Üldvaade Õppija vaade Õpetaja vaade Õpetaja ja toetaja vaade Mitme rolli juhend
Astmed, juured ja standardkuju IX klassi matemaatika materjalid

Astmed, juured ja standardkuju

Enne alustamist7. klass · raskus 3/5

Mõiste

Astendamine on võrdsete tegurite korrutise lühike kirjaviis. Näiteks

$$3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81.$$

Arv $3$ on siin astendatav ja ülemine $4$ on astendaja. Astendaja näitab tegurite arvu: korrutises on neli kolme. Korrutusmärke on kolm, mitte neli.

Üldiselt on astmes $a^n$ kokku $n$ tegurit $a$, kui $n$ on positiivne täisarv. Astendajaga 1 on $a^1=a$. Nulli ja negatiivse astendaja reeglid on allpool eraldi.

Ruutjuurimine on ruutu tõstmise pöördtehe nulli ja positiivsete arvude korral. Küsime: milline null või positiivne arv annab iseendaga korrutades 9?

$$\sqrt9=3,\qquad 3\cdot3=9.$$

Samuti $\sqrt0=0$. Kuigi ka $(-3)^2=9$, tähistab $\sqrt9$ ainult arvu 3. Negatiivsest arvust reaalarvulist ruutjuurt ei saa.

Eeldus: oskad korrutada, jagada, töötada negatiivsete arvudega ning lugeda kümnendmurde kohaväärtuste järgi.

  1. klassis keskendume astmetele ja standardkujule. Ruutjuur ning üldine negatiivne astendaja on siin edasivaade.

Reeglid

Esimeses neljas reeglis on $m$ ja $n$ positiivsed täisarvud. Jagamisel peab alus olema nullist erinev. Nulli ja negatiivse astendaja reeglid vajavad samuti tingimust $a\ne0$; negatiivse astendaja reeglis on $n$ positiivne täisarv.

Reegel Näide
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ $2^3\cdot2^4=2^7$
$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, kui $a\ne0$ $\frac{5^6}{5^2}=5^4$
$(a^m)^n=a^{mn}$ $(3^2)^4=3^8$
$(ab)^n=a^n b^n$ $(2\cdot5)^3=2^3\cdot5^3$
$a^0=1$, kui $a\ne0$ $7^0=1$
$a^{-n}=\frac1{a^n}$, kui $a\ne0$ $10^{-3}=\frac1{10^3}=0,001$

Positiivse arvu standardkuju:

$$a\cdot10^n,\qquad 1\le a<10.$$

Siin on $n$ täisarv. Standardkujus on esimene tegur vähemalt 1 ja väiksem kui 10. Arvu kümme astendaja näitab, mitu kohta koma liigub. Nulli selles kujus ei esitata; negatiivse arvu korral kirjutame miinusmärgi positiivse arvu standardkuju ette.

Kümne astendaja annab suurusjärgu: $10^7$ tähendab kümneid miljoneid, $10^{-4}$ väga väikest arvu.

Standardkuju leidmiseks:

  1. Nihuta koma nii, et ette jääb arv vahemikus $1$ kuni $10$.
  2. Loe, mitu kohta koma nihkus.
  3. Kui algne arv oli suur ja koma liikus vasakule, on astendaja positiivne.
  4. Kui algne arv oli väike ja koma liikus paremale, on astendaja negatiivne.
Tavakuju Koma nihkub Standardkuju
$72\,000\,000$ 7 kohta vasakule $7,2\cdot10^7$
$4500$ 3 kohta vasakule $4,5\cdot10^3$
$0,00045$ 4 kohta paremale $4,5\cdot10^{-4}$
$0,082$ 2 kohta paremale $8,2\cdot10^{-2}$

Näide

$$0,00045=4,5\cdot10^{-4}.$$

Sest koma liigub arvust $0,00045$ arvuni $4,5$ neli kohta paremale. Seetõttu on astendaja negatiivne.

Suur arv standardkujus:

$$72\,000\,000=7,2\cdot10^7.$$

Standardkujust tavakujule:

$$3,08\cdot10^5=308\,000.$$

Siin liigub koma 5 kohta paremale, sest astendaja on positiivne. Kui astendaja oleks negatiivne, liiguks koma vasakule:

$$3,08\cdot10^{-5}=0,0000308.$$

Kontrollküsimus standardkuju puhul: kas vastus on algse arvuga samast suurusjärgust? Näiteks $0,00045$ on väga väike arv, seega peab standardkujus olema negatiivne kümne astendaja.

