VI klass: harilik murd

Eesmärk ja eelteadmised

Selle peatüki lõpuks oskad selgitada murru tähendust, paigutada positiivse murru arvteljele, laiendada ja taandada ning teisendada liigmurdu ja segaarvu mõlemas suunas.

Enne alustamist kontrolli kolme asja.

1. Kas oskad jagada näiteks $17:5$ ning nimetada jagatise täisosa ja jäägi?
2. Kas leiad arvude 12 ja 18 ühise teguri?
3. Kas tead, et arvteljel paremal asuv arv on suurem?

Kui mõni vastus pole kindel, korda V klassi jaguvust ja naturaalarvudega jagamist. Murru teisendamisel kasutatakse mõlemat oskust.

Mõiste

Eeldus: oskad naturaalarve jagada jäägiga, leida lihtsaid ühistegureid ja võrrelda arve arvteljel.

Sellel õppimislehel vaatleme mittenegatiivseid murde: lugeja on täisarv, mis on vähemalt null, ning nimetaja on positiivne täisarv.

Harilik murd

$$\frac ab$$

on arv ja jagatis $a:b$. Arvu $a$ nimetatakse lugejaks ning arvu $b$ nimetajaks. Nimetaja näitab, mitmeks võrdseks osaks tervik on jaotatud; lugeja näitab, mitu sellist osa võetakse. Alati peab kehtima $b\ne0$, sest nulliga jagamine ei ole määratud.

Murd ei ole ainult tükk kujundist. Murd $\frac34$ on jagatis $3:4$; sellele arvule vastab kindel punkt arvteljel. See punkt paikneb arvude 0 ja 1 vahel, sest lugeja on nimetajast väiksem.

Samaväärsed murrud tähistavad sama arvu. Murru väärtus ei muutu, kui korrutame või jagame lugeja ja nimetaja sama nullist erineva arvuga:

$$\frac ab=\frac{a\cdot k}{b\cdot k},\qquad k\ne0.$$

Korrutamist nimetatakse laiendamiseks. Ühise teguriga jagamist nimetatakse taandamiseks. Taandatud kujus ei ole lugejal ja nimetajal enam ühest suuremat ühistegurit.

Kui lugeja on nimetajast väiksem, on tegemist lihtmurruga. Kui lugeja on nimetajaga võrdne või sellest suurem, on tegemist liigmurruga. Segaarv koosneb täisosast ja lihtmurrust, näiteks $2\frac35$.

Hariliku murru saab jagamistehtega kirjutada kümnendmurruna:

$$\frac34=3:4=0{,}75.$$

Kui kümnendkuju ei lõpe, kasutame vajaduse korral lähendit, näiteks $\frac13\approx0{,}33$ sajandikeni.

Näide

Teisendame liigmurru $\frac{11}{4}$ segaarvuks. Jagame lugeja nimetajaga:

$$11:4=2\text{, jääk }3.$$

Jagatis 2 näitab kahte tervikut. Jääk 3 näitab kolme neljandikku, seega

$$\frac{11}{4}=2\frac34.$$

Kontrolliks teisendame tagasi. Segaarvus $2\frac34$ on kaks tervikut ehk $2\cdot4=8$ neljandikku ning veel 3 neljandikku:

$$2\frac34=\frac{2\cdot4+3}{4}=\frac{11}{4}.$$

Taandame nüüd murru $\frac{18}{24}$. Arvude 18 ja 24 suurim ühistegur on 6:

$$\frac{18}{24}=\frac{18:6}{24:6}=\frac34.$$

Väärtus ei muutunud: nii $\frac{18}{24}$ kui ka $\frac34$ asuvad arvteljel samas punktis.

Võrdleme lõpuks $\frac34$ ja $\frac56$. Ühine nimetaja 12 teeb osad sama suureks:

$$\frac34=\frac9{12},\qquad \frac56=\frac{10}{12}.$$

Seega $\frac34<\frac56$. Vähim ühine nimetaja on mugav, kuid võrdlemiseks sobib ka mõni muu ühine nimetaja.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Nimeta murru $\frac58$ lugeja ja nimetaja ning selgita nende tähendust.
2. Taanda $\frac{12}{18}$.
3. Laienda $\frac35$ nimetajani 20.
4. Teisenda $\frac{11}{4}$ segaarvuks.

Rakendus

5. Teisenda $2\frac35$ liigmurruks ja kontrolli jagamistehtega.
6. Võrdle $\frac58$ ja $\frac23$ ühise nimetaja abil.
7. Paiguta kasvavasse järjekorda $\frac12$; $\frac34$; $\frac23$.
8. Kirjuta $\frac38$ kümnendmurruna ja $\frac13$ sajandikeni ümardatud lähendina.

