Funktsioonide teisendused

Mõiste

Funktsiooni graafikut saab nihutada, venitada ja peegeldada. See aitab uute graafikute kuju mõista ilma kõike punktide kaupa arvutamata.

Eeldus: oskad lugeda graafiku punkte, tunned lineaar- ja ruutfunktsiooni ning saad aru koordinaatide muutumisest.

Reeglid

Nihkereeglites eeldame, et $c>0$. Kui $c=0$, nihet ei ole; negatiivse $c$ korral on suund vastupidine.

Enne/pärast võrdlus funktsiooni $f(x)=x^2$ põhjal:

Teisendust kontrollides vali üks tuttav punkt. Kui (1;1) on graafikul $y=x^2$, siis graafikul $y=x^2+3$ vastab sellele (1;4): ülesnihke korral muutub ainult $y$.

Näide

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$g(x)=(x-3)^2+2$$

on parabool, mis on nihutatud 3 ühikut paremale ja 2 üles.

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$q(x)=(x+4)^2-1$$

on 4 ühikut vasakule ja 1 ühik alla nihutatud. Haripunkt liigub

$$(0;0)\to(-4;-1).$$

Kui $f(x)=\sqrt{x}$, siis

$$g(x)=\sqrt{x-2}$$

nihkub 2 ühikut paremale. Vastus: alguspunkt (0;0) liigub punktiks (2;0).

Katseta graafikul

Ava algparabool graafikuvaatlejas ja jäta see mällu. Liiguta haripunkti kaks ühikut paremale. Võrdle uut valemit kujuga $(x-2)^2$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kuhu nihkub $y=x^2+5$?
2. Kuhu nihkub $y=(x+2)^2$?
3. Mida teeb $y=-\sqrt{x}$ võrreldes $y=\sqrt{x}$?
4. Mida teeb $y=3f(x)$ võrreldes $y=f(x)$?

Rakendus

5. Kui $f(x)=x^2$, siis kuidas saad funktsiooni, mis on 4 ühikut paremale nihutatud?
6. Kuhu liigub parabooli $y=x^2$ haripunkt funktsioonis $y=(x-5)^2-2$?
7. Andur näitab tegelikust väärtusest $f(t)$ alati 7 ühikut rohkem. Kirjuta anduri näit $g(t)$ ja kirjelda graafikute erinevust.

Mõtlemisülesanne

8. Kirjelda sammhaaval, kuidas saad graafikust $y=f(x)$ graafiku $y=-f(x+4)$.
9. Selgita, miks $y=f(x)+4$ ja $y=f(x+4)$ ei kirjelda sama nihet.
10. Kui $f(x)=\sqrt{x}$, siis kuidas kirjutada funktsioon, mis on 3 ühikut paremale nihutatud?
11. Kui punkt (2;5) on graafikul $y=f(x)$, siis mis punkt on graafikul $y=f(x)+3$?
12. Kui punkt (2;5) on graafikul $y=f(x)$, siis mis punkt on graafikul $y=f(x-4)$?

Vastused

1. 5 ühikut üles, sest +5 on funktsioonist väljaspool.
2. 2 ühikut vasakule, sest sisendis olev +2 toimib vastassuunas.
3. Peegeldab graafiku $x$-telje suhtes; iga $y$-väärtus vahetab märki.
4. Venitab graafikut vertikaalselt 3 korda; $x$ jääb samaks ja iga $y$-koordinaat korrutatakse 3-ga.
5. $y=(x-4)^2$, sest paremale nihe kirjutatakse sisendis x-4.
6. Haripunkt liigub punktist (0;0) punkti (5;-2).
7. $g(t)=f(t)+7$; anduri graafik on tegeliku väärtuse graafikust 7 ühikut kõrgemal.
8. Nihuta graafik 4 ühikut vasakule ja peegelda seejärel $x$-telje suhtes.
9. $f(x)+4$ nihutab üles, sest liidetav on funktsioonist väljas; $f(x+4)$ nihutab vasakule, sest muutus on sisendi sees.
10. $y=\sqrt{x-3}$; paremale nihe kirjutatakse sisendis x-3.
11. (2;8), sest muutub ainult $y$-väärtus.
12. (6;5), sest graafik nihkub 4 ühikut paremale ja $y$ ei muutu.

Seosed

Funktsioonide teisendused kasutavad sama koordinaatide mõtet nagu geomeetrilised teisendused: nihe, peegeldus ja venitus. Järgmine geomeetria süvenduse plokk seob need ideed Pythagorase teoreemi, sarnasuse ja vektoritega.

Eksponentfunktsioon ja logaritm

Mõiste

Eksponentfunktsioonis on muutuja astendajas:

$$y=a^x,\qquad a>0,\ a\ne1.$$

Eeldus: oskad kasutada astmeid, protsente ja funktsiooni väärtuse arvutamist.

Logaritm vastab küsimusele: millisesse astmesse tuleb alus võtta?

$$\log_a b=x \quad \Leftrightarrow \quad a^x=b.$$

Logaritmis peab alus olema $a>0,\ a\ne1$ ja argument $b>0$.

Seega logaritm on astendamise pöördtehe:

Funktsioonid $y=a^x$ ja $y=\log_a x$ on pöördfunktsioonid: üks vahetab teise sisendi ja väljundi tagasi.

Püsiva protsendilise kasvuga mudel on kujul

$$A(t)=A_0\cdot q^t,$$

kus $A_0$ on algväärtus, $q$ on kasvutegur ja $t$ on aeg.

Kontroll: lineaarse mudeli korral on järjestikuste väärtuste vahe püsiv; eksponentmudeli korral on järjestikuste väärtuste jagatis ehk kordaja püsiv.

Kui suurus kasvab $p\%$ igal sammul, siis

$$q=1+\frac p{100}.$$

Kui suurus väheneb $p\%$ igal sammul, siis

$$q=1-\frac p{100}.$$

Näide

$$\log_2 8=3,$$

sest

$$2^3=8.$$

Kui 1000 eurot kasvab 5% aastas, siis ühe aasta kasvutegur on $1,05$. Kolme aasta pärast on summa

$$1000\cdot1,05^3\approx1157,63\text{ eurot}.$$

Kui aine kogus väheneb igal tunnil 20%, siis kasvutegur on $0,8$. Kui alguses on 50 grammi, siis 4 tunni pärast on

$$50\cdot0,8^4=20,48\text{ g}.$$

Kui küsitakse, mitme sammuga jõutakse mingi väärtuseni, kasutatakse logaritmi. Näiteks

$$2^x=32$$

annab

$$x=\log_2 32=5.$$

Veel üks näide:

$$10^x=0,001.$$

Kuna $0,001=10^{-3}$, siis

$$x=\log_{10}0,001=-3.$$

Kasvumudelis saab logaritmiga leida aja. Kui summa kahekordistub iga sammuga ja alguses on 100 eurot, siis

$$100\cdot2^t=800.$$

Jagame 100-ga:

$$2^t=8.$$

Seega

$$t=\log_2 8=3.$$

Vastus: 800 euroni jõutakse 3 sammuga.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $\log_2 16$.
2. Kirjuta logaritmina võrdus $5^3=125$.
3. 200 eurot kasvab 10% aastas. Kirjuta summa valem $A(t)$.
4. Leia 200 euro suurune summa 2 aasta pärast 10% aastase kasvuga.

Rakendus

5. Ravimit on 500 mg ja kogus väheneb 30% tunnis. Kirjuta mudel ning leia kogus kahe tunni pärast.
6. Baktereid on 40 ja nende arv kolmekordistub tunnis. Kui palju on neid kolme tunni pärast?
7. Kumb kahaneb kiiremini: $A(t)=100\cdot0{,}8^t$ või $B(t)=100\cdot0{,}9^t$? Põhjenda teguri järgi.

Mõtlemisülesanne

8. Investeeringut kirjeldab $A(t)=200\cdot1{,}15^t$. Mitme täisaasta pärast on summa esimest korda vähemalt 400 eurot? Kasuta logaritmi.
9. Võrdle hetkel $t=5$ mudeleid $P(t)=100\cdot1{,}2^t$ ja $Q(t)=150\cdot1{,}1^t$. Kumb on suurem, kuigi alguses väiksem?
10. 50 ühikut kahekordistub igal sammul. Millal jõuab väärtus esimest korda vähemalt 350-ni? Leia reaalne lahend ja tõlgenda täissammu.
11. Miks ei ole $\log_2(-8)$ reaalarvuna defineeritud?

Vastused

1. $4$, sest $2^4=16$.
2. $\log_5 125=3$; alus on 5 ja vastus on aste.
3. $A(t)=200\cdot1,10^t$, sest 10% kasv annab teguri 1,10.
4. $200\cdot1,10^2=242$ eurot; korrutatakse kasvuteguriga kaks korda.
5. $A(t)=500\cdot0{,}70^t$ ja $A(2)=245$ mg; alles jääb iga tund 70%.
6. $B(t)=40\cdot3^t$, seega $B(3)=1080$ bakterit.
7. $A$, sest tegur 0,8 eemaldab tunnis 20%, tegur 0,9 ainult 10%.
8. $t\ge\frac{\log 2}{\log 1{,}15}\approx4{,}96$; esimene sobiv täisaasta on 5.
9. $P(5)\approx248{,}8$ ja $Q(5)\approx241{,}6$, seega $P$ on möödunud mudelist $Q$.
10. $t\ge\log_2 7\approx2{,}81$; esimene täissamm on 3 ja siis on väärtus 400.
11. Ükski reaalarvuline aste arvust 2 ei anna negatiivset tulemust; logaritmi argument peab olema positiivne.

Seosed

Eksponentfunktsioon kirjeldab kasvu ja kahanemist: intress, populatsioon, radioaktiivne lagunemine, skaala ja helitugevus. Järgmine trigonomeetriliste funktsioonide peatükk käsitleb teist olulist funktsioonipere: perioodilisi seoseid.

Logaritmireeglid, võrrandid ja võrratused

Mõiste

Logaritmireeglid teisendavad korrutise summaks, jagatise vaheks ja astme kordajaks:

Eeldus: oskad vahetada seoseid $a^x=b$ ja $\log_a b=x$ ning kontrollida tingimusi $a>0$, $a\ne1$ ja logaritmi argument $>0$.

Aluse vahetamise valem on

See võimaldab kasutada kalkulaatori $\log$- või $\ln$-klahvi ka teise aluse korral.

Eksponentvõrrandis püütakse esmalt saada mõlemale poole sama alus. Kui see ei õnnestu, võetakse mõlemast poolest logaritm. Logaritmvõrrandis kontrollitakse enne teisendamist kõigi argumentide positiivsust.

Eksponent- ja logaritmvõrratuse suund sõltub alusest:

• kui $a>1$, on $a^x$ ja $\log_a x$ kasvavad;
• kui $0<a<1$, on need kahanevad ning argumentide võrdlemisel pöördub võrratuse märk.

Näide

Lahendame

Tingimused annavad $x>1$. Korrutise reegli järgi

seega

Saame $x^2=9$, mistõttu kandidaadid on $x=3$ ja $x=-3$. Tingimuse $x>1$ täidab ainult $x=3$.

Võrratuses

on alus arvude 0 ja 1 vahel. Funktsioon on kahanev, seega $x<3$.

Logaritmvõrratus

Lahendame $\log_2(x-1)\le3$. Kõigepealt $x-1>0$, seega $x>1$. Alus 2 on suurem kui 1, mistõttu

$$x-1\le2^3=8.$$

Ühendades tingimused, saame $1<x\le9$.

