11. klassi harjutused

Funktsioonide teisendused

Lihtne kontroll

1. Kuhu nihkub $y=x^2+5$?
2. Kuhu nihkub $y=(x+2)^2$?
3. Mida teeb $y=-\sqrt{x}$ võrreldes $y=\sqrt{x}$?
4. Mida teeb $y=3f(x)$ võrreldes $y=f(x)$?

Rakendus

5. Kui $f(x)=x^2$, siis kuidas saad funktsiooni, mis on 4 ühikut paremale nihutatud?
6. Kuhu liigub parabooli $y=x^2$ haripunkt funktsioonis $y=(x-5)^2-2$?
7. Andur näitab tegelikust väärtusest $f(t)$ alati 7 ühikut rohkem. Kirjuta anduri näit $g(t)$ ja kirjelda graafikute erinevust.

Mõtlemisülesanne

8. Kirjelda sammhaaval, kuidas saad graafikust $y=f(x)$ graafiku $y=-f(x+4)$.
9. Selgita, miks $y=f(x)+4$ ja $y=f(x+4)$ ei kirjelda sama nihet.
10. Kui $f(x)=\sqrt{x}$, siis kuidas kirjutada funktsioon, mis on 3 ühikut paremale nihutatud?
11. Kui punkt (2;5) on graafikul $y=f(x)$, siis mis punkt on graafikul $y=f(x)+3$?
12. Kui punkt (2;5) on graafikul $y=f(x)$, siis mis punkt on graafikul $y=f(x-4)$?

Ava selgitused ja vastused

Eksponentfunktsioon ja logaritm

Lihtne kontroll

1. Leia $\log_2 16$.
2. Kirjuta logaritmina võrdus $5^3=125$.
3. 200 eurot kasvab 10% aastas. Kirjuta summa valem $A(t)$.
4. Leia 200 euro suurune summa 2 aasta pärast 10% aastase kasvuga.

Rakendus

5. Ravimit on 500 mg ja kogus väheneb 30% tunnis. Kirjuta mudel ning leia kogus kahe tunni pärast.
6. Baktereid on 40 ja nende arv kolmekordistub tunnis. Kui palju on neid kolme tunni pärast?
7. Kumb kahaneb kiiremini: $A(t)=100\cdot0{,}8^t$ või $B(t)=100\cdot0{,}9^t$? Põhjenda teguri järgi.

Mõtlemisülesanne

8. Investeeringut kirjeldab $A(t)=200\cdot1{,}15^t$. Mitme täisaasta pärast on summa esimest korda vähemalt 400 eurot? Kasuta logaritmi.
9. Võrdle hetkel $t=5$ mudeleid $P(t)=100\cdot1{,}2^t$ ja $Q(t)=150\cdot1{,}1^t$. Kumb on suurem, kuigi alguses väiksem?
10. 50 ühikut kahekordistub igal sammul. Millal jõuab väärtus esimest korda vähemalt 350-ni? Leia reaalne lahend ja tõlgenda täissammu.
11. Miks ei ole $\log_2(-8)$ reaalarvuna defineeritud?

Ava selgitused ja vastused

Logaritmireeglid, võrrandid ja võrratused

Lihtne kontroll

1. Avalda ühe logaritmina $\log_3 5+\log_3 9$.
2. Avalda $\log_2 32-\log_2 4$.
3. Arvuta $\log_2 7$ aluse vahetamise valemiga kahe komakoha täpsusega.

Rakendus

4. Kasvumudel on $N(t)=3^{t+1}$. Leia aeg $t$, mil mudeli väärtus on 27.
5. Lahenda $\log_5(x-4)=2$ ja kontrolli tingimust.
6. Lahenda $\log_2 x+\log_2(x-2)=3$.

Mõtlemisülesanne

7. Lahenda $2^x>8$.
8. Lahenda $\left(\frac13\right)^x\le\frac1{27}$ ja põhjenda märgi suunda.
9. Lahenda $\log_2(x-1)+\log_2(x-3)=3$ ning selgita, miks mõlemad algebra kandidaadid ei sobi.
10. Lahenda $\log_3(x-2)<2$ koos määramispiirkonna tingimusega.
11. Lahenda $\log_{1/2}(x-1)\le1$ ja põhjenda märgi muutumist.

