Üldvaade Õppija vaade Õpetaja vaade Õpetaja ja toetaja vaade Mitme rolli juhend
Hulkliikmed ja tegurdamine IX klassi matemaatika materjalid

Hulkliikmed ja tegurdamine

Enne alustamist8. klass · raskus 3/5

Mõiste

Hulkliige on üksliikmete summa. Näiteks avaldises

$$3x^2-5x+7$$

on kolm liiget: $3x^2$, $-5x$ ja $7$. Liikme ees olev arv on kordaja; märk kuulub kordaja juurde. Hulkliige on korrastatud, kui liikmed on kirjutatud astmete kahanevas järjekorras.

Eeldus: oskad avada sulge, koondada sarnaseid liikmeid ja kasutada astmete põhireegleid.

Hulkliikme väärtuse leidmiseks asenda muutuja etteantud arvuga. Kui $P(x)=3x^2-5x+7$, siis

$$P(-2)=3\cdot(-2)^2-5\cdot(-2)+7=29.$$

Tegurdamine tähendab avaldise kirjutamist korrutisena. See on sulgude avamise vastassuunaline võte.

Tegurdamisel säilib avaldise väärtus.

Põhitehted

Hulkliikmete liitmisel ja lahutamisel ava sulud ning koonda ainult sarnased liikmed:

$$\begin{aligned} (3x^2-2x+1)+(x^2+5x-4)&=4x^2+3x-3,\\ (3x^2-2x+1)-(x^2+5x-4)&=2x^2-7x+5. \end{aligned}$$

Miinus sulgude ees muudab sulgudes iga liikme märgi.

Üksliikmega korrutamisel korruta sellega hulkliikme iga liige:

$$3x(2x^2-x+4)=6x^3-3x^2+12x.$$

Hulkliikme jagamisel üksliikmega jaga iga liige eraldi. Jagaja ei tohi olla null:

$$\frac{12x^3-8x^2+4x}{4x}=3x^2-2x+1,\qquad x\ne0.$$

Kahe hulkliikme korrutamisel korruta esimese hulkliikme iga liige teise iga liikmega ning koonda tulemus:

$$\begin{aligned} (x+2)(x-3)&=x^2-3x+2x-6\\ &=x^2-x-6. \end{aligned}$$

Abivalemid

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

Summa ruudu pindalamudel
Küljega a + b ruut koosneb pindaladest a², ab, ab ja b², mistõttu summa ruudu valemi keskmine liige on 2ab.

Näiteks

$$(x+3)^2=x^2+6x+9.$$

Tegurdamisel loetakse valemeid vastupidi:

$$x^2+6x+9=(x+3)^2.$$

Tegurdamise valik

Alusta tegurdamisel sellest järjekorrast:

  1. Kas kõigil liikmetel on ühine tegur?
  2. Kas avaldis sobib mõne abivalemiga?

Valikupuu tabelina:

Mida märkan? Proovin Näide
kõigil liikmetel on sama tegur ühine tegur sulgude ette $8x^2+12x=4x(2x+3)$
kaks ruutu ja miinus ruutude vahe $x^2-49=(x-7)(x+7)$
kolm liiget, esimene ja viimane on ruudud täisruut $x^2+12x+36=(x+6)^2$

Pärast tegurdamist kontrolli korrutades, kas saad algse avaldise tagasi.

Kas alati saab tegurdada? Mõni tegurdamine paistab kohe välja, mõni nõuab mitut sammu. Kõik hulkliikmed ei lagune madalama astme teguriteks: näiteks $x^2+1$ ei ole kahe reaalarvuliste kordajatega lineaarteguri korrutis. Tegurdamise võimalus sõltub ka lubatud kordajatest: $x^2-2$ tegurid vajavad irratsionaalarve.

Summa kuju on mugav liitmiseks ja koondamiseks; korrutiskuju nullkohtade leidmiseks ning murdavaldiste taandamiseks. Näiteks $x^2-1$ väärtuse arvutamine on lihtne, aga $(x-1)(x+1)$ näitab kohe nullkohti 1 ja $-1$. Kuju muutmisel säilita avaldise tingimused.

Ühine tegur:

$$6x^2+9x=3x(2x+3).$$

Näide

Lihtsustame avaldise ja kontrollime tulemust väärtusel $x=2$:

$$\begin{aligned} 2x(x+3)-(x^2-4x)&=2x^2+6x-x^2+4x\\ &=x^2+10x. \end{aligned}$$

Algne avaldis annab $x=2$ korral $24$, lihtsustatud avaldis samuti $4+20=24$.