Juurte näide:

$$\sqrt{49}=7,\qquad \sqrt{0,25}=0,5.$$

Vastus: $0,00045=4,5\cdot10^{-4}$, $72\,000\,000=7,2\cdot10^7$, $\sqrt{49}=7$.

Võimalikud eksimused

Negatiivne astendaja ei tee arvu negatiivseks:

$$10^{-3}=0,001.$$

Ruutjuure märk $\sqrt a$ annab positiivse või nulliga võrdse ruutjuure:

$$\sqrt{16}=4,$$

mitte $\pm4$. Võrrandil $x^2=16$ on aga kaks lahendit: $x=4$ ja $x=-4$.

Standardkujus võib panna astendajale vale märgi:

$$0,00082\ne8,2\cdot10^4.$$

Õige on

$$0,00082=8,2\cdot10^{-4}.$$

Kui korrutad arvuga $10^4$, muutub arv suuremaks. Väikese arvu kirjeldamiseks peab siin olema $10^{-4}$.

Teine tüüpviga on jätta esimene tegur standardkujus liiga suureks:

$$72\cdot10^6$$

ei ole standardkuju, sest $72$ ei ole väiksem kui $10$. Standardkuju on

$$7,2\cdot10^7.$$

Kolmas tüüpviga on sulud ära jätta negatiivse arvu astendamisel:

$$(-3)^2=9,\qquad -3^2=-9.$$

Esimeses avaldises tõstetakse ruutu kogu arv -3; teises avaldises tõstetakse ruutu ainult 3 ja miinus jääb ette.

Harjutused

Prindi selle teema harjutusleht

Lihtne kontroll

  1. Lihtsusta $2^5\cdot2^3$.
  2. Lihtsusta $\frac{7^6}{7^2}$.
  3. Kirjuta standardkujus $0,00082$.
  4. Kirjuta tavakujus $6,4\cdot10^3$.

Rakendus

  1. Leia $\sqrt{81}$.
  2. Kirjuta standardkujus $53\,000\,000$.
  3. Kirjuta standardkujus $0,000031$.
  4. Arvuta $(-4)^2$ ja $-4^2$.

Mõtlemisülesanne

  1. Kirjuta tavakujus $4,7\cdot10^{-3}$.
  2. Paranda viga: $0,006=6\cdot10^3$.
  3. Miks $18,2\cdot10^5$ ei ole standardkuju?
  4. Maa läbimõõt on ligikaudu $12\,700$ km. Kirjuta see standardkujus.

Vastused

  1. $2^8=256$, sest sama alusega astmete korrutamisel astendajad liituvad.
  2. $7^4$, sest jagamisel astendajad lahutuvad: $6-2=4$.
  3. $8,2\cdot10^{-4}$, sest koma liigub arvuni 8,2 neli kohta paremale.
  4. $6400$, sest $10^3$ nihutab koma kolm kohta paremale.
  5. $9$, sest $9^2=81$.
  6. $5,3\cdot10^7$, seega arv on kümnete miljonite suurusjärgus.
  7. $3,1\cdot10^{-5}$, sest arv on väiksem kui üks ja koma liigub 5 kohta paremale.
  8. $(-4)^2=16$, aga $-4^2=-16$; sulud näitavad, kas ruutu tõstetakse ka miinus.
  9. $0,0047$, sest $10^{-3}$ nihutab koma kolm kohta vasakule.
  10. Õige on $0,006=6\cdot10^{-3}$, sest algne arv on väike.
  11. Esimene tegur peab olema vähemalt 1 ja väiksem kui 10. Õige standardkuju on $1,82\cdot10^6$.
  12. $1,27\cdot10^4$ km, suurusjärk on kümned tuhanded kilomeetrid.

Seosed

Astmeid kasutatakse teaduslikus kirjaviisis, geomeetrias, funktsioonides, eksponentkasvus ja logaritmides. Järgmine arvude peatükk kasutab neid ka arvuhulkade ja reaalarvude eristamisel, näiteks $\sqrt2$ kaudu.