Üldvaade Õppija vaade Õpetaja vaade Õpetaja ja toetaja vaade Mitme rolli juhend
VI klass: murdude jagamine VI klassi matemaatika materjalid

VI klass: murdude jagamine

Enne alustamist6. klass · raskus 3/5

Eesmärk ja eelteadmised

Selle peatüki lõpuks oskad selgitada murruga jagamist küsimusena „Mitu jagajat mahub jagatavasse?”, kasutada jagaja pöördarvu ning kontrollida tingimusi ja vastust korrutamisega.

Eeldus: oskad murde korrutada, taandada ja teisendada segaarvu liigmurruks. Samuti pead teadma, et nulliga jagada ei saa.

Mõiste

Eeldus: oskad murde korrutada ja taandada, teisendada segaarvu liigmurruks ning tead, et nulliga jagada ei saa.

Jagatis $\frac34:\frac18$ küsib, mitu kaheksandikku mahub kolme neljandikku. Kuna $\frac34=\frac68$, on vastus 6.

Murruga jagamisel korrutatakse jagaja pöördarvuga:

$$\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc=\frac{ad}{bc},$$

kus $b\ne0$, $d\ne0$ ja $c\ne0$. Esimesed kaks tingimust tagavad, et mõlemad lähtekujud on murrud. Tingimus $c\ne0$ ütleb, et jagaja $\frac cd$ ei ole null.

Pöördarv saadakse lugeja ja nimetaja vahetamisega. Nullil pöördarvu ei ole. Arvu $\frac cd$ ja tema pöördarvu $\frac dc$ korrutis on 1 ainult siis, kui $c\ne0$ ja $d\ne0$.

Reegli põhjendus. Kui

$$x=\frac ab:\frac cd,$$

siis peab $x\cdot\frac cd=\frac ab$. Mõlema poole korrutamine arvuga $\frac dc$ jätab vasakule $x$ ning annab paremale $\frac ab\cdot\frac dc$.

Kui vajad abi

Märgi enne arvutamist jagaja. Pöördarvuks muudetakse ainult jagaja ehk teine murd. Pärast arvutamist korruta vastus jagajaga ja vaata, kas saad jagatava tagasi.

Lapsevanemale

Kasutage alguses mõõduolukorda: mitu veerandliitrist klaasi saab täita poolest liitrist? Küsimus $\frac12:\frac14$ teeb jagamise tähenduse nähtavaks enne reegli kasutamist.

Õpetaja lisasoovitused

Küsi eraldi, miks jagaja ei tohi olla null ja miks pööratakse just jagaja. Reegli mehaaniline meenutamine ilma nende kahe vastuseta pole veel kindel mõistmine.

Näide

Arvutame

$$\frac34:\frac25.$$

Jagaja on $\frac25$, mille pöördarv on $\frac52$:

$$\frac34:\frac25=\frac34\cdot\frac52=\frac{15}{8}=1\frac78.$$

Kontrollime korrutamisega:

$$1\frac78\cdot\frac25=\frac{15}{8}\cdot\frac25=\frac{30}{40}=\frac34.$$

Saime jagatava tagasi, seega vastus sobib.

Tekstülesanne: pudelis on $1\frac12$ l mahla. Ühte klaasi mahub $\frac14$ l. Klaaside arv on

$$1\frac12:\frac14=\frac32\cdot\frac41=6.$$

Vastus on 6 klaasi. Ühikute kontroll aitab tähendust näha: liitrid jagatud liitritega annavad klaaside arvu, mitte liitreid.

Võimalikud eksimused

Pööratakse esimene murd. Jagamise asendamisel korrutamisega pööratakse teine murd ehk jagaja:

$$\frac34:\frac25=\frac34\cdot\frac52,$$

mitte $\frac43\cdot\frac25$.

Nullist tehakse pöördarv. Tehet $\frac34:0$ ei ole määratud. Nullil ei ole arvu, millega korrutades saaks tulemuseks 1.

Vastus jäetakse tähendusega kontrollimata. Jagamine ühest väiksema positiivse arvuga suurendab tulemust. Seega peab $\frac34:\frac25$ olema suurem kui $\frac34$; vastus $1\frac78$ vastab sellele hinnangule.

Harjutused

Prindi selle teema harjutusleht

Lihtne kontroll

  1. Arvuta $\frac58:\frac34$.
  2. Arvuta $\frac23:\frac49$.
  3. Mitu neljandikku mahub arvusse $2$?

Rakendus

  1. $2\frac14$ kg pähkleid jaotatakse $\frac38$ kg pakkidesse. Mitu täit pakki saadakse?
  2. $1\frac12$ l mahla valatakse $\frac15$ l tassidesse. Mitu tassi mahla jätkub?
  3. Rada pikkusega $3\frac34$ km jagatakse viieks võrdseks etapiks. Kui pikk on üks etapp?

Mõtlemisülesanne

  1. Selgita hinnangu abil, miks $\frac23:\frac15$ peab olema suurem kui 3.
  2. Leia puuduv jagaja: $\frac34:\square=3$.
  3. Kas tehe $0:\frac57$ on lubatud? Kas tehe $\frac57:0$ on lubatud? Põhjenda erinevust.

Vastused

  1. $\frac58:\frac34=\frac58\cdot\frac43=\frac56$.
  2. $\frac23:\frac49=\frac23\cdot\frac94=\frac32=1\frac12$.
  3. $2:\frac14=2\cdot4=8$, seega mahub arvusse 2 kaheksa neljandikku.
  4. $2\frac14:\frac38=\frac94\cdot\frac83=6$ pakki.
  5. $1\frac12:\frac15=\frac32\cdot5=\frac{15}{2}=7\frac12$, seega jätkub mahla seitsmeks ja pooleks tassitäieks.
  6. $3\frac34:5=\frac{15}{4}\cdot\frac15=\frac34$ km.
  7. Üks viiendik mahub kahte kolmandikku rohkem kui kolm korda, sest $3\cdot\frac15=\frac35<\frac23$; täpne vastus on $\frac{10}{3}=3\frac13$.
  8. Jagaja on $\frac14$, sest $\frac34:\frac14=3$.
  9. $0:\frac57=0$ on lubatud, sest jagaja ei ole null. Tehe $\frac57:0$ ei ole määratud, sest nulliga jagada ei saa.

Seosed

Murdude jagamine ühendab jagamise, pöördarvu ja võrrandi mõtte. Järgmistes peatükkides kasutatakse sama oskust ratsionaalarvude, protsendi, võrde ja kiiruse ülesannetes.