Üldvaade Õppija vaade Õpetaja vaade Õpetaja ja toetaja vaade Mitme rolli juhend
Püramiid ja pöördkehade arvutused X klassi matemaatika materjalid

Püramiid ja pöördkehade arvutused

Enne alustamist9. klass · raskus 4/5

Mõiste

Ruumilise keha arvutamisel tuleb enne valemit eristada põhi, külgpind, kõrgus ja kaldpikkus. Täispindala on põhjade ning külgpinna summa; ruumala kasutab põhjaga risti olevat kõrgust.

Eeldus: tunned püramiidi, silindrit, koonust ja kera ning oskad kasutada Pythagorase teoreemi.

Korrapärase püramiidi apoteem on külgtahu kõrgus. See ei ole keha kõrgus. Koonusel täidab sama rolli moodustaja $s$.

Püramiidi kõrgus ja apoteem
Püramiidi kõrgus $h$ on põhjaga risti ning külgtahu apoteem $m$ on kaldpikkus.
Keha Täispindala Ruumala
püramiid $S=S_p+S_k$ $V=\frac13S_ph$
silinder $S=2\pi r^2+2\pi rh$ $V=\pi r^2h$
koonus $S=\pi r^2+\pi rs$ $V=\frac13\pi r^2h$
kera $S=4\pi r^2$ $V=\frac43\pi r^3$

Sfäär on kera pind; kera sisaldab ka sisemust. Silindri telglõige on ristkülik, koonuse telglõige võrdhaarne kolmnurk ja kera suurringi raadius võrdub kera raadiusega.

Pöördkehade põhimõõdud
Silindril eristatakse raadiust ja kõrgust, koonusel lisaks moodustajat ning keral raadiust.

Näide

Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 6 cm ja kõrgus 4 cm. Külgtahu apoteem tekib täisnurkses kolmnurgas, mille teine kaatet on pool põhiserva:

$$m=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ cm}.$$

Põhja pindala on $36\text{ cm}^2$. Nelja külgtahu pindala kokku on

$$S_k=4\cdot\frac{6\cdot5}{2}=60\text{ cm}^2.$$

Seega täispindala on 96 cm² ja ruumala

$$V=\frac13\cdot36\cdot4=48\text{ cm}^3.$$

Võimalikud eksimused

Tüüpviga on kasutada püramiidi külgtahu pindalas keha kõrgust. Külgtahu kolmnurga kõrgus on apoteem. Teine tüüpviga on panna koonuse ruumala valemisse moodustaja $s$; ruumala kasutab põhjaga risti olevat kõrgust $h$.

Kolmas tüüpviga on jätta täispindalast põhi või teine põhi välja. Silindril on kaks ringikujulist põhja, koonusel üks. Neljas tüüpviga on vastata pindalale kuupühikuga või ruumalale ruutühikuga.

Harjutused

Prindi selle teema harjutusleht

Lihtne kontroll

  1. Mitu põhja on silindril ja mitu koonusel?
  2. Leia kera pindala, kui $r=3$ cm.
  3. Leia silindri ruumala, kui $r=2$ cm ja $h=5$ cm.

Rakendus

  1. Leia koonuse ruumala, kui $r=3$ cm ja $h=4$ cm.
  2. Koonuse raadius on 5 cm ja kõrgus 12 cm. Leia moodustaja.
  3. Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 8 cm ja kõrgus 3 cm. Leia apoteem.

Mõtlemisülesanne

  1. Leia eelmise püramiidi täispindala ja ruumala.
  2. Silindri raadius kahekordistub, kõrgus ei muutu. Mitu korda muutub ruumala?
  3. Kumb mahutab rohkem: silinder või sama põhja ja kõrgusega koonus? Mitu korda?

Vastused

  1. Silindril kaks, koonusel üks põhi.
  2. $4\pi\cdot3^2=36\pi\text{ cm}^2$.
  3. $20\pi\text{ cm}^3$.
  4. $\frac13\pi\cdot3^2\cdot4=12\pi\text{ cm}^3$.
  5. $s=\sqrt{5^2+12^2}=13$ cm.
  6. $m=\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm.
  7. $S=8^2+4\cdot\frac{8\cdot5}{2}=144\text{ cm}^2$; $V=\frac13\cdot64\cdot3=64\text{ cm}^3$.
  8. Neli korda, sest ruumala sisaldab tegurit $r^2$.
  9. Silinder mahutab kolm korda rohkem; koonuse ruumala on sama $S_p$ ja $h$ korral kolmandik.

Seosed

Ruumiliste kehade arvutused ühendavad tasandiliste kujundite pindala, Pythagorase teoreemi, trigonomeetria ja ühikud. Keerukas ruumiülesanne muutub enamasti lihtsamaks, kui joonistad telglõike või ühe külgtahu eraldi.