Mõtlemisülesanne

9. Leia üks murd, mis asub $\frac13$ ja $\frac12$ vahel. Näita võrdlust ühise nimetajaga.
10. Mari väidab, et $3\frac27=\frac{23}{7}$. Kontrolli väidet kahel viisil ja selgita tulemust.

Vastused

1. Lugeja on 5 ja nimetaja 8: tervik on jaotatud kaheksaks võrdseks osaks ning võetud on viis osa.
2. $\frac{12}{18}=\frac23$, sest lugeja ja nimetaja jagatakse 6-ga.
3. $\frac35=\frac{12}{20}$, sest lugeja ja nimetaja korrutatakse 4-ga.
4. $\frac{11}{4}=2\frac34$, sest $11=2\cdot4+3$.
5. $2\frac35=\frac{13}{5}$, sest $2\cdot5+3=13$; kontroll: arvu 13 jagamisel arvuga 5 on jagatis 2 ja jääk 3.
6. $\frac58<\frac23$, sest $\frac{15}{24}<\frac{16}{24}$.
7. $\frac12<\frac23<\frac34$; ühise nimetaja 12 korral on need $\frac6{12}$; $\frac8{12}$; $\frac9{12}$.
8. $\frac38=0{,}375$ ja $\frac13\approx0{,}33$.
9. Näiteks $\frac5{12}$, sest $\frac13=\frac4{12}<\frac5{12}<\frac6{12}=\frac12$.
10. Väide on õige: $3\cdot7+2=23$, seega $3\frac27=\frac{23}{7}$. Tagasikontrollis on arvu 23 jagamisel arvuga 7 jagatis 3 ja jääk 2.

Seosed

Murru tähendus ja samaväärsus on kõigi murrutehete alus. Järgmine õppimisleht käsitleb liitmist ja lahutamist, kus osad tuleb enne arvutamist sama suureks teha.

VI klass: murdude liitmine ja lahutamine

Eesmärk ja eelteadmised

Selle peatüki lõpuks oskad liita ja lahutada sama- ning erinimelisi murde, valida ühise nimetaja, taandada vastuse ning käsitleda segaarvu lahutamisel ümberrühmitamist.

Kontrolli enne alustamist, kas oskad murde laiendada ja taandada ning leida kahe nimetaja ühise kordse. Vähim ühine kordne teeb arvud sageli väiksemaks, kuid tehe on õige ka mõne muu sobiva ühise nimetajaga.

Mõiste

Eeldus: oskad murde laiendada ja taandada ning leida kahe nimetaja ühise kordse.

Murdude liitmisel ja lahutamisel peavad osad olema sama suured. Sellepärast saab samanimeliste murdude puhul arvutada kohe lugejatega:

$$\frac ac+\frac bc=\frac{a+b}{c},\qquad c\ne0,$$

$$\frac ac-\frac bc=\frac{a-b}{c},\qquad c\ne0.$$

Erinimeliste murdude korral valime ühise nimetaja ning laiendame mõlemad murrud sellesse nimetajasse. Üldvalem

$$\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd},\qquad b\ne0,\ d\ne0$$

on õige, kuid peastarvutuses on sageli selgem leida kõigepealt sobiv ühine nimetaja.

Segaarve võib teisendada liigmurdudeks. Liitmisel võib arvutada ka täis- ja murdosad eraldi. Lahutamisel tuleb vahel võtta ühest tervikust sobiv arv murdosi. Näiteks $3\frac14$ saab kirjutada kujul $2\frac54$.

Näide

Liidame $\frac23+\frac34$. Nimetajate 3 ja 4 vähim ühiskordne on 12:

$$\frac23=\frac8{12},\qquad \frac34=\frac9{12}.$$

Nüüd liidame sama suuri osi:

$$\frac23+\frac34=\frac8{12}+\frac9{12}=\frac{17}{12}=1\frac5{12}.$$

Kontrollime suurusjärku: $\frac23$ on veidi üle poole ja $\frac34$ on kolmveerand, seega peab summa olema ühest suurem. Saadud $1\frac5{12}$ on mõistlik.

Lahutame nüüd segaarvud:

$$3\frac14-1\frac23.$$

Liigmurdudena saame

$$\frac{13}{4}-\frac53=\frac{39}{12}-\frac{20}{12}=\frac{19}{12}=1\frac7{12}.$$

Sama saab näha ümberrühmitamisega: $3\frac14=2\frac54$, mis võimaldab murdosast $\frac23$ lahutada pärast ühise nimetaja leidmist.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Arvuta $\frac27+\frac37$.
2. Arvuta $\frac56-\frac13$.
3. Arvuta $\frac12+\frac14$.