Ava selgitused ja vastused

Trigonomeetrilised funktsioonid

Lihtne kontroll

1. Leia $\cos0^\circ$.
2. Mis on $\sin^2x+\cos^2x$ väärtus?
3. Miks $\tan90^\circ$ pole defineeritud?

Rakendus

4. Mis on ühikringil punkti koordinaadid, kui nurk on $60^\circ$?
5. Mis märgiga on $\sin220^\circ$ ja $\cos220^\circ$?
6. Vaateratta kõrgust kirjeldab $h(x)=12+10\sin x$, kus $x$ on nurk kraadides. Leia $h(30^\circ)$ ja tõlgenda arvu 12.

Mõtlemisülesanne

7. Kui $\cos x=0$, siis miks võib tangensiga probleem tekkida?
8. Leia kõik nurgad vahemikus $0^\circ\le x\le720^\circ$, mille korral $\sin x=0$.
9. Kas $\sin x$ väärtus võib olla 2? Põhjenda.

Ava selgitused ja vastused

Radiaanid ja perioodilisus

Lihtne kontroll

1. Teisenda $180^\circ$ radiaanideks.
2. Teisenda $\frac{\pi}{3}$ kraadideks.
3. Mis on siinusfunktsiooni vähim positiivne periood?

Rakendus

4. Paigal oleva keskpunktiga ratas raadiusega 3 pöördub $120^\circ$. Kui pika kaare läbib serval olev punkt?
5. Ratas pöördub $\frac{5\pi}{6}$ radiaani. Mitu kraadi ja milline osa täispöördest see on?
6. Milline väikseim positiivne radiaaninurk tuleb liita nurgale $35^\circ$, et tangensi väärtus korduks?

Mõtlemisülesanne

7. Miks $\sin(x+4\pi)=\sin x$?
8. Kas $60^\circ$ ja $\frac{\pi}{3}$ rad on sama nurga suurus? Võrdle ka nende koosinusi.
9. Kahe ratta keskpunktid püsivad paigal. Nende raadiused on 5 ja 10 ning mõlemad pöörduvad nurga $\frac{\pi}{3}$. Võrdle servapunktide läbitud kaari.

Ava selgitused ja vastused

Trigonomeetrilised valemid

Lihtne kontroll

1. Lihtsusta $\sin(-x)$.
2. Kirjuta lahti $\sin(\alpha+\beta)$.
3. Kirjuta $\cos2x$ ainult $\cos x$ kaudu.

Rakendus

4. Ühikringi punkt vastab nurgale $75^\circ$. Leia punkti $x$-koordinaat täpselt.
5. Kui $\sin\alpha=\frac5{13}$ ja $\alpha$ on teravnurk, leia $\sin2\alpha$.
6. Lihtsusta $\sin^2x+\cos^2x+\cos2x$ ainult koosinuse kaudu.

Mõtlemisülesanne

7. Põhjenda valemi abil, miks $\sin(90^\circ-x)=\cos x$.
8. Leia täpselt $\sin15^\circ$.
9. Lahenda $\cos2x=0$ vahemikus $0\le x<\pi$ ning kontrolli mõlemat lahendit algvõrrandis.

Ava selgitused ja vastused

Siinusteoreem ja koosinusteoreem

Lihtne kontroll

1. Millal piisab Pythagorase teoreemist?
2. Kirjuta koosinusteoreem külje $a$ jaoks.
3. Mis andmeid on vaja siinusteoreemi kasutamiseks?

Rakendus

4. Maamõõtja saab kolmnurkse ala külgedeks $a=4$ m ja $b=6$ m ning nendevaheliseks nurgaks $C=60^\circ$. Leia kolmas piir $c$.
5. Leia külg $b$, kui $A=30^\circ$, $B=80^\circ$ ja $a=5$.

Mõtlemisülesanne

6. Kolmnurga küljed on 3, 4 ja 5. Kas pikima külje vastasnurk on täisnurk? Põhjenda.
7. Külgede 5, 7 ja 8 vastas on nurgad $A,B,C$. Leia suurim nurk.
8. Teada on $a=10$, $b=12$ ja nende vaheline nurk $C=40^\circ$. Millist teoreemi kasutad esimesena ja miks?
9. Teada on külg $a$, nurk $A$ ja nurk $B$. Millist teoreemi kasutad külje $b$ leidmiseks?
10. Olgu $A=30^\circ$ ja $b=10$. Mitu kolmnurka on võimalik, kui a) $a=4$, b) $a=5$, c) $a=7$?

