurga $\frac{\pi}{3}$. Võrdle servapunktide läbitud kaari.

Vastused

1. $180^\circ=\pi$ rad, sest pool täispööret on $\pi$ radiaani.
2. $\frac{\pi}{3}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=60^\circ$; $\pi$ taandub välja.
3. $2\pi$ ehk $360^\circ$; ühikringil tähendab see üht täispööret.
4. $120^\circ=\frac{2\pi}{3}$ rad ja $s=r\alpha=3\cdot\frac{2\pi}{3}=2\pi$ pikkusühikut.
5. $150^\circ$ ehk $\frac{150}{360}=\frac5{12}$ täispöördest.
6. $\pi$ rad ehk $180^\circ$; tangens kordub poole pöörde järel.
7. Sest $4\pi$ on kaks täispööret ja siinus kordub iga $2\pi$ järel.
8. Jah, $60^\circ=\frac{\pi}{3}\text{ rad}$. Mõlema koosinus on $\frac12$; koosinus on arv, mitte nurk.
9. Kaared on $\frac{5\pi}{3}$ ja $\frac{10\pi}{3}$; kahekordne raadius annab sama nurga korral kahekordse kaare.

Seosed

Radiaanid muudavad trigonomeetria analüüsis loomulikuks: tuletiste ja integraalide valemid kehtivad standardkujul radiaanides. Järgmine analüüsi plokk kasutab funktsioonide muutumise kirjeldamiseks just seda mõõtu.

Trigonomeetrilised põhivõrrandid

Mõiste

Trigonomeetrilisel võrrandil on perioodilisuse tõttu enamasti lõpmata palju lahendeid. Kõigepealt leitakse ühikringilt ühe täispöörde lahendid, seejärel lisatakse periood.

Eeldus: oskad kasutada ühikringi, radiaane, trigonomeetrilisi valemeid ning lahendada lihtsat algebralist võrrandit.

Põhikujud:

Siinuse ja koosinuse korral peab $-1\le m\le1$. Tähised $\arcsin m$, $\arccos m$ ja $\arctan m$ annavad kalkulaatori ühe põhiväärtuse; kõik lahendid leitakse sümmeetria ja perioodi abil.

Näiteks

annab

Tangensi periood on $\pi$:

Kui ülesanne nõuab lahendeid kindlas vahemikus, kirjutatakse üldlahendist välja ainult sinna jäävad väärtused.

Näide

Lahendame vahemikus $0\le x<2\pi$:

Esmalt eraldame siinuse:

Ühikringil on siinus $\frac12$ I ja II veerandis. Seega

Võrrand

annab $2x=\frac\pi2+k\pi$, seega

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $\sin x=0$.
2. Lahenda $\tan x=1$.
3. Kas võrrandil $\cos x=2$ on reaalarvulisi lahendeid?

Rakendus

4. Vaateratta punkti horisontaalset asendit kirjeldab ühe pöörde jooksul $\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}$. Leia sobivad nurga $x$ väärtused vahemikus $0\le x<2\pi$.
5. Lahenda $3\sin x+3=0$ vahemikus $0\le x\le2\pi$.
6. Lahenda $\sin2x=0$ vahemikus $0\le x\le2\pi$.

Mõtlemisülesanne

7. Lahenda $2\cos^2x-1=0$ vahemikus $0\le x<2\pi$ ning kontrolli kõik lahendid algvõrrandis.
8. Miks annab võrrand $\sin x=0{,}3$ ühe perioodi jooksul kaks lahendit, aga $\sin x=1$ ainult ühe?
9. Lahenda võrratus $\sin x>0$ vahemikus $0\le x\le2\pi$.

