{ "schema_version": 1, "title": "Koolimatemaatika tuumikreferents", "language": "et", "status": "public_alpha", "licence": "CC BY-SA 4.0 unless marked otherwise in the source material", "contract": "docs/tuumikreferentsi-leping.md", "scope_note": "Canonical core facts and relationships. Class learning modules, transition bridges, games and exercises are separate layers.", "review_note": "Automated checks do not constitute mathematics-teacher review or evidence of learning effectiveness.", "module_count": 85, "modules": [ { "id": "arvud.kumnendsusteem-ja-umardamine", "title": "Kümnendsüsteem ja ümardamine", "strand": "10-arvud", "order": "10.05", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 1, "main": 5, "end": 7, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "I kooliaste", "II kooliaste", "III kooliaste" ], "difficulty": 1, "module_tags": [ "concept", "skill" ], "prerequisites": [], "review_modules": [], "extension_modules": [ "arvud.murrud-ja-kumnendmurrud" ], "used_directly_in_class_books": [], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/10-arvud/10.05-kumnendsusteem-ja-umardamine.md", "source_sha256": "78e9bdbb65af8fe6f65f9cdd8705ab9c06f8fa2e49f7085df099218ec6da0031", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/10.05-kumnendsusteem-ja-umardamine.html", "content_markdown": "# Kümnendsüsteem ja ümardamine\n\n## Mõiste\n\nKümnendsüsteemis sõltub numbri väärtus tema järgust ehk kohast arvu kirjutises.\n\nEeldus: oskad arve järjestada, lugeda numbreid vasakult paremale ning tead, et koma eraldab täisosa ja murdosa.\n\n| Mõiste | Tähendus |\n| --- | --- |\n| **arvu järk** | numbri koht: üheliste, kümneliste, sajaliste, tuhandeliste jne järk |\n| **järguühik** | ühe järgu ühiku väärtus: `$1$`, `$10$`, `$100$`, `$1000$` jne |\n| **kordaja** | järgus olev number, mis näitab järguühikute arvu |\n| **järguühiku kordne** | kordaja ja järguühiku korrutis, näiteks `$8\\cdot1000$` |\n| **järkarv** | korrutise väärtus, näiteks `$8000$`; kirjutises on üks nullist erinev number |\n| **arvuklass** | paremalt alates kolmest järgust koosnev ühtede, tuhandete, miljonite jne rühm |\n\nÄra aja segi **järkarvu** ja **järgarvu**. Järkarv `$3000$` näitab ühe järgu panust arvu väärtusse; järgarv `3.` tähendab „kolmas”.\n\nArvus `$583\\ 407$` on tuhandeliste järguühik `$1000$`, kordaja `$3$` ja järkarv `$3000$`. Järkarvude summana kirjutame\n\n$$583\\ 407=500\\ 000+80\\ 000+3000+400+7.$$\n\nJärguühikute kordsete summana kirjutame\n\n$$583\\ 407=5\\cdot100\\ 000+8\\cdot10\\ 000+3\\cdot1000+4\\cdot100+0\\cdot10+7\\cdot1.$$\n\nNulliga järgu võib esimesest summast ära jätta; teises näitab `$0\\cdot10$` kümneliste järku.\n\nSama kohaväärtuse põhimõte jätkub komast paremale. Näiteks arv `$4072,36$` koosneb nii:\n\n| Järk | Tuhandelised | Sajalised | Kümnelised | Ühelised | Kümnendikud | Sajandikud |\n| --- | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: |\n| Number | `$4$` | `$0$` | `$7$` | `$2$` | `$3$` | `$6$` |\n| Väärtus | `$4000$` | `$0$` | `$70$` | `$2$` | `$0,3$` | `$0,06$` |\n\nSeega\n\n$$4072,36=4000+70+2+0,3+0,06.$$\n\nIga järgmine koht on eelmisest 10 korda väiksem või suurem:\n\n| Koht vasakult paremale | Tuhandelised | Sajalised | Kümnelised | Ühelised | Kümnendikud | Sajandikud | Tuhandikud |\n| --- | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: |\n| Ühe numbri väärtus | `$1000$` | `$100$` | `$10$` | `$1$` | `$0,1$` | `$0,01$` | `$0,001$` |\n\nSeepärast muudab koma asukoht arvu väärtust palju: `$4,7$`, `$47$` ja `$470$` kasutavad samu numbreid, aga tähendavad eri suurusi.\n\n## Reeglid\n\n**Ümardamine** tähendab täpse arvu asendamist etteantud järguühiku lähima kordsega. Näiteks kümnelisteni ümardades valime lähima täiskümne, sajalisteni ümardades lähima täissaja.\n\nVaata ümardamiskohast ühe koha paremale: 0–4 korral jääb ümardamiskoha number samaks, 5–9 korral suureneb see ühe võrra. Näiteks `$34\\approx30$`, kuid `$35\\approx40$` kümnelisteni; `$2,344\\approx2,34$`, kuid `$2,345\\approx2,35$` sajandikeni.\n\n## Näide\n\nArv 38,746 ümardatuna sajandikeni on 38,75, sest kolmas kümnendkoht on 6.\n\nMatkaraja `$7,64$` km pikkus on ühe kümnendkohani `$7,6$` km ja täiskilomeetriteni `$8$` km. Sobiv täpsus sõltub ülesandest.\n\nMõlemal juhul alustame samast täpsest arvust.\n\n## Tüüpviga\n\nÜmardatud arv on ligikaudne, seega kasuta tavaliselt märki `$\\approx$`.\n\nÄra ümarda mitu korda järjest. Arvu `$9,995$` sajandikeni ümardades vaata kohe kolmandat kümnendkohta:\n\n$$9,995\\approx10,00.$$\n\nNull hoiab järku: `$4,05$` sisaldab 5 sajandikku, kuid `$4,5$` sisaldab 5 kümnendikku.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Ümarda arv 5827 kümnelisteni.\n2. Ümarda arv 14,386 sajandikeni.\n3. Selgita, miks 9,995 ümardub sajandikeni kujule 10,00.\n4. Kumb on suurem: `$4,05$` või `$4,5$`?\n\n### Rakendus\n\n5. Kirjuta arvu 306,48 numbrite kohaväärtused.\n6. Ümarda arv 199,95 kümnendikeni.\n7. Kirjuta arv `$502,709$` kohaväärtuste summana.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n8. Ümarda `$48,95$` eurot sentideni ja täiseurodeni.\n9. Matkaraja pikkus on `$12,47$` km. Ümarda see ühe kümnendkohani ja täiskilomeetriteni.\n10. Millisteks täiskümneteks ümarduvad arvud `$64$`, `$65$` ja `$66$`?\n11. Leia kaks arvu, mis ümarduvad kümnelisteni arvuks 80, aga ei ole võrdsed.\n\n## Vastused\n\n1. `$5830$`.\n2. `$14,39$`.\n3. Kolmas kümnendkoht on 5, seega sajandike koht suureneb. Ülekandega saab `$10,00$`.\n4. `$4,5$`, sest 5 kümnendikku on suurem kui 5 sajandikku.\n5. `$3$` sajalist, `$0$` kümnelist, `$6$` ühelist, `$4$` kümnendikku, `$8$` sajandikku.\n6. `$200,0$`, sest sajandike 5 tõstab kümnendike koha üle järgmisse sajalisse.\n7. `$502,709=500+2+0,7+0,009$`.\n8. Sentideni `$48,95$`, täiseurodeni `$49$`.\n9. Ühe kümnendkohani `$12,5$` km, täiskilomeetriteni `$12$` km.\n10. `$64\\approx60$`, `$65\\approx70$`, `$66\\approx70$`.\n11. Näiteks 76 ja 84.\n\n## Seosed\n\nKohaväärtuse mõistmine on järgmise peatüki alus: naturaalarvude liitmisel, lahutamisel, korrutamisel ja jagamisel peab iga number jääma õigesse järku.\n" }, { "id": "arvud.naturaalarvud-ja-tehted", "title": "Naturaalarvud ja tehted", "strand": "10-arvud", "order": "10.10", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 1, "main": 2, "end": 6, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "I kooliaste", "II kooliaste" ], "difficulty": 1, "module_tags": [ "concept", "skill" ], "prerequisites": [], "review_modules": [], "extension_modules": [ "arvud.jaguvus-algarvud-sut" ], "used_directly_in_class_books": [], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/10-arvud/10.10-naturaalarvud-ja-tehted.md", "source_sha256": "75064c329b03f3c81fa8763d1597da27aa8e2ce2b42da5b32f60c81a314e72bf", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/10.10-naturaalarvud-ja-tehted.html", "content_markdown": "# Naturaalarvud ja tehted\n\n## Mõiste\n\nNaturaalarvud on loendamise arvud: 1, 2, 3, 4 ja nii edasi. Kui ülesandes on vaja lugeda ka tühja hulka, kasutatakse ka arvu 0. Siis kirjutatakse mõnikord `$\\mathbb{N}_0=\\{0,1,2,3,\\ldots\\}$`.\n\nEeldus: oskad arve loendada, võrrelda, kirjutada kümnendsüsteemis ning tunned liitmist ja lahutamist.\n\nNaturaalarvu kirjutises:\n\n- **järk** on numbri koht;\n- **järguühik** on ühe selle järgu ühiku väärtus;\n- **kordaja** on järgus olev number;\n- **järkarv** on kordaja ja järguühiku korrutise väärtus.\n\n$$\\text{kordaja}\\cdot\\text{järguühik}=\\text{järkarv}.$$\n\nArvus `$54\\ 307$` on tuhandeliste järguühik `$1000$`, kordaja `$4$` ja järkarv `$4000$`. Järgud rühmitatakse paremalt kolmekaupa **arvuklassideks**: siin on `$54$` tuhandete ja `$307$` ühtede klass.\n\n| Tehe | Märk | Küsimus, millele tehe vastab | Näide |\n| --- | --- | --- | --- |\n| liitmine | `$+$` | kui palju on kokku? | `$18+7=25$` |\n| lahutamine | `$-$` | kui palju jääb üle või puudu? | `$25-7=18$` |\n| korrutamine | `$\\cdot$` | mitu võrdset rühma? | `$4\\cdot6=24$` |\n| jagamine | `$:$` | kui palju igasse rühma või mitu rühma? | `$24:6=4$` |\n\n## Tehete järjekord\n\nKui avaldises on mitu tehet, tehakse need kindlas järjekorras:\n\n1. sulud;\n2. korrutamine ja jagamine vasakult paremale;\n3. liitmine ja lahutamine vasakult paremale.\n\nLühidalt:\n\n$$\\text{sulud}\\rightarrow\\text{korrutamine ja jagamine}\\rightarrow\\text{liitmine ja lahutamine}.$$\n\nOluline: korrutamine ei ole alati enne jagamist. Need on samal tasemel ja käivad vasakult paremale. Sama kehtib liitmise ja lahutamise kohta.\n\n## Näide\n\nKui klassis on 4 rida ja igas reas 6 tooli, siis toolide arv on\n\n$$4\\cdot6=24.$$\n\nAvaldises\n\n$$8+3\\cdot5$$\n\ntehakse enne korrutamine:\n\n$$8+3\\cdot5=8+15=23.$$\n\nKui tahame enne liita, tuleb kasutada sulge:\n\n$$(8+3)\\cdot5=11\\cdot5=55.$$\n\nAvaldises\n\n$$24:3\\cdot2$$\n\non jagamine ja korrutamine samal tasemel, seega liigume vasakult paremale:\n\n$$24:3\\cdot2=8\\cdot2=16.$$\n\nTekstülesandes küsi enne arvutamist, mis kordub ja mis lisandub. Näiteks: 4 õpilast ostavad 6-eurose pileti ja klass maksab 3 eurot broneerimistasu. Kogukulu on\n\n$$4\\cdot6+3=24+3=27.$$\n\nKui broneerimistasu oleks iga õpilase kohta, oleks avaldis\n\n$$4\\cdot(6+3)=4\\cdot9=36.$$\n\nVastus: 27 eurot või 36 eurot.\n\n## Tüüpviga\n\nTehete järjekord ei ole kõigi tehete puhul vasakult paremale. Näiteks\n\n$$8+3\\cdot5\\ne(8+3)\\cdot5.$$\n\nSulgude puudumine võib muuta tähendust. Kui öeldakse \"liida 8 ja 3 ning korruta tulemus 5-ga\", kirjuta\n\n$$(8+3)\\cdot5.$$\n\nKontrollimiseks on mitu lihtsat võtet:\n\n- tee ligikaudne hinnang, kas vastus on mõistliku suurusega;\n- pane vastus tagasi tekstülesandesse ja loe, kas ühikud sobivad;\n- kontrolli pöördtehtega: kui `$37-12=25$`, siis `$25+12=37$`;\n- jaga pikk avaldis vaheastmeteks, et üks arvutusviga ei peituks rea sees.\n\nNäiteks “5 lauda, iga laua juures 4 tooli ja õpetaja tool” mudel on `$5\\cdot4+1=21$`, mitte `$5\\cdot(4+1)$`.\n\nTeine viga on jagamise tähendust mitte kontrollida. `$24:6=4$` võib tähendada 24 asja jaotamist 6 rühma vahel või 6-kaupa rühmade arvu leidmist. Vastus on sama, ühik võib erineda.\n\n## Harjutused\n\n[Tehete järjekorra treener](https://mapik.ee/matemaatika/mangud/assets/operation-order-trainer-game.html): viis uut avaldist voorus, tasemed kolmest arvust sulgudega avaldisteni.\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Arvuta `$7+4\\cdot6$`.\n2. Arvuta `$(7+4)\\cdot6$`.\n3. Pane sulud nii, et avaldise `$12+8:4$` väärtus oleks `$5$`.\n4. Klassiruumis on 5 lauda ja iga laua juures 4 tooli. Lisaks on õpetaja tool. Mitu tooli on kokku?\n\n### Rakendus\n\n5. Arvuta `$36:6\\cdot3$`.\n6. Arvuta `$36:(6\\cdot3)$`.\n7. Poes ostetakse 3 vihikut hinnaga 2 eurot ja üks pliiats hinnaga 1 euro. Koosta avaldis ja arvuta summa.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n8. Bussis on 4 rida, igas reas 2 istekohta. Kõik istekohad on vabad. Peatuses tuleb bussi 5 reisijat ja igaüks istub ühele kohale. Mitu istekohta jääb vabaks?\n9. Leia viga: õpilane arvutas `$20-6+2=20-8=12$`.\n10. Koosta lühike tekstülesanne avaldisele `$3\\cdot(8+2)$`.\n11. Kirjuta kaks erinevat olukorda, mida saab arvutada tehtega `$24:6$`: üks jaotamise, teine \"mitu korda mahub\" tähenduses.\n\n## Vastused\n\n1. `$31$`.\n2. `$66$`.\n3. `$(12+8):4=5$`.\n4. `$5\\cdot4+1=21$`, sest õpetaja tool lisandub üks kord.\n5. `$18$`, sest jagamine ja korrutamine käivad vasakult paremale.\n6. `$2$`, sest sulgudes olev korrutis tehakse enne jagamist.\n7. `$3\\cdot2+1=7$` eurot; pliiatsi hind lisandub üks kord.\n8. `$4\\cdot2-5=3$` istekohta jääb vabaks: kaheksast kohast viis on hõivatud.\n9. Liitmine ja lahutamine on samal tasemel ning käivad vasakult paremale: `$20-6+2=14+2=16$`.\n10. Näiteks: kolmel õpilasel on igaühel 8 vihikut ja 2 töölehte. Kokku on `$3\\cdot(8+2)=30$` eset.\n11. Näiteks: 24 kommi jaotatakse 6 lapse vahel, iga laps saab 4 kommi. Või: 24 kommi pannakse 6 kaupa kottidesse, vaja on 4 kotti.\n\n## Seosed\n\nNaturaalarvud on alus murdudele, negatiivsetele arvudele, protsentidele ja algebralistele avaldistele. Järgmine samm on jaguvus: seal küsime, millal jagamine annab jäägita tulemuse ja kuidas sellest jõuda algarvude ning suurima ühistegurini.\n" }, { "id": "arvud.jaguvus-algarvud-sut", "title": "Jaguvus, algarvud ja suurim ühistegur", "strand": "10-arvud", "order": "10.15", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 5, "main": 5, "end": 9, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "II kooliaste", "III kooliaste" ], "difficulty": 2, "module_tags": [ "concept", "skill" ], "prerequisites": [ "arvud.naturaalarvud-ja-tehted" ], "review_modules": [ "arvud.kumnendsusteem-ja-umardamine" ], "extension_modules": [ "arvud.murrud-ja-kumnendmurrud" ], "used_directly_in_class_books": [], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/10-arvud/10.15-jaguvus-algarvud-sut.md", "source_sha256": "124542edaaa134b4aa000cf3fe531e9ca0fbb5f8b1b65c96c0f244d671bd4644", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/10.15-jaguvus-algarvud-ja-suurim-uhistegur.html", "content_markdown": "# Jaguvus, algarvud ja suurim ühistegur\n\n## Mõiste\n\nArv `$a$` jagub arvuga `$b$`, kui jagamisel jääki ei teki. Algarv on ühest suurem naturaalarv, mis jagub ainult 1 ja iseendaga. Kordarv on ühest suurem naturaalarv, millel on peale 1 ja iseenda veel vähemalt üks positiivne jagaja. Arv 1 ei ole alg- ega kordarv.\n\nEeldus: oskad naturaalarve korrutada ja jagada ning saad aru, et jagamisel võib tekkida jääk.\n\n### Esimesed 100 algarvu\n\n| Koht loendis | Algarvud |\n| --- | --- |\n| 1.–20. | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 |\n| 21.–40. | 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173 |\n| 41.–60. | 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281 |\n| 61.–80. | 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409 |\n| 81.–100. | 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541 |\n\nPikema loendi leiab Wikipedia lehelt [List of prime numbers](https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_prime_numbers).\n\n## Põhireeglid\n\n- 2-ga: viimane number on paaris.\n- 3-ga: ristsumma jagub 3-ga.\n- 4-ga: kaks viimast numbrit jaguvad 4-ga.\n- 5-ga: viimane number on 0 või 5.\n- 6-ga: arv jagub 2-ga ja 3-ga.\n- 9-ga: ristsumma jagub 9-ga.\n- 10-ga: viimane number on 0.\n\nSuurim ühistegur `SÜT` on suurim arv, millega kõik antud arvud jaguvad. Vähim ühiskordne `VÜK` on vähim positiivne arv, mis jagub kõigi antud arvudega.\n\n| Küsimus | Kasuta | Mõte |\n| --- | --- | --- |\n| Kui suureks võrdseks osaks saab jagada? | `SÜT` | ühine tegur |\n| Millal korduvad sündmused kokku langevad? | `VÜK` | ühine kordne |\n\nNäiteks 18 punase ja 30 sinise kommi võimalikult paljudeks ühesugusteks pakkideks jagamisel kasutame `SÜT`-i. Kahe kella 18- ja 30-minutilise kordumise kokkulangemisel kasutame `VÜK`-i.\n\n## Algteguriteks lahutamine\n\nAlgteguriteks lahutamine kirjutab arvu algarvude korrutisena.\n\n$$84=2\\cdot42=2\\cdot2\\cdot21=2^2\\cdot3\\cdot7.$$\n\nAlgtegurid aitavad leida nii `SÜT`-i kui ka `VÜK`-i:\n\n- `SÜT`: võta ühised algtegurid väiksema astmega;\n- `VÜK`: võta kõik algtegurid suurema astmega.\n\n## Näide\n\nArvud 24 ja 36:\n\n$$24=2^3\\cdot3,\\qquad 36=2^2\\cdot3^2.$$\n\nÜhised tegurid annavad\n\n$$SÜT(24,36)=2^2\\cdot3=12.$$\n\nVähima ühiskordse jaoks võtame kõik algtegurid suurima astmega:\n\n$$VÜK(24,36)=2^3\\cdot3^2=72.$$\n\n| Algarv | Arvus 24 | Arvus 36 | `SÜT` jaoks | `VÜK` jaoks |\n| --- | ---: | ---: | ---: | ---: |\n| `$2$` | `$2^3$` | `$2^2$` | `$2^2$` | `$2^3$` |\n| `$3$` | `$3^1$` | `$3^2$` | `$3^1$` | `$3^2$` |\n\nSeega võtab `SÜT` ainult ühise osa:\n\n$$2^2\\cdot3=12,$$\n\naga `VÜK` võtab kõik vajaliku, et arv jaguks mõlemaga:\n\n$$2^3\\cdot3^2=72.$$\n\nKui 24 ja 36 õuna jagada võimalikult paljudeks ühesugusteks kingikottideks, saab teha 12 kotti. Kui kaks bussi väljuvad iga 24 ja 36 minuti järel, kohtuvad nende väljumised taas iga 72 minuti järel.\n\nVastus: `SÜT=12` ja `VÜK=72`.\n\n## Eukleidese algoritm\n\nKahe arvu `SÜT`-i saab leida jääke võttes. See aitab suurte arvudega.\n\nNäiteks leiame `SÜT(84,30)`:\n\n$$84=2\\cdot30+24$$\n\n$$30=1\\cdot24+6$$\n\n$$24=4\\cdot6+0.$$\n\nViimane nullist erinev jääk on `$6$`, seega\n\n$$SÜT(84,30)=6.$$\n\nJaguvuse kontroll: 372 jagub 4-ga ja 6-ga; 729 jagub 9-ga.\n\n## Tüüpviga\n\nArv 1 ei ole algarv, sest algarv peab olema ühest suurem. Esimene algarv on 2.\n\nTeine tüüpviga on ajada segi `SÜT` ja `VÜK`. `SÜT` ei saa olla suurem kui väikseim antud arv. `VÜK` ei saa olla väiksem kui suurim antud arv.\n\nKolmas tüüpviga on võtta `VÜK`-i leidmisel ainult ühised tegurid. Siis ei pruugi saadud arv mõlemaga jaguda.\n\nNeljas tüüpviga on kasutada vale jaguvusreeglit. Ristsumma aitab 3 ja 9 korral, aga ei ütle otse, kas arv jagub 4 või 8-ga.\n\n## Harjutused\n\n[Jaguvuse treener](https://mapik.ee/matemaatika/mangud/assets/divisibility-trainer-game.html): vali kõik sobivad jagajad. Tasemed lisavad uusi jaguvustunnuseid.\n\nTehete järjekorda saad eraldi korrata [tehete järjekorra treeneris](https://mapik.ee/matemaatika/mangud/assets/operation-order-trainer-game.html).\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Leia, kas 372 jagub 3-ga.\n2. Lahuta arv 84 algteguriteks.\n3. Leia `SÜT(18, 30)`.\n4. Leia `VÜK(18, 30)`.\n\n### Rakendus\n\n5. Leia Eukleidese algoritmiga `SÜT(105, 45)`.\n6. Leia `SÜT(24, 40)` ja selgita, mida see võiks tähendada võrdsete pakkide tegemisel.\n7. Leia `VÜK(12, 18)` ja selgita, mida see võiks tähendada kahe korduva sündmuse korral.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n8. Lahuta arvud 48 ja 60 algteguriteks ning leia tabeli abil `SÜT` ja `VÜK`.\n9. Kas 1 on algarv? Põhjenda.\n10. Leia viga: õpilane ütleb, et `SÜT(16,24)=48`, sest 48 jagub nii 16 kui 24-ga.\n11. Leia `SÜT(42,56)` ja kasuta seda murru `$\\frac{42}{56}$` taandamiseks.\n\n## Vastused\n\n1. Jah, sest `$3+7+2=12$` ja `$12$` jagub 3-ga.\n2. `$84=2^2\\cdot3\\cdot7$`.\n3. `$SÜT(18,30)=6$`.\n4. `$VÜK(18,30)=90$`, sest 90 jagub nii 18 kui ka 30-ga.\n5. `$105=2\\cdot45+15$`, `$45=3\\cdot15+0$`, seega `$SÜT(105,45)=15$`.\n6. `$24=2^3\\cdot3$`, `$40=2^3\\cdot5$`, seega `$SÜT(24,40)=8$`. Saab teha 8 ühesugust pakki: igas 3 ja 5 eset.\n7. `$12=2^2\\cdot3$`, `$18=2\\cdot3^2$`, seega `$VÜK(12,18)=36$`. Sündmused langevad uuesti kokku 36 ühiku järel.\n8. `$48=2^4\\cdot3$`, `$60=2^2\\cdot3\\cdot5$`, `$SÜT=2^2\\cdot3=12$`, `$VÜK=2^4\\cdot3\\cdot5=240$`.\n9. Ei. Algarv peab olema ühest suurem, aga 1 seda ei ole.\n10. 48 on ühiskordne, mitte ühistegur. `SÜT` peab jagama mõlemat arvu ja ei saa olla suurem kui 16. Õige vastus on 8.\n11. `SÜT(42,56)=14`, seega `$\\frac{42}{56}=\\frac{3}{4}$`.\n\n## Seosed\n\nJaguvus ja `SÜT` on järgmise murdude peatüki alus: murdu taandades jagame lugeja ja nimetaja nende ühise teguriga.\n" }, { "id": "arvud.murrud-ja-kumnendmurrud", "title": "Murrud ja kümnendmurrud", "strand": "10-arvud", "order": "10.20", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 3, "main": 5, "end": 8, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "I kooliaste", "II kooliaste", "III kooliaste" ], "difficulty": 2, "module_tags": [ "concept", "skill" ], "prerequisites": [ "arvud.naturaalarvud-ja-tehted", "arvud.jaguvus-algarvud-sut" ], "review_modules": [ "arvud.kumnendsusteem-ja-umardamine" ], "extension_modules": [ "arvud.protsendid-suhted-vorded" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/10-arvud/10.20-murrud-ja-kumnendmurrud.md", "source_sha256": "0b6df768b1da7de9df0a57d029497ce83d28a568a436fe122fcb15a963a9180f", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/10.20-murrud-ja-kumnendmurrud.html", "content_markdown": "# Murrud ja kümnendmurrud\n\n## Mõiste\n\nMurd $\\frac34$ tähendab kolme neljandikku. **Nimetaja** 4 näitab, et tervik on jagatud neljaks võrdseks osaks. **Lugeja** 3 näitab, et võtame kolm sellist osa. Ühe osa suurus on $\\frac14$ ja kolme osa suurus $\\frac34$.\n\nOsi võib olla ka rohkem kui ühes tervikus: $\\frac54$ on viis neljandikku ehk üks tervik ja veel üks neljandik.\n\nHariliku murru üldkuju on\n\n$$\\frac{a}{b},$$\n\nkus $a$ on lugeja ja $b$ nimetaja; mõlemad on täisarvud. Murrujoon tähendab jagamist: $\\frac ab=a:b$. Nimetaja ei tohi olla 0, sest nulliga ei saa jagada.\n\nEeldus: oskad naturaalarve jagada, tunned jaguvust ning tead, et lugejat ja nimetajat võib taandamisel jagada sama ühise teguriga.\n\nSamaväärsed murrud kirjeldavad sama suurust, kuigi nad näevad erinevad välja:\n\n$$\\frac12=\\frac24=\\frac48.$$\n\nNeed asuvad arvteljel samas punktis ja kujutavad sama osa tervikust.\n\n![Sama osa murdosa, kümnendmurru ja protsendina](assets/fraction-percent.svg \"Murd üks kahendik, kümnendmurd 0,5 ja 50 protsenti kirjeldavad sama suurust.\")\n\n## Reeglid\n\nMurdu võib laiendada: korruta lugeja ja nimetaja sama nullist erineva arvuga.\n\n$$\\frac12=\\frac{1\\cdot4}{2\\cdot4}=\\frac48.$$\n\nMurdu võib taandada: jaga lugeja ja nimetaja sama ühise teguriga.\n\n$$\\frac{12}{18}=\\frac{12:6}{18:6}=\\frac23.$$\n\nPositiivse liigmurru teisendamisel segaarvuks jaga lugeja nimetajaga. Jagatis on täisosa ja jääk on murdosa lugeja:\n\n$$\\frac ab=q\\frac rb,\\qquad a=q\\cdot b+r,\\quad 0\\le r\\frac57.$$\n\n$$\\frac34=0{,}75,\\qquad \\frac57\\approx0{,}714.$$\n\nKümnendkujud kinnitavad võrdlust.\n\nVastus: summa on $\\frac56$, jagatis on $1\\frac78$ ja võrdluses on $\\frac34>\\frac57$.\n\n## Tüüpviga\n\nMurde ei liideta nii:\n\n$$\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}\\ne\\frac{2}{5}.$$\n\nKõigepealt tuleb leida ühine nimetaja.\n\nTeine tüüpviga on arvata, et lõpmatu kümnendmurd ei saa olla harilik murd. Kui kümnendmurd on perioodiline, siis ta on ratsionaalarv. Näiteks\n\n$$0{,}333\\ldots=\\frac13.$$\n\nKolmas tüüpviga on võrrelda kümnendmurde ainult esimese numbri järgi. Arv $0{,}7$ ja arv $0{,}70$ on võrdsed, sest lõppu lisatud null ei muuda väärtust. Aga $0{,}7<0{,}75$, sest seitsme kümnendiku järel on teisel arvul veel viis sajandikku.\n\nNeljas tüüpviga on taandada ainult lugejat või ainult nimetajat. Murru väärtus jääb samaks ainult siis, kui jagad mõlemad sama nullist erineva arvuga.\n\nViies tüüpviga on teisendada segaarv liigmurruks ainult täisosa ja lugejat liites. Näiteks $2\\frac35\\ne\\frac{2+3}{5}$. Õige lugeja on $2\\cdot5+3=13$.\n\nKuues tüüpviga on pöörata murruga jagamisel esimene murd. Pöördarvuks muudetakse ainult jagaja:\n\n$$\\frac34:\\frac25=\\frac34\\cdot\\frac52.$$\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Laienda murdu $\\frac35$ nimetajani $20$.\n2. Taanda murd $\\frac{18}{24}$.\n\n### Rakendus\n\n3. Võrdle murde $\\frac56$ ja $\\frac78$.\n4. Kirjuta $\\frac18$ kümnendmurruna.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n5. Millise hariliku murruga võrdub $0{,}333\\ldots$?\n6. Kumb on suurem: $\\frac34$ või $0{,}7$?\n7. Kirjuta kolm samaväärset murdu arvule $\\frac23$.\n8. Kirjuta $0{,}125$ hariliku murruna ja taanda.\n9. Kontrolli kahel viisil, kumb on suurem: $\\frac{7}{10}$ või $\\frac23$.\n10. Kirjuta sama arv kolmel kujul: harilik murd, kümnendmurd ja protsent, kui osa on 3 tükki 4 võrdsest tükist.\n11. Teisenda $3\\frac27$ liigmurruks ja $\\frac{23}{6}$ segaarvuks.\n12. Arvuta $\\frac56:\\frac{10}{9}$ ning kontrolli tulemust korrutamisega.\n\n## Vastused\n\n1. $\\frac35=\\frac{12}{20}$.\n2. $\\frac{18}{24}=\\frac34$.\n3. $\\frac56=\\frac{20}{24}$ ja $\\frac78=\\frac{21}{24}$, seega $\\frac56<\\frac78$.\n4. $\\frac18=0{,}125$.\n5. $0{,}333\\ldots=\\frac13$.\n6. $\\frac34=0{,}75$, seega $\\frac34$ on suurem.\n7. Näiteks $\\frac23=\\frac46=\\frac69=\\frac8{12}$.\n8. $0{,}125=\\frac{125}{1000}=\\frac18$.\n9. $\\frac{7}{10}=\\frac{21}{30}$ ja $\\frac23=\\frac{20}{30}$, seega $\\frac{7}{10}$ on suurem. Kümnendkujuga: $0{,}7>0{,}666\\ldots$.\n10. $\\frac34=0{,}75=75\\%$, sest 3 osa 4 võrdsest osast on kolm neljandikku tervikust.\n11. $3\\frac27=\\frac{3\\cdot7+2}{7}=\\frac{23}{7}$ ja $\\frac{23}{6}=3\\frac56$.\n12. $\\frac56:\\frac{10}{9}=\\frac56\\cdot\\frac9{10}=\\frac34$. Kontroll: $\\frac34\\cdot\\frac{10}{9}=\\frac56$.\n\n## Seosed\n\nKümnendmurd, protsent ja harilik murd on sama arvu eri kirjutusviisid. Järgmistes arvude peatükkides kasutatakse sama mõtet negatiivsete arvude võrdlemisel ning protsendi-, suhte- ja võrdeülesannetes.\n" }, { "id": "arvud.negatiivsed-arvud", "title": "Negatiivsed arvud", "strand": "10-arvud", "order": "10.30", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 6, "main": 6, "end": 9, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "II kooliaste", "III kooliaste" ], "difficulty": 2, "module_tags": [ "concept", "skill" ], "prerequisites": [ "arvud.kumnendsusteem-ja-umardamine", "arvud.naturaalarvud-ja-tehted" ], "review_modules": [ "arvud.murrud-ja-kumnendmurrud" ], "extension_modules": [ "arvud.arvuhulgad-ja-reaalarvud" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-7", "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/10-arvud/10.30-negatiivsed-arvud.md", "source_sha256": "e97137436f5f5b5200102e34e7b82de72385eb9e33fcb32fa6b23dee38c51a3d", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/10.30-negatiivsed-arvud.html", "content_markdown": "# Negatiivsed arvud\n\n## Mõiste\n\nNegatiivsed arvud on nullist väiksemad arvud. Arvteljel asuvad nad nullist vasakul.\n\nEeldus: oskad arve arvteljel järjestada ning tunned liitmist, lahutamist, korrutamist ja jagamist naturaalarvudega.\n\nEnne märgireegli kasutamist ütle, mida miinus selles olukorras tähendab: võlga, langust, vastassuunda või nullist väiksemat arvu.\n\n![Negatiivsed ja positiivsed arvud arvteljel](assets/number-line.svg \"Arvteljel on negatiivsed arvud nullist vasakul ja positiivsed arvud nullist paremal.\")\n\nVastandarvud asuvad nullist sama kaugel, aga eri pooltel. Näiteks `$5$` ja `$-5$` on vastandarvud.\n\nNegatiivne arv kirjeldab sageli puudujääki või suunda:\n\n| Olukord | Tähendus |\n| --- | --- |\n| temperatuur `$-6^\\circ\\text{C}$` | 6 kraadi alla nulli |\n| kontoseis `$-12$` eurot | 12 eurot võlga |\n| korrus `$-1$` | üks korrus maapinnast allpool |\n| muutus `$-4$` | vähenemine 4 võrra |\n\nArvteljel võib liitmist mõelda liikumisena:\n\n- positiivse arvu liitmine viib paremale;\n- negatiivse arvu liitmine viib vasakule;\n- lahutamine viib vastassuunas, sest `$a-b=a+(-b)$`.\n\n## Reeglid\n\n- Positiivse ja negatiivse arvu korrutis on negatiivne.\n- Kahe negatiivse arvu korrutis on positiivne.\n- Lahutamine tähendab vastandarvu liitmist.\n\n$$a-b=a+(-b).$$\n\nMärgireeglid korrutamisel ja jagamisel:\n\n| Tehe | Tulemus |\n| --- | --- |\n| `$(+)\\cdot(+)$` või `$(+):(+)$` | positiivne |\n| `$(+)\\cdot(-)$` või `$(+):(-)$` | negatiivne |\n| `$(-)\\cdot(+)$` või `$(-):(+)$` | negatiivne |\n| `$(-)\\cdot(-)$` või `$(-):(-)$` | positiivne |\n\nSulgude avamisel:\n\n$$+(a-b)=a-b$$\n\n$$-(a-b)=-a+b.$$\n\nMiinus sulgude ees vahetab sulgudes olevate liikmete märgid.\n\n## Näide\n\n$$-4+9=5.$$\n\nArvteljel tähendab see: alusta `$-4$` juurest ja liigu 9 sammu paremale. Jõuad arvuni `$5$`.\n\n$$-4-9=-13.$$\n\nSee tähendab: alusta `$-4$` juurest ja liigu 9 sammu vasakule. Jõuad arvuni `$-13$`.\n\n$$(-4)\\cdot(-9)=36.$$\n\nTemperatuuri näide: hommikul oli temperatuur `$-7^\\circ\\text{C}$`. Päeval tõusis see 5 kraadi:\n\n$$-7+5=-2.$$\n\nPärastlõunal oli temperatuur `$-2^\\circ\\text{C}$`.\n\nRaha näide: kui kontol on `$-18$` eurot ja sinna laekub 25 eurot, siis uus seis on\n\n$$-18+25=7.$$\n\nKui kontol on 7 eurot ja maksad 10 eurot, siis\n\n$$7-10=-3,$$\n\nehk jääd 3 euroga miinusesse.\n\nSulgude avamine:\n\n$$7-(3-8)=7-3+8=12.$$\n\nNegatiivse arvuga korrutamine:\n\n$$-2(5-9)=-10+18=8.$$\n\nVastus: näidetes saadakse 5, `-13`, 36, $-2^\\circ\\text{C}$, 7 eurot, `-3` eurot, 12 ja 8.\n\n## Tüüpviga\n\nAvaldised `$-3^2$` ja `$(-3)^2$` on erinevad:\n\n$$-3^2=-9,\\qquad (-3)^2=9.$$\n\nTeine tüüpviga on miinusmärgi kaotamine sulgude ees:\n\n$$10-(4+3)\\ne10-4+3.$$\n\nÕige on\n\n$$10-(4+3)=10-4-3=3.$$\n\nKolmas tüüpviga on arvata, et suurem absoluutväärtus tähendab alati suuremat arvu. Tegelikult\n\n$$-12< -3,$$\n\nsest `$-12$` asub arvteljel rohkem vasakul. Külma ilma näites on `$-12^\\circ\\text{C}$` külmem kui `$-3^\\circ\\text{C}$`.\n\nNeljas tüüpviga on lugeda avaldist `$12-(-5)$` kui \"12 miinus 5\". Sulgudes olev miinus kuulub arvule `-5`; selle arvu lahutamine tähendab liikumist paremale.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Arvuta `$-7+12$`.\n2. Arvuta `$-6\\cdot4$`.\n3. Arvuta `$(-6)\\cdot(-4)$`.\n4. Ava sulud ja lihtsusta: `$15-(8-5)$`.\n\n### Rakendus\n\n5. Ava sulud ja lihtsusta: `$-3(2-7)$`.\n6. Hommikul oli temperatuur `$-9^\\circ\\text{C}$`. Päeval tõusis temperatuur 6 kraadi. Mis oli uus temperatuur?\n7. Kontol on `$-15$` eurot. Kontole laekub 40 eurot. Mis on uus kontoseis?\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n8. Arvteljel alustad arvust 3 ja liigud 8 sammu vasakule. Mis arvuni jõuad?\n9. Kumb arv on suurem: `$-4$` või `$-11$`? Põhjenda arvtelje abil.\n10. Arvuta `$12-(-5)$` ja selgita, miks vastus suureneb.\n11. Poe kassa seis muutus hommikul `-20` eurost õhtuks `35` euroni. Kui suur oli muutus?\n\n## Vastused\n\n1. `$5$`, sest arvust `-7` liigud 12 sammu paremale.\n2. `$-24$`.\n3. `$24$`.\n4. `$15-8+5=12$`.\n5. `$-6+21=15$`.\n6. `$-9+6=-3^\\circ\\text{C}$`.\n7. `$-15+40=25$` eurot.\n8. `$3-8=-5$`.\n9. `$-4$` on suurem, sest see asub arvteljel paremal.\n10. `$12-(-5)=12+5=17$`. Negatiivse arvu lahutamine tähendab vastandarvu liitmist.\n11. Muutus oli `$35-(-20)=55$` eurot.\n\n## Seosed\n\nNegatiivseid arve on vaja võrrandites, koordinaatteljestikus, funktsioonides ja muutuse kirjeldamisel. Järgmises protsentide ja suhete peatükis kasutatakse sama mõtet muutuse arvutamisel: enne protsenti tuleb aru saada, kas suurus kasvas või vähenes.\n" }, { "id": "arvud.ratsionaalarvudega-tehted", "title": "Tehted ratsionaalarvudega", "strand": "10-arvud", "order": "10.35", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 7, "main": 7, "end": 9, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste" ], "difficulty": 3, "module_tags": [ "skill", "application" ], "prerequisites": [ "arvud.negatiivsed-arvud", "arvud.murrud-ja-kumnendmurrud" ], "review_modules": [ "arvud.jaguvus-algarvud-sut" ], "extension_modules": [ "arvud.protsendid-suhted-vorded", "arvud.astmed-juured-standardkuju", "algebra.muutuja-ja-avaldis" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-7" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/10-arvud/10.35-ratsionaalarvudega-tehted.md", "source_sha256": "540d980410724825d361baa311ba8302002c5efd3479bd80a67297ac3ca5bd95", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/10.35-tehted-ratsionaalarvudega.html", "content_markdown": "# Tehted ratsionaalarvudega\n\n## Mõiste\n\nRatsionaalarv on arv, mida saab kirjutada kahe täisarvu jagatisena\n\n$$\\frac ab,\\qquad b\\ne0.$$\n\nRatsionaalarv võib olla positiivne, negatiivne või null. Näiteks `$-\\frac34$`, `$1,2$` ja `$-5$` on ratsionaalarvud, sest\n\n$$1,2=\\frac65,\\qquad -5=\\frac{-5}{1}.$$\n\nEeldus: oskad harilikke murde taandada, laiendada ja võrrelda ning tunned negatiivsete arvude märgireegleid.\n\nArvutamisel vali kuju, mis teeb tehte lihtsaks:\n\n- harilike murdude liitmisel ja lahutamisel leia ühine nimetaja;\n- lõplike kümnendmurdude puhul võib olla mugavam arvutada kümnendkujul;\n- jagamisel asenda jagamine pöördarvuga korrutamisega;\n- kui arvud on eri kujul, teisenda need enne tehet samasse sobivasse kujusse.\n\nKõiki harilikke murde ei saa kirjutada lõpliku kümnendmurruna. Näiteks `$\\frac13=0,333\\ldots$`, seega on täpses arvutuses sageli parem jätta vastus hariliku murruna.\n\n## Reeglid\n\nTehete järjekord on:\n\n1. sulud;\n2. astendamine;\n3. korrutamine ja jagamine vasakult paremale;\n4. liitmine ja lahutamine vasakult paremale.\n\nMurdude liitmine ja jagamine:\n\n$$\\frac ab+\\frac cd=\\frac{ad+bc}{bd},$$\n\n$$\\frac ab:\\frac cd=\\frac ab\\cdot\\frac dc,\\qquad c\\ne0.$$\n\nKahe arvu kaugus arvteljel on nende vahe absoluutväärtus:\n\n$$d(a,b)=|a-b|.$$\n\nEnne täpset arvutust hinda vastuse märki ja suurust. Näiteks `$-2,9+1,1$` peab olema negatiivne ning ligikaudu `$-2$`.\n\n## Näide\n\nArvutame eri nimetajatega negatiivsete murdude summa:\n\n$$-\\frac34+\\frac56=-\\frac9{12}+\\frac{10}{12}=\\frac1{12}.$$\n\nJagame kümnendmurde:\n\n$$-1,2:0,3=-4.$$\n\nSegaarvuga avaldises teisendame kõigepealt segaarvu liigmurruks:\n\n$$1\\frac12-\\frac23=\\frac32-\\frac23=\\frac56.$$\n\nLeidkem arvude `$-2,5$` ja `$1,25$` vaheline kaugus:\n\n$$|-2,5-1,25|=|-3,75|=3,75.$$\n\nVastus: `$\\frac1{12}$`, `$-4$`, `$\\frac56$` ja `$3,75$`.\n\n::: student-hint Kui vajad abi\nKirjuta iga tehte kohale üks kontrollsõna: **kuju**, **märk**, **järjekord**, **taandamine**. Nii leiad, millises sammus viga tekkis.\n:::\n\n## Tüüpviga\n\nMurdude nimetajaid ei liideta:\n\n$$\\frac12+\\frac13\\ne\\frac25.$$\n\nÕige on kasutada ühist nimetajat:\n\n$$\\frac12+\\frac13=\\frac36+\\frac26=\\frac56.$$\n\nTeine tüüpviga on märgi otsustamine enne jagamist valesti. Arvude absoluutväärtused annavad `$1,2:0,3=4$`, aga eri märgid annavad negatiivse vastuse `$-4$`.\n\nKolmas tüüpviga on teha liitmine enne korrutamist:\n\n$$-2+3\\cdot4=-2+12=10,$$\n\nmitte `$4$`.\n\nNeljas tüüpviga on ümardada vahetulemusi liiga vara. Kui täpne murd on olemas, hoia seda võimalikult kaua ja ümarda alles lõppvastus ülesandes nõutud järguni.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Arvuta `$-\\frac25+\\frac3{10}$`.\n2. Arvuta `$-1,8+0,65$`.\n3. Arvuta `$\\frac34:\\left(-\\frac12\\right)$`.\n4. Arvuta `$-2+5\\cdot(-3)$`.\n\n### Rakendus\n\n5. Arvuta `$2\\frac14-\\frac56$`.\n6. Leia arvude `$-3,2$` ja `$1,7$` vaheline kaugus arvteljel.\n7. Hommikul oli temperatuur `$-4,5^\\circ\\text{C}$` ja see tõusis `$6,8^\\circ\\text{C}$`. Leia uus temperatuur.\n8. Kontoseis oli `$-12,50$` eurot. Kontole laekus `$30$` eurot ja seejärel tasuti `$8,75$` eurot. Leia uus kontoseis.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n9. Kumb on suurem: `$-\\frac58$` või `$-0,6$`? Põhjenda teisendamisega.\n10. Arvuta `$\\left(-\\frac23+\\frac12\\right):\\frac5{12}$`.\n11. Leia viga arvutuses `$-3+2\\cdot(-4)=(-1)\\cdot(-4)=4$` ja kirjuta õige lahendus.\n12. Koosta avaldis, mille väärtus on `$-2$` ning milles on üks negatiivne murd ja üks kümnendmurd.\n\n## Vastused\n\n1. `$-\\frac25+\\frac3{10}=-\\frac4{10}+\\frac3{10}=-\\frac1{10}$`.\n2. `$-1,15$`, sest `$1,8-0,65=1,15$` ja suurema absoluutväärtusega arv on negatiivne.\n3. `$\\frac34\\cdot(-2)=-\\frac32=-1\\frac12$`.\n4. `$-2-15=-17$`; korrutamine tehakse enne liitmist.\n5. `$\\frac94-\\frac56=\\frac{27}{12}-\\frac{10}{12}=\\frac{17}{12}=1\\frac5{12}$`.\n6. `$|-3,2-1,7|=|-4,9|=4,9$` ühikut.\n7. `$-4,5+6,8=2,3^\\circ\\text{C}$`.\n8. `$-12,50+30-8,75=8,75$` eurot.\n9. `$-0,6=-\\frac35=-\\frac{24}{40}$` ja `$-\\frac58=-\\frac{25}{40}$`; seega `$-0,6$` on suurem, sest see asub arvteljel paremal.\n10. `$\\left(-\\frac46+\\frac36\\right):\\frac5{12}=-\\frac16\\cdot\\frac{12}{5}=-\\frac25$`.\n11. Korrutamine tuleb teha enne liitmist: `$-3+2\\cdot(-4)=-3-8=-11$`.\n12. Näiteks `$-\\frac52+0,5=-2$`. Võimalikke õigeid vastuseid on palju.\n\n::: teacher Õpetaja lisasoovitused\nErista diagnoosis neli vealiiki: sobimatu arvukuju, märgiviga, tehete järjekorra viga ja taandamisviga. Sama vale lõppvastus võib tekkida eri põhjusel.\n:::\n\n## Seosed\n\nRatsionaalarvudega tehted on astendamise, protsentarvutuse, avaldiste, võrrandite ja funktsiooniväärtuste arvutamise alus. Järgmises arvuhulkade peatükis saab nähtavaks, kuhu ratsionaalarvud teiste arvude seas kuuluvad.\n" }, { "id": "arvud.protsendid-suhted-vorded", "title": "Protsendid, suhted ja võrded", "strand": "10-arvud", "order": "10.40", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 6, "main": 7, "end": 10, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "II kooliaste", "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 3, "module_tags": [ "skill", "application" ], "prerequisites": [ "arvud.negatiivsed-arvud", "arvud.murrud-ja-kumnendmurrud" ], "review_modules": [ "arvud.kumnendsusteem-ja-umardamine" ], "extension_modules": [ "modelleerimine.finantsmatemaatika" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-7", "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/10-arvud/10.40-protsendid-suhted-vorded.md", "source_sha256": "7228f71f6c2f0c3fbf9f3170153c028e93f6b401e07b931cca672bebff5068e0", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/10.40-protsendid-suhted-ja-vorded.html", "content_markdown": "# Protsendid, suhted ja võrded\n\n## Mõiste\n\nProtsent tähendab sajandikku:\n\n$$1\\%=\\frac{1}{100}=0,01.$$\n\nTervik on `$100\\%=1$`. Näiteks `$40\\%=\\frac{40}{100}=0,4$`. Suhtarvu protsentides väljendamiseks korruta see 100-ga ja lisa protsendimärk: `$0,4=40\\%$`. Vastupidi, protsendiarv 40 jagatud 100-ga annab 0,4.\n\nPromill tähendab tuhandikku:\n\n$$1\\text{‰}=\\frac{1}{1000}=0,001=0,1\\%.$$\n\nSuhe võrdleb kahte suurust. Võrre on kahe suhte võrdsus.\n\nEeldus: oskad murde ja kümnendmurde teisendada ning saad aru, et protsent, murd ja kümnendmurd võivad kirjeldada sama osa tervikust.\n\n![Pool tervikust murdosa ja protsendina](assets/fraction-percent.svg \"Pool tervikust on `$\\frac12=0,5=50\\%$`.\")\n\n## Põhireeglid\n\nArvu `$p\\%$` leidmine arvust `$A$`:\n\n$$\\frac{p}{100}\\cdot A.$$\n\nEnne arvutamist määra tervik ehk `$100\\%$`.\n\nKui suurus kasvab `$p\\%$`, korrutatakse teguriga\n\n$$1+\\frac{p}{100}.$$\n\nKui suurus väheneb `$p\\%$`, korrutatakse teguriga\n\n$$1-\\frac{p}{100}.$$\n\nSuhteline muutus sõltub algväärtusest. Hinnatõus 80 eurolt 92 eurole on\n\n$$92-80=12$$\n\nja protsendiline muutus on\n\n$$\\frac{12}{80}\\cdot100\\%=15\\%.$$\n\nProtsendipunkt kirjeldab kahe protsendi vahet. Kui intress tõuseb `$3\\%$` pealt `$5\\%$` peale, siis muutus on `$2$` protsendipunkti. Suhteline kasv on aga\n\n$$\\frac{5-3}{3}\\cdot100\\%\\approx66,7\\%.$$\n\nVõrret saab lahendada ristkorrutisega:\n\n$$\\frac ab=\\frac cd \\quad \\Longleftrightarrow \\quad a\\cdot d=b\\cdot c.$$\n\nSuhet `$2:3$` võib lugeda nii: iga 2 osa esimese suuruse kohta on 3 osa teist suurust. Kui joogis on mahla ja vett suhtes `$2:3$`, siis kokku on 5 osa. Mahla osa kogu joogist on `$\\frac25=40\\%$`.\n\nPromilli kasutatakse siis, kui sajandik on kirjeldamiseks liiga suur ühik. Näiteks `$4\\text{‰}=0,004=0,4\\%$`.\n\n## Näide\n\nEse maksab 80 eurot ja selle hind tõuseb 15%. Algne hind on tervik ehk 100%. Uus hind on `$100\\%+15\\%=115\\%$` algsest hinnast. Kuna `$115\\%=115/100=1,15$`, saame\n\n$$80\\cdot1,15=92.$$\n\nSama saab arvutada kahes sammus: hinnalisa on `$80\\cdot0,15=12$` eurot ja uus hind `$80+12=92$` eurot.\n\nKui 92-eurose eseme hind langeb 15%, siis uus hind ei ole 80 eurot, vaid\n\n$$92\\cdot0,85=78,20.$$\n\nVõrde näide:\n\n$$\\frac{x}{12}=\\frac{5}{3}.$$\n\nRistkorrutis annab\n\n$$3x=12\\cdot5=60,$$\n\nseega\n\n$$x=20.$$\n\nSuhte näide: kui klassis on poisse ja tüdrukuid suhtes `$2:3$` ning õpilasi on kokku 25, siis kokku on 5 võrdset osa. Üks osa on\n\n$$25:5=5.$$\n\nPoisse on `$2\\cdot5=10$` ja tüdrukuid `$3\\cdot5=15$`.\n\nPromilli näide: `$3\\text{‰}$` arvust 5000 on\n\n$$5000\\cdot\\frac3{1000}=15.$$\n\nVastus: hinnad on 92 eurot ja 78,20 eurot; `$x=20$`; 10 poissi ja 15 tüdrukut; promilliülesande vastus on 15.\n\n## Tüüpviga\n\nKui hind langeb 20% ja siis tõuseb 20%, ei jõua hind tagasi algsele tasemele. Protsendid võetakse erinevatest alustest.\n\nEnne protsendi leidmist nimeta tervik ehk `$100\\%$`. Kui tervik vahetub, vahetub ka protsendi väärtus.\n\nTeine tüüpviga on ajada protsent ja protsendipunkt segi. Muutus `$40\\%$` pealt `$50\\%$` peale on `$10$` protsendipunkti, mitte `$10\\%$` suhteline muutus.\n\nKolmas tüüpviga on lugeda suhet `$2:3$` nii, nagu esimene suurus oleks `$\\frac23$` tervikust. Tegelikult on tervik `$2+3=5$` osa, seega esimene suurus on `$\\frac25$` tervikust.\n\n### Pilt ja arv\n\n100 võrdsest ruudust 25 ruutu on `$25\\%$` tervikust. Sama osa arvuna: `$25\\%=0,25=\\frac14$`.\n\n::: teacher Lähenemise valik\nKui protsendi mõiste jääb ebaselgeks, kasuta 100-ruudustikku või arvuta 10% ja 1% kaudu. Suhteülesandes lase õppijal nimetada tervik.\n:::\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Leia `$25\\%$` arvust `$160$`.