VIII klass: funktsiooni sild
Enne alustamist8. klass · raskus 2/5
Mõiste
Funktsioon kirjeldab, kuidas üks suurus sõltub teisest. VIII klassis näe seost neljal kujul:
Eeldus: oskad koostada avaldist, lahendada lihtsat võrrandit ja märkida punkte koordinaatteljestikule.
| Kuju | Näide |
|---|---|
| sõnaline kirjeldus | iga tund lisandub 3 km |
| avaldis või valem | $s=3t$ |
| tabel | sisendid $t=0,1,2,3$ ja vastavad väljundid |
| graafik | punktid koordinaatteljestikul |
Võrrand küsib "millal on väärtus kindel?", funktsioon "kuidas väärtus muutub?".
Kontrollküsimus: kas iga sisendi kohta tekib täpselt üks väljund? Kui jah, on seos funktsioon.
Lineaarfunktsioonis $y=ax+b$ näitab $a$, kui kiiresti väärtus muutub, ja $b$ algväärtust.
Näide
Jalutaja liigub kiirusega 4 km tunnis. Teepikkus sõltub ajast:
$$s=4t.$$
Tabel:
| $t$ tundides | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| $s$ kilomeetrites | 0 | 4 | 8 | 12 |
Iga veerg annab graafikule ühe punkti samades ühikutes.
Kui küsitakse, millal teepikkus on 20 km:
$$4t=20,$$
$$t=5.$$
Vastus: 20 km saavutatakse 5 tunniga; muutumise kiirus on 4 km/h ja algväärtus 0 km.
Võimalikud eksimused
Tüüpviga on segada sisend ja väljund. Aeg $t$ on sisend, teepikkus $s$ on väljund. Kui vahetad need ära, muutub ka tähendus.
Teine tüüpviga on joonistada graafik ilma telgede nimetusteta. Teljed peavad näitama, mis suurusi võrreldakse.
Kolmas tüüpviga on lugeda graafikult ainult üks punkt. Funktsioonis on tähtis kogu seos.
Neljas tüüpviga on ajada segi $a$ ja $b$ valemis $y=ax+b$: $a$ pole algväärtus, vaid muutus ühe sisendiühiku kohta.
Õpetaja põhirõhk
Kui õpilane peab tabelit, valemit ja graafikut eri seosteks, näitab see lünka sisendi ja väljundi mõistmises.
Graafikuvaatlejas kujutage jalutaja seost $y=4x$. Palu nimetada telgede suurused ja ühikud ning põhjendada, miks kirjeldab liikumist ainult osa $x\ge0$.
- Miinimum: õpilane leiab tabelist väärtused ja nimetab teljed.
- Tavarada: õpilane liigub sõnaliselt kirjelduselt valemile või graafikule.
- Lisaväljakutse: õpilane otsustab, kas antud seos on funktsioon.
Tund: 5 min sisend-väljund, 10 min üks seos neljal kujul, 15 min tabelist valemiks, 10 min väljumispilet telgede nimetamisega.
Õpilase teekontroll
Kui jääd kinni, kirjuta üks seos neljal kujul: sõnad, tabel, valem, graafik. Kui tabelist valemini ei jõua, korda muutujat ja avaldist; kui valemist graafikuni ei jõua, korda koordinaatteljestikku.
Katseta graafikul
Ava graafikuvaatleja, sea $a=4$ ja $b=0$ ning võrdle ülaloleva tabeli paare graafikuga. Siin tähistab $x$ aega ja $y$ teepikkust; vaata osa $x\ge0$.
Harjutused
Prindi selle teema harjutusleht
Lihtne kontroll
- Koosta tabel valemile $y=2x+1$, kui $x=0,1,2,3$.
- Kui $y=2x+1$, leia $y$, kui $x=5$.
Rakendus
- Kui $y=2x+1$ ja $y=15$, leia $x$.
- Bussipilet maksab 2 eurot. Kirjuta valem $n$ pileti hinna kohta.
Mõtlemisülesanne
- Sama valemi põhjal leia 7 pileti hind.
- Kirjuta ühe lausega, mis vahe on võrrandil ja funktsioonil.
- Kas seos "õpilasele vastab tema sünnikuu" on funktsioon? Põhjenda.
- Kas seos "kuupäevale vastavad kõik selle päeva sünnipäevalapsed klassis" on alati funktsioon? Põhjenda.
- Tabelis on punktid
(0;3),(1;5),(2;7). Kirjuta valem kujul $y=ax+b$. - Valemis $y=4x-1$ nimeta muutumise kiirus ja algväärtus.
Vastused
- Kui $x=0,1,2,3$, siis $y=1,3,5,7$.
- $11$.
- $x=7$.
- $h=2n$.
- 7 pileti hind on 14 eurot.
- Võrrand otsib tundmatut kindlas olukorras, funktsioon kirjeldab muutuvat seost.
- Jah, igal õpilasel on üks sünnikuu.
- Mitte tingimata, sest samal kuupäeval võib olla mitu õpilast või mitte ühtegi.
- $y=2x+3$, sest muutus on 2 ja algväärtus 3.
- Muutumise kiirus on 4 ja algväärtus on
-1.
Valmisolek võrrandisüsteemideks
Enne kahe tundmatuga võrrandisüsteeme kontrolli viit oskust:
- Kas oskad tabelist valemi leida, kui muutus on ühtlane?
- Kas eristad muutumise kiirust ja algväärtust?
- Kas oskad graafiku teljed nimetada?
- Kas saad funktsiooni väärtusest koostada võrrandi?
- Kas oskad tekstülesandes öelda, mis on sisend ja mis väljund?
Segakontroll: kohviku kuukaart maksab 5 eurot ja iga lõuna 3 eurot. Kirjuta valem $y=3x+5$ tähendus sõnadega, leia hind 8 lõuna korral ning leia, mitu lõunat saab 29 euro eest.
Vastus: $x$ on lõunate arv ja $y$ kogukulu eurodes; 8 lõuna korral $y=29$; 29 euro eest saab 8 lõunat.
Kodune 10 minuti kontroll
Kontrolli esmalt tabeli tehteid. Kui tabel, valem ja graafik ei klapi, küsi: „Kas sisend ja väljund kirjeldavad sama seost?”
Avage graafikuvaatleja. Las õppija seab $a=4$, $b=0$ ning selgitab, mida tähendab punkt $(2;8)$ jalutaja loos.
Seosed
Funktsiooni sild ühendab tekstülesande, tabeli, valemi ja graafiku. Järgmises peatükis kujutab kumbki kahe tundmatuga lineaarvõrrand üht sirget ning süsteemi lahend on nende ühine punkt. Ruutmudel ja parabool tulevad põhiteemana 9. klassis.