Vastused

1. $x=k\pi$, sest siinus on null iga poolpöörde järel.
2. $x=\frac\pi4+k\pi$, sest tangensi periood on $\pi$.
3. Ei, sest koosinuse väärtused jäävad vahemikku $[-1;1]$.
4. $x=\frac{3\pi}{4}$ või $x=\frac{5\pi}{4}$; koosinus on negatiivne II ja III veerandis.
5. $\sin x=-1$, seega $x=\frac{3\pi}{2}$.
6. $x=0,\frac\pi2,\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$; sisemine nurk $2x$ peab olema $k\pi$.
7. $\cos x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$, seega $x=\frac\pi4,\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}$. Iga väärtuse korral on $\cos^2x=\frac12$ ja algvõrrandi vasak pool on 0.
8. Horisontaaljoon $y=0{,}3$ lõikab siinusgraafikut tõusvas ja langevas osas; maksimumtaset $y=1$ puudutab graafik ühe korra.
9. $0<x<\pi$, sest ühikringi ülemises pooles on siinuse väärtus positiivne.

Seosed

Põhivõrrandid ühendavad ühikringi, graafiku ja algebra. Tuletise peatükis kasutatakse samu perioodilisi funktsioone, kuid küsimus muutub väärtuse leidmiselt muutumiskiiruse leidmiseks.

Jadad

Mõiste

Jada on järjestatud arvude loend. Selles peatükis märgime jada liikme sümboliga $a_n$.

Tähistus: $n$ on liikme järjekorranumber, $a_n$ on selle koha väärtus.

Eeldus: oskad kasutada lineaar- ja eksponentseoseid, astmeid ning lihtsaid summavalemeid.

Näiteks jadas

$$3,\ 7,\ 11,\ 15,\ldots$$

on esimene liige $a_1=3$, teine liige $a_2=7$ ja neljas liige $a_4=15$.

Jada võib esitada:

• liikmete loendina;
• üldliikme valemina, näiteks $a_n=2n+1$;
• rekursiivselt, näiteks $a_{n+1}=a_n+4$.

Üldliikme valem annab $n$-nda liikme otse; rekursiivne valem vajab eelmist liiget.

Aritmeetilise ja geomeetrilise jada võrdlus

Aritmeetiline jada

Iga järgmine liige saadakse sama arvu liitmisel:

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Siin $d$ on jada vahe.

Aritmeetilise jada esimese $n$ liikme summa on

$$S_n=\frac n2(a_1+a_n).$$

Geomeetriline jada

Iga järgmine liige saadakse sama teguriga korrutamisel:

$$a_n=a_1q^{n-1}.$$

Siin $q$ on jada tegur ehk jagatis.

Kui $q\ne1$, siis geomeetrilise jada esimese $n$ liikme summa on

$$S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}.$$

Kui $|q|<1$, lähenevad geomeetrilise jada liikmed nullile. Sellise jada piirväärtus ja lõpmatu summa on järgmise peatüki teema.

Näide

Jadas 3, 7, 11, 15 on vahe $d=4$, seega

$$a_n=3+(n-1)\cdot4.$$

Kümnes liige on

$$a_{10}=3+9\cdot4=39.$$

Esimese 10 liikme summa on

$$S_{10}=\frac{10}{2}(3+39)=210.$$

Jada

$$5,\ 10,\ 20,\ 40,\ldots$$

on geomeetriline, sest iga järgmine liige saadakse 2-ga korrutades. Siin $a_1=5$ ja $q=2$, seega

$$a_n=5\cdot2^{n-1}.$$

Kuues liige on

$$a_6=5\cdot2^5=160.$$

Vastus: aritmeetilise jada kümnes liige on 39 ja summa 210; geomeetrilise jada kuues liige on 160.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia aritmeetilise jada 4, 9, 14, 19, ... vahe $d$.
2. Leia selle jada üldliige.
3. Leia sama jada 20. liige.

Rakendus

4. Paberilehe paksus on algul 0,1 mm ja kahekordistub iga voltimisega. Mis tüüpi jada tekib ja mis on $q$?
5. Kontol on algul 1000 eurot ja summa kasvab aastas 5%. Kirjuta mudel $A(n)$, kus $n$ on aastate arv.
6. Palli esimese põrke kõrgus on 2 m ja iga järgmine põrge ulatub $\frac34$ eelmise kõrgusest. Leia neljanda põrke kõrgus.