Rakendus

4. Arvuta $\frac58+\frac34$ ning kirjuta vastus segaarvuna.
5. Mari kõndis hommikul $1\frac23$ km ja õhtul $\frac56$ km. Kui palju kõndis ta kokku?
6. Kannus oli $2\frac14$ l vett. Sellest kasutati $1\frac23$ l. Kui palju vett jäi kannu?

Mõtlemisülesanne

7. Leia puuduv murd: $\frac38+\square=1$.
8. Jaan väidab, et $\frac59-\frac16=\frac43$. Leia tema esimene viga ja arvuta õige vastus.
9. Koosta kaks erinimelist murdu, mille summa on täpselt $1\frac12$. Näita ühise nimetaja sammu.

Vastused

1. $\frac57$, sest nimetaja jääb samaks ja lugejad liidetakse.
2. $\frac56-\frac26=\frac36=\frac12$.
3. $\frac24+\frac14=\frac34$.
4. $\frac58+\frac68=\frac{11}{8}=1\frac38$.
5. $1\frac23+\frac56=\frac{10}{6}+\frac56=\frac{15}{6}=2\frac12$ km.
6. $2\frac14-1\frac23=\frac94-\frac53=\frac{27}{12}-\frac{20}{12}=\frac7{12}$ l.
7. Puuduv murd on $\frac58$, sest $1-\frac38=\frac88-\frac38$.
8. Murdudel 9 ja 6 puudub ühine nimetaja ning lugejaid ei saa otse lahutada. Õige vastus on $\frac{10}{18}-\frac3{18}=\frac7{18}$.
9. Näiteks $\frac23+\frac56=\frac46+\frac56=\frac96=1\frac12$.

Seosed

Liitmine ja lahutamine ühendavad sama suurusega osad. Järgmises õppimislehes tähendab murruga korrutamine osa leidmist arvust või ühest osast uue osa võtmist.

VI klass: murdude korrutamine

Eesmärk ja eelteadmised

Selle peatüki lõpuks oskad tõlgendada murruga korrutamist osa leidmisena, korrutada harilikke murde ja segaarve, taandada sobivas sammus ning hinnata, kas tulemus peab lähtearvust suurenema või vähenema.

Eeldus: oskad murdu taandada ning teisendada segaarvu liigmurruks. Liitmise ühist nimetajat korrutamisel ei kasutata.

Mõiste

Eeldus: oskad murdu taandada, teisendada segaarvu liigmurruks ning eristada korrutamist liitmisest.

Murruga korrutamine võib vastata küsimusele „Kui suur on $\frac ab$ mingist arvust?” Näiteks pool 12-st on

$$\frac12\cdot12=6.$$

Murdude korrutamisel korrutatakse lugejad omavahel ja nimetajad omavahel:

$$\frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd},\qquad b\ne0,\ d\ne0.$$

Kui mõlemad tegurid on positiivsed ja üks tegur on väiksem kui 1, vähendab selle teguriga korrutamine teise teguri väärtust. Näiteks $\frac34\cdot\frac25$ on väiksem kui $\frac25$, sest võtame kahest viiendikust ainult kolm neljandikku.

Enne korrutamist võib lugeja ja teise murru nimetaja ühise teguriga taandada. Seda nimetatakse sageli ristitaandamiseks, kuid matemaatiliselt taandatakse kogu korrutise lugejas ja nimetajas olev ühine tegur.

Segaarvud teisendatakse enne korrutamist liigmurdudeks.

Näide

Arvutame

$$\frac23\cdot\frac9{10}.$$

Otse korrutades saame

$$\frac{2\cdot9}{3\cdot10}=\frac{18}{30}=\frac35.$$

Sama tehe on lühem, kui taandame enne korrutamist: 9 ja 3 jaguvad kolmega ning 2 ja 10 jaguvad kahega. Pärast nende ühiste tegurite jagamist jääb

$$\frac23\cdot\frac9{10}=\frac{1\cdot3}{1\cdot5}=\frac35.$$

Kontrollime hinnanguga. Tegur $\frac23$ on alla ühe, seega tulemus peab olema väiksem kui $\frac9{10}$. Arv $\frac35=0{,}6$ on tõesti väiksem kui $0{,}9$.

Segaarvuga näide:

$$1\frac12\cdot\frac23=\frac32\cdot\frac23=1.$$

Tulemus on täpselt 1, sest tegurid $\frac32$ ja $\frac23$ on teineteise pöördarvud.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Arvuta $\frac34\cdot\frac25$.
2. Leia $\frac23$ arvust 18.
3. Arvuta $\frac58\cdot4$.

Rakendus

4. Retseptis kasutatakse $\frac34$ l mahla. Valmistatakse pool kogusest. Kui palju mahla kulub?
5. Rada on $2\frac12$ km pikk. Mari läbis sellest $\frac35$. Mitu kilomeetrit ta läbis?
6. Arvuta $1\frac23\cdot2\frac14$ ja kirjuta vastus segaarvuna.