\n2. Hind `$120$` eurot kallineb `$10\\%$`. Leia uus hind.\n3. Kirjuta `$75\\%$` hariliku murru ja kümnendmurruna.\n4. Kirjuta `$6\\text{‰}$` kümnendmurru ja protsendina.\n\n### Rakendus\n\n5. Hind `$120$` eurot odavneb `$10\\%$`. Leia uus hind.\n6. Lahenda võrre `$\\frac{x}{9}=\\frac43$`.\n7. Koolilaadal maksis kohvikus pirukas 1,60 eurot. Päeva lõpus tehti hinnale 25% allahindlust. Mis oli uus hind?\n8. Mahl ja vesi on suhtes `$2:3$`. Kui jooki on kokku 1 liiter, mitu liitrit on mahla?\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n9. Töötuse määr tõusis `$6\\%$` pealt `$8\\%$` peale. Mitme protsendipunkti võrra see tõusis?\n10. Klassis on 24 õpilast. Neist 75% sõidab kooli bussi või trammiga. Mitu õpilast see on?\n11. Hind tõusis 50 eurolt 60 euroni. Leia protsendiline muutus.\n12. Hind 100 eurot langeb 20% ja tõuseb siis uuelt hinnalt 20%. Kas hind on jälle 100 eurot?\n\n## Vastused\n\n1. `$40$`, sest see on veerand arvust 160.\n2. `$132$` eurot, sest tervik on 120 eurot ja 10% sellest on 12 eurot.\n3. `$75\\%=\\frac34=0,75$`, see tähendab 75 osa sajast ehk kolm neljandikku tervikust.\n4. `$6\\text{‰}=0,006=0,6\\%$`; promill on tuhandik ja protsent sajandik.\n5. `$108$` eurot.\n6. `$x=12$`.\n7. `$1,60\\cdot0,75=1,20$` eurot.\n8. Kokku on `$2+3=5$` osa; mahla on 2 osa, seega `$\\frac25$` liitrit ehk 0,4 liitrit.\n9. `$2$` protsendipunkti, sest `$8\\%-6\\%=2\\%$`.\n10. `$24\\cdot0,75=18$` õpilast.\n11. Muutus on 10 eurot ja `$\\frac{10}{50}\\cdot100\\%=20\\%$`.\n12. Ei. Pärast langust on hind 80 eurot ja pärast tõusu `$80\\cdot1,20=96$` eurot.\n\n## Seosed\n\nProtsente kasutatakse statistikas, intressiarvutustes, tõenäosuses ja kasvumudelites.\n" }, { "id": "arvud.astmed-juured-standardkuju", "title": "Astmed, juured ja standardkuju", "strand": "10-arvud", "order": "10.50", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 7, "main": 7, "end": 11, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 3, "module_tags": [ "skill" ], "prerequisites": [ "arvud.negatiivsed-arvud", "arvud.murrud-ja-kumnendmurrud" ], "review_modules": [ "arvud.kumnendsusteem-ja-umardamine" ], "extension_modules": [ "algebra.hulkliikmed-ja-tegurdamine" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-7", "klass-8", "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/10-arvud/10.50-astmed-juured-standardkuju.md", "source_sha256": "3086462e1d22e9606407d88ab23631ced4bd7304829b7be51d44ad99d8aa8e18", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/10.50-astmed-juured-ja-standardkuju.html", "content_markdown": "# Astmed, juured ja standardkuju\n\n## Mõiste\n\n**Astendamine on võrdsete tegurite korrutise lühike kirjaviis.** Näiteks\n\n$$3^4=3\\cdot3\\cdot3\\cdot3=81.$$\n\nArv $3$ on siin **astendatav** ja ülemine $4$ on **astendaja**.\nAstendaja näitab tegurite arvu: korrutises on neli kolme.\nKorrutusmärke on kolm, mitte neli.\n\nÜldiselt on astmes $a^n$ kokku $n$ tegurit $a$, kui $n$ on positiivne täisarv.\nAstendajaga 1 on $a^1=a$. Nulli ja negatiivse astendaja reeglid on allpool eraldi.\n\n**Ruutjuurimine on ruutu tõstmise pöördtehe nulli ja positiivsete arvude korral.**\nKüsime: milline null või positiivne arv annab iseendaga korrutades 9?\n\n$$\\sqrt9=3,\\qquad 3\\cdot3=9.$$\n\nSamuti $\\sqrt0=0$. Kuigi ka $(-3)^2=9$, tähistab $\\sqrt9$ ainult arvu 3.\nNegatiivsest arvust reaalarvulist ruutjuurt ei saa.\n\nEeldus: oskad korrutada, jagada, töötada negatiivsete arvudega ning lugeda kümnendmurde kohaväärtuste järgi.\n\n7. klassis keskendume astmetele ja standardkujule. Ruutjuur ning üldine negatiivne astendaja on siin edasivaade.\n\n## Reeglid\n\nEsimeses neljas reeglis on $m$ ja $n$ positiivsed täisarvud. Jagamisel peab alus olema nullist erinev. Nulli ja negatiivse astendaja reeglid vajavad samuti tingimust $a\\ne0$; negatiivse astendaja reeglis on $n$ positiivne täisarv.\n\n| Reegel | Näide |\n| --- | --- |\n| `$a^m\\cdot a^n=a^{m+n}$` | `$2^3\\cdot2^4=2^7$` |\n| `$\\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$`, kui `$a\\ne0$` | `$\\frac{5^6}{5^2}=5^4$` |\n| `$(a^m)^n=a^{mn}$` | `$(3^2)^4=3^8$` |\n| `$(ab)^n=a^n b^n$` | `$(2\\cdot5)^3=2^3\\cdot5^3$` |\n| `$a^0=1$`, kui `$a\\ne0$` | `$7^0=1$` |\n| `$a^{-n}=\\frac1{a^n}$`, kui `$a\\ne0$` | `$10^{-3}=\\frac1{10^3}=0,001$` |\n\nPositiivse arvu standardkuju:\n\n$$a\\cdot10^n,\\qquad 1\\le a<10.$$\n\nSiin on $n$ täisarv. Standardkujus on esimene tegur vähemalt 1 ja väiksem kui 10. Arvu kümme astendaja näitab, mitu kohta koma liigub. Nulli selles kujus ei esitata; negatiivse arvu korral kirjutame miinusmärgi positiivse arvu standardkuju ette.\n\nKümne astendaja annab suurusjärgu: `$10^7$` tähendab kümneid miljoneid, `$10^{-4}$` väga väikest arvu.\n\nStandardkuju leidmiseks:\n\n1. Nihuta koma nii, et ette jääb arv vahemikus `$1$` kuni `$10$`.\n2. Loe, mitu kohta koma nihkus.\n3. Kui algne arv oli suur ja koma liikus vasakule, on astendaja positiivne.\n4. Kui algne arv oli väike ja koma liikus paremale, on astendaja negatiivne.\n\n| Tavakuju | Koma nihkub | Standardkuju |\n| --- | --- | --- |\n| `$72\\,000\\,000$` | 7 kohta vasakule | `$7,2\\cdot10^7$` |\n| `$4500$` | 3 kohta vasakule | `$4,5\\cdot10^3$` |\n| `$0,00045$` | 4 kohta paremale | `$4,5\\cdot10^{-4}$` |\n| `$0,082$` | 2 kohta paremale | `$8,2\\cdot10^{-2}$` |\n\n## Näide\n\n$$0,00045=4,5\\cdot10^{-4}.$$\n\nSest koma liigub arvust `$0,00045$` arvuni `$4,5$` neli kohta paremale. Seetõttu on astendaja negatiivne.\n\nSuur arv standardkujus:\n\n$$72\\,000\\,000=7,2\\cdot10^7.$$\n\nStandardkujust tavakujule:\n\n$$3,08\\cdot10^5=308\\,000.$$\n\nSiin liigub koma 5 kohta paremale, sest astendaja on positiivne. Kui astendaja oleks negatiivne, liiguks koma vasakule:\n\n$$3,08\\cdot10^{-5}=0,0000308.$$\n\nKontrollküsimus standardkuju puhul: kas vastus on algse arvuga samast suurusjärgust? Näiteks `$0,00045$` on väga väike arv, seega peab standardkujus olema negatiivne kümne astendaja.\n\nJuurte näide:\n\n$$\\sqrt{49}=7,\\qquad \\sqrt{0,25}=0,5.$$\n\nVastus: `$0,00045=4,5\\cdot10^{-4}$`, `$72\\,000\\,000=7,2\\cdot10^7$`, `$\\sqrt{49}=7$`.\n\n## Tüüpviga\n\nNegatiivne astendaja ei tee arvu negatiivseks:\n\n$$10^{-3}=0,001.$$\n\nRuutjuure märk `$\\sqrt a$` annab positiivse või nulliga võrdse ruutjuure:\n\n$$\\sqrt{16}=4,$$\n\nmitte `$\\pm4$`. Võrrandil `$x^2=16$` on aga kaks lahendit: `$x=4$` ja `$x=-4$`.\n\nStandardkujus võib panna astendajale vale märgi:\n\n$$0,00082\\ne8,2\\cdot10^4.$$\n\nÕige on\n\n$$0,00082=8,2\\cdot10^{-4}.$$\n\nKui korrutad arvuga `$10^4$`, muutub arv suuremaks. Väikese arvu kirjeldamiseks peab siin olema `$10^{-4}$`.\n\nTeine tüüpviga on jätta esimene tegur standardkujus liiga suureks:\n\n$$72\\cdot10^6$$\n\nei ole standardkuju, sest `$72$` ei ole väiksem kui `$10$`. Standardkuju on\n\n$$7,2\\cdot10^7.$$\n\nKolmas tüüpviga on sulud ära jätta negatiivse arvu astendamisel:\n\n$$(-3)^2=9,\\qquad -3^2=-9.$$\n\nEsimeses avaldises tõstetakse ruutu kogu arv `-3`; teises avaldises tõstetakse ruutu ainult 3 ja miinus jääb ette.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Lihtsusta `$2^5\\cdot2^3$`.\n2. Lihtsusta `$\\frac{7^6}{7^2}$`.\n3. Kirjuta standardkujus `$0,00082$`.\n4. Kirjuta tavakujus `$6,4\\cdot10^3$`.\n\n### Rakendus\n\n5. Leia `$\\sqrt{81}$`.\n6. Kirjuta standardkujus `$53\\,000\\,000$`.\n7. Kirjuta standardkujus `$0,000031$`.\n8. Arvuta `$(-4)^2$` ja `$-4^2$`.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n9. Kirjuta tavakujus `$4,7\\cdot10^{-3}$`.\n10. Paranda viga: `$0,006=6\\cdot10^3$`.\n11. Miks `$18,2\\cdot10^5$` ei ole standardkuju?\n12. Maa läbimõõt on ligikaudu `$12\\,700$` km. Kirjuta see standardkujus.\n\n## Vastused\n\n1. `$2^8=256$`, sest sama alusega astmete korrutamisel astendajad liituvad.\n2. `$7^4$`, sest jagamisel astendajad lahutuvad: `$6-2=4$`.\n3. `$8,2\\cdot10^{-4}$`, sest koma liigub arvuni 8,2 neli kohta paremale.\n4. `$6400$`, sest `$10^3$` nihutab koma kolm kohta paremale.\n5. `$9$`, sest `$9^2=81$`.\n6. `$5,3\\cdot10^7$`, seega arv on kümnete miljonite suurusjärgus.\n7. `$3,1\\cdot10^{-5}$`, sest arv on väiksem kui üks ja koma liigub 5 kohta paremale.\n8. `$(-4)^2=16$`, aga `$-4^2=-16$`; sulud näitavad, kas ruutu tõstetakse ka miinus.\n9. `$0,0047$`, sest `$10^{-3}$` nihutab koma kolm kohta vasakule.\n10. Õige on `$0,006=6\\cdot10^{-3}$`, sest algne arv on väike.\n11. Esimene tegur peab olema vähemalt 1 ja väiksem kui 10. Õige standardkuju on `$1,82\\cdot10^6$`.\n12. `$1,27\\cdot10^4$` km, suurusjärk on kümned tuhanded kilomeetrid.\n\n## Seosed\n\nAstmeid kasutatakse teaduslikus kirjaviisis, geomeetrias, funktsioonides, eksponentkasvus ja logaritmides. Järgmine arvude peatükk kasutab neid ka arvuhulkade ja reaalarvude eristamisel, näiteks `$\\sqrt2$` kaudu.\n" }, { "id": "arvud.arvuhulgad-ja-reaalarvud", "title": "Arvuhulgad ja reaalarvud", "strand": "10-arvud", "order": "10.60", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 7, "main": 9, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 3, "module_tags": [ "concept" ], "prerequisites": [ "arvud.murrud-ja-kumnendmurrud", "arvud.negatiivsed-arvud" ], "review_modules": [ "arvud.kumnendsusteem-ja-umardamine", "arvud.jaguvus-algarvud-sut" ], "extension_modules": [ "algebra.vorratused-ja-vahemikud" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-7", "klass-9", "klass-10", "klass-12" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/10-arvud/10.60-arvuhulgad-ja-reaalarvud.md", "source_sha256": "51ca13505ba9d9204928795b85fe1841addf3193ff28dbc51d031568e00248b0", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/10.60-arvuhulgad-ja-reaalarvud.html", "content_markdown": "# Arvuhulgad ja reaalarvud\n\n## Mõiste\n\nArvuhulk on arvude rühm. Sama arv võib kuuluda mitmesse rühma korraga. Põhilised arvuhulgad on:\n\nEeldus: oskad töötada murdude, kümnendmurdude ja negatiivsete arvudega ning tead, et sama arvu saab vahel kirjutada mitmel kujul.\n\n- `$\\mathbb{N}$` naturaalarvud: `$1, 2, 3, 4, \\ldots$`; mõnes kokkuleppes ka `$0, 1, 2, 3, \\ldots$`;\n- `$\\mathbb{Z}$` täisarvud: `$\\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \\ldots$`;\n- `$\\mathbb{Q}$` ratsionaalarvud: kõik arvud, mida saab kirjutada kahe täisarvu jagatisena `$\\frac ab$`, kus `$b\\ne0$`; näiteks `$\\frac12$`, `$-\\frac34$`, `$-3$`, `$0,25$`;\n- `$\\mathbb{R}$` reaalarvud: kõik arvtelje punktid, näiteks `$\\frac12$`, `$-3$`, `$\\sqrt2$`, `$\\pi$`.\n\nReaalarvud ei ole eraldi “uus kast ainult uutele arvudele”: sinna kuuluvad ka kõik eelnevate hulkade arvud.\n\nNeed hulgad sisalduvad üksteises:\n\n$$\\mathbb{N}\\subset\\mathbb{Z}\\subset\\mathbb{Q}\\subset\\mathbb{R}.$$\n\n![Arvuhulkade sisaldumine](assets/number-sets.svg \"Arvuhulgad sisalduvad üksteises: naturaalarvud täisarvudes, täisarvud ratsionaalarvudes ja ratsionaalarvud reaalarvudes.\")\n\nSee tähendab, et iga naturaalarv on ka täisarv, iga täisarv on ka ratsionaalarv ja iga ratsionaalarv on ka reaalarv. Reaalarvude hulka kuuluvad lisaks irratsionaalarvud, mis ei kuulu ratsionaalarvude hulka.\n\nTäisarvud kuuluvad ka ratsionaalarvude hulka, sest näiteks `$-3=\\frac{-3}{1}$`. Sama ratsionaalarvu saab sageli kirjutada mitme murruna: näiteks `$\\frac12$`, `$\\frac24$` ja `$\\frac48$` tähistavad sama arvu. Üldiselt tähistavad murrud `$\\frac ab$` ja `$\\frac cd$` sama ratsionaalarvu, kui `$a\\cdot d=b\\cdot c$`.\n\nMurd on kirjutusviis; arv on väärtus, mida see kirjutusviis tähistab.\n\nMõnda ratsionaalarvu saab kirjutada lõpmatu perioodilise kümnendmurruna: näiteks `$\\frac13=0,333\\ldots$`. Irratsionaalarvu ei saa kahe täisarvu jagatisena kirjutada, näiteks `$\\sqrt2$` ja `$\\pi$`.\n\n![Arvtelg arvude järjestamiseks](assets/number-line.svg \"Arvtelg aitab näha arvude järjestust ja kaugust nullist.\")\n\n## Näide\n\nArv `-5` on täisarv ja seega ka ratsionaalarv ning reaalarv. Arv `0,25` on ratsionaalarv ja seega ka reaalarv, sest\n\n$$0,25=\\frac14.$$\n\nKuuluvust saab kontrollida tabelina:\n\n| Arv | `$\\mathbb{N}$` | `$\\mathbb{Z}$` | `$\\mathbb{Q}$` | `$\\mathbb{R}$` | Põhjus |\n| --- | --- | --- | --- | --- | --- |\n| `$7$` | jah | jah | jah | jah | naturaalarv |\n| `$-5$` | ei | jah | jah | jah | täisarv ja `$\\frac{-5}{1}$` |\n| `$\\frac34$` | ei | ei | jah | jah | kahe täisarvu jagatis |\n| `$0,25$` | ei | ei | jah | jah | `$0,25=\\frac14$` |\n| `$\\sqrt2$` | ei | ei | ei | jah | irratsionaalarv |\n| `$\\pi$` | ei | ei | ei | jah | irratsionaalarv |\n\nVastus: tabelis kuuluvad kõik arvud reaalarvude hulka, aga naturaalarvude hulka ainult `$7$`.\n\n## Tüüpviga\n\nLõpmatu kümnendmurd ei ole automaatselt irratsionaalne. Näiteks `$0,333\\ldots=\\frac13$`.\n\nTeine tüüpviga on arvata, et iga ruutjuurega arv on irratsionaalne. Näiteks `$\\sqrt2$` on irratsionaalarv, aga `$\\sqrt9=3$` on naturaalarv.\n\nKolmas tüüpviga on märkida arv ainult kõige väiksemasse hulka. Kui arv `$7$` on naturaalarv, siis ta kuulub ka hulkadesse `$\\mathbb{Z}$`, `$\\mathbb{Q}$` ja `$\\mathbb{R}$`.\n\nPraktiline kontroll: leia kõige kitsam sobiv hulk, siis lisa kõik sellest suuremad hulgad. Näiteks `$-5$` algab täisarvudest, aga kuulub edasi ka ratsionaal- ja reaalarvudesse.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Millistesse arvuhulkadesse kuulub `-7`?\n2. Kirjuta `0,125` hariliku murruna.\n\n### Rakendus\n\n3. Too üks irratsionaalarvu näide.\n4. Millistesse arvuhulkadesse kuulub `$\\frac56$`?\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n5. Kas `$\\sqrt9$` on irratsionaalarv?\n6. Millistesse hulkadesse kuulub arv `$\\frac{7}{2}$`?\n7. Kas `$\\frac48$` ja `$\\frac12$` tähistavad sama ratsionaalarvu? Põhjenda.\n8. Millistesse hulkadesse kuulub arv `$0$`, kui sinu kokkuleppes `$0\\notin\\mathbb{N}$`?\n\n## Vastused\n\n1. `$\\mathbb{Z}$`, `$\\mathbb{Q}$` ja `$\\mathbb{R}$`, sest `$-7=\\frac{-7}{1}$`.\n2. `$0,125=\\frac18$`, seega arv on ratsionaalne.\n3. Näiteks `$\\sqrt2$` või `$\\pi$`, sest neid ei saa kahe täisarvu jagatisena kirjutada.\n4. `$\\mathbb{Q}$` ja `$\\mathbb{R}$`, sest `$\\frac56$` on kahe täisarvu jagatis.\n5. Ei. `$\\sqrt9=3$`, seega see on naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv ja reaalarv.\n6. `$\\mathbb{Q}$` ja `$\\mathbb{R}$`, sest `$\\frac72=3,5$` ei ole täisarv.\n7. Jah, sest `$4\\cdot2=8\\cdot1$`; mõlemad tähistavad arvu `$\\frac12$`.\n8. Siis `$0\\in\\mathbb{Z}$`, `$0\\in\\mathbb{Q}$` ja `$0\\in\\mathbb{R}$`, sest `$0=\\frac01$`; valitud kokkuleppes ei ole ta naturaalarv.\n\n## Seosed\n\nArvuhulgad annavad keele, millega hiljem kirjeldada lahendeid: võrrandi lahend võib olla naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv või ainult reaalarv. Järgmistes mõõtmise ja geomeetria peatükkides ilmuvad reaalarvud näiteks pikkuste, pindalade ja ruutjuurte kaudu.\n" }, { "id": "arvud.ruutjuur-ja-juuravaldised", "title": "Ruutjuur ja juuravaldised", "strand": "10-arvud", "order": "10.65", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 9, "main": 9, "end": 11, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 3, "module_tags": [ "concept", "skill" ], "prerequisites": [ "arvud.astmed-juured-standardkuju", "arvud.arvuhulgad-ja-reaalarvud" ], "review_modules": [], "extension_modules": [ "arvud.n-es-juur-ja-ratsionaalarvuline-aste", "algebra.ruutvorrand" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-9", "klass-10" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/10-arvud/10.65-ruutjuur-ja-juuravaldised.md", "source_sha256": "d51ae36a94b5d3d8898d6a7191b765b1dd902723123e8d6294c22c5f8b27c094", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/10.65-ruutjuur-ja-juuravaldised.html", "content_markdown": "# Ruutjuur ja juuravaldised\n\n## Mõiste\n\n**Milline arv annab iseendaga korrutades 9?** Arv 3, sest $3\\cdot3=9$.\nSelle kirjutame ruutjuure märgiga:\n\n$$\\sqrt9=3.$$\n\nRuutjuurimine on ruutu tõstmise pöördtehe nulli ja positiivsete arvude korral:\n$3^2=9$ ning $\\sqrt9=3$. Samuti $\\sqrt0=0$.\n\nKuigi ka $(-3)^2=9$, tähistab $\\sqrt9$ ainult arvu 3.\nRuutjuure märk annab alati nulli või positiivse arvu.\n\nÜldiselt on arvu $a\\ge0$ **aritmeetiline ruutjuur** $\\sqrt a$ see mittenegatiivne arv,\nmille ruut on $a$. Negatiivsest arvust reaalarvulist ruutjuurt ei saa.\n\nEeldus: oskad astendada, tunned reaalarve ja leiad taskuarvutiga kümnendlähendi.\n\nRuutjuure märk annab ühe mittenegatiivse väärtuse. Võrrandil `$x^2=49$` on aga kaks lahendit, `$x=7$` ja `$x=-7$`, sest mõlema ruut on 49.\n\nKui $a,b\\ge0$, siis $\\sqrt{ab}=\\sqrt a\\sqrt b$.\nJagatise puhul peab lisaks olema $b>0$:\n\n$$\\sqrt{\\frac ab}=\\frac{\\sqrt a}{\\sqrt b}.$$\n\nNeed reeglid lubavad täisruudu juuremärgi alt välja tuua. Näiteks `$72=36\\cdot2$`, seega `$\\sqrt{72}=6\\sqrt2$`.\n\n![Ruut küljega a](assets/square.svg \"Ruudu pindala seos `$S=a^2$` näitab, et pindala järgi saab külje leida ruutjuurega `$a=\\sqrt S$`.\")\n\n## Näide\n\nLihtsustame ja hindame avaldist `$\\sqrt{72}$`.\n\n$$\\sqrt{72}=\\sqrt{36\\cdot2}=\\sqrt{36}\\sqrt2=6\\sqrt2.$$\n\nSajandikeni ümardamiseks säilitame vahearvutuses rohkem kümnendkohti:\n\n$$6\\sqrt2=8,485281\\ldots\\approx8,49.$$\n\nKontroll: `$8^2<72<9^2$`, mistõttu peab tulemus jääma 8 ja 9 vahele. Täpne vastus on `$6\\sqrt2$`, kümnendlähend on umbes `8,49`.\n\n## Tüüpviga\n\nRuutjuur ei jaotu summa liikmete vahel:\n\n$$\\sqrt{9+16}=5,\\qquad \\sqrt9+\\sqrt{16}=7.$$\n\nTeine tüüpviga on kirjutada `$\\sqrt{25}=\\pm5$`. Õige on `$\\sqrt{25}=5$`; märk `$\\pm$` tekib võrrandi `$x^2=25$` lahendamisel.\n\nKolmas tüüpviga on kümnendlähendit pimesi uskuda. Võrdle tulemust alati naaberruutudega: kui `$25<30<36$`, siis `$5<\\sqrt{30}<6$`.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Leia `$\\sqrt{121}$`.\n2. Milliste täisarvude vahel asub `$\\sqrt{50}$`?\n\n### Rakendus\n\n3. Lihtsusta `$\\sqrt{48}$`.\n4. Arvuta `$\\sqrt{18}\\cdot\\sqrt2$`.\n5. Leia `$\\sqrt{\\frac{81}{16}}$`.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n6. Ruudu pindala on `200 cm²`. Leia külje täpne pikkus ja kümnendlähend.\n7. Paranda viga: `$\\sqrt{4+5}=\\sqrt4+\\sqrt5$`.\n8. Selgita, miks võrrandil `$x^2=36$` on kaks lahendit, kuid `$\\sqrt{36}$` on üks arv.\n\n## Vastused\n\n1. `11`, sest `$11^2=121$`.\n2. 7 ja 8 vahel, sest `$7^2=49<50<64=8^2$`.\n3. `$\\sqrt{16\\cdot3}=4\\sqrt3$`.\n4. `$\\sqrt{36}=6$`.\n5. `$\\frac94$`, sest ruutjuur võetakse lugejast ja nimetajast.\n6. `$a=\\sqrt{200}=10\\sqrt2\\approx14,14$` cm.\n7. Vasak pool on `$\\sqrt9=3$`, parem pool `$2+\\sqrt5$`; ruutjuur ei jaotu summa vahel.\n8. Nii 6 kui ka `-6` annavad ruutu tõstes 36. Sümbol `$\\sqrt{36}$` tähistab kokkuleppeliselt mittenegatiivset juurt 6.\n\n## Seosed\n\nJuuravaldised valmistavad ette ruutvõrrandi lahendivalemit, Pythagorase teoreemi ja täpsete pikkuste esitamist. Järgmises algebraplokis otsustad lisaks, millal ruutjuure võtmisel tuleb arvestada kahe märgiga.\n" }, { "id": "arvud.n-es-juur-ja-ratsionaalarvuline-aste", "title": "n-es juur ja ratsionaalarvuline aste", "strand": "10-arvud", "order": "10.70", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 10, "main": 10, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "concept", "skill" ], "prerequisites": [ "arvud.ruutjuur-ja-juuravaldised", "arvud.arvuhulgad-ja-reaalarvud" ], "review_modules": [ "arvud.astmed-juured-standardkuju" ], "extension_modules": [ "algebra.murd-ja-juurvorrandid" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-10" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/10-arvud/10.70-n-es-juur-ja-ratsionaalarvuline-aste.md", "source_sha256": "da0ef8db3cd16414da040d52913f81f9a167140cb0951e90ce6e6200b5ea5296", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/10.70-n-es-juur-ja-ratsionaalarvuline-aste.html", "content_markdown": "# n-es juur ja ratsionaalarvuline aste\n\n## Mõiste\n\nArvu `$a$` **n-es juur** on arv, mille `$n$`-s aste on `$a$`. Seda märgitakse `$\\sqrt[n]{a}$`.\n\nEeldus: oskad arvutada astmeid, tunned ruutjuure tähendust ja eristad peajuurt võrrandi kahest võimalikust lahendist.\n\n- Kui `$n$` on paarisarv, peab reaalarvulise juure korral olema `$a\\ge 0$` ning `$\\sqrt[n]{a}$` tähistab mittenegatiivset peajuurt.\n- Kui `$n$` on paaritu, võib `$a$` olla ka negatiivne: `$\\sqrt[3]{-8}=-2$`.\n\nRatsionaalarvulise astendajaga aste seob astme ja juure:\n\n$$a^{\\frac mn}=\\sqrt[n]{a^m}=\\left(\\sqrt[n]{a}\\right)^m.$$\n\nKui juurija `$n$` on paarisarv, kasutame reaalarvudes `$a\\ge0$`. Negatiivse astendaja korral peab lisaks olema `$a\\ne0$`.\n\n![Juure ja ratsionaalarvulise astme seos](assets/rational-power-root.svg \"Avaldis `$a^{m/n}$` tähendab, et n-es juur ja m-es aste rakendatakse samale positiivsele arvule.\")\n\nOlulised seosed sobivate määramispiirangute korral:\n\n$$a^{-r}=\\frac1{a^r},\\qquad \\sqrt[n]{ab}=\\sqrt[n]a\\sqrt[n]b.$$\n\nPaarisarvulise juure puhul tuleb tähele panna absoluutväärtust:\n\n$$\\sqrt{x^2}=|x|,\\qquad \\sqrt[4]{x^4}=|x|.$$\n\n## Näide\n\nArvutame\n\n$$32^{\\frac35}=\\left(\\sqrt[5]{32}\\right)^3=2^3=8.$$\n\nNegatiivne astendaja annab pöördarvu:\n\n$$\n27^{-\\frac23}=\\frac1{27^{2/3}}=\\frac1{(\\sqrt[3]{27})^2}=\\frac19.\n$$\n\nLihtsustame avaldise:\n\n$$\\sqrt[4]{81x^4}=\\sqrt[4]{3^4x^4}=3|x|.$$\n\nVastus: väärtused on vastavalt `$8$`, `$\\frac19$` ja `$3|x|$`.\n\n## Tüüpviga\n\nTüüpviga on kirjutada `$\\sqrt{x^2}=x$`. Kui `$x=-4$`, oleks parem pool negatiivne, kuid peajuur ei ole negatiivne. Õige on `$\\sqrt{x^2}=|x|$`.\n\nTeine tüüpviga on unustada negatiivse astendaja pöördarv: `$a^{-2}=\\frac1{a^2}$`, mitte `$-a^2$`.\n\nKolmas tüüpviga on võtta paarisarvulist juurt negatiivsest arvust reaalarvude hulgas. `$\\sqrt[4]{-16}$` ei ole reaalarv.\n\n::: student-hint Kui vajad abi\nKirjuta murdastendaja puhul nimetaja juure indeksiks ja lugeja astendajaks. Negatiivse astendaja korral tee lõpus pöördarv.\n:::\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Arvuta `$16^{1/2}$`.\n2. Arvuta `$27^{1/3}$`.\n3. Arvuta `$16^{3/4}$`.\n\n### Rakendus\n\n4. Kirjuta `$\\sqrt[5]{x^2}$` astmena.\n5. Arvuta `$8^{-2/3}$`.\n6. Lihtsusta `$\\sqrt[4]{16y^4}$`.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Miks on `$\\sqrt[3]{-27}$` reaalarv, aga `$\\sqrt[4]{-16}$` ei ole?\n8. Leia viga väites `$\\sqrt{(-5)^2}=-5$` ja paranda see.\n\n## Vastused\n\n1. `$4$`, sest `$4^2=16$` ja peajuur on mittenegatiivne.\n2. `$3$`, sest `$3^3=27$`.\n3. `$8$`, sest `$(\\sqrt[4]{16})^3=2^3$`.\n4. `$x^{2/5}$` sobiva määramispiirkonna korral.\n5. `$\\frac14$`, sest `$8^{2/3}=(\\sqrt[3]8)^2=4$`.\n6. `$2|y|$`, sest paarisarvuline juur annab `$\\sqrt[4]{y^4}=|y|$`.\n7. Paaritu aste säilitab arvu märgi, kuid paarisarvuline aste ei saa reaalarvude hulgas olla negatiivne.\n8. `$\\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$`; ruutjuure märk tähistab mittenegatiivset peajuurt.\n\n## Seosed\n\nRatsionaalarvuline aste on vajalik juuravaldiste, juurvõrrandite, eksponentfunktsiooni ja logaritmi õppimisel. Järgmine algebra peatükk kasutab samu määramispiiranguid võrrandite lahendamisel.\n" }, { "id": "mootmine.uhikud-ja-mootmine", "title": "Ühikud ja mõõtmine", "strand": "20-mootmine", "order": "20.10", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 1, "main": 4, "end": 8, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "I kooliaste", "II kooliaste", "III kooliaste" ], "difficulty": 1, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "arvud.kumnendsusteem-ja-umardamine", "arvud.naturaalarvud-ja-tehted" ], "review_modules": [], "extension_modules": [ "geomeetria-alused.punkt-sirge-nurk" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/20-mootmine/20.10-uhikud-ja-mootmine.md", "source_sha256": "0f0f693061ab4f4b1c739a398d6c3bb0235e0419a8fe39c8d721ee314a673a3b", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/20.10-uhikud-ja-mootmine.html", "content_markdown": "# Ühikud ja mõõtmine\n\n## Mõiste\n\nMõõtmine tähendab võrdlemist kindla ühikuga. Kui laud on 2 meetrit pikk, mahub meetripikkune lõik laua pikkusesse kaks korda.\n\nEeldus: oskad korrutada ja jagada arvudega 10, 100 ja 1000 ning saad aru, et sama suurust saab kirjutada eri ühikutes.\n\n## Olulised teisendused\n\n| Suurus | Näited |\n| --- | --- |\n| pikkus | `$1\\text{ km}=1000\\text{ m}$`, `$1\\text{ m}=100\\text{ cm}$`, `$1\\text{ cm}=10\\text{ mm}$` |\n| mass | `$1\\text{ kg}=1000\\text{ g}$`, `$1\\text{ t}=1000\\text{ kg}$` |\n| aeg | `$1\\text{ h}=60\\text{ min}$`, `$1\\text{ min}=60\\text{ s}$` |\n| maht | `$1\\text{ l}=1000\\text{ ml}$`, `$1\\text{ dm}^3=1\\text{ l}$` |\n\nSama suurus jääb samaks, aga arv muutub: väiksemas ühikus rohkem, suuremas vähem.\n\n![Ühikute teisendamise suunad](assets/unit-conversion.svg \"Ühikute teisendamisel korrutatakse suuremast ühikust väiksemasse liikudes ja jagatakse väiksemast suuremasse liikudes.\")\n\nEnne teisendamist nimeta lähteühik ja sihtühik. Otsusta suund: meetrist sentimeetriks minnes on ühik väiksem ja arvu rohkem.\n\n$$3,4\\text{ km}=3400\\text{ m},\\qquad 250\\text{ cm}=2,5\\text{ m}.$$\n\nKontrollküsimus: kas sama asi mõõdetakse väiksema ühikuga? Kui jah, peab ühikuid olema rohkem.\n\nÜtle ka mõõdetav suurus: pikkus, mass, aeg, pindala, ruumala või maht. Sama arv võib eri suuruste juures tähendada eri asja.\n\n| Teisendus | Suund | Arvuga tehakse |\n| --- | --- | --- |\n| `$4,2\\text{ m}\\to\\text{ cm}$` | suuremast väiksemasse | korruta 100-ga |\n| `$8500\\text{ g}\\to\\text{ kg}$` | väiksemast suuremasse | jaga 1000-ga |\n| `$2,5\\text{ h}\\to\\text{ min}$` | tunnist minutiks | korruta 60-ga |\n| `$180\\text{ s}\\to\\text{ min}$` | sekundist minutiks | jaga 60-ga |\n\nPindalaühikutes muutub ruut:\n\n$$1\\text{ m}^2=100\\text{ cm}\\cdot100\\text{ cm}=10\\,000\\text{ cm}^2.$$\n\nRuumalaühikutes muutub kuup:\n\n$$1\\text{ m}^3=100\\text{ cm}\\cdot100\\text{ cm}\\cdot100\\text{ cm}=1\\,000\\,000\\text{ cm}^3.$$\n\nPikkuse, pindala ja ruumala kordajad erinevad: mõõtmeid on üks, kaks või kolm.\n\n| Kui `$1\\text{ m}=100\\text{ cm}$` | Kordaja |\n| --- | ---: |\n| `$1\\text{ m}=100\\text{ cm}$` | `$100$` |\n| `$1\\text{ m}^2=100^2\\text{ cm}^2$` | `$10\\,000$` |\n| `$1\\text{ m}^3=100^3\\text{ cm}^3$` | `$1\\,000\\,000$` |\n\nSamamoodi detsimeetritega:\n\n| Teisendus | Tulemus |\n| --- | --- |\n| `$1\\text{ m}=10\\text{ dm}$` | pikkus: kordaja 10 |\n| `$1\\text{ m}^2=100\\text{ dm}^2$` | pindala: kordaja `$10^2$` |\n| `$1\\text{ m}^3=1000\\text{ dm}^3$` | ruumala: kordaja `$10^3$` |\n\n## Näide\n\n3,4 km meetrites:\n\n$$3,4\\cdot1000=3400\\text{ m}.$$\n\n0,75 kg grammides:\n\n$$0,75\\cdot1000=750\\text{ g}.$$\n\n2,5 m² ruutsentimeetrites:\n\n$$2,5\\text{ m}^2=2,5\\cdot10\\,000=25\\,000\\text{ cm}^2.$$\n\n0,003 m³ liitrites:\n\n$$1\\text{ m}^3=1000\\text{ dm}^3=1000\\text{ l},$$\n\nseega\n\n$$0,003\\text{ m}^3=0,003\\cdot1000=3\\text{ l}.$$\n\nVastus: `$3400\\text{ m}$`, `$750\\text{ g}$`, `$25\\,000\\text{ cm}^2$`, `$3\\text{ l}$`.\n\n## Tüüpviga\n\nÜhikute teisendamisel peab teadma, kas liigud suuremast ühikust väiksemasse või vastupidi.\n\nEriti ettevaatlik tuleb olla ruut- ja kuupühikutega. Kuna `$1\\text{ m}=100\\text{ cm}$`, siis ei ole `$1\\text{ m}^2=100\\text{ cm}^2$`. Õige on\n\n$$1\\text{ m}^2=10\\,000\\text{ cm}^2.$$\n\nTeine levinud viga on segada mahuühikuid ja ruumalaühikuid. Pea meeles:\n\n$$1\\text{ l}=1\\text{ dm}^3,\\qquad 1\\text{ ml}=1\\text{ cm}^3.$$\n\nSeetõttu on `$2\\text{ l}=2\\text{ dm}^3=2000\\text{ cm}^3$`.\n\nKolmas tüüpviga on ajaühikuid teisendada nagu kümnendsüsteemi. Ühes tunnis ei ole 100 minutit, vaid 60 minutit; ühes minutis on 60 sekundit.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Teisenda `$4,2\\text{ m}$` sentimeetriteks.\n2. Teisenda `$8500\\text{ g}$` kilogrammideks.\n3. Teisenda `$2\\text{ h }15\\text{ min}$` minutiteks.\n4. Teisenda `$3\\text{ m}^2$` ruutsentimeetriteks.\n\n### Rakendus\n\n5. Teisenda `$0,5\\text{ m}^3$` kuupsentimeetriteks.\n6. Teisenda `$0,75\\text{ km}$` meetriteks.\n7. Teisenda `$125\\text{ cm}$` meetriteks.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n8. Teisenda `$4\\text{ m}^2$` ruutdetsimeetriteks.\n9. Teisenda `$6\\text{ l}$` kuupsentimeetriteks.\n10. Selgita, miks `$1\\text{ m}^2$` ei võrdu `$100\\text{ cm}^2$`.\n11. Vali mõistlik ühik: klassiruumi pikkus, õuna mass, vihiku pindala, veepudeli maht.\n\n## Vastused\n\n1. `$4,2\\text{ m}=420\\text{ cm}$`, sest meetrist sentimeetriks minnes korrutad 100-ga.\n2. `$8500\\text{ g}=8,5\\text{ kg}$`, sest grammist kilogrammiks minnes jagad 1000-ga.\n3. `$2\\text{ h}=120\\text{ min}$`, seega kokku `$135\\text{ min}$`.\n4. `$30\\,000\\text{ cm}^2$`, sest ruutmeetri kordaja on `$100^2=10\\,000$`.\n5. `$0,5\\cdot1\\,000\\,000=500\\,000\\text{ cm}^3$`.\n6. `$750\\text{ m}$`, sest kilomeeter on meetrist 1000 korda suurem.\n7. `$1,25\\text{ m}$`, sest sentimeetrist meetriks minnes jagad 100-ga.\n8. `$400\\text{ dm}^2$`.\n9. `$6\\text{ l}=6000\\text{ cm}^3$`.\n10. Meeter koosneb 100 sentimeetrist mõlemas suunas, seega ruudus on `$100\\cdot100=10\\,000$` ruutsentimeetrit.\n11. Näiteks klassiruumi pikkus meetrites, õuna mass grammides, vihiku pindala ruutsentimeetrites, veepudeli maht liitrites või milliliitrites.\n\n## Seosed\n\nMõõtmine on vajalik geomeetrias, füüsikas, protsentülesannetes ja mudelites. Järgmine samm on pindala ja ruumala: seal ei piisa enam ühiku teisendamisest, vaid tuleb valida ka kujundile või kehale sobiv valem.\n" }, { "id": "mootmine.pindala-ja-ruumala", "title": "Pindala ja ruumala", "strand": "20-mootmine", "order": "20.20", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 4, "main": 7, "end": 10, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "II kooliaste", "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 2, "module_tags": [ "skill", "application" ], "prerequisites": [ "mootmine.uhikud-ja-mootmine", "geomeetria-alused.kolmnurgad-ja-nelinurgad" ], "review_modules": [ "arvud.murrud-ja-kumnendmurrud", "geomeetria-alused.punkt-sirge-nurk" ], "extension_modules": [ "geomeetria-suvendus.ruumigeomeetria" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-7", "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/20-mootmine/20.20-pindala-ja-ruumala.md", "source_sha256": "79281ec5988aec9feb8fa02032fdb1c8a933cf4e1d5771e483766b1650c4c351", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/20.20-pindala-ja-ruumala.html", "content_markdown": "# Pindala ja ruumala\n\n## Mõiste\n\nPindala mõõdab pinda. Ruumala mõõdab mahtu.\n\nEeldus: tunned ühikuid, korrutamist, jagamist, külge, kõrgust, pinda ja serva.\n\nEnne valemit otsusta:\n\n| Küsimus | Otsitav suurus | Ühik |\n| --- | --- | --- |\n| Kui pikk on äär? | ümbermõõt | cm, m, km |\n| Kui suur pind kaetakse? | pindala | cm², m² |\n| Kui palju mahub sisse? | ruumala | cm³, m³, l |\n\n## Valemid\n\n### Pindala\n\nValemites tähistavad $a,b,h,r$ ja $d_1,d_2$ pikkusi. Väljenda need enne arvutamist samas mõõtühikus. Kõrgus $h$ mõõdetakse alusega risti, mitte mööda kaldkülge.\n\n| Kujund | Valem | Tähendus |\n| --- | --- | --- |\n| ristkülik | `$S=ab$` | `$a$` ja `$b$` on naaberkülgede pikkused |\n| ruut | `$S=a^2$` | `$a$` on külje pikkus |\n| kolmnurk | `$S=\\frac{ah}{2}$` | `$a$` on aluse pikkus, `$h$` sellele alusele vastav kõrgus |\n| rööpkülik | `$S=ah$` | `$a$` on aluse pikkus, `$h$` sellele alusele vastav kõrgus |\n| trapets | `$S=\\frac{(a+b)h}{2}$` | `$a$` ja `$b$` on paralleelsete aluste pikkused, `$h$` nende vaheline kaugus |\n| romb | `$S=\\frac{d_1d_2}{2}$` | `$d_1$` ja `$d_2$` on diagonaalide pikkused |\n| ring | `$S=\\pi r^2$` | `$r$` on raadiuse pikkus |\n\n![Kolmnurga pindala joonis](assets/triangle-area.svg \"Kolmnurga pindala on pool sama aluse ja kõrgusega ristküliku pindalast.\")\n\n![Kolmnurk ja seda ümbritsev ristkülik](assets/triangle-area-in-rectangle.svg \"Heleda punktiiriga ristkülikul ja kolmnurgal on sama alus a ja kõrgus h; kolmnurga pindala on pool ristküliku pindalast.\")\n\n![Ristkülik.](assets/rectangle.svg \"Ristküliku pindala on kahe külje pikkuste korrutis.\")\n\n![Ruut.](assets/square.svg \"Ruudu pindala on ühe külje pikkuse ruut.\")\n\n![Trapetsi pindala joonis](assets/trapezoid.svg \"Trapetsi pindala sõltub kahe aluse summast ja kõrgusest.\")\n\n### Ruumala\n\n| Keha | Valem | Tähendus |\n| --- | --- | --- |\n| risttahukas | `$V=abc$` | `$a,b,c$` on ühest tipust lähtuvate servade pikkused |\n| kuup | `$V=a^3$` | `$a$` on serva pikkus |\n| prisma | `$V=S_p h$` | `$S_p$` on põhja pindala, `$h$` põhjade vaheline kaugus |\n| silinder | `$V=\\pi r^2h$` | `$r$` on põhja raadius, `$h$` põhjade vaheline kaugus |\n\nVälispind tähendab pindala, mahutavus ruumala.\n\n![Risttahukas.](assets/cuboid.svg \"Risttahuka ruumala on pikkuse, laiuse ja kõrguse korrutis.\")\n\n![Kuup.](assets/cube.svg \"Kuubi ruumala leitakse serva pikkust kuupi tõstes.\")\n\n![Silinder.](assets/cylinder.svg \"Silindri ruumala on põhja pindala korda kõrgus.\")\n\n## Näide\n\nRistküliku küljed on 4 cm ja 7 cm. Pindala on\n\n$$S=4\\cdot7=28\\text{ cm}^2.$$\n\nKui risttahuka mõõtmed on 2 cm, 3 cm ja 5 cm, siis\n\n$$V=2\\cdot3\\cdot5=30\\text{ cm}^3.$$\n\nKolmnurga alus on 8 cm ja kõrgus 5 cm. Pindala on\n\n$$S=\\frac{8\\cdot5}{2}=20\\text{ cm}^2.$$\n\nVastus: `$28\\text{ cm}^2$`, `$30\\text{ cm}^3$` ja `$20\\text{ cm}^2$`.\n\n## Tüüpviga\n\nPindalaühikud on ruutühikud, näiteks `cm²`. Ruumalaühikud on kuupühikud, näiteks `cm³`.\n\nKolmnurgas peavad alus ja kõrgus olema risti.\n\nÄra aja pindala ja ümbermõõtu segi: vaip vajab pindala, liist ümbermõõtu.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Leia ristküliku pindala, kui küljed on 6 cm ja 9 cm.\n2. Leia kolmnurga pindala, kui alus on 10 cm ja kõrgus 7 cm.\n3. Kas otsitakse pikkust, pindala või ruumala: karbi maht; aia pikkus; laua katmiseks vajalik lina?\n\n### Rakendus\n\n4. Leia kuubi ruumala, kui serv on 4 cm.\n5. Leia silindri ruumala, kui `$r=3$` cm ja `$h=5$` cm.\n6. Ristkülikukujuline tuba on 5 m pikk ja 4 m lai. Kui suur on põranda pindala?\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Miks ei sobi ruumala vastuseks `$\\text{cm}^2$`?\n8. Risttahuka mõõtmed on 2 cm, 4 cm ja 6 cm. Leia ruumala.\n9. Kolmnurga pindala on 24 cm² ja alus 8 cm. Leia kõrgus.\n10. Põranda pindala on 20 m². Kas sellest piisab, et leida toa ümbermõõt? Põhjenda.\n11. Karpi täidetakse liivaga ja kaetakse paberiga. Kummal juhul otsid ruumala ja kummal pindala?\n\n## Vastused\n\n1. `$54\\text{ cm}^2$`, sest `$6\\cdot9=54$` ja otsitakse pinda.\n2. `$35\\text{ cm}^2$`, sest kolmnurga pindala on `$\\frac{10\\cdot7}{2}$`.\n3. Karbi maht ehk ruumala; aia pikkus: pikkus; lina: pindala.\n4. `$64\\text{ cm}^3$`, sest kuubi ruumala on `$4^3$`.\n5. `$45\\pi\\text{ cm}^3\\approx141,4\\text{ cm}^3$`, sest silindril `$V=\\pi r^2h$`.\n6. `$5\\cdot4=20\\text{ m}^2$`, sest põrand on ristkülik.\n7. Ruumala mõõdetakse kuupühikutes, näiteks `$\\text{cm}^3$`; `$\\text{cm}^2$` katab pinda, mitte ruumi.\n8. `$2\\cdot4\\cdot6=48\\text{ cm}^3$`, sest risttahukal `$V=abc$`.\n9. Valemist `$24=\\frac{8h}{2}$` saame `$24=4h$`, seega `$h=6$` cm.\n10. Ei piisa alati. Näiteks ristkülikud 4 m × 5 m ja 2 m × 10 m on mõlemad pindalaga 20 m², aga ümbermõõdud on erinevad.\n11. Liivaga täitmisel otsid ruumala; paberiga katmisel otsid välispinna pindala.\n\n## Seosed\n\nPindala ja ruumala seovad arvutamise geomeetria, mõõtkava ja päriseluliste mõõtmistega. Järgmises mõõtkava peatükis kasutatakse sama mõtet: pikkuste mõõtkava ei teisendu pindala mõõtkavaks sama kordajaga.\n" }, { "id": "mootmine.pustprisma", "title": "Püstprisma", "strand": "20-mootmine", "order": "20.25", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 7, "main": 7, "end": 10, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 3, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "mootmine.pindala-ja-ruumala", "geomeetria-alused.kolmnurgad-ja-nelinurgad" ], "review_modules": [ "mootmine.uhikud-ja-mootmine" ], "extension_modules": [ "geomeetria-suvendus.ruumigeomeetria" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-7" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/20-mootmine/20.25-pustprisma.md", "source_sha256": "5ab39ae30af4b188288f83f201c175f8f5bbaab6c2b768923cc41e1d98d00f30", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/20.25-pustprisma.html", "content_markdown": "# Püstprisma\n\n## Mõiste\n\nPrismal on kaks võrdset ja paralleelset põhitahku. Püstprisma külgservad on põhitahkudega risti ning külgtahud on ristkülikud.\n\nEeldus: oskad leida hulknurga pindala ja ümbermõõtu, teisendada pindala- ning ruumalaühikuid ja eristada pindala ruumalast.\n\nPrisma nimi tuleb põhja kujust:\n\n- kolmnurkse püstprisma põhitahud on kolmnurgad;\n- nelinurkse püstprisma põhitahud on nelinurgad.\n\nPrisma tähtsad osad on põhitahud, külgtahud, põhiservad, külgservad, tipud ja kõrgus. Püstprisma kõrgus on kahe põhitahu vaheline kaugus ning võrdub külgserva pikkusega.\n\n![Kolmnurkne püstprisma](assets/triangular-prism.svg \"Kolmnurksel püstprismal on kaks võrdset kolmnurkset põhitahku ja kolm ristkülikukujulist külgtahku.\")\n\nPinnalaotus näitab kõiki tahke tasapinnale laotatuna. Kolmnurkse püstprisma pinnalaotuses on kaks võrdset kolmnurka ja kolm ristkülikut.\n\n## Valemid\n\nKui põhja pindala on `$S_p$`, põhja ümbermõõt `$P_p$` ja prisma kõrgus `$h$`, siis\n\n$$V=S_ph,$$\n\n$$S_{\\text{külg}}=P_ph,$$\n\n$$S_{\\text{täis}}=2S_p+P_ph.$$\n\nRuumala valem mõõdab keha sisse mahtuvat ruumi. Külgpindala liidab ristkülikukujulised külgtahud. Täispindala liidab külgpindalale kaks võrdset põhja.\n\n## Näide\n\nKolmnurkse püstprisma põhja pindala on 12 cm², põhja ümbermõõt 16 cm ja prisma kõrgus 10 cm.\n\nRuumala on\n\n$$V=12\\cdot10=120\\text{ cm}^3.$$\n\nKülgpindala on\n\n$$S_{\\text{külg}}=16\\cdot10=160\\text{ cm}^2.$$\n\nTäispindala on\n\n$$S_{\\text{täis}}=2\\cdot12+160=184\\text{ cm}^2.$$\n\nVastus: ruumala on `$120\\text{ cm}^3$` ja täispindala `$184\\text{ cm}^2$`.\n\n::: student-hint Kui vajad abi\nMärgi joonisel ühe põhja pindala `$S_p$`, põhja ümbermõõt `$P_p$` ja põhjade vaheline kaugus `$h$`. Alles siis vali ruumala või pindala valem.\n:::\n\n## Tüüpviga\n\nTäispindalas on kaks põhja:\n\n$$S_{\\text{täis}}=2S_p+S_{\\text{külg}},$$\n\nmitte `$S_p+S_{\\text{külg}}$`.\n\nTeine tüüpviga on kasutada põhja ümbermõõdu asemel põhja pindala külgpindala leidmisel. Külgtahkude laiused annavad kokku põhja ümbermõõdu, seega `$S_{\\text{külg}}=P_ph$`.\n\nKolmas tüüpviga on ühik: pindala vastus on ruutühikutes, ruumala vastus kuupühikutes.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Mitu põhitahku on püstprismal?\n2. Kolmnurkse püstprisma põhja pindala on 8 cm² ja prisma kõrgus 6 cm. Leia ruumala.\n3. Põhja ümbermõõt on 20 cm ja prisma kõrgus 7 cm. Leia külgpindala.\n\n### Rakendus\n\n4. Põhja pindala on 15 cm², põhja ümbermõõt 18 cm ja prisma kõrgus 8 cm. Leia ruumala ja täispindala.\n5. Nelinurkse püstprisma põhi on ristkülik külgedega 3 cm ja 5 cm. Prisma kõrgus on 10 cm. Leia ruumala.\n6. Kolmnurkse püstprisma pinnalaotuses on mitu kolmnurka ja mitu ristkülikut?\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Püstprisma ruumala on 180 cm³ ja põhja pindala 30 cm². Leia prisma kõrgus.\n8. Kahel püstprismal on sama põhja pindala. Teise prisma kõrgus on esimesest kolm korda suurem. Kuidas võrdlevad nende ruumalad?\n9. Selgita, miks ei piisa täispindala leidmiseks ainult põhja pindalast ja prisma kõrgusest.\n10. Püstprisma külgpindala on 96 cm² ja kõrgus 8 cm. Leia põhja ümbermõõt.\n\n## Vastused\n\n1. Kaks võrdset ja paralleelset põhitahku.\n2. `$V=8\\cdot6=48\\text{ cm}^3$`.\n3. `$S_{\\text{külg}}=20\\cdot7=140\\text{ cm}^2$`.\n4. `$V=15\\cdot8=120\\text{ cm}^3$` ja `$S_{\\text{täis}}=2\\cdot15+18\\cdot8=174\\text{ cm}^2$`.\n5. Põhja pindala on `$3\\cdot5=15\\text{ cm}^2$`, seega `$V=15\\cdot10=150\\text{ cm}^3$`.\n6. Kaks võrdset kolmnurka ja kolm ristkülikut.\n7. `$h=180:30=6\\text{ cm}$`, sest `$V=S_ph$`.\n8. Teise prisma ruumala on kolm korda suurem, sest sama `$S_p$` korral muutub `$V=S_ph$` kõrgusega võrdeliselt.\n9. Külgpindala jaoks on vaja ka põhja ümbermõõtu `$P_p$`; sama pindalaga põhjadel võivad olla erinevad ümbermõõdud.\n10. `$P_p=96:8=12\\text{ cm}$`, sest `$S_{\\text{külg}}=P_ph$`.\n\n::: teacher Õpetaja lisasoovitused\nPalu õppijal näidata mudelil eraldi põhitahku, külgtahku ja prisma kõrgust. Valemivea taga on sageli see, et neid kolme elementi ei eristata.