Lineaarvõrrandisüsteemid
Enne alustamist8. klass · raskus 4/5
Mõiste
Võrrandisüsteemis otsime väärtusi, mis rahuldavad korraga kõiki võrrandeid.
Kahe tundmatuga süsteemi lahend on arvupaar (x;y). See peab sobima mõlemasse võrrandisse.
Eeldus: oskad lahendada lineaarvõrrandeid, teisendada sirge võrrandit ja lugeda koordinaate.
Enne lahendamist kirjuta, mida $x$ ja $y$ tähistavad ning mis ühikus. Alles siis vali võte.
Võtte valik:
| Süsteemi kuju | Mõistlik võte | Põhjus |
|---|---|---|
| $y=2x+1$ ja $x+y=10$ | asendusvõte | üks tundmatu on juba avaldatud |
| $x+y=11$ ja $x-y=3$ | liitmisvõte | $y$ ja $-y$ kaovad liitmisel |
| mõlemad võrrandid on lihtsad sirged | graafiline | lõikepunkti saab jooniselt näha |
Graafiline lahendus aitab mõista. Ebatäpse joonise korral leia täpne vastus algebra abil.
Lõikepunkt sobib mõlemasse võrrandisse.
Kui vajad abi
Alusta küsimusest: kas otsid arvu või arvupaari? Süsteemi vastus on tavaliselt (x;y), seega pärast $x$ leidmist arvuta ka $y$ ja kontrolli mõlemat võrrandit.
Näide
Geomeetriline tähendus
Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi graafik on sirge; süsteemi lahendile vastab sirgete lõikepunkt.
Lõikuvatel sirgetel on üks lahend, paralleelsetel sirgetel lahend puudub ja kokkulangevatel sirgetel lahendeid lõpmata palju.
Süsteemi
lõikepunkti saab leida paremaid pooli võrdsustades:
$$x+1=-x+5$$
$$2x=4,$$
$$x=2.$$
Siis $y=2+1=3$; lahend on (2;3).
Sama süsteem liitmisvõttega
Liidame sama süsteemi võrrandite vasakud ja paremad pooled:
$$y+y=(x+1)+(-x+5).$$
$$2y=6,\qquad y=3.$$
Esimesest võrrandist $3=x+1$, seega $x=2$. Teisest $3=-x+5$, samuti $x=2$. Mõlemad võtted annavad lahendi $(2;3)$.
Kui võtet pole ette antud, vali see, millega saad lahendi lihtsamalt. Kui ülesanne nõuab kindlat võtet, kasuta seda. Kontrolli lahendit mõlemas algses võrrandis.
Asendusvõte
Süsteem
Esimene võrrand annab $y$, seega asendame selle teise võrrandisse:
$$x+(2x+1)=10$$
$$3x+1=10$$
$$x=3.$$
Siis
$$y=2\cdot3+1=7.$$
Lahend on (3;7).
Liitmisvõte
Süsteem
sobib liitmisvõtteks pärast ettevalmistust. Korrutame teise võrrandi arvuga 3, et $y$ kordajad oleksid vastandarvud:
Liidame:
$$8x=36,$$
$$x=4,5.$$
Asendame algsesse võrrandisse:
$$2\cdot4,5-y=6,$$
$$9-y=6,$$
$$y=3.$$
Lahend on (4,5;3).
Võimalikud eksimused
Kui sirged on paralleelsed, ei ole süsteemil lahendit. Kui võrrandid kirjeldavad sama sirget, on lahendeid lõpmata palju.
Teine tüüpviga on leida $x$, aga jätta $y$ arvutamata. Süsteemi lahend on arvupaar, mitte üks arv.
Kolmas tüüpviga on kontrollida lahendit ainult ühes võrrandis.
Neljas tüüpviga on graafikult ligikaudne lõikepunkt lugeda täpseks vastuseks. Kui joonis on ebatäpne, kontrolli vastust algebra abil.