Mõtlemisülesanne

7. Otsusta enne arvutamist, kumb on suurem: $\frac45$ või $\frac45\cdot\frac78$. Põhjenda.
8. Leia puuduv tegur: $\frac34\cdot\square=\frac12$.
9. Koosta murrukorrutis, mille mõlemad tegurid on ühest väiksemad ja vastus on $\frac16$.

Vastused

1. $\frac34\cdot\frac25=\frac6{20}=\frac3{10}$.
2. $\frac23\cdot18=12$, sest 18 jagamine kolmeks annab 6 ja kaks sellist osa annavad 12.
3. $\frac58\cdot4=\frac{20}{8}=2\frac12$.
4. $\frac12\cdot\frac34=\frac38$ l.
5. $2\frac12\cdot\frac35=\frac52\cdot\frac35=\frac32=1\frac12$ km.
6. $\frac53\cdot\frac94=\frac{45}{12}=\frac{15}{4}=3\frac34$.
7. $\frac45\cdot\frac78$ on väiksem, sest positiivset arvu korrutatakse ühest väiksema arvuga; täpne vastus on $\frac7{10}$.
8. Puuduv tegur on $\frac23$, sest $\frac34\cdot\frac23=\frac12$.
9. Näiteks $\frac12\cdot\frac13=\frac16$.

Seosed

Murdude korrutamine valmistab ette jagamist pöördarvuga. Samuti kasutatakse seda protsendi leidmisel, mõõtkavas ja pindalaülesannetes.

VI klass: murdude jagamine

Eesmärk ja eelteadmised

Selle peatüki lõpuks oskad selgitada murruga jagamist küsimusena „Mitu jagajat mahub jagatavasse?”, kasutada jagaja pöördarvu ning kontrollida tingimusi ja vastust korrutamisega.

Eeldus: oskad murde korrutada, taandada ja teisendada segaarvu liigmurruks. Samuti pead teadma, et nulliga jagada ei saa.

Mõiste

Eeldus: oskad murde korrutada ja taandada, teisendada segaarvu liigmurruks ning tead, et nulliga jagada ei saa.

Jagatis $\frac34:\frac18$ küsib, mitu kaheksandikku mahub kolme neljandikku. Kuna $\frac34=\frac68$, on vastus 6.

Murruga jagamisel korrutatakse jagaja pöördarvuga:

$$\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc=\frac{ad}{bc},$$

kus $b\ne0$, $d\ne0$ ja $c\ne0$. Esimesed kaks tingimust tagavad, et mõlemad lähtekujud on murrud. Tingimus $c\ne0$ ütleb, et jagaja $\frac cd$ ei ole null.

Pöördarv saadakse lugeja ja nimetaja vahetamisega. Nullil pöördarvu ei ole. Arvu $\frac cd$ ja tema pöördarvu $\frac dc$ korrutis on 1 ainult siis, kui $c\ne0$ ja $d\ne0$.

Reegli põhjendus. Kui

$$x=\frac ab:\frac cd,$$

siis peab $x\cdot\frac cd=\frac ab$. Mõlema poole korrutamine arvuga $\frac dc$ jätab vasakule $x$ ning annab paremale $\frac ab\cdot\frac dc$.

Näide

Arvutame

$$\frac34:\frac25.$$

Jagaja on $\frac25$, mille pöördarv on $\frac52$:

$$\frac34:\frac25=\frac34\cdot\frac52=\frac{15}{8}=1\frac78.$$

Kontrollime korrutamisega:

$$1\frac78\cdot\frac25=\frac{15}{8}\cdot\frac25=\frac{30}{40}=\frac34.$$

Saime jagatava tagasi, seega vastus sobib.

Tekstülesanne: pudelis on $1\frac12$ l mahla. Ühte klaasi mahub $\frac14$ l. Klaaside arv on

$$1\frac12:\frac14=\frac32\cdot\frac41=6.$$

Vastus on 6 klaasi. Ühikute kontroll aitab tähendust näha: liitrid jagatud liitritega annavad klaaside arvu, mitte liitreid.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Arvuta $\frac58:\frac34$.
2. Arvuta $\frac23:\frac49$.
3. Mitu neljandikku mahub arvusse $2$?

Rakendus

4. $2\frac14$ kg pähkleid jaotatakse $\frac38$ kg pakkidesse. Mitu täit pakki saadakse?
5. $1\frac12$ l mahla valatakse $\frac15$ l tassidesse. Mitu tassi mahla jätkub?
6. Rada pikkusega $3\frac34$ km jagatakse viieks võrdseks etapiks. Kui pikk on üks etapp?

