Üldvaade Õppija vaade Õpetaja vaade Õpetaja ja toetaja vaade Mitme rolli juhend
Ruutfunktsiooni graafik ja mudel Koolimatemaatika tuumikreferents

Ruutfunktsiooni graafik ja mudel

Enne alustamist9. klass · raskus 4/5

Mõiste

Ruutfunktsiooni $y=ax^2+bx+c$ graafiku skitseerimiseks ei piisa ühest punktist. Vaja on avanemissuunda, sümmeetriatelge, haripunkti, nullkohti ja $y$-telje lõikepunkti.

Eeldus: oskad leida ruutfunktsiooni nullkohad ja haripunkti ning kanda punkte teljestikku.

Tööjärjekord:

  1. vaata $a$ märki;
  2. leia nullkohad;
  3. leia $x_h=-\frac{b}{2a}$ ja $y_h=f(x_h)$;
  4. märgi punkt (0;c);
  5. lisa sümmeetrilised kontrollpunktid ja joonesta sujuv parabool.

Kordaja absoluutväärtuse kasvades muutub parabool kitsamaks. Vabaliige $c$ määrab lõikepunkti $y$-teljega.

Parabool nullkohtadega
Parabooli nullkohad, haripunkt ja sümmeetriatelg annavad käsitsi joonestamiseks vajalikud tugipunktid.

Näide

Joonestame funktsiooni $y=-x^2+2x+3$.

Parabool avaneb alla, sest $a=-1$. Nullkohad:

$$-x^2+2x+3=0\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-2x-3=0,$$

seega $x=-1$ ja $x=3$. Sümmeetriatelg on nullkohtade keskel $x=1$. Haripunkti väärtus on $f(1)=4$, seega haripunkt on (1;4). $y$-telje lõikepunkt on (0;3); selle sümmeetriline paariline on (2;3).

Vastus: viie tugipunkti (-1;0), (0;3), (1;4), (2;3), (3;0) kaudu saab joonestada allapoole avaneva parabooli.

Võimalikud eksimused

Tüüpviga on ühendada punktid sirglõikudega. Parabool on sujuv kõver. Teine tüüpviga on joonestada ainult nullkohtade põhjal ja unustada, et kordaja $a$ muudab graafiku laiust.

Kolmas tüüpviga on lugeda haripunktiks ainult $x_h$. Haripunkt on kahe koordinaadiga punkt. Neljas tüüpviga on mudelis jätta tõlgendamata, milline osa paraboolist kirjeldab tegelikku aega, pikkust või kõrgust.

Katseta graafikul

Kontrolli oma visandit graafikuvaatlejas. Sisesta näite kordajad $a=-1$, $b=2$, $c=3$ ja võrdle viit tugipunkti. Mudelülesandes arvesta ainult lubatud sisendite vahemikku.

Visand enne tööriista

Palu visandada näite parabool esmalt paberil ja avada alles seejärel graafikuvaatleja. Võrrelge nullkohti, haripunkti ja teljelõiget, mitte ainult üldmuljet.

Kontrolli üht punkti

Avage parabooli vaade. Las õppija seab näite kordajad ning põhjendab valemi abil ühe oma visandi punkti asukohta.

Harjutused

Lihtne kontroll

  1. Mis suunas avaneb $y=-2x^2+5$?
  2. Leia funktsiooni $y=x^2-4x+3$ nullkohad.
  3. Leia sama funktsiooni haripunkt.

Rakendus

  1. Koosta funktsiooni $y=x^2-4$ jaoks viis sümmeetrilist tugipunkti.
  2. Kontrolli arvutusega, kas punkt (4;5) asub graafikul $y=x^2-3x+1$.
  3. Visanda $y=-x^2+4x$ ja märgi ajavahemik, kus $y\ge0$.

Mõtlemisülesanne

  1. Pall liigub kõrgusmudeli $h(t)=-5t^2+20t+1$ järgi. Millal on pall kõige kõrgemal ja kui kõrgel?
  2. Kuidas muutub $y=ax^2$ graafik, kui $a$ muutub arvust 1 arvuks 3?
  3. Koosta ruutfunktsioon, mille nullkohad on 2 ja 6 ning $a=1$.

Vastused

  1. Alla, sest $a<0$.
  2. $x=1$ ja $x=3$.
  3. $x_h=2$ ja $f(2)=-1$, seega (2;-1).
  4. Näiteks (-2;0), (-1;-3), (0;-4), (1;-3), (2;0).
  5. $f(4)=16-12+1=5$, seega punkt asub graafikul.
  6. Nullkohad on 0 ja 4; mudel on mittenegatiivne vahemikus $0\le x\le4$.
  7. $t_h=2$ s ja $h(2)=21$ m.
  8. Parabool jääb ülespoole avatuks, kuid muutub kitsamaks.
  9. $y=(x-2)(x-6)=x^2-8x+12$.

Seosed

Graafik seob ruutvõrrandi lahendid, funktsiooni väärtused ja olukorra tõlgenduse. Järgmises ratsionaalavaldiste plokis liigub tähelepanu graafikult avaldise lubatud väärtustele ja teisendustele.