\n:::\n\n## Seosed\n\nPüstprisma ühendab tasandiliste kujundite pindala ruumala ja pinnalaotusega. Hiljem laieneb sama põhja pindala korda kõrguse mõte silindrile ning teiste ruumiliste kehade võrdlemisele.\n" }, { "id": "mootmine.mootkava-ja-proportsioon", "title": "Mõõtkava ja proportsioon", "strand": "20-mootmine", "order": "20.30", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 5, "main": 7, "end": 10, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "II kooliaste", "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 2, "module_tags": [ "skill", "application" ], "prerequisites": [ "arvud.protsendid-suhted-vorded", "mootmine.uhikud-ja-mootmine" ], "review_modules": [ "arvud.kumnendsusteem-ja-umardamine", "arvud.murrud-ja-kumnendmurrud" ], "extension_modules": [ "geomeetria-suvendus.sarnasus-ja-kaudne-mootmine" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/20-mootmine/20.30-mootkava-ja-proportsioon.md", "source_sha256": "ba3e37e37e6d4d479aa87bf38723e7b2095a96c427692830bdb3bf6e39daad59", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/20.30-mootkava-ja-proportsioon.html", "content_markdown": "# Mõõtkava ja proportsioon\n\n## Mõiste\n\nMõõtkava näitab, mitu korda on joonis tegelikkusest väiksem või suurem. `1 : 50 000` tähendab, et 1 cm kaardil vastab 50 000 cm tegelikkuses.\n\nEeldus: oskad teisendada pikkusühikuid ning saad aru suhtest ja võrdest.\n\nMõõtkava on suhe:\n\n$$\\frac{\\text{joonisel}}{\\text{tegelikkuses}}=\\frac1{50\\,000}.$$\n\nVõrdes on kaks suhet võrdsed. Mõõtkaval `1 : 50 000`:\n\n$$\\frac{1\\text{ cm}}{50\\,000\\text{ cm}}=\\frac{x\\text{ cm}}{y\\text{ cm}},$$\n\nkus `$y$` on tegelik kaugus samas ühikus.\n\nMõlemal pool suhet peab olema sama ühik. Arvuta sentimeetrites ja teisenda lõpus.\n\nEnne arvutust ütle suund: kas otsid tegelikku pikkust joonise järgi või joonise pikkust tegelikkuse järgi.\n\n| Kui otsid ... | Mida teed pikkuse teguriga? | Näide mõõtkaval `1 : 200` |\n| --- | --- | --- |\n| tegelikku pikkust | korrutad | `$5\\text{ cm}\\cdot200=1000\\text{ cm}$` |\n| joonise pikkust | jagad | `$1000\\text{ cm}:200=5\\text{ cm}$` |\n\nÜhikukontroll:\n\n$$1000\\text{ cm}=10\\text{ m},$$\n\nmitte 1000 m. Mõõtkava ja ühiku teisendus on eri sammud.\n\n## Näide\n\n### Kaart\n\nKui kaardil on vahemaa 4 cm ja mõõtkava on `1 : 25 000`, siis tegelik vahemaa on\n\n$$4\\cdot25\\,000=100\\,000\\text{ cm}=1\\text{ km}.$$\n\nProportsioonina:\n\n$$\\frac{1}{25\\,000}=\\frac{4}{x}.$$\n\nRistkorrutis annab\n\n$$x=4\\cdot25\\,000=100\\,000\\text{ cm}.$$\n\n### Plaan\n\nToa plaani mõõtkava on `1 : 100`. Kui sein on plaanil 4,2 cm, siis tegelik sein on\n\n$$4,2\\cdot100=420\\text{ cm}=4,2\\text{ m}.$$\n\nMudelauto mõõtkava on `1 : 20`. Kui mudelauto pikkus on 22 cm, siis tegeliku auto pikkus on\n\n$$22\\cdot20=440\\text{ cm}=4,4\\text{ m}.$$\n\nKui tegelik pikkus on teada, jagame teguriga. Näiteks `1 : 50` plaanil vastab 3 m ehk 300 cm pikkusele\n\n$$300:50=6\\text{ cm}.$$\n\nMõnikord on mudel suurem, näiteks raku mudel. Mõõtkava `20 : 1` tähendab, et mudel on 20 korda suurem.\n\nVastus: 1 km, 4,2 m ja 4,4 m.\n\n## Tüüpviga\n\nPikkused muutuvad mõõtkava järgi `$k$` korda, pindalad aga `$k^2$` korda.\n\nNäiteks mõõtkavas `1 : 10` on pikkused 10 korda väiksemad, aga pindalad 100 korda väiksemad.\n\nTeine viga on ühikute vahele jätmine:\n\n$$4\\cdot25\\,000=100\\,000.$$\n\nSee arv tähendab sentimeetreid, sest kaardil mõõdeti sentimeetrites. Alles siis teisenda:\n\n$$100\\,000\\text{ cm}=1000\\text{ m}=1\\text{ km}.$$\n\nKolmas viga on jagada siis, kui peaks korrutama. Kui kaardipikkusest otsid tegelikku pikkust, peab tegelikkus olema suurem.\n\nNeljas viga on lugeda suurendavat mõõtkava nagu vähendavat. `20 : 1` tähendab, et mudel on 20 korda suurem.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Kui mõõtkava on `1 : 100 000`, mitu kilomeetrit vastab 3 cm-le?\n2. Mudelauto on tegelikust autost 20 korda väiksem. Mis on mõõtkava?\n3. Miks pindala mõõtkava ei ole sama mis pikkuse mõõtkava?\n4. Plaani mõõtkava on `1 : 50`. Kui laud on tegelikult 150 cm pikk, kui pikk on see plaanil?\n\n### Rakendus\n\n5. Kaardil on vahemaa 7 cm ja mõõtkava `1 : 200 000`. Kui pikk on vahemaa tegelikkuses kilomeetrites?\n6. Toa plaanil on kapi laius 3,6 cm. Mõõtkava on `1 : 25`. Kui lai on kapp tegelikult sentimeetrites ja meetrites?\n7. Kahe linna vahe on kaardil 8,5 cm. Mõõtkava on `1 : 500 000`. Leia tegelik kaugus kilomeetrites.\n8. Matkaplaanil on Otepää matkaraja lõik 4,2 cm. Mõõtkava on `1 : 50 000`. Leia lõigu tegelik pikkus kilomeetrites.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n9. Tegelik aed on 18 m pikk. Kui pikk on see plaanil mõõtkavas `1 : 200`?\n10. Mudeli mõõtkava on `5 : 1`. Kui tegelik detail on 4 cm pikk, kui pikk on mudelil sama detail?\n11. Leia viga: õpilane arvutas mõõtkaval `1 : 100 000`, et 2 cm kaardil on `$2:100\\,000=0,00002$` km.\n12. Kaart on mõõtkavas `1 : 10 000`. Kui tegelik teelõik on 600 m, kui pikk on see kaardil?\n\n## Vastused\n\n1. `$3\\cdot100\\,000=300\\,000\\text{ cm}=3\\text{ km}$`.\n2. `1 : 20`, sest mudeli 1 osa vastab tegelikkuse 20 osale.\n3. Pindala muutub pikkuse muutuse ruuduga.\n4. `$150:50=3\\text{ cm}$`, sest tegelikkusest plaanile minnes jagad.\n5. `$7\\cdot200\\,000=1\\,400\\,000\\text{ cm}=14\\text{ km}$`.\n6. `$3,6\\cdot25=90\\text{ cm}=0,9\\text{ m}$`, sest plaanilt tegelikkusesse minnes korrutad.\n7. `$8,5\\cdot500\\,000=4\\,250\\,000\\text{ cm}=42,5\\text{ km}$`.\n8. `$4,2\\cdot50\\,000=210\\,000\\text{ cm}=2,1\\text{ km}$`.\n9. `$18\\text{ m}=1800\\text{ cm}$`, seega `$1800:200=9\\text{ cm}$`.\n10. `$4\\cdot5=20\\text{ cm}$`, sest `5 : 1` suurendab mudelit.\n11. Kui kaardipikkusest otsitakse tegelikku pikkust, tuleb korrutada: `$2\\cdot100\\,000=200\\,000\\text{ cm}=2\\text{ km}$`.\n12. `$600\\text{ m}=60\\,000\\text{ cm}$`, seega `$60\\,000:10\\,000=6\\text{ cm}$`.\n\n## Seosed\n\nMõõtkava kasutab sama suhte mõtet, mida hiljem läheb vaja sarnaste kolmnurkade, trigonomeetria ja mudelite juures.\n" }, { "id": "geomeetria-alused.punkt-sirge-nurk", "title": "Punkt, sirge ja nurk", "strand": "30-geomeetria-alused", "order": "30.10", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 2, "main": 5, "end": 8, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "I kooliaste", "II kooliaste", "III kooliaste" ], "difficulty": 1, "module_tags": [ "concept" ], "prerequisites": [ "mootmine.uhikud-ja-mootmine" ], "review_modules": [ "arvud.kumnendsusteem-ja-umardamine" ], "extension_modules": [ "geomeetria-alused.kolmnurgad-ja-nelinurgad" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-8", "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/30-geomeetria-alused/30.10-punkt-sirge-nurk.md", "source_sha256": "7cb397562a0f0ff12485ac46b5b2cb4732189c51b13e681c66f1ab28b6b0d88c", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/30.10-punkt-sirge-ja-nurk.html", "content_markdown": "# Punkt, sirge ja nurk\n\n## Mõiste\n\nPunkt tähistab asukohta. Sirge ulatub mõlemas suunas lõpmatuseni. Lõik on sirge osa kahe otspunkti vahel.\n\nEeldus: oskad mõõta pikkust ja nurka ning tead, et joonisel märgitud andmed on tähtsamad kui silma järgi hinnang.\n\nNurk tekib kahest samast punktist lähtuvast kiirest.\n\n![Geomeetria põhimõisted joonisel](assets/points-lines-angles.svg \"Punkt, sirge, lõik, kiir ning nurkade seosed.\")\n\nEnne arvutamist märgi joonisel punktid, antud suurused ja otsitav suurus.\n\nPõhiobjektid on sarnased, aga nende ulatus on erinev:\n\n| Objekt | Kuidas mõelda? | Tähistus |\n| --- | --- | --- |\n| punkt | üks täpne asukoht | `$A$` |\n| sirge | lõpmatu joon mõlemas suunas | `$AB$` või `$s$` |\n| lõik | sirge osa kahe otspunkti vahel | `$AB$` |\n| kiir | algab ühest punktist ja läheb ühes suunas lõpmatuseni | `$\\overrightarrow{AB}$` |\n\nKui sama tähis `$AB$` esineb eri kohtades, otsusta joonise ja teksti järgi, kas mõeldakse sirget või lõiku.\n\nLõigu `$AB$` puhul on punktid `$A$` ja `$B$` otspunktid. Kiire `$\\overrightarrow{AB}$` puhul on `$A$` alguspunkt ja kiir läheb läbi punkti `$B$`.\n\n## Põhireeglid\n\n- Täisnurk on `$90^\\circ$`.\n- Sirgnurk on `$180^\\circ$`.\n- Täispööre on `$360^\\circ$`.\n\nNurkade liigid:\n\n| Liik | Suurus |\n| --- | --- |\n| teravnurk | suurem kui `$0^\\circ$`, aga väiksem kui `$90^\\circ$` |\n| täisnurk | `$90^\\circ$` |\n| nürinurk | suurem kui `$90^\\circ$`, aga väiksem kui `$180^\\circ$` |\n| sirgnurk | `$180^\\circ$` |\n| ülinürinurk | suurem kui `$180^\\circ$`, aga väiksem kui `$360^\\circ$` |\n\nKõrvunurgad on kaks nurka, millel on üks ühine haar ja mille teised haarad moodustavad sirge. Kõrvunurkade summa on\n\n$$180^\\circ.$$\n\nTippnurgad tekivad kahe sirge lõikumisel. Tippnurgad on võrdsed.\n\n## Näide\n\nKui kaks kõrvunurka moodustavad sirgnurga ja üks on $65^\\circ$, siis teine on\n\n$$180^\\circ-65^\\circ=115^\\circ.$$\n\nKui kaks sirget lõikuvad ja üks nurk on `$42^\\circ$`, siis tema tippnurk on samuti `$42^\\circ$`.\n\nSama lõikumise kõrval olev nurk on kõrvunurk:\n\n$$180^\\circ-42^\\circ=138^\\circ.$$\n\nKui ümber punkti on mitu nurka, siis nende summa on täispööre:\n\n$$360^\\circ.$$\n\nNäiteks kui punkti ümber on nurgad `$90^\\circ$`, `$120^\\circ$` ja `$x$`, siis\n\n$$x=360^\\circ-90^\\circ-120^\\circ=150^\\circ.$$\n\nVastus: kõrvunurk on `$115^\\circ$`, tippnurk on `$42^\\circ$`, kõrval olev kõrvunurk on `$138^\\circ$` ja puuduva täispöörde nurk on `$150^\\circ$`.\n\nKontroll: kõrvunurgad annavad kokku `$180^\\circ$`, tippnurgad on võrdsed ja ümber punkti olevad nurgad annavad kokku `$360^\\circ$`.\n\n## Tüüpviga\n\nJoonis võib olla ebatäpne. Geomeetrias tuleb lähtuda antud andmetest, mitte ainult sellest, kuidas pilt paistab.\n\n![Teadlikult mitte mõõtkavas joonis: antud nurk on 60 kraadi](assets/angle-not-to-scale.svg \"Ära mõõda sellelt skeemilt nurka: kasuta antud suurust 60°.\")\n\n**Näide.** Antud on $\\angle COB=60^\\circ$. Joonisel paistab see umbes $30^\\circ$, kuid kõrvunurga leidmiseks kasuta antud suurust: $x=180^\\circ-60^\\circ=120^\\circ$. Pildi järgi saadud $150^\\circ$ oleks vale.\n\nTeine tüüpviga on kõrvunurki ja tippnurki segi ajada. Kõrvunurgad liituvad `$180^\\circ$`-ks, tippnurgad on omavahel võrdsed.\n\nKolmas tüüpviga on lõiku ja sirget samastada. Lõigul on kaks otspunkti ja selle pikkust saab mõõta. Sirgel otspunkte ei ole ning ta ulatub mõlemas suunas lõpmatuseni.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Mis liiki nurk on `$35^\\circ$`?\n2. Mis liiki nurk on `$125^\\circ$`?\n3. Üks kõrvunurk on `$73^\\circ$`. Leia teine.\n4. Kaks sirget lõikuvad. Üks nurk on `$108^\\circ$`. Kui suur on tema tippnurk?\n\n### Rakendus\n\n5. Kaks sirget lõikuvad. Üks nurk on `$108^\\circ$`. Kui suur on selle kõrval olev kõrvunurk?\n6. Mis vahe on lõigul `$AB$` ja kiirel `$\\overrightarrow{AB}$`?\n7. Üks kõrvunurk on `$41^\\circ$`. Leia teine.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n8. Kaks sirget lõikuvad. Üks nurk on `$67^\\circ$`. Leia ülejäänud kolm nurka.\n9. Punkti ümber on kolm nurka: `$80^\\circ$`, `$95^\\circ$` ja `$x$`. Leia `$x$`.\n10. Nurk `$x$` ja nurk `$35^\\circ$` moodustavad täisnurga. Leia `$x$`.\n11. Joonisel paistab nurk umbes `$90^\\circ$`, aga juurde on kirjutatud `$87^\\circ$`. Millist väärtust kasutad arvutuses ja miks?\n\n## Vastused\n\n1. Teravnurk.\n2. Nürinurk.\n3. `$107^\\circ$`, sest kõrvunurgad annavad kokku `$180^\\circ$`.\n4. `$108^\\circ$`, sest tippnurgad on võrdsed.\n5. `$72^\\circ$`, sest kõrval olev kõrvunurk on `$180^\\circ-108^\\circ$`.\n6. Lõigu `$AB$` otspunktid on `$A$` ja `$B$`. Kiir `$\\overrightarrow{AB}$` algab punktist `$A$`, läbib punkti `$B$` ja jätkub samas suunas.\n7. `$139^\\circ$`, sest `$180^\\circ-41^\\circ=139^\\circ$`.\n8. Ülejäänud kolm nurka on `$67^\\circ$`, `$113^\\circ$` ja `$113^\\circ$`, sest tippnurk on võrdne ja kõrvunurgad annavad kokku `$180^\\circ$`.\n9. `$x=360^\\circ-80^\\circ-95^\\circ=185^\\circ$`.\n10. `$x=90^\\circ-35^\\circ=55^\\circ$`.\n11. Kasutan `$87^\\circ$`, sest arvutustes lähtutakse antud andmetest, mitte joonise silmaga hinnatud kujust.\n\n## Seosed\n\nSirged ja nurgad on kolmnurkade, hulknurkade, trigonomeetria ja tõestuste alus. Järgmises peatükis kasutatakse neid kolmnurga nurkade summa, hulknurkade, ümbermõõdu ja pindala leidmisel.\n" }, { "id": "geomeetria-alused.kolmnurgad-ja-nelinurgad", "title": "Kolmnurgad ja nelinurgad", "strand": "30-geomeetria-alused", "order": "30.20", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 4, "main": 7, "end": 10, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "II kooliaste", "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 2, "module_tags": [ "concept", "skill" ], "prerequisites": [ "geomeetria-alused.punkt-sirge-nurk" ], "review_modules": [ "mootmine.uhikud-ja-mootmine" ], "extension_modules": [ "geomeetria-alused.ring-ja-summeetria" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-7", "klass-8", "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/30-geomeetria-alused/30.20-kolmnurgad-ja-nelinurgad.md", "source_sha256": "4ddd50a393f79823290cb567c578a1ddd91129257a1cc7b2f508e48fb1221563", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/30.20-kolmnurgad-ja-nelinurgad.html", "content_markdown": "# Kolmnurgad ja nelinurgad\n\n## Mõiste\n\nKolmnurgal on 3 külge ja 3 nurka; nelinurgal 4 külge ja 4 nurka.\n\nEeldus: tunned nurkade liike, oskad leida ümbermõõtu ja eristad pindala pikkusest.\n\nKülgede järgi:\n\n| Liik | Tunnus |\n| --- | --- |\n| võrdkülgne kolmnurk | kõik küljed on võrdsed |\n| võrdhaarne kolmnurk | kaks külge on võrdsed |\n| erikülgne kolmnurk | kõik küljed on erinevad |\n\nNurkade järgi:\n\n| Liik | Tunnus |\n| --- | --- |\n| teravnurkne kolmnurk | kõik nurgad on väiksemad kui `$90^\\circ$` |\n| täisnurkne kolmnurk | üks nurk on `$90^\\circ$` |\n| nürinurkne kolmnurk | üks nurk on suurem kui `$90^\\circ$` |\n\n![Kolmnurkade liigid](assets/triangle-types.svg \"Kolmnurkade liigid külgede võrdsuse ja nurkade järgi.\")\n\nKolm pikkust moodustavad kolmnurga ainult siis, kui kaks lühemat külge kokku on pikemad kui pikim külg. Näiteks 2 cm, 3 cm ja 6 cm ei sobi, sest `$2+3<6$`.\n\nNelinurkade erijuhud:\n\n| Nelinurk | Tunnus |\n| --- | --- |\n| rööpkülik | mõlemad vastaskülgede paarid on paralleelsed |\n| ristkülik | kõik nurgad on täisnurgad |\n| ruut | kõik küljed on võrdsed ja kõik nurgad täisnurgad |\n| romb | kõik küljed on võrdsed |\n\n![Nelinurkade erijuhud](assets/quadrilateral-types.svg \"Rööpküliku erijuhud ning külgede ja nurkade tunnused.\")\n\nRööpküliku vastasküljed ja vastasnurgad on võrdsed ning diagonaalid poolitavad teineteist. Romb on rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed; rombi diagonaalid on risti, poolitavad teineteist ja rombi nurki.\n\n## Valemid\n\nKolmnurga nurkade summa:\n\n$$180^\\circ.$$\n\nNelinurga nurkade summa:\n\n$$360^\\circ.$$\n\nKumera `$n$`-nurga sisenurkade summa:\n\n$$S_n=(n-2)\\cdot180^\\circ.$$\n\nKolmnurga pindala:\n\n$$S=\\frac{ah}{2}.$$\n\nKõrgus peab olema valitud alusega risti.\n\nRööpküliku ja rombi pindala aluse ning kõrguse abil on $S=ah$.\n\nRistküliku pindala:\n\n$$S=ab.$$\n\nRuudu pindala:\n\n$$S=a^2.$$\n\nRombi pindala diagonaalide `$d_1$` ja `$d_2$` abil:\n\n$$S=\\frac{d_1d_2}{2}.$$\n\n::: explanation Pindalad joonistega\n![Täisnurkne kolmnurk ristkülikus](assets/area-right-triangle-halves.svg \"Värvitud kolmnurga pindala on pool ristküliku pindalast.\")\n\n![Kolmnurga kõrgus ja kaks ristkülikut](assets/area-triangle-two-rectangles.svg \"Mõlemad täisnurksed osad katavad pool vastavast ristkülikust.\")\n\n![Rööpküliku ümbertõstmine](assets/area-parallelogram-rearrange.svg \"Tõsta vasak tükk paremale: tekib sama pindalaga ristkülik.\")\n\n![Romb ja diagonaalid](assets/area-rhombus-diagonals.svg \"Rombi pindala on pool diagonaalide pikkustega ristküliku pindalast.\")\n:::\n\nÜmbermõõt liidab küljed. Pindala mõõdab kaetud pinda.\n\n## Näide\n\nKolmnurga alus on 10 cm ja kõrgus 6 cm:\n\n$$S=\\frac{10\\cdot6}{2}=30\\text{ cm}^2.$$\n\nKui kolmnurga kaks nurka on `$48^\\circ$` ja `$72^\\circ$`, siis kolmas nurk on\n\n$$180^\\circ-48^\\circ-72^\\circ=60^\\circ.$$\n\nKui nelinurga kolm nurka on `$90^\\circ$`, `$110^\\circ$` ja `$80^\\circ$`, siis neljas nurk on\n\n$$360^\\circ-90^\\circ-110^\\circ-80^\\circ=80^\\circ.$$\n\nKuusnurga sisenurkade summa on\n\n$$S_6=(6-2)\\cdot180^\\circ=720^\\circ.$$\n\n## Tüüpviga\n\nKõrgus peab olema risti alusega. Külgjoon ei ole alati kõrgus.\n\nTeine tüüpviga on arvata, et iga nelinurk, millel on üks paar paralleelseid külgi, on rööpkülik. Rööpkülikul peavad mõlemad vastaskülgede paarid olema paralleelsed.\n\nKolmas tüüpviga on ajada ümbermõõt ja pindala segi. Aia pikkus on ümbermõõt; aia sisse jääva maa suurus on pindala.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Kolmnurga kaks nurka on `$35^\\circ$` ja `$65^\\circ$`. Leia kolmas nurk.\n2. Kas kolmnurk nurkadega `$40^\\circ, 50^\\circ, 90^\\circ$` on täisnurkne?\n3. Leia kolmnurga ümbermõõt, kui küljed on 4 cm, 5 cm ja 6 cm.\n\n### Rakendus\n\n4. Nelinurga kolm nurka on `$100^\\circ$`, `$80^\\circ$` ja `$90^\\circ$`. Leia neljas.\n5. Millisel nelinurgal on kõik küljed võrdsed ja kõik nurgad täisnurgad?\n6. Ristküliku küljed on 8 cm ja 3 cm. Leia ümbermõõt ja pindala.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Rööpküliku alus on 12 cm ja kõrgus 5 cm. Leia pindala.\n8. Ristküliku üks külg on 7 cm ja pindala on 35 cm². Leia teine külg.\n9. Kolmnurga nurgad on `$x$`, `$2x$` ja `$3x$`. Leia nurgad.\n10. Kas pikkustest 4 cm, 5 cm ja 10 cm saab moodustada kolmnurga?\n11. Leia korrapärase kuusnurga ühe sisenurga suurus.\n12. Rombi diagonaalid on 6 cm ja 10 cm. Leia rombi pindala.\n\n## Vastused\n\n1. `$80^\\circ$`, sest kolmnurga nurgad annavad kokku `$180^\\circ$`.\n2. Jah, sest üks nurk on `$90^\\circ$`.\n3. Ümbermõõt on `$4+5+6=15\\text{ cm}$`.\n4. `$90^\\circ$`, sest nelinurga nurgad annavad kokku `$360^\\circ$`.\n5. Ruut, sest ruudul on võrdsed küljed ja täisnurgad.\n6. Ümbermõõt `$2(8+3)=22\\text{ cm}$`, pindala `$8\\cdot3=24\\text{ cm}^2$`; üks mõõdab äärt, teine pinda.\n7. `$S=12\\cdot5=60\\text{ cm}^2$`.\n8. Teine külg on `$35:7=5\\text{ cm}$`, sest ristkülikul `$S=ab$`.\n9. `$x+2x+3x=180^\\circ$`, seega `$x=30^\\circ$`; nurgad on `$30^\\circ,60^\\circ,90^\\circ$`.\n10. Ei, sest `$4+5=9<10$`; kahe lühema külje summa peab olema pikem kui pikim külg.\n11. Sisenurkade summa on `$(6-2)\\cdot180^\\circ=720^\\circ$`. Kõik kuus nurka on võrdsed, seega üks nurk on `$720^\\circ:6=120^\\circ$`.\n12. `$S=\\frac{6\\cdot10}{2}=30\\text{ cm}^2$`.\n\n## Seosed\n\nSeostub Pythagorase teoreemi, sarnasuse, trigonomeetria, ringi, sümmeetria ja teisendustega.\n" }, { "id": "geomeetria-alused.ring-ja-summeetria", "title": "Ring ja sümmeetria", "strand": "30-geomeetria-alused", "order": "30.30", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 4, "main": 7, "end": 10, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "II kooliaste", "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 2, "module_tags": [ "concept", "skill" ], "prerequisites": [ "geomeetria-alused.punkt-sirge-nurk", "geomeetria-alused.kolmnurgad-ja-nelinurgad" ], "review_modules": [ "mootmine.uhikud-ja-mootmine" ], "extension_modules": [ "geomeetria-suvendus.ringjoone-nurgad-ja-korraparane-hulknurk" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-8", "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/30-geomeetria-alused/30.30-ring-ja-summeetria.md", "source_sha256": "014a26667874080be49337728d342944a9d4f8de9577a5c33ba0e0d32da651ec", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/30.30-ring-ja-summeetria.html", "content_markdown": "# Ring ja sümmeetria\n\n## Mõiste\n\nRingjoon on kinnine piirjoon keskpunkti ümber. Kõik ringjoone punktid on keskpunktist sama kaugel; seda kaugust nimetatakse raadiuseks.\n\nEeldus: oskad eristada pikkust ja pindala ning tunned sirget, lõiku ja sümmeetriatelge.\n\nRing on kogu sisemine piirkond koos piirjoonega. Igapäevases kõnes öeldakse vahel mõlema kohta \"ring\", aga matemaatikas on neil vahe:\n\n- ringjoon on piirjoon;\n- ring on kogu sisemine piirkond koos piirjoonega.\n\nRingi olulised osad:\n\n| Osa | Tähendus |\n| --- | --- |\n| raadius `$r$` | lõik keskpunktist ringjooneni |\n| diameeter ehk läbimõõt `$d$` | lõik läbi keskpunkti ühest ringjoone punktist teiseni |\n| kõõl | lõik kahe ringjoone punkti vahel |\n| kaar | ringjoone osa |\n| sektor | kahe raadiuse ja kaarega piiratud ringi osa |\n\n![Ringjoone osad](assets/circle-parts.svg \"Ringjoonel on raadius, diameeter, kõõl, kaar ja sektor.\")\n\n## Valemid\n\nRingjoone pikkus:\n\n$$C=2\\pi r.$$\n\nRingi pindala:\n\n$$S=\\pi r^2.$$\n\n![Ring raadiusega](assets/circle-radius.svg \"Ringis määrab raadius nii pindala kui ringjoone pikkuse.\")\n\nNeed valemid vastavad eri küsimustele:\n\n| Küsimus | Mida mõõdad? | Valem | Ühik |\n| --- | --- | --- | --- |\n| Kui pikk on ringi piirjoon? | ringjoone pikkus | `$C=2\\pi r=\\pi d$` | pikkusühik, nt cm |\n| Kui suur on ringi sisemus? | ringi pindala | `$S=\\pi r^2$` | ruutühik, nt cm² |\n\nKui antud on diameeter, leia enne raadius või kasuta ringjoone pikkuse jaoks valemit `$C=\\pi d$`.\n\nRingil on palju sümmeetriatelgi: iga keskpunkti läbiv sirge jaotab ringi kaheks võrdseks pooleks. Diameeter asub alati sellisel sümmeetriateljel.\n\n## Näide\n\nKui `$r=5$`, siis\n\n$$S=\\pi\\cdot5^2=25\\pi\\approx78,5.$$\n\nRingjoone pikkus sama raadiusega on\n\n$$C=2\\pi\\cdot5=10\\pi\\approx31,4.$$\n\nKui diameeter on `$12$`, siis raadius on\n\n$$r=\\frac{12}{2}=6.$$\n\nSama ringi pindala on\n\n$$S=\\pi\\cdot6^2=36\\pi\\approx113,1.$$\n\nRingjoone pikkus on\n\n$$C=\\pi\\cdot12=12\\pi\\approx37,7.$$\n\nKui tahad katta ümmarguse laua pinna, vajad pindala. Kui tahad panna laua serva ümber paela, vajad ringjoone pikkust.\n\nVastus: raadiusega 5 on pindala umbes 78,5 ja ringjoone pikkus umbes 31,4; diameetriga 12 on pindala umbes 113,1 ja ringjoone pikkus umbes 37,7.\n\n## Tüüpviga\n\nRaadius ja diameeter ehk läbimõõt lähevad tihti segi. Diameeter on kaks raadiust:\n\n$$d=2r.$$\n\nTeine tüüpviga on ringjoone pikkust ja ringi pindala segi ajada. Ringjoone pikkus kasutab pikkusühikut, näiteks `cm`. Ringi pindala kasutab ruutühikut, näiteks `cm²`.\n\nKontrolli ühikut:\n\n- kui vastus on `$\\text{cm}$`, mõõdad pikkust;\n- kui vastus on `$\\text{cm}^2$`, mõõdad pindala.\n\nKolmas tüüpviga on kasutada diameetrit raadiuse asemel pindala valemis. Kui `$d=10$`, siis `$r=5$`, seega\n\n$$S=\\pi\\cdot5^2=25\\pi,$$\n\nmitte `$\\pi\\cdot10^2$`.\n\nNeljas tüüpviga on arvata, et sümmeetriatelg peab olema joonisel püstine või rõhtne. Ringil sobib iga keskpunkti läbiv sirge.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Leia diameeter, kui raadius on 7 cm.\n2. Leia raadius, kui diameeter on 18 cm.\n3. Leia ringi pindala, kui `$r=4$`.\n4. Leia ringjoone pikkus, kui `$r=4$`.\n\n### Rakendus\n\n5. Mis vahe on kõõlul ja diameetril?\n6. Leia ringjoone pikkus, kui diameeter on 20 cm.\n7. Leia ringi pindala, kui diameeter on 14 cm.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n8. Kas ülesandes “ümber lillepeenra pannakse ääris” on vaja ringjoone pikkust või pindala?\n9. Kas ülesandes “ümmargune vaip katab põrandat” on vaja ringjoone pikkust või pindala?\n10. Mitu sümmeetriatelge on ringil?\n11. Kas sirge, mis lõikab ringi kahte võrdsesse poolde, peab läbima keskpunkti?\n\n## Vastused\n\n1. `$14\\text{ cm}$`, sest diameeter on kaks raadiust.\n2. `$9\\text{ cm}$`, sest raadius on pool diameetrist.\n3. `$16\\pi\\approx50,3$` ruutühikut, sest `$S=\\pi r^2$`.\n4. `$8\\pi\\approx25,1$` pikkusühikut, sest `$C=2\\pi r$`.\n5. Diameeter on kõõl, mis läbib keskpunkti. Kõik kõõlud ei läbi keskpunkti.\n6. `$C=\\pi d=20\\pi\\approx62,8\\text{ cm}$`.\n7. `$r=7\\text{ cm}$`, seega `$S=49\\pi\\approx153,9\\text{ cm}^2$`.\n8. Ringjoone pikkust, sest ääris käib ümber peenra piiri.\n9. Pindala, sest vaip katab põranda osa, mitte ainult serva.\n10. Lõpmata palju; iga keskpunkti läbiv sirge on sümmeetriatelg.\n11. Jah. Ringi sümmeetriatelg läbib keskpunkti, sest ainult siis jäävad pooled peegeldamisel kokku.\n\n## Seosed\n\nRing on oluline geomeetrias, trigonomeetrias, radiaanides ja ringliikumise mudelites. Järgmises peatükis kasutatakse sümmeetriat koos peegelduse, lükke ja pööramisega.\n" }, { "id": "geomeetria-alused.teisendused-ja-summeetria", "title": "Teisendused ja sümmeetria", "strand": "30-geomeetria-alused", "order": "30.40", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 5, "main": 8, "end": 11, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "II kooliaste", "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 3, "module_tags": [ "concept", "skill" ], "prerequisites": [ "geomeetria-alused.punkt-sirge-nurk", "funktsioonid.koordinaatteljestik" ], "review_modules": [ "geomeetria-alused.kolmnurgad-ja-nelinurgad", "geomeetria-alused.ring-ja-summeetria" ], "extension_modules": [ "funktsioonid.funktsioonide-teisendused" ], "used_directly_in_class_books": [], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/30-geomeetria-alused/30.40-teisendused-ja-summeetria.md", "source_sha256": "74c0bbb184935ed825e12c2b99a70394cf8d2dd517e7418b6fcbf429441b1ae3", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/30.40-teisendused-ja-summeetria.html", "content_markdown": "# Teisendused ja sümmeetria\n\n## Mõiste\n\nGeomeetriline teisendus viib kujundi punktid uutesse asukohtadesse. Olulised teisendused on lüke, peegeldus, pööre ja homoteetsus.\n\nEeldus: tunned punkti, sirget, nurka ja sümmeetriatelge. Kui koordinaadid on ebakindlad, korda enne punkti `$(x;y)$` lugemist.\n\n**Mapiku soovitus: 8. klass.** Sümmeetria kordab varasemat; homoteetsus on sarnasuse lisateema, mitte kõigile kohustuslik termin. Positiivse teguriga homoteetsus suurendab või vähendab kujundit kindla keskpunkti suhtes: kaugused keskpunktist korrutatakse teguriga `$k>0$`. Kui `$k=1$`, ei muutu midagi.\n\nLükke puhul liigub iga punkt sama nihega: sama palju ja samas suunas.\n\n::: explanation Teisendused joonistel\n![Geomeetriliste teisenduste näited](assets/transformations.svg \"Lüke, peegeldus, pööre ja homoteetsus muudavad kujundi asukohta või suurust kindla reegli järgi.\")\n:::\n\n| Teisendus | Mis muutub? | Mis jääb samaks? |\n| --- | --- | --- |\n| lüke | asukoht | kuju, suurus ja suund |\n| peegeldus | asukoht ja suund | kuju ja suurus |\n| pööre | asukoht ja suund | kuju ja suurus |\n| homoteetsus | asukoht ja suurus | kuju |\n\n## Koordinaatides\n\nPeegeldus `$x$`-telje suhtes:\n\n$$(x;y)\\mapsto(x;-y).$$\n\nPeegeldus `$y$`-telje suhtes:\n\n$$(x;y)\\mapsto(-x;y).$$\n\nMäluabi: peegeldus `$x$`-telje suhtes muudab `$y$`-koordinaadi märki, peegeldus `$y$`-telje suhtes muudab `$x$`-koordinaadi märki.\n\nLüke vektoriga `(a; b)`:\n\n$$(x;y)\\mapsto(x+a;y+b).$$\n\nPööre `$90^\\circ$` vastupäeva ümber alguspunkti:\n\n$$(x;y)\\mapsto(-y;x).$$\n\nHomoteetsus teguriga `$k>0$` alguspunkti suhtes:\n\n$$(x;y)\\mapsto(kx;ky).$$\n\nKoordinaatreeglit saab kontrollida ühe punktiga:\n\n| Teisendus | Reegel | Punkti `(2; -3)` kujutis |\n| --- | --- | --- |\n| peegeldus `$x$`-telje suhtes | `$(x;y)\\mapsto(x;-y)$` | `(2; 3)` |\n| peegeldus `$y$`-telje suhtes | `$(x;y)\\mapsto(-x;y)$` | `(-2; -3)` |\n| lüke vektoriga `(4; 1)` | `$(x;y)\\mapsto(x+4;y+1)$` | `(6; -2)` |\n| pööre `$90^\\circ$` vastupäeva | `$(x;y)\\mapsto(-y;x)$` | `(3; 2)` |\n| homoteetsus teguriga `$2$` | `$(x;y)\\mapsto(2x;2y)$` | `(4; -6)` |\n\nKui teisendad tervet kujundit, rakenda sama reeglit kõigile tippudele.\n\n## Näide\n\nPunkt `(3; -2)` peegeldub `$x$`-telje suhtes punktiks `(3; 2)`.\n\nLüke vektoriga `(-3;4)`:\n\n$$(2;5)\\mapsto(2-3;5+4)=(-1;9).$$\n\nPööre `$90^\\circ$` vastupäeva ümber alguspunkti:\n\n$$(3;2)\\mapsto(-2;3).$$\n\nHomoteetsus teguriga `$2$` alguspunkti suhtes:\n\n$$(3;2)\\mapsto(6;4).$$\n\nKolmnurga tippudele saab sama reeglit rakendada eraldi. Kui\n\n$$A(1;1),\\quad B(4;1),\\quad C(2;3),$$\n\nja teeme lükke vektoriga `(-2; 3)`, siis\n\n$$A'(-1;4),\\quad B'(2;4),\\quad C'(0;6).$$\n\nKõik punktid liikusid 2 ühikut vasakule ja 3 ühikut üles. Kujundi suurus ja kuju ei muutunud.\n\nKui sama kolmnurk peegeldada `$y$`-telje suhtes, siis\n\n$$A'(-1;1),\\quad B'(-4;1),\\quad C'(-2;3).$$\n\nSiin muutub kujundi suund nagu peeglis, aga pikkused jäävad samaks.\n\nVastus: lükke järel on tipud `$A'(-1;4)$`, `$B'(2;4)$`, `$C'(0;6)$`; peegelduse järel `$A'(-1;1)$`, `$B'(-4;1)$`, `$C'(-2;3)$`.\n\n## Tüüpviga\n\nPeegeldusel ei vahetata alati koordinaate. Koordinaatide vahetamine `$(x;y)\\mapsto(y;x)$` on peegeldus sirge `$y=x$` suhtes.\n\nTeine tüüpviga on nimetada homoteetsust lükkeks. Lüke ei muuda suurust, homoteetsus võib suurust muuta.\n\nKolmas tüüpviga on pööramisel ainult märki vahetada. Pöördel `$90^\\circ$` vastupäeva ümber alguspunkti ei ole reegel `$(x;y)\\mapsto(-x;y)$`, vaid\n\n$$(x;y)\\mapsto(-y;x).$$\n\nNäiteks `(5; -1)` läheb punktiks `(1; 5)`.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Peegelda punkt `(-4; 1)` `$y$`-telje suhtes.\n2. Nihuta punkt `(2; 5)` vektoriga `(-3; 4)`.\n3. Milline teisendus säilitab kujundi suuruse, aga muudab asukohta?\n4. Pööra punkt `(5; -1)` `$90^\\circ$` vastupäeva ümber alguspunkti.\n\n### Rakendus\n\n5. Rakenda punktile `(-2; 3)` homoteetsust teguriga `$3$` alguspunkti suhtes.\n6. Peegelda punkt `(6; -2)` `$x$`-telje suhtes.\n7. Tee punktile `(-1; 4)` lüke vektoriga `(5; -3)`.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n8. Pööra punkt `(-3; 2)` `$90^\\circ$` vastupäeva ümber alguspunkti.\n9. Kolmnurga tipud on `A(0;1)`, `B(2;1)`, `C(1;4)`. Tee lüke vektoriga `(3; -2)`.\n10. Milline teisendus võib muuta kujundi suurust: lüke, peegeldus, pööre või homoteetsus?\n\n## Vastused\n\n1. `(4; 1)`, sest peegeldus `$y$`-telje suhtes muudab `$x$`-koordinaadi märki.\n2. `(-1; 9)`, sest lüke lisab koordinaatidele `(-3; 4)`.\n3. Lüke, peegeldus ja pööre säilitavad suuruse; kõige otsesem \"asukoha muutmine sama suunaga\" on lüke.\n4. `(1; 5)`, sest `$90^\\circ$` vastupäeva pöörde reegel on `$(x;y)\\mapsto(-y;x)$`.\n5. `(-6; 9)`, sest homoteetsus teguriga 3 korrutab mõlemad koordinaadid.\n6. `(6; 2)`, sest peegeldus `$x$`-telje suhtes muudab `$y$`-koordinaadi märki.\n7. `(4; 1)`, sest `(-1+5;4-3)=(4;1)`.\n8. `(-2; -3)`, sest `$(x;y)\\mapsto(-y;x)$`.\n9. `A'(3; -1)`, `B'(5; -1)`, `C'(4; 2)`, sest iga tipp liigub 3 paremale ja 2 alla.\n10. Homoteetsus teguriga `$k>0$`, kui `$k\\ne1$`; teguriga 1 jääb kujund samaks.\n\n## Seosed\n\nTeisendused seovad geomeetria koordinaatidega: sama reeglit saab rakendada punktidele, kujunditele ja hiljem vektoritele. See valmistab ette koordinaatteljestiku, vektorite ja funktsioonide graafikute teisendused.\n" }, { "id": "andmed.tabelid-diagrammid-keskmised", "title": "Tabelid, diagrammid ja keskmised", "strand": "40-andmed", "order": "40.10", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 3, "main": 7, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "I kooliaste", "II kooliaste", "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 2, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "arvud.murrud-ja-kumnendmurrud" ], "review_modules": [ "arvud.protsendid-suhted-vorded" ], "extension_modules": [ "andmed.toenaosuse-alused" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-7", "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/40-andmed/40.10-tabelid-diagrammid-keskmised.md", "source_sha256": "733f7bce5747bc0d8f613350e6705999ed83c907ae9ccd6ee8bccba3044057f7", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/40.10-tabelid-diagrammid-ja-keskmised.html", "content_markdown": "# Tabelid, diagrammid ja keskmised\n\n## Mõiste\n\nStatistika aitab andmeid tõlgendada.\n\nEeldus: oskad liita, jagada, järjestada arve ning lugeda lihtsat tabelit.\n\n## Põhimõisted\n\n- Sagedus: mitu korda väärtus esineb.\n- Suhteline sagedus: sageduse osa kõigist andmetest.\n- Aritmeetiline keskmine: summa jagatud väärtuste arvuga.\n- Mediaan: järjestatud andmete keskel olev väärtus; paarisarvu vaatluste korral kahe keskmise väärtuse aritmeetiline keskmine.\n- Mood: kõige sagedasem väärtus.\n\n| Näitaja | Kuidas leitakse? | Millal on kasulik? |\n| --- | --- | --- |\n| aritmeetiline keskmine | liida kõik väärtused ja jaga väärtuste arvuga | kui erandeid ei ole palju |\n| mediaan | järjesta; võta keskmine väärtus või kahe keskmise aritmeetiline keskmine | kui on väga suur või väike erand |\n| mood | leia kõige sagedasem väärtus | kui huvitab kõige tavalisem valik |\n\nSagedustabel näitab, mitu korda väärtused korduvad.\n\n## Näide\n\nÜks pakk kaalub 1 kg, teine 2 kg. Kahe paki kogumass on 3 kg, seega keskmine mass on\n\n$$\\frac{1+2}{2}=1,5\\text{ kg}.$$\n\nÜldiselt liida kõik massid ja jaga pakkide arvuga. Sama reegel kehtib teistegi arvandmete puhul.\n\nAndmed: 2, 4, 4, 5, 10.\n\nKeskmine:\n\n$$\\frac{2+4+4+5+10}{5}=5.$$\n\nMediaan on 4 ja mood on 4.\n\nSagedustabel:\n\n| Väärtus | Sagedus |\n| --- | ---: |\n| 2 | 1 |\n| 4 | 2 |\n| 5 | 1 |\n| 10 | 1 |\n\n![Väärtuste esinemiskordade tulpdiagramm](assets/frequency-example.svg \"Tulpade kõrgused näitavad sagedusi: väärtus 4 esineb kaks korda, teised ühe korra.\")\n\nErandi korral võib mediaan olla tüüpilisem kui keskmine. Näiteks andmetes 2, 4, 4, 5, 100 on keskmine\n\n$$\\frac{2+4+4+5+100}{5}=23,$$\n\naga mediaan on 4.\n\n### Väikese andmestiku täielik analüüs\n\nKüsiti 10 õpilaselt, mitu minutit nad eelmisel päeval matemaatikat harjutasid:\n\n$$10,\\ 15,\\ 20,\\ 20,\\ 25,\\ 30,\\ 30,\\ 30,\\ 45,\\ 75.$$\n\nSagedustabel:\n\n| Harjutamise aeg minutites | Sagedus |\n| --- | ---: |\n| 10 | 1 |\n| 15 | 1 |\n| 20 | 2 |\n| 25 | 1 |\n| 30 | 3 |\n| 45 | 1 |\n| 75 | 1 |\n\nKeskmine:\n\n$$\\frac{10+15+20+20+25+30+30+30+45+75}{10}=\\frac{300}{10}=30.$$\n\nMediaan: andmeid on 10, seega võtame 5. ja 6. väärtuse:\n\n$$\\frac{25+30}{2}=27,5.$$\n\nMood on 30, sest 30 minutit esineb kõige sagedamini.\n\nVastus: tüüpiline harjutamise aeg oli umbes 30 minutit. Väärtus 75 tõstab keskmist üles; mediaan on 27,5 minutit.\n\nDiagrammi valik sõltub küsimusest: tulpdiagramm võrdleb rühmi, joondiagramm muutust ajas ja sektordiagramm terviku jaotust.\n\n## Tüüpviga\n\nKeskmine ei pruugi kirjeldada tüüpilist väärtust, kui andmetes on suur erand.\n\nTeine tüüpviga on mediaani leidmine ilma andmeid järjestamata. Mediaani jaoks tuleb andmed alati enne suuruse järjekorda panna.\n\nKolmas tüüpviga on kirjutada järeldus ilma andmeteta. Väide “õpilased harjutasid palju” on ebamäärane. Parem on: “Kõige sagedasem harjutamise aeg oli 30 minutit ja mediaan oli 27,5 minutit.”\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Leia andmete 3, 3, 4, 8, 12 aritmeetiline keskmine.\n2. Leia andmete 3, 3, 4, 8, 12 mediaan.\n3. Leia andmete 3, 3, 4, 8, 12 mood.\n4. Andmed on 1, 2, 2, 3, 40. Kumb kirjeldab tüüpilist väärtust paremini: keskmine või mediaan?\n\n### Rakendus\n\n5. Tee sagedustabel andmetele 1, 1, 2, 4, 4, 4.\n6. Leia andmete 6, 8, 8, 10, 13, 15 aritmeetiline keskmine.\n7. Leia samade andmete mediaan.\n8. Tartu kooli spordipäeval koguti kaugushüppe tulemused meetrites: 2,1; 2,4; 2,4; 2,8; 3,0. Leia mediaan.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n9. Leia ülesandes 8 antud kaugushüppetulemuste mood.\n10. Õpilaste lugemisaeg minutites oli 5, 10, 10, 15, 20, 60. Leia keskmine ja mediaan. Kumb kirjeldab tüüpilist lugemisaega paremini?\n11. Millist diagrammi kasutaksid, kui võrdled lemmikspordialade valikuid?\n12. Kui 30 õpilasest 12 valis korvpalli, leia korvpalli suhteline sagedus.\n\n## Vastused\n\n1. `$6$`, sest summa 30 jagatakse 5 väärtusega.\n2. `$4$`, sest järjestatud andmete keskel on 4.\n3. `$3$`, sest see esineb kõige sagedamini.\n4. Mediaan, sest `$40$` tõstab aritmeetilist keskmist palju.\n5. `$1$`: 2 korda, `$2$`: 1 kord, `$4$`: 3 korda.\n6. `$\\frac{6+8+8+10+13+15}{6}=10$`.\n7. `$\\frac{8+10}{2}=9$`.\n8. `$2,4$` m.\n9. `2,4 m`, sest see kaugushüppetulemus esineb kaks korda, teised ühe korra.\n10. Keskmine on `$\\frac{120}{6}=20$`, mediaan on `$\\frac{10+15}{2}=12,5$`. Mediaan kirjeldab tüüpilist lugemisaega paremini, sest 60 minutit on erandlikult suur.\n11. Tulpdiagrammi, sest võrreldakse valikurühmi.\n12. `$\\frac{12}{30}=0,4=40\\%$` õpilastest; suhteline sagedus on osa kõigist.\n\n## Seosed\n\nStatistika toetab tõenäosust, uurimistöid, mudelite hindamist ja andmepõhist otsustamist. Järgmises peatükis muutub suhteline sagedus sillaks tõenäosuse mõisteni.\n" }, { "id": "andmed.toenaosuse-alused", "title": "Tõenäosuse alused", "strand": "40-andmed", "order": "40.20", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 6, "main": 7, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "II kooliaste", "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 3, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "arvud.murrud-ja-kumnendmurrud", "andmed.tabelid-diagrammid-keskmised" ], "review_modules": [ "arvud.protsendid-suhted-vorded" ], "extension_modules": [ "andmed.kombinatoorika" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-7", "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/40-andmed/40.20-toenaosuse-alused.md", "source_sha256": "98d2c2a126066e5ff424c7febefd2cb589f80ff9b67fae4e8098d39e78aca981", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/40.20-toenaosuse-alused.html", "content_markdown": "# Tõenäosuse alused\n\n## Mõiste\n\nTõenäosus näitab sündmuse toimumise võimalust. See on arv vahemikus 0 kuni 1.\n\nEeldus: oskad töötada murdudega, lugeda sagedustabelit ja eristada uuritava sündmuse tulemusi kõigist võimalikest tulemustest.\n\n„Soodne tulemus” tähendab tulemust, mille korral uuritav sündmus toimub, mitte tingimata head tulemust. Näiteks kaotuse tõenäosuse arvutamisel on „soodsad” just kaotusele vastavad tulemused.\n\n## Valem\n\nKui kõik tulemused on võrdvõimalikud, siis\n\n$$P(A)=\\frac{\\text{soodsate tulemuste arv}}{\\text{kõikide tulemuste arv}}.$$\n\n![Soodsad tulemused tõenäosuses](assets/probability-favorable.svg \"Tõenäosus on soodsate tulemuste osa kõigist võrdvõimalikest tulemustest.\")\n\nPildi või tabeli järgi kontrolli: lugejas on soodsad tulemused, nimetajas kõik sama katse võrdvõimalikud tulemused.\n\nKindel sündmus on tõenäosusega `$1$`. Võimatu sündmus on tõenäosusega `$0$`.\n\n$$0\\le P(A)\\le1.$$\n\nKui arvutus annab alla 0 või üle 1, on viga loenduses, nimetajas või sündmuste kattumise arvestamises.\n\nTõenäosus on mudeli järgi oodatav osa. Suhteline sagedus on päris katse tulemus: kui sündmus toimus 30 katsest 12 korda, siis suhteline sagedus on `$\\frac{12}{30}=0,4$`. Paljude katsete korral võib see anda hinnangu tõenäosusele, kuid väheste katsete puhul võib juhus palju kõikuda.\n\nGümnaasiumis lisandub tinglik tõenäosus: kui tead, et sündmus `$B$` juba toimus, siis küsid sündmuse `$A$` tõenäosust selle uue info korral.\n\n$$P(A\\mid B)=\\frac{P(A\\cap B)}{P(B)},\\quad P(B)>0.$$\n\n## Näide\n\nAus münt annab kulli või kirja, kumbki tõenäosusega $\\frac12$. Ausa kuue küljega täringuga on 6 saamise tõenäosus $\\frac16$; tulemuse 1 või 6 tõenäosus on $\\frac26=\\frac13$.\n\nSama täringut visates on paarisarvu saamise tõenäosus\n\n$$P=\\frac{3}{6}=\\frac12.$$\n\nSoodsad tulemused on 2, 4 ja 6. Kõik võimalikud tulemused on 1, 2, 3, 4, 5 ja 6.\n\nKahe mündiviske võimalusi saab näidata puudiagrammiga.\n\n![Kahe mündiviske puudiagramm](assets/probability-tree.svg \"Kahe mündiviske puudiagramm näitab nelja võrdvõimalikku tulemust.\")\n\nKahe mündiviske tulemused on HH, HK, KH ja KK. Täpselt ühe kulli saamiseks on soodsad tulemused HK ja KH, seega\n\n$$P(\\text{täpselt üks kull})=\\frac24=\\frac12.$$\n\nKui klassis on 12 tüdrukut ja 8 poissi ning loositakse üks õpilane nende hulgast, kes käivad matemaatikaringis, siis nimetaja ei ole kogu klass, vaid ainult matemaatikaringis käijad. See on tingliku tõenäosuse mõte.\n\n## Tüüpviga\n\nTõenäosused liidetakse ainult siis, kui sündmused ei kattu, või tuleb kattuv osa eraldi arvesse võtta.\n\nNäiteks täringul sündmused \"paarisarv\" ja \"suurem kui 3\" kattuvad tulemuste 4 ja 6 juures. Seetõttu ei saa nende tõenäosusi otse liita.\n\nTeine tüüpviga on kasutada tinglikus tõenäosuses vale nimetajat. Kui tingimus kitsendab valikut, tuleb kõik võimalused lugeda ainult selle tingimuse seest.