Võrratuses $\log_{1/2}(x+1)\ge-2$ nõuame $x>-1$. Kahaneva funktsiooni tõttu pöördub märk:

$$x+1\le(1/2)^{-2}=4.$$

Vastus on $-1<x\le3$. Alumine otspunkt ei kuulu lahendisse, sest seal on logaritmi argument null.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Avalda ühe logaritmina $\log_3 5+\log_3 9$.
2. Avalda $\log_2 32-\log_2 4$.
3. Arvuta $\log_2 7$ aluse vahetamise valemiga kahe komakoha täpsusega.

Rakendus

4. Kasvumudel on $N(t)=3^{t+1}$. Leia aeg $t$, mil mudeli väärtus on 27.
5. Lahenda $\log_5(x-4)=2$ ja kontrolli tingimust.
6. Lahenda $\log_2 x+\log_2(x-2)=3$.

Mõtlemisülesanne

7. Lahenda $2^x>8$.
8. Lahenda $\left(\frac13\right)^x\le\frac1{27}$ ja põhjenda märgi suunda.
9. Lahenda $\log_2(x-1)+\log_2(x-3)=3$ ning selgita, miks mõlemad algebra kandidaadid ei sobi.
10. Lahenda $\log_3(x-2)<2$ koos määramispiirkonna tingimusega.
11. Lahenda $\log_{1/2}(x-1)\le1$ ja põhjenda märgi muutumist.

Vastused

1. $\log_3 45$, sest logaritmide summa ühendab argumendid korrutiseks.
2. $\log_2 8=3$, sest logaritmide vahe ühendab argumendid jagatiseks.
3. $\log_2 7=\frac{\log 7}{\log2}\approx2{,}81$.
4. $t=2$, sest $27=3^3$ ja seega $t+1=3$.
5. $x=29$; argument $x-4=25$ on positiivne.
6. Tingimus on $x>2$. Võrrand annab $x(x-2)=8$, kandidaadid 4 ja $-2$; vastus on $x=4$.
7. $x>3$, sest alus 2 on suurem kui 1 ja funktsioon kasvab.
8. $x\ge3$, sest funktsioon alusega $\frac13$ on kahanev ning võrratuse suund pöördub.
9. Tingimus on $x>3$. Võrrand annab $(x-1)(x-3)=8$, seega kandidaadid $x=5$ ja $x=-1$; ainult $x=5$ täidab tingimuse.
10. $2<x<11$: argument peab olema positiivne ning $x-2<9$.
11. $x\ge1{,}5$: tingimus on $x>1$ ja kahanev logaritm annab $x-1\ge1/2$.

Seosed

Logaritmireeglid ühendavad eksponentmudeli algebra ja funktsiooni omadustega. Hiljem kasutatakse naturaallogaritmi ning eksponentfunktsiooni tuletisi muutumiskiiruse uurimisel.

Trigonomeetrilised funktsioonid

Mõiste

Funktsioonid $\sin x$, $\cos x$ ja $\tan x$ kirjeldavad perioodilisi seoseid. Need on seotud ringliikumise ja lainetega.

Eeldus: oskad kasutada täisnurkse kolmnurga siinust, koosinust ja tangensit ning lugeda punkti koordinaatteljestikul.

Täisnurkses kolmnurgas oli

$$\sin\alpha=\frac{\text{vastaskaatet}}{\text{hüpotenuus}},\qquad \cos\alpha=\frac{\text{lähiskaatet}}{\text{hüpotenuus}}.$$

Ühikringil on hüpotenuusi asemel raadius pikkusega 1. Seetõttu muutuvad suhted otse koordinaatideks:

$$\cos\alpha=x,\qquad \sin\alpha=y.$$

See ongi sild täisnurkse kolmnurga ja trigonomeetriliste funktsioonide vahel: kolmnurga külgede suhted saavad ühikringil punkti koordinaatideks.

Põhiseosed

$$\sin^2x+\cos^2x=1.$$

Tangens:

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\qquad \cos x\ne0.$$

Sama nurka saab suurendada täisringi võrra ja punkt jõuab ühikringil samasse kohta:

$$\sin(x+360^\circ)=\sin x,\qquad \cos(x+360^\circ)=\cos x.$$

Radiaanides on täisring $2\pi$, seega

$$\sin(x+2\pi)=\sin x,\qquad \cos(x+2\pi)=\cos x.$$

Tangensi periood on lühem:

$$\tan(x+180^\circ)=\tan x,$$

ehk radiaanides $\tan(x+\pi)=\tan x$.

Funktsioonide $\sin x$ ja $\cos x$ väärtused jäävad vahemikku [-1;1]. Nende amplituud on 1 ja periood on $360^\circ$ ehk $2\pi$.

Graafikul tähendab periood seda, et sama lainekuju kordub. Siinusgraafik algab väärtusest 0, koosinusgraafik algab väärtusest 1.

Märgid veerandites

Ühikring aitab näha, millal siinus ja koosinus on positiivsed või negatiivsed.

Telgedel, näiteks nurkade $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$ ja $270^\circ$ korral, on üks koordinaat null. Null ei ole positiivne ega negatiivne.

Väärtused, mida tasub tunda

Näide

Kui $\alpha=30^\circ$, siis

$$\sin30^\circ=\frac12.$$

Ühikringil tähendab see, et vastava punkti $y$-koordinaat on $\frac12$.

Kui $\alpha=150^\circ$, siis nurk on II veerandis. Seal on siinus positiivne ja koosinus negatiivne:

$$\sin150^\circ=\frac12,$$

$$\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Kui $x=45^\circ$, siis

$$\tan45^\circ=\frac{\sin45^\circ}{\cos45^\circ} =\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1.$$

Vastus: $\sin30^\circ=\sin150^\circ=\frac12$, $\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}$ ja $\tan45^\circ=1$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $\cos0^\circ$.
2. Mis on $\sin^2x+\cos^2x$ väärtus?
3. Miks $\tan90^\circ$ pole defineeritud?

Rakendus

4. Mis on ühikringil punkti koordinaadid, kui nurk on $60^\circ$?
5. Mis märgiga on $\sin220^\circ$ ja $\cos220^\circ$?
6. Vaateratta kõrgust kirjeldab $h(x)=12+10\sin x$, kus $x$ on nurk kraadides. Leia $h(30^\circ)$ ja tõlgenda arvu 12.

Mõtlemisülesanne

7. Kui $\cos x=0$, siis miks võib tangensiga probleem tekkida?
8. Leia kõik nurgad vahemikus $0^\circ\le x\le720^\circ$, mille korral $\sin x=0$.
9. Kas $\sin x$ väärtus võib olla 2? Põhjenda.

Vastused

1. $1$, sest ühikringil on nurga $0^\circ$ punkt (1;0).
2. $1$; see on ühikringi seos $\sin^2x+\cos^2x=1$.
3. Sest $\cos90^\circ=0$ ja tangensis jagatakse koosinusega.
4. $\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right)$, sest punkt on $(\cos60^\circ;\sin60^\circ)$.
5. Mõlemad on negatiivsed, sest $220^\circ$ on III veerandis.
6. $h(30^\circ)=12+10\cdot\frac12=17$ m; arv 12 on vaateratta keskpunkti kõrgus.
7. Sest $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$; kui nimetaja on 0, pole jagamine lubatud.
8. $0^\circ,180^\circ,360^\circ,540^\circ,720^\circ$; siinus on null iga poolpöörde järel.
9. Ei. Siinuse väärtused jäävad vahemikku [-1;1], sest ühikringi $y$-koordinaat ei saa sellest väljuda.

Seosed

Trigonomeetrilised funktsioonid kirjeldavad perioodilist muutumist. Edasi seotakse nende graafikud radiaanmõõduga ning ühikringi seostest tuletatakse trigonomeetrilised valemid ja põhivõrrandid.

Radiaanid ja perioodilisus

Mõiste

Radiaan on nurga mõõtühik. Ühe radiaani suurusele kesknurgale vastava kaare pikkus võrdub ringjoone raadiusega. Täispööre on

$$2\pi\text{ rad}=360^\circ.$$

Seega

$$\pi\text{ rad}=180^\circ.$$

Ühe radiaani definitsioon on täpne iga raadiusega ringjoonel. Ainult selle kraadiväärtus on siin ümardatud: $1\text{ rad}=\frac{180^\circ}{\pi}\approx57,3^\circ$.

Kesknurga $\alpha\ge0$ suurus radiaanides on $\alpha=s/r$, kus $s$ on vastava kaare pikkus ja $r>0$ raadius samas pikkusühikus. Sama kesknurgaga sektorid on sarnased: raadiuse suurendamisel kasvab ka kaare pikkus sama teguriga, nii et suhe ei muutu.

See suhe on ühikuta arv, aga kirjutame juurde rad, et oleks selge, et arv mõõdab nurka.

Suunatud nurga puhul märgitakse lisaks pöörde suund: vastupäeva pööre on positiivne, päripäeva pööre negatiivne.

Eeldus: tunned ühikringi, trigonomeetriliste funktsioonide perioodi ning kraadides mõõdetud nurki.

Kui nurk $\alpha\ge0$ on radiaanides, siis kaare pikkus on

$$s=r\alpha,$$

kus $r$ on raadius ja $\alpha$ nurk radiaanides.

Ühikute teisendamine:

$$\text{kraadid}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\text{radiaanid},$$

$$\text{radiaanid}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=\text{kraadid}.$$

Teisendustabel

Perioodilisus

Positiivne arv $T$ on funktsiooni periood, kui määramispiirkond säilib nihkel $T$ mõlemas suunas ja $f(x+T)=f(x)$ kõigi lubatud $x$ väärtuste korral. Funktsioonil võib olla mitu perioodi; siin otsime neist vähimat positiivset.

Siinuse ja koosinuse vähim positiivne periood on $2\pi$:

$$\sin(x+2\pi)=\sin x.$$

$$\cos(x+2\pi)=\cos x.$$

See tähendab, et graafik kordub iga täispöörde järel.

Ühikringil jõuad pärast $2\pi$ lisamist samasse punkti tagasi.

Tangensi vähim positiivne periood on $\pi$. Tangens on määratud ainult siis, kui $\cos x\ne0$, s.t $x\ne\frac\pi2+k\pi$, $k\in\mathbb Z$. Lubatud väärtuste korral

$$\tan(x+\pi)=\tan x.$$

Põhjus on see, et poole pöörde järel on ühikringi punkt vastaspunktis, kuid suhe $\frac{\sin x}{\cos x}$ jääb samaks:

$$\frac{-\sin x}{-\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}.$$

Miks ei piisa väiksemast nihkest? Siinus saavutab väärtuse 1 ainult nurkadel $\pi/2+2k\pi$, koosinus nurkadel $2k\pi$. Perioodinihe viib maksimumikoha teiseks maksimumikohaks, seega on see $2\pi$ täisarvkordne. Tangensi nullkohad on $k\pi$. Kuna perioodinihe viib nullkoha teiseks nullkohaks, on tangensi periood $\pi$ täisarvkordne. Siin on $k\in\mathbb Z$.

Periood on ka vähima positiivse perioodi iga positiivne täisarvkordne, näiteks siinuse puhul $4\pi$.

Näide

$$90^\circ=\frac{\pi}{2}\text{ rad}.$$

Teisendame $150^\circ$ radiaanideks:

$$150^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{6}.$$

Teisendame $\frac{3\pi}{4}$ kraadideks:

$$\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=135^\circ.$$

Perioodilisuse tõttu

$$\sin\left(x+2\pi\right)=\sin x,$$

näiteks

$$\sin\left(\frac{\pi}{6}+2\pi\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12.$$

Vastus: $150^\circ=\frac{5\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$ ja täispöörde lisamine ei muuda siinuse väärtust.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Teisenda $180^\circ$ radiaanideks.
2. Teisenda $\frac{\pi}{3}$ kraadideks.
3. Mis on siinusfunktsiooni vähim positiivne periood?

