12. klass: Millal on pindala suurim?
Seon mudeli, tuletise märgi ja suurima väärtuse leidmise.
Ristküliku pindala kindla ümbermõõdu korral. Ei tuleta tuletise definitsiooni ega kata kõiki optimeerimisülesandeid.
Katsetuslik materjal. Küsimuste vastused ja juhised on eraldi avatavates õpetaja märkmetes. Slaididel olevad joonised on PPTX-is muudetavad.
1. Millal on pindala suurim?
Slaidi tekst
20 m aeda. Ristkülikuline peenar.
Õpetaja märkmed
Kõik neli külge tarastatakse. Aia paksust ja väravaava ei arvestata. Külgede pikkused on positiivsed.
2. Pikk ja kitsas või ruut?
Slaidi tekst
2 m × 8 m või 5 m × 5 m?
Mõlemal ümbermõõt 20 m.
Õpetaja märkmed
Vastus või kontrollmõte: Pindalad 16 m² ja 25 m²; neist kahest suurem ruudul.
Kahest näitest ei piisa kõigi ristkülikute kohta järeldamiseks. Järgmised slaidid põhjendavad üldise tulemuse selle mudeli piires.
3. Pindala sõltub ühest küljest
Slaidi tekst
A(x) = x(10 − x) = −x² + 10x
Teine külg 10 − x. Tingimus 0 < x < 10.
x meetrites, A ruutmeetrites.
Õpetaja märkmed
2x + 2y = 20, seega y = 10 − x. Graafik on skalaarse funktsiooni kujutis, mitte peenra piirjoon. x meetrites, A ruutmeetrites. Otspunktid on välistatud.
4. Tuletis näitab muutumise suunda
Slaidi tekst
A′(x) = −2x + 10
A′(x) = 0 annab x = 5.
Kontrollime ka tuletise märki.
Õpetaja märkmed
Tuletis null tähendab ekstreemumi kandidaati. Märkide kontroll annab antud mudelis maksimumi, mitte ainult arvu 5.
5. Sinu kord
Slaidi tekst
Leia A′(2), A′(8) ja A(5).
Mida märgid pindala muutumisest ütlevad?
Õpetaja märkmed
Vastus või kontrollmõte: 6, −6 ja 25 m²; enne 5 kasvab, pärast 5 kahaneb.
Üksikud proovimärgid ei tõesta üksi tervete vahemike käitumist. Kasuta valemit −2x + 10.
6. Kasvamisest kahanemiseni
Slaidi tekst
x < 5: A′ > 0 x > 5: A′ < 0
A(5) = 25 m². Küljed 5 m ja 5 m.
Õpetaja märkmed
Märkide väited kehtivad mudeli piirkonnas 0 < x < 10. Funktsioon kasvab kuni 5-ni ja kahaneb seejärel, seega on maksimum globaalne sellel piirkonnal.
7. Kas tuletise nullkoht alati otsustab?
Slaidi tekst
f(x) = x³. Tuletis on kohal x = 0 null.
Kas seal on maksimum või miinimum?
Õpetaja märkmed
Vastus või kontrollmõte: Ei kumbagi. f′(x) = 3x² ei muuda seal märki.
x³ kasvab üle nulli edasi. Horisontaalne puutuja ei taga ekstreemumit.
8. Kandidaat vajab põhjendust
Slaidi tekst
f′(x) = 3x² ≥ 0
Nulli ümber ei teki märgivahetust.
Kinnisel lõigul kontrolli ka otspunkte.
Õpetaja märkmed
Üldiselt kontrolli ka määramispiirkonda kuuluvaid kohti, kus tuletist pole. Peenra mudeli avatud piirkonnas tuli tulemus tuletise märgist.
9. Kas ruut on alati parim?
Slaidi tekst
Sein katab ühe külje, aeda on ikka 20 m.
Kirjuta uus pindalavalem.
Õpetaja märkmed
Vastus või kontrollmõte: 2x + y = 20, A = x(20 − 2x), 0 < x < 10. Maksimum x = 5, y = 10, A = 50 m².
Väljakutse: x on kaks seinaga risti olevat külge. Kolmas tarastatav külg y = 20 − 2x. A′ = 20 − 4x, maksimum x = 5, y = 10. Ruut ei ole selles mudelis parim.