Sarnasus ja kaudne mõõtmine

Mõiste

Sarnased kujundid saadakse üksteisest kõigi pikkuste korrutamisel sama positiivse arvuga ning vajaduse korral nihutamisel, pööramisel või peegeldamisel. Sarnastel hulknurkadel on vastavad nurgad võrdsed ja vastavate külgede pikkused võrdelised.

Eeldus: oskad koostada võrret, tunned paralleelsete sirgete nurgaseoseid ning loed kolmnurkade tippude järjekorda.

Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, siis vastavad tipud samas järjekorras:

$$A\leftrightarrow D,\quad B\leftrightarrow E,\quad C\leftrightarrow F.$$

Sarnasustegur esimeselt kolmnurgalt teisele on $k=DE/AB=EF/BC=DF/AC>0$. Vastupidises suunas on tegur $1/k$. Kui $k<1$, kujund väheneb; kui $k=1$, on kujundid võrdsed.

Kolmnurkade sarnasuse põhitunnused:

• kaks vastavat nurka on võrdsed;
• kolm vastavate külgede suhet on võrdsed;
• kahe vastava külje suhted ja nendevahelised nurgad on võrdsed.

Kui pikkused muutuvad $k$ korda, muutuvad ümbermõõdud $k$ ja pindalad $k^2$ korda.

Sarnasuse põhjendused

Ühtlane suurendamine või vähendamine säilitab nurgad ja korrutab kõik pikkused sama positiivse teguriga. Vali tegur nii, et üks vastavate külgede paar muutuks võrdseks. Kahe võrdse nurga korral on võrdsed ka kolmandad nurgad: nüüd rakendub kolmnurkade võrdsuse nurk-külg-nurk tunnus. Kolme küljesuhte või kahe küljesuhte ja nendevahelise nurga korral rakendub vastavalt külg-külg-külg või külg-nurk-külg tunnus. Seega on saadud kolmnurk teisega võrdne ning algsed kolmnurgad sarnased.

Ümbermõõt on külgede summa, seega $P'=kP$. Kolmnurga alus ja kõrgus muutuvad mõlemad $k$ korda:

$$S'=\frac{(ka)(kh)}2=k^2\frac{ah}2=k^2S.$$

Hulknurga saab jagada kolmnurkadeks; nende pindalade liitmisel säilib sama tegur $k^2$.

Näide

Püstise 1,5 m pikkuse lati vari on 2 m ja püstise puu vari 8 m. Mõõdame samal ajal horisontaalsel maal ning käsitleme päikesekiiri paralleelsetena. Kolmnurkadel on täisnurk ja võrdne päikesekiire kaldenurk, seega on need kahe nurga järgi sarnased:

$$\frac{h}{8}=\frac{1{,}5}{2}.$$

Siit

$$h=8\cdot\frac{1{,}5}{2}=6\text{ m}.$$

Vastus: mudeli järgi on puu kõrgus 6 m. Kaldus puu või maapinna korral ei saa sama võrret ilma lisapõhjenduseta kasutada.

Harjutused

Prindi selle teema harjutusleht

Lihtne kontroll

1. Vastavad küljed on 4 cm ja 10 cm. Leia sarnasustegur väiksemalt suuremale.
2. Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, millisele küljele vastab $BC$?
3. Kui pikkused suurenevad 3 korda, mitu korda suureneb pindala?

Rakendus

4. Sarnasustegur on 2,5 ja väiksema kujundi külg 6 cm. Leia vastav suurem külg.
5. Püstise posti vari on 6 m ja püstise 1 m pikkuse lati vari 1,5 m. Varjud mõõdetakse samal ajal horisontaalsel maal. Leia posti kõrgus paralleelsete päikesekiirte mudelis.
6. Plaani mõõtkava on $1:500$. Kui pikk on plaanil 3 cm lõik tegelikkuses?

Mõtlemisülesanne

7. Väiksema kujundi pindala on 12 cm² ja sarnasustegur 2. Leia suurema pindala.
8. Punkt $A$ on vastaskaldal, punktid $B,C,D$ selles järjekorras sirgel kaldal ning $AB$ on kaldaga risti. Olgu $BC=6$ m ja $CD=3$ m. Märgi maismaale punkt $E$ nii, et $DE$ on kaldaga risti ja $A,C,E$ ühel sirgel. Kui $DE=4$ m, leia jõe laius $AB$. Joonesta skeem ja põhjenda sarnasust.
9. Miks tuleb varjumeetodil mõõta lati ja objekti vari samal ajal?

Vastused

1. $k=10:4=2{,}5$.
2. Küljele $EF$, sest tipud vastavad samas järjekorras.
3. 9 korda, sest pindala tegur on $3^2$.
4. $6\cdot2{,}5=15$ cm.
5. $h:6=1:1{,}5$, seega $h=4$ m.
6. $3\cdot500=1500$ cm ehk 15 m.
7. $12\cdot2^2=48$ cm².
8. Kolmnurgad $ABC$ ja $EDC$ on sarnased: nurgad $B,D$ on täisnurgad ning nurgad $ACB,ECD$ tippnurgad. Vastavus on $A\leftrightarrow E$, $B\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow C$. Seega $AB/DE=BC/DC=6/3=2$ ja $AB=8$ m.
9. Päikese kõrgus ja seega kiirte nurk muutub ajas; eri ajal mõõdetud kolmnurgad ei pruugi olla sama mudeli järgi sarnased.

Seosed

Sarnasus on mõõtkava, maa-ala plaanistamise, Pythagorase teoreemi rakenduste ja trigonomeetria oluline eeldus.