Funktsioonide teisendused

Enne alustamist10. klass · raskus 4/5

Mõiste

Funktsiooni graafikut saab nihutada, venitada ja peegeldada. See aitab uute graafikute kuju mõista ilma kõike punktide kaupa arvutamata.

Eeldus: oskad lugeda graafiku punkte, tunned lineaar- ja ruutfunktsiooni ning saad aru koordinaatide muutumisest.

Kordus või uus sisu?

Kontrolli kordamisel: kas muutus on funktsiooni sees või väljas ning kuhu liigub üks kindel punkt.

Reeglid

Nihkereeglites eeldame, et $c>0$. Kui $c=0$, nihet ei ole; negatiivse $c$ korral on suund vastupidine.

Tabel. Veerud: Uus funktsioon, Mõju graafikule
Uus funktsioon	Mõju graafikule
$f(x)+c$	nihe üles $c$ ühikut
$f(x)-c$	nihe alla $c$ ühikut
$f(x-c)$	nihe paremale $c$ ühikut
$f(x+c)$	nihe vasakule $c$ ühikut
$af(x)=a\cdot f(x)$, $a\ne 0$	$y$-koordinaadid korrutatakse arvuga $a$; $a<0$ korral lisandub peegeldus $x$-telje suhtes
$f(ax)=f(a\cdot x)$, $a\ne 0$	sisend korrutatakse arvuga $a$ ja $x$-koordinaadid jagatakse arvuga $a$; $a<0$ korral lisandub peegeldus $y$-telje suhtes
$-f(x)$	peegeldus $x$-telje suhtes
$f(-x)$	peegeldus $y$-telje suhtes

Funktsiooni graafiku teisendused — Funktsiooni graafiku nihutamine, venitamine ja peegeldamine muudavad väärtusi kindla teisendusreegli järgi.

Enne/pärast võrdlus funktsiooni $f(x)=x^2$ põhjal:

Tabel. Veerud: Uus funktsioon, Mis juhtub graafikuga?, Haripunkt muutub
Uus funktsioon	Mis juhtub graafikuga?	Haripunkt muutub
$x^2+3$	3 ühikut üles	$(0;0)\to(0;3)$
$(x-2)^2$	2 ühikut paremale	$(0;0)\to(2;0)$
$(x+2)^2$	2 ühikut vasakule	$(0;0)\to(-2;0)$
$2x^2$	vertikaalne venitus 2 korda	haripunkt jääb `(0;0)`
$-x^2$	peegeldus $x$-telje suhtes	haripunkt jääb `(0;0)`, avaneb alla

Teisendust kontrollides vali üks tuttav punkt. Kui (1;1) on graafikul $y=x^2$, siis graafikul $y=x^2+3$ vastab sellele (1;4): ülesnihke korral muutub ainult $y$.

Näide

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$g(x)=(x-3)^2+2$$

on parabool, mis on nihutatud 3 ühikut paremale ja 2 üles.

Kui $f(x)=x^2$, siis

$$q(x)=(x+4)^2-1$$

on 4 ühikut vasakule ja 1 ühik alla nihutatud. Haripunkt liigub

$$(0;0)\to(-4;-1).$$

Kui $f(x)=\sqrt{x}$, siis

$$g(x)=\sqrt{x-2}$$

nihkub 2 ühikut paremale. Vastus: alguspunkt (0;0) liigub punktiks (2;0).

Võimalikud eksimused

Kui $c>0$, nihutab $f(x-c)$ graafikut paremale, mitte vasakule. Näiteks $f(x-3)$ saab kohal $x=4$ sama väärtuse, mille $f(x)$ saab kohal $x=1$.

Teine tüüpviga on ajada segi välised ja sisemised muutused. Väljaspool funktsiooni olev +2 nihutab üles:

$$f(x)+2.$$

Sisendi sees olev +2 nihutab vasakule:

$$f(x+2).$$

Kolmas tüüpviga on arvata, et $2f(x)$ ja $f(2x)$ teevad sama asja. Esimene muudab $y$ väärtusi, teine muudab sisendit ehk horisontaalset suunda.