Ava selgitused ja vastused

Trigonomeetrilised põhivõrrandid

Lihtne kontroll

1. Lahenda $\sin x=0$.
2. Lahenda $\tan x=1$.
3. Kas võrrandil $\cos x=2$ on reaalarvulisi lahendeid?

Rakendus

4. Vaateratta punkti horisontaalset asendit kirjeldab ühe pöörde jooksul $\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}$. Leia sobivad nurga $x$ väärtused vahemikus $0\le x<2\pi$.
5. Lahenda $3\sin x+3=0$ vahemikus $0\le x\le2\pi$.
6. Lahenda $\sin2x=0$ vahemikus $0\le x\le2\pi$.

Mõtlemisülesanne

7. Lahenda $2\cos^2x-1=0$ vahemikus $0\le x<2\pi$ ning kontrolli kõik lahendid algvõrrandis.
8. Miks annab võrrand $\sin x=0{,}3$ ühe perioodi jooksul kaks lahendit, aga $\sin x=1$ ainult ühe?
9. Lahenda võrratus $\sin x>0$ vahemikus $0\le x\le2\pi$.

Ava selgitused ja vastused

Jadad

Lihtne kontroll

1. Leia aritmeetilise jada 4, 9, 14, 19, ... vahe $d$.
2. Leia selle jada üldliige.
3. Leia sama jada 20. liige.

Rakendus

4. Paberilehe paksus on algul 0,1 mm ja kahekordistub iga voltimisega. Mis tüüpi jada tekib ja mis on $q$?
5. Kontol on algul 1000 eurot ja summa kasvab aastas 5%. Kirjuta mudel $A(n)$, kus $n$ on aastate arv.
6. Palli esimese põrke kõrgus on 2 m ja iga järgmine põrge ulatub $\frac34$ eelmise kõrgusest. Leia neljanda põrke kõrgus.

Mõtlemisülesanne

7. Leia aritmeetilise jada 1, 4, 7, ..., 28 liikmete summa.
8. Geomeetriline jada algab liikmetega 8, -4, 2, .... Leia viies liige ja esimese viie liikme summa.
9. Õpilane säästab esimesel kuul 100 eurot ning igal järgmisel kuul 20 eurot rohkem. Põhjenda, miks kuusummad moodustavad aritmeetilise jada, ning leia 12 kuu kogusumma.

Ava selgitused ja vastused

Jada piirväärtus ja lõpmatu summa

Lihtne kontroll

1. Leia $\lim_{n\to\infty}\frac5n$.
2. Leia $\lim_{n\to\infty}\left(4+\frac2n\right)$.
3. Kas jada $2^n$ on lõpliku piirväärtusega?

Rakendus

4. Leia summa $8+4+2+1+\cdots$.
5. Leia summa $3-1+\frac13-\frac19+\cdots$.
6. Pall langeb 5 meetrit ja iga põrke kõrgus on eelmisest $\frac35$. Leia kõigi tõusude summa.

Mõtlemisülesanne

7. Miks on hääbuva geomeetrilise jada summa valemi tingimus $|q|<1$?
8. Leia $\lim_{n\to\infty}\frac{2n-7}{n+3}$ ning kontrolli lähenemise suunda liikmete $a_{10}$ ja $a_{100}$ abil.
9. Selgita, miks arvud $e$ ja $\pi$ võivad tekkida piirväärtusena, kuigi nad ei ole ühegi lõpliku sammu tulemus.

Ava selgitused ja vastused

Finantsmatemaatika

Lihtne kontroll

1. Leia 200 eurost 12%.
2. Arvuta lihtintressiga 1000 eurot 4% juures 2 aastaks.
3. Miks liitintress kasvab kiiremini kui lihtintress?

Rakendus

4. Arvuta liitintressiga 500 eurot 3% aastas 4 aastaks.
5. Kui hinnad kasvavad 5% aastas, kui palju maksab 80-eurone ese ühe aasta pärast?
6. Eesti pere paneb lapse huvihariduse fondi 40 eurot kuus. Kui palju koguneb ilma intressita ühe aastaga?

Mõtlemisülesanne

7. Laen on 600 eurot ja see makstakse tagasi 6 võrdse maksena ilma intressita. Kui suur on üks makse?
8. Miks ei piisa laenu hindamisel ainult kuumakse vaatamisest?
9. Kui 120-eurose elektriarve hind kasvab 15%, kui suur on uus arve?
10. Kui maksad 18 kuud iga kuu 35 eurot, mis on kogukulu enne intressi ja teenustasusid?

