8. klassi harjutused

Astmed, juured ja standardkuju

Lihtne kontroll

1. Lihtsusta $2^5\cdot2^3$.
2. Lihtsusta $\frac{7^6}{7^2}$.
3. Kirjuta standardkujus $0,00082$.
4. Kirjuta tavakujus $6,4\cdot10^3$.

Rakendus

5. Leia $\sqrt{81}$.
6. Kirjuta standardkujus $53\,000\,000$.
7. Kirjuta standardkujus $0,000031$.
8. Arvuta $(-4)^2$ ja $-4^2$.

Mõtlemisülesanne

9. Kirjuta tavakujus $4,7\cdot10^{-3}$.
10. Paranda viga: $0,006=6\cdot10^3$.
11. Miks $18,2\cdot10^5$ ei ole standardkuju?
12. Maa läbimõõt on ligikaudu $12\,700$ km. Kirjuta see standardkujus.

Ava selgitused ja vastused

Muutuja ja avaldis

Lihtne kontroll

1. Leia avaldise $4x-3$ väärtus, kui $x=5$.
2. Leia avaldise $2a+b$ väärtus, kui $a=-1$ ja $b=7$.
3. Lihtsusta $6x+2x-5$.
4. Lihtsusta $3y^2+4y-y^2$.

Rakendus

5. Ava sulud ja lihtsusta $2(x-3)+5x$.
6. Leia avaldise $3x^2-2x+1$ väärtus, kui $x=-2$.
7. Lihtsusta $4(a+2)-3a+5$.

Mõtlemisülesanne

8. Lihtsusta $2x-3y+5x+7y-4$.
9. Ava sulud ja lihtsusta $5-(2x-3)$.
10. Leia avaldise $ab+2a-b$ väärtus, kui $a=3$ ja $b=-4$.
11. Pilet maksab $p$ eurot ja teenustasu on 2 eurot. Kirjuta avaldis 4 pileti koguhinna jaoks.
12. Kirjuta avaldis 4 pileti hinna jaoks, kui 2-eurone teenustasu lisandub iga pileti juurde eraldi.

Ava selgitused ja vastused

Võrrandid ja võrratused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $2x+7=15$.
2. Lahenda $5x-3=2x+9$.
3. Lahenda $x+4>10$.
4. Lahenda $-3x\le12$.

Rakendus

5. Kontrolli, kas $x=4$ on võrrandi $3x-2=10$ lahend.
6. Lahenda $7-2x<15$ ja kontrolli lahendihulka kahe prooviväärtusega.
7. Tekstülesanne: vihik maksab 2 eurot ja pliiats 1 euro. Kui ostetakse $x$ vihikut ja üks pliiats ning kulub 11 eurot, leia $x$.
8. Tallinna klassiekskursiooni eelarves arvestatakse õpilase kinopiletiks 6 eurot ja joogipudeliks 2 eurot. Kui kulus 26 eurot ning osteti $x$ piletit ja üks joogipudel, leia $x$.

Mõtlemisülesanne

9. Tekstülesanne: bussipilet maksab 3 eurot. Sul on 20 eurot. Mitu piletit saad kõige rohkem osta?
10. Lahenda $4x+1\ge 2x+9$.
11. Kontrolli, kas $x=-5$ kuulub võrratuse $-2x\le8$ lahendihulka.
12. Lahenda $2x-5<3$ ja otsusta, kas $x=4$ kuulub lahendihulka.

Ava selgitused ja vastused

Hulkliikmed ja tegurdamine

Lihtne kontroll

1. Nimeta hulkliikme $4x^2-3x+8$ liikmed ja nende kordajad.
2. Arvuta $2x^2-3x+1$ väärtus, kui $x=-2$.
3. Lihtsusta $(3x^2-2x+1)-(x^2+4x-5)$.
4. Korruta $3x(2x^2-x+4)$.

Rakendus

5. Jaga $(12x^3-8x^2+4x):(4x)$, kus $x\ne0$.
6. Korruta $(x+4)(x-2)$.
7. Ava sulud abivalemiga: $(x-5)^2$.
8. Tegurda $5x^2+10x$.