Mõtlemisülesanne

7. Leia aritmeetilise jada 1, 4, 7, ..., 28 liikmete summa.
8. Geomeetriline jada algab liikmetega 8, -4, 2, .... Leia viies liige ja esimese viie liikme summa.
9. Õpilane säästab esimesel kuul 100 eurot ning igal järgmisel kuul 20 eurot rohkem. Põhjenda, miks kuusummad moodustavad aritmeetilise jada, ning leia 12 kuu kogusumma.

Vastused

1. $d=5$, sest järjestikuste liikmete vahe on 5.
2. $a_n=4+(n-1)5=5n-1$, sest esimene liige on 4 ja iga samm lisab 5.
3. $a_{20}=99$, sest $a_{20}=5\cdot20-1$; siin $20$ on järjekorranumber.
4. Geomeetriline jada teguriga $q=2$, sest paksuste jagatis on püsiv.
5. $A(n)=1000\cdot1{,}05^n$, sest iga aasta korrutatakse summa teguriga 1,05.
6. $h_4=2\cdot\left(\frac34\right)^3=\frac{27}{32}\approx0{,}84$ m; esimese ja neljanda põrke vahel on kolm tegurit.
7. Siin $a_1=1$, $a_n=28$, $d=3$, liikmeid on 10; $S_{10}=145$, sest $S_{10}=\frac{10}{2}(1+28)$.
8. $a_5=8\left(-\frac12\right)^4=\frac12$ ja $S_5=8-4+2-1+\frac12=5{,}5$; negatiivne tegur vahetab märki.
9. Kuusummade vahe on alati 20 eurot, seega on jada aritmeetiline. $a_{12}=320$ ja $S_{12}=\frac{12}{2}(100+320)=2520$ eurot.

Seosed

Jadad viivad piirväärtuse, intressiarvutuse, rekursiooni ja matemaatilise induktsioonini. Järgmine peatükk eristab jada liikmete piirväärtust ja osasummade piirväärtusena tekkivat lõpmatut summat.

Jada piirväärtus ja lõpmatu summa

Mõiste

Jada piirväärtus on arv, millele jada liikmed järjekorranumbri kasvades kuitahes lähedale jõuavad. Tähistus

ütleb, et jada $a_n$ piirväärtus on $L$.

Eeldus: oskad kasutada jada üldliiget ning aritmeetilise ja geomeetrilise jada valemeid.

Piirväärtus ei pea olema ükski jada liige. Näiteks

annab liikmed $1,\frac12,\frac13,\ldots$, mis lähenevad nullile:

Kui $|q|<1$, siis $q^n\to0$. Selle tõttu saab hääbuva geomeetrilise jada kõik liikmed kokku liita:

Osasummad $S_n$ lähenevad sellele arvule; lõpmatu summa tähendab osasummade piirväärtust, mitte lõpmata paljude tehete käsitsi lõpetamist.

Arv

tekib pideva kasvamise loomuliku piirina. Ringi ümber- ja sissejoonestatud korrapäraste hulknurkade ümbermõõdud lähenevad külgede arvu kasvades ringjoone pikkusele $2\pi r$. Kui jagada need ümbermõõdud ringi läbimõõduga $2r$, on saadud jagatiste ühine piirväärtus $\pi$.

Näide

Leiame jada

piirväärtuse. Jagame liikmed $n$-ga:

Kuna $\frac1n\to0$, siis

Hääbuva geomeetrilise jada

korral on $a_1=6$ ja $q=\frac12$. Seega

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $\lim_{n\to\infty}\frac5n$.
2. Leia $\lim_{n\to\infty}\left(4+\frac2n\right)$.
3. Kas jada $2^n$ on lõpliku piirväärtusega?

Rakendus

4. Leia summa $8+4+2+1+\cdots$.
5. Leia summa $3-1+\frac13-\frac19+\cdots$.
6. Pall langeb 5 meetrit ja iga põrke kõrgus on eelmisest $\frac35$. Leia kõigi tõusude summa.

Mõtlemisülesanne

7. Miks on hääbuva geomeetrilise jada summa valemi tingimus $|q|<1$?
8. Leia $\lim_{n\to\infty}\frac{2n-7}{n+3}$ ning kontrolli lähenemise suunda liikmete $a_{10}$ ja $a_{100}$ abil.
9. Selgita, miks arvud $e$ ja $\pi$ võivad tekkida piirväärtusena, kuigi nad ei ole ühegi lõpliku sammu tulemus.

