10. klassi harjutused

Arvuhulgad ja reaalarvud

Lihtne kontroll

1. Millistesse arvuhulkadesse kuulub -7?
2. Kirjuta 0,125 hariliku murruna.

Rakendus

3. Too üks irratsionaalarvu näide.
4. Millistesse arvuhulkadesse kuulub $\frac56$?

Mõtlemisülesanne

5. Kas $\sqrt9$ on irratsionaalarv?
6. Millistesse hulkadesse kuulub arv $\frac{7}{2}$?
7. Kas $\frac48$ ja $\frac12$ tähistavad sama ratsionaalarvu? Põhjenda.
8. Millistesse hulkadesse kuulub arv $0$, kui sinu kokkuleppes $0\notin\mathbb{N}$?

Ava selgitused ja vastused

Ruutjuur ja juuravaldised

Lihtne kontroll

1. Leia $\sqrt{121}$.
2. Milliste täisarvude vahel asub $\sqrt{50}$?

Rakendus

3. Lihtsusta $\sqrt{48}$.
4. Arvuta $\sqrt{18}\cdot\sqrt2$.
5. Leia $\sqrt{\frac{81}{16}}$.

Mõtlemisülesanne

6. Ruudu pindala on 200 cm². Leia külje täpne pikkus ja kümnendlähend.
7. Paranda viga: $\sqrt{4+5}=\sqrt4+\sqrt5$.
8. Selgita, miks võrrandil $x^2=36$ on kaks lahendit, kuid $\sqrt{36}$ on üks arv.

Ava selgitused ja vastused

Ruutvõrrandi lahendusviisid ja rakendused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $5x^2=0$.
2. Lahenda $2x^2-18=0$.
3. Lahenda $x^2-7x=0$.

Rakendus

4. Vii normaalkujule ja lahenda $x^2+4=5x$.
5. Leia Viète'i seosega võrrandi $x^2-9x+20=0$ lahendid.
6. Kontrolli Viète'i seosega võrrandi $x^2+2x-15=0$ lahendeid 3 ja -5.

Mõtlemisülesanne

7. Kahe järjestikuse positiivse täisarvu korrutis on 72. Leia arvud.
8. Ruudu pindala suureneb külje pikendamisel 3 cm võrra 45 cm² võrra. Leia algne külg.
9. Koosta ruutvõrrand, mille lahendid on 2 ja 7.

Ava selgitused ja vastused

Ratsionaalavaldiste tehted

Lihtne kontroll

1. Korruta $\frac{x}{3}\cdot\frac{6}{x+1}$.
2. Jaga $\frac{x}{5}:\frac{2x}{15}$.
3. Astenda $\left(\frac{x}{x-1}\right)^2$.

Rakendus

4. Liida $\frac2x+\frac1{x-2}$ ja kirjuta tingimused.
5. Lahuta $\frac3{x+1}-\frac1{x-1}$.
6. Lihtsusta $\frac{x^2-4}{x^2}\cdot\frac{x}{x+2}$.

Mõtlemisülesanne

7. Lihtsusta $\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}:\frac{x+1}{x-1}$ ja säilita kõik tingimused.
8. Selgita, miks jagamisel võib tekkida keelatud väärtus ka jagaja lugejast.
9. Lihtsusta $\frac1x+\frac1{x+1}-\frac1{x(x+1)}$.

Ava selgitused ja vastused

Ruutfunktsiooni graafik ja mudel

Lihtne kontroll

1. Mis suunas avaneb $y=-2x^2+5$?
2. Leia funktsiooni $y=x^2-4x+3$ nullkohad.
3. Leia sama funktsiooni haripunkt.

Rakendus

4. Koosta funktsiooni $y=x^2-4$ jaoks viis sümmeetrilist tugipunkti.
5. Kontrolli arvutusega, kas punkt (4;5) asub graafikul $y=x^2-3x+1$.
6. Visanda $y=-x^2+4x$ ja märgi ajavahemik, kus $y\ge0$.