\n\nKolmas tüüpviga on eeldada, et kõik tulemused on alati võrdvõimalikud. Täringu tulemused on tavaliselt võrdvõimalikud, aga näiteks klassist juhuslikult valitud õpilase huviring ei pruugi olla igas rühmas sama jaotusega.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Täringut visates, kui suur on tõenäosus saada arv 5?\n2. Täringut visates, kui suur on tõenäosus saada arv, mis on suurem kui 4?\n\n### Rakendus\n\n3. Münti kaks korda visates, kui suur on tõenäosus saada kaks kulli?\n4. Kotis on 3 punast ja 2 sinist palli. Kui valid ühe palli, kui suur on tõenäosus saada sinine?\n5. Klassi loosikastis on 6 sinist, 3 rohelist ja 1 kollane pilet. Kui valid ühe pileti, kui suur on tõenäosus saada roheline?\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n6. Miks peab kontrollima, kas sündmused kattuvad?\n7. Spordipäeva loosimisel võidavad auhinna kõik, kes tõmbavad sinise või kollase pileti. Kui loosikast on eelmise ülesande oma, kui suur on võidu tõenäosus?\n8. Klassis on 10 tüdrukut ja 14 poissi. Matemaatikaringis käib 4 tüdrukut ja 2 poissi. Kui tead, et loositud õpilane käib matemaatikaringis, kui suur on tõenäosus, et ta on tüdruk?\n9. Kui katset tehti 40 korda ja sündmus toimus 18 korda, mis on sündmuse suhteline sagedus?\n\n## Vastused\n\n1. Üks soodne tulemus kuuest: `$\\frac16$`, mis jääb vahemikku 0 kuni 1.\n2. Soodsad tulemused on 5 ja 6, kokku kaks tulemust kuuest: `$\\frac26=\\frac13$`.\n3. Üks soodne tulemus neljast võrdvõimalikust tulemuste paarist: `$\\frac14$`.\n4. Siniseid palle on 2 ja palle kokku 5, seega `$\\frac25$`.\n5. Rohelisi pileteid on 3 ja pileteid kokku 10, seega `$\\frac3{10}$`.\n6. Kui sündmused kattuvad, loetakse kattuvad tulemused lihtsal liitmisel kaks korda.\n7. Sinised ja kollased piletid ei kattu, seega soodsaid on 7 kõigist 10-st: `$\\frac7{10}$`.\n8. Tingimus kitsendab valiku matemaatikaringi: seal on 6 õpilast, neist 4 tüdrukut, seega `$P=\\frac46=\\frac23$`.\n9. Suhteline sagedus on `$\\frac{18}{40}=0,45=45\\%$`; see on katse tulemus, mitte kindel tõenäosus.\n\n## Seosed\n\nTõenäosus seostub statistika, kombinatoorika, juhuslike protsesside ja riskide hindamisega. Järgmises kombinatoorika peatükis õpid loendama kõiki võimalusi siis, kui ükshaaval üleskirjutamine muutub liiga aeglaseks või veaohtlikuks.\n" }, { "id": "andmed.kombinatoorika", "title": "Kombinatoorika", "strand": "40-andmed", "order": "40.30", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 7, "main": 10, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "arvud.naturaalarvud-ja-tehted", "andmed.toenaosuse-alused" ], "review_modules": [ "arvud.jaguvus-algarvud-sut", "andmed.tabelid-diagrammid-keskmised" ], "extension_modules": [ "andmed.hajuvus-ja-jaotused", "andmed.toenaosusmudelid-ja-statistiline-jareldus" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-11" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/40-andmed/40.30-kombinatoorika.md", "source_sha256": "37872155a9305db581ab3ff13a2561dd4433aff83a31003cd34967fb417564bf", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/40.30-kombinatoorika.html", "content_markdown": "# Kombinatoorika\n\n## Mõiste\n\nKombinatoorika aitab lugeda valikuid, järjekordi ja koode.\n\nEeldus: oskad korrutada naturaalarve ning lugeda tõenäosuses soodsaid ja kõiki võimalusi.\n\nEnne arvutust sõnasta, millal kaks tulemust loetakse samaks ja millal erinevaks.\n\n## Põhireeglid\n\nKolme erineva raamatu A, B ja C kõik järjestused on **ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA**. Esimesele kohale on 3, teisele 2 ja viimasele 1 valikut: $3\\cdot2\\cdot1=6$. Need on permutatsioonid.\n\nKui üks valik on võimalik `$m$` viisil ja teine `$n$` viisil, siis järjestikuseid valikuid on\n\n$$m\\cdot n.$$\n\nSee on korrutamisreegel.\n\nEnne valemi valimist küsi:\n\n| Küsimus | Kui vastus on jah | Tüüpiline valem |\n| --- | --- | --- |\n| Kas valikud tehakse järjest? | kasuta korrutamisreeglit | `$m\\cdot n\\cdot\\ldots$` |\n| Kas järjestatakse kõik `$n$` objekti? | permutatsioon | `$n!$` |\n| Kas valitakse `$k$` objekti ja järjekord loeb? | variatsioon | `$\\frac{n!}{(n-k)!}$` |\n| Kas valitakse `$k$` objekti ja järjekord ei loe? | kombinatsioon | `$\\binom nk$` |\n\nKui valitud objektidel on erinevad rollid või kohad, siis järjekord loeb. Kui moodustub samaväärsete liikmetega rühm, siis järjekord ei loe.\n\nVastandnäited:\n\n| Olukord | Kas järjekord loeb? | Põhjus |\n| --- | --- | --- |\n| Valitakse 2-liikmeline võistkond | ei | Mari-Jüri ja Jüri-Mari on sama võistkond |\n| Valitakse kapten ja abikapten | jah | rollid on erinevad |\n| Moodustatakse 3-kohaline kood | jah | 123 ja 321 on eri koodid |\n| Valitakse 3 raamatut suveks | ei | valik on sama, isegi kui nimetad raamatuid teises järjekorras |\n\nPermutatsioonide arv:\n\n$$n!=1\\cdot2\\cdot3\\cdots n.$$\n\nVariatsioonide arv, kui valitakse `$n$` erinevast objektist `$k$` objekti ilma kordusteta ja järjekord loeb (`$0\\le k\\le n$`, mõlemad täisarvud):\n\n$$V_n^k=\\frac{n!}{(n-k)!}.$$\n\nKombinatsioonide arv samadel tingimustel, kui järjekord ei loe:\n\n$$\\binom nk=\\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$\n\n## Näide\n\nViie erineva raamatu A, B, C, D ja E seast kahe valimisel on järjekorraga $5\\cdot4=20$ võimalust. Järjekorrata on AB ja BA sama paar. Iga paari loeti kaks korda, seega $20/2=10$.\n\nKõik järjekorrata paarid: **AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE**.\n\nKui valida 5 õpilase seast 2 esindajat, siis võimalusi on\n\n$$\\binom52=\\frac{5!}{2!3!}=10.$$\n\nKui samast 5 õpilasest valitakse president ja asepresident, siis järjekord loeb:\n\n$$V_5^2=5\\cdot4=20.$$\n\nKui 4 inimest pannakse järjekorda, siis võimalusi on\n\n$$4!=24.$$\n\nKui menüüs on 3 jooki ja 4 magustoitu, siis ühe joogi ja ühe magustoidu valikuid on\n\n$$3\\cdot4=12.$$\n\nSama 5 õpilase näide näitab, miks küsimus loeb:\n\n- 2 esindajat: `$\\binom52=10$`;\n- esimees ja aseesimees: `$5\\cdot4=20$`;\n- kõik 5 õpilast järjekorras: `$5!=120$`.\n\n::: explanation Kaks täringut: 36 paari, 21 paaritüüpi või 11 summat?\nEsimese ja teise täringu tulemused moodustavad järjestatud paari: $(1;2)$ ja $(2;1)$ on erinevad. Kui võtta esimene tulemus $x$- ja teine $y$-koordinaadiks, saame 36 erinevat punkti.\n\n![Kahe täringu 36 tulemust ja nende summad](assets/dice-outcomes.svg \"Iga ruut vastab täringutulemuste paarile; arv ruudus näitab summat ning sinised ruudud annavad summa 7.\")\n\nJärjekorrata on 6 võrdsete arvudega paari ning $30/2=15$ erinevate arvudega paari: kokku 21 paaritüüpi. Summasid on 11, arvud 2 kuni 12. Summa 7 tuleb kuuel viisil, summa 2 ühel.\n\nSõltumatute ausate täringute 36 järjestatud paari on võrdvõimalikud. Paaritüübid ja summad ei ole: $(1;2)$ või $(2;1)$ tõenäosus on kokku $2/36$, aga $(1;1)$ tõenäosus $1/36$.\n:::\n\n## Tüüpviga\n\nKui järjekord ei loe, ära kasuta permutatsioone. Paar `Mari ja Jüri` on sama paar mis `Jüri ja Mari`.\n\nKui rollid on erinevad, siis järjekord loeb. Paar \"president Mari, asepresident Jüri\" ei ole sama mis \"president Jüri, asepresident Mari\".\n\nTeine tüüpviga on korduste lubamist märkamata jätta. Koodis võivad kordused olla lubatud või keelatud:\n\n- kui kordused on lubatud, siis 3-kohalise koodi jaoks numbritest 1, 2, 3 on `$3\\cdot3\\cdot3=27$` võimalust;\n- kui kordused ei ole lubatud, siis võimalusi on `$3\\cdot2\\cdot1=6$`.\n\nKolmas tüüpviga on kasutada kombinatsiooni siis, kui kohtadel on tähendus. Kui auhinnad on kuld, hõbe ja pronks, siis järjekord loeb.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Mitu kolmekohalist koodi saab moodustada numbritest 1, 2, 3, kui kordused on lubatud?\n2. Mitu viisi on 4 inimest järjekorda panna?\n3. Kui mitmel viisil saab valida 6 õpilase seast 3?\n4. Kui mitmel viisil saab valida 6 õpilase seast esimehe ja aseesimehe?\n\n### Rakendus\n\n5. Kohvikus on 5 võileiba ja 3 jooki. Mitu viisi on valida üks võileib ja üks jook?\n6. Mitu kolmekohalist koodi saab moodustada numbritest 1, 2, 3, kui kordused ei ole lubatud?\n7. Klassis on 8 õpilast. Kui mitmel viisil saab valida 2-liikmelise tööpaari?\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n8. Samast 8 õpilasest valitakse esineja ja ajamõõtja. Mitu võimalust on?\n9. Kui mitmel viisil saab 5 raamatut riiulisse järjekorda panna?\n10. Otsusta, kas järjekord loeb: valitakse 3 õpilast ekskursiooni korraldustiimi. Põhjenda.\n11. Numbrid 1, 2, 3 pannakse juhuslikku järjekorda. Kui suur on tõenäosus, et esimene number on 1?\n\n## Vastused\n\n1. `$3\\cdot3\\cdot3=27$`.\n2. `$4!=24$`.\n3. `$\\binom63=20$`, sest 3-liikmelises rühmas järjekord ei loe.\n4. `$6\\cdot5=30$`, sest esimese koha jaoks on 6 ja teise jaoks 5 valikut.\n5. `$5\\cdot3=15$`.\n6. `$3\\cdot2\\cdot1=6$`.\n7. `$\\binom82=28$`, sest tööpaaris rollid ei erine.\n8. `$8\\cdot7=56$`, sest esineja ja ajamõõtja on eri rollid.\n9. `$5!=120$`.\n10. Ei loe, kui kõigil kolmel on sama roll korraldustiimis; siis kasutatakse kombinatsiooni.\n11. Kõiki järjekordi on `$3!=6$`; soodsaid on 2: 123 ja 132. Tõenäosus on `$\\frac26=\\frac13$`.\n\n## Seosed\n\nKombinatoorika aitab tõenäosuses nimetajat ja lugejat leida. Järgmistes andmete peatükkides nihkub rõhk loendamiselt hajuvusele, jaotustele ning Bernoulli mudelile.\n" }, { "id": "andmed.hajuvus-ja-jaotused", "title": "Hajuvus ja jaotused", "strand": "40-andmed", "order": "40.40", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 8, "main": 10, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "andmed.tabelid-diagrammid-keskmised" ], "review_modules": [ "andmed.toenaosuse-alused", "arvud.protsendid-suhted-vorded" ], "extension_modules": [ "andmed.toenaosusmudelid-ja-statistiline-jareldus" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-11" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/40-andmed/40.40-hajuvus-ja-jaotused.md", "source_sha256": "46f5b8b110e5f6ede2f1670edbc8332c0ced5a940a970947de6b8960cce02a0b", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/40.40-hajuvus-ja-jaotused.html", "content_markdown": "# Hajuvus ja jaotused\n\n## Mõiste\n\nHajuvus kirjeldab väärtuste laialiolekut: hinded 4; 4; 5 on koos, aga 1; 4; 5 hajusamad.\n\nKeskmine näitab tüüpilist taset, hajuvus väärtuste kõikumist selle ümber.\n\nEnne üldistamist küsi, kas andmeid on piisavalt ja kas need kirjeldavad uuritavat rühma.\n\nEeldus: oskad andmeid järjestada ning leida keskmist, mediaani ja suurimat-väikseimat väärtust.\n\n## Olulised näitajad\n\n- Ulatus: suurim väärtus miinus väikseim väärtus.\n- Kvartiilid märgivad järjestatud andmete neljaks osaks jaotamise piire.\n- Standardhälve näitab, kui kaugel väärtused keskmisest enamasti paiknevad.\n\n![Karpdiagrammi osad](assets/box-plot.svg \"Karpdiagramm näitab mediaani, kvartiile ning miinimumi ja maksimumi.\")\n\nKvartiilide mõte:\n\n| Tähis | Tähendus |\n| --- | --- |\n| `min` | väikseim väärtus |\n| `$Q_1$` | alumise poole mediaan |\n| mediaan | keskmine väärtus või kahe keskmise väärtuse aritmeetiline keskmine |\n| `$Q_3$` | ülemise poole mediaan |\n| `max` | suurim väärtus |\n\nKarpdiagrammi kast ulatub $Q_1$-st $Q_3$-ni ning tähistab kvartiilide järgi andmestiku keskmist poolt. Lõpliku valimi ja korduvate väärtuste korral ei pruugi suletud vahemikku $[Q_1;Q_3]$ jääda täpselt 50% vaatlustest. Näiteks andmestikus 1; 1; 1; 1; 1 on $Q_1=Q_3=1$ ning kõik vaatlused asuvad selles suletud vahemikus. Mida pikem kast, seda suurem on andmete keskosa hajuvus.\n\n### Standardhälbe arvutamine (gümnaasium)\n\nKui kirjeldame kogu vaadeldavat andmestikku $x_1,\\ldots,x_n$, kus $n\\ge1$, siis\n\n$$\\sigma=\\sqrt{\\frac{(x_1-\\bar x)^2+\\cdots+(x_n-\\bar x)^2}{n}}.$$\n\n$\\bar x$ on aritmeetiline keskmine. Lahutame igast väärtusest keskmise, võtame vahed ruutu, leiame ruutude keskmise ja sellest ruutjuure. Väike standardhälve tähendab väiksemat hajuvust. Valimi põhjal üldkogumi hajuvust hinnates kasutatakse sageli teist valemit, mille jagaja on $n-1$.\n\nJaotus kirjeldab väärtuste esinemist. Binoomjaotus loendab õnnestumisi kindlas arvus sõltumatutes jah/ei-katsetes, kus õnnestumise tõenäosus püsib sama. Normaaljaotus on kellukakujuline mudel paljude mõõtmistulemuste jaoks.\n\nUsaldusvahemik hindab valimi põhjal üldkogumi keskmist. See ei ole kindel lubadus.\n\n## Näide\n\n**Kvartiilide kokkulepe siin:** leia alumise ja ülemise poole mediaan; paaritu arvu vaatluste korral jäta kogu andmestiku mediaan pooltest välja. Teised meetodid võivad anda teised kvartiilid, eriti väikese andmestiku puhul.\n\n| Järjestatud andmed | Mediaan | $Q_1$ | $Q_3$ |\n| --- | --- | --- | --- |\n| 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 | $(4+5)/2=4,5$ | $(2+3)/2=2,5$ | $(6+7)/2=6,5$ |\n| 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 | $5$ | $(2+3)/2=2,5$ | $(7+8)/2=7,5$ |\n\nMediaan ei pea olema üks andmete väärtustest. Kvartiilist väiksemaks ei pea jääma täpselt 25% vaatlustest.\n\nAndmete 3, 4, 8, 10 ulatus on\n\n$$10-3=7.$$\n\nAndmed: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.\n\nMediaan on `$7$`. Alumine pool on 2, 3, 5, seega\n\n$$Q_1=3.$$\n\nÜlemine pool on 11, 13, 17, seega\n\n$$Q_3=13.$$\n\nKarpdiagrammi viis arvu on\n\n$$\\min=2,\\quad Q_1=3,\\quad \\text{mediaan}=7,\\quad Q_3=13,\\quad \\max=17.$$\n\nVõrdlus: andmestikel 4, 5, 6 ja 1, 5, 9 on mõlemal keskmine 5, aga teisel on hajuvus suurem.\n\nAndmete 1, 1, 5, 5 keskmine on 3. Standardhälve on\n\n$$\\sigma=\\sqrt{\\frac{(1-3)^2+(1-3)^2+(5-3)^2+(5-3)^2}{4}}=\\sqrt4=2.$$\n\n## Tüüpviga\n\nKeskmise teadmine üksi ei ütle, kas väärtused on keskmise lähedal või väga laiali.\n\nTeine tüüpviga on kvartiile otsida enne andmete järjestamist. Kvartiilid ja mediaan leitakse järjestatud andmetest.\n\nKolmas tüüpviga on nimetada iga kellukakujulist pilti automaatselt normaaljaotuseks. Enne mudeli kasutamist tuleb küsida, kas andmete kuju ja olukord seda toetavad.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Leia andmete 2, 3, 9, 11, 15 ulatus.\n2. Miks on mediaan mõnikord parem kui keskmine?\n\n### Rakendus\n\n3. Mida näitab karpdiagrammi pikk kast?\n4. Leia andmete 1, 4, 5, 8, 10 mediaan.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n5. Leia andmete 1, 4, 5, 8, 10 `$Q_1$` ja `$Q_3$`, kui mediaan jäetakse poolte leidmisel välja.\n6. Leia sama andmestiku ulatus.\n7. Millal sobib binoomjaotus paremini kui tavaline keskmise arvutamine?\n8. Mida ütleb lai usaldusvahemik valimi põhjal tehtud hinnangu kohta?\n9. Kahel andmestikul on sama ulatus 10. Ühel on karpdiagrammi kast lühike, teisel pikk. Mida see tähendab?\n10. Leia andmete 2, 2, 6, 6 keskmine ja standardhälve, jagades hälvete ruutude summa andmete arvuga.\n11. Igale eelmise ülesande väärtusele liidetakse 10. Kas standardhälve muutub? Põhjenda.\n\n## Vastused\n\n1. `$15-2=13$`; andmed ulatuvad väikseimast suurimani 13 ühiku võrra.\n2. Mediaan on erandite suhtes vähem tundlik, sest ta sõltub järjestatud andmete keskosast.\n3. Kvartiilidega kirjeldatud andmete keskosa on rohkem laiali: vahe $Q_1$-st $Q_3$-ni on suurem.\n4. `$5$`, sest järjestatud andmestiku keskel on 5.\n5. Alumine pool 1, 4 annab `$Q_1=2,5$`; ülemine pool 8, 10 annab `$Q_3=9$`. Keskmine pool jääb nende vahele.\n6. `$10-1=9$`; see on äärmuste vahe, mitte tüüpiline kõikumine keskosa ümber.\n7. Kui loendame õnnestumisi kindlas arvus sõltumatutes kahe tulemusega katsetes, mille õnnestumise tõenäosus on sama.\n8. Hinnang on ebatäpsem; valim võib olla väike või andmed on väga hajuvad.\n9. Mõlemal on äärmuste vahe sama, aga pika kastiga andmestikus on kvartiilidega kirjeldatud keskosa rohkem hajunud.\n10. Keskmine on 4; standardhälve on $\\sqrt{(4+4+4+4)/4}=2$.\n11. Ei. Keskmine suureneb samuti 10 võrra, seega hälbed keskmisest jäävad samaks.\n\n## Seosed\n\nHajuvus aitab hinnata, kas üks arv, näiteks keskmine, kirjeldab andmeid piisavalt hästi. Järgmises andmete peatükis kasutatakse sama mõtet valimi, usaldusvahemiku ja statistilise järelduse hindamisel.\n" }, { "id": "andmed.toenaosusmudelid-ja-statistiline-jareldus", "title": "Tõenäosusmudelid ja statistiline järeldus", "strand": "40-andmed", "order": "40.45", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 10, "main": 11, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "gümnaasium" ], "difficulty": 5, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "andmed.toenaosuse-alused", "andmed.kombinatoorika", "andmed.hajuvus-ja-jaotused" ], "review_modules": [ "arvud.protsendid-suhted-vorded", "modelleerimine.probleemilahendus-ja-mudelid" ], "extension_modules": [], "used_directly_in_class_books": [ "klass-11" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/40-andmed/40.45-toenaosusmudelid-ja-statistiline-jareldus.md", "source_sha256": "ae630a2b7d1611a7f77b3465c4d134e93c8f534ce98912519713dabbb5c14e24", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/40.45-toenaosusmudelid-ja-statistiline-jareldus.html", "content_markdown": "# Tõenäosusmudelid ja statistiline järeldus\n\n## Mõiste\n\nTõenäosusmudel kirjeldab, millised tulemused võivad juhtuda ja kui tõenäolised need on. Statistiline järeldus liigub vastupidises suunas: valimi andmete põhjal hinnatakse suuremat üldkogumit.\n\nEeldus: oskad arvutada klassikalist tõenäosust, loendada kombinatsioone ning tõlgendada keskmist ja standardhälvet.\n\n::: explanation Sündmused hulgajoonistel\n![Sündmused A ja B ning tehted nendega](assets/event-sets.svg \"Värvitud piirkond näitab igal joonisel nimetatud sündmust; raam sisaldab kõiki võimalikke tulemusi.\")\n\nRaam $\\Omega$ sisaldab kõiki katsetulemusi. Ühend $A\\cup B$: toimub vähemalt üks. Ühisosa $A\\cap B$: toimuvad mõlemad. Täiend $\\overline A$: $A$ ei toimu. Vahe $A\\setminus B$: toimub $A$, aga mitte $B$. Piirkonna pindala ei näita siin tõenäosuse suurust.\n:::\n\n$P(\\overline A)=1-P(A)$ ja $P(A\\setminus B)=P(A)-P(A\\cap B)$.\n\nSündmuste summa tähendab, et toimub vähemalt üks sündmus:\n\n$$\nP(A\\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\\cap B).\n$$\n\nÜhisosa lahutatakse, sest muidu loendataks see kaks korda. Kui sündmused on sõltumatud, siis\n\n$$\nP(A\\cap B)=P(A)P(B).\n$$\n\nÜldisemalt\n\n$$\nP(A\\cap B)=P(A)P(B\\mid A),\n$$\n\nkus $P(B\\mid A)$ on sündmuse $B$ tinglik tõenäosus pärast seda, kui $A$ on toimunud.\n\nBernoulli mudel sobib, kui tehakse $n$ sõltumatut sama õnnestumistõenäosusega $p$ katset. Täpselt $k$ õnnestumise tõenäosus on\n\n$$\nP(X=k)=\\binom nk p^k(1-p)^{n-k}.\n$$\n\nSellise binoomjaotuse keskväärtus on $E(X)=np$.\n\nKorrelatsioonikordaja $r$ kirjeldab lineaarse seose suunda ja tugevust: $-1\\le r\\le1$. Korrelatsioon ei tõesta põhjuslikku seost.\n\nUsaldusvahemik annab valimi põhjal mõistliku väärtuspiirkonna üldkogumi tunnusele. Suurem esinduslik valim annab tavaliselt kitsama vahemiku; kallutatud valimit ei paranda pelgalt suur vastajate arv.\n\n![Tõenäosusmudelist järelduseni](assets/probability-inference-flow.svg \"Mudeli eeldused määravad arvutusviisi ning valimi esinduslikkus määrab, kui usaldusväärselt saab tulemust üldkogumile laiendada.\")\n\n## Näide\n\nAusat münti visatakse viis korda. Leiame täpselt kolme kirja tõenäosuse:\n\n$$\nP(X=3)=\\binom53\\left(\\frac12\\right)^3\n\\left(\\frac12\\right)^2\n=\\frac{10}{32}\n=0{,}3125.\n$$\n\nKui uuringus on õppimise aja ja testitulemuse korrelatsioon $r=0{,}62$, näitab see mõõdukat positiivset lineaarset seost. Sellest üksi ei järeldu, et pikem õppimine on ainus tulemuse põhjus.\n\n## Tüüpviga\n\nSõltumatust ei tohi eeldada ainult mugavuse pärast. Kaartide võtmisel ilma tagasipanekuta muutub teise sündmuse tõenäosus.\n\nTeine tüüpviga on liita sündmuste tõenäosused ühisosa lahutamata. Valem $P(A)+P(B)$ sobib otse ainult välistavate sündmuste korral.\n\nVälistavad sündmused ei saa koos toimuda. Sõltumatud sündmused on midagi muud: ühe toimumine ei muuda teise tõenäosust.\n\nKolmas tüüpviga on tõlgendada korrelatsiooni põhjusena või laiendada mugavusvalimi tulemus kogu elanikkonnale.\n\n::: teacher Õpetaja diagnostika\nKüsi: „Kuidas valim saadi?” ja „Kas kaks nähtust võivad sõltuda kolmandast tegurist?” Vastused näitavad, kas õppija hindab enne arvutamist järelduse usaldusväärsust.\n:::\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Visatakse kahte ausat münti. Leia kahe kirja tõenäosus.\n2. Kui $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$ ja sündmused on sõltumatud, leia $P(A\\cap B)$.\n3. Mida tähendab korrelatsioon $r=-0{,}8$?\n\n### Rakendus\n\n4. Täringul olgu $A$ paarisarv ja $B$ arv vähemalt 5. Leia $P(A\\cup B)$.\n5. Katsel on õnnestumise tõenäosus 0,2. Leia täpselt ühe õnnestumise tõenäosus nelja sõltumatu katse korral.\n6. Tõlgenda koolilõuna uuringu kahte valimit: söökla ukse juures esimesed 20 vastajat ja juhuvalik kõigi klasside õpilastest. Otsusta, kumb esindab kooli paremini, ning põhjenda.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Miks ei tõesta tugev jäätisemüügi ja ujumisõnnetuste korrelatsioon, et jäätis põhjustab õnnetusi?\n8. Bernoulli katses on $n=100$ ja $p=0{,}6$. Leia õnnestumiste oodatav arv ning selgita, miks tegelik arv ei pea olema täpselt sama.\n9. Kaks uuringut annavad sama valimikeskmise, kuid ühe usaldusvahemik on palju laiem. Nimeta kaks võimalikku põhjust.\n\n## Vastused\n\n1. $\\frac14$, sest mõlemad sõltumatud mündid peavad andma kirja.\n2. $0{,}4\\cdot0{,}5=0{,}2$.\n3. Tugev negatiivne lineaarne seos: ühe tunnuse kasvuga kipub teine vähenema.\n4. $A=\\{2,4,6\\}$ ja $B=\\{5,6\\}$; ühend on $\\{2,4,5,6\\}$, seega $P(A\\cup B)=\\frac46=\\frac23$.\n5. $\\binom41(0{,}2)(0{,}8)^3=0{,}4096$.\n6. Juhuvalik kõigist klassidest, sest see esindab kooli õpilasi paremini ja vähendab valikukallet.\n7. Mõlemat võib mõjutada soe ilm; ühine kolmas tegur tekitab seose ilma otsese põhjuslikkuseta.\n8. $E(X)=np=60$. Keskväärtus kirjeldab paljude korduste keskmist, mitte ühe katse kohustuslikku tulemust.\n9. Valim võib olla väiksem või andmed hajuvamad; mõlemad suurendavad hinnangu ebakindlust.\n\n## Seosed\n\nTõenäosusmudel seob kombinatoorika arvutuse andmete tõlgendamisega. Sama mudelikontrolli kasutatakse hiljem finants-, kasvu- ja optimeerimisülesannetes.\n" }, { "id": "algebra.muutuja-ja-avaldis", "title": "Muutuja ja avaldis", "strand": "50-algebra", "order": "50.10", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 5, "main": 7, "end": 10, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "II kooliaste", "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 2, "module_tags": [ "concept", "skill" ], "prerequisites": [ "arvud.naturaalarvud-ja-tehted", "arvud.negatiivsed-arvud" ], "review_modules": [ "arvud.kumnendsusteem-ja-umardamine", "arvud.murrud-ja-kumnendmurrud" ], "extension_modules": [ "algebra.vorrandid-ja-vorratused" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-7", "klass-8", "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/50-algebra/50.10-muutuja-ja-avaldis.md", "source_sha256": "2475de6827074e5c6e419192c9b0f3491481b501c8235399918612bab13caf52", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/50.10-muutuja-ja-avaldis.html", "content_markdown": "# Muutuja ja avaldis\n\n## Mõiste\n\nMuutuja on täht, mis tähistab arvu. Avaldis kirjeldab arvutust üldisel kujul.\n\nTekstülesandes ütle enne avaldist, mida muutuja tähistab ja mis ühikus seda mõõdetakse. Muutuja nimi ei ole ühik: lauses \"`$p$` on pileti hind eurodes\" on `$p$` arv ja euro on ühik.\n\nErista kolme asja: täht on muutuja nimi, asendatav arv on muutuja väärtus ja ühik ütleb, mida see arv mõõdab.\n\nEeldus: oskad tehete järjekorda, negatiivsete arvudega arvutamist ja lihtsat tekstülesannet arvutuseks tõlkida.\n\nAvaldises ei pea olema võrdusmärki. Võrrand tekib siis, kui kaks avaldist pannakse võrduma.\n\nAvaldise väärtuse leidmiseks asenda muutujad antud arvudega ja järgi tehete järjekorda.\n\n![Tehete järjekorra sammud](assets/operation-order.svg \"Tehete järjekord: enne sulud, siis astmed, seejärel korrutamine ja jagamine ning lõpuks liitmine ja lahutamine.\")\n\nAsendamisel tee kolm sammu:\n\n1. kirjuta avaldis ümber nii, et muutujate asemele tulevad sulgudes arvud;\n2. arvuta astmed, sulud ja korrutised;\n3. lõpuks liida ja lahuta.\n\n## Näide\n\nRistküliku pindala:\n\n$$S=ab.$$\n\nKui `$a=4$` ja `$b=7$`, siis\n\n$$S=4\\cdot7=28.$$\n\nAvaldise väärtus:\n\n$$2x+3y$$\n\nkui `$x=5$` ja `$y=-2$`, on\n\n$$2\\cdot5+3\\cdot(-2)=10-6=4.$$\n\nMitmeastmeline asendamine:\n\n$$3x^2-2y+4$$\n\nkui `$x=-2$` ja `$y=5$`, on\n\n$$3\\cdot(-2)^2-2\\cdot5+4=3\\cdot4-10+4=12-10+4=6.$$\n\nPane tähele, et negatiivne arv pannakse astme korral sulgudesse: `$(-2)^2=4$`.\n\nVastus: ristküliku pindala on 28, avaldise `$2x+3y$` väärtus on 4 ja avaldise `$3x^2-2y+4$` väärtus on 6.\n\nKontroll: asendamisel pannakse negatiivne arv sulgudesse, et aste rakenduks kogu arvule, mitte ainult numbrile 2.\n\n## Lihtsustamine\n\nSarnaseid liikmeid saab koondada:\n\n$$3x+5x=8x.$$\n\nSarnased liikmed on sama muutujaga ja sama astmega liikmed:\n\n$$4x^2+3x-2x^2+7x=2x^2+10x.$$\n\nSulgude avamisel korrutatakse sulgude ees olev tegur iga sulus oleva liikmega:\n\n$$3(x+2)=3x+6.$$\n\nKui sulgude ees on miinusmärk, muutuvad märgid:\n\n$$-(x-4)=-x+4.$$\n\nMitmeastmeline lihtsustamine:\n\n$$2(x+3)-4x+5(x-1).$$\n\nKõigepealt ava sulud:\n\n$$2x+6-4x+5x-5.$$\n\nSeejärel koonda sarnased liikmed:\n\n$$2x-4x+5x+6-5=3x+1.$$\n\nKui avaldises on mitu muutujat, koonda iga tüüpi liikmed eraldi:\n\n$$4a-3b+2a+7b-5=6a+4b-5.$$\n\n## Tüüpviga\n\nAvaldis `$3x$` tähendab `$3\\cdot x$`, mitte arvu, mille kümneliste number on 3.\n\nTeine tüüpviga on koondada mittesarnaseid liikmeid:\n\n$$3x+5\\ne8x.$$\n\nKolmas tüüpviga on sulgude avamisel korrutada ainult esimest liiget:\n\n$$2(x+5)\\ne2x+5.$$\n\nÕige on\n\n$$2(x+5)=2x+10.$$\n\nNeljas tüüpviga on kaotada asendamisel negatiivse arvu sulud:\n\n$$x^2\\text{ kui }x=-3\\quad\\text{on}\\quad(-3)^2=9,$$\n\nmitte `$-3^2=-9$`.\n\nViies tüüpviga on koondada ainult kordajad ja unustada muutujad:\n\n$$2a+3b$$\n\nei lihtsustu kujule `$5ab$`. Need ei ole sarnased liikmed.\n\n### Teine seletusviis\n\nMuutuja on nagu tühi koht lauses. Enne arvutamist ütle see lause välja: \"`$x$` tähendab ...\".\n\nTekstist avaldiseks minnes küsi, mis kordub ja mis lisandub üks kord. Kui teenustasu lisandub kogu ostule, on 4 pileti hind `$4p+2$`; kui teenustasu lisandub iga pileti juurde, on hind `$4(p+2)$`.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Leia avaldise `$4x-3$` väärtus, kui `$x=5$`.\n2. Leia avaldise `$2a+b$` väärtus, kui `$a=-1$` ja `$b=7$`.\n3. Lihtsusta `$6x+2x-5$`.\n4. Lihtsusta `$3y^2+4y-y^2$`.\n\n### Rakendus\n\n5. Ava sulud ja lihtsusta `$2(x-3)+5x$`.\n6. Leia avaldise `$3x^2-2x+1$` väärtus, kui `$x=-2$`.\n7. Lihtsusta `$4(a+2)-3a+5$`.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n8. Lihtsusta `$2x-3y+5x+7y-4$`.\n9. Ava sulud ja lihtsusta `$5-(2x-3)$`.\n10. Leia avaldise `$ab+2a-b$` väärtus, kui `$a=3$` ja `$b=-4$`.\n11. Pilet maksab `$p$` eurot ja teenustasu on 2 eurot. Kirjuta avaldis 4 pileti koguhinna jaoks.\n12. Kirjuta avaldis 4 pileti hinna jaoks, kui 2-eurone teenustasu lisandub iga pileti juurde eraldi.\n\n## Vastused\n\n1. `$17$`, sest `$4\\cdot5-3=17$`.\n2. `$5$`, sest `$2\\cdot(-1)+7=5$`.\n3. `$8x-5$`, sest koondada saab ainult `$x$`-liikmed.\n4. `$2y^2+4y$`, sest `$y^2$` ja `$y$` ei ole sarnased liikmed.\n5. `$2x-6+5x=7x-6$`, sest sulgude ees olev 2 korrutab mõlemat liiget.\n6. `$3\\cdot(-2)^2-2\\cdot(-2)+1=12+4+1=17$`, sest negatiivne arv pannakse astme jaoks sulgudesse.\n7. `$4a+8-3a+5=a+13$`, sest `$a$`-liikmed ja arvliikmed koondatakse eraldi.\n8. `$7x+4y-4$`, sest `$x$`-liikmed ja `$y$`-liikmed koondatakse eraldi.\n9. `$5-2x+3=8-2x$`, sest miinus sulgude ees muudab märgid.\n10. `$3\\cdot(-4)+2\\cdot3-(-4)=-12+6+4=-2$`.\n11. `$4p+2$`, kui teenustasu lisandub kogu ostule ühe korra.\n12. `$4(p+2)$`, sest iga pileti hinnale lisandub 2 eurot.\n\n## Seosed\n\nAvaldised on võrrandite, funktsioonide ja valemite keel. Järgmises peatükis kasutatakse avaldisi juba võrduste ja võrratuste koostamiseks.\n" }, { "id": "algebra.vorrandid-ja-vorratused", "title": "Võrrandid ja võrratused", "strand": "50-algebra", "order": "50.20", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 6, "main": 7, "end": 11, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "II kooliaste", "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 3, "module_tags": [ "skill", "application" ], "prerequisites": [ "arvud.negatiivsed-arvud", "algebra.muutuja-ja-avaldis" ], "review_modules": [ "arvud.murrud-ja-kumnendmurrud", "arvud.protsendid-suhted-vorded" ], "extension_modules": [ "algebra.lineaarvorrandisusteemid" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-7", "klass-8", "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/50-algebra/50.20-vorrandid-ja-vorratused.md", "source_sha256": "9c62e011801dee33d7b676e1111f9132a2bf2e0beb42466db3ef20dbf2a2897f", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/50.20-vorrandid-ja-vorratused.html", "content_markdown": "# Võrrandid ja võrratused\n\n## Mõiste\n\nVõrrandis otsime tundmatu väärtust, mis teeb võrduse tõeseks. Võrratus kirjeldab, millal üks avaldis on teisest suurem või väiksem.\n\nEeldus: oskad lihtsustada avaldisi, töötada negatiivsete arvudega ja kontrollida vastust asendamisega.\n\nLahendihulk on kõigi lahendite hulk. Näiteks kui võrrandi ainus lahend on `$5$`, siis lahendihulk on\n\n$$L=\\{5\\}.$$\n\nVõrrand võib anda ühe arvu; võrratus annab sageli terve piirkonna arvteljel.\n\nVõrratusel võib olla lõpmatult palju lahendeid. Näiteks `$x>3$` tähendab kõiki arve, mis on suuremad kui `$3$`.\n\nTekstülesande muutmine võrrandiks:\n\n1. vali tundmatu ja ütle, mida see tähendab;\n2. kirjuta tekstist avaldised;\n3. pane avaldised võrrandisse või võrratusse;\n4. lahenda;\n5. kontrolli vastust algses olukorras.\n\nTekstülesandes peab vastus sobima ühiku ja piiranguga: inimeste arv ei saa olla `2,5` ning pikkus ei saa olla negatiivne.\n\n## Reegel\n\nVõrrandi mõlemale poolele võib liita sama arvu või mõlemalt poolelt lahutada sama arvu. Mõlemad pooled võib korrutada või jagada sama **nullist erineva arvuga**; need teisendused säilitavad lahendihulga.\n\nNulliga korrutamine annab näiteks võrrandist $x=2$ võrduse $0=0$, mis sobib iga $x$ korral. Nulliga jagamine ei ole määratud. Tundmatut sisaldava avaldisega jagamisel tuleb eraldi kontrollida, millal see avaldis on null: võrrandi $x(x-1)=0$ jagamisel $x$-ga kaoks lahend $x=0$.\n\nVõrratuse puhul pöördub märk, kui korrutada või jagada sama negatiivse arvuga.\n\nNäiteks:\n\n$$-2x<6.$$\n\nJagame mõlemad pooled arvuga `$-2$`. Kuna jagame negatiivse arvuga, pöördub märk:\n\n$$x>-3.$$\n\n## Näide\n\n$$3x-5=10 \\qquad |+5$$\n\nLiidame võrrandi mõlemale poolele 5:\n\n$$3x-5+5=10+5$$\n\n$$3x=15 \\qquad |:3$$\n\nJagame võrrandi mõlemad pooled kolmega:\n\n$$\\frac{3x}{3}=\\frac{15}{3}$$\n\n$$x=5.$$\n\nKontroll:\n\n$$3\\cdot5-5=15-5=10.$$\n\nSeega\n\n$$L=\\{5\\}.$$\n\nVõrratuse näide:\n\n$$4-3x\\le 13$$\n\n$$-3x\\le9$$\n\n$$x\\ge-3.$$\n\nKontrollime lahendihulka prooviväärtustega. Kui `$x=-3$`, siis\n\n$$4-3\\cdot(-3)=13,$$\n\nseega piirpunkt sobib, sest märk on `$\\le$`. Kui `$x=0$`, siis\n\n$$4-3\\cdot0=4\\le13,$$\n\nsobib. Kui `$x=-4$`, siis\n\n$$4-3\\cdot(-4)=16,$$\n\nei sobi, sest `$16\\le13$` on väär. Prooviarvud aitavad märgiviga leida. Kogu lahendihulga $x\\ge-3$ saame eelnevate samaväärsete teisendustega, mitte ainult kolme prooviarvu kontrollimisega.\n\n### Tekstülesande mudel\n\nKinopilet maksab 6 eurot ja broneerimistasu on 2 eurot. Kui palju pileteid saab osta, kui raha on kuni 32 eurot?\n\nOlgu `$x$` piletite arv. Kulu on\n\n$$6x+2.$$\n\nKuna raha võib kuluda kuni 32 eurot, saame võrratuse\n\n$$6x+2\\le32.$$\n\nLahendame:\n\n$$6x\\le30,$$\n\n$$x\\le5.$$\n\nKuna piletite arv peab olema täisarv ja mitte negatiivne, saab osta kuni 5 piletit.\n\n## Tüüpviga\n\nVõrrandi lahend peab sobima algsesse võrrandisse. Kontroll asendamisega aitab vigu leida.\n\nVõrratuses võib eksida, jättes märgi pööramata negatiivse arvuga korrutamisel või jagamisel:\n\n$$-x<4 \\quad \\Longrightarrow \\quad x>-4.$$\n\nTeine tüüpviga on kontrollida võrratust ainult ühe sobiva arvuga. Kui saad `$x>-4$`, kontrolli ühte arvu lahendihulgast ja ühte väljastpoolt. Siis näed, kas suund on õige.\n\nKolmas tüüpviga on tekstülesandes unustada piirangud. Kui `$x$` loendab inimesi või pileteid, siis `$x$` peab olema täisarv ja `$x\\ge0$`.\n\nNeljas tüüpviga on piirpunkti valesti kaasata. `$x\\ge4$` sisaldab arvu `$4$`, aga `$x>4$` ei sisalda.\n\n### Kolm viisi sama mõtte jaoks\n\nVõrrandit saab näha tasakaaluna, arvulise kontrollina ja algebraliselt samade tehete tegemisena mõlemal poolel.\n\n::: teacher Lähenemise valik\nKui sümboltee takerdub, kasuta arvulist kontrolli: vali üks arv lahendihulgast ja üks väljastpoolt. Tekstülesandes alusta sõnalise piiranguga, alles siis võrrandi või võrratusega.\n:::\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Lahenda `$2x+7=15$`.\n2. Lahenda `$5x-3=2x+9$`.\n3. Lahenda `$x+4>10$`.\n4. Lahenda `$-3x\\le12$`.\n\n### Rakendus\n\n5. Kontrolli, kas `$x=4$` on võrrandi `$3x-2=10$` lahend.\n6. Lahenda `$7-2x<15$` ja kontrolli lahendihulka kahe prooviväärtusega.\n7. Tekstülesanne: vihik maksab 2 eurot ja pliiats 1 euro. Kui ostetakse `$x$` vihikut ja üks pliiats ning kulub 11 eurot, leia `$x$`.\n8. Tallinna klassiekskursiooni eelarves arvestatakse õpilase kinopiletiks 6 eurot ja joogipudeliks 2 eurot. Kui kulus 26 eurot ning osteti `$x$` piletit ja üks joogipudel, leia `$x$`.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n9. Tekstülesanne: bussipilet maksab 3 eurot. Sul on 20 eurot. Mitu piletit saad kõige rohkem osta?\n10. Lahenda `$4x+1\\ge 2x+9$`.\n11. Kontrolli, kas `$x=-5$` kuulub võrratuse `$-2x\\le8$` lahendihulka.\n12. Lahenda `$2x-5<3$` ja otsusta, kas `$x=4$` kuulub lahendihulka.\n\n## Vastused\n\n1. `$x=4$`, `$L=\\{4\\}$`.\n2. `$3x=12$`, seega `$x=4$` ja `$L=\\{4\\}$`.\n3. `$x>6$`.\n4. `$x\\ge-4$`, sest negatiivse arvuga jagamisel võrratuse märk pöördub.\n5. Jah, sest `$3\\cdot4-2=10$`.\n6. `$-2x<8$`, seega `$x>-4$`. Näiteks `$x=0$` sobib: `$7<15$`; `$x=-5$` ei sobi: `$17<15$` on väär.\n7. `$2x+1=11$`, seega `$x=5$`; vastus sobib, sest vihikute arv on täisarv.\n8. `$6x+2=26$`, seega `$x=4$`; vastus sobib, sest piletite arv on täisarv.\n9. `$3x\\le20$`, seega `$x\\le\\frac{20}{3}$`. Kõige rohkem saab osta 6 piletit, sest 6 piletit maksab 18 eurot ja 7 piletit maksaks 21 eurot.\n10. `$2x\\ge8$`, seega `$x\\ge4$`; kontrolliks `$x=4$` teeb pooled võrdseks.\n11. Ei. `$-2\\cdot(-5)=10$` ja `$10\\le8$` on väär.\n12. `$2x<8$`, seega `$x<4$`. Arv `$4$` ei kuulu lahendihulka, sest märk on range.\n\n## Seosed\n\nVõrrandid on tekstülesannete, funktsioonide nullkohtade ja geomeetriliste mudelite põhivahend. Järgmistes algebra peatükkides lahendatakse neid avaldiste teisendamise, hulkliikmete ja tegurdamise abil.\n" }, { "id": "algebra.hulkliikmed-ja-tegurdamine", "title": "Hulkliikmed ja tegurdamine", "strand": "50-algebra", "order": "50.30", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 7, "main": 8, "end": 11, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 3, "module_tags": [ "skill" ], "prerequisites": [ "algebra.muutuja-ja-avaldis", "arvud.astmed-juured-standardkuju" ], "review_modules": [ "arvud.negatiivsed-arvud", "arvud.murrud-ja-kumnendmurrud" ], "extension_modules": [ "algebra.ruutvorrand" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-8", "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/50-algebra/50.30-hulkliikmed-ja-tegurdamine.md", "source_sha256": "64f76ae800f563e60f9349365aa15650e29f4a0d1d2dec81db92f119323f2fe1", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/50.30-hulkliikmed-ja-tegurdamine.html", "content_markdown": "# Hulkliikmed ja tegurdamine\n\n## Mõiste\n\nHulkliige on üksliikmete summa. Näiteks avaldises\n\n$$3x^2-5x+7$$\n\non kolm liiget: `$3x^2$`, `$-5x$` ja `$7$`. Liikme ees olev arv on **kordaja**; märk kuulub kordaja juurde. Hulkliige on korrastatud, kui liikmed on kirjutatud astmete kahanevas järjekorras.\n\nEeldus: oskad avada sulge, koondada sarnaseid liikmeid ja kasutada astmete põhireegleid.\n\nHulkliikme väärtuse leidmiseks asenda muutuja etteantud arvuga. Kui `$P(x)=3x^2-5x+7$`, siis\n\n$$P(-2)=3\\cdot(-2)^2-5\\cdot(-2)+7=29.$$\n\nTegurdamine tähendab avaldise kirjutamist korrutisena. See on sulgude avamise vastassuunaline võte.\n\nTegurdamisel säilib avaldise väärtus.\n\n## Põhitehted\n\nHulkliikmete liitmisel ja lahutamisel ava sulud ning koonda ainult sarnased liikmed:\n\n$$\\begin{aligned}\n(3x^2-2x+1)+(x^2+5x-4)&=4x^2+3x-3,\\\\\n(3x^2-2x+1)-(x^2+5x-4)&=2x^2-7x+5.\n\\end{aligned}$$\n\nMiinus sulgude ees muudab sulgudes **iga** liikme märgi.\n\nÜksliikmega korrutamisel korruta sellega hulkliikme iga liige:\n\n$$3x(2x^2-x+4)=6x^3-3x^2+12x.$$\n\nHulkliikme jagamisel üksliikmega jaga iga liige eraldi. Jagaja ei tohi olla null:\n\n$$\\frac{12x^3-8x^2+4x}{4x}=3x^2-2x+1,\\qquad x\\ne0.$$\n\nKahe hulkliikme korrutamisel korruta esimese hulkliikme iga liige teise iga liikmega ning koonda tulemus:\n\n$$\\begin{aligned}\n(x+2)(x-3)&=x^2-3x+2x-6\\\\\n&=x^2-x-6.\n\\end{aligned}$$\n\n## Abivalemid\n\n$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$\n\n$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$\n\n$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$\n\n![Summa ruudu pindalamudel](assets/class-8-square-identity.svg \"Küljega a + b ruut koosneb pindaladest a², ab, ab ja b², mistõttu summa ruudu valemi keskmine liige on 2ab.\")\n\nNäiteks\n\n$$(x+3)^2=x^2+6x+9.$$\n\nTegurdamisel loetakse valemeid vastupidi:\n\n$$x^2+6x+9=(x+3)^2.$$\n\n## Tegurdamise valik\n\nAlusta tegurdamisel sellest järjekorrast:\n\n1. Kas kõigil liikmetel on ühine tegur?\n2. Kas avaldis sobib mõne abivalemiga?\n\nValikupuu tabelina:\n\n| Mida märkan? | Proovin | Näide |\n| --- | --- | --- |\n| kõigil liikmetel on sama tegur | ühine tegur sulgude ette | `$8x^2+12x=4x(2x+3)$` |\n| kaks ruutu ja miinus | ruutude vahe | `$x^2-49=(x-7)(x+7)$` |\n| kolm liiget, esimene ja viimane on ruudud | täisruut | `$x^2+12x+36=(x+6)^2$` |\n\nPärast tegurdamist kontrolli korrutades, kas saad algse avaldise tagasi.\n\n**Kas alati saab tegurdada?** Mõni tegurdamine paistab kohe välja, mõni nõuab mitut sammu. Kõik hulkliikmed ei lagune madalama astme teguriteks: näiteks $x^2+1$ ei ole kahe reaalarvuliste kordajatega lineaarteguri korrutis. Tegurdamise võimalus sõltub ka lubatud kordajatest: $x^2-2$ tegurid vajavad irratsionaalarve.\n\nSumma kuju on mugav liitmiseks ja koondamiseks; korrutiskuju nullkohtade leidmiseks ning murdavaldiste taandamiseks. Näiteks $x^2-1$ väärtuse arvutamine on lihtne, aga $(x-1)(x+1)$ näitab kohe nullkohti 1 ja $-1$. Kuju muutmisel säilita avaldise tingimused.\n\nÜhine tegur:\n\n$$6x^2+9x=3x(2x+3).$$\n\n## Näide\n\nLihtsustame avaldise ja kontrollime tulemust väärtusel `$x=2$`:\n\n$$\\begin{aligned}\n2x(x+3)-(x^2-4x)&=2x^2+6x-x^2+4x\\\\\n&=x^2+10x.\n\\end{aligned}$$\n\nAlgne avaldis annab `$x=2$` korral `$24$`, lihtsustatud avaldis samuti `$4+20=24$`.\n\nJagamise näide:\n\n$$\\frac{15x^3+10x^2-5x}{5x}=3x^2+2x-1,\\qquad x\\ne0.$$\n\nTegurdamise näide:\n\n$$x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5).$$\n\nTäisruudu näide:\n\n$$x^2-10x+25=(x-5)^2.$$\n\nAbivalemi äratundmine:\n\n$$9x^2-25=(3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5).$$\n\nTäisruudu kontroll:\n\n$$4x^2+12x+9=(2x)^2+2\\cdot(2x)\\cdot3+3^2=(2x+3)^2.$$\n\n## Tüüpviga\n\n**Summa ruudu keskmise liikme kaotamine.** Õige valem on $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Näiteks $(1+2)^2=9$, aga $1^2+2^2=5$. Kui $a=0$ või $b=0$, on keskmine liige null; sellest erijuhust ei saa üldist reeglit.\n\n**Märgivahetuse unustamine.** Miinus sulgude ees muudab sulgudes iga liikme märgi.\n\n**Vale samm:**\n\n$$5x-(2x-3)=5x-2x-3.$$\n\n**Õige lahendus:**\n\n$$\\begin{aligned}\n5x-(2x-3)&=5x-2x+3\\\\\n&=3x+3.\n\\end{aligned}$$\n\nArvu $-3$ lahutamine tähendab arvu $3$ liitmist. Kontrolliks võta $x=1$: algse avaldise väärtus on $6$, vale sammu järel saadud avaldise väärtus aga $0$.\n\n**Ainult esimese liikme jagamine.** Hulkliikme jagamisel üksliikmega tuleb jagada iga liige. Näiteks $(6x+9):3=2x+3$, mitte $2x+9$.\n\n**Pooleli jäetud tegurdamine.