Rakendus

4. Paigal oleva keskpunktiga ratas raadiusega 3 pöördub $120^\circ$. Kui pika kaare läbib serval olev punkt?
5. Ratas pöördub $\frac{5\pi}{6}$ radiaani. Mitu kraadi ja milline osa täispöördest see on?
6. Milline väikseim positiivne radiaaninurk tuleb liita nurgale $35^\circ$, et tangensi väärtus korduks?

Mõtlemisülesanne

7. Miks $\sin(x+4\pi)=\sin x$?
8. Kas $60^\circ$ ja $\frac{\pi}{3}$ rad on sama nurga suurus? Võrdle ka nende koosinusi.
9. Kahe ratta keskpunktid püsivad paigal. Nende raadiused on 5 ja 10 ning mõlemad pöörduvad nurga $\frac{\pi}{3}$. Võrdle servapunktide läbitud kaari.

Vastused

1. $180^\circ=\pi$ rad, sest pool täispööret on $\pi$ radiaani.
2. $\frac{\pi}{3}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=60^\circ$; $\pi$ taandub välja.
3. $2\pi$ ehk $360^\circ$; ühikringil tähendab see üht täispööret.
4. $120^\circ=\frac{2\pi}{3}$ rad ja $s=r\alpha=3\cdot\frac{2\pi}{3}=2\pi$ pikkusühikut.
5. $150^\circ$ ehk $\frac{150}{360}=\frac5{12}$ täispöördest.
6. $\pi$ rad ehk $180^\circ$; tangens kordub poole pöörde järel.
7. Sest $4\pi$ on kaks täispööret ja siinus kordub iga $2\pi$ järel.
8. Jah, $60^\circ=\frac{\pi}{3}\text{ rad}$. Mõlema koosinus on $\frac12$; koosinus on arv, mitte nurk.
9. Kaared on $\frac{5\pi}{3}$ ja $\frac{10\pi}{3}$; kahekordne raadius annab sama nurga korral kahekordse kaare.

Seosed

Radiaanid muudavad trigonomeetria analüüsis loomulikuks: tuletiste ja integraalide valemid kehtivad standardkujul radiaanides. Järgmine analüüsi plokk kasutab funktsioonide muutumise kirjeldamiseks just seda mõõtu.

Trigonomeetrilised valemid

Mõiste

Trigonomeetrilised valemid võimaldavad nurki teisendada ja avaldisi lihtsustada. Nende alus on ühikring ning seos

Eeldus: oskad ühikringilt lugeda siinuse ja koosinuse märki ning tead radiaani ja kraadi seost.

Negatiivse nurga valemid on

Summa ja vahe valemid:

Kui $\alpha=\beta$, saadakse kahekordse nurga valemid:

Taandamisvalemite mõte pole eraldi tabeli päheõppimine. Leia ühikringilt võrdlusnurk, otsusta veerandi järgi märk ning vaata, kas koordinaadi roll jääb samaks või vahetub.

Näide

Leiame $\sin75^\circ$:

Seega

Kui $\sin\alpha=\frac35$ ja $\alpha$ on teravnurk, siis $\cos\alpha=\frac45$. Järelikult

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lihtsusta $\sin(-x)$.
2. Kirjuta lahti $\sin(\alpha+\beta)$.
3. Kirjuta $\cos2x$ ainult $\cos x$ kaudu.

Rakendus

4. Ühikringi punkt vastab nurgale $75^\circ$. Leia punkti $x$-koordinaat täpselt.
5. Kui $\sin\alpha=\frac5{13}$ ja $\alpha$ on teravnurk, leia $\sin2\alpha$.
6. Lihtsusta $\sin^2x+\cos^2x+\cos2x$ ainult koosinuse kaudu.

Mõtlemisülesanne

7. Põhjenda valemi abil, miks $\sin(90^\circ-x)=\cos x$.
8. Leia täpselt $\sin15^\circ$.
9. Lahenda $\cos2x=0$ vahemikus $0\le x<\pi$ ning kontrolli mõlemat lahendit algvõrrandis.

Vastused

1. $-\sin x$, sest siinus on paaritu funktsioon.
2. $\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$.
3. $\cos2x=2\cos^2x-1$.
4. $\cos75^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$; summa valemis lahutatakse siinuste korrutis.
5. $\cos\alpha=\frac{12}{13}$ ja $\sin2\alpha=\frac{120}{169}$.
6. $1+\cos2x=2\cos^2x$.
7. Kasuta vahe valemit ja väärtusi $\sin90^\circ=1$, $\cos90^\circ=0$.
8. $\sin15^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$, kasutades vahet $45^\circ-30^\circ$.
9. $2x=\frac\pi2+k\pi$, seega vahemikus sobivad $x=\frac\pi4$ ja $x=\frac{3\pi}{4}$. Mõlemal juhul on $2x$ paaritu arvu $\frac\pi2$ kordne ning koosinus on 0.

Seosed

Valemid võimaldavad trigonomeetrilisi põhivõrrandeid teisendada ning aitavad üldise kolmnurga ja perioodiliste mudelite seoseid põhjendada.

Siinusteoreem ja koosinusteoreem

Mõiste

Siinus- ja koosinusteoreem kehtivad igas kolmnurgas. Küljed $a,b,c>0$ on vastavalt nurkade $A,B,C$ vastas; $0^\circ<A,B,C<180^\circ$ ja $A+B+C=180^\circ$. Tipp ja selle juures olev nurk kasutavad siin sama tähte.

Eeldus: tunned täisnurkse kolmnurga trigonomeetriat ja kolmnurga nurgasummat. Tõestustes kasutame ka ühikringi seoseid.

Siinusteoreem

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.$$

Siinusteoreemi tõestus

Kolmnurga pindala $S$ on alus korda kõrgus jagatud kahega. Aluse $c$ kõrgus on $b\sin A$: nürinurga korral kasutame selle kõrvunurka ja seost $\sin(180^\circ-A)=\sin A$. Täisnurga korral on kõrgus $b$. Valides kordamööda kõik kolm alust, saame

$$2S=bc\sin A=ac\sin B=ab\sin C.$$

Jagame positiivse korrutisega $abc$:

$$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}.$$

Positiivsete suhete pöördväärtused annavad siinusteoreemi.

Koosinusteoreem

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$

Nurk $C$ jääb külgede $a$ ja $b$ vahele.

Koosinusteoreemi tõestus

Valime koordinaadid $C=(0;0)$, $B=(a;0)$ ja $A=(b\cos C;b\sin C)$. Kahe punkti kauguse valem annab küljele $AB=c$:

$$c^2=(b\cos C-a)^2+(b\sin C)^2.$$

Avame ruudud ja kasutame $\sin^2 C+\cos^2 C=1$:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$

Nürinurga korral on $\cos C<0$, kuid sama arvutus kehtib. Täisnurga korral on $\cos C=0$ ja tulemuseks on Pythagorase teoreem.

Millal kumba kasutada?

Näide

Külg koosinusteoreemiga

Kui $a=7$, $b=9$ ja $C=60^\circ$, siis $\cos60^\circ=1/2$. Koosinusteoreemist

$$c^2=7^2+9^2-2\cdot7\cdot9\cdot\frac12=67.$$

Külje pikkus on positiivne: $c=\sqrt{67}\approx8{,}2$.

Külg siinusteoreemiga

Olgu $A=40^\circ$, $B=70^\circ$ ja $a=6$. Otsime vastaskülge $b$ ning kasutame võrdust $a/\sin A=b/\sin B$:

$$b=\frac{6\sin70^\circ}{\sin40^\circ}\approx8{,}8.$$

Kaks võimalikku kolmnurka

Olgu $A=30^\circ$, $a=7$ ja $b=10$. Siis $\sin B=b\sin A/a=5/7$.

Saame $B_1\approx45{,}6^\circ$ või $B_2\approx134{,}4^\circ$. Mõlemal juhul on $A+B<180^\circ$. Kolmas nurk on vastavalt $C_1\approx104{,}4^\circ$ või $C_2\approx15{,}6^\circ$: antud tingimustele vastab kaks kolmnurka.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Millal piisab Pythagorase teoreemist?
2. Kirjuta koosinusteoreem külje $a$ jaoks.
3. Mis andmeid on vaja siinusteoreemi kasutamiseks?

Rakendus

4. Maamõõtja saab kolmnurkse ala külgedeks $a=4$ m ja $b=6$ m ning nendevaheliseks nurgaks $C=60^\circ$. Leia kolmas piir $c$.
5. Leia külg $b$, kui $A=30^\circ$, $B=80^\circ$ ja $a=5$.

Mõtlemisülesanne

6. Kolmnurga küljed on 3, 4 ja 5. Kas pikima külje vastasnurk on täisnurk? Põhjenda.
7. Külgede 5, 7 ja 8 vastas on nurgad $A,B,C$. Leia suurim nurk.
8. Teada on $a=10$, $b=12$ ja nende vaheline nurk $C=40^\circ$. Millist teoreemi kasutad esimesena ja miks?
9. Teada on külg $a$, nurk $A$ ja nurk $B$. Millist teoreemi kasutad külje $b$ leidmiseks?
10. Olgu $A=30^\circ$ ja $b=10$. Mitu kolmnurka on võimalik, kui a) $a=4$, b) $a=5$, c) $a=7$?

Vastused

1. Kui kolmnurk on täisnurkne ja otsitakse külgede seost; siis on Pythagoras lihtsam erijuht.
2. $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, kus nurk $A$ on külje $a$ vastas.
3. Vähemalt ühte külje ja vastasnurga paari ning veel üht seotud suurust, näiteks $a,A,B$.
4. Koosinusteoreem, sest teada on $a=4$, $b=6$ ja nende vaheline nurk $C=60^\circ$: $c^2=4^2+6^2-2\cdot4\cdot6\cos60^\circ=28$, seega $c=2\sqrt7\approx5{,}3$ m.
5. Siinusteoreem, sest teada on vastaspaar $a=5$, $A=30^\circ$ ja nurk $B=80^\circ$: $\frac{b}{\sin80^\circ}=\frac{5}{\sin30^\circ}$, seega $b=\frac{5\sin80^\circ}{\sin30^\circ}\approx9{,}8$.
6. Jah, sest $5^2=3^2+4^2$; Pythagorase teoreemi pöördväite järgi on vastasnurk $90^\circ$.
7. Suurim on $C$, sest see on külje 8 vastas. Koosinusteoreemist $\cos C=\frac{5^2+7^2-8^2}{2\cdot5\cdot7}=\frac17$, seega $C\approx81{,}8^\circ$.
8. Koosinusteoreemi, sest teada on kaks külge $a,b$ ja nende vaheline nurk $C$.
9. Siinusteoreemi, sest teada on vastav külje ja vastasnurga paar $a,A$ ning otsitakse paarilist $b,B$.
10. a) 0: $\sin B=5/4>1$. b) 1: $B=90^\circ$ ja $C=60^\circ$. c) 2: näites leitud $45{,}6^\circ$ ning $134{,}4^\circ$ annavad mõlemad positiivse kolmanda nurga.

Seosed

Teoreemid ühendavad trigonomeetria, pindala ja koordinaatgeomeetria.

Trigonomeetrilised põhivõrrandid

Mõiste

Trigonomeetrilisel võrrandil on perioodilisuse tõttu enamasti lõpmata palju lahendeid. Kõigepealt leitakse ühikringilt ühe täispöörde lahendid, seejärel lisatakse periood.

Eeldus: oskad kasutada ühikringi, radiaane, trigonomeetrilisi valemeid ning lahendada lihtsat algebralist võrrandit.

Põhikujud:

Siinuse ja koosinuse korral peab $-1\le m\le1$. Tähised $\arcsin m$, $\arccos m$ ja $\arctan m$ annavad kalkulaatori ühe põhiväärtuse; kõik lahendid leitakse sümmeetria ja perioodi abil.