Mõtlemisülesanne

7. Pall liigub kõrgusmudeli $h(t)=-5t^2+20t+1$ järgi. Millal on pall kõige kõrgemal ja kui kõrgel?
8. Kuidas muutub $y=ax^2$ graafik, kui $a$ muutub arvust 1 arvuks 3?
9. Koosta ruutfunktsioon, mille nullkohad on 2 ja 6 ning $a=1$.

Ava selgitused ja vastused

n-es juur ja ratsionaalarvuline aste

Lihtne kontroll

1. Arvuta $16^{1/2}$.
2. Arvuta $27^{1/3}$.
3. Arvuta $16^{3/4}$.

Rakendus

4. Kirjuta $\sqrt[5]{x^2}$ astmena.
5. Arvuta $8^{-2/3}$.
6. Lihtsusta $\sqrt[4]{16y^4}$.

Mõtlemisülesanne

7. Miks on $\sqrt[3]{-27}$ reaalarv, aga $\sqrt[4]{-16}$ ei ole?
8. Leia viga väites $\sqrt{(-5)^2}=-5$ ja paranda see.

Ava selgitused ja vastused

Murd- ja juurvõrrandid

Lihtne kontroll

1. Lahenda $\frac{x}{x-1}=2$.
2. Lahenda $\sqrt{x}=5$.
3. Nimeta võrrandi $\frac2{x+3}=1$ keelatud väärtus.

Rakendus

4. Lahenda $\frac3{x} + 1=4$.
5. Lahenda $\sqrt{x+4}=x-2$.
6. Ristküliku pikkus on $\sqrt{x+9}$ meetrit ja see võrdub 4 meetriga. Leia $x$.

Mõtlemisülesanne

7. Miks ei sobi $x=-1$ võrrandi $\sqrt{x+1}=x+1$ ainsaks kontrollimata vastuseks?
8. Lahenda $\frac{x+2}{x}=3$ ning selgita, miks $x=0$ ei saa olla lahend.
9. Too näide teisendusest, mis võib juurvõrrandisse võõrlahendi tekitada.

Ava selgitused ja vastused

Võrratused ja vahemikud

Lihtne kontroll

1. Lahenda $2x-5>7$.
2. Lahenda $-3x\le12$.

Rakendus

3. Kirjuta vahemikuna “kõik arvud 2-st suuremad ja 5-st väiksemad”.
4. Rattalaenutus maksab 5 eurot ja lisaks 3 eurot iga tunni eest. Eelarve on kuni 23 eurot. Koosta aja $t$ kohta võrratus ja leia võimalik ajavahemik, kui $t\ge0$.

Mõtlemisülesanne

5. Leia $[0;8]\cap[3;10]$.
6. Leia $[0;2]\cup[2;5]$.
7. Leia $(1;6)\cap[4;8]$.
8. Lahenda $5-2x<1$ ja kirjuta vastus vahemikuna.
9. Õpilane väidab, et arv 2 kuulub hulka $(-\infty;2]\cap(2;6)$. Kas väide on õige? Leia ühisosa ja põhjenda.

Ava selgitused ja vastused

Ruut- ja ratsionaalvõrratused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $x^2-9<0$.
2. Lahenda $x^2-4x\ge0$.
3. Milline väärtus on avaldises $\frac{x+1}{x-5}$ keelatud?

Rakendus

4. Lahenda $\frac{x+1}{x-2}\le0$.
5. Palli kõrgus on $h(t)=-t^2+6t$. Millal on $h(t)\ge5$?
6. Lahenda $(x-2)^2>0$.

Mõtlemisülesanne

7. Miks ei tohi võrratust $\frac{x-1}{x+2}>0$ ilma nimetaja märki uurimata arvuga $x+2$ korrutada?
8. Võrdle võrratuste $x^2-1<0$ ja $x^2-1>0$ lahendeid graafiku abil.
9. Lahenda $\frac{(x-3)(x+1)}{x-2}\ge0$ märgiskeemi abil.