Vastused

1. $0$, sest püsiv lugeja jagatakse järjest suurema nimetajaga.
2. $4$, sest liige $\frac2n$ läheneb nullile.
3. Ei; liikmed kasvavad piiramatult.
4. $16$, sest $a_1=8$, $q=\frac12$ ja $S=\frac8{1-\frac12}$.
5. $\frac94$, sest $a_1=3$ ja $q=-\frac13$.
6. $\frac3{1-\frac35}=7{,}5$ meetrit tõusu; esimene tõus on $5\cdot\frac35=3$ m.
7. Ainult siis läheneb $q^n$ nullile ja osasummad saavad läheneda lõplikule arvule.
8. Piirväärtus on $2$, sest lugeja ja nimetaja $n$-ga jagamisel jääb piirile $\frac{2-0}{1+0}$. Lisaks $a_{10}=1$ ja $a_{100}=\frac{193}{103}\approx1{,}87$, seega liikmed lähenevad arvule 2 altpoolt.
9. Iga lõplik lähend on ebatäpne, kuid lähendite viga saab sammude arvu kasvades muutuda kuitahes väikeseks.

Seosed

Jada piirväärtus valmistab ette funktsiooni piirväärtuse: mõlemas uuritakse mitte viimast sammu, vaid väärtuse lähenemist kindlale sihile.

Piirväärtus, tuletis ja integraal

Mõiste

Piirväärtus kirjeldab, millele avaldis või funktsioon läheneb. Tuletis kirjeldab muutumiskiirust. Integraal kirjeldab kogunenud suurust või märgiga pindala graafiku ja telje vahel.

Eeldus: oskad lugeda funktsiooni graafikut, arvutada funktsiooni väärtusi ja mõista jadade lähenevust.

Analüüsi põhiküsimus on: mis juhtub siis, kui vaatame muutumist väga väikeste sammudega või kogume väga paljud väikesed osad kokku?

Piirväärtus on siin alusidee: selle abil kirjeldatakse nii väga väikese sammu tuletist kui ka väga paljude osade integraali.

Põhiideed

Piirväärtus vastab küsimusele: millele väärtused lähenevad?

See ei küsi alati funktsiooni väärtust selles punktis. Oluline on, mis juhtub punkti lähedal.

Näiteks jada

$$1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots$$

liikmed lähenevad arvule 0. Nad ei muutu kunagi negatiivseks, aga jõuavad 0-le järjest lähemale.

Tuletis:

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

Seda võib lugeda nii: võta väga väike muutus $h$, vaata funktsiooni väärtuse muutust ja lase sammul järjest väiksemaks minna. Tulemuseks on hetkeline muutumiskiirus.

Määratud integraal:

$$\int_a^b f(x)\,dx.$$

Integraali võib mõelda kui väga paljude õhukeste ristkülikute pindalade summat. Kui ristkülikud teha järjest kitsamaks, muutub summa täpseks pindalaks graafiku all.

Kolm vaadet samale ideele

Kontrollküsimus: kas ülesanne räägib lähenemisest, ühest punktist või tervest vahemikust?

Kui küsitakse "kui kiiresti praegu?", mõtle tuletisele; kui küsitakse "kui palju kokku?", mõtle integraalile.

Näide

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$f'(x)=2x.$$

Punktis $x=3$ on muutumiskiirus 6.

See tähendab, et graafiku $y=x^2$ puutuja tõus punktis $x=3$ on 6.

Kui auto kiirus on 20 m/s ja ta sõidab nii 5 sekundit, siis läbitud teepikkus on

$$20\cdot5=100\text{ m}.$$

Tõlgendus: tuletis annab hetkelise kiiruse 6; integraal liidab muutuva kiiruse korral väikesed teepikkuse osad.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mida kirjeldab piirväärtus?
2. Mida kirjeldab tuletis?
3. Mida kirjeldab määratud integraal?