Näiteks

annab

Tangensi periood on $\pi$:

Kui ülesanne nõuab lahendeid kindlas vahemikus, kirjutatakse üldlahendist välja ainult sinna jäävad väärtused.

Näide

Lahendame vahemikus $0\le x<2\pi$:

Esmalt eraldame siinuse:

Ühikringil on siinus $\frac12$ I ja II veerandis. Seega

Võrrand

annab $2x=\frac\pi2+k\pi$, seega

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $\sin x=0$.
2. Lahenda $\tan x=1$.
3. Kas võrrandil $\cos x=2$ on reaalarvulisi lahendeid?

Rakendus

4. Vaateratta punkti horisontaalset asendit kirjeldab ühe pöörde jooksul $\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}$. Leia sobivad nurga $x$ väärtused vahemikus $0\le x<2\pi$.
5. Lahenda $3\sin x+3=0$ vahemikus $0\le x\le2\pi$.
6. Lahenda $\sin2x=0$ vahemikus $0\le x\le2\pi$.

Mõtlemisülesanne

7. Lahenda $2\cos^2x-1=0$ vahemikus $0\le x<2\pi$ ning kontrolli kõik lahendid algvõrrandis.
8. Miks annab võrrand $\sin x=0{,}3$ ühe perioodi jooksul kaks lahendit, aga $\sin x=1$ ainult ühe?
9. Lahenda võrratus $\sin x>0$ vahemikus $0\le x\le2\pi$.

Vastused

1. $x=k\pi$, sest siinus on null iga poolpöörde järel.
2. $x=\frac\pi4+k\pi$, sest tangensi periood on $\pi$.
3. Ei, sest koosinuse väärtused jäävad vahemikku $[-1;1]$.
4. $x=\frac{3\pi}{4}$ või $x=\frac{5\pi}{4}$; koosinus on negatiivne II ja III veerandis.
5. $\sin x=-1$, seega $x=\frac{3\pi}{2}$.
6. $x=0,\frac\pi2,\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$; sisemine nurk $2x$ peab olema $k\pi$.
7. $\cos x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$, seega $x=\frac\pi4,\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}$. Iga väärtuse korral on $\cos^2x=\frac12$ ja algvõrrandi vasak pool on 0.
8. Horisontaaljoon $y=0{,}3$ lõikab siinusgraafikut tõusvas ja langevas osas; maksimumtaset $y=1$ puudutab graafik ühe korra.
9. $0<x<\pi$, sest ühikringi ülemises pooles on siinuse väärtus positiivne.

Seosed

Põhivõrrandid ühendavad ühikringi, graafiku ja algebra. Tuletise peatükis kasutatakse samu perioodilisi funktsioone, kuid küsimus muutub väärtuse leidmiselt muutumiskiiruse leidmiseks.

Jadad

Mõiste

Jada on järjestatud arvude loend. Selles peatükis märgime jada liikme sümboliga $a_n$.

Tähistus: $n$ on liikme järjekorranumber, $a_n$ on selle koha väärtus.

Eeldus: oskad kasutada lineaar- ja eksponentseoseid, astmeid ning lihtsaid summavalemeid.

Näiteks jadas

$$3,\ 7,\ 11,\ 15,\ldots$$

on esimene liige $a_1=3$, teine liige $a_2=7$ ja neljas liige $a_4=15$.

Jada võib esitada:

• liikmete loendina;
• üldliikme valemina, näiteks $a_n=2n+1$;
• rekursiivselt, näiteks $a_{n+1}=a_n+4$.

Üldliikme valem annab $n$-nda liikme otse; rekursiivne valem vajab eelmist liiget.

Aritmeetilise ja geomeetrilise jada võrdlus

Aritmeetiline jada

Iga järgmine liige saadakse sama arvu liitmisel:

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Siin $d$ on jada vahe.

Aritmeetilise jada esimese $n$ liikme summa on

$$S_n=\frac n2(a_1+a_n).$$

Geomeetriline jada

Iga järgmine liige saadakse sama teguriga korrutamisel:

$$a_n=a_1q^{n-1}.$$

Siin $q$ on jada tegur ehk jagatis.

Kui $q\ne1$, siis geomeetrilise jada esimese $n$ liikme summa on

$$S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}.$$

Kui $|q|<1$, lähenevad geomeetrilise jada liikmed nullile. Sellise jada piirväärtus ja lõpmatu summa on järgmise peatüki teema.

Näide

Jadas 3, 7, 11, 15 on vahe $d=4$, seega

$$a_n=3+(n-1)\cdot4.$$

Kümnes liige on

$$a_{10}=3+9\cdot4=39.$$

Esimese 10 liikme summa on

$$S_{10}=\frac{10}{2}(3+39)=210.$$

Jada

$$5,\ 10,\ 20,\ 40,\ldots$$

on geomeetriline, sest iga järgmine liige saadakse 2-ga korrutades. Siin $a_1=5$ ja $q=2$, seega

$$a_n=5\cdot2^{n-1}.$$

Kuues liige on

$$a_6=5\cdot2^5=160.$$

Vastus: aritmeetilise jada kümnes liige on 39 ja summa 210; geomeetrilise jada kuues liige on 160.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia aritmeetilise jada 4, 9, 14, 19, ... vahe $d$.
2. Leia selle jada üldliige.
3. Leia sama jada 20. liige.

Rakendus

4. Paberilehe paksus on algul 0,1 mm ja kahekordistub iga voltimisega. Mis tüüpi jada tekib ja mis on $q$?
5. Kontol on algul 1000 eurot ja summa kasvab aastas 5%. Kirjuta mudel $A(n)$, kus $n$ on aastate arv.
6. Palli esimese põrke kõrgus on 2 m ja iga järgmine põrge ulatub $\frac34$ eelmise kõrgusest. Leia neljanda põrke kõrgus.

Mõtlemisülesanne

7. Leia aritmeetilise jada 1, 4, 7, ..., 28 liikmete summa.
8. Geomeetriline jada algab liikmetega 8, -4, 2, .... Leia viies liige ja esimese viie liikme summa.
9. Õpilane säästab esimesel kuul 100 eurot ning igal järgmisel kuul 20 eurot rohkem. Põhjenda, miks kuusummad moodustavad aritmeetilise jada, ning leia 12 kuu kogusumma.

Vastused

1. $d=5$, sest järjestikuste liikmete vahe on 5.
2. $a_n=4+(n-1)5=5n-1$, sest esimene liige on 4 ja iga samm lisab 5.
3. $a_{20}=99$, sest $a_{20}=5\cdot20-1$; siin $20$ on järjekorranumber.
4. Geomeetriline jada teguriga $q=2$, sest paksuste jagatis on püsiv.
5. $A(n)=1000\cdot1{,}05^n$, sest iga aasta korrutatakse summa teguriga 1,05.
6. $h_4=2\cdot\left(\frac34\right)^3=\frac{27}{32}\approx0{,}84$ m; esimese ja neljanda põrke vahel on kolm tegurit.
7. Siin $a_1=1$, $a_n=28$, $d=3$, liikmeid on 10; $S_{10}=145$, sest $S_{10}=\frac{10}{2}(1+28)$.
8. $a_5=8\left(-\frac12\right)^4=\frac12$ ja $S_5=8-4+2-1+\frac12=5{,}5$; negatiivne tegur vahetab märki.
9. Kuusummade vahe on alati 20 eurot, seega on jada aritmeetiline. $a_{12}=320$ ja $S_{12}=\frac{12}{2}(100+320)=2520$ eurot.

Seosed

Jadad viivad piirväärtuse, intressiarvutuse, rekursiooni ja matemaatilise induktsioonini. Järgmine peatükk eristab jada liikmete piirväärtust ja osasummade piirväärtusena tekkivat lõpmatut summat.

Jada piirväärtus ja lõpmatu summa

Mõiste

Jada piirväärtus on arv, millele jada liikmed järjekorranumbri kasvades kuitahes lähedale jõuavad. Tähistus

ütleb, et jada $a_n$ piirväärtus on $L$.

Eeldus: oskad kasutada jada üldliiget ning aritmeetilise ja geomeetrilise jada valemeid.

Piirväärtus ei pea olema ükski jada liige. Näiteks

annab liikmed $1,\frac12,\frac13,\ldots$, mis lähenevad nullile:

Kui $|q|<1$, siis $q^n\to0$. Selle tõttu saab hääbuva geomeetrilise jada kõik liikmed kokku liita:

Osasummad $S_n$ lähenevad sellele arvule; lõpmatu summa tähendab osasummade piirväärtust, mitte lõpmata paljude tehete käsitsi lõpetamist.

Arv

tekib pideva kasvamise loomuliku piirina. Ringi ümber- ja sissejoonestatud korrapäraste hulknurkade ümbermõõdud lähenevad külgede arvu kasvades ringjoone pikkusele $2\pi r$. Kui jagada need ümbermõõdud ringi läbimõõduga $2r$, on saadud jagatiste ühine piirväärtus $\pi$.

Näide

Leiame jada

piirväärtuse. Jagame liikmed $n$-ga:

Kuna $\frac1n\to0$, siis

Hääbuva geomeetrilise jada

korral on $a_1=6$ ja $q=\frac12$. Seega

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia $\lim_{n\to\infty}\frac5n$.
2. Leia $\lim_{n\to\infty}\left(4+\frac2n\right)$.
3. Kas jada $2^n$ on lõpliku piirväärtusega?

Rakendus

4. Leia summa $8+4+2+1+\cdots$.
5. Leia summa $3-1+\frac13-\frac19+\cdots$.
6. Pall langeb 5 meetrit ja iga põrke kõrgus on eelmisest $\frac35$. Leia kõigi tõusude summa.

Mõtlemisülesanne

7. Miks on hääbuva geomeetrilise jada summa valemi tingimus $|q|<1$?
8. Leia $\lim_{n\to\infty}\frac{2n-7}{n+3}$ ning kontrolli lähenemise suunda liikmete $a_{10}$ ja $a_{100}$ abil.
9. Selgita, miks arvud $e$ ja $\pi$ võivad tekkida piirväärtusena, kuigi nad ei ole ühegi lõpliku sammu tulemus.

Vastused

1. $0$, sest püsiv lugeja jagatakse järjest suurema nimetajaga.
2. $4$, sest liige $\frac2n$ läheneb nullile.
3. Ei; liikmed kasvavad piiramatult.
4. $16$, sest $a_1=8$, $q=\frac12$ ja $S=\frac8{1-\frac12}$.
5. $\frac94$, sest $a_1=3$ ja $q=-\frac13$.
6. $\frac3{1-\frac35}=7{,}5$ meetrit tõusu; esimene tõus on $5\cdot\frac35=3$ m.
7. Ainult siis läheneb $q^n$ nullile ja osasummad saavad läheneda lõplikule arvule.
8. Piirväärtus on $2$, sest lugeja ja nimetaja $n$-ga jagamisel jääb piirile $\frac{2-0}{1+0}$. Lisaks $a_{10}=1$ ja $a_{100}=\frac{193}{103}\approx1{,}87$, seega liikmed lähenevad arvule 2 altpoolt.
9. Iga lõplik lähend on ebatäpne, kuid lähendite viga saab sammude arvu kasvades muutuda kuitahes väikeseks.

Seosed

Jada piirväärtus valmistab ette funktsiooni piirväärtuse: mõlemas uuritakse mitte viimast sammu, vaid väärtuse lähenemist kindlale sihile.

Finantsmatemaatika

Mõiste

Finantsmatemaatika kasutab protsente, astmeid ja funktsioone raha ajas muutumise kirjeldamiseks.

Eeldus: oskad protsenti kümnendmurruks muuta, astmeid kasutada ja ligikaudset suurusjärku hinnata.