Mõtlemisülesanne

9. Tegurda $9x^2-1$.
10. Tegurda $x^2-14x+49$.
11. Ristküliku küljed on $x+2$ ja $x+5$. Avalda selle pindala hulkliikmena.
12. Selgita valemi $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ geomeetrilist tähendust ruudu pindalade abil.

Ava selgitused ja vastused

VIII klass: funktsiooni sild

Lihtne kontroll

1. Koosta tabel valemile $y=2x+1$, kui $x=0,1,2,3$.
2. Kui $y=2x+1$, leia $y$, kui $x=5$.

Rakendus

3. Kui $y=2x+1$ ja $y=15$, leia $x$.
4. Bussipilet maksab 2 eurot. Kirjuta valem $n$ pileti hinna kohta.

Mõtlemisülesanne

5. Sama valemi põhjal leia 7 pileti hind.
6. Kirjuta ühe lausega, mis vahe on võrrandil ja funktsioonil.
7. Kas seos "õpilasele vastab tema sünnikuu" on funktsioon? Põhjenda.
8. Kas seos "kuupäevale vastavad kõik selle päeva sünnipäevalapsed klassis" on alati funktsioon? Põhjenda.
9. Tabelis on punktid (0;3), (1;5), (2;7). Kirjuta valem kujul $y=ax+b$.
10. Valemis $y=4x-1$ nimeta muutumise kiirus ja algväärtus.

Ava selgitused ja vastused

Lineaarvõrrandisüsteemid

Lihtne kontroll

1. Lahenda süsteem x+y=8, x-y=2.
2. Joonisel oleva süsteemi lahend on (2;3). Mida tähendab see graafiliselt? Selgita, mida näitavad arvud 2 ja 3.
3. Too näide süsteemist, millel lahend puudub.
4. Lahenda asendusvõttega: $y=x+4$, $x+y=12$.

Rakendus

5. Millal on süsteemil lõpmata palju lahendeid?
6. Lahenda liitmisvõttega: $x+y=9$, $x-y=1$.
7. Lahenda asendusvõttega: $y=3x-2$, $x+y=10$.

Mõtlemisülesanne

8. Kontrolli, kas (2;3) on süsteemi $y=x+1$, $y=-x+5$ lahend.
9. Milline võte sobib hästi süsteemile $2x+y=7$, $y=5-x$? Põhjenda.
10. Too näide süsteemist, millel on lõpmata palju lahendeid.
11. Lahenda süsteem $2x+y=5$, $4x+2y=10$. Mitu lahendit on?
12. Lahenda süsteem $2x+y=5$, $4x+2y=12$. Mitu lahendit on?

Ava selgitused ja vastused

Võrrandisüsteemide tekstülesanded

Lihtne kontroll

1. Kahe arvu summa on 24 ja vahe 6. Tähista arvud ning koosta süsteem.
2. Klassis on kokku 28 õpilast. Tüdrukuid on poistest 4 rohkem. Koosta süsteem.
3. Selgita, miks tuleb tekstülesande lõpus kirjutada ühikuga vastus.

Rakendus

4. Muuseumisse osteti 20 piletit. Täiskasvanupilet maksis 7 eurot ja õpilaspilet 4 eurot, kokku maksti 98 eurot. Leia kummagi liigi piletite arv.
5. Ristküliku ümbermõõt on 30 cm ja pikkus laiusest 3 cm suurem. Leia küljed.
6. Kahe arvu summa on 41. Üks arv on teisest 7 võrra suurem. Leia arvud.

Mõtlemisülesanne

7. Koosta ise piletihindade ülesanne, mille lahend on 12 täiskasvanu- ja 18 õpilaspiletit.
8. Jalgrattur ja jalakäija läbisid kokku 39 km. Jalgrattur läbis jalakäijast kolm korda pikema maa. Koosta süsteem, lahenda ning hinda, kas vastus on mõistlik.
9. Miks ei piisa tekstülesandes alati ainult sellest, et arvupaar rahuldab võrrandeid?

Ava selgitused ja vastused

Punkt, sirge ja nurk

Lihtne kontroll

1. Mis liiki nurk on $35^\circ$?
2. Mis liiki nurk on $125^\circ$?
3. Üks kõrvunurk on $73^\circ$. Leia teine.
4. Kaks sirget lõikuvad. Üks nurk on $108^\circ$. Kui suur on tema tippnurk?