Mõtlemisülesanne

7. Selgita hinnangu abil, miks $\frac23:\frac15$ peab olema suurem kui 3.
8. Leia puuduv jagaja: $\frac34:\square=3$.
9. Kas tehe $0:\frac57$ on lubatud? Kas tehe $\frac57:0$ on lubatud? Põhjenda erinevust.

Vastused

1. $\frac58:\frac34=\frac58\cdot\frac43=\frac56$.
2. $\frac23:\frac49=\frac23\cdot\frac94=\frac32=1\frac12$.
3. $2:\frac14=2\cdot4=8$, seega mahub arvusse 2 kaheksa neljandikku.
4. $2\frac14:\frac38=\frac94\cdot\frac83=6$ pakki.
5. $1\frac12:\frac15=\frac32\cdot5=\frac{15}{2}=7\frac12$, seega jätkub mahla seitsmeks ja pooleks tassitäieks.
6. $3\frac34:5=\frac{15}{4}\cdot\frac15=\frac34$ km.
7. Üks viiendik mahub kahte kolmandikku rohkem kui kolm korda, sest $3\cdot\frac15=\frac35<\frac23$; täpne vastus on $\frac{10}{3}=3\frac13$.
8. Jagaja on $\frac14$, sest $\frac34:\frac14=3$.
9. $0:\frac57=0$ on lubatud, sest jagaja ei ole null. Tehe $\frac57:0$ ei ole määratud, sest nulliga jagada ei saa.

Seosed

Murdude jagamine ühendab jagamise, pöördarvu ja võrrandi mõtte. Järgmistes peatükkides kasutatakse sama oskust ratsionaalarvude, protsendi, võrde ja kiiruse ülesannetes.

VI klass: negatiivsed arvud

Mõiste

Negatiivsed arvud on nullist väiksemad. Negatiivsed täisarvud, null ja positiivsed naturaalarvud moodustavad koos täisarvude hulga. Arvteljel asuvad negatiivsed arvud nullist vasakul. Mida paremal arv asub, seda suurem see on, seega $-2>-5$.

Eeldus: oskad arve arvteljele paigutada ning liitmist ja lahutamist liikumisena tõlgendada.

Arvu vastandarv asub nullist sama kaugel teisel pool: arvu $-4$ vastandarv on 4. Absoluutväärtus näitab kaugust nullist ning on positiivne või nulliga võrdne:

$$|-4|=4.$$

Liitmist saab kujutada liikumisena: positiivse arvu liitmisel liigume paremale, negatiivse arvu liitmisel vasakule. Lahutamine tähendab vastandarvu liitmist.

Korrutamisel ja jagamisel annavad samad märgid positiivse, erinevad märgid negatiivse tulemuse. Näiteks $(-3)\cdot4=-12$ ja $(-12):(-3)=4$.

Näide

Hommikul oli temperatuur $-6^\circ\text{C}$. Päeval tõusis see 9 kraadi. Alustame arvust $-6$ ja liigume arvteljel 9 sammu paremale:

$$-6+9=3.$$

Õhtul langes temperatuur 5 kraadi:

$$3-5=-2.$$

Vastus: päeval oli $3^\circ\text{C}$ ja õhtul $-2^\circ\text{C}$. Märgireegli näitena on $(-2)\cdot3=-6$, sest tegurite märgid on erinevad.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kumb on suurem: $-7$ või $-4$?
2. Leia arvu $-9$ vastandarv.
3. Arvuta $|-12|$.

Rakendus

4. Arvuta $-3+8$ ja $(-3)\cdot8$.
5. Arvuta $4-9$ ja $(-20):5$.
6. Sukelduja on 6 m allpool veepinda ja tõuseb 4 m. Millisel kõrgusel veepinna suhtes ta on?

Mõtlemisülesanne

7. Leia kõik täisarvud, mille absoluutväärtus on 3.
8. Kui $a=-5$, kumb on suurem: $a$ või $|a|$?
9. Temperatuur muutus $-2^\circ\text{C}$-lt $5^\circ\text{C}$-ni. Mitme kraadi võrra see tõusis?
10. Kirjuta kõik täisarvud, mis on suuremad kui $-3$ ja väiksemad kui 2.

Vastused

1. $-4$, sest see asub arvteljel paremal.
2. 9.
3. 12.
4. 5 ja $-24$; korrutise märgid on erinevad.
5. $-5$ ja $-4$; jagatava ja jagaja märgid on erinevad.
6. $-2$ m ehk 2 m allpool veepinda.
7. $-3$ ja 3.
8. $|a|=5$ on suurem kui $a=-5$.
9. 7 kraadi, sest $5-(-2)=7$.
10. $-2$, $-1$, 0 ja 1.

Seosed

Negatiivsed arvud on koordinaattasandi nelja veerandi ja 7. klassi ratsionaalarvude alus.