Finantsülesandes tuleb eristada algsummat, intressimäära, aega, maksete arvu ja kogukulu.

Kontrolli enne arvutust ajasammu: aastaintress käib aastate, kuuintress kuude kohta.

Lihtintress

$$A=P(1+rt),$$

kus $P$ on algsumma, $r$ intressimäär aastas ja $t$ aeg aastates.

Lihtintressi korral arvutatakse intress ainult algsummalt.

Liitintress

$$A=P(1+r)^t.$$

Liitintressi korral lisandub intress juba kasvanud summale. Seetõttu kasvab summa aja jooksul kiiremini.

Valemis peavad $r$ ja $t$ olema samas ajasammus: kui $r$ on aastaintress, siis $t$ on aastate arv.

Inflatsioon

Inflatsioon tähendab, et hinnatase tõuseb ja sama rahasumma ostujõud väheneb.

Kui aastane inflatsioonimäär on $i$, siis hinna ligikaudne kasv $t$ aasta jooksul on

$$H=H_0(1+i)^t.$$

Kui kaup maksab praegu 100 eurot ja inflatsioon on 4% aastas, siis 3 aasta pärast on sama kauba hinnanguline hind

$$100\cdot1,04^3\approx112,49.$$

See tähendab, et 100 euro ostujõud on väiksem kui varem.

Laenumakse

Laenumakse sõltub laenusummast, intressist ja tagasimakse ajast. Täpne annuiteetmakse valem on

$$M=P\cdot\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1},$$

kus:

• $P$ on laenusumma;
• $i$ on perioodi intressimäär;
• $n$ on maksete arv;
• $M$ on ühe perioodi makse.

Kui maksed on kuised, peab $i$ olema kuuintress ja $n$ kuude arv.

Valem eeldab $i>0$ ning positiivset täisarvulist maksete arvu $n$. Nullintressi korral on iga makse $M=P/n$; annuiteetvalemisse nulli asendades tekiks määramata jagatis $0/0$.

Kontrolli alati kogukulu: kuumakse tuleb korrutada maksete arvuga ning lisada teenustasud.

Koolis on tihti kõige olulisem aru saada suurusjärgust: sama laenusumma ja sama aastaintressi korral vähendab pikem tagasimakse aeg kuumakset, kuid suurendab intressikulu kaudu kogukulu.

Näide

Kui 1000 eurot kasvab 5% aastas liitintressiga 3 aastat, siis

$$A=1000\cdot1,05^3\approx1157,63.$$

Lihtintressiga oleks sama olukord:

$$A=1000(1+0,05\cdot3)=1150.$$

Kolme aasta jooksul on vahe väike, kuid pikema aja jooksul liitintressi mõju suureneb.

Laenu lihtsustatud näide: kui laenad 1200 eurot ja maksad selle 12 kuuga tagasi ilma intressita, on kuumakse

$$\frac{1200}{12}=100\text{ eurot}.$$

Kui lisandub intress ja teenustasud, on tegelik kogukulu suurem kui 1200 eurot. Kogukulu tähendab kõigi maksete summat, mitte ainult algset laenusummat.

Vastus: liitintressiga on summa umbes 1157,63 eurot, lihtintressiga 1150 eurot ja intressita kuumakse 100 eurot.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia 200 eurost 12%.
2. Arvuta lihtintressiga 1000 eurot 4% juures 2 aastaks.
3. Miks liitintress kasvab kiiremini kui lihtintress?

Rakendus

4. Arvuta liitintressiga 500 eurot 3% aastas 4 aastaks.
5. Kui hinnad kasvavad 5% aastas, kui palju maksab 80-eurone ese ühe aasta pärast?
6. Eesti pere paneb lapse huvihariduse fondi 40 eurot kuus. Kui palju koguneb ilma intressita ühe aastaga?

Mõtlemisülesanne

7. Laen on 600 eurot ja see makstakse tagasi 6 võrdse maksena ilma intressita. Kui suur on üks makse?
8. Miks ei piisa laenu hindamisel ainult kuumakse vaatamisest?
9. Kui 120-eurose elektriarve hind kasvab 15%, kui suur on uus arve?
10. Kui maksad 18 kuud iga kuu 35 eurot, mis on kogukulu enne intressi ja teenustasusid?

Vastused

1. $200\cdot0,12=24$ eurot.
2. $1000(1+0,04\cdot2)=1080$ eurot; siin on 4% aastaintress ja aeg 2 aastat.
3. Sest intress teenib järgmisel perioodil omakorda intressi.
4. $500\cdot1,03^4\approx562,75$ eurot.
5. $80\cdot1,05=84$ eurot.
6. $40\cdot12=480$ eurot ühe aastaga; siin on 12 kuumakset.
7. $600/6=100$ eurot makse kohta; kogukulu on endiselt 600 eurot, kui intressi ja teenustasusid ei lisandu.
8. Sest tähtis on ka tagasimakse aeg, intress, teenustasud ja kogukulu: kuumakse tuleb korrutada maksete arvuga.
9. $120\cdot1,15=138$ eurot.
10. $18\cdot35=630$ eurot kogukulu enne intressi ja teenustasusid.

Seosed

Finantsmatemaatika kasutab protsente, funktsioone, hinnanguid ja ühikuanalüüsi. Sama mudelipõhine mõtlemine aitab võrrelda pakkumisi, laene ja säästmist: kirjuta eeldused välja ning kontrolli kogukulu.

Kombinatoorika

Mõiste

Kombinatoorika aitab lugeda valikuid, järjekordi ja koode.

Eeldus: oskad korrutada naturaalarve ning lugeda tõenäosuses soodsaid ja kõiki võimalusi.

Enne arvutust sõnasta, millal kaks tulemust loetakse samaks ja millal erinevaks.

Põhireeglid

Kolme erineva raamatu A, B ja C kõik järjestused on ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Esimesele kohale on 3, teisele 2 ja viimasele 1 valikut: $3\cdot2\cdot1=6$. Need on permutatsioonid.

Kui üks valik on võimalik $m$ viisil ja teine $n$ viisil, siis järjestikuseid valikuid on

$$m\cdot n.$$

See on korrutamisreegel.

Enne valemi valimist küsi:

Kui valitud objektidel on erinevad rollid või kohad, siis järjekord loeb. Kui moodustub samaväärsete liikmetega rühm, siis järjekord ei loe.

Vastandnäited:

Permutatsioonide arv:

$$n!=1\cdot2\cdot3\cdots n.$$

Variatsioonide arv, kui valitakse $n$ erinevast objektist $k$ objekti ilma kordusteta ja järjekord loeb ($0\le k\le n$, mõlemad täisarvud):

$$V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}.$$

Kombinatsioonide arv samadel tingimustel, kui järjekord ei loe:

$$\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

Näide

Viie erineva raamatu A, B, C, D ja E seast kahe valimisel on järjekorraga $5\cdot4=20$ võimalust. Järjekorrata on AB ja BA sama paar. Iga paari loeti kaks korda, seega $20/2=10$.

Kõik järjekorrata paarid: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE.

Kui valida 5 õpilase seast 2 esindajat, siis võimalusi on

$$\binom52=\frac{5!}{2!3!}=10.$$

Kui samast 5 õpilasest valitakse president ja asepresident, siis järjekord loeb:

$$V_5^2=5\cdot4=20.$$

Kui 4 inimest pannakse järjekorda, siis võimalusi on

$$4!=24.$$

Kui menüüs on 3 jooki ja 4 magustoitu, siis ühe joogi ja ühe magustoidu valikuid on

$$3\cdot4=12.$$

Sama 5 õpilase näide näitab, miks küsimus loeb:

• 2 esindajat: $\binom52=10$;
• esimees ja aseesimees: $5\cdot4=20$;
• kõik 5 õpilast järjekorras: $5!=120$.

Kaks täringut: 36 paari, 21 paaritüüpi või 11 summat?

Esimese ja teise täringu tulemused moodustavad järjestatud paari: $(1;2)$ ja $(2;1)$ on erinevad. Kui võtta esimene tulemus $x$- ja teine $y$-koordinaadiks, saame 36 erinevat punkti.

Järjekorrata on 6 võrdsete arvudega paari ning $30/2=15$ erinevate arvudega paari: kokku 21 paaritüüpi. Summasid on 11, arvud 2 kuni 12. Summa 7 tuleb kuuel viisil, summa 2 ühel.

Sõltumatute ausate täringute 36 järjestatud paari on võrdvõimalikud. Paaritüübid ja summad ei ole: $(1;2)$ või $(2;1)$ tõenäosus on kokku $2/36$, aga $(1;1)$ tõenäosus $1/36$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mitu kolmekohalist koodi saab moodustada numbritest 1, 2, 3, kui kordused on lubatud?
2. Mitu viisi on 4 inimest järjekorda panna?
3. Kui mitmel viisil saab valida 6 õpilase seast 3?
4. Kui mitmel viisil saab valida 6 õpilase seast esimehe ja aseesimehe?

Rakendus

5. Kohvikus on 5 võileiba ja 3 jooki. Mitu viisi on valida üks võileib ja üks jook?
6. Mitu kolmekohalist koodi saab moodustada numbritest 1, 2, 3, kui kordused ei ole lubatud?
7. Klassis on 8 õpilast. Kui mitmel viisil saab valida 2-liikmelise tööpaari?

Mõtlemisülesanne

8. Samast 8 õpilasest valitakse esineja ja ajamõõtja. Mitu võimalust on?
9. Kui mitmel viisil saab 5 raamatut riiulisse järjekorda panna?
10. Otsusta, kas järjekord loeb: valitakse 3 õpilast ekskursiooni korraldustiimi. Põhjenda.
11. Numbrid 1, 2, 3 pannakse juhuslikku järjekorda. Kui suur on tõenäosus, et esimene number on 1?

Vastused

1. $3\cdot3\cdot3=27$.
2. $4!=24$.
3. $\binom63=20$, sest 3-liikmelises rühmas järjekord ei loe.
4. $6\cdot5=30$, sest esimese koha jaoks on 6 ja teise jaoks 5 valikut.
5. $5\cdot3=15$.
6. $3\cdot2\cdot1=6$.
7. $\binom82=28$, sest tööpaaris rollid ei erine.
8. $8\cdot7=56$, sest esineja ja ajamõõtja on eri rollid.
9. $5!=120$.
10. Ei loe, kui kõigil kolmel on sama roll korraldustiimis; siis kasutatakse kombinatsiooni.
11. Kõiki järjekordi on $3!=6$; soodsaid on 2: 123 ja 132. Tõenäosus on $\frac26=\frac13$.

Seosed

Kombinatoorika aitab tõenäosuses nimetajat ja lugejat leida. Järgmistes andmete peatükkides nihkub rõhk loendamiselt hajuvusele, jaotustele ning Bernoulli mudelile.

Hajuvus ja jaotused

Mõiste

Hajuvus kirjeldab väärtuste laialiolekut: hinded 4; 4; 5 on koos, aga 1; 4; 5 hajusamad.

Keskmine näitab tüüpilist taset, hajuvus väärtuste kõikumist selle ümber.

Enne üldistamist küsi, kas andmeid on piisavalt ja kas need kirjeldavad uuritavat rühma.

Eeldus: oskad andmeid järjestada ning leida keskmist, mediaani ja suurimat-väikseimat väärtust.

Olulised näitajad

• Ulatus: suurim väärtus miinus väikseim väärtus.
• Kvartiilid märgivad järjestatud andmete neljaks osaks jaotamise piire.
• Standardhälve näitab, kui kaugel väärtused keskmisest enamasti paiknevad.