Rakendus

5. Kaks sirget lõikuvad. Üks nurk on $108^\circ$. Kui suur on selle kõrval olev kõrvunurk?
6. Mis vahe on lõigul $AB$ ja kiirel $\overrightarrow{AB}$?
7. Üks kõrvunurk on $41^\circ$. Leia teine.

Mõtlemisülesanne

8. Kaks sirget lõikuvad. Üks nurk on $67^\circ$. Leia ülejäänud kolm nurka.
9. Punkti ümber on kolm nurka: $80^\circ$, $95^\circ$ ja $x$. Leia $x$.
10. Nurk $x$ ja nurk $35^\circ$ moodustavad täisnurga. Leia $x$.
11. Joonisel paistab nurk umbes $90^\circ$, aga juurde on kirjutatud $87^\circ$. Millist väärtust kasutad arvutuses ja miks?

Ava selgitused ja vastused

Kolmnurgad ja nelinurgad

Lihtne kontroll

1. Kolmnurga kaks nurka on $35^\circ$ ja $65^\circ$. Leia kolmas nurk.
2. Kas kolmnurk nurkadega $40^\circ, 50^\circ, 90^\circ$ on täisnurkne?
3. Leia kolmnurga ümbermõõt, kui küljed on 4 cm, 5 cm ja 6 cm.

Rakendus

4. Nelinurga kolm nurka on $100^\circ$, $80^\circ$ ja $90^\circ$. Leia neljas.
5. Millisel nelinurgal on kõik küljed võrdsed ja kõik nurgad täisnurgad?
6. Ristküliku küljed on 8 cm ja 3 cm. Leia ümbermõõt ja pindala.

Mõtlemisülesanne

7. Rööpküliku alus on 12 cm ja kõrgus 5 cm. Leia pindala.
8. Ristküliku üks külg on 7 cm ja pindala on 35 cm². Leia teine külg.
9. Kolmnurga nurgad on $x$, $2x$ ja $3x$. Leia nurgad.
10. Kas pikkustest 4 cm, 5 cm ja 10 cm saab moodustada kolmnurga?
11. Leia korrapärase kuusnurga ühe sisenurga suurus.
12. Rombi diagonaalid on 6 cm ja 10 cm. Leia rombi pindala.

Ava selgitused ja vastused

Ring ja sümmeetria

Lihtne kontroll

1. Leia diameeter, kui raadius on 7 cm.
2. Leia raadius, kui diameeter on 18 cm.
3. Leia ringi pindala, kui $r=4$.
4. Leia ringjoone pikkus, kui $r=4$.

Rakendus

5. Mis vahe on kõõlul ja diameetril?
6. Leia ringjoone pikkus, kui diameeter on 20 cm.
7. Leia ringi pindala, kui diameeter on 14 cm.

Mõtlemisülesanne

8. Kas ülesandes “ümber lillepeenra pannakse ääris” on vaja ringjoone pikkust või pindala?
9. Kas ülesandes “ümmargune vaip katab põrandat” on vaja ringjoone pikkust või pindala?
10. Mitu sümmeetriatelge on ringil?
11. Kas sirge, mis lõikab ringi kahte võrdsesse poolde, peab läbima keskpunkti?

Ava selgitused ja vastused

Mis on tõestus?

Lihtne kontroll

1. Kas üks näide tõestab väite "kõik paarisarvud jaguvad 4-ga"?
2. Too vastunäide väitele "kõik täisarvud on positiivsed".

Rakendus

3. Tõesta otseselt: kui arv jagub 6-ga, siis ta jagub 3-ga.
4. Kas väide "kui arv jagub 3-ga, siis ta jagub 6-ga" on tõene?

Mõtlemisülesanne

5. Miks tuleb väites "parajasti siis, kui" tõestada kaks suunda?
6. Millist tõestusviisi kasutaksid väite "iga paarisarv on kujul $2k$" jaoks?
7. Millist tõestusviisi kasutaksid väite "iga algarv on paaritu" kontrollimiseks?

Ava selgitused ja vastused

Geomeetriline definitsioon ja tõestus

Lihtne kontroll

1. Kas „kolmnurga sisenurkade summa on $180^\circ$” on definitsioon, aksioom või teoreem?
2. Sõnasta trapetsi definitsioon.
3. Sõnasta paralleelide aksioom oma sõnadega.