Ava selgitused ja vastused

Kombinatoorika

Lihtne kontroll

1. Mitu kolmekohalist koodi saab moodustada numbritest 1, 2, 3, kui kordused on lubatud?
2. Mitu viisi on 4 inimest järjekorda panna?
3. Kui mitmel viisil saab valida 6 õpilase seast 3?
4. Kui mitmel viisil saab valida 6 õpilase seast esimehe ja aseesimehe?

Rakendus

5. Kohvikus on 5 võileiba ja 3 jooki. Mitu viisi on valida üks võileib ja üks jook?
6. Mitu kolmekohalist koodi saab moodustada numbritest 1, 2, 3, kui kordused ei ole lubatud?
7. Klassis on 8 õpilast. Kui mitmel viisil saab valida 2-liikmelise tööpaari?

Mõtlemisülesanne

8. Samast 8 õpilasest valitakse esineja ja ajamõõtja. Mitu võimalust on?
9. Kui mitmel viisil saab 5 raamatut riiulisse järjekorda panna?
10. Otsusta, kas järjekord loeb: valitakse 3 õpilast ekskursiooni korraldustiimi. Põhjenda.
11. Numbrid 1, 2, 3 pannakse juhuslikku järjekorda. Kui suur on tõenäosus, et esimene number on 1?

Ava selgitused ja vastused

Hajuvus ja jaotused

Lihtne kontroll

1. Leia andmete 2, 3, 9, 11, 15 ulatus.
2. Miks on mediaan mõnikord parem kui keskmine?

Rakendus

3. Mida näitab karpdiagrammi pikk kast?
4. Leia andmete 1, 4, 5, 8, 10 mediaan.

Mõtlemisülesanne

5. Leia andmete 1, 4, 5, 8, 10 $Q_1$ ja $Q_3$, kui mediaan jäetakse poolte leidmisel välja.
6. Leia sama andmestiku ulatus.
7. Millal sobib binoomjaotus paremini kui tavaline keskmise arvutamine?
8. Mida ütleb lai usaldusvahemik valimi põhjal tehtud hinnangu kohta?
9. Kahel andmestikul on sama ulatus 10. Ühel on karpdiagrammi kast lühike, teisel pikk. Mida see tähendab?
10. Leia andmete 2, 2, 6, 6 keskmine ja standardhälve, jagades hälvete ruutude summa andmete arvuga.
11. Igale eelmise ülesande väärtusele liidetakse 10. Kas standardhälve muutub? Põhjenda.

Ava selgitused ja vastused

Tõenäosusmudelid ja statistiline järeldus

Lihtne kontroll

1. Visatakse kahte ausat münti. Leia kahe kirja tõenäosus.
2. Kui $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$ ja sündmused on sõltumatud, leia $P(A\cap B)$.
3. Mida tähendab korrelatsioon $r=-0{,}8$?

Rakendus

4. Täringul olgu $A$ paarisarv ja $B$ arv vähemalt 5. Leia $P(A\cup B)$.
5. Katsel on õnnestumise tõenäosus 0,2. Leia täpselt ühe õnnestumise tõenäosus nelja sõltumatu katse korral.
6. Tõlgenda koolilõuna uuringu kahte valimit: söökla ukse juures esimesed 20 vastajat ja juhuvalik kõigi klasside õpilastest. Otsusta, kumb esindab kooli paremini, ning põhjenda.

Mõtlemisülesanne

7. Miks ei tõesta tugev jäätisemüügi ja ujumisõnnetuste korrelatsioon, et jäätis põhjustab õnnetusi?
8. Bernoulli katses on $n=100$ ja $p=0{,}6$. Leia õnnestumiste oodatav arv ning selgita, miks tegelik arv ei pea olema täpselt sama.
9. Kaks uuringut annavad sama valimikeskmise, kuid ühe usaldusvahemik on palju laiem. Nimeta kaks võimalikku põhjust.

Ava selgitused ja vastused

XI klass: funktsioonist analüüsini sild

Lihtne kontroll

1. Kirjelda sõnadega, mida tähendab "funktsioon kasvab".
2. Funktsioon $f(x)=2x+1$. Kui palju muutub $f$, kui $x$ suureneb 1 võrra?