Kvartiilide mõte:

Karpdiagrammi kast ulatub $Q_1$-st $Q_3$-ni ning tähistab kvartiilide järgi andmestiku keskmist poolt. Lõpliku valimi ja korduvate väärtuste korral ei pruugi suletud vahemikku $[Q_1;Q_3]$ jääda täpselt 50% vaatlustest. Näiteks andmestikus 1; 1; 1; 1; 1 on $Q_1=Q_3=1$ ning kõik vaatlused asuvad selles suletud vahemikus. Mida pikem kast, seda suurem on andmete keskosa hajuvus.

Standardhälbe arvutamine (gümnaasium)

Kui kirjeldame kogu vaadeldavat andmestikku $x_1,\ldots,x_n$, kus $n\ge1$, siis

$$\sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar x)^2+\cdots+(x_n-\bar x)^2}{n}}.$$

$\bar x$ on aritmeetiline keskmine. Lahutame igast väärtusest keskmise, võtame vahed ruutu, leiame ruutude keskmise ja sellest ruutjuure. Väike standardhälve tähendab väiksemat hajuvust. Valimi põhjal üldkogumi hajuvust hinnates kasutatakse sageli teist valemit, mille jagaja on $n-1$.

Jaotus kirjeldab väärtuste esinemist. Binoomjaotus loendab õnnestumisi kindlas arvus sõltumatutes jah/ei-katsetes, kus õnnestumise tõenäosus püsib sama. Normaaljaotus on kellukakujuline mudel paljude mõõtmistulemuste jaoks.

Usaldusvahemik hindab valimi põhjal üldkogumi keskmist. See ei ole kindel lubadus.

Näide

Kvartiilide kokkulepe siin: leia alumise ja ülemise poole mediaan; paaritu arvu vaatluste korral jäta kogu andmestiku mediaan pooltest välja. Teised meetodid võivad anda teised kvartiilid, eriti väikese andmestiku puhul.

Mediaan ei pea olema üks andmete väärtustest. Kvartiilist väiksemaks ei pea jääma täpselt 25% vaatlustest.

Andmete 3, 4, 8, 10 ulatus on

$$10-3=7.$$

Andmed: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.

Mediaan on $7$. Alumine pool on 2, 3, 5, seega

$$Q_1=3.$$

Ülemine pool on 11, 13, 17, seega

$$Q_3=13.$$

Karpdiagrammi viis arvu on

$$\min=2,\quad Q_1=3,\quad \text{mediaan}=7,\quad Q_3=13,\quad \max=17.$$

Võrdlus: andmestikel 4, 5, 6 ja 1, 5, 9 on mõlemal keskmine 5, aga teisel on hajuvus suurem.

Andmete 1, 1, 5, 5 keskmine on 3. Standardhälve on

$$\sigma=\sqrt{\frac{(1-3)^2+(1-3)^2+(5-3)^2+(5-3)^2}{4}}=\sqrt4=2.$$

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia andmete 2, 3, 9, 11, 15 ulatus.
2. Miks on mediaan mõnikord parem kui keskmine?

Rakendus

3. Mida näitab karpdiagrammi pikk kast?
4. Leia andmete 1, 4, 5, 8, 10 mediaan.

Mõtlemisülesanne

5. Leia andmete 1, 4, 5, 8, 10 $Q_1$ ja $Q_3$, kui mediaan jäetakse poolte leidmisel välja.
6. Leia sama andmestiku ulatus.
7. Millal sobib binoomjaotus paremini kui tavaline keskmise arvutamine?
8. Mida ütleb lai usaldusvahemik valimi põhjal tehtud hinnangu kohta?
9. Kahel andmestikul on sama ulatus 10. Ühel on karpdiagrammi kast lühike, teisel pikk. Mida see tähendab?
10. Leia andmete 2, 2, 6, 6 keskmine ja standardhälve, jagades hälvete ruutude summa andmete arvuga.
11. Igale eelmise ülesande väärtusele liidetakse 10. Kas standardhälve muutub? Põhjenda.

Vastused

1. $15-2=13$; andmed ulatuvad väikseimast suurimani 13 ühiku võrra.
2. Mediaan on erandite suhtes vähem tundlik, sest ta sõltub järjestatud andmete keskosast.
3. Kvartiilidega kirjeldatud andmete keskosa on rohkem laiali: vahe $Q_1$-st $Q_3$-ni on suurem.
4. $5$, sest järjestatud andmestiku keskel on 5.
5. Alumine pool 1, 4 annab $Q_1=2,5$; ülemine pool 8, 10 annab $Q_3=9$. Keskmine pool jääb nende vahele.
6. $10-1=9$; see on äärmuste vahe, mitte tüüpiline kõikumine keskosa ümber.
7. Kui loendame õnnestumisi kindlas arvus sõltumatutes kahe tulemusega katsetes, mille õnnestumise tõenäosus on sama.
8. Hinnang on ebatäpsem; valim võib olla väike või andmed on väga hajuvad.
9. Mõlemal on äärmuste vahe sama, aga pika kastiga andmestikus on kvartiilidega kirjeldatud keskosa rohkem hajunud.
10. Keskmine on 4; standardhälve on $\sqrt{(4+4+4+4)/4}=2$.
11. Ei. Keskmine suureneb samuti 10 võrra, seega hälbed keskmisest jäävad samaks.

Seosed

Hajuvus aitab hinnata, kas üks arv, näiteks keskmine, kirjeldab andmeid piisavalt hästi. Järgmises andmete peatükis kasutatakse sama mõtet valimi, usaldusvahemiku ja statistilise järelduse hindamisel.

Tõenäosusmudelid ja statistiline järeldus

Mõiste

Tõenäosusmudel kirjeldab, millised tulemused võivad juhtuda ja kui tõenäolised need on. Statistiline järeldus liigub vastupidises suunas: valimi andmete põhjal hinnatakse suuremat üldkogumit.

Eeldus: oskad arvutada klassikalist tõenäosust, loendada kombinatsioone ning tõlgendada keskmist ja standardhälvet.

Sündmused hulgajoonistel

Raam $\Omega$ sisaldab kõiki katsetulemusi. Ühend $A\cup B$: toimub vähemalt üks. Ühisosa $A\cap B$: toimuvad mõlemad. Täiend $\overline A$: $A$ ei toimu. Vahe $A\setminus B$: toimub $A$, aga mitte $B$. Piirkonna pindala ei näita siin tõenäosuse suurust.

$P(\overline A)=1-P(A)$ ja $P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)$.

Sündmuste summa tähendab, et toimub vähemalt üks sündmus:

Ühisosa lahutatakse, sest muidu loendataks see kaks korda. Kui sündmused on sõltumatud, siis

Üldisemalt

kus $P(B\mid A)$ on sündmuse $B$ tinglik tõenäosus pärast seda, kui $A$ on toimunud.

Bernoulli mudel sobib, kui tehakse $n$ sõltumatut sama õnnestumistõenäosusega $p$ katset. Täpselt $k$ õnnestumise tõenäosus on

Sellise binoomjaotuse keskväärtus on $E(X)=np$.

Korrelatsioonikordaja $r$ kirjeldab lineaarse seose suunda ja tugevust: $-1\le r\le1$. Korrelatsioon ei tõesta põhjuslikku seost.

Usaldusvahemik annab valimi põhjal mõistliku väärtuspiirkonna üldkogumi tunnusele. Suurem esinduslik valim annab tavaliselt kitsama vahemiku; kallutatud valimit ei paranda pelgalt suur vastajate arv.

Näide

Ausat münti visatakse viis korda. Leiame täpselt kolme kirja tõenäosuse:

Kui uuringus on õppimise aja ja testitulemuse korrelatsioon $r=0{,}62$, näitab see mõõdukat positiivset lineaarset seost. Sellest üksi ei järeldu, et pikem õppimine on ainus tulemuse põhjus.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Visatakse kahte ausat münti. Leia kahe kirja tõenäosus.
2. Kui $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$ ja sündmused on sõltumatud, leia $P(A\cap B)$.
3. Mida tähendab korrelatsioon $r=-0{,}8$?

Rakendus

4. Täringul olgu $A$ paarisarv ja $B$ arv vähemalt 5. Leia $P(A\cup B)$.
5. Katsel on õnnestumise tõenäosus 0,2. Leia täpselt ühe õnnestumise tõenäosus nelja sõltumatu katse korral.
6. Tõlgenda koolilõuna uuringu kahte valimit: söökla ukse juures esimesed 20 vastajat ja juhuvalik kõigi klasside õpilastest. Otsusta, kumb esindab kooli paremini, ning põhjenda.

Mõtlemisülesanne

7. Miks ei tõesta tugev jäätisemüügi ja ujumisõnnetuste korrelatsioon, et jäätis põhjustab õnnetusi?
8. Bernoulli katses on $n=100$ ja $p=0{,}6$. Leia õnnestumiste oodatav arv ning selgita, miks tegelik arv ei pea olema täpselt sama.
9. Kaks uuringut annavad sama valimikeskmise, kuid ühe usaldusvahemik on palju laiem. Nimeta kaks võimalikku põhjust.

Vastused

1. $\frac14$, sest mõlemad sõltumatud mündid peavad andma kirja.
2. $0{,}4\cdot0{,}5=0{,}2$.
3. Tugev negatiivne lineaarne seos: ühe tunnuse kasvuga kipub teine vähenema.
4. $A=\{2,4,6\}$ ja $B=\{5,6\}$; ühend on $\{2,4,5,6\}$, seega $P(A\cup B)=\frac46=\frac23$.
5. $\binom41(0{,}2)(0{,}8)^3=0{,}4096$.
6. Juhuvalik kõigist klassidest, sest see esindab kooli õpilasi paremini ja vähendab valikukallet.
7. Mõlemat võib mõjutada soe ilm; ühine kolmas tegur tekitab seose ilma otsese põhjuslikkuseta.
8. $E(X)=np=60$. Keskväärtus kirjeldab paljude korduste keskmist, mitte ühe katse kohustuslikku tulemust.
9. Valim võib olla väiksem või andmed hajuvamad; mõlemad suurendavad hinnangu ebakindlust.

Seosed

Tõenäosusmudel seob kombinatoorika arvutuse andmete tõlgendamisega. Sama mudelikontrolli kasutatakse hiljem finants-, kasvu- ja optimeerimisülesannetes.

XI klass: funktsioonist analüüsini sild

Mõiste

Analüüs uurib funktsioonide muutumist. Enne tuletist peab olema selge, et funktsioon võib kasvada, kahaneda, võnkuda või läheneda mingile väärtusele.

Eeldus: oskad lugeda funktsiooni graafikut, arvutada funktsiooni väärtusi ning mõista keskmist muutust kahe punkti vahel.

Tuletis mõõdab hetkelist muutumise kiirust. Piirväärtus kirjeldab, millele väärtused lähenevad. Integraal kirjeldab kogunenud suurust.

Sild on siin mõtteline: tabeli keskmisest muutusest liigutakse graafiku puutuja tõusuni. Küsimus "kui kiiresti muutub?" viib tuletiseni; küsimus "kui palju kogunes?" viib integraalini.

Näide

Funktsioon $s(t)=t^2$ võib kirjeldada teepikkust ajast sõltuvalt. Keskmine kiirus vahemikus 2 kuni 3 on

$$\frac{s(3)-s(2)}{3-2}=\frac{9-4}{1}=5.$$

Kui vahemik muutub väga väikeseks, jõuame hetkelise muutumise kiiruseni ehk tuletise mõtteni.

Funktsioonil $s(t)=t^2$ on tuletis

$$s'(t)=2t.$$

Hetkel $t=3$ on muutumise kiirus

$$s'(3)=6.$$

Tõlgendus: vahemikus 2 kuni 3 on keskmine kiirus 5, hetkel $t=3$ aga 6. Sellel ajavahemikul läbitud tee on $s(3)-s(2)=9-4=5$. Sama tulemuse annab pindala kiiruse $v(t)=s'(t)=2t$ graafiku all, mitte $s(t)=t^2$ graafiku all.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kirjelda sõnadega, mida tähendab "funktsioon kasvab".
2. Funktsioon $f(x)=2x+1$. Kui palju muutub $f$, kui $x$ suureneb 1 võrra?