Rakendus

4. Kirjuta tippnurkade tõestusest välja antu ja eesmärk.
5. Nimeta kolmnurga sisenurkade summa teoreemi eeldus ja väide.
6. Leia viga põhjenduses „nurgad on võrdsed, sest nad paistavad võrdsed”.

Mõtlemisülesanne

7. Milliseid kolme varasemat seost kasutatakse kolmnurga sisenurkade summa tõestuses?
8. Kas vastunäide tõestab väite või lükkab üldväite ümber?
9. Koosta kaheveeruline väite-põhjuse tabel tippnurkade tõestusele.

Ava selgitused ja vastused

Paralleelsed sirged ja nurgad

Lihtne kontroll

1. Lõikaja lõikab kahte paralleelset sirget. Üks vastav nurk on $52^\circ$. Kui suur on teine?
2. Lõikaja lõikab kahte paralleelset sirget. Üks samapoolne sisenurk on $71^\circ$. Leia teine.
3. Kas põiknurgad on paralleelsete sirgete korral võrdsed?

Rakendus

4. Leia $138^\circ$ nurga kõrval olev kõrvunurk.
5. Lõikaja tekitab võrdse paari vastavaid nurki. Mida saab sirgete kohta järeldada?
6. Kaks paralleelset sirget lõikuvad lõikajaga. Üks põiknurk on $83^\circ$. Leia temaga paari moodustav põiknurk ja põhjenda.

Mõtlemisülesanne

7. Paralleelsete sirgete üks nurk on $x$ ja selle samapoolne sisenurk $3x$. Leia mõlemad.
8. Miks ei piisa paralleelsuse tõestamiseks sellest, et sirged joonisel ei paista lõikuvat?
9. Lõikaja lõikab kahte paralleelset sirget. Ühes lõikepunktis on nurk $47^\circ$. Leia teise lõikepunkti nürinurgad ja põhjenda.

Ava selgitused ja vastused

Kolmnurga kesklõik, mediaan ja trapets

Lihtne kontroll

1. Kolmnurga külg $BC=18$ cm. Leia sellega paralleelne kesklõik.
2. Trapetsi alused on 6 cm ja 10 cm. Leia kesklõik.
3. Milliste trapetsi külgedega on kesklõik paralleelne?
4. Milliseid punkte ühendab kolmnurga mediaan?

Rakendus

5. Kolmnurga kesklõik on 9 cm. Leia paralleelse kolmanda külje pikkus.
6. Trapetsi kesklõik on 13 cm ja üks alus 8 cm. Leia teine alus.
7. Trapetsi alused on 9 cm ja 15 cm ning kõrgus 6 cm. Leia pindala.
8. Mediaan on 15 cm. Leia raskuskeskme tekitatud kahe osa pikkused.

Mõtlemisülesanne

9. Trapetsi alused on $x$ cm ja $(x+6)$ cm, kesklõik 12 cm. Leia alused.
10. Miks on kolmnurga kesklõigu paralleelsus oluline nurgaseoste jaoks?
11. Trapetsi üks alus suureneb 4 cm ja teine ei muutu. Kui palju muutub kesklõik?
12. Trapetsi alused on eri pikkusega ja haarad võrdsed. Üks alumine alusnurk on $68^\circ$. Leia ülejäänud kolm nurka.

Ava selgitused ja vastused

Ringjoone nurgad ja korrapärane hulknurk

Lihtne kontroll

1. Kesknurk on $90^\circ$. Leia sama kaare piirdenurk.
2. Piirdenurk on $38^\circ$. Leia sama kaare kesknurk.
3. Leia korrapärase kaheksanurga kesknurk.
4. Kui suur on puutuja ja puutepunkti tõmmatud raadiuse vaheline nurk?

Rakendus

5. Kaks piirdenurka toetuvad samale kaarele. Üks on $52^\circ$. Leia teine.
6. Leia korrapärase viisnurga ühe sisenurga suurus.
7. Miks on diameetrile toetuv piirdenurk täisnurk?
8. Milliste sirgete lõikepunkt annab kolmnurga ümberringjoone keskpunkti?
9. Korrapärase hulknurga ümbermõõt on 40 cm ja apoteem 5 cm. Leia pindala.