Rakendus

4. Kui $f'(3)=6$, siis mida see ütleb funktsiooni kohta punktis $x=3$?
5. Kui kiirus on 12 m/s ja aeg 10 s, siis millist integraali mõtet saab siin lihtsal kujul kasutada?

Mõtlemisülesanne

6. Kui $f'(2)=0$, mida võiks see graafiku kohta vihjata?
7. Mis vahe on keskmisel muutumiskiirusel vahemikus ja tuletisel punktis?
8. Jada $a_n=\frac1n$ ei saavuta väärtust 0. Miks võib selle piirväärtus siiski olla 0?

Vastused

1. Piirväärtus kirjeldab, millele väärtused lähenevad punkti lähedal või väga kaugel.
2. Tuletis kirjeldab hetkelist muutumiskiirust ehk graafiku puutuja tõusu ühes punktis.
3. Määratud integraal kirjeldab kogunenud suurust või märgiga pindala graafiku all vahemikus.
4. Funktsiooni hetkeline muutumiskiirus punktis $x=3$ on 6; graafiku puutuja tõus on seal 6.
5. Kogunenud teepikkus on kiirus korda aeg: $12\cdot10=120$ m. See on integraali mõte püsiva kiiruse korral.
6. Puutuja tõus on 0; see võib olla maksimumi, miinimumi või horisontaalse puutuja koht.
7. Keskmine muutumiskiirus kirjeldab tervet vahemikku; tuletis kirjeldab muutumist ühes punktis.
8. $n$ kasvades saab $\frac1n$ nullile kuitahes lähedale; piirväärtus kirjeldab lähenemist, mitte väärtuse saavutamist.

Seosed

Analüüs ühendab funktsioonid, füüsika, optimeerimise, pindalad ja pidevad protsessid. Järgmine moodul keskendub tuletise arvutusreeglitele: kuidas muutumiskiirust valemitest kiiresti leida.

Tuletise arvutusreeglid

Mõiste

Tuletis näitab funktsiooni hetkelist muutumiskiirust. Arvutusreeglid aitavad tuletist leida ilma piirväärtuse definitsiooni iga kord uuesti kasutamata.

Eeldus: mõistad tuletist kui muutumiskiirust ning oskad lihtsustada astmete, sulgude ja murdavaldistega avaldisi.

Põhituletised

Konstant:

$$c'=0.$$

Astmefunktsioon:

$$(x^n)'=nx^{n-1}.$$

Eriti:

$$(x)'=1,\qquad (x^2)'=2x,\qquad (x^3)'=3x^2.$$

Summa ja kordaja

Kui funktsioonid on liidetud, tuletame liikmed eraldi:

$$(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x).$$

Kui funktsioon on korrutatud arvuga, jääb arv ette:

$$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x).$$

Näiteks

$$(3x^2-5x+7)'=6x-5.$$

Kontrollmõte: tuletis võetakse iga liikme kohta eraldi. Konstant $7$ kaob, sest konstant ei muutu.

Korrutis, jagatis ja ahelreegel

Enne reegli valikut vaata avaldise välist kuju: kas peal on summa, korrutis, jagatis või funktsioon funktsiooni sees.

Korrutise reegel:

$$(fg)'=f'g+fg'.$$

Näiteks kui

$$y=x^2(x+1),$$

siis

$$y'=2x(x+1)+x^2\cdot1=3x^2+2x.$$

Jagatise reegel:

$$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2},\qquad g\ne0.$$

Näiteks

$$y=\frac{x^2+1}{x},$$

siis

$$y'=\frac{2x\cdot x-(x^2+1)\cdot1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}.$$

Ahelreegel aitab siis, kui üks funktsioon on teise sees:

$$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x).$$

Näiteks

$$(2x+1)^3{}'=3(2x+1)^2\cdot2=6(2x+1)^2.$$

Kontrollmõte: kui avaldises on “sulg astmes”, “juur sulust” või trigonomeetriline funktsioon mingist avaldisest, siis küsi endalt, kas seal on sisemine funktsioon.

Näide

Leia funktsiooni

$$f(x)=x^3-4x^2+2x-9$$

tuletis.