Ava selgitused ja vastused

Mis on tõestus?

Lihtne kontroll

1. Kas üks näide tõestab väite "kõik paarisarvud jaguvad 4-ga"?
2. Too vastunäide väitele "kõik täisarvud on positiivsed".

Rakendus

3. Tõesta otseselt: kui arv jagub 6-ga, siis ta jagub 3-ga.
4. Kas väide "kui arv jagub 3-ga, siis ta jagub 6-ga" on tõene?

Mõtlemisülesanne

5. Miks tuleb väites "parajasti siis, kui" tõestada kaks suunda?
6. Millist tõestusviisi kasutaksid väite "iga paarisarv on kujul $2k$" jaoks?
7. Millist tõestusviisi kasutaksid väite "iga algarv on paaritu" kontrollimiseks?

Ava selgitused ja vastused

Loogika, hulgad ja tõestus

Lihtne kontroll

1. Kas väide “kui $x>5$, siis $x>2$” on tõene?
2. Kas vastupidine väide “kui $x>2$, siis $x>5$” on tõene?

Rakendus

3. Too vastunäide väitele “kõik täisarvud on naturaalarvud”.
4. Selgita, mida tähendab $P\Leftrightarrow Q$.

Mõtlemisülesanne

5. Kas väide “arv on paarisarv parajasti siis, kui ta on kujul $2k$, kus $k$ on täisarv” on ekvivalents?
6. Kas “ei kehti korraga $P$ ja $Q$” tähendab sama mis “ei kehti $P$ ega $Q$”? Põhjenda.
7. Olgu $P$: arv jagub 2-ga ja $Q$: arv jagub 3-ga. Mida tähendab “$P$ või $Q$”? Too näide arvust, mis sobib.

Ava selgitused ja vastused

Funktsioonide teisendused

Lihtne kontroll

1. Kuhu nihkub $y=x^2+5$?
2. Kuhu nihkub $y=(x+2)^2$?
3. Mida teeb $y=-\sqrt{x}$ võrreldes $y=\sqrt{x}$?
4. Mida teeb $y=3f(x)$ võrreldes $y=f(x)$?

Rakendus

5. Kui $f(x)=x^2$, siis kuidas saad funktsiooni, mis on 4 ühikut paremale nihutatud?
6. Kuhu liigub parabooli $y=x^2$ haripunkt funktsioonis $y=(x-5)^2-2$?
7. Andur näitab tegelikust väärtusest $f(t)$ alati 7 ühikut rohkem. Kirjuta anduri näit $g(t)$ ja kirjelda graafikute erinevust.

Mõtlemisülesanne

8. Kirjelda sammhaaval, kuidas saad graafikust $y=f(x)$ graafiku $y=-f(x+4)$.
9. Selgita, miks $y=f(x)+4$ ja $y=f(x+4)$ ei kirjelda sama nihet.
10. Kui $f(x)=\sqrt{x}$, siis kuidas kirjutada funktsioon, mis on 3 ühikut paremale nihutatud?
11. Kui punkt (2;5) on graafikul $y=f(x)$, siis mis punkt on graafikul $y=f(x)+3$?
12. Kui punkt (2;5) on graafikul $y=f(x)$, siis mis punkt on graafikul $y=f(x-4)$?

Ava selgitused ja vastused

Täisnurkse kolmnurga lahendamine

Lihtne kontroll

1. Üks teravnurk on $27^\circ$. Leia teine teravnurk.
2. Kaatetid on 6 cm ja 8 cm. Leia hüpotenuus.

Rakendus

3. Hüpotenuus on 12 cm ja nurk $35^\circ$. Leia selle nurga vastaskaatet.
4. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 7 cm ja 4 cm. Leia väiksem teravnurk.
5. Kaatetid on 5 cm ja 9 cm. Leia pindala ning mõlemad teravnurgad.

