Siinusteoreem ja koosinusteoreem

Tuum

Need teoreemid aitavad lahendada ka mittetäisnurkseid kolmnurki.

Kolmnurga küljed $a,b,c$ on vastavalt nurkade $A,B,C$ vastas.

Valemid ja tingimused

Tingimused: $a,b,c>0$, $0^\circ<A,B,C<180^\circ$ ja $A+B+C=180^\circ$.

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.$$

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$

Kui $C=90^\circ$, siis $\cos C=0$ ja saame Pythagorase teoreemi.

Põhjendused: siinusteoreemi tõestus ja koosinusteoreemi tõestus.

Kolmnurk külgede ja vastasnurkade tähistega — Külg a on nurga A vastas, b nurga B vastas ja c nurga C vastas. Kaared märgivad kolmnurga sisenurki.

Kiirnäide

Kui $a=7$, $b=9$ ja nurk nende vahel on $60^\circ$, siis

$$c^2=7^2+9^2-2\cdot7\cdot9\cdot\cos60^\circ.$$

Kuna $\cos60^\circ=\frac12$, siis

$$c^2=49+81-126\cdot\frac12=67,$$

seega

$$c=\sqrt{67}\approx8{,}2.$$

Pane tähele

Seo külg tema vastasnurgaga. Koosinusteoreemi nurk $C$ jääb külgede $a$ ja $b$ vahele.

Kahe külje ja ühe külje vastasnurga korral võib olla 0, 1 või 2 kolmnurka. Arvuta $s=b\sin A/a$. Kui $s>1$, lahend puudub; muidu kontrolli nurki $B=\arcsin s$ ja $180^\circ-B$. Sobib ainult $A+B<180^\circ$; $B=90^\circ$ puhul on kandidaadid samad.

Üldise teoreemi kasutamine täisnurkses kolmnurgas ei ole viga; Pythagorase teoreem võib anda lühema lahenduse.