Üldvaade Õppija vaade Õpetaja vaade Õpetaja ja toetaja vaade Mitme rolli juhend
VI klass: harilik murd VI klassi matemaatika materjalid

VI klass: harilik murd

Enne alustamist6. klass · raskus 2/5

Eesmärk ja eelteadmised

Selle peatüki lõpuks oskad selgitada murru tähendust, paigutada positiivse murru arvteljele, laiendada ja taandada ning teisendada liigmurdu ja segaarvu mõlemas suunas.

Enne alustamist kontrolli kolme asja.

  1. Kas oskad jagada näiteks $17:5$ ning nimetada jagatise täisosa ja jäägi?
  2. Kas leiad arvude 12 ja 18 ühise teguri?
  3. Kas tead, et arvteljel paremal asuv arv on suurem?

Kui mõni vastus pole kindel, korda V klassi jaguvust ja naturaalarvudega jagamist. Murru teisendamisel kasutatakse mõlemat oskust.

Mõiste

Eeldus: oskad naturaalarve jagada jäägiga, leida lihtsaid ühistegureid ja võrrelda arve arvteljel.

Sellel õppimislehel vaatleme mittenegatiivseid murde: lugeja on täisarv, mis on vähemalt null, ning nimetaja on positiivne täisarv.

Harilik murd

$$\frac ab$$

on arv ja jagatis $a:b$. Arvu $a$ nimetatakse lugejaks ning arvu $b$ nimetajaks. Nimetaja näitab, mitmeks võrdseks osaks tervik on jaotatud; lugeja näitab, mitu sellist osa võetakse. Alati peab kehtima $b\ne0$, sest nulliga jagamine ei ole määratud.

Murd ei ole ainult tükk kujundist. Murd $\frac34$ on jagatis $3:4$; sellele arvule vastab kindel punkt arvteljel. See punkt paikneb arvude 0 ja 1 vahel, sest lugeja on nimetajast väiksem.

Murru seitse neljandikku asukoht arvteljel
Arvteljel on seitse neljandikku samas punktis segaarvuga üks ja kolm neljandikku.

Samaväärsed murrud tähistavad sama arvu. Murru väärtus ei muutu, kui korrutame või jagame lugeja ja nimetaja sama nullist erineva arvuga:

$$\frac ab=\frac{a\cdot k}{b\cdot k},\qquad k\ne0.$$

Korrutamist nimetatakse laiendamiseks. Ühise teguriga jagamist nimetatakse taandamiseks. Taandatud kujus ei ole lugejal ja nimetajal enam ühest suuremat ühistegurit.

Kui lugeja on nimetajast väiksem, on tegemist lihtmurruga. Kui lugeja on nimetajaga võrdne või sellest suurem, on tegemist liigmurruga. Segaarv koosneb täisosast ja lihtmurrust, näiteks $2\frac35$.

Hariliku murru saab jagamistehtega kirjutada kümnendmurruna:

$$\frac34=3:4=0{,}75.$$

Kui kümnendkuju ei lõpe, kasutame vajaduse korral lähendit, näiteks $\frac13\approx0{,}33$ sajandikeni.

Kui vajad abi

Küsi iga kuju puhul, mitu tervet osa on olemas ja kui suur osa jääb üle. Laiendamisel või taandamisel tee lugeja ja nimetajaga täpselt sama tehe.

Lapsevanemale

Palu õppijal näidata sama murdu kolmel viisil: pildil, arvteljel ja jagamistehtena. Ära anna teisendusreeglit ette enne, kui ta oskab öelda, mitu tervikut ning mitu osa üle jääb.

Õpetaja lisasoovitused

Kontrolli eraldi murru tähendust ja teisendusalgoritmi. Õpilane võib osata $2\cdot5+3$ arvutada, kuid mitte veel mõista, miks $2\frac35$ ja $\frac{13}{5}$ on sama punkt arvteljel.

Näide

Teisendame liigmurru $\frac{11}{4}$ segaarvuks. Jagame lugeja nimetajaga:

$$11:4=2\text{, jääk }3.$$

Jagatis 2 näitab kahte tervikut. Jääk 3 näitab kolme neljandikku, seega

$$\frac{11}{4}=2\frac34.$$

Kontrolliks teisendame tagasi. Segaarvus $2\frac34$ on kaks tervikut ehk $2\cdot4=8$ neljandikku ning veel 3 neljandikku:

$$2\frac34=\frac{2\cdot4+3}{4}=\frac{11}{4}.$$

Taandame nüüd murru $\frac{18}{24}$. Arvude 18 ja 24 suurim ühistegur on 6:

$$\frac{18}{24}=\frac{18:6}{24:6}=\frac34.$$

Väärtus ei muutunud: nii $\frac{18}{24}$ kui ka $\frac34$ asuvad arvteljel samas punktis.

