Ruutvõrrandi lahendusviisid ja rakendused

Enne alustamist9. klass · raskus 4/5

Mõiste

Ruutvõrrand tuleb enne lahendamist viia normaalkujule

$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$

Eeldus: tunned ruutvõrrandi lahendivalemit, diskriminanti ja nullkorrutise reeglit.

Täielikus ruutvõrrandis on $a,b,c\ne0$. Mittetäielikus ruutvõrrandis on $b=0$, $c=0$ või mõlemad. Võtte valib võrrandi kuju:

Tabel. Veerud: Kuju, Esimene valik
Kuju	Esimene valik
$ax^2=0$	$x=0$
$ax^2+c=0$	eralda $x^2$ ja võta ruutjuur
$ax^2+bx=0$	too $x$ sulgude ette
$ax^2+bx+c=0$	tegurdamine või lahendivalem

Kui jagad normaalkuju kordajaga $a$, saad taandatud ruutvõrrandi $x^2+px+q=0$.

Viète'i seos ütleb selle lahendite kohta

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$

See aitab lihtsate täisarvuliste lahendite leidmisel ja vastuse kontrollimisel.

Üldkuju või taandatud kuju?

Üldjuhul $D=b^2-4ac$. Kui $D\ge0$, on reaalarvulised lahendid

$$x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}.$$

Jagades kõik liikmed arvuga $a\ne0$, saad $x^2+px+q=0$, kus $p=b/a$ ja $q=c/a$. Taandatud kujul on ruutliikme kordaja 1. Lahendid ei muutu.

Näiteks $2x^2-10x+12=0$ jagamine 2-ga annab $x^2-5x+6=0$. Otsime kaht arvu, mille summa on 5 ja korrutis 6. Need on 2 ja 3, seega

$$(x-2)(x-3)=0,\qquad x=2\text{ või }x=3.$$

Kontrolliks korruta sulud lahti. Korrutis saab olla null ainult siis, kui vähemalt üks tegur on null.

Jagamine ei tee arvutamist alati lihtsamaks: $2x^2+x-1=0$ annaks murdudega kordajad. Otse tegurdades $(2x-1)(x+1)=0$ saame $x=1/2$ või $x=-1$. Kui lihtsaid tegureid ei leia, kasuta lahendivalemit.

Näide

Ristküliku pikkus on laiusest 2 cm suurem ja pindala on 48 cm². Olgu laius $x$, siis pikkus on $x+2$.

$$x(x+2)=48,$$

$$x^2+2x-48=0.$$

Viète'i järgi peab lahendite summa olema -2 ja korrutis -48. Need tingimused täidavad 6 ja -8. Seega

$$(x-6)(x+8)=0,$$

ning $x=-8$ või $x=6$. Negatiivne pikkus ei sobi. Ristküliku laius on 6 cm ja pikkus 8 cm. Kontroll: $6\cdot8=48$.

Võimalikud eksimused

Tüüpviga on kasutada alati pikka lahendivalemit. Võrrand $3x^2-12x=0$ laheneb kiiremini kujul $3x(x-4)=0$.

Teine tüüpviga on jätta võrrand normaalkujule viimata. Kordajad $a,b,c$ saab õigesti lugeda alles siis, kui ühel poolel on null.

Kolmas tüüpviga on tekstülesandes võtta vastu kõik algebralised lahendid. Pikkus, aeg või esemete arv peab sobima olukorra tingimustega.

Harjutused

Prindi selle teema harjutusleht

Lihtne kontroll

Lahenda $5x^2=0$.
Lahenda $2x^2-18=0$.
Lahenda $x^2-7x=0$.

Rakendus

Vii normaalkujule ja lahenda $x^2+4=5x$.
Leia Viète'i seosega võrrandi $x^2-9x+20=0$ lahendid.
Kontrolli Viète'i seosega võrrandi $x^2+2x-15=0$ lahendeid 3 ja -5.

Mõtlemisülesanne

Kahe järjestikuse positiivse täisarvu korrutis on 72. Leia arvud.
Ruudu pindala suureneb külje pikendamisel 3 cm võrra 45 cm² võrra. Leia algne külg.
Koosta ruutvõrrand, mille lahendid on 2 ja 7.

Vastused

$x=0$.
$x^2=9$, seega $x=\pm3$.
$x(x-7)=0$, seega $x=0$ või $x=7$.
$x^2-5x+4=0$, seega $x=1$ või $x=4$.
Arvud 4 ja 5 annavad summa 9 ning korrutise 20; lahendid on 4 ja 5.
$3+(-5)=-2$ ja $3\cdot(-5)=-15$, seega lahendid sobivad.
$n(n+1)=72$, seega $n^2+n-72=0$; positiivsed arvud on 8 ja 9.
$(x+3)^2-x^2=45$, seega $6x+9=45$ ja $x=6$ cm.
$(x-2)(x-7)=0$ ehk $x^2-9x+14=0$.

Seosed

Ruutvõrrandi lahendid muutuvad ruutfunktsiooni nullkohtadeks. Tekstülesandes lisandub alati viimane samm: tõlgenda lahendeid algse olukorra järgi ja jäta sobimatu väärtus kõrvale.