Neljas tüüpviga on mitme teisenduse korral lugeda ainult üht osa. Näiteks $(x-3)^2+5$ nihkub nii paremale kui ka üles.

Kontrolli teisendust ühe punkti liikumise abil.

Katseta graafikul

Ava algparabool graafikuvaatlejas ja jäta see mällu. Liiguta haripunkti kaks ühikut paremale. Võrdle uut valemit kujuga $(x-2)^2$.

Nihe punktide kaudu

Ava parabooli eripunktide vaade. Palu enne nihutamist ennustada haripunkti ja veel ühe punkti uus asukoht ning pärast avada sulud ja võrrelda kordajaid.

Paremal või vasakul?

Avage parabooli vaade. Las õppija näitab, miks $(x-2)^2$ graafik liigub paremale, kuigi sulgudes on miinus. Abiks on haripunkti koordinaadid.

Harjutused

Prindi selle teema harjutusleht

Lihtne kontroll

Kuhu nihkub $y=x^2+5$?
Kuhu nihkub $y=(x+2)^2$?
Mida teeb $y=-\sqrt{x}$ võrreldes $y=\sqrt{x}$?
Mida teeb $y=3f(x)$ võrreldes $y=f(x)$?

Rakendus

Kui $f(x)=x^2$, siis kuidas saad funktsiooni, mis on 4 ühikut paremale nihutatud?
Kuhu liigub parabooli $y=x^2$ haripunkt funktsioonis $y=(x-5)^2-2$?
Andur näitab tegelikust väärtusest $f(t)$ alati 7 ühikut rohkem. Kirjuta anduri näit $g(t)$ ja kirjelda graafikute erinevust.

Mõtlemisülesanne

Kirjelda sammhaaval, kuidas saad graafikust $y=f(x)$ graafiku $y=-f(x+4)$.
Selgita, miks $y=f(x)+4$ ja $y=f(x+4)$ ei kirjelda sama nihet.
Kui $f(x)=\sqrt{x}$, siis kuidas kirjutada funktsioon, mis on 3 ühikut paremale nihutatud?
Kui punkt (2;5) on graafikul $y=f(x)$, siis mis punkt on graafikul $y=f(x)+3$?
Kui punkt (2;5) on graafikul $y=f(x)$, siis mis punkt on graafikul $y=f(x-4)$?

Vastused

5 ühikut üles, sest +5 on funktsioonist väljaspool.
2 ühikut vasakule, sest sisendis olev +2 toimib vastassuunas.
Peegeldab graafiku $x$-telje suhtes; iga $y$-väärtus vahetab märki.
Venitab graafikut vertikaalselt 3 korda; $x$ jääb samaks ja iga $y$-koordinaat korrutatakse 3-ga.
$y=(x-4)^2$, sest paremale nihe kirjutatakse sisendis x-4.
Haripunkt liigub punktist (0;0) punkti (5;-2).
$g(t)=f(t)+7$; anduri graafik on tegeliku väärtuse graafikust 7 ühikut kõrgemal.
Nihuta graafik 4 ühikut vasakule ja peegelda seejärel $x$-telje suhtes.
$f(x)+4$ nihutab üles, sest liidetav on funktsioonist väljas; $f(x+4)$ nihutab vasakule, sest muutus on sisendi sees.
$y=\sqrt{x-3}$; paremale nihe kirjutatakse sisendis x-3.
(2;8), sest muutub ainult $y$-väärtus.
(6;5), sest graafik nihkub 4 ühikut paremale ja $y$ ei muutu.

Seosed

Funktsioonide teisendused kasutavad sama koordinaatide mõtet nagu geomeetrilised teisendused: nihe, peegeldus ja venitus. Järgmine geomeetria süvenduse plokk seob need ideed Pythagorase teoreemi, sarnasuse ja vektoritega.