Mõtlemisülesanne

6. Täisnurkse trapetsi kõrgus on 6 cm ja kaldhaar moodustab alusega nurga $45^\circ$. Kui palju erinevad aluste pikkused?
7. Püstine 8-meetrine lipumast heidab horisontaalsele maapinnale 11-meetrise varju. Leia päikese tõusunurk.
8. Miks ei piisa täisnurkse kolmnurga lahendamiseks ainult kahe teravnurga teadmisest?

9. Kas täisnurksel kolmnurgal saab olla hüpotenuus 5 cm ja kaatet a) 3 cm; b) 5 cm; c) 7 cm? Põhjenda.

Ava selgitused ja vastused

Vektorid

Lihtne kontroll

1. Leia (2; -1)+(5; 3).
2. Leia vektori (-6; 8) pikkus.
3. Mis vektor viib punktist (1; 2) punkti (4; 6)?
4. Leia 2(3; -1).

Rakendus

5. Robot liigub ruumis nihetega (1;2;3) ja (4;-2;0). Leia kogunihe.
6. Drooni nihe stardipunktist on (1;2;2) meetrit. Kui kaugel on droon?
7. Leia vektor punktist $A(2;-5)$ punkti $B(-3;4)$.

Mõtlemisülesanne

8. Kui $\overrightarrow{AB}=(2;3)$ ja $\overrightarrow{BC}=(4;-1)$, leia $\overrightarrow{AC}$ ning põhjenda liitmist.
9. Kas vektoritel (5;12) ja (-5;-12) on sama pikkus ja suund? Põhjenda.
10. Leia vektorite (2;-1;4) ja (-3;5;1) summa ning selle summa pikkus.
11. Kui $\overrightarrow{AB}=(4;-3)$, siis mis on $\overrightarrow{BA}$?

Ava selgitused ja vastused

Skalaarkorrutis ja vektorite nurk

Lihtne kontroll

1. Leia $(2;3)\cdot(4;-1)$.
2. Kas vektorid (1;2) ja (2;-1) on risti?
3. Kas (2;4) ja (-1;-2) on kollineaarsed?

Rakendus

4. Leia vektorite (1;0) ja (0;5) vaheline nurk.
5. Jõuvektor on $(6;8)$ njuutonit ja nihkevektor $(3;4)$ meetrit. Leia nende skalaarkorrutis ehk tehtud töö.
6. Leia vektorite (1;1) ja (-1;1) vaheline nurk.

Mõtlemisülesanne

7. Miks on vastassuunaliste mittenullvektorite skalaarkorrutis negatiivne?
8. Leia $k$, et vektorid (k;2) ja (4;-2) oleksid risti.
9. Kas sama pikkusega vektorid peavad olema võrdsed? Põhjenda skalaarkorrutise või suuna abil.

Ava selgitused ja vastused

Koordinaatgeomeetria

Lihtne kontroll

1. Leia punktide (0; 0) ja (5; 12) kaugus.
2. Leia lõigu otspunktidega (-2; 4) ja (6; 8) keskpunkt.
3. Kuidas on kauguse valem seotud Pythagorase teoreemiga?

Rakendus

4. Matkaraja profiil läbib punktid (2;1) ja (5;7). Leia tõus ja selgita selle märki.
5. Tee läbib punktid (0;-3) ja (4;5). Leia tee sirgvõrrand ning kontrolli teise punktiga.

Mõtlemisülesanne

6. Mis on vertikaalse sirge võrrand, kui ta läbib punkti (6;-2)?
7. Leia punktide (-1;-1) ja (2;3) kaugus ning keskpunkt.
8. Kas vertikaalset sirget $x=6$ saab kirjutada kujul $y=kx+b$? Põhjenda.

Ava selgitused ja vastused

Joone ja ringjoone võrrandid

Lihtne kontroll

1. Kirjuta punkti (2;3) läbiva tõusuga 4 sirge võrrand punkti-tõusu kujul.
2. Kirjuta ringjoone võrrand, kui keskpunkt on (0;0) ja raadius 5.
3. Leia ringjoone $(x-2)^2+(y+3)^2=16$ keskpunkt ja raadius.