** Kuju $4x(x)+8x$ on algse avaldisega $4x^2+8x$ võrdne, kuid see on endiselt summa, mitte kogu avaldise korrutiskuju. Ühise teguri saab mõlemast liikmest sulgude ette tuua:\n\n$$4x^2+8x=4x(x+2).$$\n\n**Ruutude vahe valemi kasutamine summa korral.** Avaldis\n\n$$x^2+25$$\n\nei tegurdu reaalarvudes kujule `$(x-5)(x+5)$`, sest see annaks `$x^2-25$`.\n\nPärast tegurdamist korruta tegurid kontrolliks lahti. Kui sa ei saa algset avaldist tagasi, on tegurdamises viga.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Nimeta hulkliikme `$4x^2-3x+8$` liikmed ja nende kordajad.\n2. Arvuta `$2x^2-3x+1$` väärtus, kui `$x=-2$`.\n3. Lihtsusta `$(3x^2-2x+1)-(x^2+4x-5)$`.\n4. Korruta `$3x(2x^2-x+4)$`.\n\n### Rakendus\n\n5. Jaga `$(12x^3-8x^2+4x):(4x)$`, kus `$x\\ne0$`.\n6. Korruta `$(x+4)(x-2)$`.\n7. Ava sulud abivalemiga: `$(x-5)^2$`.\n8. Tegurda `$5x^2+10x$`.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n9. Tegurda `$9x^2-1$`.\n10. Tegurda `$x^2-14x+49$`.\n11. Ristküliku küljed on `$x+2$` ja `$x+5$`. Avalda selle pindala hulkliikmena.\n12. Selgita valemi `$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$` geomeetrilist tähendust ruudu pindalade abil.\n\n## Vastused\n\n1. Liikmed on `$4x^2$`, `$-3x$` ja `$8$`; kordajad on vastavalt 4, -3 ja 8.\n2. `$2\\cdot(-2)^2-3\\cdot(-2)+1=15$`.\n3. `$3x^2-2x+1-x^2-4x+5$`. Koondades saad `$2x^2-6x+6$`.\n4. `$6x^3-3x^2+12x$`.\n5. `$3x^2-2x+1$`, sest iga liige jagatakse `$4x$`-ga.\n6. `$x^2+2x-8$`.\n7. `$x^2-10x+25$`.\n8. `$5x(x+2)$`, sest ühine tegur on `$5x$`.\n9. `$(3x-1)(3x+1)$`, sest see on ruutude vahe.\n10. `$(x-7)^2$`, sest avaldis on täisruutkolmliige.\n11. `$(x+2)(x+5)=x^2+7x+10$`.\n12. Küljega `$a+b$` ruut jaguneb ruuduks pindalaga `$a^2$`, ruuduks pindalaga `$b^2$` ja kaheks ristkülikuks pindalaga `$ab$`.\n\n## Seosed\n\nHulkliikmete põhitehted ja abivalemid valmistavad ette 9. klassi ruutvõrrandi ning ruutfunktsiooni. Üldise ruutkolmliikme tegurdamine ja nullkorrutise abil võrrandi lahendamine kuuluvad järgmisse õpitee ossa.\n" }, { "id": "algebra.ruutvorrand", "title": "Ruutvõrrand", "strand": "50-algebra", "order": "50.40", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 8, "main": 9, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "skill", "application" ], "prerequisites": [ "algebra.vorrandid-ja-vorratused", "algebra.hulkliikmed-ja-tegurdamine" ], "review_modules": [ "arvud.astmed-juured-standardkuju" ], "extension_modules": [ "algebra.ruutvorrandi-lahendusviisid-ja-rakendused" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/50-algebra/50.40-ruutvorrand.md", "source_sha256": "ff26f36bf19f5067ca56f6e754a240b7f832e037de4fa556e91ebd34bff2a468", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/50.40-ruutvorrand.html", "content_markdown": "# Ruutvõrrand\n\n## Mõiste\n\nRuutvõrrandi üldkuju on\n\n$$ax^2+bx+c=0,\\qquad a\\ne0.$$\n\nEeldus: oskad võrrandeid lahendada, kasutada korrutamise abivalemeid, tuua ühise teguri sulgude ette ja rakendada nullkorrutise reeglit.\n\nKui mõni liige puudub, on selle kordaja 0. Näiteks võrrandis `$2x^2-8=0$` on `$a=2$`, `$b=0$`, `$c=-8$`.\n\nSama ruutmudelit saab vaadata kolmel kujul: ruutavaldis `$ax^2+bx+c$` on arvutuskuju, ruutvõrrand `$ax^2+bx+c=0$` küsib nullkohti ja ruutfunktsioon `$f(x)=ax^2+bx+c$` näitab neid graafikul.\n\n## Lahendivalem\n\n$$x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$\n\nDiskriminant:\n\n$$D=b^2-4ac.$$\n\nDiskriminant ütleb, mitu reaalarvulist lahendit ruutvõrrandil on:\n\n| Diskriminant | Lahendite arv | Tähendus |\n| --- | --- | --- |\n| `$D>0$` | kaks lahendit | parabool lõikab `$x$`-telge kahes punktis |\n| `$D=0$` | üks kahekordne lahend | parabool puutub `$x$`-telge |\n| `$D<0$` | reaalarvulisi lahendeid ei ole | parabool ei lõika `$x$`-telge |\n\n## Miks lahendivalem kehtib?\n\nLahendivalem tuleb täisruudu eraldamisest. Eesmärk on teisendada võrrandit nii, et lõpuks jääks vasakule poole ainult `$x=...$`.\n\nSelleks muudame alguses liikmed `$ax^2$` ja `$bx$` täisruuduks. Idee on lihtne: liidame ja lahutame sama lisaliikme, et võrrandi väärtus ei muutuks, aga tekiks tuttav ruudu valem.\n\nAlustame üldkujust:\n\n$$ax^2+bx+c=0.$$\n\nKuna `$a\\ne0$`, jagame võrrandi kõik liikmed arvuga `$a$`:\n\n$$x^2+\\frac{b}{a}x+\\frac{c}{a}=0.$$\n\nNüüd liidame ja lahutame vasakul poolel sama lisaliikme `$\\left(\\frac{b}{2a}\\right)^2$`. Võrrand ei muutu, sest lisame kokku nulli:\n\n$$x^2+\\frac{b}{a}x+\\left(\\frac{b}{2a}\\right)^2-\\left(\\frac{b}{2a}\\right)^2+\\frac{c}{a}=0.$$\n\nNüüd kirjutame esimesed kolm liiget täisruuduna:\n\n$$\\left(x+\\frac{b}{2a}\\right)^2-\\left(\\frac{b}{2a}\\right)^2+\\frac{c}{a}=0.$$\n\nViime ülejäänud liikmed paremale poole:\n\n$$\\left(x+\\frac{b}{2a}\\right)^2=\\left(\\frac{b}{2a}\\right)^2-\\frac{c}{a}.$$\n\nParema poole võib kirjutada ühise nimetajaga:\n\n$$\\left(x+\\frac{b}{2a}\\right)^2=\\frac{b^2-4ac}{4a^2}.$$\n\nVõtame ruutjuure. Ruutjuurel on kaks märki:\n\n$$x+\\frac{b}{2a}=\\pm\\frac{\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$\n\nViime liikme `$\\frac{b}{2a}$` teisele poole:\n\n$$x=-\\frac{b}{2a}\\pm\\frac{\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$\n\n$$x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$\n\nSee ongi ruutvõrrandi lahendivalem.\n\nMiks täisruudu võte annab õige tulemuse? Korrutamise abivalem ütleb:\n\n$$(x+p)^2=x^2+2px+p^2.$$\n\nKui `$p=\\frac{b}{2a}$`, siis\n\n$$2px=2\\cdot\\frac{b}{2a}x=\\frac{b}{a}x.$$\n\nSeepärast ongi\n\n$$x^2+\\frac{b}{a}x+\\left(\\frac{b}{2a}\\right)^2=\\left(x+\\frac{b}{2a}\\right)^2.$$\n\n## Näide\n\n$$x^2-5x+6=0$$\n\nTegurdame:\n\n$$(x-2)(x-3)=0.$$\n\nLahendid on `$x=2$` ja `$x=3$`.\n\nLahendivalemiga:\n\n$$2x^2+3x-2=0.$$\n\nSiin `$a=2$`, `$b=3$`, `$c=-2$`.\n\n$$D=3^2-4\\cdot2\\cdot(-2)=9+16=25.$$\n\n$$x=\\frac{-3\\pm\\sqrt{25}}{2\\cdot2}=\\frac{-3\\pm5}{4}.$$\n\nSeega\n\n$$x_1=\\frac12,\\qquad x_2=-2.$$\n\nKui\n\n$$x^2+4x+4=0,$$\n\nsiis\n\n$$D=4^2-4\\cdot1\\cdot4=0,$$\n\nja võrrandil on üks kahekordne lahend:\n\n$$x=\\frac{-4}{2}=-2.$$\n\nVastus: esimese võrrandi lahendid on 2 ja 3, teise lahendid `$\\frac12$` ja `-2`, kolmandal on kahekordne lahend `-2`.\n\n## Tüüpviga\n\nKui korrutis on null, siis vähemalt üks tegur on null. See reegel ei kehti summa kohta.\n\nTeine tüüpviga on diskriminandi märgi eiramine. Kui `$D<0$`, siis ruutjuure all on negatiivne arv ja reaalarvulisi lahendeid ei ole.\n\nKolmas tüüpviga on koefitsiendid valesti lugeda. Enne valemi kasutamist kirjuta võrrand üldkujule `$ax^2+bx+c=0$` ja kanna märgid kaasa.\n\nNeljas tüüpviga on ruutjuure võtmisel unustada kaks võimalust: `$\\sqrt{9}=3$`, aga võrrandist `$x^2=9$` tuleb `$x=\\pm3$`.\n\n### Kolm viisi sama mõtte jaoks\n\nRuutvõrrandit saab lahendada tegurdamisega, täisruudu eraldamisega või valemiga. Graafikul on samad lahendid nullkohad.\n\n::: teacher Lähenemise valik\nVali tee võrrandi kuju järgi: tegurdatav avaldis enne valemit, täisruudu idee enne tuletust, graafik diskriminandi tähenduse selgitamiseks.\n:::\n\n## Kui vajad abi\n\nKorda enne lineaarvõrrandi lahendamist, tegurdamist ja nullkorrutise reeglit. Vaata näitest, kuidas kordajad `$a$`, `$b$`, `$c$` kõigepealt kirja pannakse. Alusta harjutustest 1 ja 2; kui need on kindlad, kasuta lahendivalemit ülesandes 4.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Lahenda tegurdamisega `$x^2-7x+12=0$`.\n2. Leia diskriminant võrrandil `$x^2-6x+9=0$`.\n\n### Rakendus\n\n3. Mitu reaalarvulist lahendit on võrrandil `$x^2+1=0$`?\n4. Lahenda valemiga `$x^2+x-6=0$`.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n5. Mida tähendab `$D=0$` ruutfunktsiooni graafikul?\n6. Mitu reaalarvulist lahendit on võrrandil `$x^2-4x+4=0$`?\n7. Lahenda `$2x^2-8=0$`.\n8. Kirjuta võrrandi `$3x^2-12x=0$` kordajad `$a$`, `$b$`, `$c$` ja lahenda tegurdamisega.\n\n## Vastused\n\n1. `$(x-3)(x-4)=0$`, seega `$x=3$` või `$x=4$`; kontrolliks teeb kumbki tegur ühe lahendi korral nulliks.\n2. `$D=36-36=0$`, seega on üks kahekordne lahend.\n3. Mitte ühtegi reaalarvulist lahendit, sest `$x^2$` ei saa olla `-1`.\n4. Lahenduskäik: siin `$a=1$`, `$b=1$`, `$c=-6$`, seega `$D=1^2-4\\cdot1\\cdot(-6)=25$`. Siis `$x=\\frac{-1\\pm5}{2}$`, seega `$x=2$` või `$x=-3$`.\n5. Parabool puutub `$x$`-telge ühes punktis. Lahenduskäik: `$D=0$` tähendab, et ruutjuure osa lahendivalemis on 0 ja kaks lahendit langevad kokku.\n6. Üks, sest `$x^2-4x+4=(x-2)^2$` ja sama tegur kordub.\n7. `$2x^2=8$`, seega `$x^2=4$` ja `$x=\\pm2$`; kontrolliks mõlemal juhul `$2x^2=8$`.\n8. `$a=3$`, `$b=-12$`, `$c=0$`. `$3x^2-12x=3x(x-4)=0$`, seega `$x=0$` või `$x=4$`.\n\n::: student-hint Enesediagnoos\nKui 1-2 läks valesti, korda tegurdamist ja diskriminandi arvutamist. Kui 3-4 läks valesti, vaata uuesti, kuidas valida tegurdamise ja lahendivalemi vahel. Kui 5-8 läks valesti, korda ruutfunktsiooni nullkohtade tähendust ja koefitsientide lugemist üldkujust.\n:::\n\n## Seosed\n\nJärgmine peatükk võrdleb täielikke ja mittetäielikke ruutvõrrandeid, kasutab Viète'i seost ning koostab ruutvõrrandi tekstülesandest. Seejärel muutuvad võrrandi lahendid ruutfunktsiooni nullkohtadeks.\n" }, { "id": "algebra.ruutvorrandi-lahendusviisid-ja-rakendused", "title": "Ruutvõrrandi lahendusviisid ja rakendused", "strand": "50-algebra", "order": "50.45", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 9, "main": 9, "end": 11, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "skill", "application" ], "prerequisites": [ "algebra.ruutvorrand" ], "review_modules": [ "algebra.hulkliikmed-ja-tegurdamine", "arvud.ruutjuur-ja-juuravaldised" ], "extension_modules": [ "funktsioonid.ruutfunktsioon" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-9", "klass-10" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/50-algebra/50.45-ruutvorrandi-lahendusviisid-ja-rakendused.md", "source_sha256": "7203021d86c3b634b92b4e1e0fc6a1323a9fa7a686fc4e35ac58e07aa624e63b", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/50.45-ruutvorrandi-lahendusviisid-ja-rakendused.html", "content_markdown": "# Ruutvõrrandi lahendusviisid ja rakendused\n\n## Mõiste\n\nRuutvõrrand tuleb enne lahendamist viia normaalkujule\n\n$$ax^2+bx+c=0,\\qquad a\\ne0.$$\n\nEeldus: tunned ruutvõrrandi lahendivalemit, diskriminanti ja nullkorrutise reeglit.\n\nTäielikus ruutvõrrandis on `$a,b,c\\ne0$`. Mittetäielikus ruutvõrrandis on `$b=0$`, `$c=0$` või mõlemad. Võtte valib võrrandi kuju:\n\n| Kuju | Esimene valik |\n| --- | --- |\n| `$ax^2=0$` | `$x=0$` |\n| `$ax^2+c=0$` | eralda `$x^2$` ja võta ruutjuur |\n| `$ax^2+bx=0$` | too `$x$` sulgude ette |\n| `$ax^2+bx+c=0$` | tegurdamine või lahendivalem |\n\nKui jagad normaalkuju kordajaga `$a$`, saad taandatud ruutvõrrandi `$x^2+px+q=0$`.\n\nViète'i seos ütleb selle lahendite kohta\n\n$$x_1+x_2=-p,\\qquad x_1x_2=q.$$\n\nSee aitab lihtsate täisarvuliste lahendite leidmisel ja vastuse kontrollimisel.\n\n### Üldkuju või taandatud kuju?\n\nÜldjuhul $D=b^2-4ac$. Kui $D\\ge0$, on reaalarvulised lahendid\n\n$$x=\\frac{-b\\pm\\sqrt D}{2a}.$$\n\nJagades **kõik liikmed** arvuga $a\\ne0$, saad $x^2+px+q=0$, kus $p=b/a$ ja $q=c/a$. Taandatud kujul on ruutliikme kordaja 1. Lahendid ei muutu.\n\nNäiteks $2x^2-10x+12=0$ jagamine 2-ga annab $x^2-5x+6=0$. Otsime kaht arvu, mille summa on 5 ja korrutis 6. Need on 2 ja 3, seega\n\n$$(x-2)(x-3)=0,\\qquad x=2\\text{ või }x=3.$$\n\nKontrolliks korruta sulud lahti. Korrutis saab olla null ainult siis, kui vähemalt üks tegur on null.\n\nJagamine ei tee arvutamist alati lihtsamaks: $2x^2+x-1=0$ annaks murdudega kordajad. Otse tegurdades $(2x-1)(x+1)=0$ saame $x=1/2$ või $x=-1$. Kui lihtsaid tegureid ei leia, kasuta lahendivalemit.\n\n## Näide\n\nRistküliku pikkus on laiusest 2 cm suurem ja pindala on `48 cm²`. Olgu laius `$x$`, siis pikkus on `$x+2$`.\n\n$$x(x+2)=48,$$\n\n$$x^2+2x-48=0.$$\n\nViète'i järgi peab lahendite summa olema `-2` ja korrutis `-48`. Need tingimused täidavad 6 ja `-8`. Seega\n\n$$(x-6)(x+8)=0,$$\n\nning `$x=-8$` või `$x=6$`. Negatiivne pikkus ei sobi. Ristküliku laius on 6 cm ja pikkus 8 cm. Kontroll: `$6\\cdot8=48$`.\n\n## Tüüpviga\n\nTüüpviga on kasutada alati pikka lahendivalemit. Võrrand `$3x^2-12x=0$` laheneb kiiremini kujul `$3x(x-4)=0$`.\n\nTeine tüüpviga on jätta võrrand normaalkujule viimata. Kordajad `$a,b,c$` saab õigesti lugeda alles siis, kui ühel poolel on null.\n\nKolmas tüüpviga on tekstülesandes võtta vastu kõik algebralised lahendid. Pikkus, aeg või esemete arv peab sobima olukorra tingimustega.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Lahenda `$5x^2=0$`.\n2. Lahenda `$2x^2-18=0$`.\n3. Lahenda `$x^2-7x=0$`.\n\n### Rakendus\n\n4. Vii normaalkujule ja lahenda `$x^2+4=5x$`.\n5. Leia Viète'i seosega võrrandi `$x^2-9x+20=0$` lahendid.\n6. Kontrolli Viète'i seosega võrrandi `$x^2+2x-15=0$` lahendeid 3 ja `-5`.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Kahe järjestikuse positiivse täisarvu korrutis on 72. Leia arvud.\n8. Ruudu pindala suureneb külje pikendamisel 3 cm võrra 45 cm² võrra. Leia algne külg.\n9. Koosta ruutvõrrand, mille lahendid on 2 ja 7.\n\n## Vastused\n\n1. `$x=0$`.\n2. `$x^2=9$`, seega `$x=\\pm3$`.\n3. `$x(x-7)=0$`, seega `$x=0$` või `$x=7$`.\n4. `$x^2-5x+4=0$`, seega `$x=1$` või `$x=4$`.\n5. Arvud 4 ja 5 annavad summa 9 ning korrutise 20; lahendid on 4 ja 5.\n6. `$3+(-5)=-2$` ja `$3\\cdot(-5)=-15$`, seega lahendid sobivad.\n7. `$n(n+1)=72$`, seega `$n^2+n-72=0$`; positiivsed arvud on 8 ja 9.\n8. `$(x+3)^2-x^2=45$`, seega `$6x+9=45$` ja `$x=6$` cm.\n9. `$(x-2)(x-7)=0$` ehk `$x^2-9x+14=0$`.\n\n## Seosed\n\nRuutvõrrandi lahendid muutuvad ruutfunktsiooni nullkohtadeks. Tekstülesandes lisandub alati viimane samm: tõlgenda lahendeid algse olukorra järgi ja jäta sobimatu väärtus kõrvale.\n" }, { "id": "algebra.murdavaldised", "title": "Murdavaldised", "strand": "50-algebra", "order": "50.50", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 8, "main": 9, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "skill" ], "prerequisites": [ "algebra.hulkliikmed-ja-tegurdamine", "algebra.ruutvorrandi-lahendusviisid-ja-rakendused", "arvud.murrud-ja-kumnendmurrud" ], "review_modules": [ "arvud.negatiivsed-arvud", "arvud.astmed-juured-standardkuju" ], "extension_modules": [ "algebra.ratsionaalavaldiste-tehted" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/50-algebra/50.50-murdavaldised.md", "source_sha256": "67bac2dbd6e4b263594ba40d0a1da14487c79fa8b28b3cf2e3c4a1043c95ad78", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/50.50-murdavaldised.html", "content_markdown": "# Murdavaldised\n\n## Mõiste\n\nMurdavaldis on avaldis, mille nimetajas on muutuja, näiteks\n\n$$\\frac{x+1}{x-3}.$$\n\nAvaldist saab lihtsustada või selle väärtust arvutada, kui $x$ on antud.\nNäiteks $x=4$ korral on väärtus $\\frac{4+1}{4-3}=5$.\nSee ei ole veel võrrand, millest otsida $x$-i.\n\nNimetaja ei tohi olla null: selles näites ei sobi $x=3$.\n\nEeldus: oskad harilike murdudega arvutada, tegurdada ja lahendada lihtsaid võrrandeid, millega leitakse nimetaja nullkohad.\n\nMääramispiirkond näitab, milliste muutujaväärtuste korral avaldis on defineeritud. Murdavaldise puhul tuleb välistada kõik väärtused, mis teevad nimetaja nulliks.\n\n### Kahe tiimi suuruste suhe\n\nKahes tiimis oli kummaski `$x$` inimest. Esimesse lisandub üks, teisest lahkub kolm. Uued suurused on `$x+1$` ja `$x-3$`, seega esimese tiimi suuruse suhe teise tiimi suurusse on `$\\frac{x+1}{x-3}$`.\n\n| Algne suurus `$x$` | Uued suurused | Suhe |\n| --- | --- | --- |\n| 4 | 5 ja 1 | `$5/1=5$` |\n| 10 | 11 ja 7 | `$11/7$` |\n| 100 | 101 ja 97 | `$101/97$` |\n\nSuhe 5 tähendab viis korda nii palju inimesi. Tiimide näites peab `$x$` olema täisarv vähemalt 4, et teine tiim ei jääks tühjaks. Avaldist ennast saab arvutada kõigi reaalarvude korral peale `$x=3$`: olukorra piirang ja avaldise määramispiirkond on eri asjad.\n\n## Reeglid\n\n1. Leia keelatud väärtused algse nimetaja järgi.\n2. Tegurda lugeja ja nimetaja.\n3. Taanda ainult ühiseid tegureid.\n4. Liitmisel või lahutamisel vii murdavaldised ühisele nimetajale.\n\nKeelatud väärtused jäävad vastuse juurde ka siis, kui neid põhjustanud tegur hiljem taandub.\n\nLihtsustatud kuju on algse avaldisega samaväärne ainult algse määramispiirkonna sees.\n\nKui nimetaja on ruutavaldis, leia keelatud väärtused tegurdamise või ruutvõrrandi abil.\n\n## Näide\n\nTaandamisel jagame lugeja ja nimetaja sama nullist erineva teguriga:\n\n$$\\frac{6x}{9x}=\\frac{2\\cdot3\\cdot x}{3\\cdot3\\cdot x}=\\frac23,\\qquad x\\ne0.$$\n\nSiin taandame ühise teguri `$3x$`. Tingimus `$x\\ne0$` tuleb algsest nimetajast `$9x$`.\n\nAvaldis\n\n$$\\frac{x^2-9}{x-3}$$\n\nlihtsustub tegurdamise abil:\n\n$$\\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3,$$\n\naga ainult tingimusel `$x\\ne3$`.\n\nMääramispiirkond enne taandamist:\n\n$$\\frac{x^2-4}{x^2-2x}.$$\n\nKõigepealt nimetaja:\n\n$$x^2-2x=x(x-2).$$\n\nSeega `$x\\ne0$` ja `$x\\ne2$`. Nüüd tegurdame kogu avaldise:\n\n$$\\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}.$$\n\nTaandame ühise teguri `$x-2$`:\n\n$$\\frac{x+2}{x},$$\n\naga tingimused jäävad alles:\n\n$$x\\ne0,\\qquad x\\ne2.$$\n\nKuigi lihtsustatud avaldises `$\\frac{x+2}{x}$` ei paista enam tegurit `$x-2$`, ei tohi `$x=2$` algses avaldises lubatud olla.\n\nÜhise nimetajaga liitmine:\n\n$$\\frac{2}{x}+\\frac{3}{x+1}.$$\n\nÜhine nimetaja on `$x(x+1)$`, kus `$x\\ne0$` ja `$x\\ne-1$`.\n\n$$\\frac{2}{x}+\\frac{3}{x+1}=\\frac{2(x+1)}{x(x+1)}+\\frac{3x}{x(x+1)}.$$\n\n$$=\\frac{2x+2+3x}{x(x+1)}=\\frac{5x+2}{x(x+1)}.$$\n\n## Tüüpviga\n\nTeguri taandamisel ei tohi unustada keelatud väärtust. Algne nimetaja määrab, millal avaldis pole defineeritud.\n\nTaandada võib korrutustegureid, mitte summa liikmeid. Näiteks `$\\frac{x+2}{x}$` ei taandu arvuks 2: kohal `$x=4$` on selle väärtus `$\\frac64=1,5$`.\n\nKolmas tüüpviga on määramispiirkond leida pärast taandamist. Näiteks\n\n$$\\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$$\n\ntingimusel `$x\\ne1$`. Kui vaadata ainult lõppu `$x+1$`, jääb keelatud väärtus märkamatuks.\n\nNeljas tüüpviga on ühise nimetaja leidmisel unustada, et ka uus ühine nimetaja annab tingimused algsete nimetajate järgi. Avaldises\n\n$$\\frac1{x-2}+\\frac1{x+3}$$\n\non tingimused `$x\\ne2$` ja `$x\\ne-3$`.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Millise `$x$` korral pole `$\\frac{5}{x+2}$` defineeritud?\n2. Lihtsusta `$\\frac{x^2-4}{x-2}$`.\n3. Miks ei saa avaldises `$\\frac{x+2}{x}$` taandada lugejast ainult `$x$`-liiget ära?\n4. Leia keelatud väärtused avaldises `$\\frac{x+1}{x^2-9}$`.\n\n### Rakendus\n\n5. Liida `$\\frac1x+\\frac2{x+3}$`.\n6. Lihtsusta `$\\frac{x^2-16}{x-4}$` ja kirjuta tingimus.\n7. Lihtsusta `$\\frac{x^2-3x}{x}$` ja kirjuta tingimus.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n8. Leia määramispiirkond avaldisele `$\\frac{x+5}{x^2+x-6}$`.\n9. Liida `$\\frac{1}{x-1}+\\frac{2}{x+1}$` ja kirjuta tingimused.\n10. Selgita, miks `$\\frac{(x-2)(x+4)}{x-2}$` ei ole defineeritud väärtusel `$x=2$`, kuigi pärast taandamist jääb `$x+4$`.\n11. Leia keelatud väärtused avaldises `$\\frac{x+1}{x^2-5x+6}$`.\n\n## Vastused\n\n1. Keelatud väärtus on `$x=-2$`, seega määramispiirkonnas peab `$x\\ne-2$`.\n2. `$\\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$`, kuid algne nimetaja nõuab `$x\\ne2$`.\n3. `$x+2$` ei ole korrutis, kus `$x$` oleks eraldi tegur.\n4. Kuna `$x^2-9=(x-3)(x+3)$`, siis `$x\\ne3$` ja `$x\\ne-3$`.\n5. `$\\frac{x+3+2x}{x(x+3)}=\\frac{3x+3}{x(x+3)}$`, kus `$x\\ne0,-3$`; tingimus tuleb algsetest nimetajatest `$x$` ja `$x+3$`.\n6. `$\\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4$`, kuid algne nimetaja nõuab `$x\\ne4$`.\n7. `$\\frac{x(x-3)}{x}=x-3$`, kus `$x\\ne0$`; taandada tohib alles pärast selle tingimuse märkimist.\n8. `$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$`, seega `$x\\ne-3$` ja `$x\\ne2$`.\n9. `$\\frac{x+1+2(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\\frac{3x-1}{(x-1)(x+1)}$`, kus `$x\\ne1,-1$`; need on algsete nimetajate nullkohad.\n10. Algse avaldise nimetaja oleks siis `$x-2=0$`. Nulliga jagada ei saa; taandamine ei muuda algse avaldise keelatud väärtust.\n11. `$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$`, seega `$x\\ne2$` ja `$x\\ne3$`.\n\n## Seosed\n\nMurdavaldised kasutavad samu ideid nagu arvumurrud, kuid lisavad määramispiirkonna. Järgmine peatükk rakendab neid tingimusi korrutamisel, jagamisel, astendamisel ning mitme tehtega ratsionaalavaldistes.\n\nKui kirjutame $\\frac{x+1}{x-3}=2$, saame **murdvõrrandi**: nüüd otsime sobivat $x$-i.\nMurdavaldiste teisendamine kuulub Mapikus 9. klassi; [murdvõrrandite lahendamine](https://mapik.ee/matemaatika/klass-10/peatukid/50.58-murd-ja-juurvorrandid.html) on 10. klassi teema.\n" }, { "id": "algebra.ratsionaalavaldiste-tehted", "title": "Ratsionaalavaldiste tehted", "strand": "50-algebra", "order": "50.55", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 9, "main": 9, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "skill" ], "prerequisites": [ "algebra.murdavaldised", "algebra.ruutvorrandi-lahendusviisid-ja-rakendused" ], "review_modules": [ "arvud.murrud-ja-kumnendmurrud", "algebra.hulkliikmed-ja-tegurdamine" ], "extension_modules": [ "algebra.murd-ja-juurvorrandid" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-9", "klass-10" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/50-algebra/50.55-ratsionaalavaldiste-tehted.md", "source_sha256": "c1df78f6dcca8d44ef0ea510951fcf5e5616dcb2205e55a3047e1861e49e279f", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/50.55-ratsionaalavaldiste-tehted.html", "content_markdown": "# Ratsionaalavaldiste tehted\n\n## Mõiste\n\nAlgebraliste murdude tehted kasutavad samu põhimõtteid nagu arvumurrud. Erinevus on selles, et enne arvutamist tuleb leida muutujate keelatud väärtused ja avaldised sageli tegurdada.\n\nEeldus: oskad leida murdavaldise määramispiirkonda, tegurdada ning arvutada harilike murdudega.\n\nPõhireeglid:\n\n$$\\frac ab\\cdot\\frac cd=\\frac{ac}{bd},$$\n\n$$\\frac ab:\\frac cd=\\frac ab\\cdot\\frac dc,$$\n\n$$\\left(\\frac ab\\right)^n=\\frac{a^n}{b^n},$$\n\n$$\\frac ab+\\frac cd=\\frac{ad+bc}{bd}.$$\n\nJagamisel ei tohi jagaja olla null. Kõik tingimused leitakse **algavaldise** järgi enne taandamist.\n\nHea tööjärjekord on: tingimused, tegurdamine, tehe, taandamine, kontroll.\n\n## Näide\n\nLihtsustame\n\n$$\\frac{x^2-9}{x^2-x-6}:\\frac{x+3}{x-3}.$$\n\nAlgavaldise tingimused: `$x^2-x-6=(x-3)(x+2)\\ne0$`, seega `$x\\ne3,-2$`. Jagaja `$\\frac{x+3}{x-3}$` ei tohi olla null, mistõttu ka `$x\\ne-3$`.\n\nTegurdame ja pöörame jagaja:\n\n$$\\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}\\cdot\\frac{x-3}{x+3}\n=\\frac{x-3}{x+2}.$$\n\nVastus: `$\\frac{x-3}{x+2}$`, kus `$x\\ne-3,-2,3$`. Taandunud tegurid ei kaota algseid tingimusi.\n\n## Tüüpviga\n\nJagamisel pööratakse teine murd, mitte esimene. Teine tüüpviga on liita lugejad ja nimetajad eraldi: `$\\frac ab+\\frac cd\\ne\\frac{a+c}{b+d}$`.\n\nKolmas tüüpviga on hakata tegureid taandama üle liitmis- või lahutamismärgi. Enne taandamist peab lugeja ja nimetaja olema korrutiste kujul.\n\nNeljas tüüpviga on unustada jagaja nulliks muutvad väärtused. Need võivad tulla jagaja lugejast, sest nullmurruga jagada ei saa.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Korruta `$\\frac{x}{3}\\cdot\\frac{6}{x+1}$`.\n2. Jaga `$\\frac{x}{5}:\\frac{2x}{15}$`.\n3. Astenda `$\\left(\\frac{x}{x-1}\\right)^2$`.\n\n### Rakendus\n\n4. Liida `$\\frac2x+\\frac1{x-2}$` ja kirjuta tingimused.\n5. Lahuta `$\\frac3{x+1}-\\frac1{x-1}$`.\n6. Lihtsusta `$\\frac{x^2-4}{x^2}\\cdot\\frac{x}{x+2}$`.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Lihtsusta `$\\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}:\\frac{x+1}{x-1}$` ja säilita kõik tingimused.\n8. Selgita, miks jagamisel võib tekkida keelatud väärtus ka jagaja lugejast.\n9. Lihtsusta `$\\frac1x+\\frac1{x+1}-\\frac1{x(x+1)}$`.\n\n## Vastused\n\nKontroll: iga vastuse tingimused peavad pärinema algavaldise nimetajatest ja jagajast.\n\n1. `$\\frac{2x}{x+1}$`, kus `$x\\ne-1$`.\n2. `$\\frac{x}{5}\\cdot\\frac{15}{2x}=\\frac32$`, kus `$x\\ne0$`.\n3. `$\\frac{x^2}{(x-1)^2}$`, kus `$x\\ne1$`.\n4. `$\\frac{3x-4}{x(x-2)}$`, kus `$x\\ne0,2$`.\n5. `$\\frac{3(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\\frac{2x-4}{x^2-1}$`, kus `$x\\ne-1,1$`.\n6. `$\\frac{(x-2)(x+2)}{x^2}\\cdot\\frac{x}{x+2}=\\frac{x-2}{x}$`, kus `$x\\ne0,-2$`.\n7. Tulemuseks on `1`, kuid algavaldis nõuab `$x\\ne-1,1$`.\n8. Kui jagaja lugeja on null, on jagaja ise null; nulliga jagada ei saa.\n9. `$\\frac{x+1+x-1}{x(x+1)}=\\frac{2}{x+1}$`, kus `$x\\ne0,-1$`.\n\n## Seosed\n\nRatsionaalavaldiste lihtsustamine ühendab murdude reeglid, tegurdamise ja määramispiirkonna. Sama oskus tuleb tagasi valemite teisendamisel ning ratsionaalvõrrandites.\n" }, { "id": "algebra.murd-ja-juurvorrandid", "title": "Murd- ja juurvõrrandid", "strand": "50-algebra", "order": "50.58", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 10, "main": 10, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "algebra.ratsionaalavaldiste-tehted", "arvud.n-es-juur-ja-ratsionaalarvuline-aste" ], "review_modules": [ "algebra.ruutvorrandi-lahendusviisid-ja-rakendused" ], "extension_modules": [ "algebra.ruut-ja-ratsionaalvorratused" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-10" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/50-algebra/50.58-murd-ja-juurvorrandid.md", "source_sha256": "3e1da14ff8c86cf46a8cb574e82bb37815ef3aab1976296c182de45816bbc582", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/50.58-murd-ja-juurvorrandid.html", "content_markdown": "# Murd- ja juurvõrrandid\n\n## Mõiste\n\n**Murdvõrrandis** esineb tundmatu nimetajas. **Juurvõrrandis** esineb tundmatu juure all. Mõlemas tuleb enne teisendamist kirja panna, millised väärtused on lubatud.\n\nEeldus: oskad taandada ratsionaalavaldisi, lahendada lineaar- ja ruutvõrrandeid ning kontrollida juuravaldise määramispiirkonda.\n\nMurdvõrrandi tööjärjekord:\n\n1. kirjuta nimetajate nullkohad keelatud väärtustena;\n2. korruta võrrand nimetajate vähima ühiskordsega;\n3. lahenda saadud võrrand;\n4. kontrolli, et lahend ei oleks keelatud.\n\nJuurvõrrandi tööjärjekord:\n\n1. eralda juuravaldis;\n2. kirjuta vajalikud märgi- ja määramistingimused;\n3. astenda võrrandi mõlemad pooled;\n4. lahenda ja kontrolli lahendeid algvõrrandis.\n\n![Võrrandi lahendi kontrollimise rada](assets/equation-check-flow.svg \"Murd- ja juurvõrrandis tuleb pärast teisendamist kontrollida nii algset määramispiirkonda kui ka algvõrrandit.\")\n\nAstendamine ei ole alati samaväärne teisendus: ruutu tõstmisel võivad tekkida võõrlahendid. Seetõttu on algvõrrandi kontroll kohustuslik.\n\n## Näide\n\nLahendame murdvõrrandi\n\n$$\\frac{x+1}{x-2}=2.$$\n\nTingimus on `$x\\ne2$`. Korrutame võrrandi arvuga `$x-2$`:\n\n$$x+1=2x-4,$$\n\n$$x=5.$$\n\nKontroll: `$5\\ne2$` ja `$\\frac{5+1}{5-2}=2$`.\n\nLahendame juurvõrrandi\n\n$$\\sqrt{x+1}=x-1.$$\n\nParema poole tõttu peab `$x\\ge1$`. Ruutu tõstes saame\n\n$$x+1=(x-1)^2=x^2-2x+1,$$\n\n$$x(x-3)=0.$$\n\nKandidaadid on `$0$` ja `$3$`, kuid tingimusele ning algvõrrandile vastab ainult `$x=3$`.\n\nVastus: murdvõrrandi lahend on `$5$` ja juurvõrrandi lahend `$3$`.\n\n## Tüüpviga\n\nTüüpviga on nimetaja nullkoht alles pärast lahendamist üles otsida. Keelatud väärtus kirjuta enne nimetajate eemaldamist.\n\nTeine tüüpviga on nimetajaga korrutamisel mõni liige vahele jätta. Korrutaja rakendub võrrandi mõlemale poolele ja igale liikmele.\n\nKolmas tüüpviga on lugeda ruutu tõstmisel saadud kõik juured vastuseks. Kontroll algvõrrandis eemaldab võõrlahendid.\n\n::: teacher Õpetaja lisasoovitused\nNõua lahenduse kolmes kohas nähtavat kontrolli: algtingimus, sammu mõju lahendihulgale ja asendus algvõrrandisse.\n:::\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Lahenda `$\\frac{x}{x-1}=2$`.\n2. Lahenda `$\\sqrt{x}=5$`.\n3. Nimeta võrrandi `$\\frac2{x+3}=1$` keelatud väärtus.\n\n### Rakendus\n\n4. Lahenda `$\\frac3{x} + 1=4$`.\n5. Lahenda `$\\sqrt{x+4}=x-2$`.\n6. Ristküliku pikkus on `$\\sqrt{x+9}$` meetrit ja see võrdub 4 meetriga. Leia `$x$`.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Miks ei sobi `$x=-1$` võrrandi `$\\sqrt{x+1}=x+1$` ainsaks kontrollimata vastuseks?\n8. Lahenda `$\\frac{x+2}{x}=3$` ning selgita, miks `$x=0$` ei saa olla lahend.\n9. Too näide teisendusest, mis võib juurvõrrandisse võõrlahendi tekitada.\n\n## Vastused\n\n1. `$x=2$`; tingimus `$x\\ne1$` on täidetud.\n2. `$x=25$`, sest peajuur võrdub 5-ga.\n3. `$x\\ne-3$`, sest nimetaja ei tohi olla null.\n4. `$x=1$`; tingimus `$x\\ne0$` ja algvõrrand on täidetud.\n5. `$x=5$`. Ruutu tõstmisel saadakse kandidaadid `$0$` ja `$5$`, kuid algvõrrandisse sobib ainult 5.\n6. `$x=7$`, sest `$x+9=16$` ning `$7+9\\ge0$`.\n7. Tegelikult sobib `$x=-1$` algvõrrandisse, kuid ühe kandidaadi nägemine ei asenda lahenduskäiku; võrrandi ruutu tõstmine annab ka `$x=0$`, mis samuti sobib. Lahendid on `-1` ja `0`.\n8. `$x=1$`; `$x=0$` muudaks algvõrrandi nimetaja nulliks.\n9. Mõlema poole ruutu tõstmine: vastandmärgiga pooled annavad pärast ruutu sama tulemuse.\n\n## Seosed\n\nMurd- ja juurvõrrandid ühendavad määramispiirkonna, avaldiste teisendamise ja ruutvõrrandi. Järgmistes võrratustes tuleb lisaks jälgida avaldise märki tervetel vahemikel.\n" }, { "id": "algebra.lineaarvorrandisusteemid", "title": "Lineaarvõrrandisüsteemid", "strand": "50-algebra", "order": "50.60", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 8, "main": 8, "end": 11, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "skill", "application" ], "prerequisites": [ "algebra.vorrandid-ja-vorratused", "funktsioonid.lineaarfunktsioon" ], "review_modules": [ "algebra.muutuja-ja-avaldis", "arvud.protsendid-suhted-vorded" ], "extension_modules": [ "algebra.lineaarvorrandisusteemide-tekstulesanded", "modelleerimine.probleemilahendus-ja-mudelid" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-8", "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/50-algebra/50.60-lineaarvorrandisusteemid.md", "source_sha256": "91de8aae1278f877aca6651dce7cd82444b577994f89a49e799ec3c5a9879434", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/50.60-lineaarvorrandisusteemid.html", "content_markdown": "# Lineaarvõrrandisüsteemid\n\n## Mõiste\n\nVõrrandisüsteemis otsime väärtusi, mis rahuldavad korraga kõiki võrrandeid.\n\nKahe tundmatuga süsteemi lahend on arvupaar `(x;y)`. See peab sobima mõlemasse võrrandisse.\n\nEeldus: oskad lahendada lineaarvõrrandeid, teisendada sirge võrrandit ja lugeda koordinaate.\n\nEnne lahendamist kirjuta, mida `$x$` ja `$y$` tähistavad ning mis ühikus. Alles siis vali võte.\n\nVõtte valik:\n\n| Süsteemi kuju | Mõistlik võte | Põhjus |\n| --- | --- | --- |\n| `$y=2x+1$` ja `$x+y=10$` | asendusvõte | üks tundmatu on juba avaldatud |\n| `$x+y=11$` ja `$x-y=3$` | liitmisvõte | `$y$` ja `$-y$` kaovad liitmisel |\n| mõlemad võrrandid on lihtsad sirged | graafiline | lõikepunkti saab jooniselt näha |\n\nGraafiline lahendus aitab mõista. Ebatäpse joonise korral leia täpne vastus algebra abil.\n\n![Kahe sirge lõikepunkt](assets/linear-system-intersection.svg \"Kahe sirge lõikepunkt on lineaarvõrrandisüsteemi graafiline lahend.\")\n\nLõikepunkt sobib mõlemasse võrrandisse.\n\n::: student-hint Kui vajad abi\nAlusta küsimusest: kas otsid arvu või arvupaari? Süsteemi vastus on tavaliselt `(x;y)`, seega pärast `$x$` leidmist arvuta ka `$y$` ja kontrolli mõlemat võrrandit.\n:::\n\n## Näide\n\n### Geomeetriline tähendus\n\nKahe tundmatuga lineaarvõrrandi graafik on sirge; süsteemi lahendile vastab sirgete lõikepunkt.\n\nLõikuvatel sirgetel on üks lahend, paralleelsetel sirgetel lahend puudub ja kokkulangevatel sirgetel lahendeid lõpmata palju.\n\nSüsteemi\n\n$$\n\\begin{cases}\ny=x+1\\\\\ny=-x+5\n\\end{cases}\n$$\n\nlõikepunkti saab leida paremaid pooli võrdsustades:\n\n$$x+1=-x+5$$\n\n$$2x=4,$$\n\n$$x=2.$$\n\nSiis `$y=2+1=3$`; lahend on `(2;3)`.\n\n### Sama süsteem liitmisvõttega\n\nLiidame sama süsteemi võrrandite vasakud ja paremad pooled:\n\n$$y+y=(x+1)+(-x+5).$$\n\n$$2y=6,\\qquad y=3.$$\n\nEsimesest võrrandist `$3=x+1$`, seega `$x=2$`. Teisest `$3=-x+5$`, samuti `$x=2$`. Mõlemad võtted annavad lahendi `$(2;3)$`.\n\nKui võtet pole ette antud, vali see, millega saad lahendi lihtsamalt. Kui ülesanne nõuab kindlat võtet, kasuta seda. Kontrolli lahendit mõlemas algses võrrandis.\n\n### Asendusvõte\n\nSüsteem\n\n$$\n\\begin{cases}\ny=2x+1\\\\\nx+y=10\n\\end{cases}\n$$\n\nEsimene võrrand annab `$y$`, seega asendame selle teise võrrandisse:\n\n$$x+(2x+1)=10$$\n\n$$3x+1=10$$\n\n$$x=3.$$\n\nSiis\n\n$$y=2\\cdot3+1=7.$$\n\nLahend on `(3;7)`.\n\n### Liitmisvõte\n\nSüsteem\n\n$$\n\\begin{cases}\n2x+3y=18\\\\\n2x-y=6\n\\end{cases}\n$$\n\nsobib liitmisvõtteks pärast ettevalmistust. Korrutame teise võrrandi arvuga 3, et `$y$` kordajad oleksid vastandarvud:\n\n$$\n\\begin{cases}\n2x+3y=18\\\\\n6x-3y=18\n\\end{cases}\n$$\n\nLiidame:\n\n$$8x=36,$$\n\n$$x=4,5.$$\n\nAsendame algsesse võrrandisse:\n\n$$2\\cdot4,5-y=6,$$\n\n$$9-y=6,$$\n\n$$y=3.$$\n\nLahend on `(4,5;3)`.\n\n## Tüüpviga\n\nKui sirged on paralleelsed, ei ole süsteemil lahendit. Kui võrrandid kirjeldavad sama sirget, on lahendeid lõpmata palju.\n\nTeine tüüpviga on leida `$x$`, aga jätta `$y$` arvutamata. Süsteemi lahend on arvupaar, mitte üks arv.\n\nKolmas tüüpviga on kontrollida lahendit ainult ühes võrrandis.\n\nNeljas tüüpviga on graafikult ligikaudne lõikepunkt lugeda täpseks vastuseks. Kui joonis on ebatäpne, kontrolli vastust algebra abil.\n\nViies tüüpviga on asendus- või liitmisvõttes muuta ainult ühte poolt. Kui korrutad võrrandit ettevalmistuseks arvuga, korruta kõik liikmed läbi.\n\n## Katseta graafikul\n\n[Võrdle kaht sirget graafikuvaatlejas](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=linear&juhtimine=parameters). Jäta $y=x$ mällu ja sea uus valem $y=-x+2$. Loe lõikepunkti koordinaadid ning kontrolli neid mõlemas võrrandis.\n\n::: teacher Lahendite arv graafikul\n[Ava kahe sirge võrdlus](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=linear&juhtimine=parameters): salvesta esmalt $y=x$. Võrdle seda kordamööda sirgetega $y=-x+2$, $y=x+2$ ja $y=x$. Siduge lõikumine, paralleelsus ja kokkulangemine lahendite arvuga.\n:::\n\n::: parent Lõikepunkti kontroll\n[Avage sirgete vaade](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=linear&juhtimine=parameters). Palu õppijal selgitada, miks peab lõikepunkt sobima mõlema valemiga. Pildilt loetud ligikaudne väärtus ei asenda asenduskontrolli.\n:::\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Lahenda süsteem `x+y=8`, `x-y=2`.\n2. Joonisel oleva süsteemi lahend on `(2;3)`. Mida tähendab see graafiliselt? Selgita, mida näitavad arvud 2 ja 3.\n3. Too näide süsteemist, millel lahend puudub.\n4. Lahenda asendusvõttega: `$y=x+4$`, `$x+y=12$`.\n\n### Rakendus\n\n5. Millal on süsteemil lõpmata palju lahendeid?\n6. Lahenda liitmisvõttega: `$x+y=9$`, `$x-y=1$`.\n7. Lahenda asendusvõttega: `$y=3x-2$`, `$x+y=10$`.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n8. Kontrolli, kas `(2;3)` on süsteemi `$y=x+1$`, `$y=-x+5$` lahend.\n9. Milline võte sobib hästi süsteemile `$2x+y=7$`, `$y=5-x$`? Põhjenda.\n10. Too näide süsteemist, millel on lõpmata palju lahendeid.\n11. Lahenda süsteem `$2x+y=5$`, `$4x+2y=10$`. Mitu lahendit on?\n12. Lahenda süsteem `$2x+y=5$`, `$4x+2y=12$`. Mitu lahendit on?\n\n## Vastused\n\n1. Lahend on `(5;3)`, sest `$x=5$` ja `$y=3$`; kontroll: `$5+3=8$` ja `$5-3=2$`.\n2. Sirged `$y=x+1$` ja `$y=-x+5$` lõikuvad punktis `(2;3)`: lõikepunkti `$x$`-koordinaat on 2 ja `$y$`-koordinaat 3. See arvupaar sobib süsteemi mõlemasse võrrandisse.\n3. Näiteks `$y=x+1$` ja `$y=x+3$`.\n4. `$x+(x+4)=12$`, seega `$x=4$` ja `$y=8$`; arvupaar `(4;8)` sobib mõlemasse võrrandisse.\n5. Kui mõlemad võrrandid kirjeldavad sama sirget.\n6. Lahenduskäik: liida võrrandid `$x+y=9$` ja `$x-y=1$`, siis `$2x=10$` ja `$x=5$`. Asendades saad `$5+y=9$`, seega `$y=4$`.\n7. Lahenduskäik: asenda `$y=3x-2$` teise võrrandisse: `$x+3x-2=10$`, seega `$x=3$`. Siis `$y=7$`; kontroll: `$3+7=10$`.\n8. Jah, sest arvupaar `(2;3)` annab mõlemas võrrandis tõese võrduse: `$3=2+1$` ja `$3=-2+5$`.\n9. Asendusvõte, sest teine võrrand annab kohe `$y=5-x$`.\n10. Näiteks `$y=2x+1$` ja `$2y=4x+2$`, sest need kirjeldavad sama sirget.\n11. Teine võrrand on esimese kahekordne, seega kirjeldavad need sama sirget. Lahendeid on lõpmata palju.\n12. Vasak pool on esimese võrrandi kahekordne, aga parem pool peaks siis olema `$10$`, mitte `$12$`. Lahend puudub.\n\n## Seosed\n\nSüsteemid seovad algebra ja geomeetria: sama olukorda saab kirjeldada võrrandite, graafikute või tekstülesandena. Võrratustes võib lahend olla punktide piirkond või arvude vahemik.\n" }, { "id": "algebra.lineaarvorrandisusteemide-tekstulesanded", "title": "Võrrandisüsteemide tekstülesanded", "strand": "50-algebra", "order": "50.65", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 8, "main": 8, "end": 11, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "skill", "application" ], "prerequisites": [ "algebra.lineaarvorrandisusteemid" ], "review_modules": [ "algebra.muutuja-ja-avaldis", "arvud.protsendid-suhted-vorded" ], "extension_modules": [ "modelleerimine.probleemilahendus-ja-mudelid" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-8", "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/50-algebra/50.65-lineaarvorrandisusteemide-tekstulesanded.md", "source_sha256": "5b4cf7159ce7fb30962c2c37e6fb18a6d77397ab1acc15aa79e6d3cd84d3f5a4", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/50.65-vorrandisusteemide-tekstulesanded.html", "content_markdown": "# Võrrandisüsteemide tekstülesanded\n\n## Mõiste\n\nTekstülesandes ei ole süsteem ette antud: see tuleb olukorrast ise koostada. Kahe tundmatu kasutamine sobib siis, kui otsitakse kaht seotud suurust ja tekst annab nende kohta kaks sõltumatut seost.\n\nEeldus: oskad lahendada kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi ning kontrollida arvupaari mõlemas võrrandis.\n\nTööjärjekord:\n\n1. nimeta tundmatud koos ühikutega;\n2. koosta kummagi seose kohta võrrand;\n3. lahenda süsteem sobiva võttega;\n4. kontrolli arvupaari mõlemas võrrandis;\n5. kontrolli, kas arvud sobivad olukorda;\n6. kirjuta sõnaline vastus.\n\nKui tekstis on „kokku”, saad sageli summa võrrandi. Hinna, teepikkuse või tehtud töö seos annab teise võrrandi.\n\n::: student-hint Kui vajad abi\nTee kahe tulbaga tabel. Kirjuta esimesse tulpa, mida $x$ tähendab, teise, mida $y$ tähendab, ning lisa mõlemale ühik.\n:::\n\n::: teacher Õpetaja lisasoovitused\nHinda eraldi teksti mõistmist, süsteemi koostamist ja arvutamist. Kui süsteem on õigesti koostatud, kuid arvutus eksib, ei ole mudeli loomine kaduma läinud.\n:::\n\n## Näide\n\nKoolietendusele müüdi 34 piletit. Täiskasvanu pilet maksis 8 eurot ja õpilase pilet 5 eurot. Pileteid müüdi kokku 218 euro eest. Mitu kummagi hinnaga piletit müüdi?\n\nOlgu $x$ täiskasvanupiletite ja $y$ õpilaspiletite arv.\n\n| Pileti liik | Hind eurodes | Piletite arv | Tulu eurodes |\n| --- | --- | --- | --- |\n| Täiskasvanu | 8 | `$x$` | `$8x$` |\n| Õpilane | 5 | `$y$` | `$5y$` |\n| Kokku | | 34 | 218 |\n\nKoguarv ja kogutulu annavad eri seosed:\n\n$$\n\\begin{cases}\nx+y=34,\\\\\n8x+5y=218.\n\\end{cases}\n$$\n\nEsimesest võrrandist `$y=34-x$`. Asendame teise:\n\n$$8x+5(34-x)=218.$$\n\nAvame sulud ja koondame:\n\n$$8x+170-5x=218.$$\n\n$$3x=48,\\qquad x=16.$$\n\nSiis `$y=34-16=18$`.\n\nKontroll: $16+18=34$ ja $8\\cdot16+5\\cdot18=218$.\n\nVastus: müüdi 16 täiskasvanupiletit ja 18 õpilaspiletit.\n\n## Tüüpviga\n\nTüüpviga on jätta tundmatute tähendus kirjutamata. Siis võib õige arvupaar saada vale sõnalise vastuse.\n\nTeine viga on koostada kaks sama sisuga võrrandit. Süsteem vajab kahte sõltumatut seost.\n\nKolmas viga on kontrollida ainult tehteid. Näiteks inimeste arv peab olema mittenegatiivne täisarv ja pikkus peab sobima ülesande tingimustega.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Kahe arvu summa on 24 ja vahe 6. Tähista arvud ning koosta süsteem.\n2. Klassis on kokku 28 õpilast. Tüdrukuid on poistest 4 rohkem. Koosta süsteem.\n3. Selgita, miks tuleb tekstülesande lõpus kirjutada ühikuga vastus.\n\n### Rakendus\n\n4. Muuseumisse osteti 20 piletit. Täiskasvanupilet maksis 7 eurot ja õpilaspilet 4 eurot, kokku maksti 98 eurot. Leia kummagi liigi piletite arv.