VI klass: protsent

Mõiste

Protsent tähendab sajandikku. Märk $\%$ ütleb, mitu sajandikku tervikust vaadeldakse:

$$1\%=\frac{1}{100}=0{,}01.$$

Eeldus: oskad harilikku murdu ja kümnendmurdu korrutada ning tead, milline suurus on ülesandes tervik.

Näiteks $25\%=\frac{25}{100}=0{,}25=\frac14$. Terviku protsendi leidmiseks korrutame terviku vastava sajandikmurruga:

$$p\%\text{ arvust }N=\frac{p}{100}\cdot N.$$

Kui osa ja tervik on teada, leiame osa osakaalu ehk osamäära nii:

$$\frac{\text{osa}}{\text{tervik}}\cdot100\%.$$

Näide

Klassis on 24 õpilast. Neist 6 tulid kooli jalgrattaga. Mitu protsenti klassist tuli rattaga?

Tervik on 24 õpilast ja osa on 6 õpilast:

$$\frac{6}{24}\cdot100\%=\frac14\cdot100\%=25\%.$$

Vastus: rattaga tuli 25% klassist.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kirjuta $35\%$ hariliku murruna nimetajaga 100.
2. Leia 10% arvust 80.
3. Mitu protsenti on pool tervikust?

Rakendus

4. Leia 25% arvust 48.
5. 30 õpilasest 12 osaleb kooris. Mitu protsenti õpilastest osaleb kooris?
6. 50 euro suurusest summast kulutati 15 eurot. Mitu protsenti summast kulutati?

Mõtlemisülesanne

7. Kumb on suurem: 40% arvust 50 või 25% arvust 80?
8. Leia kolm eri kuju arvule $\frac34$: harilik murd, kümnendmurd ja protsent.
9. Põhjenda ilma pikalt arvutamata, miks 5% arvust 200 on sama mis 10% arvust 100.

Vastused

1. $\frac{35}{100}$.
2. 8, sest $0{,}10\cdot80=8$.
3. 50%, sest $\frac12=\frac{50}{100}$.
4. 12, sest $\frac14\cdot48=12$.
5. 40%, sest $\frac{12}{30}\cdot100\%=40\%$.
6. 30%, sest $\frac{15}{50}\cdot100\%=30\%$.
7. Need on võrdsed: mõlemad on 20.
8. $\frac34=0{,}75=75\%$.
9. Mõlemad annavad 10: $0{,}05\cdot200=10$ ja $0{,}10\cdot100=10$.

Seosed

Protsendi oskus valmistab ette 7. klassi protsentülesandeid, suhteid ja võrrandeid.

VI klass: koordinaattasand

Mõiste

Koordinaattasandi moodustavad ristuvad arvteljed. Horisontaalne telg on $x$-telg, vertikaalne telg on $y$-telg ja nende lõikepunkt on alguspunkt $O(0;0)$.

Eeldus: oskad positiivseid ja negatiivseid arve arvteljel paigutada.

Punkti koordinaadid kirjutatakse alati järjekorras $(x;y)$: esmalt liigume $x$-suunas, seejärel $y$-suunas. Punkt $A(3;-2)$ asub alguspunktist 3 ühikut paremal ja 2 ühikut all.

Teljed jagavad tasandi neljaks veerandiks. Teljel asuv punkt ei kuulu ühtegi veerandisse.

Näide

Leia punktide $A(-2;3)$ ja $B(4;-1)$ asukoht.

Punkti $A$ puhul liigume alguspunktist 2 ühikut vasakule ja 3 üles. See on II veerandis. Punkti $B$ puhul liigume 4 ühikut paremale ja 1 alla. See on IV veerandis.

Vastus: $A$ on II ja $B$ IV veerandis.

Katseta graafikul

Ava koordinaadid graafikuvaatlejas. Liiguta punkti A ja loe tabelist selle koordinaate. Selles ülesandes jälgi punkte ja telgi, mitte sirge valemit.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Millises veerandis on punkt $P(2;5)$?
2. Millisel teljel on punkt $Q(-3;0)$?
3. Kirjelda sõnadega liikumist alguspunktist punkti $R(-4;-2)$.

Rakendus

4. Nimeta punkti $S(3;-6)$ koordinaatide märgid ja veerand.
5. Punkt $T$ asub $y$-teljel 5 ühikut alguspunktist allpool. Kirjuta koordinaadid.
6. Punktid $A(1;1)$, $B(5;1)$ ja $C(5;4)$ on kolmnurga tipud. Kui pikad on lõigud $AB$ ja $BC$?

Mõtlemisülesanne

7. Leia punkt, mis on $A(-3;2)$ peegelpilt $y$-telje suhtes.
8. Kirjuta üks punkt igast veerandist nii, et kõik koordinaadid oleksid absoluutväärtuselt erinevad.
9. Selgita, miks punkt $(0;0)$ ei kuulu ühtegi veerandisse.