Mõtlemisülesanne

10. Korrapärase hulknurga kesknurk on $30^\circ$. Mitu külge hulknurgal on?
11. Korrapärase hulknurga üks sisenurk on $135^\circ$. Mitu külge sellel on?
12. Punktist $P$ on ringjoonele tõmmatud puutujad puutepunktidega $A$ ja $B$. Kui $PA=7$ cm, leia $PB$.
13. Selgita, miks korrapärase hulknurga kesknurkade summa on $360^\circ$.

Ava selgitused ja vastused

Tõestamine ja ringjoone teoreemid

Lihtne kontroll

1. Kesknurk on $124^\circ$. Leia samale kaarele toetuv piirdenurk.
2. Kaar vastab kesknurgale $240^\circ$. Leia sellele kaarele toetuv piirdenurk.
3. Miks ei tohi Thalese teoreemis võtta $C=A$?

Rakendus

4. Piirdenurk on $48^\circ$. Leia samale kaarele toetuv teine piirdenurk ja kesknurk.
5. Raadius $OT$ lõpeb puutepunktis $T$. Kui suure nurga moodustab ta puutujaga?
6. Põhjenda Thalese teoreemi kesk- ja piirdenurga seose abil.

Mõtlemisülesanne

7. Tõesta Thalese teoreem teisiti: ühenda $C$ keskpunktiga $O$. Kasuta võrdhaarseid kolmnurki $AOC$ ja $BOC$ ning kolmnurga $ABC$ nurgasummat.
8. Kõõlu otspunktid on $A$ ja $B$. Piirdenurga tipp liigub ühelt kaarelt teisele. Miks ei pruugi nurk samaks jääda?

Ava selgitused ja vastused

Sarnasus ja kaudne mõõtmine

Lihtne kontroll

1. Vastavad küljed on 4 cm ja 10 cm. Leia sarnasustegur väiksemalt suuremale.
2. Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, millisele küljele vastab $BC$?
3. Kui pikkused suurenevad 3 korda, mitu korda suureneb pindala?

Rakendus

4. Sarnasustegur on 2,5 ja väiksema kujundi külg 6 cm. Leia vastav suurem külg.
5. Püstise posti vari on 6 m ja püstise 1 m pikkuse lati vari 1,5 m. Varjud mõõdetakse samal ajal horisontaalsel maal. Leia posti kõrgus paralleelsete päikesekiirte mudelis.
6. Plaani mõõtkava on $1:500$. Kui pikk on plaanil 3 cm lõik tegelikkuses?

Mõtlemisülesanne

7. Väiksema kujundi pindala on 12 cm² ja sarnasustegur 2. Leia suurema pindala.
8. Punkt $A$ on vastaskaldal, punktid $B,C,D$ selles järjekorras sirgel kaldal ning $AB$ on kaldaga risti. Olgu $BC=6$ m ja $CD=3$ m. Märgi maismaale punkt $E$ nii, et $DE$ on kaldaga risti ja $A,C,E$ ühel sirgel. Kui $DE=4$ m, leia jõe laius $AB$. Joonesta skeem ja põhjenda sarnasust.
9. Miks tuleb varjumeetodil mõõta lati ja objekti vari samal ajal?

Ava selgitused ja vastused

Probleemilahendus ja mudelid

Kitsas matemaatikas: kirjuta mudel, asenda arvud ja tõlgenda vastus. Laias matemaatikas: nimeta ka eeldused ja piirangud.

Lihtne kontroll

1. Telefonipakett maksab 8 eurot kuus ja 0,05 eurot iga sõnumi eest. Kirjuta mudel kogukulu jaoks.
2. Kui selles mudelis saadetakse 120 sõnumit, mis on kogukulu?

Rakendus

3. Basseini täitub kiirusega 15 liitrit minutis. Kirjuta mudel vee hulga kohta pärast $t$ minutit, kui alguses on basseinis 200 liitrit vett.
4. Millist eeldust teeb lineaarne mudel $y=3x+4$ rattalaenutuse näites?

Mõtlemisülesanne

5. Too üks kontrollküsimus, mida peaks pärast vastuse leidmist küsima.
6. Millal peaks lineaarse mudeli asemel otsima teistsugust mudelit?
7. Leia rattalaenutuse mudelis sisend, väljund ja üks eeldus.

Ava selgitused ja vastused