\n5. Ristküliku ümbermõõt on 30 cm ja pikkus laiusest 3 cm suurem. Leia küljed.\n6. Kahe arvu summa on 41. Üks arv on teisest 7 võrra suurem. Leia arvud.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Koosta ise piletihindade ülesanne, mille lahend on 12 täiskasvanu- ja 18 õpilaspiletit.\n8. Jalgrattur ja jalakäija läbisid kokku 39 km. Jalgrattur läbis jalakäijast kolm korda pikema maa. Koosta süsteem, lahenda ning hinda, kas vastus on mõistlik.\n9. Miks ei piisa tekstülesandes alati ainult sellest, et arvupaar rahuldab võrrandeid?\n\n## Vastused\n\n1. Näiteks $x+y=24$ ja $x-y=6$; lahend on $x=15$, $y=9$.\n2. Kui $t$ on tüdrukute ja $p$ poiste arv, siis $t+p=28$ ning $t-p=4$.\n3. Ühik näitab, mida leitud arv olukorras tähendab.\n4. Süsteem on $x+y=20$ ja $7x+4y=98$; lahend on 6 täiskasvanu- ning 14 õpilaspiletit.\n5. Kui pikkus on $x$ ja laius $y$, siis $x+y=15$ ning $x-y=3$; küljed on 9 cm ja 6 cm.\n6. Arvud on 24 ja 17.\n7. Näiteks: müüdi 30 piletit hinnaga 8 ja 5 eurot ning saadi 186 eurot.\n8. Kui vahemaad on $x$ ja $y$, siis $x+y=39$ ning $x=3y$; jalgrattur läbis 29,25 km ja jalakäija 9,75 km.\n9. Lahend peab lisaks sobima olukorra piirangutega, näiteks inimeste arv ei saa olla negatiivne ega murdarvuline.\n\n## Seosed\n\nTekstülesanne on matemaatiline mudel: sõnadest saavad muutujad ja võrrandid, kuid lõpus tuleb tulemus alati algsesse olukorda tagasi tõlgendada.\n" }, { "id": "algebra.vorratused-ja-vahemikud", "title": "Võrratused ja vahemikud", "strand": "50-algebra", "order": "50.70", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 8, "main": 10, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "algebra.vorrandid-ja-vorratused", "arvud.arvuhulgad-ja-reaalarvud" ], "review_modules": [ "arvud.negatiivsed-arvud", "funktsioonid.lineaarfunktsioon" ], "extension_modules": [ "algebra.ruut-ja-ratsionaalvorratused" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-10", "klass-12" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/50-algebra/50.70-vorratused-ja-vahemikud.md", "source_sha256": "9b163db4397e7d2645f2e97d03714900657035029b2d11b18ce15af14136f17c", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/50.70-vorratused-ja-vahemikud.html", "content_markdown": "# Võrratused ja vahemikud\n\n## Mõiste\n\nVõrratus kirjeldab väärtuste hulka, mitte ainult ühte arvu. Lahendit esitatakse sageli arvteljel või vahemikuna.\n\nEeldus: oskad lahendada lineaarvõrratusi, lugeda arvtelge ning eristada rangeid ja mitterangeid märke.\n\n## Reegel\n\nNegatiivse arvuga korrutades või jagades pöördub võrratuse märk:\n\nNäiteks `$-2x<6$`. Jagame **mõlemad pooled arvuga −2** ja pöörame märgi:\n\n$$\\frac{-2x}{-2}>\\frac6{-2},\\qquad x>-3.$$\n\nTeine võimalus: korrutame mõlemad pooled arvuga −1, saades `$2x>-6$`. Seejärel jagame positiivse arvuga 2; märk enam ei pöördu ja saame samuti `$x>-3$`.\n\n## Vahemikud\n\n- `$[a;b]$` sisaldab otspunkte.\n- `$(a;b)$` ei sisalda otspunkte.\n- `$[a;b)$` sisaldab vasakut, aga mitte paremat otspunkti.\n- Lõpmatuse märgi juures kasutatakse alati ümarsulgu, näiteks `$(-\\infty;3]$`.\n\n![Vahemikud arvteljel](assets/intervals-number-line.svg \"Vahemiku märkimisel näitab täidetud punkt, et otspunkt kuulub hulka; tühi punkt näitab, et ei kuulu.\")\n\nMärkide tähendus:\n\n| Kirjaviis | Tähendus |\n| --- | --- |\n| `$x>2$` | kõik arvud, mis on suuremad kui 2 |\n| `$x\\ge2$` | kõik arvud, mis on vähemalt 2 |\n| `$27$`.\n2. Lahenda `$-3x\\le12$`.\n\n### Rakendus\n\n3. Kirjuta vahemikuna “kõik arvud 2-st suuremad ja 5-st väiksemad”.\n4. Rattalaenutus maksab 5 eurot ja lisaks 3 eurot iga tunni eest. Eelarve on kuni 23 eurot. Koosta aja `$t$` kohta võrratus ja leia võimalik ajavahemik, kui `$t\\ge0$`.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n5. Leia `$[0;8]\\cap[3;10]$`.\n6. Leia `$[0;2]\\cup[2;5]$`.\n7. Leia `$(1;6)\\cap[4;8]$`.\n8. Lahenda `$5-2x<1$` ja kirjuta vastus vahemikuna.\n9. Õpilane väidab, et arv 2 kuulub hulka `$(-\\infty;2]\\cap(2;6)$`. Kas väide on õige? Leia ühisosa ja põhjenda.\n\n## Vastused\n\n1. `$2x>12$`, seega `$x>6$`; vahemikuna `$(6;\\infty)$`, sest 6 ise ei kuulu hulka.\n2. Jagades negatiivse arvuga `-3` pöördub märk: `$x\\ge-4$`; vahemikuna `$[-4;\\infty)$`.\n3. `$(2;5)$`, sest mõlemad märgid on ranged ja otspunktid ei kuulu hulka.\n4. `$5+3t\\le23$`, seega `$t\\le6$`. Koos tingimusega `$t\\ge0$` on võimalik aeg `$[0;6]$` tundi.\n5. `$[3;8]$`, sest need arvud kuuluvad mõlemasse vahemikku.\n6. `$[0;5]$`, sest vahemikud puutuvad punktis 2 kokku ja ühend jääb üheks lõiguks.\n7. `$[4;6)$`; 4 kuulub mõlemasse, 6 ei kuulu esimesse vahemikku.\n8. `$-2x<-4$`, jagamisel `-2`-ga pöördub märk, seega `$x>2$`; vahemikuna `$(2;\\infty)$`.\n9. Väide ei ole õige. Ühisosa on `$\\varnothing$`, sest arv `$2$` kuulub esimesse, aga mitte teise vahemikku.\n\n## Seosed\n\nVõrratused ja vahemikud on vajalikud funktsioonide määramispiirkonna, graafikute piirkondade ja analüüsi piirangute kirjeldamisel. Järgmised õpiteekonna moodulid kasutavad neid oskusi teemasid kokku sidudes.\n" }, { "id": "algebra.ruut-ja-ratsionaalvorratused", "title": "Ruut- ja ratsionaalvõrratused", "strand": "50-algebra", "order": "50.75", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 10, "main": 10, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "algebra.vorratused-ja-vahemikud", "algebra.ruutvorrandi-lahendusviisid-ja-rakendused", "algebra.murd-ja-juurvorrandid" ], "review_modules": [ "funktsioonid.ruutfunktsiooni-graafik-ja-mudel" ], "extension_modules": [ "funktsioonid.funktsioonide-teisendused" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-10" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/50-algebra/50.75-ruut-ja-ratsionaalvorratused.md", "source_sha256": "7f90dcfc95247780bd8b9849164fa90bfa77ca8e0923f04c580685c84297676a", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/50.75-ruut-ja-ratsionaalvorratused.html", "content_markdown": "# Ruut- ja ratsionaalvõrratused\n\n## Mõiste\n\nRuut- või ratsionaalvõrratus küsib, millistes arvtelje osades on avaldis positiivne, negatiivne või null. Üksiku lahendi asemel saadakse tavaliselt vahemik või vahemike ühend.\n\nEeldus: oskad lahendada ruutvõrrandit, tegurdada lihtsat ruutkolmliiget, määrata ratsionaalavaldise keelatud väärtusi ning kasutada vahemikke.\n\nMärgiskeemi meetod:\n\n1. vii kõik liikmed ühele poole;\n2. tegurda lugeja ja nimetaja, kui see on võimalik;\n3. leia nullkohad ning nimetaja keelatud väärtused;\n4. jaga arvtelg nende kriitiliste punktidega vahemikeks;\n5. määra igal vahemikul avaldise märk;\n6. vali võrratusele sobivad vahemikud ja kontrolli otspunkte.\n\n![Ruut- ja ratsionaalvõrratuse märgiskeem](assets/inequality-sign-chart.svg \"Kriitilised punktid jagavad arvtelje vahemikeks, millel tegurite ja kogu avaldise märk ei muutu.\")\n\nRuutvõrratust saab tõlgendada ka parabooli kaudu: `$f(x)\\le0$` küsib, kus graafik asub `$x$`-teljel või sellest allpool.\n\n## Näide\n\nLahendame\n\n$$x^2-x-6\\le0.$$\n\nTegurdamiseks otsime kahte arvu, mille korrutis on −6 ja summa −1. Sobivad −3 ja 2, sest `$(-3)\\cdot2=-6$` ning `$-3+2=-1$`. Kontrolliks avame sulud:\n\n$$(x-3)(x+2)=x^2+2x-3x-6.$$\n\nSee on `$x^2-x-6$`, seega võrratus on\n\n$$(x-3)(x+2)\\le0.$$\n\nNullkohad on `$-2$` ja `$3$`. Ülespoole avanev parabool on nullkohtade vahel mittepositiivne, seega\n\n$$x\\in[-2;3].$$\n\nKui tegurid kohe silma ei hakka, leia kõigepealt ruutvõrrandi `$x^2-x-6=0$` lahendid üldvalemiga.\n\nLahendame ratsionaalvõrratuse\n\n$$\\frac{x-1}{x+2}>0.$$\n\nKriitilised punktid on `$x=-2$` ja `$x=1$`. Punkt `$-2$` on keelatud, punktis 1 on avaldis null. Avaldis on positiivne vahemikes\n\n$$(-\\infty;-2)\\cup(1;\\infty).$$\n\nVastus: esimese võrratuse lahend on `$[-2;3]$`, teise lahend `$(-\\infty;-2)\\cup(1;\\infty)$`.\n\n## Tüüpviga\n\nTüüpviga on korrutada ratsionaalvõrratust tundmatut märki sisaldava nimetajaga. Kui nimetaja märk pole teada, ei tea sa, kas võrratuse märk peab pöörduma. Märgiskeem väldib seda viga.\n\nTeine tüüpviga on lisada nimetaja nullkoht vastusesse. Keelatud väärtus ei kuulu lahendisse ka mitterange võrratuse korral.\n\nKolmas tüüpviga on jätta ruutvõrratuse nullkohad vastusest välja, kuigi märk on `$\\le$` või `$\\ge$`.\n\n::: student-hint Kui vajad abi\nKirjuta kriitilised punktid järjest arvteljele ja testi igast tekkinud vahemikust üks lihtne arv. Kogu vahemikul jääb märk samaks.\n:::\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Lahenda `$x^2-9<0$`.\n2. Lahenda `$x^2-4x\\ge0$`.\n3. Milline väärtus on avaldises `$\\frac{x+1}{x-5}$` keelatud?\n\n### Rakendus\n\n4. Lahenda `$\\frac{x+1}{x-2}\\le0$`.\n5. Palli kõrgus on `$h(t)=-t^2+6t$`. Millal on `$h(t)\\ge5$`?\n6. Lahenda `$(x-2)^2>0$`.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Miks ei tohi võrratust `$\\frac{x-1}{x+2}>0$` ilma nimetaja märki uurimata arvuga `$x+2$` korrutada?\n8. Võrdle võrratuste `$x^2-1<0$` ja `$x^2-1>0$` lahendeid graafiku abil.\n9. Lahenda `$\\frac{(x-3)(x+1)}{x-2}\\ge0$` märgiskeemi abil.\n\n## Vastused\n\n1. `$(-3;3)$`, sest parabool on nullkohtade vahel negatiivne.\n2. `$(-\\infty;0]\\cup[4;\\infty)$`, sest tegurite korrutis on väljaspool nullkohti mittenegatiivne.\n3. `$x\\ne5$`.\n4. `$[-1;2)$`; lugeja null `$-1$` kuulub lahendisse, nimetaja null 2 ei kuulu.\n5. `$t\\in[1;5]$`, sest `$-t^2+6t\\ge5$` taandub `$(t-1)(t-5)\\le0$`.\n6. `$(-\\infty;2)\\cup(2;\\infty)$`; ruut on positiivne kõikjal peale punkti 2.\n7. Nimetaja `$x+2$` võib olla positiivne või negatiivne; negatiivsega korrutades peaks märk pöörduma.\n8. Esimese lahend on `$(-1;1)$`, teise `$(-\\infty;-1)\\cup(1;\\infty)$`; graafik on vastavalt teljest all- või ülalpool.\n9. `$[-1;2)\\cup[3;\\infty)$`; punkt 2 on keelatud, nullkohad `-1` ja 3 kuuluvad lahendisse.\n\n## Seosed\n\nMärgiskeem seob algebra funktsiooni graafikuga. Funktsioonide teisenduste peatükis saab sama küsimust vaadelda kui graafiku asukohta telje või teise graafiku suhtes.\n" }, { "id": "funktsioonid.koordinaatteljestik", "title": "Koordinaatteljestik", "strand": "60-funktsioonid", "order": "60.10", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 6, "main": 6, "end": 10, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "II kooliaste", "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 2, "module_tags": [ "concept", "skill" ], "prerequisites": [ "arvud.negatiivsed-arvud" ], "review_modules": [ "geomeetria-alused.punkt-sirge-nurk" ], "extension_modules": [ "funktsioonid.funktsioon-kui-seos" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-7", "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/60-funktsioonid/60.10-koordinaatteljestik.md", "source_sha256": "aef0c211b17057bd9789105f6aec250dda68779a700a8c04612bda41f767e169", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/60.10-koordinaatteljestik.html", "content_markdown": "# Koordinaatteljestik\n\n## Mõiste\n\nPunkti asukohta tasandil kirjeldab paar `(x; y)`. Esimene arv näitab liikumist horisontaalselt, teine vertikaalselt.\n\nSelles materjalis eraldab koordinaate semikoolon, sest koma kasutatakse kümnendkohana.\n\nEeldus: oskad kasutada negatiivseid arve ja lugeda arvteljel paremat, vasakut, üles- ja allasuunda.\n\nHorisontaalne telg on `$x$`-telg. Vertikaalne telg on `$y$`-telg. Telgede lõikepunkt on alguspunkt `(0;0)`.\n\nPunkti lugemise järjekord:\n\n1. alusta alguspunktist;\n2. liigu `$x$` järgi paremale või vasakule;\n3. liigu `$y$` järgi üles või alla.\n\nMärgid ütlevad suuna:\n\n| Koordinaat | Positiivne | Negatiivne |\n| --- | --- | --- |\n| `$x$` | paremale | vasakule |\n| `$y$` | üles | alla |\n\nKoordinaatide märgid veerandites:\n\n| Veerand | `$x$` märk | `$y$` märk | Näide |\n| --- | --- | --- | --- |\n| I | `+` | `+` | `(2;3)` |\n| II | `-` | `+` | `(-2;3)` |\n| III | `-` | `-` | `(-2;-3)` |\n| IV | `+` | `-` | `(2;-3)` |\n\nKui üks koordinaat on null, asub punkt teljel:\n\n| Punkti kuju | Kus asub? | Näide |\n| --- | --- | --- |\n| `(x;0)` | `$x$`-teljel | `(5;0)` |\n| `(0;y)` | `$y$`-teljel | `(0;-4)` |\n| `(0;0)` | alguspunktis | `(0;0)` |\n\n## Näide\n\nPunkt `(3; -2)` asub 3 ühikut paremal ja 2 ühikut allpool alguspunkti.\n\n![Punkt koordinaatteljestikus](assets/coordinate-point.svg \"Punkt `(3; -2)` näitab koordinaatteljestikus 3 ühikut paremale ja 2 ühikut alla.\")\n\nPunkt `(-4; 2)` asub 4 ühikut vasakul ja 2 ühikut üleval. See on II veerandis.\n\nPunkt `(0; -5)` ei ole üheski veerandis, sest ta asub `$y$`-teljel.\n\nPunktide lugemisel kontrolli alati järjekorda:\n\n$$P(x;y).$$\n\nEsimene arv on horisontaalne liikumine, teine vertikaalne liikumine.\n\nFunktsiooni graafikul saab sama punktipaar tähendada sisendit ja väljundit: `$x$` on sisend, `$y$` on sellele vastav väärtus.\n\nTõlgendus: funktsiooni punkt `(x;y)` tähendab seost `$y=f(x)$`: vali sisend `$x$`, arvuta väljund `$y$`.\n\nKui seos on antud tabeli, valemi ja graafikuna, peavad samad sisendid andma samad väljundid.\n\n## Tüüpviga\n\nKoordinaatide järjekord on oluline. Punkt `(3; -2)` ei ole sama mis `(-2; 3)`.\n\nTeine tüüpviga on vahetada telgede suunad: positiivne `$x$` liigub paremale ja positiivne `$y$` liigub üles.\n\nKolmas tüüpviga on arvata, et teljel olev punkt kuulub mõnda veerandisse. Veerandid on telgede vahelised piirkonnad; teljed ise veerandisse ei kuulu.\n\nNeljas tüüpviga on graafikul punktid ühendada enne, kui on selge, mida punktid tähendavad. Mõnikord on mõistlik ainult üksikud punktid, mõnikord pidev joon.\n\n### Teine seletusviis\n\nKoordinaat on teejuhis: esimene arv ütleb liikumise paremale või vasakule, teine üles või alla.\n\n## Katseta graafikul\n\n[Liiguta punkte graafikuvaatlejas](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=linear&juhtimine=points). Muuda punkti A puhul ainult $x$-koordinaati ja seejärel ainult $y$-koordinaati. Võrdle tabelit punkti asukohaga.\n\n::: teacher Üks koordinaat korraga\n[Ava punktivaade](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=linear&juhtimine=points). Piira liikumine X- või Y-suunaga ja palu õppijal ennustada punkti uut asukohta enne lohistamist.\n:::\n\n::: parent Koordinaatide järjekord\n[Avage punktivaade](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=linear&juhtimine=points). Võrrelge punkti A asukohti $(-3;1)$ ja $(1;-3)$. Küsige, miks koordinaatide vahetamine muudab asukohta.\n:::\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Millises veerandis asub punkt `(4;5)`?\n2. Millises veerandis asub punkt `(-4;5)`?\n3. Kirjelda sõnadega, kuidas jõuda punktini `(-3;-2)`.\n4. Mis on punkti `(0;6)` eriline omadus?\n\n### Rakendus\n\n5. Kas punktid `(2;-1)` ja `(-1;2)` on samad?\n6. Millises veerandis asub punkt `(-6;-1)`?\n7. Millises veerandis asub punkt `(7;-3)`?\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n8. Kus asub punkt `(8;0)`?\n9. Kirjelda sõnadega, kuidas jõuda punktini `(5;-4)`.\n10. Kirjuta üks punkt igast veerandist.\n11. Kui punkt `(4;9)` on funktsiooni graafikul, siis mis on sisend ja mis on väljund?\n\n## Vastused\n\n1. I veerandis, sest mõlemad koordinaadid on positiivsed.\n2. II veerandis, sest `$x$` on negatiivne ja `$y$` positiivne.\n3. 3 ühikut vasakule ja 2 ühikut alla; esimene arv juhib horisontaalselt, teine vertikaalselt.\n4. See asub `$y$`-teljel, sest `$x=0$`.\n5. Ei. Punktis `(2;-1)` on `$x=2$` ja `$y=-1$`; punktis `(-1;2)` on need vastupidi.\n6. III veerandis, sest mõlemad koordinaadid on negatiivsed.\n7. IV veerandis, sest `$x$` on positiivne ja `$y$` negatiivne.\n8. `$x$`-teljel, sest `$y=0$`.\n9. 5 ühikut paremale ja 4 ühikut alla; kontrolli alati järjekorda `(x;y)`.\n10. Näiteks `(1;1)`, `(-1;1)`, `(-1;-1)`, `(1;-1)`.\n11. Sisend on `$x=4$` ja väljund on `$y=9$`, sest punkt kirjutatakse kujul `(x;y)`.\n\n## Seosed\n\nKoordinaatteljestik on funktsioonide, vektorite, analüütilise geomeetria ja andmegraafikute alus. Järgmine funktsiooni mõiste peatükk kasutab punkte sisendi ja väljundi seose näitamiseks.\n" }, { "id": "funktsioonid.funktsioon-kui-seos", "title": "Funktsioon kui sisendi ja väljundi seos", "strand": "60-funktsioonid", "order": "60.12", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 7, "main": 7, "end": 10, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 2, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "funktsioonid.koordinaatteljestik", "algebra.muutuja-ja-avaldis" ], "review_modules": [ "andmed.tabelid-diagrammid-keskmised" ], "extension_modules": [ "funktsioonid.vordeline-seos" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-7" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/60-funktsioonid/60.12-funktsioon-kui-seos.md", "source_sha256": "a0f25b4920672a9776a8e7a9f9b58f42408cc966da9379e6824b99cfb3df0347", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/60.12-funktsioon-kui-sisendi-ja-valjundi-seos.html", "content_markdown": "# Funktsioon kui sisendi ja väljundi seos\n\n## Mõiste\n\nFunktsioon on reegel, mis annab igale lubatud sisendile täpselt ühe väljundi. Kui sisend on $x$ ja funktsiooni nimi $f$, kirjutame väljundi kujul\n\n$$y=f(x).$$\n\nEeldus: oskad avaldisse arvu asendada, tabelit lugeda ning punkti $(x;y)$ koordinaattasandile kanda.\n\nTähed on nimed. Kirjutised $f(x)$, $g(x)$ ja $h(x)$ võivad tähistada eri funktsioone. Ka sisendi nimi võib muutuda: valemis $h(t)=2t+3$ on funktsiooni nimi $h$ ja sisend $t$. Funktsiooni mõte jääb samaks.\n\nSama funktsiooni saab esitada neljal viisil:\n\n- sõnadega: mida sisendiga tehakse;\n- tabelina: valitud sisendite ja väljundite paarid;\n- valemina: näiteks $f(x)=2x+1$;\n- graafikuna: punktid $(x;f(x))$ koordinaattasandil.\n\n![Funktsiooni neli omavahel seotud esitust](assets/class-7-function-representations.svg \"Funktsiooni joonisel annavad sõnaline reegel, valem, tabel ja graafiku punktid samade sisendite korral samad väljundid.\")\n\nLubatud sisendite hulka nimetatakse määramispiirkonnaks. Näiteks klassi õpilaste arv ei saa olla negatiivne ega murdarv.\n\n::: student-hint Kui vajad abi\nLoe $f(3)$ nii: „funktsiooni $f$ väärtus sisendi 3 korral”. Asenda valemis $x$ arvuga 3 ja arvuta kogu avaldis.\n:::\n\n::: teacher Õpetaja lisasoovitused\nLase õpilasel liikuda ühes näites sõnadest tabeli ja valemini ning sealt graafikule. Kontrolli eraldi, kas ta eristab funktsiooni nime, sisendi nime ja väljundit.\n\n[Ava graafikuvaatleja](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=linear&juhtimine=parameters) ja sea $a=2$, $b=1$. Palu koostada kolme sisendi tabel ning võrrelda seda graafiku ja väärtusekontrolliga.\n\nKui õpilane ajab sisendi ja väljundi segamini, palu tal öelda seos ühe täislausega: millest tulemus sõltub?\n\n- Miinimum: õpilane leiab valemi järgi ühe funktsiooni väärtuse.\n- Tavarada: õpilane seob tabeli, valemi ja graafiku punktid.\n- Lisaväljakutse: õpilane põhjendab, kas etteantud vastavus on funktsioon.\n:::\n\n## Näide\n\nJalgratta laenutus maksab 3 eurot alustuseks ja 2 eurot iga täistunni eest. Olgu $t$ tundide arv ja $h(t)$ hind eurodes. Siis\n\n$$h(t)=2t+3.$$\n\n| Aeg `$t$` tundides | Hind `$h(t)$` eurodes |\n| --- | --- |\n| 0 | 3 |\n| 1 | 5 |\n| 2 | 7 |\n| 3 | 9 |\n| 4 | 11 |\n| 5 | 13 |\n\nSiin `$t=0$` tähendab laenutuse algust: 3 eurot tuleb tasuda ka enne esimese tunni möödumist.\n\nKui $t=4$, siis\n\n$$h(4)=2\\cdot4+3=11.$$\n\nTabeli paar $(4;11)$ tähendab, et nelja tunni hind on 11 eurot. Graafikul tähistab seda sama punkt $(4;11)$.\n\nVastus: $h(4)=11$ eurot.\n\n## Tüüpviga\n\nTüüpviga on arvata, et $f$ või $h$ on sisend. Avaldises $h(t)$ on $h$ funktsiooni nimi ja $t$ sisend.\n\nTeine viga on anda samale sisendile kaks eri väljundit. Kui tabelis vastab sisendile 2 nii 5 kui 7, ei kirjelda tabel ühte funktsiooni.\n\nKolmas viga on ühendada graafikul kõik punktid automaatselt. Kui sisend saab olla ainult täisarv, võivad ka graafikul olla ainult eraldi punktid.\n\n## Katseta graafikul\n\n[Ava lineaarne seos graafikuvaatlejas](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=linear&juhtimine=parameters). Sea $a=2$, $b=1$. Arvuta $y$ sisendi $x=3$ korral ja kontrolli tulemust rakenduse $x$-väljal.\n\n::: parent Sisend ja väljund\n[Avage sama seos](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=linear&juhtimine=parameters). Paluge õppijal valida sisend ja ennustada väljund enne selle kontrollimist. Küsige, kumba arvu näitab graafiku punktis esimene koordinaat.\n:::\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Kui $f(x)=3x-2$, leia $f(4)$.\n2. Valemis $p(n)=5n$ nimeta funktsioon ja sisend.\n3. Kirjuta valemi $y=x+4$ järgi punkt, mille $x=2$.\n\n### Rakendus\n\n4. Koosta valemi $g(x)=2x+1$ väärtuste tabel sisenditele $0$, $1$ ja $3$.\n5. Kas paarid $(1;4)$, $(2;5)$ ja $(1;6)$ kirjeldavad ühte funktsiooni? Põhjenda.\n6. Kinopilet maksab 7 eurot. Kirjuta $n$ pileti koguhinna funktsioon $H(n)$.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Funktsiooni tabelis on paarid $(0;3)$, $(1;5)$, $(2;7)$ ja $(3;9)$. Paku sobiv valem.\n8. Too näide funktsioonist, mille eri sisendid annavad sama väljundi.\n9. Miks ei sobi inimese pikkuse sisendiks negatiivne arv? Millist funktsiooni võiks pikkus mõjutada?\n\n## Vastused\n\n1. $f(4)=3\\cdot4-2=10$.\n2. Funktsiooni nimi on $p$ ja sisend on $n$.\n3. $(2;6)$, sest $2+4=6$.\n4. Paarid on $(0;1)$, $(1;3)$ ja $(3;7)$.\n5. Ei, sest sisendile 1 on antud kaks eri väljundit.\n6. $H(n)=7n$, kus $n$ on piletite arv.\n7. Näiteks $y=2x+3$, sest iga sisendi suurenemisel ühe võrra kasvab väljund kahe võrra.\n8. Näiteks $f(x)=x^2$: sisendid $-2$ ja 2 annavad mõlemad väljundi 4.\n9. Pikkus on mõõdetav kaugus ega saa selles olukorras olla negatiivne; näiteks võib pikkusest sõltuda sobiva rõivasuuruse valik.\n\n## Seosed\n\nJärgmine peatükk uurib võrdelist seost, kus väljundi ja sisendi suhe on püsiv ning graafik läbib alguspunkti.\n" }, { "id": "funktsioonid.vordeline-seos", "title": "Võrdeline seos", "strand": "60-funktsioonid", "order": "60.15", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 7, "main": 7, "end": 10, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 2, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "funktsioonid.funktsioon-kui-seos", "arvud.protsendid-suhted-vorded" ], "review_modules": [ "mootmine.mootkava-ja-proportsioon" ], "extension_modules": [ "funktsioonid.lineaarfunktsioon" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-7" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/60-funktsioonid/60.15-vordeline-seos.md", "source_sha256": "ea38ffea32194fa0171b7eb24122e0dedbda0ffa63b12281c2346f3e8402c10d", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/60.15-vordeline-seos.html", "content_markdown": "# Võrdeline seos\n\n## Mõiste\n\nKaks suurust on võrdelises seoses, kui ühe suuruse mingi arv kordi muutumisel muutub teine sama arv kordi. Võrdelise seose valem on\n\n$$y=kx,$$\n\nkus $k$ on võrdetegur.\n\nEeldus: oskad arvutada suhet, kasutada funktsiooni valemit ning märkida tabeli punktid koordinaattasandile.\n\nKui $x\\ne0$, saab võrdeteguri leida suhtest\n\n$$k=\\frac{y}{x}.$$\n\nVõrdetegur näitab, kui palju väljundit vastab ühele sisendi ühikule. Näiteks hind 2 eurot kilogrammi kohta tähendab $k=2\\ \\text{€/kg}$.\n\nVõrdelise seose tunnused:\n\n- suhe $\\frac yx$ on kõigis tabeli ridades sama;\n- kui $x=0$, siis $y=0$;\n- graafik on alguspunkti läbiv sirge.\n\n![Võrdelise seose tabel, valem ja graafik](assets/class-7-direct-proportion.svg \"Võrdelise seose joonisel annavad valem $y=2x$, püsiv suhe $y/x=2$ ja alguspunkti läbiv sirge sama matemaatilise seose.\")\n\n::: student-hint Kui vajad abi\nArvuta tabeli ridades jagatis $y:x$ ainult siis, kui $x\\ne0$. Jagatis peab olema kõigis neis ridades sama. Kui tabelis on ka $x=0$, peab sellele vastama $y=0$; nulliga jagada ei saa. Nii kontrollid, kas tabeli andmed sobivad võrdelise seosega.\n:::\n\n::: teacher Õpetaja lisasoovitused\nSeo võrdetegur ühikuhinna, kiiruse või retsepti kogusega. Palu õpilasel alati öelda ka $k$ ühik; nii ei jää tegur tähenduseta arvuks.\n\n[Graafikuvaatlejas](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=linear&juhtimine=parameters) tähistab võrdetegurit $a$. Võrrelge seoseid $y=2x$ ja $y=2x+1$: miks on ainult esimene võrdeline?\n\nEksiarvamus: iga sirge graafik kirjeldab võrdelist seost. Kontrolli, kas graafik läbib alguspunkti.\n\n- Miinimum: õpilane leiab valemi järgi väljundi.\n- Tavarada: õpilane leiab tabelist võrdeteguri ja koostab valemi.\n- Lisaväljakutse: õpilane eristab võrdelist seost muust lineaarsest seosest.\n:::\n\n## Näide\n\nÕunte hind on 2 eurot kilogrammi kohta. Kui $x$ on õunte mass kilogrammides ja $y$ hind eurodes, siis\n\n$$y=2x.$$\n\nKolme kilogrammi hind on\n\n$$y=2\\cdot3=6\\text{ eurot}.$$\n\nSuhe $y:x$ on alati 2. Kui õunu ei osteta, on nii mass kui hind null; seetõttu läbib graafik alguspunkti.\n\nVastus: 3 kg õunu maksab 6 eurot ja võrdetegur on 2 €/kg.\n\n## Tüüpviga\n\nTüüpviga on nimetada iga sirgjoonelist seost võrdeliseks. Seos $y=2x+3$ ei ole võrdeline, sest $x=0$ korral on $y=3$ ning graafik ei läbi alguspunkti.\n\nTeine viga on arvutada võrdetegur tagurpidi. Valemis $y=kx$ on $k=y:x$, mitte $x:y$.\n\nKolmas viga on unustada võrdeteguri ühik. Kiiruse võrdetegur võib olla km/h, ühikuhinna oma €/kg.\n\n## Katseta graafikul\n\n[Uuri võrdelist seost graafikuvaatlejas](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=linear&juhtimine=parameters). Jäta $b=0$ ja muuda ainult $a$ väärtust. Milline punkt jääb alati sirgele?\n\n::: parent Võrdeline või mitte?\n[Avage sirge vaade](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=linear&juhtimine=parameters). Muutke $b$ nullist üheks ja paluge lapsel selgitada, miks uus seos pole enam võrdeline.\n:::\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Kui $y=4x$, leia $y$, kui $x=3$.\n2. Leia võrdetegur, kui $x=5$ ja $y=15$.\n3. Kas seos $y=7x$ läbib alguspunkti?\n\n### Rakendus\n\n4. Tabelis on paarid $(2;6)$, $(4;12)$ ja $(7;21)$. Leia võrdetegur ja valem.\n5. Üks vihik maksab 1,50 eurot. Kirjuta $n$ vihiku hinna valem.\n6. Jalgrattur liigub ühtlase kiirusega 18 km/h. Kirjuta teepikkus $s$ aja $t$ kaudu.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Kas tabeli paarid $(0;2)$, $(1;5)$ ja $(2;8)$ kirjeldavad võrdelist seost? Põhjenda.\n8. Võrdelise seose graafik läbib punkti $(4;-6)$. Leia $k$ ja kirjuta valem.\n9. Võrdle seoseid $y=3x$ ja $y=3x+5$: mis on sama ning mis erinev?\n\n## Vastused\n\n1. $y=4\\cdot3=12$.\n2. $k=15:5=3$.\n3. Jah, sest $x=0$ korral on $y=0$.\n4. $k=3$ ja $y=3x$, sest igas reas on $y:x=3$.\n5. $H(n)=1{,}5n$, kus võrdetegur 1,5 €/vihik on ühe vihiku hind.\n6. $s(t)=18t$, kus võrdetegur 18 km/h on kiirus.\n7. Ei, sest nullile ei vasta null ja suhted $y:x$ ei ole püsivad.\n8. $k=-6:4=-1{,}5$, seega $y=-1{,}5x$.\n9. Mõlemal on sama tõus 3. Esimene läbib alguspunkti ja on võrdeline; teise algväärtus on 5 ning see ei ole võrdeline.\n\n## Seosed\n\nLineaarfunktsioon $y=kx+b$ laiendab võrdelist seost: kui $b=0$, on seos võrdeline; kui $b\\ne0$, lisandub püsiv algväärtus.\n" }, { "id": "funktsioonid.lineaarfunktsioon", "title": "Lineaarfunktsioon", "strand": "60-funktsioonid", "order": "60.20", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 7, "main": 7, "end": 10, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 3, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "funktsioonid.vordeline-seos", "algebra.vorrandid-ja-vorratused" ], "review_modules": [ "funktsioonid.koordinaatteljestik", "algebra.muutuja-ja-avaldis" ], "extension_modules": [ "algebra.lineaarvorrandisusteemid" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-7", "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/60-funktsioonid/60.20-lineaarfunktsioon.md", "source_sha256": "dd738bc18ac7e54cefa05551c23cf0cc0533c2d227ba83dab513ea4bc076ac5b", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/60.20-lineaarfunktsioon.html", "content_markdown": "# Lineaarfunktsioon\n\n## Mõiste\n\nLineaarfunktsiooni kuju on $$y=kx+b.$$\n\nEeldus: oskad võrdelist seost tabeli, valemi ja graafikuna kirjeldada ning lahendada lihtsat võrrandit.\n\nSama mõtet kirjutatakse ka kujul $f(x)=kx+b$. Täht $f$ on funktsiooni nimi ja $x$ sisend. Kui ülesandes on $h(t)=t+5$, siis nimi on $h$ ja sisend $t$; seose tüüp ei muutu.\n\nTabel, valem ja graafik kirjeldavad sama seost.\n\n$k$ on tõus ja $b$ on algordinaat. Graafiku lõikepunkt $y$-teljega on $(0;b)$.\n\n- Kui $k>0$, siis sirge tõuseb vasakult paremale.\n- Kui $k<0$, siis sirge langeb vasakult paremale.\n- Kui $k=0$, siis funktsioon on konstantne: $y=b$.\n\nKui $x=0$, siis $y=b$. Seetõttu määrab algordinaat $b$ graafiku lõikepunkti $(0;b)$ $y$-teljega.\n\nTõus näitab, kui palju $y$ muutub, kui $x$ suureneb 1 võrra:\n\n$$k=\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}.$$\n\nTekstülesandes on tõusul ühik: $h(t)=t+5$ korral 1 euro lisatunni kohta.\n\nKahe punkti $(x_1;y_1)$ ja $(x_2;y_2)$ järgi:\n\n$$k=\\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\\qquad x_1\\ne x_2.$$\n\nKui $k$ on teada, leia $b$ ühe punkti asendamisega valemisse.\n\n## Näide\n\nFunktsioon\n\n$$y=2x-1$$\n\nläbib punktid $(-1;-3)$; $(0;-1)$; $(1;1)$ ja $(2;3)$.\n\n![Lineaarfunktsiooni graafik](assets/function-line.svg \"Lineaarfunktsiooni $y=2x-1$ graafik on sirge, mille tõus on 2 ja algordinaat -1.\")\n\nKontrolliks asenda graafiku punkt valemisse: pooled peavad võrduma.\n\nSiin $b=-1$, sest graafik lõikab $y$-telge punktis $(0;-1)$. Tõus $k=2$: kui $x$ suureneb 1 võrra, suureneb $y$ 2 võrra.\n\nSama valemi leiame punktidest $(1;1)$ ja $(2;3)$. Tõus on $k=(3-1)/(2-1)=2$. Punkti $(1;1)$ asendamisel saame $1=2\\cdot1+b$, seega $b=-1$. Teine punkt sobib, sest $3=2\\cdot2-1$.\n\nPunktide $(1;2)$ ja $(4;8)$ tõus on\n\n$$k=\\frac{8-2}{4-1}=\\frac63=2.$$\n\nLeiame nende kahe punkti järgi kogu sirge valemi.\n\nKasutame punktis $(1;2)$ valemit $y=2x+b$:\n\n$$2=2\\cdot1+b,$$\n\n$$b=0.$$\n\nSeega sirge valem on\n\n$$y=2x.$$\n\nSirge läbib punkte $(-2;5)$ ja $(4;-1)$. Tõus on\n\n$$k=\\frac{-1-5}{4-(-2)}=\\frac{-6}{6}=-1.$$\n\nSeega $y=-x+b$. Kasutame punkti $(4;-1)$:\n\n$$-1=-4+b,$$\n\n$$b=3.$$\n\nSirge valem on\n\n$$y=-x+3.$$\n\nVastus: $y=2x$ ja $y=-x+3$.\n\n## Tüüpviga\n\nKui $b\\ne0$, ei ole seos võrdeline. Võrdeline seos on kujul $y=kx$.\n\nTeine tüüpviga on ajada segi algordinaat ja telje lõikepunkt. Algordinaat on arv $b$; graafiku lõikepunkt $y$-teljega on punkt $(0;b)$.\n\nKolmas tüüpviga on koordinaadid segamini lahutada. Kui alustad $y_2-y_1$, kasuta nimetajas sama järjekorda $x_2-x_1$.\n\nNäiteks punktide $(1;2)$ ja $(4;8)$ korral:\n\n$$\\frac{8-2}{4-1}=2.$$\n\nSama järjekorra ümberpööramine annab samuti õige vastuse:\n\n$$\\frac{2-8}{1-4}=2.$$\n\nAga segamini järjekord annaks vale märgi.\n\nNeljas tüüpviga on oletada, et iga kasvav seos on lineaarne. Lineaarse seose tunnus on püsiv muutus: iga sama $x$-sammu kohta muutub $y$ sama palju.\n\n## Katseta graafikul\n\n[Võrdle sirgeid graafikuvaatlejas](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=linear&juhtimine=parameters). Rakenduses on tõusu tähis $a$, siin $k$. Jäta $y=x$ mällu, muuda esmalt ainult tõusu ja seejärel ainult algordinaati.\n\n::: teacher Ennusta enne muutmist\n[Ava kordajate vaade](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=linear&juhtimine=parameters). Palu ennustada, mis jääb $a$ muutmisel paigale ning milline omadus säilib $b$ muutmisel. Kontrollige üht punkti ka valemiga.\n:::\n\n::: parent Tõus ja algordinaat\n[Avage sirge vaade](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=linear&juhtimine=parameters). Küsige: „Millal sirge langeb?” ja „Kust leiame $b$ graafikult?” Las õppija näitab vastust ühe muutuse kaupa.\n:::\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Mis on funktsiooni $y=3x+5$ tõus?\n2. Mis on funktsiooni $y=3x+5$ algordinaat?\n3. Kas funktsioon $y=-2x+1$ tõuseb või langeb?\n4. Leia tõus punktide $(0;4)$ ja $(2;10)$ järgi.\n\n### Rakendus\n\n5. Millises punktis lõikab $y=4x-7$ graafik $y$-telge?\n6. Leia tõus punktide $(2;3)$ ja $(6;11)$ järgi.\n7. Leia tõus punktide $(-1;4)$ ja $(3;-4)$ järgi.\n8. Kujuteldavas Tartu rattalaenutuses maksab päevapilet 5 eurot ja iga lisatund 1 euro. Kirjuta hinna valem $h(t)$, kui $t$ on lisatundide arv.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n9. Sirge tõus on $k=3$ ja ta läbib punkti $(2;7)$. Leia $b$.\n10. Leia sirge valem, kui sirge läbib punkte $(0;-2)$ ja $(4;6)$.\n11. Leia sirge valem, kui sirge läbib punkte $(1;5)$ ja $(3;9)$.\n12. Rong liigub ühtlase kiirusega. Kell 10.00 on ta Tallinnast 40 km kaugusel ja kell 11.00 130 km kaugusel. Kirjuta kauguse valem tundide arvu $t$ järgi pärast kella 10.00.\n13. Tabelis on $x$-väärtused 1; 2; 3; 4 ja neile vastavad $y$-väärtused 4; 7; 10; 13. Kas seos on lineaarne? Põhjenda.\n14. Valemis $h(t)=2t+5$ kirjeldab $h$ hinda eurodes ja $t$ aega tundides. Mida tähendab tõus 2?\n\n## Vastused\n\n1. Tõus on $3$: kui $x$ kasvab 1 võrra, kasvab $y$ 3 võrra.\n2. Algordinaat on $5$, sest $x=0$ korral on $y=5$.\n3. Langeb, sest tõus $k=-2$ on negatiivne.\n4. $k=\\frac{10-4}{2-0}=3$.\n5. $(0;-7)$, sest $y$-teljel on $x=0$ ja siis $y=-7$.\n6. $k=\\frac{11-3}{6-2}=2$.\n7. $k=\\frac{-4-4}{3-(-1)}=-2$.\n8. $h(t)=t+5$; $t$ on sisend ja $h(t)$ hind eurodes.\n9. $7=3\\cdot2+b$, seega $b=1$; kontrolliks annab punkt $(2;7)$ valemis õige väärtuse.\n10. Tõus $k=\\frac{6-(-2)}{4-0}=2$, algordinaat on $-2$, seega $y=2x-2$.\n11. $k=\\frac{9-5}{3-1}=2$. Kasutades punkti $(1;5)$: $5=2\\cdot1+b$, seega $b=3$ ja $y=2x+3$.\n12. Kiirus on $90$ km/h, seega $s(t)=90t+40$.\n13. Jah, sest $y$ suureneb iga kord 3 võrra, kui $x$ suureneb 1 võrra.\n14. Tõus 2 tähendab, et iga lisatund kasvatab hinda 2 euro võrra; ühik on eurot tunnis.\n\n## Seosed\n\nLineaarfunktsioon on mudel püsiva muutumiskiirusega olukordadele: hind, teepikkus, palk, temperatuurimuutus. Järgmine pöördvõrdeline seos näitab teistsugust sõltuvust, kus korrutis püsib, aga muutumiskiirus ei ole püsiv.\n" }, { "id": "funktsioonid.poordvordeline-seos", "title": "Pöördvõrdeline seos", "strand": "60-funktsioonid", "order": "60.25", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 7, "main": 7, "end": 11, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 3, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "funktsioonid.vordeline-seos" ], "review_modules": [ "funktsioonid.funktsioon-kui-seos", "arvud.murrud-ja-kumnendmurrud" ], "extension_modules": [ "algebra.murdavaldised" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-7", "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/60-funktsioonid/60.25-poordvordeline-seos.md", "source_sha256": "02e6e90b6bd1704308fc9805bca83cc40a918321ce2ae0658a312f81a54af73e", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/60.25-poordvordeline-seos.html", "content_markdown": "# Pöördvõrdeline seos\n\n## Mõiste\n\nPöördvõrdeline seos on kujul\n\n$$y=\\frac{k}{x},\\qquad x\\ne0.$$\n\nEeldus: oskad kasutada võrdeid ning kirjeldada võrdelist seost tabeli, valemi ja graafikuna.\n\nSiin `$k\\ne0$` ning korrutis `$xy=k$` jääb samaks. Kui `$k>0$`, kahaneb funktsioon kummalgi harul eraldi; kui `$k<0$`, kasvab ta kummalgi harul.\n\nGraafik on hüperbool. See läheneb telgedele ehk asümptootidele, aga ei läbi punkti, kus `$x=0$`.\n\n![Pöördvõrdelise seose hüperbool](assets/inverse-proportion.svg \"Pöördvõrdelise seose `$y=\\frac{6}{x}$` graafik on hüperbool.\")\n\nKontrollküsimus: kas korrutis jääb samaks? Kui `$xy=k$`, siis seos on pöördvõrdeline.\n\nKolme 7. klassi mudeli võrdlus:\n\n| Mudel | Valem | Mis on püsiv? | Graafik |\n| --- | --- | --- | --- |\n| võrdeline | `$y=kx$` | suhe `$y:x=k$` | alguspunkti läbiv sirge |\n| lineaarne | `$y=kx+b$` | sama `$x$`-sammu korral sama `$y$` muutus | sirge |\n| pöördvõrdeline | `$y=\\frac{k}{x}$` | korrutis `$xy=k$` | hüperbool |\n\nEnne valemi valimist otsusta tabeli või olukorra järgi, milline suurus jääb muutumisel samaks.\n\n## Näide\n\nVaja on värvida 12 meetrit tara. Iga inimene värvib tunnis ühe meetri. Eeldame, et kõik töötavad sama kiiresti, saavad korraga eri lõike värvida ega sega üksteist. Tööaeg tundides on siis\n\n$$y=\\frac{12}{x},$$\n\nkus `$x$` on inimeste arv.\n\nKui töötegijaid on 3, siis\n\n$$y=\\frac{12}{3}=4.$$\n\nSama mudeli järgi kulub 3 inimesel 4 tundi ja `$x\\cdot y=12$`.\n\nKui kasutada saab ainult üht pintslit ja korraga töötab üks inimene, ei lühenda inimeste lisamine aega. Valem ei sobi igale tööle.\n\nSama mõtet saab kasutada ühtlase liikumise korral. Kui vahemaa on 120 km, siis\n\n$$t=\\frac{120}{v}.$$\n\nVastus: `$v=60$` km/h annab `$t=2$` h ja `$v=80$` km/h annab `$t=1,5$` h; korrutis `$v\\cdot t=120$` jääb samaks.\n\n## Mudeli piirid\n\nPöördvõrdeline mudel on lihtsustus ega pruugi päriselus igavesti töötada.\n\n| Mudel | Millal sobib? | Millal enam hästi ei sobi? |\n| --- | --- | --- |\n| rohkem töötegijaid, vähem aega | kõik saavad korraga ja segamata töötada | liiga palju inimesi jääb üksteisele ette |\n| suurem kiirus, lühem aeg | kiirus on kogu teekonnal ligikaudu püsiv | liiklus, peatused ja kiiruspiirangud muudavad mudelit |\n| suurem ühikuhind, väiksem kogus sama raha eest | hind on ühiku kohta sama | soodustused, miinimumkogused või pakendid piiravad valikut |\n\n## Tüüpviga\n\nPöördvõrdeline ei tähenda “negatiivse tõusuga sirget”. Selle graafik ei ole sirge.\n\nTeine tüüpviga on lubada `$x=0$`. Avaldis `$\\frac{k}{x}$` ei ole defineeritud, kui `$x=0$`.\n\nKolmas tüüpviga on unustada ühikud. Kui `$v$` on km/h ja teepikkus on km, siis aeg tuleb tundides.\n\nNeljas tüüpviga on kontrollida ainult seda, et üks suurus kasvab ja teine väheneb. Pöördvõrdelises seoses peab korrutis jääma samaks.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Kui `$y=\\frac{20}{x}$`, leia `$y$`, kui `$x=4$`.\n2. Miks `$x=0$` pole lubatud?\n3. Too päriseluline pöördvõrdelise seose näide.\n4. Kui 6 inimest teevad töö 5 tunniga, mitu tundi kuluks sama mudeli järgi 3 inimesel?\n\n### Rakendus\n\n5. Kui vahemaa on 180 km, kirjuta aeg `$t$` kiiruse `$v$` kaudu.\n6. Kui 4 inimest teevad töö 9 tunniga, mitu tundi kuluks sama mudeli järgi 6 inimesel?\n7. Sama raha on 24 eurot. Kirjuta ostetav kogus `$q$` ühikuhinna `$p$` kaudu.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n8. Kui `$q=\\frac{24}{p}$`, leia `$q$`, kui `$p=3$`.\n9. Miks ei sobi töötegijate mudel alati väga suure inimeste arvu korral?\n10. Teepikkus on 240 km. Kui kiirus on 80 km/h, leia aeg. Mis ühikus vastus on?\n11. Tabelis on paarid `(2;12)`, `(3;8)`, `(4;6)`. Kas seos võib olla pöördvõrdeline? Põhjenda.\n\n## Vastused\n\n1. `$5$`, sest `$20:4=5$`; kontrolliks `$x\\cdot y=4\\cdot5=20$`.\n2. Nulliga ei saa jagada; valem `$\\frac{k}{x}$` pole siis defineeritud ja `$x=0$` tuleb välistada.\n3. Näiteks kindla vahemaa läbimiseks kuluv aeg ühtlase kiiruse korral: `$t=s/v$`, kus `$s$` on püsiv ja `$v>0$`.\n4. Töö kogus on `$6\\cdot5=30$` inimtundi, seega `$30:3=10$` tundi.\n5. `$t=\\frac{180}{v}$`, kus `$v\\ne0$` ja konstant 180 on teepikkus.\n6. Töö kogus on `$4\\cdot9=36$` inimtundi, seega `$36:6=6$` tundi.\n7. `$q=\\frac{24}{p}$`, kus `$p\\ne0$` ja konstant 24 on raha kogus.\n8. Kui sisend on `$p=3$`, siis väljund on `$q=\\frac{24}{3}$`, ehk `$q=8$`.\n9. Inimesed võivad üksteist segada, tööpind võib olla piiratud ja osa töid ei saa korraga teha.\n10. `$t=\\frac{240}{80}=3$` tundi.\n11. Jah, sest korrutis on alati 24: `$2\\cdot12=3\\cdot8=4\\cdot6=24$`.\n\n## Seosed\n\nPöördvõrdeline seos näitab, et mitte iga vähenemine ei ole lineaarne. Järgmine ruutfunktsiooni peatükk lisab veel ühe graafiku kuju: parabooli, kus muutumise kiirus ise muutub.\n" }, { "id": "funktsioonid.ruutfunktsioon", "title": "Ruutfunktsioon", "strand": "60-funktsioonid", "order": "60.30", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 9, "main": 9, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "algebra.ruutvorrand", "funktsioonid.koordinaatteljestik" ], "review_modules": [ "funktsioonid.lineaarfunktsioon", "arvud.astmed-juured-standardkuju" ], "extension_modules": [ "funktsioonid.ruutfunktsiooni-graafik-ja-mudel" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/60-funktsioonid/60.30-ruutfunktsioon.md", "source_sha256": "7cd5f590f1a31dab8f25560ed1ba3ce398959d60bd2be6593c27f3f519503118", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/60.30-ruutfunktsioon.html", "content_markdown": "# Ruutfunktsioon\n\n## Mõiste\n\nRuutfunktsiooni üldkuju on\n\n$$y=ax^2+bx+c,\\qquad a\\ne0.