Jagamise näide:

$$\frac{15x^3+10x^2-5x}{5x}=3x^2+2x-1,\qquad x\ne0.$$

Tegurdamise näide:

$$x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5).$$

Täisruudu näide:

$$x^2-10x+25=(x-5)^2.$$

Abivalemi äratundmine:

$$9x^2-25=(3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5).$$

Täisruudu kontroll:

$$4x^2+12x+9=(2x)^2+2\cdot(2x)\cdot3+3^2=(2x+3)^2.$$

Võimalikud eksimused

Summa ruudu keskmise liikme kaotamine. Õige valem on $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Näiteks $(1+2)^2=9$, aga $1^2+2^2=5$. Kui $a=0$ või $b=0$, on keskmine liige null; sellest erijuhust ei saa üldist reeglit.

Märgivahetuse unustamine. Miinus sulgude ees muudab sulgudes iga liikme märgi.

Vale samm:

$$5x-(2x-3)=5x-2x-3.$$

Õige lahendus:

$$\begin{aligned} 5x-(2x-3)&=5x-2x+3\\ &=3x+3. \end{aligned}$$

Arvu $-3$ lahutamine tähendab arvu $3$ liitmist. Kontrolliks võta $x=1$: algse avaldise väärtus on $6$, vale sammu järel saadud avaldise väärtus aga $0$.

Ainult esimese liikme jagamine. Hulkliikme jagamisel üksliikmega tuleb jagada iga liige. Näiteks $(6x+9):3=2x+3$, mitte $2x+9$.

Pooleli jäetud tegurdamine. Kuju $4x(x)+8x$ on algse avaldisega $4x^2+8x$ võrdne, kuid see on endiselt summa, mitte kogu avaldise korrutiskuju. Ühise teguri saab mõlemast liikmest sulgude ette tuua:

$$4x^2+8x=4x(x+2).$$

Ruutude vahe valemi kasutamine summa korral. Avaldis

$$x^2+25$$

ei tegurdu reaalarvudes kujule $(x-5)(x+5)$, sest see annaks $x^2-25$.

Pärast tegurdamist korruta tegurid kontrolliks lahti. Kui sa ei saa algset avaldist tagasi, on tegurdamises viga.

Harjutused

Prindi selle teema harjutusleht

Lihtne kontroll

  1. Nimeta hulkliikme $4x^2-3x+8$ liikmed ja nende kordajad.
  2. Arvuta $2x^2-3x+1$ väärtus, kui $x=-2$.
  3. Lihtsusta $(3x^2-2x+1)-(x^2+4x-5)$.
  4. Korruta $3x(2x^2-x+4)$.

Rakendus

  1. Jaga $(12x^3-8x^2+4x):(4x)$, kus $x\ne0$.
  2. Korruta $(x+4)(x-2)$.
  3. Ava sulud abivalemiga: $(x-5)^2$.
  4. Tegurda $5x^2+10x$.

Mõtlemisülesanne

  1. Tegurda $9x^2-1$.
  2. Tegurda $x^2-14x+49$.
  3. Ristküliku küljed on $x+2$ ja $x+5$. Avalda selle pindala hulkliikmena.
  4. Selgita valemi $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ geomeetrilist tähendust ruudu pindalade abil.

Vastused

  1. Liikmed on $4x^2$, $-3x$ ja $8$; kordajad on vastavalt 4, -3 ja 8.
  2. $2\cdot(-2)^2-3\cdot(-2)+1=15$.
  3. $3x^2-2x+1-x^2-4x+5$. Koondades saad $2x^2-6x+6$.
  4. $6x^3-3x^2+12x$.
  5. $3x^2-2x+1$, sest iga liige jagatakse $4x$-ga.
  6. $x^2+2x-8$.
  7. $x^2-10x+25$.
  8. $5x(x+2)$, sest ühine tegur on $5x$.
  9. $(3x-1)(3x+1)$, sest see on ruutude vahe.
  10. $(x-7)^2$, sest avaldis on täisruutkolmliige.
  11. $(x+2)(x+5)=x^2+7x+10$.
  12. Küljega $a+b$ ruut jaguneb ruuduks pindalaga $a^2$, ruuduks pindalaga $b^2$ ja kaheks ristkülikuks pindalaga $ab$.

Seosed

Hulkliikmete põhitehted ja abivalemid valmistavad ette 9. klassi ruutvõrrandi ning ruutfunktsiooni. Üldise ruutkolmliikme tegurdamine ja nullkorrutise abil võrrandi lahendamine kuuluvad järgmisse õpitee ossa.