Viies tüüpviga on asendus- või liitmisvõttes muuta ainult ühte poolt. Kui korrutad võrrandit ettevalmistuseks arvuga, korruta kõik liikmed läbi.
Katseta graafikul
Võrdle kaht sirget graafikuvaatlejas. Jäta $y=x$ mällu ja sea uus valem $y=-x+2$. Loe lõikepunkti koordinaadid ning kontrolli neid mõlemas võrrandis.
Lahendite arv graafikul
Ava kahe sirge võrdlus: salvesta esmalt $y=x$. Võrdle seda kordamööda sirgetega $y=-x+2$, $y=x+2$ ja $y=x$. Siduge lõikumine, paralleelsus ja kokkulangemine lahendite arvuga.
Lõikepunkti kontroll
Avage sirgete vaade. Palu õppijal selgitada, miks peab lõikepunkt sobima mõlema valemiga. Pildilt loetud ligikaudne väärtus ei asenda asenduskontrolli.
Harjutused
Prindi selle teema harjutusleht
Lihtne kontroll
- Lahenda süsteem
x+y=8,x-y=2. - Joonisel oleva süsteemi lahend on
(2;3). Mida tähendab see graafiliselt? Selgita, mida näitavad arvud 2 ja 3. - Too näide süsteemist, millel lahend puudub.
- Lahenda asendusvõttega: $y=x+4$, $x+y=12$.
Rakendus
- Millal on süsteemil lõpmata palju lahendeid?
- Lahenda liitmisvõttega: $x+y=9$, $x-y=1$.
- Lahenda asendusvõttega: $y=3x-2$, $x+y=10$.
Mõtlemisülesanne
- Kontrolli, kas
(2;3)on süsteemi $y=x+1$, $y=-x+5$ lahend. - Milline võte sobib hästi süsteemile $2x+y=7$, $y=5-x$? Põhjenda.
- Too näide süsteemist, millel on lõpmata palju lahendeid.
- Lahenda süsteem $2x+y=5$, $4x+2y=10$. Mitu lahendit on?
- Lahenda süsteem $2x+y=5$, $4x+2y=12$. Mitu lahendit on?
Vastused
- Lahend on
(5;3), sest $x=5$ ja $y=3$; kontroll: $5+3=8$ ja $5-3=2$. - Sirged $y=x+1$ ja $y=-x+5$ lõikuvad punktis
(2;3): lõikepunkti $x$-koordinaat on 2 ja $y$-koordinaat 3. See arvupaar sobib süsteemi mõlemasse võrrandisse. - Näiteks $y=x+1$ ja $y=x+3$.
- $x+(x+4)=12$, seega $x=4$ ja $y=8$; arvupaar
(4;8)sobib mõlemasse võrrandisse. - Kui mõlemad võrrandid kirjeldavad sama sirget.
- Lahenduskäik: liida võrrandid $x+y=9$ ja $x-y=1$, siis $2x=10$ ja $x=5$. Asendades saad $5+y=9$, seega $y=4$.
- Lahenduskäik: asenda $y=3x-2$ teise võrrandisse: $x+3x-2=10$, seega $x=3$. Siis $y=7$; kontroll: $3+7=10$.
- Jah, sest arvupaar
(2;3)annab mõlemas võrrandis tõese võrduse: $3=2+1$ ja $3=-2+5$. - Asendusvõte, sest teine võrrand annab kohe $y=5-x$.
- Näiteks $y=2x+1$ ja $2y=4x+2$, sest need kirjeldavad sama sirget.
- Teine võrrand on esimese kahekordne, seega kirjeldavad need sama sirget. Lahendeid on lõpmata palju.
- Vasak pool on esimese võrrandi kahekordne, aga parem pool peaks siis olema $10$, mitte $12$. Lahend puudub.
Seosed
Süsteemid seovad algebra ja geomeetria: sama olukorda saab kirjeldada võrrandite, graafikute või tekstülesandena. Võrratustes võib lahend olla punktide piirkond või arvude vahemik.