$$\n\nEeldus: oskad lahendada ruutvõrrandit, lugeda koordinaatteljestikku ja eristada nullkohta `$y$`-telje lõikepunktist.\n\nSelle graafik on parabool.\n\nGraafikult loetud tähtis punkt peab asendamisel andma sama `$y$`-koordinaadi.\n\n![Parabool nullkohtadega](assets/parabola.svg \"Ruutfunktsiooni `$y=x^2-4$` graafik on parabool nullkohtadega `-2` ja `2`.\")\n\n## Olulised seosed\n\n- Nullkohad leitakse ruutvõrrandist `$ax^2+bx+c=0$`.\n- Kui `$a>0$`, avaneb parabool üles.\n- Kui `$a<0$`, avaneb parabool alla.\n- Parabooli haripunkt ehk tipp on sümmeetriateljel asuv parabooli kõige madalam või kõige kõrgem punkt.\n\nHaripunkti `$x$`-koordinaat üldkujus `$y=ax^2+bx+c$` on\n\n$$x_h=-\\frac{b}{2a}.$$\n\nHaripunkti `$y$`-koordinaadi saab leida, asendades `$x_h$` funktsiooni avaldisse.\n\nNullkohad on need `$x$` väärtused, mille korral `$y=0$`. Seetõttu tekibki ruutvõrrand\n\n$$ax^2+bx+c=0.$$\n\nOlulised punktid graafikul:\n\n| Mida otsid? | Kuidas leiad? | Mida see graafikul tähendab? |\n| --- | --- | --- |\n| `$y$`-telje lõikepunkt | pane `$x=0$` | punkt `(0;c)` |\n| nullkohad | lahenda `$ax^2+bx+c=0$` | lõikepunktid `$x$`-teljega |\n| haripunkti `$x$` | `$x_h=-\\frac{b}{2a}$` | sümmeetriatelje asukoht |\n| haripunkti `$y$` | arvuta `$f(x_h)$` | madalaim või kõrgeim väärtus |\n| avanemissuund | vaata märki `$a$` | üles, kui `$a>0$`; alla, kui `$a<0$` |\n\nKontroll: `$x$`-teljel pane `$y=0$`; `$y$`-teljel pane `$x=0$`.\n\nKui nullkohti pole, parabool ei lõika `$x$`-telge. Kui nullkoht on üks, puutub ta telge haripunktis.\n\nDiskriminant `$D=b^2-4ac$`: `$D>0$` annab kaks nullkohta, `$D=0$` ühe kahekordse nullkoha ja `$D<0$` mitte ühtegi reaalarvulist nullkohta.\n\n## Näide\n\nFunktsiooni `$y=x^2-4$` nullkohad:\n\n$$x^2-4=0$$\n\n$$x=\\pm2.$$\n\nHaripunkt on punktis `(0;-4)`, sest parabool on sümmeetriline `$y$`-telje suhtes ja kõige madalam punkt on seal.\n\nNäide üldkujus:\n\n$$y=2x^2-8x+3.$$\n\nSiin `$a=2$` ja `$b=-8$`, seega\n\n$$x_h=-\\frac{-8}{2\\cdot2}=2.$$\n\nHaripunkti `$y$`-koordinaat:\n\n$$y_h=2\\cdot2^2-8\\cdot2+3=8-16+3=-5.$$\n\nHaripunkt on `(2;-5)`.\n\nLeiame funktsiooni\n\n$$y=x^2-6x+8$$\n\ntähtsad punktid.\n\n`$y$`-telje lõikepunkt:\n\n$$x=0\\quad\\Rightarrow\\quad y=8,$$\n\nseega punkt `(0;8)`.\n\nNullkohad:\n\n$$x^2-6x+8=0,$$\n\n$$(x-2)(x-4)=0,$$\n\nseega `$x=2$` ja `$x=4$`.\n\nHaripunkti `$x$`-koordinaat:\n\n$$x_h=-\\frac{-6}{2\\cdot1}=3.$$\n\nHaripunkti `$y$`-koordinaat:\n\n$$y_h=3^2-6\\cdot3+8=9-18+8=-1.$$\n\nVastus: `$y$`-telje lõikepunkt on `(0;8)`, nullkohad on 2 ja 4 ning haripunkt on `(3;-1)`.\n\n## Tüüpviga\n\nRuutliikme kordaja `$a$` määrab avanemissuuna ja laiuse, mitte ainult “kas graafik on üleval või all”.\n\nTeine tüüpviga on ajada segi nullkoht ja `$y$`-telje lõikepunkt. Nullkohas on `$y=0$`; `$y$`-telje lõikepunktis on `$x=0$`.\n\nKolmas tüüpviga on arvata, et `$c$` on alati nullkoht. Tegelikult on `$c$` funktsiooni väärtus kohal `$x=0$` ehk algordinaat. Graafiku lõikepunkt `$y$`-teljega on `$(0;c)$`.\n\nNeljas tüüpviga on leida ainult `$x_h$` ja nimetada seda haripunktiks. Haripunkt on punkt, seega vaja on nii `$x_h$` kui `$y_h$`.\n\nViies tüüpviga on pidada ruutfunktsiooni kasvu samasuguseks nagu eksponentfunktsioonil. Ruutfunktsioon kasvab astme järgi, eksponentfunktsioon korrutab väärtust püsiva teguriga.\n\n::: teacher Lähenemise valik\nMiinimum: nullkohad. Tavarada: seos graafikuga. Lisaväljakutse: haripunkti põhjendus. Kui kuju ei sobi, kontrolli kordaja `$a$` märki.\n\n[Graafikuvaatleja nullkohtade kujus](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=roots&juhtimine=parameters) muutke ainult $a$ väärtust, hoides selle nullist erinevana. Palu selgitada, miks jäävad nullkohad samaks, kuigi parabooli kuju muutub.\n:::\n\n## Kui vajad abi\n\nKorda enne ruutvõrrandi nullkohtade leidmist ja koordinaatteljestiku lugemist. Vaata näitest, kuidas nullkohad ja haripunkt samal graafikul kokku käivad. Alusta harjutustest 1-4; haripunkti ülesannete juurde mine siis, kui nullkohad ja teljelõige on selged.\n\n## Katseta graafikul\n\n[Ava parabool graafikuvaatlejas](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=quadratic&juhtimine=parameters). Sea $a=1$, $b=0$ ja $c=-4$. Võrdle nullkohti valemi $x^2-4=0$ lahenditega.\n\n::: parent Parabooli vaatlemine\n[Avage ruutfunktsiooni vaade](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=quadratic&juhtimine=parameters). Muutke ainult $c$ väärtust. Paluge õppijal ennustada, kas graafik lõikab $x$-telge kahes punktis, puudutab seda või ei kohtu sellega.\n:::\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Leia funktsiooni `$y=x^2-9$` nullkohad.\n2. Kas funktsiooni `$y=-x^2+4$` parabool avaneb üles või alla?\n3. Leia funktsiooni `$y=x^2+2x-3$` `$y$`-telje lõikepunkt.\n4. Leia funktsiooni `$y=x^2+2x-3$` nullkohad.\n\n### Rakendus\n\n5. Leia funktsiooni `$y=x^2-6x+8$` haripunkti `$x$`-koordinaat.\n6. Leia funktsiooni `$y=x^2-6x+8$` haripunkt.\n7. Leia funktsiooni `$y=-2x^2+5$` `$y$`-telje lõikepunkt ja avanemissuund.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n8. Leia funktsiooni `$y=x^2+4x+4$` nullkoht või nullkohad.\n9. Leia funktsiooni `$y=2x^2-4x-6$` `$y$`-telje lõikepunkt.\n10. Mis on parabooli sümmeetriatelg, kui haripunkti `$x$`-koordinaat on 3?\n11. Funktsioonidel `$y=x^2$` ja `$y=2^x$` on mõlemal kasvavad väärtused positiivsetel `$x$`-idel. Kumb on ruutfunktsioon ja kumb eksponentfunktsioon?\n\n## Vastused\n\n1. `$x=-3$` ja `$x=3$`, sest nullkohas `$y=0$`.\n2. Alla, sest `$a=-1<0$`.\n3. `(0;-3)`, sest `$y$`-teljel on `$x=0$`.\n4. Nullkohad on `$x=-3$` ja `$x=1$`; parabooli lõikepunktid `$x$`-teljega on `$(-3;0)$` ja `$(1;0)$`.\n5. `$x_h=3$`, seega sümmeetriatelg on `$x=3$`.\n6. Lahenduskäik: `$x_h=-\\frac{b}{2a}=-\\frac{-6}{2\\cdot1}=3$`. Asendades saad `$y_h=3^2-6\\cdot3+8=9-18+8=-1$`, seega haripunkt on `(3;-1)`.\n7. Lõikepunkt on `(0;5)`, avaneb alla, sest `$a=-2<0$`.\n8. Lahenduskäik: `$x^2+4x+4=(x+2)^2$`. Nullkoht tekib siis, kui `$(x+2)^2=0$`, seega üks nullkoht `$x=-2$`.\n9. `(0;-6)`.\n10. Sirge `$x=3$`.\n11. `$y=x^2$` on ruutfunktsioon, `$y=2^x$` on eksponentfunktsioon.\n\n::: student-hint Enesediagnoos\nKui 1-4 läks valesti, korda nullkoha, avanemissuuna ja teljelõike mõisteid. Kui 5-7 läks valesti, vaata näitest uuesti haripunkti leidmist kahe sammuga. Kui 8-11 läks valesti, harjuta ruutvõrrandi ja graafiku seose selgitamist sõnadega.\n:::\n\n## Seosed\n\nVaata [parabooli kuue muutuse pildilugu](https://mapik.ee/matemaatika/teemalahkamised/peatukid/parabooli-kuus-muutust.html) või katseta kordajatega [graafikuvaatlejas](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=quadratic&juhtimine=parameters).\n\nRuutfunktsioon on seotud pindalade, viskeliikumise, optimeerimise ja paraboolidega. Järgmine peatükk kasutab nullkohti, haripunkti ja sümmeetriat parabooli käsitsi joonestamiseks ning ruutmudeli tõlgendamiseks.\n" }, { "id": "funktsioonid.ruutfunktsiooni-graafik-ja-mudel", "title": "Ruutfunktsiooni graafik ja mudel", "strand": "60-funktsioonid", "order": "60.35", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 9, "main": 9, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "skill", "application" ], "prerequisites": [ "funktsioonid.ruutfunktsioon", "algebra.ruutvorrandi-lahendusviisid-ja-rakendused" ], "review_modules": [ "funktsioonid.lineaarfunktsioon" ], "extension_modules": [ "funktsioonid.funktsioonide-teisendused" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-9", "klass-10" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/60-funktsioonid/60.35-ruutfunktsiooni-graafik-ja-mudel.md", "source_sha256": "207e1c97e2e2efbfa082945497821e9d3499e0565f8e9dfc7f7ae4f8eedd2a9a", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/60.35-ruutfunktsiooni-graafik-ja-mudel.html", "content_markdown": "# Ruutfunktsiooni graafik ja mudel\n\n## Mõiste\n\nRuutfunktsiooni `$y=ax^2+bx+c$` graafiku skitseerimiseks ei piisa ühest punktist. Vaja on avanemissuunda, sümmeetriatelge, haripunkti, nullkohti ja `$y$`-telje lõikepunkti.\n\nEeldus: oskad leida ruutfunktsiooni nullkohad ja haripunkti ning kanda punkte teljestikku.\n\nTööjärjekord:\n\n1. vaata `$a$` märki;\n2. leia nullkohad;\n3. leia `$x_h=-\\frac{b}{2a}$` ja `$y_h=f(x_h)$`;\n4. märgi punkt `(0;c)`;\n5. lisa sümmeetrilised kontrollpunktid ja joonesta sujuv parabool.\n\nKordaja absoluutväärtuse kasvades muutub parabool kitsamaks. Vabaliige `$c$` määrab lõikepunkti `$y$`-teljega.\n\n![Parabool nullkohtadega](assets/parabola.svg \"Parabooli nullkohad, haripunkt ja sümmeetriatelg annavad käsitsi joonestamiseks vajalikud tugipunktid.\")\n\n## Näide\n\nJoonestame funktsiooni `$y=-x^2+2x+3$`.\n\nParabool avaneb alla, sest `$a=-1$`. Nullkohad:\n\n$$-x^2+2x+3=0\\quad\\Longleftrightarrow\\quad x^2-2x-3=0,$$\n\nseega `$x=-1$` ja `$x=3$`. Sümmeetriatelg on nullkohtade keskel `$x=1$`. Haripunkti väärtus on `$f(1)=4$`, seega haripunkt on `(1;4)`. `$y$`-telje lõikepunkt on `(0;3)`; selle sümmeetriline paariline on `(2;3)`.\n\nVastus: viie tugipunkti `(-1;0)`, `(0;3)`, `(1;4)`, `(2;3)`, `(3;0)` kaudu saab joonestada allapoole avaneva parabooli.\n\n## Tüüpviga\n\nTüüpviga on ühendada punktid sirglõikudega. Parabool on sujuv kõver. Teine tüüpviga on joonestada ainult nullkohtade põhjal ja unustada, et kordaja `$a$` muudab graafiku laiust.\n\nKolmas tüüpviga on lugeda haripunktiks ainult `$x_h$`. Haripunkt on kahe koordinaadiga punkt. Neljas tüüpviga on mudelis jätta tõlgendamata, milline osa paraboolist kirjeldab tegelikku aega, pikkust või kõrgust.\n\n## Katseta graafikul\n\n[Kontrolli oma visandit graafikuvaatlejas](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=quadratic&juhtimine=parameters). Sisesta näite kordajad $a=-1$, $b=2$, $c=3$ ja võrdle viit tugipunkti. Mudelülesandes arvesta ainult lubatud sisendite vahemikku.\n\n::: teacher Visand enne tööriista\nPalu visandada näite parabool esmalt paberil ja avada alles seejärel [graafikuvaatleja](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=quadratic&juhtimine=parameters). Võrrelge nullkohti, haripunkti ja teljelõiget, mitte ainult üldmuljet.\n:::\n\n::: parent Kontrolli üht punkti\n[Avage parabooli vaade](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=quadratic&juhtimine=parameters). Las õppija seab näite kordajad ning põhjendab valemi abil ühe oma visandi punkti asukohta.\n:::\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Mis suunas avaneb `$y=-2x^2+5$`?\n2. Leia funktsiooni `$y=x^2-4x+3$` nullkohad.\n3. Leia sama funktsiooni haripunkt.\n\n### Rakendus\n\n4. Koosta funktsiooni `$y=x^2-4$` jaoks viis sümmeetrilist tugipunkti.\n5. Kontrolli arvutusega, kas punkt `(4;5)` asub graafikul `$y=x^2-3x+1$`.\n6. Visanda `$y=-x^2+4x$` ja märgi ajavahemik, kus `$y\\ge0$`.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Pall liigub kõrgusmudeli `$h(t)=-5t^2+20t+1$` järgi. Millal on pall kõige kõrgemal ja kui kõrgel?\n8. Kuidas muutub `$y=ax^2$` graafik, kui `$a$` muutub arvust 1 arvuks 3?\n9. Koosta ruutfunktsioon, mille nullkohad on 2 ja 6 ning `$a=1$`.\n\n## Vastused\n\n1. Alla, sest `$a<0$`.\n2. `$x=1$` ja `$x=3$`.\n3. `$x_h=2$` ja `$f(2)=-1$`, seega `(2;-1)`.\n4. Näiteks `(-2;0)`, `(-1;-3)`, `(0;-4)`, `(1;-3)`, `(2;0)`.\n5. `$f(4)=16-12+1=5$`, seega punkt asub graafikul.\n6. Nullkohad on 0 ja 4; mudel on mittenegatiivne vahemikus `$0\\le x\\le4$`.\n7. `$t_h=2$` s ja `$h(2)=21$` m.\n8. Parabool jääb ülespoole avatuks, kuid muutub kitsamaks.\n9. `$y=(x-2)(x-6)=x^2-8x+12$`.\n\n## Seosed\n\nGraafik seob ruutvõrrandi lahendid, funktsiooni väärtused ja olukorra tõlgenduse. Järgmises ratsionaalavaldiste plokis liigub tähelepanu graafikult avaldise lubatud väärtustele ja teisendustele.\n" }, { "id": "funktsioonid.eksponent-ja-logaritm", "title": "Eksponentfunktsioon ja logaritm", "strand": "60-funktsioonid", "order": "60.40", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 10, "main": 11, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "gümnaasium" ], "difficulty": 5, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "arvud.astmed-juured-standardkuju", "funktsioonid.lineaarfunktsioon" ], "review_modules": [ "funktsioonid.ruutfunktsioon", "funktsioonid.funktsioonide-teisendused" ], "extension_modules": [ "funktsioonid.logaritmireeglid-ja-vorrandid" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-11", "klass-12" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/60-funktsioonid/60.40-eksponent-ja-logaritm.md", "source_sha256": "201f28770e33ef77cc1a06ea1db4d3b18a57355f127fd6800202e41be966c207", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/60.40-eksponentfunktsioon-ja-logaritm.html", "content_markdown": "# Eksponentfunktsioon ja logaritm\n\n## Mõiste\n\nEksponentfunktsioonis on muutuja astendajas:\n\n$$y=a^x,\\qquad a>0,\\ a\\ne1.$$\n\nEeldus: oskad kasutada astmeid, protsente ja funktsiooni väärtuse arvutamist.\n\n::: student-hint Kontrollsamm\nKui jääd kinni, kirjuta logaritmivõrrand sama seosena astmekujul. Märgi eraldi alus, astendaja ja tulemus ning kontrolli vastust algses seoses.\n:::\n\nLogaritm vastab küsimusele: millisesse astmesse tuleb alus võtta?\n\n$$\\log_a b=x \\quad \\Leftrightarrow \\quad a^x=b.$$\n\nLogaritmis peab alus olema `$a>0,\\ a\\ne1$` ja argument `$b>0$`.\n\nSeega logaritm on astendamise pöördtehe:\n\n| Astendamine | Logaritm |\n| --- | --- |\n| `$2^3=8$` | `$\\log_2 8=3$` |\n| `$10^4=10000$` | `$\\log_{10}10000=4$` |\n| `$3^2=9$` | `$\\log_3 9=2$` |\n\nFunktsioonid `$y=a^x$` ja `$y=\\log_a x$` on pöördfunktsioonid: üks vahetab teise sisendi ja väljundi tagasi.\n\nPüsiva protsendilise kasvuga mudel on kujul\n\n$$A(t)=A_0\\cdot q^t,$$\n\nkus `$A_0$` on algväärtus, `$q$` on kasvutegur ja `$t$` on aeg.\n\nKontroll: lineaarse mudeli korral on järjestikuste väärtuste vahe püsiv; eksponentmudeli korral on järjestikuste väärtuste jagatis ehk kordaja püsiv.\n\nKui suurus kasvab `$p\\%$` igal sammul, siis\n\n$$q=1+\\frac p{100}.$$\n\nKui suurus väheneb `$p\\%$` igal sammul, siis\n\n$$q=1-\\frac p{100}.$$\n\n## Näide\n\n$$\\log_2 8=3,$$\n\nsest\n\n$$2^3=8.$$\n\nKui 1000 eurot kasvab 5% aastas, siis ühe aasta kasvutegur on `$1,05$`. Kolme aasta pärast on summa\n\n$$1000\\cdot1,05^3\\approx1157,63\\text{ eurot}.$$\n\nKui aine kogus väheneb igal tunnil 20%, siis kasvutegur on `$0,8$`. Kui alguses on 50 grammi, siis 4 tunni pärast on\n\n$$50\\cdot0,8^4=20,48\\text{ g}.$$\n\nKui küsitakse, mitme sammuga jõutakse mingi väärtuseni, kasutatakse logaritmi. Näiteks\n\n$$2^x=32$$\n\nannab\n\n$$x=\\log_2 32=5.$$\n\nVeel üks näide:\n\n$$10^x=0,001.$$\n\nKuna `$0,001=10^{-3}$`, siis\n\n$$x=\\log_{10}0,001=-3.$$\n\nKasvumudelis saab logaritmiga leida aja. Kui summa kahekordistub iga sammuga ja alguses on 100 eurot, siis\n\n$$100\\cdot2^t=800.$$\n\nJagame 100-ga:\n\n$$2^t=8.$$\n\nSeega\n\n$$t=\\log_2 8=3.$$\n\nVastus: 800 euroni jõutakse 3 sammuga.\n\n## Tüüpviga\n\nEksponentkasvus ei liideta igal sammul sama arvu, vaid korrutatakse sama teguriga. Näiteks 10% võetakse iga kord uuest väärtusest.\n\nTeine tüüpviga on logaritmi aluse unustamine. `$\\log_2 8$` ja `$\\log_{10}8$` ei ole sama arv.\n\nKolmas tüüpviga on logaritmi vastuseks võtta arv, mille logaritmi arvutatakse. Näiteks `$\\log_2 8$` ei ole 8. Vastus on aste 3, sest `$2^3=8$`.\n\nNeljas tüüpviga on logaritmi kasutada siis, kui otsitav ei ole astendajas. Võrrandis `$3x=12$` ei ole vaja logaritmi; seal piisab jagamisest.\n\nViies tüüpviga on võtta logaritm nullist või negatiivsest arvust. Reaalarvude hulgas `$\\log_a b$` on defineeritud ainult siis, kui `$b>0$`.\n\n::: teacher Õpetaja diagnostika\nPalu enne arvutust otsustada: kas püsib vahe või jagatis ning kas tundmatu on astendajas? Lõpus peab õpilane tõlgendama kasvutegurit ja leitud ajaühikut.\n:::\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Leia `$\\log_2 16$`.\n2. Kirjuta logaritmina võrdus `$5^3=125$`.\n3. 200 eurot kasvab 10% aastas. Kirjuta summa valem `$A(t)$`.\n4. Leia 200 euro suurune summa 2 aasta pärast 10% aastase kasvuga.\n\n### Rakendus\n\n5. Ravimit on 500 mg ja kogus väheneb 30% tunnis. Kirjuta mudel ning leia kogus kahe tunni pärast.\n6. Baktereid on 40 ja nende arv kolmekordistub tunnis. Kui palju on neid kolme tunni pärast?\n7. Kumb kahaneb kiiremini: `$A(t)=100\\cdot0{,}8^t$` või `$B(t)=100\\cdot0{,}9^t$`? Põhjenda teguri järgi.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n8. Investeeringut kirjeldab `$A(t)=200\\cdot1{,}15^t$`. Mitme täisaasta pärast on summa esimest korda vähemalt 400 eurot? Kasuta logaritmi.\n9. Võrdle hetkel `$t=5$` mudeleid `$P(t)=100\\cdot1{,}2^t$` ja `$Q(t)=150\\cdot1{,}1^t$`. Kumb on suurem, kuigi alguses väiksem?\n10. 50 ühikut kahekordistub igal sammul. Millal jõuab väärtus esimest korda vähemalt 350-ni? Leia reaalne lahend ja tõlgenda täissammu.\n11. Miks ei ole `$\\log_2(-8)$` reaalarvuna defineeritud?\n\n## Vastused\n\n1. `$4$`, sest `$2^4=16$`.\n2. `$\\log_5 125=3$`; alus on 5 ja vastus on aste.\n3. `$A(t)=200\\cdot1,10^t$`, sest 10% kasv annab teguri 1,10.\n4. `$200\\cdot1,10^2=242$` eurot; korrutatakse kasvuteguriga kaks korda.\n5. `$A(t)=500\\cdot0{,}70^t$` ja `$A(2)=245$` mg; alles jääb iga tund 70%.\n6. `$B(t)=40\\cdot3^t$`, seega `$B(3)=1080$` bakterit.\n7. `$A$`, sest tegur 0,8 eemaldab tunnis 20%, tegur 0,9 ainult 10%.\n8. `$t\\ge\\frac{\\log 2}{\\log 1{,}15}\\approx4{,}96$`; esimene sobiv täisaasta on 5.\n9. `$P(5)\\approx248{,}8$` ja `$Q(5)\\approx241{,}6$`, seega `$P$` on möödunud mudelist `$Q$`.\n10. `$t\\ge\\log_2 7\\approx2{,}81$`; esimene täissamm on 3 ja siis on väärtus 400.\n11. Ükski reaalarvuline aste arvust 2 ei anna negatiivset tulemust; logaritmi argument peab olema positiivne.\n\n## Seosed\n\nEksponentfunktsioon kirjeldab kasvu ja kahanemist: intress, populatsioon, radioaktiivne lagunemine, skaala ja helitugevus. Järgmine trigonomeetriliste funktsioonide peatükk käsitleb teist olulist funktsioonipere: perioodilisi seoseid.\n" }, { "id": "funktsioonid.logaritmireeglid-ja-vorrandid", "title": "Logaritmireeglid, võrrandid ja võrratused", "strand": "60-funktsioonid", "order": "60.42", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 11, "main": 11, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "gümnaasium" ], "difficulty": 5, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "funktsioonid.eksponent-ja-logaritm" ], "review_modules": [ "algebra.murd-ja-juurvorrandid", "algebra.ruut-ja-ratsionaalvorratused" ], "extension_modules": [ "analuus.tuletise-arvutusreeglid" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-11", "klass-12" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/60-funktsioonid/60.42-logaritmireeglid-ja-vorrandid.md", "source_sha256": "92d3d5f07c8cc00a41b9cce01b98af2eba651d684e4722d73732aa5dcfc82cdb", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/60.42-logaritmireeglid-vorrandid-ja-vorratused.html", "content_markdown": "# Logaritmireeglid, võrrandid ja võrratused\n\n## Mõiste\n\nLogaritmireeglid teisendavad korrutise summaks, jagatise vaheks ja astme kordajaks:\n\n$$\n\\log_a(xy)=\\log_a x+\\log_a y,\n$$\n\n$$\n\\log_a\\frac{x}{y}=\\log_a x-\\log_a y,\n\\qquad\n\\log_a(x^r)=r\\log_a x.\n$$\n\nEeldus: oskad vahetada seoseid $a^x=b$ ja $\\log_a b=x$ ning kontrollida tingimusi $a>0$, $a\\ne1$ ja logaritmi argument $>0$.\n\nAluse vahetamise valem on\n\n$$\n\\log_a x=\\frac{\\log_b x}{\\log_b a}.\n$$\n\nSee võimaldab kasutada kalkulaatori $\\log$- või $\\ln$-klahvi ka teise aluse korral.\n\nEksponentvõrrandis püütakse esmalt saada mõlemale poole sama alus. Kui see ei õnnestu, võetakse mõlemast poolest logaritm. Logaritmvõrrandis kontrollitakse enne teisendamist kõigi argumentide positiivsust.\n\nEksponent- ja logaritmvõrratuse suund sõltub alusest:\n\n- kui $a>1$, on $a^x$ ja $\\log_a x$ kasvavad;\n- kui $01$. Korrutise reegli järgi\n\n$$\n\\log_2\\big((x-1)(x+1)\\big)=3,\n$$\n\nseega\n\n$$\nx^2-1=2^3=8.\n$$\n\nSaame $x^2=9$, mistõttu kandidaadid on $x=3$ ja $x=-3$. Tingimuse $x>1$ täidab ainult $x=3$.\n\nVõrratuses\n\n$$\n\\left(\\frac12\\right)^x>\\left(\\frac12\\right)^3\n$$\n\non alus arvude 0 ja 1 vahel. Funktsioon on kahanev, seega $x<3$.\n\n### Logaritmvõrratus\n\nLahendame $\\log_2(x-1)\\le3$. Kõigepealt $x-1>0$, seega $x>1$. Alus 2 on suurem kui 1, mistõttu\n\n$$x-1\\le2^3=8.$$\n\nÜhendades tingimused, saame $1-1$. Kahaneva funktsiooni tõttu pöördub märk:\n\n$$x+1\\le(1/2)^{-2}=4.$$\n\nVastus on $-18$.\n8. Lahenda $\\left(\\frac13\\right)^x\\le\\frac1{27}$ ja põhjenda märgi suunda.\n9. Lahenda $\\log_2(x-1)+\\log_2(x-3)=3$ ning selgita, miks mõlemad algebra kandidaadid ei sobi.\n10. Lahenda $\\log_3(x-2)<2$ koos määramispiirkonna tingimusega.\n11. Lahenda $\\log_{1/2}(x-1)\\le1$ ja põhjenda märgi muutumist.\n\n## Vastused\n\n1. $\\log_3 45$, sest logaritmide summa ühendab argumendid korrutiseks.\n2. $\\log_2 8=3$, sest logaritmide vahe ühendab argumendid jagatiseks.\n3. $\\log_2 7=\\frac{\\log 7}{\\log2}\\approx2{,}81$.\n4. $t=2$, sest $27=3^3$ ja seega $t+1=3$.\n5. $x=29$; argument $x-4=25$ on positiivne.\n6. Tingimus on $x>2$. Võrrand annab $x(x-2)=8$, kandidaadid 4 ja $-2$; vastus on $x=4$.\n7. $x>3$, sest alus 2 on suurem kui 1 ja funktsioon kasvab.\n8. $x\\ge3$, sest funktsioon alusega $\\frac13$ on kahanev ning võrratuse suund pöördub.\n9. Tingimus on $x>3$. Võrrand annab $(x-1)(x-3)=8$, seega kandidaadid $x=5$ ja $x=-1$; ainult $x=5$ täidab tingimuse.\n10. $21$ ja kahanev logaritm annab $x-1\\ge1/2$.\n\n## Seosed\n\nLogaritmireeglid ühendavad eksponentmudeli algebra ja funktsiooni omadustega. Hiljem kasutatakse naturaallogaritmi ning eksponentfunktsiooni tuletisi muutumiskiiruse uurimisel.\n" }, { "id": "funktsioonid.trigonomeetrilised-funktsioonid", "title": "Trigonomeetrilised funktsioonid", "strand": "60-funktsioonid", "order": "60.50", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 10, "main": 11, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "gümnaasium" ], "difficulty": 5, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "trigonomeetria.trigonomeetria", "funktsioonid.koordinaatteljestik" ], "review_modules": [ "funktsioonid.funktsioon-kui-seos", "funktsioonid.funktsioonide-teisendused" ], "extension_modules": [ "trigonomeetria.radiaanid-ja-perioodilisus", "trigonomeetria.trigonomeetrilised-valemid" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-11", "klass-12" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/60-funktsioonid/60.50-trigonomeetrilised-funktsioonid.md", "source_sha256": "89dc126bac35bbbcc078777ca69bd5eccdb4de467be7f1486b206b021516b804", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/60.50-trigonomeetrilised-funktsioonid.html", "content_markdown": "# Trigonomeetrilised funktsioonid\n\n## Mõiste\n\nFunktsioonid `$\\sin x$`, `$\\cos x$` ja `$\\tan x$` kirjeldavad perioodilisi seoseid. Need on seotud ringliikumise ja lainetega.\n\nEeldus: oskad kasutada täisnurkse kolmnurga siinust, koosinust ja tangensit ning lugeda punkti koordinaatteljestikul.\n\n::: student-hint Kontrollsamm\nKui märk või väärtus läheb segi, märgi nurk ühikringile. Loe koosinus `$x$`-koordinaadist ja siinus `$y$`-koordinaadist ning kontrolli veerandit.\n:::\n\n![Punkt ühikringil](assets/trig-unit-circle.svg \"Ühikringil on punkt koordinaatidega `$(\\cos\\alpha;\\sin\\alpha)$`.\")\n\nTäisnurkses kolmnurgas oli\n\n$$\\sin\\alpha=\\frac{\\text{vastaskaatet}}{\\text{hüpotenuus}},\\qquad\n\\cos\\alpha=\\frac{\\text{lähiskaatet}}{\\text{hüpotenuus}}.$$\n\nÜhikringil on hüpotenuusi asemel raadius pikkusega 1. Seetõttu muutuvad suhted otse koordinaatideks:\n\n$$\\cos\\alpha=x,\\qquad \\sin\\alpha=y.$$\n\nSee ongi sild täisnurkse kolmnurga ja trigonomeetriliste funktsioonide vahel: kolmnurga külgede suhted saavad ühikringil punkti koordinaatideks.\n\n## Põhiseosed\n\n$$\\sin^2x+\\cos^2x=1.$$\n\nTangens:\n\n$$\\tan x=\\frac{\\sin x}{\\cos x},\\qquad \\cos x\\ne0.$$\n\nSama nurka saab suurendada täisringi võrra ja punkt jõuab ühikringil samasse kohta:\n\n$$\\sin(x+360^\\circ)=\\sin x,\\qquad \\cos(x+360^\\circ)=\\cos x.$$\n\nRadiaanides on täisring `$2\\pi$`, seega\n\n$$\\sin(x+2\\pi)=\\sin x,\\qquad \\cos(x+2\\pi)=\\cos x.$$\n\nTangensi periood on lühem:\n\n$$\\tan(x+180^\\circ)=\\tan x,$$\n\nehk radiaanides `$\\tan(x+\\pi)=\\tan x$`.\n\nFunktsioonide `$\\sin x$` ja `$\\cos x$` väärtused jäävad vahemikku `[-1;1]`. Nende amplituud on 1 ja periood on `$360^\\circ$` ehk `$2\\pi$`.\n\nGraafikul tähendab periood seda, et sama lainekuju kordub. Siinusgraafik algab väärtusest 0, koosinusgraafik algab väärtusest 1.\n\n## Märgid veerandites\n\nÜhikring aitab näha, millal siinus ja koosinus on positiivsed või negatiivsed.\n\n| veerand | nurk | `$\\cos x$` ehk `$x$`-koordinaat | `$\\sin x$` ehk `$y$`-koordinaat |\n| --- | --- | --- | --- |\n| I | `$0^\\circ0$`. Kui `$c=0$`, nihet ei ole; negatiivse `$c$` korral on suund vastupidine.\n\n| Uus funktsioon | Mõju graafikule |\n| --- | --- |\n| `$f(x)+c$` | nihe üles `$c$` ühikut |\n| `$f(x)-c$` | nihe alla `$c$` ühikut |\n| `$f(x-c)$` | nihe paremale `$c$` ühikut |\n| `$f(x+c)$` | nihe vasakule `$c$` ühikut |\n| `$af(x)=a\\cdot f(x)$`, `$a\\ne 0$` | `$y$`-koordinaadid korrutatakse arvuga `$a$`; `$a<0$` korral lisandub peegeldus `$x$`-telje suhtes |\n| `$f(ax)=f(a\\cdot x)$`, `$a\\ne 0$` | sisend korrutatakse arvuga `$a$` ja `$x$`-koordinaadid jagatakse arvuga `$a$`; `$a<0$` korral lisandub peegeldus `$y$`-telje suhtes |\n| `$-f(x)$` | peegeldus `$x$`-telje suhtes |\n| `$f(-x)$` | peegeldus `$y$`-telje suhtes |\n\n![Funktsiooni graafiku teisendused](assets/function-transformations.svg \"Funktsiooni graafiku nihutamine, venitamine ja peegeldamine muudavad väärtusi kindla teisendusreegli järgi.\")\n\nEnne/pärast võrdlus funktsiooni `$f(x)=x^2$` põhjal:\n\n| Uus funktsioon | Mis juhtub graafikuga? | Haripunkt muutub |\n| --- | --- | --- |\n| `$x^2+3$` | 3 ühikut üles | `$(0;0)\\to(0;3)$` |\n| `$(x-2)^2$` | 2 ühikut paremale | `$(0;0)\\to(2;0)$` |\n| `$(x+2)^2$` | 2 ühikut vasakule | `$(0;0)\\to(-2;0)$` |\n| `$2x^2$` | vertikaalne venitus 2 korda | haripunkt jääb `(0;0)` |\n| `$-x^2$` | peegeldus `$x$`-telje suhtes | haripunkt jääb `(0;0)`, avaneb alla |\n\nTeisendust kontrollides vali üks tuttav punkt. Kui `(1;1)` on graafikul `$y=x^2$`, siis graafikul `$y=x^2+3$` vastab sellele `(1;4)`: ülesnihke korral muutub ainult `$y$`.\n\n## Näide\n\nKui `$f(x)=x^2$`, siis\n\n$$g(x)=(x-3)^2+2$$\n\non parabool, mis on nihutatud 3 ühikut paremale ja 2 üles.\n\nKui `$f(x)=x^2$`, siis\n\n$$q(x)=(x+4)^2-1$$\n\non 4 ühikut vasakule ja 1 ühik alla nihutatud. Haripunkt liigub\n\n$$(0;0)\\to(-4;-1).$$\n\nKui `$f(x)=\\sqrt{x}$`, siis\n\n$$g(x)=\\sqrt{x-2}$$\n\nnihkub 2 ühikut paremale. Vastus: alguspunkt `(0;0)` liigub punktiks `(2;0)`.\n\n## Tüüpviga\n\nKui `$c>0$`, nihutab `$f(x-c)$` graafikut paremale, mitte vasakule. Näiteks `$f(x-3)$` saab kohal `$x=4$` sama väärtuse, mille `$f(x)$` saab kohal `$x=1$`.\n\nTeine tüüpviga on ajada segi välised ja sisemised muutused. Väljaspool funktsiooni olev `+2` nihutab üles:\n\n$$f(x)+2.$$\n\nSisendi sees olev `+2` nihutab vasakule:\n\n$$f(x+2).$$\n\nKolmas tüüpviga on arvata, et `$2f(x)$` ja `$f(2x)$` teevad sama asja. Esimene muudab `$y$` väärtusi, teine muudab sisendit ehk horisontaalset suunda.\n\nNeljas tüüpviga on mitme teisenduse korral lugeda ainult üht osa. Näiteks `$(x-3)^2+5$` nihkub nii paremale kui ka üles.\n\nKontrolli teisendust ühe punkti liikumise abil.\n\n## Katseta graafikul\n\n[Ava algparabool graafikuvaatlejas](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?pilt=base&juhtimine=special) ja jäta see mällu. Liiguta haripunkti kaks ühikut paremale. Võrdle uut valemit kujuga $(x-2)^2$.\n\n::: teacher Nihe punktide kaudu\n[Ava parabooli eripunktide vaade](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?pilt=base&juhtimine=special). Palu enne nihutamist ennustada haripunkti ja veel ühe punkti uus asukoht ning pärast avada sulud ja võrrelda kordajaid.\n:::\n\n::: parent Paremal või vasakul?\n[Avage parabooli vaade](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?pilt=base&juhtimine=special). Las õppija näitab, miks $(x-2)^2$ graafik liigub paremale, kuigi sulgudes on miinus. Abiks on haripunkti koordinaadid.\n:::\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Kuhu nihkub `$y=x^2+5$`?\n2. Kuhu nihkub `$y=(x+2)^2$`?\n3. Mida teeb `$y=-\\sqrt{x}$` võrreldes `$y=\\sqrt{x}$`?\n4. Mida teeb `$y=3f(x)$` võrreldes `$y=f(x)$`?\n\n### Rakendus\n\n5. Kui `$f(x)=x^2$`, siis kuidas saad funktsiooni, mis on 4 ühikut paremale nihutatud?\n6. Kuhu liigub parabooli `$y=x^2$` haripunkt funktsioonis `$y=(x-5)^2-2$`?\n7. Andur näitab tegelikust väärtusest `$f(t)$` alati 7 ühikut rohkem. Kirjuta anduri näit `$g(t)$` ja kirjelda graafikute erinevust.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n8. Kirjelda sammhaaval, kuidas saad graafikust `$y=f(x)$` graafiku `$y=-f(x+4)$`.\n9. Selgita, miks `$y=f(x)+4$` ja `$y=f(x+4)$` ei kirjelda sama nihet.\n10. Kui `$f(x)=\\sqrt{x}$`, siis kuidas kirjutada funktsioon, mis on 3 ühikut paremale nihutatud?\n11. Kui punkt `(2;5)` on graafikul `$y=f(x)$`, siis mis punkt on graafikul `$y=f(x)+3$`?\n12. Kui punkt `(2;5)` on graafikul `$y=f(x)$`, siis mis punkt on graafikul `$y=f(x-4)$`?\n\n## Vastused\n\n1. 5 ühikut üles, sest `+5` on funktsioonist väljaspool.\n2. 2 ühikut vasakule, sest sisendis olev `+2` toimib vastassuunas.\n3. Peegeldab graafiku `$x$`-telje suhtes; iga `$y$`-väärtus vahetab märki.\n4. Venitab graafikut vertikaalselt 3 korda; `$x$` jääb samaks ja iga `$y$`-koordinaat korrutatakse 3-ga.\n5. `$y=(x-4)^2$`, sest paremale nihe kirjutatakse sisendis `x-4`.\n6. Haripunkt liigub punktist `(0;0)` punkti `(5;-2)`.\n7. `$g(t)=f(t)+7$`; anduri graafik on tegeliku väärtuse graafikust 7 ühikut kõrgemal.\n8. Nihuta graafik 4 ühikut vasakule ja peegelda seejärel `$x$`-telje suhtes.\n9. `$f(x)+4$` nihutab üles, sest liidetav on funktsioonist väljas; `$f(x+4)$` nihutab vasakule, sest muutus on sisendi sees.\n10. `$y=\\sqrt{x-3}$`; paremale nihe kirjutatakse sisendis `x-3`.\n11. `(2;8)`, sest muutub ainult `$y$`-väärtus.\n12. `(6;5)`, sest graafik nihkub 4 ühikut paremale ja `$y$` ei muutu.\n\n## Seosed\n\nFunktsioonide teisendused kasutavad sama koordinaatide mõtet nagu geomeetrilised teisendused: nihe, peegeldus ja venitus. Järgmine geomeetria süvenduse plokk seob need ideed Pythagorase teoreemi, sarnasuse ja vektoritega.\n" }, { "id": "geomeetria-suvendus.geomeetriline-definitsioon-ja-toestus", "title": "Geomeetriline definitsioon ja tõestus", "strand": "70-geomeetria-suvendus", "order": "70.02", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 8, "main": 8, "end": 10, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 2, "module_tags": [ "concept", "skill" ], "prerequisites": [ "loogika.mis-on-toestus", "geomeetria-alused.punkt-sirge-nurk" ], "review_modules": [ "geomeetria-alused.kolmnurgad-ja-nelinurgad" ], "extension_modules": [ "geomeetria-suvendus.paralleelsed-sirged-ja-nurgad" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-8" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/70-geomeetria-suvendus/70.02-geomeetriline-definitsioon-ja-toestus.md", "source_sha256": "37e9ab469e9301d9e4d85455ae2c22551108fa8e2512238fa3da0b8ed7766549", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/70.02-geomeetriline-definitsioon-ja-toestus.html", "content_markdown": "# Geomeetriline definitsioon ja tõestus\n\n## Mõiste\n\nDefinitsioon ütleb täpselt, mida mõiste tähendab. Teoreem on matemaatiline väide, mille tõesus tuleb tõestada. Tõestus seob antud tingimused põhjendatud sammude kaudu järeldusega.\n\nEeldus: oskad eristada näidet, väidet ja vastunäidet ning tunned punkti, sirget, lõiku ja nurka.\n\nNäiteks rööpküliku definitsioon on: **rööpkülik on nelinurk, mille mõlemad vastaskülgede paarid on paralleelsed**. Väide „rööpküliku vastasküljed on võrdsed” on omadus, mitte definitsioon; see tuleb põhjendada.\n\nMõnda põhimõistet, näiteks punkti, sirget ja tasandit, kasutatakse teiste mõistete defineerimiseks. Neid nimetatakse **algmõisteteks**. **Aksioom** on lähteväide, mida selles teoorias eraldi ei tõestata. Näiteks paralleelide aksioom ütleb:\n\n> Läbi sirgel mitte asuva punkti saab tõmmata täpselt ühe antud sirgega paralleelse sirge.\n\nTeoreemi sõnastus: „kui ..., siis ...”. „Kui”-osa on **eeldus** ja „siis”-osa **väide**. Näiteks teoreemis „kui nelinurk on rööpkülik, siis selle vastasküljed on võrdsed” on rööpkülikuks olemine eeldus ja vastaskülgede võrdsus väide.\n\nKa aritmeetika põhiteoreem on teoreemi näide: iga ühest suurem naturaalarv esitatakse algarvude korrutisena üheselt, kui tegurite järjekorda mitte arvestada.\n\nGeomeetrilise tõestuse tööjärjekord:\n\n1. kirjuta **antud** andmed;\n2. sõnasta **tõestada** olev väide;\n3. märgi joonisele ainult teadaolev;\n4. kirjuta iga vaheväite juurde põhjus;\n5. lõpeta otsese järeldusega.\n\n![Geomeetrilise tõestuse põhjendusahel](assets/class-8-proof-chain.svg \"Geomeetrilise tõestuse joonisel liigub põhjendusahel antud tingimusest definitsiooni või teoreemi kaudu vaheväite ja tõestatava järelduseni.\")\n\n::: student-hint Kui vajad abi\nTee kahe veeruga mustand: vasakule „väide”, paremale „miks?”. Kui parempoolne lahter jääb tühjaks, on tõestuses veel auk.\n:::\n\n::: teacher Õpetaja lisasoovitused\nErista tunnis teadlikult definitsiooni, omadust ja joonisel paistvat oletust. Hinda tõestuses põhjuste nähtavust, mitte teksti pikkust.\n\n- Miinimum: õpilane sõnastab antu ja eesmärgi.\n- Tavarada: õpilane põhjendab lühikese tõestuse iga sammu.\n- Lisaväljakutse: õpilane leiab vigasest tõestusest põhjendamata sammu.\n:::\n\n## Näide\n\nTõestame, et kahe lõikuva sirge tippnurgad on võrdsed.\n\n**Antud:** sirged lõikuvad ning tekivad nurgad $\\alpha$, $\\beta$ ja $\\gamma$, kus $\\alpha$ ja $\\gamma$ on tippnurgad.\n\nKõrvunurkade summa on $180^\\circ$, seega\n\n$$\\alpha+\\beta=180^\\circ$$\n\nja\n\n$$\\beta+\\gamma=180^\\circ.$$\n\nJärelikult $\\alpha+\\beta=\\beta+\\gamma$. Lahutades mõlemalt poolelt $\\beta$, saame $\\alpha=\\gamma$.\n\nVastus: tippnurgad on võrdsed, sest mõlemad täiendavad sama nurga sirgnurgaks.\n\n## Kolmnurga abitulemused\n\n### Kolmnurga sisenurkade summa\n\nTõestame, et kolmnurga sisenurkade summa on $180^\\circ$.\n\nTõmbame läbi kolmnurga tipu $C$ vastasküljega $AB$ paralleelse sirge. Kolmnurga nurkadega $A$ ja $B$ võrdsed põiknurgad paiknevad nüüd tipu $C$ juures. Need kaks nurka ja kolmnurga nurk $C$ moodustavad sirgnurga. Seega\n\n$$\\angle A+\\angle B+\\angle C=180^\\circ.$$\n\nSiin kasutati paralleelide aksioomi, põiknurkade võrdsust ja sirgnurga suurust.\n\n### Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad\n\nOlgu $AB=AC$ ja $AD$ tipunurga poolitaja, kus $D\\in BC$. Kolmnurkades $ABD$ ja $ACD$ on $AB=AC$, $AD$ ühine ning $\\angle BAD=\\angle CAD$. Külg-nurk-külg tunnuse järgi on kolmnurgad võrdsed. Järelikult $\\angle ABC=\\angle BCA$.\n\nKülg-nurk-külg tunnus on siin lähteomadus, mitte alusnurkade võrdsuse järeldus.\n\n## Tüüpviga\n\nTüüpviga on kirjutada „jooniselt on näha”. Joonis aitab seost märgata, kuid tõestus peab nimetama definitsiooni, nurgaomaduse või teoreemi.\n\nTeine viga on kasutada tõestatavat väidet tõestuse keskel põhjusena. Nii tekib ringpõhjendus.\n\nKolmas viga on ajada definitsioon ja omadus segi. Väide „ruudu kõik küljed on võrdsed” on osa ruudu definitsioonist; diagonaalide ristseis on sellest tuletatav omadus.\n\nNeljas viga on ajada segi teoreemi eeldus ja väide. Teoreemi vastupidine suund ei kehti automaatselt ning vajab eraldi põhjendust.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Kas „kolmnurga sisenurkade summa on $180^\\circ$” on definitsioon, aksioom või teoreem?\n2. Sõnasta trapetsi definitsioon.\n3. Sõnasta paralleelide aksioom oma sõnadega.\n\n### Rakendus\n\n4. Kirjuta tippnurkade tõestusest välja antu ja eesmärk.\n5. Nimeta kolmnurga sisenurkade summa teoreemi eeldus ja väide.\n6. Leia viga põhjenduses „nurgad on võrdsed, sest nad paistavad võrdsed”.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Milliseid kolme varasemat seost kasutatakse kolmnurga sisenurkade summa tõestuses?\n8. Kas vastunäide tõestab väite või lükkab üldväite ümber?\n9. Koosta kaheveeruline väite-põhjuse tabel tippnurkade tõestusele.\n\n## Vastused\n\n1. Teoreem, sest see on põhjendatav väide kolmnurkade kohta.\n2. Trapets on nelinurk, millel on vähemalt üks paar paralleelseid vastaskülgi.\n3. Läbi antud sirgel mitte asuva punkti saab tõmmata täpselt ühe selle sirgega paralleelse sirge.\n4. Antud: kaks sirget lõikuvad. Eesmärk: näidata, et vastastikku asuvad tippnurgad on võrdsed.\n5. Eeldus: kujund on kolmnurk. Väide: selle kolme sisenurga summa on $180^\\circ$.\n6. Võrdsus pole põhjendatud definitsiooni ega teoreemiga.\n7. Paralleelide aksioomi, põiknurkade võrdsust ja sirgnurga suurust $180^\\circ$.\n8. Vastunäide lükkab üldväite ümber.\n9. Näiteks „$\\alpha+\\beta=180^\\circ$ — kõrvunurgad”; „$\\beta+\\gamma=180^\\circ$ — kõrvunurgad”; „$\\alpha=\\gamma$ — võrdsetest summadest lahutati sama nurk”.\n\n## Seosed\n\nJärgmistes peatükkides kasutatakse seda tõestuse vormi paralleelsete sirgete, kolmnurga, ringjoone ja sarnasuse omaduste põhjendamiseks.\n" }, { "id": "geomeetria-suvendus.paralleelsed-sirged-ja-nurgad", "title": "Paralleelsed sirged ja nurgad", "strand": "70-geomeetria-suvendus", "order": "70.04", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 8, "main": 8, "end": 10, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 2, "module_tags": [ "concept", "skill" ], "prerequisites": [ "geomeetria-suvendus.geomeetriline-definitsioon-ja-toestus" ], "review_modules": [ "geomeetria-alused.punkt-sirge-nurk" ], "extension_modules": [ "geomeetria-suvendus.kolmnurga-keskloik-ja-trapets" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-8" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/70-geomeetria-suvendus/70.04-paralleelsed-sirged-ja-nurgad.md", "source_sha256": "4f6a25b5b425fc051884e8575022a8187504c20c0f933831b9da00970fe08861", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/70.04-paralleelsed-sirged-ja-nurgad.html", "content_markdown": "# Paralleelsed sirged ja nurgad\n\n## Mõiste\n\nParalleelsed sirged on kaks eri sirget, mis asuvad samal tasandil ega lõiku. Lõikaja lõikab neid kahes eri punktis.\n\nEeldus: tunned kõrvunurki ja tippnurki ning oskad lühikese põhjenduse sammud kirja panna.\n\n**Vastavad nurgad** asuvad mõlemas lõikepunktis samas asendis. Siin vaatleme **sisemisi põiknurki**, mis asuvad kahe sirge vahel ja lõikaja eri pooltel. **Samapoolsed sisenurgad** asuvad sirgete vahel ja lõikaja samal poolel.\n\nKui $a\\parallel b$, siis:\n\n- vastavad nurgad on võrdsed;\n- põiknurgad on võrdsed;\n- samapoolsed sisenurgad annavad kokku $180^\\circ$.\n\nIga nimetatud nurgaseos on ka paralleelsuse tunnus.\n\n![Paralleelsete sirgete nurgaseosed](assets/class-8-parallel-angles.svg \"Alfa ja gamma on vastavad nurgad, delta ja gamma põiknurgad. Beeta ja gamma on samapoolsed sisenurgad, mille summa on 180 kraadi.\")\n\n## Nurgaseoste põhjendus\n\nKasutame paralleelide aksioomi Eukleidese kuju: kui kahe samapoolse sisenurga summa on väiksem kui $180^\\circ$, lõikuvad sirged sellel pool lõikajat.\n\nParalleelsete sirgete korral ei saa summa olla väiksem kui $180^\\circ$. Kui summa oleks suurem, oleks teise poole sisenurkade summa väiksem kui $180^\\circ$, sest kõik neli sisenurka annavad kokku $360^\\circ$. Ka siis sirged lõikuksid. Järelikult on summa $180^\\circ$.\n\nJoonisel on seega $\\beta+\\gamma=180^\\circ$. Kõrvunurgad annavad $\\beta+\\delta=180^\\circ$, mistõttu $\\delta=\\gamma$. Tippnurkadest $\\alpha=\\delta$, seega ka $\\alpha=\\gamma$.\n\nPöördväite jaoks tõmba läbi teise lõikepunkti esimese sirge paralleel. Selle nurgad rahuldavad äsja põhjendatud seoseid. Fikseeritud alguskiirest antud nurga all valitud pooltasandisse saab samast tipust tõmmata ainult ühe kiire. Seetõttu langeb teine sirge selle paralleeliga kokku.\n\n::: student-hint Kui vajad abi\nMärgi kõigepealt võrdsed nurgad sama kaarekesega. Kui otsitav nurk on kõrval, kasuta kõrvunurkade summat $180^\\circ$.