Rakendus

3. Funktsioon $f(x)=x^2$. Leia keskmine muutus vahemikus 1 kuni 3.
4. Kui $f'(4)=10$, mida see ütleb funktsiooni kohta punktis $x=4$?

Mõtlemisülesanne

5. Miks on piirväärtuse mõte vajalik enne tuletist?
6. Too näide nähtusest, mis on perioodiline.
7. Funktsioon $h(t)=3t+2$, kus $h$ on funktsiooni nimi ja $t$ sisend. Mis vahe on väärtusel $h(5)$ ja tuletisel $h'(5)$?
8. Miks võib ruutfunktsiooni keskmine muutus eri vahemikes olla erinev?
9. Auto liigub 10 m/s 4 sekundit. Kuidas näeksid seda kiiruse graafiku aluse pindalana?

Ava selgitused ja vastused

Piirväärtus, tuletis ja integraal

Lihtne kontroll

1. Mida kirjeldab piirväärtus?
2. Mida kirjeldab tuletis?
3. Mida kirjeldab määratud integraal?

Rakendus

4. Kui $f'(3)=6$, siis mida see ütleb funktsiooni kohta punktis $x=3$?
5. Kui kiirus on 12 m/s ja aeg 10 s, siis millist integraali mõtet saab siin lihtsal kujul kasutada?

Mõtlemisülesanne

6. Kui $f'(2)=0$, mida võiks see graafiku kohta vihjata?
7. Mis vahe on keskmisel muutumiskiirusel vahemikus ja tuletisel punktis?
8. Jada $a_n=\frac1n$ ei saavuta väärtust 0. Miks võib selle piirväärtus siiski olla 0?

Ava selgitused ja vastused

Tuletise arvutusreeglid

Kitsas matemaatikas: vali õige tuletamisreegel ja arvuta korrektselt. Laias matemaatikas: põhjenda reegli valikut ning tõlgenda tuletise märki või nullkohta.

Lihtne kontroll

1. Leia $(5x^2-3x+8)'$.
2. Leia $(x^4+2x^2)'$.
3. Leia ((3x-2)^2)'.

Rakendus

4. Selgita oma sõnadega, millal on vaja ahelreeglit.
5. Liikumist kirjeldab $s(t)=t^2(t+5)$ meetrites. Leia hetkeline kiirus hetkel $t=2$ s.
6. Kontsentratsioon on $C(t)=\frac{t^2}{t+1}$ mg/l. Leia $C'(1)$ ja lisa vastusele ühik.

Mõtlemisülesanne

7. Leia $((x^2+1)^5)'$.
8. Õpilane väidab, et $(4(2x-1)^3)'=12(2x-1)^2$. Leia viga ja paranda vastus.
9. Kui $f'(x)=3x^2-12$, leia ekstreemumikandidaadid ning liigita need tuletise märgi järgi.

Ava selgitused ja vastused

Matemaatiline induktsioon

Lihtne kontroll

1. Kontrolli summavalemit $n=3$ korral.
2. Miks on baassamm vajalik?
3. Mida tähendab induktsioonieeldus?

Rakendus

4. Tõesta induktsiooniga, et $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$.
5. Mis on induktsioonisammus vaja tõestada, kui väide on $P(n)$?

Mõtlemisülesanne

6. Miks ei piisa induktsioonitõestuses ainult juhtude $n=1,2,3$ kontrollimisest?
7. Väide $P(n)$ algab väärtusest $n=0$. Milline peab olema baassamm ja milline induktsioonisamm?
8. Õpilane kontrollib $P(1)$, eeldab $P(n)$ ja kirjutab kohe „järelikult $P(n+1)$”. Mis on tõestusest puudu?

Ava selgitused ja vastused

Algoritmid ja rekursioon

Lihtne kontroll

1. Leia Fibonacci jada kuues liige.
2. Kirjelda algoritm kahe arvu suurima ühisteguri leidmiseks.

Rakendus

3. Miks vajab rekursioon lõpetamistingimust?
4. Mis on sisend ja väljund Eukleidese algoritmis?

Mõtlemisülesanne

5. Kirjuta pseudokood, mis kontrollib, kas täisarv $n$ on paarisarv.
6. Mis juhtub rekursiooniga, kui peatustingimus puudub?
7. Milline on sisend, väljund ja lõpetamistingimus algoritmis, mis loendab arvud 1-st $n$-ni?
8. Miks on oluline, et rekursiivne samm liiguks lihtsama juhu poole?

Ava selgitused ja vastused