Rakendus

3. Funktsioon $f(x)=x^2$. Leia keskmine muutus vahemikus 1 kuni 3.
4. Kui $f'(4)=10$, mida see ütleb funktsiooni kohta punktis $x=4$?

Mõtlemisülesanne

5. Miks on piirväärtuse mõte vajalik enne tuletist?
6. Too näide nähtusest, mis on perioodiline.
7. Funktsioon $h(t)=3t+2$, kus $h$ on funktsiooni nimi ja $t$ sisend. Mis vahe on väärtusel $h(5)$ ja tuletisel $h'(5)$?
8. Miks võib ruutfunktsiooni keskmine muutus eri vahemikes olla erinev?
9. Auto liigub 10 m/s 4 sekundit. Kuidas näeksid seda kiiruse graafiku aluse pindalana?

Vastused

1. Kui sisend suureneb, suureneb ka funktsiooni väärtus.
2. 2 võrra; lineaarfunktsiooni muutus on igal sammul sama.
3. $\frac{9-1}{3-1}=4$; see on keskmine muutus kahe punkti vahel.
4. Funktsiooni hetkeline muutumise kiirus punktis $x=4$ on 10.
5. Tuletis tekib väga väikese muutuse piiril.
6. Näiteks kellaaeg, aastaaeg või siinuse graafik.
7. $h(5)=17$ on funktsiooni väärtus; $h'(5)=3$ on muutumise kiirus.
8. Ruutfunktsioon ei kasva ühtlase sammuga; selle tõus sõltub asukohast.
9. Ristküliku pindala on $10\cdot4=40$, seega teepikkus on 40 m.

Klassi kordamine

Enne XII klassi liikumist kontrolli nelja vahet:

1. Funktsiooni väärtus ütleb, kui suur on kogus antud sisendi korral.
2. Keskmine muutus võrdleb kahte punkti.
3. Tuletis kirjeldab hetkelist muutumist.
4. Graafiku alune pindala kirjeldab kogunenud suurust.

Segakontroll: olgu $s(t)=t^2+1$. Leia $s(3)$, keskmine muutus vahemikus 1 kuni 3 ning tuletise $s'(t)=2t$ väärtus kohal $t=3$.

Vastus: $s(3)=10$; keskmine muutus on $\frac{10-2}{2}=4$; $s'(3)=6$.

Seosed

See sild ühendab funktsioonide graafikud analüüsi põhiküsimustega: muutumise kiirus, lähendamine ja kogunenud suurus. Järgmine XII klassi sild kasutab neid mõtteid modelleerimises ja tõestamises.

Piirväärtus, tuletis ja integraal

Mõiste

Piirväärtus kirjeldab, millele avaldis või funktsioon läheneb. Tuletis kirjeldab muutumiskiirust. Integraal kirjeldab kogunenud suurust või märgiga pindala graafiku ja telje vahel.

Eeldus: oskad lugeda funktsiooni graafikut, arvutada funktsiooni väärtusi ja mõista jadade lähenevust.

Analüüsi põhiküsimus on: mis juhtub siis, kui vaatame muutumist väga väikeste sammudega või kogume väga paljud väikesed osad kokku?

Piirväärtus on siin alusidee: selle abil kirjeldatakse nii väga väikese sammu tuletist kui ka väga paljude osade integraali.

Põhiideed

Piirväärtus vastab küsimusele: millele väärtused lähenevad?

See ei küsi alati funktsiooni väärtust selles punktis. Oluline on, mis juhtub punkti lähedal.

Näiteks jada

$$1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots$$

liikmed lähenevad arvule 0. Nad ei muutu kunagi negatiivseks, aga jõuavad 0-le järjest lähemale.

Tuletis:

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

Seda võib lugeda nii: võta väga väike muutus $h$, vaata funktsiooni väärtuse muutust ja lase sammul järjest väiksemaks minna. Tulemuseks on hetkeline muutumiskiirus.

Määratud integraal:

$$\int_a^b f(x)\,dx.$$

Integraali võib mõelda kui väga paljude õhukeste ristkülikute pindalade summat. Kui ristkülikud teha järjest kitsamaks, muutub summa täpseks pindalaks graafiku all.

Kolm vaadet samale ideele

Kontrollküsimus: kas ülesanne räägib lähenemisest, ühest punktist või tervest vahemikust?

Kui küsitakse "kui kiiresti praegu?", mõtle tuletisele; kui küsitakse "kui palju kokku?", mõtle integraalile.

Näide

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$f'(x)=2x.$$

Punktis $x=3$ on muutumiskiirus 6.

See tähendab, et graafiku $y=x^2$ puutuja tõus punktis $x=3$ on 6.

Kui auto kiirus on 20 m/s ja ta sõidab nii 5 sekundit, siis läbitud teepikkus on

$$20\cdot5=100\text{ m}.$$

Tõlgendus: tuletis annab hetkelise kiiruse 6; integraal liidab muutuva kiiruse korral väikesed teepikkuse osad.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mida kirjeldab piirväärtus?
2. Mida kirjeldab tuletis?
3. Mida kirjeldab määratud integraal?

Rakendus

4. Kui $f'(3)=6$, siis mida see ütleb funktsiooni kohta punktis $x=3$?
5. Kui kiirus on 12 m/s ja aeg 10 s, siis millist integraali mõtet saab siin lihtsal kujul kasutada?

Mõtlemisülesanne

6. Kui $f'(2)=0$, mida võiks see graafiku kohta vihjata?
7. Mis vahe on keskmisel muutumiskiirusel vahemikus ja tuletisel punktis?
8. Jada $a_n=\frac1n$ ei saavuta väärtust 0. Miks võib selle piirväärtus siiski olla 0?

Vastused

1. Piirväärtus kirjeldab, millele väärtused lähenevad punkti lähedal või väga kaugel.
2. Tuletis kirjeldab hetkelist muutumiskiirust ehk graafiku puutuja tõusu ühes punktis.
3. Määratud integraal kirjeldab kogunenud suurust või märgiga pindala graafiku all vahemikus.
4. Funktsiooni hetkeline muutumiskiirus punktis $x=3$ on 6; graafiku puutuja tõus on seal 6.
5. Kogunenud teepikkus on kiirus korda aeg: $12\cdot10=120$ m. See on integraali mõte püsiva kiiruse korral.
6. Puutuja tõus on 0; see võib olla maksimumi, miinimumi või horisontaalse puutuja koht.
7. Keskmine muutumiskiirus kirjeldab tervet vahemikku; tuletis kirjeldab muutumist ühes punktis.
8. $n$ kasvades saab $\frac1n$ nullile kuitahes lähedale; piirväärtus kirjeldab lähenemist, mitte väärtuse saavutamist.

Seosed

Analüüs ühendab funktsioonid, füüsika, optimeerimise, pindalad ja pidevad protsessid. Järgmine moodul keskendub tuletise arvutusreeglitele: kuidas muutumiskiirust valemitest kiiresti leida.

Tuletise arvutusreeglid

Mõiste

Tuletis näitab funktsiooni hetkelist muutumiskiirust. Arvutusreeglid aitavad tuletist leida ilma piirväärtuse definitsiooni iga kord uuesti kasutamata.

Eeldus: mõistad tuletist kui muutumiskiirust ning oskad lihtsustada astmete, sulgude ja murdavaldistega avaldisi.

Põhituletised

Konstant:

$$c'=0.$$

Astmefunktsioon:

$$(x^n)'=nx^{n-1}.$$

Eriti:

$$(x)'=1,\qquad (x^2)'=2x,\qquad (x^3)'=3x^2.$$

Summa ja kordaja

Kui funktsioonid on liidetud, tuletame liikmed eraldi:

$$(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x).$$

Kui funktsioon on korrutatud arvuga, jääb arv ette:

$$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x).$$

Näiteks

$$(3x^2-5x+7)'=6x-5.$$

Kontrollmõte: tuletis võetakse iga liikme kohta eraldi. Konstant $7$ kaob, sest konstant ei muutu.

Korrutis, jagatis ja ahelreegel

Enne reegli valikut vaata avaldise välist kuju: kas peal on summa, korrutis, jagatis või funktsioon funktsiooni sees.

Korrutise reegel:

$$(fg)'=f'g+fg'.$$

Näiteks kui

$$y=x^2(x+1),$$

siis

$$y'=2x(x+1)+x^2\cdot1=3x^2+2x.$$

Jagatise reegel:

$$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2},\qquad g\ne0.$$

Näiteks

$$y=\frac{x^2+1}{x},$$

siis

$$y'=\frac{2x\cdot x-(x^2+1)\cdot1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}.$$

Ahelreegel aitab siis, kui üks funktsioon on teise sees:

$$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x).$$

Näiteks

$$(2x+1)^3{}'=3(2x+1)^2\cdot2=6(2x+1)^2.$$

Kontrollmõte: kui avaldises on “sulg astmes”, “juur sulust” või trigonomeetriline funktsioon mingist avaldisest, siis küsi endalt, kas seal on sisemine funktsioon.

Näide

Leia funktsiooni

$$f(x)=x^3-4x^2+2x-9$$

tuletis.

Tuletame liikmete kaupa:

$$f'(x)=3x^2-8x+2.$$

Leia funktsiooni

$$g(x)=(x^2+3x)^4$$

tuletis.

Välimine funktsioon on neljas aste, sisemine funktsioon on $x^2+3x$. Ahelreegli järgi

$$g'(x)=4(x^2+3x)^3(2x+3).$$

Vastus: $f'(x)=3x^2-8x+2$ ja $g'(x)=4(x^2+3x)^3(2x+3)$.

Kui vajad abi

Korda astmete lihtsustamist ja tuletise põhitähendust: tuletis näitab muutumiskiirust. Vaata näitest, kuidas liikmed tuletatakse eraldi ja millal ahelreegel lisab sisemise tuletise. Alusta harjutustest 1-3; korrutise ja jagatise reeglid jäta järgmiseks sammuks.

Harjutused

Kitsas matemaatikas: vali õige tuletamisreegel ja arvuta korrektselt. Laias matemaatikas: põhjenda reegli valikut ning tõlgenda tuletise märki või nullkohta.

Lihtne kontroll

1. Leia $(5x^2-3x+8)'$.
2. Leia $(x^4+2x^2)'$.
3. Leia ((3x-2)^2)'.

Rakendus

4. Selgita oma sõnadega, millal on vaja ahelreeglit.
5. Liikumist kirjeldab $s(t)=t^2(t+5)$ meetrites. Leia hetkeline kiirus hetkel $t=2$ s.
6. Kontsentratsioon on $C(t)=\frac{t^2}{t+1}$ mg/l. Leia $C'(1)$ ja lisa vastusele ühik.

Mõtlemisülesanne

7. Leia $((x^2+1)^5)'$.
8. Õpilane väidab, et $(4(2x-1)^3)'=12(2x-1)^2$. Leia viga ja paranda vastus.
9. Kui $f'(x)=3x^2-12$, leia ekstreemumikandidaadid ning liigita need tuletise märgi järgi.