Vastused

1. I veerandis.
2. $x$-teljel.
3. 4 ühikut vasakule ja 2 alla.
4. $x>0$, $y<0$; IV veerand.
5. $T(0;-5)$.
6. $AB=4$ ja $BC=3$ ühikut.
7. $(3;2)$, sest $x$-koordinaadi märk muutub.
8. Näiteks $(1;2)$, $(-3;4)$, $(-5;-6)$ ja $(7;-8)$.
9. Alguspunkt asub mõlemal teljel; veerandid jäävad telgede vahele.

Seosed

Koordinaattasand valmistab ette graafikuid, funktsioone, geomeetrilisi teisendusi ja andmete kujutamist.

VI klass: ring ja geomeetria

Mõiste

Ringjoon koosneb punktidest, mis asuvad keskpunktist ühesugusel kaugusel. Ring on ringjoon koos selle sisse jääva tasandiosaga. Kaugus keskpunktist ringjooneni on raadius $r$. Läbimõõt $d$ läbib keskpunkti ja on kahest raadiusest koosnev lõik:

$$d=2r.$$

Eeldus: oskad mõõta pikkust ja nurka ning arvutada ristküliku ümbermõõtu ja pindala.

Ringjoone pikkus ja ringi pindala on

$$C=2\pi r=\pi d,\qquad S=\pi r^2,$$

kus ligikaudsetes arvutustes võib kasutada $\pi\approx3{,}14$.

Kolmnurki liigitame külgede järgi võrdkülgseteks, võrdhaarseteks ja erikülgseteks ning nurkade järgi terav-, täis- ja nürinurkseteks. Kolmnurga sisenurkade summa on $180^\circ$. Kui kolmnurga alus on $a$ ja sellele tõmmatud kõrgus $h_a$, siis pindala on

$$S=\frac{a\cdot h_a}{2}.$$

Nelinurga ümbermõõt on külgede pikkuste summa. Konstruktsioonis kasutatakse joonlauda sirge tõmbamiseks ja sirklit kauguse ülekandmiseks.

Näide

Ringi raadius on 4 cm. Leiame läbimõõdu, ringjoone pikkuse ja pindala.

$$d=2\cdot4=8\text{ cm},$$

$$C=2\pi\cdot4=8\pi\approx25{,}12\text{ cm},$$

$$S=\pi\cdot4^2=16\pi\approx50{,}24\text{ cm}^2.$$

Vastus: läbimõõt on 8 cm, ringjoone pikkus ligikaudu 25,12 cm ja pindala ligikaudu 50,24 cm².

Kui kolmnurga alus on 6 cm ja kõrgus 4 cm, siis $S=6\cdot4:2=12\text{ cm}^2$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Ringi raadius on 6 cm. Leia läbimõõt.
2. Ringi läbimõõt on 14 cm. Leia raadius.
3. Kolmnurga kaks nurka on $48^\circ$ ja $67^\circ$. Leia kolmas nurk.

Rakendus

4. Leia 5 cm raadiusega ringjoone pikkus täpselt ja ligikaudu.
5. Leia 3 cm raadiusega ringi pindala täpselt ja ligikaudu.
6. Ristküliku küljed on 7 cm ja 4 cm. Leia ümbermõõt ja pindala. Leia ka 7 cm aluse ja 4 cm kõrgusega kolmnurga pindala.

Mõtlemisülesanne

7. Kumb kasvab raadiuse kahekordistamisel neli korda: ringjoone pikkus või ringi pindala? Põhjenda.
8. Kirjelda, kuidas konstrueerida joonlaua ja sirkliga kolmnurk, mille küljed on 4 cm, 5 cm ja 6 cm.
9. Ruut küljega 8 cm ja ring läbimõõduga 8 cm on samal joonisel. Kummal on suurem pindala?

Vastused

1. 12 cm, sest $d=2r$.
2. 7 cm, sest $r=d:2$.
3. $65^\circ$, sest $180^\circ-48^\circ-67^\circ=65^\circ$.
4. $10\pi$ cm ehk ligikaudu 31,4 cm.
5. $9\pi$ cm² ehk ligikaudu 28,26 cm².
6. Ristküliku ümbermõõt on 22 cm ja pindala $28\text{ cm}^2$; kolmnurga pindala on $14\text{ cm}^2$.
7. Ringi pindala, sest $(2r)^2=4r^2$; ringjoone pikkus kasvab kaks korda.
8. Joonesta 6 cm alus. Tõmba ühest otspunktist 4 cm ja teisest 5 cm raadiusega kaar; kaarte lõikepunkt on kolmas tipp.
9. Ruudu pindala on 64 cm²; ringi pindala on $16\pi\approx50{,}24$ cm². Ruut on suurem.

