Üldvaade Õppija vaade Õpetaja vaade Õpetaja ja toetaja vaade Mitme rolli juhend
Ruutjuur ja juuravaldised Koolimatemaatika tuumikreferents

Ruutjuur ja juuravaldised

Enne alustamist9. klass · raskus 3/5

Mõiste

Milline arv annab iseendaga korrutades 9? Arv 3, sest $3\cdot3=9$. Selle kirjutame ruutjuure märgiga:

$$\sqrt9=3.$$

Ruutjuurimine on ruutu tõstmise pöördtehe nulli ja positiivsete arvude korral: $3^2=9$ ning $\sqrt9=3$. Samuti $\sqrt0=0$.

Kuigi ka $(-3)^2=9$, tähistab $\sqrt9$ ainult arvu 3. Ruutjuure märk annab alati nulli või positiivse arvu.

Üldiselt on arvu $a\ge0$ aritmeetiline ruutjuur $\sqrt a$ see mittenegatiivne arv, mille ruut on $a$. Negatiivsest arvust reaalarvulist ruutjuurt ei saa.

Eeldus: oskad astendada, tunned reaalarve ja leiad taskuarvutiga kümnendlähendi.

Ruutjuure märk annab ühe mittenegatiivse väärtuse. Võrrandil $x^2=49$ on aga kaks lahendit, $x=7$ ja $x=-7$, sest mõlema ruut on 49.

Kui $a,b\ge0$, siis $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$. Jagatise puhul peab lisaks olema $b>0$:

$$\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}.$$

Need reeglid lubavad täisruudu juuremärgi alt välja tuua. Näiteks $72=36\cdot2$, seega $\sqrt{72}=6\sqrt2$.

Ruut küljega a
Ruudu pindala seos $S=a^2$ näitab, et pindala järgi saab külje leida ruutjuurega $a=\sqrt S$.

Näide

Lihtsustame ja hindame avaldist $\sqrt{72}$.

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=\sqrt{36}\sqrt2=6\sqrt2.$$

Sajandikeni ümardamiseks säilitame vahearvutuses rohkem kümnendkohti:

$$6\sqrt2=8,485281\ldots\approx8,49.$$

Kontroll: $8^2<72<9^2$, mistõttu peab tulemus jääma 8 ja 9 vahele. Täpne vastus on $6\sqrt2$, kümnendlähend on umbes 8,49.

Võimalikud eksimused

Ruutjuur ei jaotu summa liikmete vahel:

$$\sqrt{9+16}=5,\qquad \sqrt9+\sqrt{16}=7.$$

Teine tüüpviga on kirjutada $\sqrt{25}=\pm5$. Õige on $\sqrt{25}=5$; märk $\pm$ tekib võrrandi $x^2=25$ lahendamisel.

Kolmas tüüpviga on kümnendlähendit pimesi uskuda. Võrdle tulemust alati naaberruutudega: kui $25<30<36$, siis $5<\sqrt{30}<6$.

Harjutused

Lihtne kontroll

  1. Leia $\sqrt{121}$.
  2. Milliste täisarvude vahel asub $\sqrt{50}$?

Rakendus

  1. Lihtsusta $\sqrt{48}$.
  2. Arvuta $\sqrt{18}\cdot\sqrt2$.
  3. Leia $\sqrt{\frac{81}{16}}$.

Mõtlemisülesanne

  1. Ruudu pindala on 200 cm². Leia külje täpne pikkus ja kümnendlähend.
  2. Paranda viga: $\sqrt{4+5}=\sqrt4+\sqrt5$.
  3. Selgita, miks võrrandil $x^2=36$ on kaks lahendit, kuid $\sqrt{36}$ on üks arv.

Vastused

  1. 11, sest $11^2=121$.
  2. 7 ja 8 vahel, sest $7^2=49<50<64=8^2$.
  3. $\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt3$.
  4. $\sqrt{36}=6$.
  5. $\frac94$, sest ruutjuur võetakse lugejast ja nimetajast.
  6. $a=\sqrt{200}=10\sqrt2\approx14,14$ cm.
  7. Vasak pool on $\sqrt9=3$, parem pool $2+\sqrt5$; ruutjuur ei jaotu summa vahel.
  8. Nii 6 kui ka -6 annavad ruutu tõstes 36. Sümbol $\sqrt{36}$ tähistab kokkuleppeliselt mittenegatiivset juurt 6.

Seosed

Juuravaldised valmistavad ette ruutvõrrandi lahendivalemit, Pythagorase teoreemi ja täpsete pikkuste esitamist. Järgmises algebraplokis otsustad lisaks, millal ruutjuure võtmisel tuleb arvestada kahe märgiga.