Rakendus

4. Leia punkte (0;1) ja (2;5) läbiva sirge võrrand.
5. Kas sirged $y=2x+1$ ja $y=2x-3$ lõikuvad?
6. Leia sirge $y=x$ ja ringjoone $x^2+y^2=8$ lõikepunktid.

Mõtlemisülesanne

7. Kirjuta punkti (1;2) läbiva sihivektoriga (3;1) sirge võrrand.
8. Leia sirge, mis läbib punkti (2;-1) ja on sirgega $y=\frac12x+4$ risti.
9. Selgita, miks sirgel ja ringjoonel võib olla 0, 1 või 2 lõikepunkti.

Ava selgitused ja vastused

Püramiid ja pöördkehade arvutused

Lihtne kontroll

1. Mitu põhja on silindril ja mitu koonusel?
2. Leia kera pindala, kui $r=3$ cm.
3. Leia silindri ruumala, kui $r=2$ cm ja $h=5$ cm.

Rakendus

4. Leia koonuse ruumala, kui $r=3$ cm ja $h=4$ cm.
5. Koonuse raadius on 5 cm ja kõrgus 12 cm. Leia moodustaja.
6. Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 8 cm ja kõrgus 3 cm. Leia apoteem.

Mõtlemisülesanne

7. Leia eelmise püramiidi täispindala ja ruumala.
8. Silindri raadius kahekordistub, kõrgus ei muutu. Mitu korda muutub ruumala?
9. Kumb mahutab rohkem: silinder või sama põhja ja kõrgusega koonus? Mitu korda?

Ava selgitused ja vastused

X klass: geomeetria ja trigonomeetria sild

Lihtne kontroll

1. Leia vektor punktist $A(2;1)$ punkti $B(7;4)$.
2. Leia selle vektori pikkus.

Rakendus

3. Kui täisnurkses kolmnurgas on kaatetid 5 ja 12, leia hüpotenuus.
4. Sama kolmnurga korral kirjuta vaadeldava teravnurga siinus, kui vastaskaatet on 5.

Mõtlemisülesanne

5. Millal kasutaksid vektorit, millal sirge võrrandit ja millal täisnurkse kolmnurga trigonomeetriat?
6. Selgita ühe lausega, miks vektor (a;b) tekitab täisnurkse kolmnurga.
7. Punktid $A(0;0)$ ja $B(6;8)$. Leia $\overrightarrow{AB}$ pikkus ja seos täisnurkse kolmnurgaga.
8. Miks peab trigonomeetriaülesandes enne arvutamist otsustama, millist nurka vaadeldakse?
9. Vektor on (8;6). Leia vektori pikkus ja vaadeldava teravnurga siinus, kui vastaskaatet on 6.

Ava selgitused ja vastused

Probleemilahendus ja mudelid

Kitsas matemaatikas: kirjuta mudel, asenda arvud ja tõlgenda vastus. Laias matemaatikas: nimeta ka eeldused ja piirangud.

Lihtne kontroll

1. Telefonipakett maksab 8 eurot kuus ja 0,05 eurot iga sõnumi eest. Kirjuta mudel kogukulu jaoks.
2. Kui selles mudelis saadetakse 120 sõnumit, mis on kogukulu?

Rakendus

3. Basseini täitub kiirusega 15 liitrit minutis. Kirjuta mudel vee hulga kohta pärast $t$ minutit, kui alguses on basseinis 200 liitrit vett.
4. Millist eeldust teeb lineaarne mudel $y=3x+4$ rattalaenutuse näites?

Mõtlemisülesanne

5. Too üks kontrollküsimus, mida peaks pärast vastuse leidmist küsima.
6. Millal peaks lineaarse mudeli asemel otsima teistsugust mudelit?
7. Leia rattalaenutuse mudelis sisend, väljund ja üks eeldus.

Ava selgitused ja vastused