Võrdleme lõpuks $\frac34$ ja $\frac56$. Ühine nimetaja 12 teeb osad sama suureks:

$$\frac34=\frac9{12},\qquad \frac56=\frac{10}{12}.$$

Seega $\frac34<\frac56$. Vähim ühine nimetaja on mugav, kuid võrdlemiseks sobib ka mõni muu ühine nimetaja.

Võimalikud eksimused

Taandatakse ainult lugejat või ainult nimetajat. Näiteks $\frac{12}{18}$ muutmine kujuks $\frac6{18}$ muudab arvu väärtust. Taandamisel tuleb mõlemad jagada sama nullist erineva ühise teguriga:

$$\frac{12}{18}=\frac{12:6}{18:6}=\frac23.$$

Segaarvu teisendamisel liidetakse vales järjekorras. Segaarv $2\frac35$ ei ole $\frac{2+3}{5}$. Kaks tervikut sisaldavad kümmet viiendikku:

$$2\frac35=\frac{2\cdot5+3}{5}=\frac{13}{5}.$$

Suuremat nimetajat peetakse alati suuremaks murruks. Sama lugeja korral teeb suurem nimetaja osad hoopis väiksemaks: $\frac15<\frac14$.

Harjutused

Prindi selle teema harjutusleht

Lihtne kontroll

  1. Nimeta murru $\frac58$ lugeja ja nimetaja ning selgita nende tähendust.
  2. Taanda $\frac{12}{18}$.
  3. Laienda $\frac35$ nimetajani 20.
  4. Teisenda $\frac{11}{4}$ segaarvuks.

Rakendus

  1. Teisenda $2\frac35$ liigmurruks ja kontrolli jagamistehtega.
  2. Võrdle $\frac58$ ja $\frac23$ ühise nimetaja abil.
  3. Paiguta kasvavasse järjekorda $\frac12$; $\frac34$; $\frac23$.
  4. Kirjuta $\frac38$ kümnendmurruna ja $\frac13$ sajandikeni ümardatud lähendina.

Mõtlemisülesanne

  1. Leia üks murd, mis asub $\frac13$ ja $\frac12$ vahel. Näita võrdlust ühise nimetajaga.
  2. Mari väidab, et $3\frac27=\frac{23}{7}$. Kontrolli väidet kahel viisil ja selgita tulemust.

Vastused

  1. Lugeja on 5 ja nimetaja 8: tervik on jaotatud kaheksaks võrdseks osaks ning võetud on viis osa.
  2. $\frac{12}{18}=\frac23$, sest lugeja ja nimetaja jagatakse 6-ga.
  3. $\frac35=\frac{12}{20}$, sest lugeja ja nimetaja korrutatakse 4-ga.
  4. $\frac{11}{4}=2\frac34$, sest $11=2\cdot4+3$.
  5. $2\frac35=\frac{13}{5}$, sest $2\cdot5+3=13$; kontroll: arvu 13 jagamisel arvuga 5 on jagatis 2 ja jääk 3.
  6. $\frac58<\frac23$, sest $\frac{15}{24}<\frac{16}{24}$.
  7. $\frac12<\frac23<\frac34$; ühise nimetaja 12 korral on need $\frac6{12}$; $\frac8{12}$; $\frac9{12}$.
  8. $\frac38=0{,}375$ ja $\frac13\approx0{,}33$.
  9. Näiteks $\frac5{12}$, sest $\frac13=\frac4{12}<\frac5{12}<\frac6{12}=\frac12$.
  10. Väide on õige: $3\cdot7+2=23$, seega $3\frac27=\frac{23}{7}$. Tagasikontrollis on arvu 23 jagamisel arvuga 7 jagatis 3 ja jääk 2.

Seosed

Murru tähendus ja samaväärsus on kõigi murrutehete alus. Järgmine õppimisleht käsitleb liitmist ja lahutamist, kus osad tuleb enne arvutamist sama suureks teha.