Tuletame liikmete kaupa:

$$f'(x)=3x^2-8x+2.$$

Leia funktsiooni

$$g(x)=(x^2+3x)^4$$

tuletis.

Välimine funktsioon on neljas aste, sisemine funktsioon on $x^2+3x$. Ahelreegli järgi

$$g'(x)=4(x^2+3x)^3(2x+3).$$

Vastus: $f'(x)=3x^2-8x+2$ ja $g'(x)=4(x^2+3x)^3(2x+3)$.

Kui vajad abi

Korda astmete lihtsustamist ja tuletise põhitähendust: tuletis näitab muutumiskiirust. Vaata näitest, kuidas liikmed tuletatakse eraldi ja millal ahelreegel lisab sisemise tuletise. Alusta harjutustest 1-3; korrutise ja jagatise reeglid jäta järgmiseks sammuks.

Harjutused

Kitsas matemaatikas: vali õige tuletamisreegel ja arvuta korrektselt. Laias matemaatikas: põhjenda reegli valikut ning tõlgenda tuletise märki või nullkohta.

Lihtne kontroll

1. Leia $(5x^2-3x+8)'$.
2. Leia $(x^4+2x^2)'$.
3. Leia ((3x-2)^2)'.

Rakendus

4. Selgita oma sõnadega, millal on vaja ahelreeglit.
5. Liikumist kirjeldab $s(t)=t^2(t+5)$ meetrites. Leia hetkeline kiirus hetkel $t=2$ s.
6. Kontsentratsioon on $C(t)=\frac{t^2}{t+1}$ mg/l. Leia $C'(1)$ ja lisa vastusele ühik.

Mõtlemisülesanne

7. Leia $((x^2+1)^5)'$.
8. Õpilane väidab, et $(4(2x-1)^3)'=12(2x-1)^2$. Leia viga ja paranda vastus.
9. Kui $f'(x)=3x^2-12$, leia ekstreemumikandidaadid ning liigita need tuletise märgi järgi.

Vastused

1. $10x-3$, sest astmereegel annab $(5x^2)'=10x$, $(-3x)'=-3$ ja konstant kaob.
2. $4x^3+4x$, sest summa tuletatakse liikmete kaupa.
3. $6(3x-2)$, sest ahelreeglis väline tuletis on $2(3x-2)$ ja sisemine tuletis 3.
4. Ahelreeglit on vaja siis, kui funktsioon on teise funktsiooni sees, näiteks sulg astmes.
5. $s'(t)=3t^2+10t$, seega $s'(2)=32$ m/s. Tuletis annab asukoha hetkekiiruse.
6. $C'(t)=\frac{2t(t+1)-t^2}{(t+1)^2}=\frac{t^2+2t}{(t+1)^2}$, seega $C'(1)=\frac34$ mg/l ajaühiku kohta.
7. Lahenduskäik: ahelreegel annab välise tuletise $5(x^2+1)^4$ ja sisemise tuletise $2x$, seega $10x(x^2+1)^4$.
8. Puudu on sisemise funktsiooni tuletis 2. Õige vastus on $4\cdot3(2x-1)^2\cdot2=24(2x-1)^2$.
9. Kandidaadid on $x=-2$ ja $x=2$. Tuletis muutub kohal -2 plussist miinuseks, seega seal on maksimum; kohal 2 miinusest plussiks, seega seal on miinimum.

Seosed

Tuletise arvutusreeglid annavad vajalikud arvutusvõtted, aga rakendustes tuleb tuletist tõlgendada. Järgmine moodul kasutab tuletist kasvamise, kahanemise, ekstreemumite ja puutuja leidmiseks.

Eksponent-, logaritm- ja trigonomeetriliste funktsioonide tuletised

Mõiste

Astme-, eksponent-, logaritm- ja trigonomeetrilistel funktsioonidel on eri põhituletised. Enne arvutamist tunne ära funktsioonipere; seejärel rakenda vajaduse korral summa-, korrutise-, jagatise- või ahelreeglit.

Eeldus: oskad kasutada tuletise põhireegleid ning tead, et trigonomeetriliste funktsioonide tuletisvalemites mõõdetakse nurka radiaanides.