Üldvaade Õppija vaade Õpetaja vaade Õpetaja ja toetaja vaade Mitme rolli juhend
Tõestamine ja ringjoone teoreemid VIII klassi matemaatika materjalid

Tõestamine ja ringjoone teoreemid

Enne alustamist8. klass · raskus 4/5

Mõiste

Tõestus põhjendab, miks väide kehtib kõigil tema eeldusi rahuldavatel juhtudel. Ringjoonega on seotud keskpunkt, kaared, kõõlud, nurgad, puutujad ja lõikajad. Käsitleme nelja nurgateoreemi, mitte kõiki omadusi.

Eeldus: tunned ringjoone osi, paralleelsete sirgete nurgaseoseid ja kolmnurkade võrdsuse külg-nurk-külg tunnust. Kolmnurga nurgasumma ja võrdhaarse kolmnurga alusnurkade tõestused on varasemas tõestamispeatükis.

Ringjoone põhiteoreemid

Punktid $A$, $B$ ja $C$ on ringjoonel ning paarikaupa erinevad; $O$ on keskpunkt. Piirdenurk $\angle ACB$ toetub kaarele $AB$, millel $C$ ei asu.

Teoreem kesk- ja piirdenurgast

Samale kaarele toetuv kesknurk on piirdenurgast kaks korda suurem. Tähistame kesknurka $\theta$ ja piirdenurka $\alpha$: $\theta=2\alpha$. Ka üle $180^\circ$ ulatuva kaare puhul tuleb valida just sellele kaarele vastav kesknurk.

Teoreem kesk- ja piirdenurgast
Samale kaarele AB toetuvad kesknurk 2α ja piirdenurk α.
Kesk- ja piirdenurga teoreemi tõestus

Tõmbame diameetri $CD$. Kui $A\ne D$, on $OA=OC$ tõttu kolmnurga $AOC$ alusnurgad võrdsed. Olgu $\angle ACD=x$. Kolmnurga nurgasumma ja kõrvunurgad annavad $\angle AOD=2x$. Samamoodi annab $\angle BCD=y$ seose $\angle BOD=2y$, kui $B\ne D$.

  • Kui $D$ on $A$ ja $B$ vahel kaarel, millel $C$ ei asu, siis $\alpha=x+y$ ning $\theta=2x+2y=2\alpha$.
  • Kui $A$ ja $B$ asuvad diameetrist $CD$ samal pool, siis $\alpha=|x-y|$ ja $\theta=|2x-2y|=2\alpha$.
  • Kui $D=A$ või $D=B$, piisab ühest võrdhaarsest kolmnurgast: $\theta=2\alpha$.

Nii on kaetud keskpunkti paiknemine piirdenurga sees, väljas ja haaral.

Teoreem samale kaarele toetuvatest piirdenurkadest

Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Tõestus: mõlemad on pool samale kaarele vastavast kesknurgast. Ainult ühistest otspunktidest ei piisa: tipud peavad asuma samal kaarel, nurgad toetuvad teisele kaarele.

Thalese teoreem

Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk. Olgu $AB$ diameeter ja $C$ ringjoonel, kus $C\ne A$ ning $C\ne B$.

Thalese teoreem
AB on diameeter. Täisnurk punktis C ei nõua, et kolmnurk ABC oleks võrdhaarne.

Thalese teoreemi tõestus

Kaar $AB$, millel $C$ ei asu, on poolring. Selle kesknurk on $180^\circ$. Kesk- ja piirdenurga teoreemist järeldub $\angle ACB=180^\circ:2=90^\circ$.

Teoreem puutujast ja raadiusest

Puutuja on puutepunkti tõmmatud raadiusega risti.

Teoreem puutujast ja raadiusest
OT on raadius ja t puutuja. Täisnurga märgis jääb raadiuse pikendusel ringist väljapoole.
Puutuja ja raadiuse teoreemi tõestus

Puutuja $t$ ühine punkt ringjoonega on $T$. Oletame, et $OT$ ei ole puutujaga risti. Tõmbame $O$ kaudu sirge $s$, mis on $t$-ga risti. Peegeldus sirge $s$ suhtes jätab $O$ paigale ja viib $T$ sama sirge $t$ teise punkti $T'$. Peegeldus säilitab kaugused, seega $OT'=OT$. Järelikult asub ka $T'$ ringjoonel. See oleks teine lõikepunkt, vastuolus puutuja definitsiooniga. Niisiis $OT\perp t$.

Näide

Piirdenurk on $35^\circ$. Leia samale kaarele toetuv kesknurk ja teine piirdenurk, mille tipp asub ringjoone teises punktis.

Lahendus: kesknurk on $2\cdot35^\circ=70^\circ$, teine piirdenurk aga $35^\circ$. Need tulemused kehtivad teoreemide, mitte joonise mõõtmise tõttu.

Võimalikud eksimused

Võimalikud eksimused, mille esinemissagedust pole siin uuritud:

  • võrdsuse eeldamine üksnes joonise põhjal; vaja on antud tingimust või põhjendust;
  • kahe erineva kaare segiajamine, kuigi otspunktid on samad;
  • piirdenurga tipu valimine diameetri otspunktiks: siis kolmnurka ei teki.

Harjutused

Prindi selle teema harjutusleht

Lihtne kontroll

  1. Kesknurk on $124^\circ$. Leia samale kaarele toetuv piirdenurk.
  2. Kaar vastab kesknurgale $240^\circ$. Leia sellele kaarele toetuv piirdenurk.
  3. Miks ei tohi Thalese teoreemis võtta $C=A$?

Rakendus

  1. Piirdenurk on $48^\circ$. Leia samale kaarele toetuv teine piirdenurk ja kesknurk.
  2. Raadius $OT$ lõpeb puutepunktis $T$. Kui suure nurga moodustab ta puutujaga?
  3. Põhjenda Thalese teoreemi kesk- ja piirdenurga seose abil.

Mõtlemisülesanne

  1. Tõesta Thalese teoreem teisiti: ühenda $C$ keskpunktiga $O$. Kasuta võrdhaarseid kolmnurki $AOC$ ja $BOC$ ning kolmnurga $ABC$ nurgasummat.
  2. Kõõlu otspunktid on $A$ ja $B$. Piirdenurga tipp liigub ühelt kaarelt teisele. Miks ei pruugi nurk samaks jääda?

Vastused

  1. $124^\circ:2=62^\circ$.
  2. $240^\circ:2=120^\circ$; piirdenurk võib olla nürinurk.
  3. Üks haar kaob ja kolmnurka ei teki.
  4. Teine piirdenurk on $48^\circ$, kesknurk $96^\circ$.
  5. $90^\circ$, sest puutuja on puutepunkti raadiusega risti.
  6. Poolringi kesknurk on $180^\circ$, piirdenurk sellest pool ehk $90^\circ$.
  7. Kuna $OA=OB=OC$, on kolmnurgad võrdhaarsed. Olgu nende alusnurgad punktis $C$ vastavalt $\alpha$ ja $\beta$. Siis $\angle BAC=\alpha$, $\angle ABC=\beta$ ja $\angle ACB=\alpha+\beta$. Nurgasumma annab $2\alpha+2\beta=180^\circ$, seega $\angle ACB=90^\circ$.
  8. Nüüd toetub nurk teisele kaarele. Näiteks $120^\circ$ ja $240^\circ$ kaartele toetuvad nurgad on $60^\circ$ ja $120^\circ$.

Seosed

Tõestuste alus: Eukleidese „Elemendid”, III.20 ja III.21. Puutuja põhjendus kasutab telgsümmeetria kauguste säilimist; klassikaline tõestus on III.18.