Seosed

Ringi ja konstruktsiooni oskus valmistab ette 7.–9. klassi geomeetriat, tõestamist ja ruumigeomeetriat.

VI klass: rakendusleht

Mõiste

VI klassi ülesanne võib siduda samasse olukorda murru, protsendi, negatiivse arvu, koordinaadi ja geomeetrilise mõõdu. Lahendamine algab küsimusest: milline suurus on tervik ja mida tuleb leida?

Eeldus: oskad murde taandada ja nendega arvutada, protsenti leida, negatiivseid arve võrrelda, punkti koordinaattasandile kanda ning ringi põhimõõte kasutada.

Tõhus tööjärjekord on järgmine:

1. kirjuta teadaolevad suurused koos ühikutega;
2. vali sobiv esitus: tehe, murd, protsent, koordinaat või joonis;
3. arvuta sammhaaval;
4. kontrolli märki, suurusjärku ja ühikut.

Näide

Kooli õue plaanil on ringikujuline lillepeenar raadiusega 5 m. Peenra keskpunkt on koordinaatidega $K(-2;3)$. Ühele neljandikule peenrast istutatakse kollased lilled ja 40% ülejäänud osast sinised lilled. Kui suurele osale kogu peenrast istutatakse sinised lilled?

Pärast kollaste lillede istutamist jääb alles

$$1-\frac14=\frac34.$$

Sinised lilled võtavad 40% sellest osast:

$$\frac{40}{100}\cdot\frac34=\frac25\cdot\frac34=\frac3{10}.$$

Seega istutatakse siniseid lilli $\frac3{10}=30\%$ kogu peenrast. Keskpunkti koordinaadid ja raadius kirjeldavad peenra asukohta ning suurust, kuid neid ei ole osamäära leidmiseks vaja.

Vastus: sinised lilled katavad 30% kogu peenrast.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Taanda murd $\frac{18}{24}$.
2. Temperatuur tõusis $-7^\circ\text{C}$-lt $2^\circ\text{C}$-ni. Mitme kraadi võrra see tõusis?
3. Leia 25% arvust 64.

Rakendus

4. Punkt $A(-4;2)$ liigub 7 ühikut paremale. Kirjuta uued koordinaadid.
5. Ringi läbimõõt on 12 cm. Leia raadius ja ringjoone pikkus ligikaudu.
6. Matkarajast läbiti hommikul $\frac38$ ja pärastlõunal $\frac14$. Kui suur osa rajast jäi läbimata?

Mõtlemisülesanne

7. 40 õpilasest $\frac35$ osales spordipäeval. Osalenutest 25% jooksis teatejooksu. Mitu õpilast jooksis teatejooksu?
8. Punktid $A(-2;-1)$, $B(4;-1)$ ja $C(4;3)$ moodustavad täisnurkse kolmnurga. Leia lõikude $AB$ ja $BC$ pikkused ning kolmnurga pindala.
9. Ringi raadius suureneb 3 cm-lt 6 cm-ni. Mitu korda muutuvad ringjoone pikkus ja ringi pindala?
10. Koosta oma ülesanne, milles kasutatakse nii protsenti kui harilikku murdu. Lahenda ja kontrolli vastus.

Vastused

1. $\frac34$, sest lugeja ja nimetaja jaguvad arvuga 6.
2. 9 kraadi, sest $2-(-7)=9$.
3. 16, sest $\frac14\cdot64=16$.
4. $A(3;2)$, sest $x$-koordinaadile liidetakse 7 ja $y$ ei muutu.
5. $r=6$ cm ja $C=12\pi\approx37{,}68$ cm.
6. $1-\frac38-\frac14=1-\frac58=\frac38$ rajast.
7. 6 õpilast, sest $\frac35\cdot40=24$ ja 25% arvust 24 on 6.
8. $AB=6$, $BC=4$ ja pindala $\frac{6\cdot4}{2}=12$ ruutühikut.
9. Ringjoone pikkus suureneb 2 korda ja pindala 4 korda.
10. Kontrolli, et tervik on nimetatud, osa arvutatud õigest suurusest ja vastusel on tähendus.

Klassi kordamine

Enne VII klassi liikumist kontrolli kuut oskust:

1. taandan, laiendan, võrdlen ja arvutan harilike murdudega;
2. võrdlen negatiivseid arve ning leian vastandarvu ja absoluutväärtuse;
3. leian protsendi tervikust ja osa osamäära;
4. kirjutan ja loen punkti koordinaate;
5. eristan ringi pindala ja ringjoone pikkust ning leian kolmnurga pindala;
6. kirjutan vastuse juurde ühiku või tähenduse.

Seosed

See kordamine valmistab ette VII klassi ratsionaalarvud, protsentülesanded, võrrandid, funktsioonid ja koordinaatgraafikud.