Vastused

1. $10x-3$, sest astmereegel annab $(5x^2)'=10x$, $(-3x)'=-3$ ja konstant kaob.
2. $4x^3+4x$, sest summa tuletatakse liikmete kaupa.
3. $6(3x-2)$, sest ahelreeglis väline tuletis on $2(3x-2)$ ja sisemine tuletis 3.
4. Ahelreeglit on vaja siis, kui funktsioon on teise funktsiooni sees, näiteks sulg astmes.
5. $s'(t)=3t^2+10t$, seega $s'(2)=32$ m/s. Tuletis annab asukoha hetkekiiruse.
6. $C'(t)=\frac{2t(t+1)-t^2}{(t+1)^2}=\frac{t^2+2t}{(t+1)^2}$, seega $C'(1)=\frac34$ mg/l ajaühiku kohta.
7. Lahenduskäik: ahelreegel annab välise tuletise $5(x^2+1)^4$ ja sisemise tuletise $2x$, seega $10x(x^2+1)^4$.
8. Puudu on sisemise funktsiooni tuletis 2. Õige vastus on $4\cdot3(2x-1)^2\cdot2=24(2x-1)^2$.
9. Kandidaadid on $x=-2$ ja $x=2$. Tuletis muutub kohal -2 plussist miinuseks, seega seal on maksimum; kohal 2 miinusest plussiks, seega seal on miinimum.

Seosed

Tuletise arvutusreeglid annavad vajalikud arvutusvõtted, aga rakendustes tuleb tuletist tõlgendada. Järgmine moodul kasutab tuletist kasvamise, kahanemise, ekstreemumite ja puutuja leidmiseks.

Matemaatiline induktsioon

Mõiste

Matemaatiline induktsioon on tõestusviis väidetele, mis sõltuvad naturaalarvust $n$.

Eeldus: oskad lugeda väiteid kujul $P(n)$, teha algebralisi teisendusi ja kasutada jadade summasid.

Intuitsioon on nagu doominorida:

• esimene doomino kukub;
• iga doomino lükkab järgmise ümber.

Kui mõlemad tingimused kehtivad, kukuvad kõik doominod. Induktsioonis tähendab see:

• väide kehtib esimese $n$ väärtuse jaoks;
• kui väide kehtib mingi $n$ jaoks, siis kehtib see ka $n+1$ jaoks.

Skeem

1. Baassamm: tõesta väide esimese väärtuse jaoks.
2. Induktsioonisamm: eelda, et väide kehtib $n$ korral, ja tõesta, et siis kehtib see $n+1$ korral.

Induktsioonisammus ei tõestata väidet uuesti nullist. Seal kasutatakse induktsioonieeldust.

Kui väidet tähistada $P(n)$, siis tõestuse kuju on:

$$P(1)\quad\text{ja}\quad P(n)\Rightarrow P(n+1).$$

Kontrolli lõpus kolme asja: kas baassamm on olemas, kas induktsioonieeldus on selgelt öeldud ja kas $P(n+1)$ tõestamisel seda eeldust kasutati.

Kui mõni neist puudub, ei ole väidete ahel veel katkematu.

Näide

Väide:

$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2.$$

Baassamm $n=1$:

$$1=\frac{1\cdot2}{2}.$$

Baassamm kehtib.

Induktsioonieeldus: oletame, et mingi naturaalarvu $n$ korral kehtib

$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2.$$

Tahame tõestada, et siis kehtib väide ka $n+1$ korral:

$$1+2+\cdots+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}2.$$

Alustame vasakust poolest ja kasutame induktsioonieeldust:

$$1+2+\cdots+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}2+(n+1).$$

Viime ühise nimetaja alla:

$$\frac{n(n+1)}2+\frac{2(n+1)}2.$$

Võtame $(n+1)$ sulgude ette:

$$\frac{(n+1)(n+2)}2.$$

See on täpselt see, mida pidime tõestama. Seega kehtib valem kõigi naturaalarvude $n$ korral.

Tõlgendus: baassamm alustab ahela ja induktsioonisamm kannab tõestuse igalt $n$-lt järgmisele.

Veel üks lihtne näide

Tõesta, et

$$2+4+6+\cdots+2n=n(n+1).$$

Baassamm $n=1$:

$$2=1\cdot2.$$

Induktsioonieeldus:

$$2+4+\cdots+2n=n(n+1).$$

Lisame järgmise liikme $2(n+1)$:

$$2+4+\cdots+2n+2(n+1)=n(n+1)+2(n+1).$$

Võtame $(n+1)$ ette:

$$(n+1)(n+2).$$

See on sama valem $n+1$ jaoks:

$$(n+1)((n+1)+1).$$

Tõlgendus: baassamm ja induktsioonisamm koos näitavad, et valem kehtib kõigi naturaalarvude $n$ korral.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kontrolli summavalemit $n=3$ korral.
2. Miks on baassamm vajalik?
3. Mida tähendab induktsioonieeldus?

Rakendus

4. Tõesta induktsiooniga, et $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$.
5. Mis on induktsioonisammus vaja tõestada, kui väide on $P(n)$?

Mõtlemisülesanne

6. Miks ei piisa induktsioonitõestuses ainult juhtude $n=1,2,3$ kontrollimisest?
7. Väide $P(n)$ algab väärtusest $n=0$. Milline peab olema baassamm ja milline induktsioonisamm?
8. Õpilane kontrollib $P(1)$, eeldab $P(n)$ ja kirjutab kohe „järelikult $P(n+1)$”. Mis on tõestusest puudu?

Vastused

1. $1+2+3=6$ ja $\frac{3\cdot4}{2}=6$.
2. See käivitab tõestuse, nagu esimene doomino.
3. Oletame, et väide kehtib mingi $n$ korral, et selle abil tõestada järgmine juht.
4. Baassamm: $1=1^2$. Eeldus: $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$. Lisame järgmise paaritu arvu $2n+1$: $n^2+2n+1=(n+1)^2$. Seega kehtib väide kõigi naturaalarvude $n$ korral.
5. Tuleb tõestada, et $P(n)\Rightarrow P(n+1)$.
6. Sest üksikud näited ei tõesta väidet kõigi naturaalarvude kohta; vaja on ka üleminekusammu $P(n)\Rightarrow P(n+1)$.
7. Baassamm on $P(0)$. Induktsioonisammus eeldatakse $P(n)$ ja tõestatakse $P(n+1)$.
8. Puudu on põhjendus, kuidas $P(n)$ abil saadakse $P(n+1)$; eeldus üksi järgmist juhtu ei tõesta.

Seosed

Induktsioon toetub loogilisele järeldusele ja on lähedane rekursioonile: rekursioon arvutab järgmise väärtuse varasemate põhjal, induktsioon tõestab järgmise juhu varasema põhjal. Järgmine peatükk kasutab sama mõtet algoritmide ja rekursiivsete kirjelduste juures.

Algoritmid ja rekursioon

Mõiste

Algoritm on täpne sammude jada probleemi lahendamiseks. Rekursioon tähendab, et objekt või arvutus määratletakse eelmiste väärtuste kaudu.

Eeldus: oskad kasutada jaguvust, jääki, lihtsaid tingimuslauseid ja jadade esimesi liikmeid.

Hea algoritm kirjeldab:

• sisendit: millised andmed antakse;
• samme: mida nendega tehakse;
• väljundit: mis tulemus saadakse;
• lõpetamistingimust: millal töö lõpeb.

Algoritmi kontrollimisel küsi alati: kas sisend on selge, kas sammud on üheselt mõistetavad ja kas arvutus jõuab lõpuni?

Lõppemise kontrolliks otsi suurust, mis igal sammul liigub peatustingimuse poole. Eukleidese algoritmis muutub jääk väiksemaks; rekursioonis peab iga järgmine alamülesanne olema eelmisest lihtsam.

Pseudokood

Pseudokood on inimloetav kirjeldus, mis sarnaneb programmile, aga ei sõltu ühestki programmeerimiskeelest.

Näide: kahe arvu summa.

sisend: arvud a ja b
summa = a + b
väljund: summa

Näide: leia loendist suurim arv.

sisend: mittetühi arvude loend
suurim = esimene arv loendis
iga järgmise arvu kohta:
    kui arv > suurim:
        suurim = arv
väljund: suurim

Eukleidese algoritm

Kahe arvu suurima ühisteguri saab leida jääkide abil.

sisend: positiivsed täisarvud a ja b
kuni b ei ole 0:
    jääk = a jagamisel b-ga tekkiv jääk
    a = b
    b = jääk
väljund: a

Näiteks $SÜT(48,18)$:

$$48=2\cdot18+12,$$

$$18=1\cdot12+6,$$

$$12=2\cdot6+0.$$

Kui jääk on 0, on viimane nullist erinev jagaja 6. Seega $SÜT(48,18)=6$.

Rekursioon

Fibonacci jada:

$$F_1=1,\qquad F_2=1,$$

$$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}.$$

Siin on peatustingimused $F_1=1$ ja $F_2=1$. Ilma nendeta ei teaks, kust arvutamist alustada.

Rekursiivne pseudokood Fibonacci arvu jaoks:

F(n):
    kui n = 1 või n = 2:
        tagasta 1
    muidu:
        tagasta F(n-1) + F(n-2)

Peatustingimus on rida

kui n = 1 või n = 2:
    tagasta 1

See takistab lõputut tagasikutsumist.

Rekursioonis peab iga samm liikuma lihtsama juhu poole: $F_6$ vajab $F_5$ ja $F_4$, need vajavad veel varasemaid liikmeid, kuni jõutakse väärtusteni $F_1$ ja $F_2$.

Näide

Leia $F_6$.

Alustame teadaolevatest algväärtustest:

$$F_1=1,\quad F_2=1.$$

Seejärel kasutame reeglit $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$:

$$F_3=F_2+F_1=1+1=2,$$

$$F_4=F_3+F_2=2+1=3,$$

$$F_5=F_4+F_3=3+2=5,$$

$$F_6=F_5+F_4=5+3=8.$$

Vastus: $F_6=8$.

Kontroll: iga uus liige on kahe eelmise summa, nii et jada algus on $1,1,2,3,5,8$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia Fibonacci jada kuues liige.
2. Kirjelda algoritm kahe arvu suurima ühisteguri leidmiseks.

Rakendus

3. Miks vajab rekursioon lõpetamistingimust?
4. Mis on sisend ja väljund Eukleidese algoritmis?

Mõtlemisülesanne

5. Kirjuta pseudokood, mis kontrollib, kas täisarv $n$ on paarisarv.
6. Mis juhtub rekursiooniga, kui peatustingimus puudub?
7. Milline on sisend, väljund ja lõpetamistingimus algoritmis, mis loendab arvud 1-st $n$-ni?
8. Miks on oluline, et rekursiivne samm liiguks lihtsama juhu poole?

Vastused

1. $F_6=8$.
2. Jaga suuremat väiksemaga, asenda arvud jagaja ja jäägiga, korda kuni jääk on 0; viimane nullist erinev jagaja on SÜT.
3. Et arvutus lõpeks ja jõuaks teadaoleva algväärtuseni; iga samm peab liikuma sellele lähemale.
4. Sisend on kaks positiivset täisarvu, väljund on nende suurim ühistegur.
5. Näiteks:

sisend: täisarv n
kui n jagamisel 2-ga jääk on 0:
    väljund: paarisarv
muidu:
    väljund: paaritu arv

6. Arvutus võib jätkuda lõputult või kuni arvutil ressursid otsa saavad.
7. Sisend on positiivne täisarv $n$; väljund on arvud $1,2,\ldots,n$; lõpetamistingimus on see, et loendur jõuab väärtuseni $n$, seega järgmine samm enam uut arvu ei lisa.
8. Siis jõuab arvutus lõpuks algväärtuse või peatustingimuseni; rekursiivne sisend peab igal sammul lihtsamaks muutuma.

Seosed

Algoritmid seovad matemaatika informaatika, tõestuste, jadade ja modelleerimisega. Järgmine modelleerimise plokk kasutab sama mõtet: päris olukord tuleb muuta selgete sisendite, reeglite ja väljundiga matemaatiliseks mudeliks.