Täisnurkse kolmnurga lahendamine
Enne alustamist9. klass · raskus 4/5
Mõiste
Kolmnurga lahendamine tähendab kõigi puuduvate külgede ja nurkade leidmist. Pindala ja ümbermõõt on lisasuurused: need leia siis, kui ülesanne neid küsib.
Täisnurkne kolmnurk on määratud, kui lisaks täisnurgale on teada:
- kaks positiivse pikkusega kaatetit;
- hüpotenuus $c$ ja kaatet $a$, kus $0<a<c$;
- üks positiivse pikkusega külg ning teravnurk $0^\circ<\alpha<90^\circ$, mille asend selle külje suhtes on teada.
Kui hüpotenuus pole kaatetist pikem, ei teki kolmnurka. Kaks teravnurka määravad kuju, kuid mitte suuruse: kolmnurka saab suurendada või vähendada nurki muutmata.
Eeldus: oskad nimetada hüpotenuusi ja kaateteid, kasutada Pythagorase teoreemi ning leida kalkulaatoriga trigonomeetrilise suhte või nurga.
Tähistame teravnurgad $\alpha$ ja $\beta$. Tööjärjekord:
- joonista ja märgi täisnurk;
- kirjuta teadaolevad suurused joonisele;
- vali seos, milles on otsitav ja teadaolevad suurused;
- leia ülejäänud külg või nurk;
- kontrolli $\alpha+\beta=90^\circ$ ja seda, et hüpotenuus on pikim.
Näide
Täisnurkse kolmnurga lähiskaatet nurga $\alpha=38^\circ$ suhtes on 5 cm. Leiame puuduvad küljed ja nurga ning lisaks pindala.
$$a=5\tan38^\circ\approx3,91\text{ cm},$$
$$c=\frac5{\cos38^\circ}\approx6,35\text{ cm}.$$
Teine teravnurk on $\beta=90^\circ-38^\circ=52^\circ$. Pindala on
$$S=\frac{ab}{2}=\frac{25\tan38^\circ}{2}\approx9,77\text{ cm}^2.$$
Pindala arvutame kaateti ümardamata väärtusega ning ümardame alles lõppvastuse.
Kontroll: $c$ on mõlemast kaatetist pikem ja nurkade summa on $180^\circ$.
Võimalikud eksimused
Sama külg võib ühe teravnurga suhtes olla vastas-, teise suhtes lähiskaatet. Külgede segiajamise vältimiseks märgi joonisele vaadeldav nurk.
Liiga varane ümardamine võib lõppvastust muuta. Hoia vahetulemused ümardamata ja ümarda lõppvastus ülesandes nõutud täpsuseni.
Kolmnurga lahendamisel ära unusta teist teravnurka. Pindala leidmata jätmine pole viga, kui seda ei küsitud.
Harjutused
Prindi selle teema harjutusleht
Lihtne kontroll
- Üks teravnurk on $27^\circ$. Leia teine teravnurk.
- Kaatetid on 6 cm ja 8 cm. Leia hüpotenuus.
Rakendus
- Hüpotenuus on 12 cm ja nurk $35^\circ$. Leia selle nurga vastaskaatet.
- Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 7 cm ja 4 cm. Leia väiksem teravnurk.
- Kaatetid on 5 cm ja 9 cm. Leia pindala ning mõlemad teravnurgad.
Mõtlemisülesanne
- Täisnurkse trapetsi kõrgus on 6 cm ja kaldhaar moodustab alusega nurga $45^\circ$. Kui palju erinevad aluste pikkused?
- Püstine 8-meetrine lipumast heidab horisontaalsele maapinnale 11-meetrise varju. Leia päikese tõusunurk.
- Miks ei piisa täisnurkse kolmnurga lahendamiseks ainult kahe teravnurga teadmisest?
- Kas täisnurksel kolmnurgal saab olla hüpotenuus 5 cm ja kaatet a) 3 cm; b) 5 cm; c) 7 cm? Põhjenda.
Vastused
Kontroll: kahe teravnurga summa peab olema $90^\circ$ ja hüpotenuus peab jääma pikimaks küljeks.
- $63^\circ$.
10 cm.- $a=12\sin35^\circ\approx6,88$ cm.
- $\alpha=\arctan\frac47\approx29,7^\circ$.
- $S=22,5\text{ cm}^2$; väiksem nurk on $\arctan\frac59\approx29,1^\circ$, teine umbes $60,9^\circ$.
- Erinevus on $6: \tan45^\circ=6$ cm.
- $\alpha=\arctan\frac8{11}\approx36,0^\circ$.
- Nurgad määravad kuju, kuid mitte mõõtkava; sama nurgaga kolmnurki saab suurendada või vähendada.
- a) Jah, teine kaatet on $\sqrt{5^2-3^2}=4$ cm. b) Ei, teine kaatet oleks 0 ja kolmnurka ei teki. c) Ei, hüpotenuus ei saa olla kaatetist lühem; $5^2-7^2<0$.
Seosed
Täisnurkse kolmnurga terviklahendust saab kasutada paljudes tasandi- ja ruumiülesannetes. Gümnaasiumis laiendavad siinus- ja koosinusteoreem sama mõtet kolmnurkadele, milles täisnurka ei ole.