\n:::\n\n::: teacher Õpetaja lisasoovitused\nÄra lase nurganimetustel muutuda päheõpitud pildiks. Pööra joonist ja küsi, millised nurgad asuvad lõikaja ning paralleelsete sirgete suhtes samas rollis.\n\n- Miinimum: õpilane leiab ühe puuduva nurga.\n- Tavarada: õpilane nimetab kasutatud nurgaseose.\n- Lisaväljakutse: õpilane põhjendab nurgavõrdsuse järgi sirgete paralleelsust.\n:::\n\n## Näide\n\nSirged $a$ ja $b$ on paralleelsed. Lõikaja tekitab sirgel $a$ nurga $64^\\circ$.\n\nSellele vastav nurk sirgel $b$ on samuti $64^\\circ$. Tema kõrvunurk on\n\n$$180^\\circ-64^\\circ=116^\\circ.$$\n\nSama tulemuse annab samapoolsete sisenurkade summa.\n\nVastus: vastav nurk on $64^\\circ$ ja selle kõrval olev nurk $116^\\circ$.\n\n## Tüüpviga\n\nParalleelsete sirgete nurgareeglit saab kasutada alles siis, kui paralleelsus on antud või tõestatud.\n\nTeine viga on nimetada kõik võrdsed nurgad tippnurkadeks. Tippnurgad tekivad ühe lõikepunkti juures; vastavad ja põiknurgad asuvad eri lõikepunktides.\n\nKui ülesanne nõuab põhjendust, nimeta kasutatud nurgaseos. Õige arvuline vastus ja selle põhjendus on kaks eri asja.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Lõikaja lõikab kahte paralleelset sirget. Üks vastav nurk on $52^\\circ$. Kui suur on teine?\n2. Lõikaja lõikab kahte paralleelset sirget. Üks samapoolne sisenurk on $71^\\circ$. Leia teine.\n3. Kas põiknurgad on paralleelsete sirgete korral võrdsed?\n\n### Rakendus\n\n4. Leia $138^\\circ$ nurga kõrval olev kõrvunurk.\n5. Lõikaja tekitab võrdse paari vastavaid nurki. Mida saab sirgete kohta järeldada?\n6. Kaks paralleelset sirget lõikuvad lõikajaga. Üks põiknurk on $83^\\circ$. Leia temaga paari moodustav põiknurk ja põhjenda.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Paralleelsete sirgete üks nurk on $x$ ja selle samapoolne sisenurk $3x$. Leia mõlemad.\n8. Miks ei piisa paralleelsuse tõestamiseks sellest, et sirged joonisel ei paista lõikuvat?\n9. Lõikaja lõikab kahte paralleelset sirget. Ühes lõikepunktis on nurk $47^\\circ$. Leia teise lõikepunkti nürinurgad ja põhjenda.\n\n## Vastused\n\n1. $52^\\circ$, sest paralleelsete sirgete vastavad nurgad on võrdsed.\n2. $109^\\circ$, sest paralleelsete sirgete samapoolsed sisenurgad annavad kokku $180^\\circ$.\n3. Jah, põiknurgad on paralleelsete sirgete korral võrdsed.\n4. $42^\\circ$, sest kõrvunurkade summa on $180^\\circ$.\n5. Sirged on paralleelsed vastavate nurkade tunnuse järgi.\n6. $83^\\circ$, sest paralleelseid sirgeid lõikava sirge tekitatud põiknurgad on võrdsed.\n7. $x+3x=180^\\circ$, seega nurgad on $45^\\circ$ ja $135^\\circ$.\n8. Sirged võivad lõikuda väljaspool joonise nähtavat osa; vaja on nurgaseost või muud põhjendust.\n9. Vastav teravnurk on $47^\\circ$ ja selle kõrvunurk $180^\\circ-47^\\circ=133^\\circ$. Mõlemad nürinurgad on $133^\\circ$, sest need on tippnurgad.\n\n## Seosed\n\nParalleelsete sirgete nurgaseosed annavad kolmnurga kesklõigu, trapetsi ja sarnaste kolmnurkade põhjendustele vajaliku keele.\n" }, { "id": "geomeetria-suvendus.kolmnurga-keskloik-ja-trapets", "title": "Kolmnurga kesklõik, mediaan ja trapets", "strand": "70-geomeetria-suvendus", "order": "70.06", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 8, "main": 8, "end": 10, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 3, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "geomeetria-suvendus.paralleelsed-sirged-ja-nurgad", "geomeetria-alused.kolmnurgad-ja-nelinurgad" ], "review_modules": [ "mootmine.mootkava-ja-proportsioon" ], "extension_modules": [ "geomeetria-suvendus.sarnasus-ja-kaudne-mootmine" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-8" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/70-geomeetria-suvendus/70.06-kolmnurga-keskloik-ja-trapets.md", "source_sha256": "6753f901358c8eecb8775cbf0f6493584814ef5e73daf81c5ca082297469198a", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/70.06-kolmnurga-keskloik-mediaan-ja-trapets.html", "content_markdown": "# Kolmnurga kesklõik, mediaan ja trapets\n\n## Mõiste\n\nKolmnurga kesklõik ühendab kahe külje keskpunkte. See on kolmanda küljega paralleelne ja sellest kaks korda lühem.\n\nEeldus: tunned kujundite osi ja paralleelsete sirgete nurgaseoseid.\n\nKui kolmnurgas $ABC$ on $M$ külje $AB$ ja $N$ külje $AC$ keskpunkt, siis\n\n$$MN\\parallel BC,\\qquad MN=\\frac{BC}{2}.$$\n\nKolmnurga **mediaan** ühendab tipu vastaskülje keskpunktiga. Kolm mediaani lõikuvad **raskuskeskmes**, mis jagab iga mediaani suhtes $2:1$: tipupoolne osa on pikem.\n\nTrapetsi paralleelseid külgi nimetatakse alusteks. Trapetsi kesklõik ühendab haarade keskpunkte, on alustega paralleelne ja selle pikkus on aluste aritmeetiline keskmine:\n\n$$m=\\frac{a+b}{2}.$$\n\nTrapetsi kõrgus $h$ on aluste vaheline ristkaugus. Trapetsi pindala on\n\n$$S=\\frac{(a+b)h}{2}=mh.$$\n\nSama haara lähisnurkade summa on $180^\\circ$, sest alused on paralleelsed. Erineva pikkusega aluste ja võrdsete haaradega trapetsil on kummagi aluse lähisnurgad võrdsed: kõrguste tõmbamisel tekivad võrdsed täisnurksed kolmnurgad.\n\n![Kolmnurga ja trapetsi kesklõik](assets/class-8-midlines.svg \"Joonisel on kolmnurga kesklõik kolmanda külje pool ning trapetsi kesklõik paralleelsete aluste aritmeetiline keskmine.\")\n\n## Kesklõikude põhjendused\n\n**Kolmnurk.** Pikenda $MN$ üle $N$ punktini $D$, nii et $ND=MN$. Kolmnurgad $AMN$ ja $CDN$ on võrdsed külg-nurk-külg tunnuse järgi: $AN=NC$, $MN=ND$ ja nurgad $N$ juures on tippnurgad. Seega $CD=AM=MB$ ja $CD\\parallel MB$. Nelinurk $MBCD$ on rööpkülik: üks vastaskülgede paar on võrdne ja paralleelne. Seetõttu $MD=BC$ ja $MD\\parallel BC$. Kuna $MD=2MN$, saame $MN=BC/2$.\n\nLähteomadused: kolmnurkade võrdsuse ja rööpküliku tunnused; sarnasust ei eeldata.\n\n**Trapets.** Olgu alused $AB\\parallel CD$ ning $E,F$ haarade $AD,BC$ keskpunktid. Diagonaali $AC$ keskpunkt $K$ annab kolmnurkade kesklõigud $EK=CD/2$ ja $KF=AB/2$. Mõlemad on alustega paralleelsed ja moodustavad koos lõigu $EF$. Järelikult $EF=(AB+CD)/2$.\n\nSama diagonaal jagab trapetsi kaheks kolmnurgaks kõrgusega $h$. Nende pindalade summa on $ah/2+bh/2=(a+b)h/2=mh$.\n\n## Raskuskeskme põhjendus\n\nSee lisapõhjendus kasutab hilisemas peatükis õpitavat [kolmnurkade sarnasust](https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/70.09-sarnasus-ja-kaudne-mootmine.html#sarnasuse-pohjendused).\n\nOlgu $M,N$ vastavalt külgede $AB,AC$ keskpunktid ja $G$ mediaanide $CM,BN$ lõikepunkt. Kesklõik $MN\\parallel BC$ ja $MN=BC/2$. Kolmnurgad $GBC$ ja $GNM$ on sarnased vastavate nurkade võrdsuse tõttu. Seega $GB/GN=GC/GM=BC/NM=2$. Kolmas mediaan lõikab sama põhjenduse järgi $CM$ suhtes $2:1$, seega läbib samuti punkti $G$.\n\n::: student-hint Kui vajad abi\nNäita lõigu otspunkte: kesklõigul kaks külje keskpunkti, mediaanil tipp ja vastaskülje keskpunkt.\n:::\n\n::: teacher Õpetaja lisasoovitused\nPalu eristada mediaani kesklõigust ning näidata trapetsi aluseid ja kõrgust. Lisaväljakutse: põhjendada kesklõigu omadusi võrdsuse tunnusega; sarnasus tuleb hiljem.\n:::\n\n## Näide\n\nKui $BC=14$ cm, on kolmnurga kesklõik $MN=14/2=7$ cm.\n\nTrapetsi alused on 8 cm ja 16 cm ning kõrgus 5 cm. Leiame kesklõigu ja pindala:\n\n$$m=\\frac{8+16}{2}=12\\text{ cm},\\qquad S=mh=12\\cdot5=60\\text{ cm}^2.$$\n\n12 cm pikkusel mediaanil on tipupoolne osa $12\\cdot2/3=8$ cm ja küljepoolne $12\\cdot1/3=4$ cm. Kontroll: $8+4=12$ ja $8:4=2:1$.\n\n## Tüüpviga\n\nKesklõik peab ühendama keskpunkte; mediaan algab tipust. Pelgalt paralleelsusest kesklõigu nimetamiseks ei piisa.\n\nTrapetsi valemis kasuta paralleelseid aluseid, mitte haarasid; aluste summa tuleb jagada kahega. Kõrgus peab olema alustega risti, seega ei asenda seda üldjuhul haara pikkus.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Kolmnurga külg $BC=18$ cm. Leia sellega paralleelne kesklõik.\n2. Trapetsi alused on 6 cm ja 10 cm. Leia kesklõik.\n3. Milliste trapetsi külgedega on kesklõik paralleelne?\n4. Milliseid punkte ühendab kolmnurga mediaan?\n\n### Rakendus\n\n5. Kolmnurga kesklõik on 9 cm. Leia paralleelse kolmanda külje pikkus.\n6. Trapetsi kesklõik on 13 cm ja üks alus 8 cm. Leia teine alus.\n7. Trapetsi alused on 9 cm ja 15 cm ning kõrgus 6 cm. Leia pindala.\n8. Mediaan on 15 cm. Leia raskuskeskme tekitatud kahe osa pikkused.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n9. Trapetsi alused on $x$ cm ja $(x+6)$ cm, kesklõik 12 cm. Leia alused.\n10. Miks on kolmnurga kesklõigu paralleelsus oluline nurgaseoste jaoks?\n11. Trapetsi üks alus suureneb 4 cm ja teine ei muutu. Kui palju muutub kesklõik?\n12. Trapetsi alused on eri pikkusega ja haarad võrdsed. Üks alumine alusnurk on $68^\\circ$. Leia ülejäänud kolm nurka.\n\n## Vastused\n\n1. 9 cm, sest kesklõik on kolmanda külje pool.\n2. 8 cm, sest $(6+10):2=8$.\n3. Mõlema alusega.\n4. Kolmnurga tippu ja vastaskülje keskpunkti.\n5. 18 cm, sest kolmas külg on kesklõigust kaks korda pikem.\n6. $26-8=18$ cm, sest aluste summa on $2m=26$ cm.\n7. $S=(9+15)\\cdot6:2=72$ cm².\n8. Tipupoolne osa on 10 cm ja küljepoolne osa 5 cm.\n9. $(x+x+6):2=12$, seega $x=9$; alused on 9 cm ja 15 cm.\n10. Paralleelsus tekitab võrdsed vastavad ja põiknurgad, mida saab põhjendustes kasutada.\n11. 2 cm, sest kesklõigus jagatakse aluste summa kahega.\n12. Alumised alusnurgad on mõlemad $68^\\circ$ ja ülemised mõlemad $112^\\circ$.\n\n## Seosed\n\nKesklõik seob paralleelsuse ja sarnasuse. Raskuskese on ühtlase kolmnurkse plaadi tasakaalupunkt.\n" }, { "id": "geomeetria-suvendus.ringjoone-nurgad-ja-korraparane-hulknurk", "title": "Ringjoone nurgad ja korrapärane hulknurk", "strand": "70-geomeetria-suvendus", "order": "70.08", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 8, "main": 8, "end": 10, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 3, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "geomeetria-suvendus.kolmnurga-keskloik-ja-trapets", "geomeetria-alused.ring-ja-summeetria" ], "review_modules": [ "geomeetria-suvendus.geomeetriline-definitsioon-ja-toestus" ], "extension_modules": [ "geomeetria-suvendus.toestamine-ja-ringjoon" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-8", "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/70-geomeetria-suvendus/70.08-ringjoone-nurgad-ja-korraparane-hulknurk.md", "source_sha256": "bd75e9a51d2f00fe203ce089aac356bc99431161e4a112b7c309b67568195f75", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/70.08-ringjoone-nurgad-ja-korraparane-hulknurk.html", "content_markdown": "# Ringjoone nurgad ja korrapärane hulknurk\n\n## Mõiste\n\nKesknurga tipp on ringi keskpunktis. Piirdenurga tipp on ringjoonel. Kui mõlemad toetuvad samale kaarele, on kesknurk piirdenurgast kaks korda suurem:\n\n$$\\alpha_{\\text{kesk}}=2\\alpha_{\\text{piire}}.$$\n\nEeldus: tunned ringjoone osi, kolmnurga nurkade summat ja põhjenduse põhietappe.\n\nSamale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Diameetrile toetuv piirdenurk on $90^\\circ$.\n\n**Kõõl** ühendab ringjoone kaht punkti ja **kaar** on nende punktide vaheline ringjoone osa. **Lõikaja** läbib ringjoont kahes punktis. **Puutuja** puudutab ringjoont ühes punktis ning on selles punktis raadiusega risti. Ühest ringjoonevälisest punktist tõmmatud kahe puutujalõigu pikkused on võrdsed.\n\nKolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad **ümberringjoone keskpunktis**. Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad **siseringjoone keskpunktis**. Esimene punkt on kõigist tippudest, teine kõigist külgedest võrdsel kaugusel.\n\nKorrapärasel hulknurgal on kõik küljed ja kõik nurgad võrdsed. Kui hulknurgal on $n$ külge, on keskpunkti ümber tekkiv kesknurk\n\n$$\\frac{360^\\circ}{n}.$$\n\nÜhe sisenurga suurus on\n\n$$\\frac{(n-2)\\cdot180^\\circ}{n}.$$\n\nKorrapärase hulknurga **apoteem** on keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik. Kui ümbermõõt on $P$ ja apoteem $r$, saab hulknurga jagada võrdseteks kolmnurkadeks ning\n\n$$S=\\frac{Pr}{2}.$$\n\n![Ringjoone nurgad ja korrapärane hulknurk](assets/class-8-circle-polygon.svg \"Ringjoone joonisel on sama kaare kesknurk piirdenurgast kaks korda suurem ning korrapärase hulknurga kesknurgad jagavad täispöörde võrdseteks osadeks.\")\n\n![Puutuja ning kolmnurga ümber- ja siseringjoon](assets/class-8-circle-constructions.svg \"Puutepunkti raadius on puutujaga risti; kolmnurga ümberringjoone keskpunkt leitakse külgede keskristsirgete ja siseringjoone keskpunkt nurgapoolitajate lõikepunktina.\")\n\n::: student-hint Kui vajad abi\nNurgaülesandes märgi esmalt kaar, millele nurk toetub. Konstruktsiooniülesandes küsi: kas otsin tippudest või külgedest võrdsel kaugusel olevat punkti?\n:::\n\n::: teacher Õpetaja lisasoovitused\nPalu õpilasel nurga kõrval näidata toetatav kaar ning konstruktsiooni kõrval nimetada kasutatud sirged. Korrapärase hulknurga puhul alusta kesknurkadest ja apoteemi tekitatud kolmnurkadest, mitte valemi päheõppimisest.\n\n- Miinimum: õpilane leiab kesk- või piirdenurga ja tunneb ära puutuja.\n- Tavarada: õpilane valib sise- või ümberringjoone konstruktsiooni ning kasutab apoteemi.\n- Lisaväljakutse: õpilane kasutab mitut nurgaseost või konstruktsiooni omadust ühes põhjenduses.\n:::\n\n## Näide\n\nPiirdenurk toetub samale kaarele kui kesknurk $124^\\circ$. Piirdenurk on\n\n$$124^\\circ:2=62^\\circ.$$\n\nKorrapärase kuusnurga kesknurk on\n\n$$360^\\circ:6=60^\\circ,$$\n\nja üks sisenurk\n\n$$\\frac{(6-2)\\cdot180^\\circ}{6}=120^\\circ.$$\n\nRingjoone puutepunkti tõmmatud raadiuse ja puutuja vaheline nurk on alati $90^\\circ$.\n\nKorrapärase ruudu külg on 8 cm ja apoteem 4 cm. Selle ümbermõõt on 32 cm ning pindala\n\n$$S=\\frac{32\\cdot4}{2}=64\\text{ cm}^2.$$\n\nVastus: piirdenurk on $62^\\circ$; korrapärase kuusnurga kesk- ja sisenurk on vastavalt $60^\\circ$ ning $120^\\circ$; ruudu pindala on 64 cm².\n\n## Tüüpviga\n\nTüüpviga on võrrelda nurki, mis ei toetu samale kaarele.\n\nTeine viga on ajada segi kesk- ja piirdenurga tegur: kesknurk on kaks korda suurem, piirdenurk kaks korda väiksem.\n\nKolmas viga on arvata, et võrdsete külgedega hulknurk on alati korrapärane. Korrapärasel hulknurgal peavad võrdsed olema ka nurgad.\n\nNeljas viga on arvata, et iga ringjoont puudutavana näiv sirge on puutuja. Puutepunkti raadius peab olema sirgega risti.\n\nViies viga on vahetada sise- ja ümberringjoone keskpunkti konstruktsioonid: siseringjoone jaoks kasutatakse nurgapoolitajaid, ümberringjoone jaoks külgede keskristsirgeid.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Kesknurk on $90^\\circ$. Leia sama kaare piirdenurk.\n2. Piirdenurk on $38^\\circ$. Leia sama kaare kesknurk.\n3. Leia korrapärase kaheksanurga kesknurk.\n4. Kui suur on puutuja ja puutepunkti tõmmatud raadiuse vaheline nurk?\n\n### Rakendus\n\n5. Kaks piirdenurka toetuvad samale kaarele. Üks on $52^\\circ$. Leia teine.\n6. Leia korrapärase viisnurga ühe sisenurga suurus.\n7. Miks on diameetrile toetuv piirdenurk täisnurk?\n8. Milliste sirgete lõikepunkt annab kolmnurga ümberringjoone keskpunkti?\n9. Korrapärase hulknurga ümbermõõt on 40 cm ja apoteem 5 cm. Leia pindala.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n10. Korrapärase hulknurga kesknurk on $30^\\circ$. Mitu külge hulknurgal on?\n11. Korrapärase hulknurga üks sisenurk on $135^\\circ$. Mitu külge sellel on?\n12. Punktist $P$ on ringjoonele tõmmatud puutujad puutepunktidega $A$ ja $B$. Kui $PA=7$ cm, leia $PB$.\n13. Selgita, miks korrapärase hulknurga kesknurkade summa on $360^\\circ$.\n\n## Vastused\n\n1. $45^\\circ$, sest piirdenurk on sama kaare kesknurgast poole väiksem.\n2. $76^\\circ$, sest kesknurk on kaks korda suurem.\n3. $45^\\circ$, sest $360^\\circ:8=45^\\circ$.\n4. $90^\\circ$.\n5. $52^\\circ$, sest samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed.\n6. $108^\\circ$, sest $(5-2)\\cdot180^\\circ:5=108^\\circ$.\n7. Diameetrile vastav kesknurk on $180^\\circ$, seega piirdenurk on $90^\\circ$.\n8. Kolmnurga külgede keskristsirgete lõikepunkt.\n9. $S=40\\cdot5:2=100$ cm². Sellised mõõtmed on ruudul küljega 10 cm.\n10. 12 külge, sest $360^\\circ:30^\\circ=12$.\n11. 8 külge, sest $180^\\circ-360^\\circ:n=135^\\circ$, millest $n=8$.\n12. $PB=7$ cm, sest ühest punktist tõmmatud puutujalõigud on võrdsed.\n13. Need paiknevad ühise keskpunkti ümber ja moodustavad täispöörde.\n\n## Seosed\n\nRingjoone nurgad, puutuja ning sise- ja ümberringjoon valmistavad ette Thalese teoreemi põhjalikku tõestust. Apoteem seob korrapärase hulknurga ringjoone, kolmnurkade ja pindalaga.\n" }, { "id": "geomeetria-suvendus.sarnasus-ja-kaudne-mootmine", "title": "Sarnasus ja kaudne mõõtmine", "strand": "70-geomeetria-suvendus", "order": "70.09", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 8, "main": 8, "end": 11, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 3, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "geomeetria-suvendus.kolmnurga-keskloik-ja-trapets", "mootmine.mootkava-ja-proportsioon" ], "review_modules": [ "geomeetria-alused.kolmnurgad-ja-nelinurgad", "funktsioonid.vordeline-seos" ], "extension_modules": [ "geomeetria-suvendus.pythagoras-ja-sarnasus" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-8" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/70-geomeetria-suvendus/70.09-sarnasus-ja-kaudne-mootmine.md", "source_sha256": "978f3d2bee160e0a4be3179131a321357cf25ee490fce8a6bde76d4189cff93d", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/70.09-sarnasus-ja-kaudne-mootmine.html", "content_markdown": "# Sarnasus ja kaudne mõõtmine\n\n## Mõiste\n\nSarnased kujundid saadakse üksteisest kõigi pikkuste korrutamisel sama positiivse arvuga ning vajaduse korral nihutamisel, pööramisel või peegeldamisel. Sarnastel hulknurkadel on vastavad nurgad võrdsed ja vastavate külgede pikkused võrdelised.\n\nEeldus: oskad koostada võrret, tunned paralleelsete sirgete nurgaseoseid ning loed kolmnurkade tippude järjekorda.\n\nKui $\\triangle ABC\\sim\\triangle DEF$, siis vastavad tipud samas järjekorras:\n\n$$A\\leftrightarrow D,\\quad B\\leftrightarrow E,\\quad C\\leftrightarrow F.$$\n\nSarnasustegur esimeselt kolmnurgalt teisele on $k=DE/AB=EF/BC=DF/AC>0$. Vastupidises suunas on tegur $1/k$. Kui $k<1$, kujund väheneb; kui $k=1$, on kujundid võrdsed.\n\nKolmnurkade sarnasuse põhitunnused:\n\n- kaks vastavat nurka on võrdsed;\n- kolm vastavate külgede suhet on võrdsed;\n- kahe vastava külje suhted ja nendevahelised nurgad on võrdsed.\n\nKui pikkused muutuvad $k$ korda, muutuvad ümbermõõdud $k$ ja pindalad $k^2$ korda.\n\n![Sarnased kolmnurgad ja kaudne mõõtmine](assets/class-8-similarity-measurement.svg \"Püstine latt ja puu seisavad horisontaalsel maal. Paralleelsed päikesekiired ning varjude suhe 8 : 2 annavad kõrguste sama suhte.\")\n\n## Sarnasuse põhjendused\n\nÜhtlane suurendamine või vähendamine säilitab nurgad ja korrutab kõik pikkused sama positiivse teguriga. Vali tegur nii, et üks vastavate külgede paar muutuks võrdseks. Kahe võrdse nurga korral on võrdsed ka kolmandad nurgad: nüüd rakendub kolmnurkade võrdsuse nurk-külg-nurk tunnus. Kolme küljesuhte või kahe küljesuhte ja nendevahelise nurga korral rakendub vastavalt külg-külg-külg või külg-nurk-külg tunnus. Seega on saadud kolmnurk teisega võrdne ning algsed kolmnurgad sarnased.\n\nÜmbermõõt on külgede summa, seega $P'=kP$. Kolmnurga alus ja kõrgus muutuvad mõlemad $k$ korda:\n\n$$S'=\\frac{(ka)(kh)}2=k^2\\frac{ah}2=k^2S.$$\n\nHulknurga saab jagada kolmnurkadeks; nende pindalade liitmisel säilib sama tegur $k^2$.\n\n::: student-hint Kui vajad abi\nKirjuta võrdesse ainult vastavad küljed. Märgi joonisel võrdsete nurkade juurde sama tähis ja loe kolmnurkade nimed samas järjekorras.\n:::\n\n::: teacher Õpetaja lisasoovitused\nLase õpilasel enne võrret vastavad tipud paaridesse kirjutada. Kaudses mõõtmises kontrolli, kas sarnasuse eeldus, näiteks sama päikesenurk või paralleelsed jooned, on nimetatud.\n\n- Miinimum: õpilane leiab sarnasusteguri.\n- Tavarada: õpilane leiab puuduva vastava külje.\n- Lisaväljakutse: õpilane koostab kaudse mõõtmise plaani ja nimetab mudeli eelduse.\n:::\n\n## Näide\n\nPüstise 1,5 m pikkuse lati vari on 2 m ja püstise puu vari 8 m. Mõõdame samal ajal horisontaalsel maal ning käsitleme päikesekiiri paralleelsetena. Kolmnurkadel on täisnurk ja võrdne päikesekiire kaldenurk, seega on need kahe nurga järgi sarnased:\n\n$$\\frac{h}{8}=\\frac{1{,}5}{2}.$$\n\nSiit\n\n$$h=8\\cdot\\frac{1{,}5}{2}=6\\text{ m}.$$\n\nVastus: mudeli järgi on puu kõrgus 6 m. Kaldus puu või maapinna korral ei saa sama võrret ilma lisapõhjenduseta kasutada.\n\n## Tüüpviga\n\nVõrdes peavad olema vastavad küljed ja suhete suund peab olema sama.\n\nTeine viga on järeldada sarnasust ainult selle põhjal, et kujundid paistavad sama kujuga. Vaja on sarnasuse tunnust.\n\nKolmas viga on kasutada pindala jaoks tegurit $k$. Pindala muutub teguriga $k^2$.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Vastavad küljed on 4 cm ja 10 cm. Leia sarnasustegur väiksemalt suuremale.\n2. Kui $\\triangle ABC\\sim\\triangle DEF$, millisele küljele vastab $BC$?\n3. Kui pikkused suurenevad 3 korda, mitu korda suureneb pindala?\n\n### Rakendus\n\n4. Sarnasustegur on 2,5 ja väiksema kujundi külg 6 cm. Leia vastav suurem külg.\n5. Püstise posti vari on 6 m ja püstise 1 m pikkuse lati vari 1,5 m. Varjud mõõdetakse samal ajal horisontaalsel maal. Leia posti kõrgus paralleelsete päikesekiirte mudelis.\n6. Plaani mõõtkava on $1:500$. Kui pikk on plaanil 3 cm lõik tegelikkuses?\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Väiksema kujundi pindala on 12 cm² ja sarnasustegur 2. Leia suurema pindala.\n8. Punkt $A$ on vastaskaldal, punktid $B,C,D$ selles järjekorras sirgel kaldal ning $AB$ on kaldaga risti. Olgu $BC=6$ m ja $CD=3$ m. Märgi maismaale punkt $E$ nii, et $DE$ on kaldaga risti ja $A,C,E$ ühel sirgel. Kui $DE=4$ m, leia jõe laius $AB$. Joonesta skeem ja põhjenda sarnasust.\n9. Miks tuleb varjumeetodil mõõta lati ja objekti vari samal ajal?\n\n## Vastused\n\n1. $k=10:4=2{,}5$.\n2. Küljele $EF$, sest tipud vastavad samas järjekorras.\n3. 9 korda, sest pindala tegur on $3^2$.\n4. $6\\cdot2{,}5=15$ cm.\n5. $h:6=1:1{,}5$, seega $h=4$ m.\n6. $3\\cdot500=1500$ cm ehk 15 m.\n7. $12\\cdot2^2=48$ cm².\n8. Kolmnurgad $ABC$ ja $EDC$ on sarnased: nurgad $B,D$ on täisnurgad ning nurgad $ACB,ECD$ tippnurgad. Vastavus on $A\\leftrightarrow E$, $B\\leftrightarrow D$, $C\\leftrightarrow C$. Seega $AB/DE=BC/DC=6/3=2$ ja $AB=8$ m.\n9. Päikese kõrgus ja seega kiirte nurk muutub ajas; eri ajal mõõdetud kolmnurgad ei pruugi olla sama mudeli järgi sarnased.\n\n## Seosed\n\nSarnasus on mõõtkava, maa-ala plaanistamise, Pythagorase teoreemi rakenduste ja trigonomeetria oluline eeldus.\n" }, { "id": "geomeetria-suvendus.pythagoras-ja-sarnasus", "title": "Pythagoras ja sarnasus", "strand": "70-geomeetria-suvendus", "order": "70.10", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 8, "main": 9, "end": 11, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 3, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "geomeetria-suvendus.sarnasus-ja-kaudne-mootmine", "arvud.astmed-juured-standardkuju" ], "review_modules": [ "geomeetria-alused.kolmnurgad-ja-nelinurgad", "mootmine.pindala-ja-ruumala" ], "extension_modules": [ "geomeetria-suvendus.pythagorase-toestus-ja-korraparane-hulknurk" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/70-geomeetria-suvendus/70.10-pythagoras-ja-sarnasus.md", "source_sha256": "fc3af3a875630c8ba4234772f48e422992418eaf60ecfd6d275bccf93056cfec", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/70.10-pythagoras-ja-sarnasus.html", "content_markdown": "# Pythagoras ja sarnasus\n\n## Mõiste\n\nTäisnurkses kolmnurgas kehtib Pythagorase teoreem:\n\n$$a^2+b^2=c^2.$$\n\nSiin `$c$` tähistab hüpotenuusi ehk täisnurga vastaskülge.\n\nEeldus: tunned täisnurkset kolmnurka ja sarnasust ning oskad arvutada ruutjuurt.\n\nSarnastel kujunditel on vastavad nurgad võrdsed ja vastavad küljed võrdelised.\n\n![Pythagorase teoreemi kolmnurk](assets/pythagoras.svg \"Täisnurkses kolmnurgas seob Pythagorase teoreem kaatetite ruutude summa hüpotenuusi ruuduga.\")\n\nSarnasustegur `$k$` näitab, mitu korda on ühe kujundi vastavad pikkused teise omadest suuremad:\n\n$$k=\\frac{\\text{uue kujundi külg}}{\\text{algse kujundi vastav külg}}.$$\n\nKui pikkused muutuvad `$k$` korda, siis pindalad muutuvad `$k^2$` korda.\n\n| Suurus | Muutub |\n| --- | --- |\n| pikkus | `$k$` korda |\n| ümbermõõt | `$k$` korda |\n| pindala | `$k^2$` korda |\n\nVastavate külgede leidmiseks:\n\n1. leia võrdsed nurgad;\n2. vaata, millised küljed on nende nurkade vastas;\n3. pane samas rollis küljed ühte suhtesse;\n4. kontrolli, et kõik suhted annaksid sama sarnasusteguri.\n\nKui kolmnurgad on kirjutatud kujul `$\\triangle ABC\\sim\\triangle DEF$`, siis vastavus käib samas järjekorras:\n\n| Esimene kolmnurk | Teine kolmnurk |\n| --- | --- |\n| `$A$` | `$D$` |\n| `$B$` | `$E$` |\n| `$C$` | `$F$` |\n| külg `$AB$` | külg `$DE$` |\n| külg `$BC$` | külg `$EF$` |\n| külg `$AC$` | külg `$DF$` |\n\n## Näide\n\nKui kaatetid on 6 ja 8, siis\n\n$$c^2=6^2+8^2=100,$$\n\nseega `$c=10$`.\n\nSarnasuse näide: kaks kolmnurka on sarnased. Väiksema kolmnurga külg on 4 cm ja vastav suurema kolmnurga külg 10 cm. Siis sarnasustegur väiksemalt suuremale on\n\n$$k=\\frac{10}{4}=2,5.$$\n\nKui väiksema kolmnurga pindala on `$12\\text{ cm}^2$`, siis suurema kolmnurga pindala on\n\n$$12\\cdot2,5^2=12\\cdot6,25=75\\text{ cm}^2.$$\n\nVastavate külgede näide: olgu\n\n$$\\triangle ABC\\sim\\triangle DEF,$$\n\nkus `$AB=6$`, `$BC=8$`, `$AC=10$` ning `$DE=9$`. Kuna `$AB$` vastab küljele `$DE$`, on sarnasustegur\n\n$$k=\\frac{DE}{AB}=\\frac{9}{6}=1,5.$$\n\nSiis\n\n$$EF=BC\\cdot1,5=8\\cdot1,5=12,$$\n\nja\n\n$$DF=AC\\cdot1,5=10\\cdot1,5=15.$$\n\nVastus: suurem kolmnurk on külgedega 9, 12 ja 15; juhuslikult `$BC$` ja `$DE$` võrreldes saaks vale teguri.\n\n## Tüüpviga\n\nPythagorase teoreemi saab kasutada ainult täisnurkses kolmnurgas.\n\nSarnasuses tuleb võrrelda vastavaid külgi. Kõige tavalisem viga on võtta juhuslikult kaks külge, mis ei ole samas asendis. Vastavad küljed on nende võrdsete nurkade vastas või samas rollis kujundis.\n\nTeine tüüpviga on pindala puhul kasutada tegurit `$k$`, kuigi pindala muutub teguriga `$k^2$`.\n\nKolmas tüüpviga on hüpotenuusi ja kaateti segiajamine Pythagorase teoreemis. Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg ja on kõige pikem külg.\n\nNeljas tüüpviga on lugeda sarnaste kolmnurkade tippude järjekorda hooletult. Kui `$\\triangle ABC\\sim\\triangle DEF$`, siis `$AB$` ei vasta küljele `$EF$`, vaid küljele `$DE$`.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 5 ja 12. Leia hüpotenuus.\n2. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on 13 ja üks kaatet 5. Leia teine kaatet.\n3. Kaks kujundit on sarnased. Vastavad küljed on 6 cm ja 15 cm. Leia sarnasustegur väiksemalt suuremale.\n4. Kui sarnasustegur on 3, mitu korda muutub pindala?\n\n### Rakendus\n\n5. Väikese kujundi pindala on 20 cm² ja sarnasustegur suuremale on 2. Leia suurema kujundi pindala.\n6. Kui `$\\triangle ABC\\sim\\triangle DEF$`, millisele küljele vastab külg `$BC$`?\n7. Kui `$\\triangle ABC\\sim\\triangle DEF$`, `$AB=4$`, `$DE=10$` ja `$BC=7$`, leia `$EF$`.\n8. Koolimaja ees oleva lipumasti vari on 9 m ja samal ajal 1,5 m pikkuse õpilase vari on 1 m. Kui kõrge on lipumast?\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n9. Kui sarnasustegur väiksemalt suuremale on 2,5 ja väiksema ümbermõõt on 18 cm, leia suurema ümbermõõt.\n10. Kui sarnasustegur väiksemalt suuremale on 4, mitu korda on suurema kujundi pindala suurem?\n11. Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuus 10 ja üks kaatet 8. Leia teine kaatet.\n12. Päästeameti redel ulatub 8 m kõrgusele, kui redeli alumine ots on seinast 6 m kaugusel. Kui pikk peab redel vähemalt olema?\n\n## Vastused\n\n1. `$13$`, sest täisnurkses kolmnurgas `$5^2+12^2=13^2$`.\n2. `$12$`, sest teine kaatet rahuldab `$13^2-5^2=144$`.\n3. `$k=\\frac{15}{6}=2,5$`.\n4. `$3^2=9$` korda.\n5. `$20\\cdot2^2=80\\text{ cm}^2$`.\n6. Küljele `$EF$`, sest vastavus käib järjekorras `$A\\leftrightarrow D$`, `$B\\leftrightarrow E$`, `$C\\leftrightarrow F$`.\n7. `$k=\\frac{10}{4}=2,5$`, seega `$EF=7\\cdot2,5=17,5$`.\n8. Lipumast on `$9\\cdot1,5=13,5$` m kõrge; kasutatakse sarnaste kolmnurkade võrdelisi külgi.\n9. `$18\\cdot2,5=45\\text{ cm}$`.\n10. `$4^2=16$` korda.\n11. `$b^2=10^2-8^2=100-64=36$`, seega `$b=6$`.\n12. `$\\sqrt{8^2+6^2}=10$` m.\n\n## Seosed\n\nPythagoras ja sarnasus on trigonomeetria, mõõtkava ning analüütilise geomeetria alus. Järgmine peatükk põhjendab Pythagorase teoreemi pindalade abil ja rakendab seda korrapäraste hulknurkade joonelementide leidmisel.\n" }, { "id": "geomeetria-suvendus.pythagorase-toestus-ja-korraparane-hulknurk", "title": "Pythagorase tõestus ja korrapärane hulknurk", "strand": "70-geomeetria-suvendus", "order": "70.12", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 9, "main": 9, "end": 11, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "concept", "application" ], "prerequisites": [ "geomeetria-suvendus.pythagoras-ja-sarnasus", "geomeetria-suvendus.ringjoone-nurgad-ja-korraparane-hulknurk" ], "review_modules": [ "geomeetria-suvendus.geomeetriline-definitsioon-ja-toestus" ], "extension_modules": [ "trigonomeetria.trigonomeetria" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/70-geomeetria-suvendus/70.12-pythagorase-toestus-ja-korraparane-hulknurk.md", "source_sha256": "ae1180e81166f2119bc70d90d7819e2ed7b4be57d68a7479b38b131b45f0f687", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/70.12-pythagorase-toestus-ja-korraparane-hulknurk.html", "content_markdown": "# Pythagorase tõestus ja korrapärane hulknurk\n\n## Mõiste\n\nPythagorase teoreem ei ole ainult arvutusreegel. Seda saab tõestada pindalade võrdlemisega.\n\nEeldus: tunned ruutu ja täisnurkset kolmnurka, kolmnurga pindala ning nurkade summat. Tõestatav seos $a^2+b^2=c^2$ ei ole tõestuse eeldus.\n\n## Pythagorase teoreemi pindalatõestus\n\nOlgu täisnurkse kolmnurga kaatetid $a,b>0$, hüpotenuus $c$ ja teravnurgad $\\alpha,\\beta$. [Kolmnurga nurgasummast](https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/70.02-geomeetriline-definitsioon-ja-toestus.html#kolmnurga-abitulemused) saame $\\alpha+\\beta=90^\\circ$.\n\nPaigutame neli selle kolmnurga koopiat küljega $a+b$ ruudu nurkadesse nagu joonisel. Need ei kattu. Keskmise nelinurga kõik küljed on hüpotenuusid pikkusega $c$. Iga selle nurk koos kahe kolmnurga teravnurkadega moodustab sirgnurga, seega on keskmine nurk $180^\\circ-(\\alpha+\\beta)=90^\\circ$. Järelikult on keskmine kujund ruut.\n\n$$ (a+b)^2=4\\cdot\\frac{ab}{2}+c^2.$$\n\nAvades vasaku poole saame $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$. Lahutades mõlemalt poolelt $2ab$, jääb\n\n$$a^2+b^2=c^2.$$\n\n![Pythagorase pindalatõestus](assets/class-9-pythagoras-proof.svg \"Neli võrdset täisnurkset kolmnurka ja keskmine ruut annavad pindalade võrdlusest seose $a^2+b^2=c^2$.\")\n\n## Korrapärase hulknurga pindala põhjendus\n\nKorrapärane hulknurk on siin kumer ning võrdsete külgede ja nurkadega. Ühenda keskpunkt kõigi tippudega. Tekkinud võrdhaarsete kolmnurkade alused on hulknurga küljed. Nende ühine kõrgus ehk **apoteem** $r$ ühendab keskpunkti külje keskpunktiga ja on küljega risti.\n\nIga osakolmnurga pindala on külje pikkus korda $r$ jagatud kahega. Aluste pikkuste summa on ümbermõõt $P$, seega\n\n$S=\\frac{Pr}{2}.$\n\nApoteem on korrapärase hulknurga siseringjoone raadius, mitte ümberringjoone raadius.\n\n## Näide\n\nKorrapärase kuusnurga külg on 4 cm. Kuusnurk koosneb kuuest võrdkülgsest kolmnurgast: kesknurk on $360^\\circ/6=60^\\circ$ ning võrdhaarsete kolmnurkade alusnurgad samuti $60^\\circ$. Ühe kolmnurga kõrgus on\n\n$$h=\\sqrt{4^2-2^2}=2\\sqrt3.$$\n\nÜhe kolmnurga pindala on $\\frac{4\\cdot2\\sqrt3}{2}=4\\sqrt3$, kogu kuusnurga pindala\n\n$$S=6\\cdot4\\sqrt3=24\\sqrt3\\text{ cm}^2.$$\n\nKontroll: sama tulemuse annab $P=24$ ja $r=2\\sqrt3$ asetamine valemisse $S=\\frac{Pr}{2}$.\n\n## Tüüpviga\n\nPindalatõestuses tuleb põhjendada, miks keskmine kujund on ruut. Apoteem lõpeb külje keskpunktis ja on küljega risti; ümberringjoone raadius lõpeb tipus.\n\nKorrapärase kuusnurga keskpunkti ühendamine tippudega annab võrdkülgsed, mitte täisnurksed kolmnurgad. Apoteem poolitab iga sellise kolmnurga kaheks täisnurkseks kolmnurgaks.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Kui palju on nelja kaatetitega $a,b$ kolmnurga pindala kokku?\n2. Leia ruudu diagonaal, kui külg on 5 cm.\n\n### Rakendus\n\n3. Leia võrdkülgse kolmnurga kõrgus, kui külg on 6 cm.\n4. Leia sama kolmnurga pindala.\n5. Korrapärase hulknurga ümbermõõt on 40 cm ja apoteem 5 cm. Leia pindala.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n6. Selgita pindalade abil, miks tõestusest kaob liige $2ab$.\n7. Leia korrapärase kuusnurga pindala, kui külg on 2 cm.\n8. Kas valem $S=\\frac{Pr}{2}$ sobib igale hulknurgale? Põhjenda.\n\n## Vastused\n\n1. $4\\cdot\\frac{ab}{2}=2ab$.\n2. $d=\\sqrt{5^2+5^2}=5\\sqrt2$ cm.\n3. $h=\\sqrt{6^2-3^2}=3\\sqrt3$ cm.\n4. $S=\\frac{6\\cdot3\\sqrt3}{2}=9\\sqrt3\\text{ cm}^2$.\n5. $S=\\frac{40\\cdot5}{2}=100\\text{ cm}^2$. Sellised mõõtmed on ruudul küljega 10 cm.\n6. Liige $2ab$ on nelja kolmnurga kogupindala mõlemas sama ruudu pindala kirjelduses ja lahutatakse mõlemalt poolelt.\n7. Ühe kolmnurga pindala on $\\sqrt3$, seega kokku $6\\sqrt3\\text{ cm}^2$.\n8. Ei. Kõigil hulknurkadel pole sisepunkti, mis oleks kõigist külgedest sama kaugel. Valem kehtib ka siseringjoonega kumeral hulknurgal, mis ei ole korrapärane; siis on $r$ siseringjoone raadius.\n\n## Seosed\n\nPythagorase teoreemi tõestus ühendab algebra ja pindala. Korrapäraste hulknurkade poolitamisel tekkivad täisnurksed kolmnurgad valmistavad ette siinuse, koosinuse ja tangensi kasutamist.\n" }, { "id": "geomeetria-suvendus.toestamine-ja-ringjoon", "title": "Tõestamine ja ringjoone teoreemid", "strand": "70-geomeetria-suvendus", "order": "70.20", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 8, "main": 8, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "concept", "skill" ], "prerequisites": [ "geomeetria-suvendus.geomeetriline-definitsioon-ja-toestus", "geomeetria-alused.ring-ja-summeetria", "geomeetria-alused.kolmnurgad-ja-nelinurgad", "geomeetria-suvendus.paralleelsed-sirged-ja-nurgad" ], "review_modules": [ "geomeetria-suvendus.ringjoone-nurgad-ja-korraparane-hulknurk" ], "extension_modules": [ "geomeetria-suvendus.pythagoras-ja-sarnasus" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-8" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/70-geomeetria-suvendus/70.20-toestamine-ja-ringjoon.md", "source_sha256": "deb60401d862bcc9beae2b88461579819bb63daf93add3987b1829210d4737a8", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/70.20-toestamine-ja-ringjoone-teoreemid.html", "content_markdown": "# Tõestamine ja ringjoone teoreemid\n\n## Mõiste\n\nTõestus põhjendab, miks väide kehtib kõigil tema eeldusi rahuldavatel juhtudel. Ringjoonega on seotud keskpunkt, kaared, kõõlud, nurgad, puutujad ja lõikajad. Käsitleme nelja nurgateoreemi, mitte kõiki omadusi.\n\nEeldus: tunned ringjoone osi, paralleelsete sirgete nurgaseoseid ja kolmnurkade võrdsuse külg-nurk-külg tunnust. [Kolmnurga nurgasumma ja võrdhaarse kolmnurga alusnurkade tõestused](https://mapik.ee/matemaatika/klass-8/peatukid/70.02-geomeetriline-definitsioon-ja-toestus.html#kolmnurga-abitulemused) on varasemas tõestamispeatükis.\n\n## Ringjoone põhiteoreemid\n\nPunktid $A$, $B$ ja $C$ on ringjoonel ning paarikaupa erinevad; $O$ on keskpunkt. Piirdenurk $\\angle ACB$ toetub kaarele $AB$, millel $C$ ei asu.\n\n### Teoreem kesk- ja piirdenurgast\n\n**Samale kaarele toetuv kesknurk on piirdenurgast kaks korda suurem.** Tähistame kesknurka $\\theta$ ja piirdenurka $\\alpha$: $\\theta=2\\alpha$. Ka üle $180^\\circ$ ulatuva kaare puhul tuleb valida just sellele kaarele vastav kesknurk.\n\n![Teoreem kesk- ja piirdenurgast](assets/circle-theorems.svg \"Samale kaarele AB toetuvad kesknurk 2α ja piirdenurk α.\")\n\n::: explanation Kesk- ja piirdenurga teoreemi tõestus\nTõmbame diameetri $CD$. Kui $A\\ne D$, on $OA=OC$ tõttu kolmnurga $AOC$ alusnurgad võrdsed. Olgu $\\angle ACD=x$. Kolmnurga nurgasumma ja kõrvunurgad annavad $\\angle AOD=2x$. Samamoodi annab $\\angle BCD=y$ seose $\\angle BOD=2y$, kui $B\\ne D$.\n\n- Kui $D$ on $A$ ja $B$ vahel kaarel, millel $C$ ei asu, siis $\\alpha=x+y$ ning $\\theta=2x+2y=2\\alpha$.\n- Kui $A$ ja $B$ asuvad diameetrist $CD$ samal pool, siis $\\alpha=|x-y|$ ja $\\theta=|2x-2y|=2\\alpha$.\n- Kui $D=A$ või $D=B$, piisab ühest võrdhaarsest kolmnurgast: $\\theta=2\\alpha$.\n\nNii on kaetud keskpunkti paiknemine piirdenurga sees, väljas ja haaral.\n:::\n\n### Teoreem samale kaarele toetuvatest piirdenurkadest\n\n**Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed.** Tõestus: mõlemad on pool samale kaarele vastavast kesknurgast. Ainult ühistest otspunktidest ei piisa: tipud peavad asuma samal kaarel, nurgad toetuvad teisele kaarele.\n\n### Thalese teoreem\n\n**Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk.** Olgu $AB$ diameeter ja $C$ ringjoonel, kus $C\\ne A$ ning $C\\ne B$.\n\n![Thalese teoreem](assets/circle-thales.svg \"AB on diameeter. Täisnurk punktis C ei nõua, et kolmnurk ABC oleks võrdhaarne.\")\n\n### Thalese teoreemi tõestus\n\nKaar $AB$, millel $C$ ei asu, on poolring. Selle kesknurk on $180^\\circ$. Kesk- ja piirdenurga teoreemist järeldub $\\angle ACB=180^\\circ:2=90^\\circ$.\n\n### Teoreem puutujast ja raadiusest\n\n**Puutuja on puutepunkti tõmmatud raadiusega risti.**\n\n![Teoreem puutujast ja raadiusest](assets/circle-tangent.svg \"OT on raadius ja t puutuja. Täisnurga märgis jääb raadiuse pikendusel ringist väljapoole.\")\n\n::: explanation Puutuja ja raadiuse teoreemi tõestus\nPuutuja $t$ ühine punkt ringjoonega on $T$. Oletame, et $OT$ ei ole puutujaga risti. Tõmbame $O$ kaudu sirge $s$, mis on $t$-ga risti. Peegeldus sirge $s$ suhtes jätab $O$ paigale ja viib $T$ sama sirge $t$ teise punkti $T'$. Peegeldus säilitab kaugused, seega $OT'=OT$. Järelikult asub ka $T'$ ringjoonel. See oleks teine lõikepunkt, vastuolus puutuja definitsiooniga. Niisiis $OT\\perp t$.\n:::\n\n## Näide\n\nPiirdenurk on $35^\\circ$. Leia samale kaarele toetuv kesknurk ja teine piirdenurk, mille tipp asub ringjoone teises punktis.\n\nLahendus: kesknurk on $2\\cdot35^\\circ=70^\\circ$, teine piirdenurk aga $35^\\circ$. Need tulemused kehtivad teoreemide, mitte joonise mõõtmise tõttu.\n\n## Tüüpviga\n\nVõimalikud eksimused, mille esinemissagedust pole siin uuritud:\n\n- võrdsuse eeldamine üksnes joonise põhjal; vaja on antud tingimust või põhjendust;\n- kahe erineva kaare segiajamine, kuigi otspunktid on samad;\n- piirdenurga tipu valimine diameetri otspunktiks: siis kolmnurka ei teki.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Kesknurk on $124^\\circ$. Leia samale kaarele toetuv piirdenurk.\n2. Kaar vastab kesknurgale $240^\\circ$. Leia sellele kaarele toetuv piirdenurk.\n3. Miks ei tohi Thalese teoreemis võtta $C=A$?\n\n### Rakendus\n\n4. Piirdenurk on $48^\\circ$. Leia samale kaarele toetuv teine piirdenurk ja kesknurk.\n5. Raadius $OT$ lõpeb puutepunktis $T$. Kui suure nurga moodustab ta puutujaga?\n6. Põhjenda Thalese teoreemi kesk- ja piirdenurga seose abil.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Tõesta Thalese teoreem teisiti: ühenda $C$ keskpunktiga $O$. Kasuta võrdhaarseid kolmnurki $AOC$ ja $BOC$ ning kolmnurga $ABC$ nurgasummat.\n8. Kõõlu otspunktid on $A$ ja $B$. Piirdenurga tipp liigub ühelt kaarelt teisele. Miks ei pruugi nurk samaks jääda?\n\n## Vastused\n\n1. $124^\\circ:2=62^\\circ$.\n2. $240^\\circ:2=120^\\circ$; piirdenurk võib olla nürinurk.\n3. Üks haar kaob ja kolmnurka ei teki.\n4. Teine piirdenurk on $48^\\circ$, kesknurk $96^\\circ$.\n5. $90^\\circ$, sest puutuja on puutepunkti raadiusega risti.\n6. Poolringi kesknurk on $180^\\circ$, piirdenurk sellest pool ehk $90^\\circ$.\n7. Kuna `$OA=OB=OC$`, on kolmnurgad võrdhaarsed. Olgu nende alusnurgad punktis `$C$` vastavalt $\\alpha$ ja $\\beta$. Siis $\\angle BAC=\\alpha$, $\\angle ABC=\\beta$ ja $\\angle ACB=\\alpha+\\beta$. Nurgasumma annab $2\\alpha+2\\beta=180^\\circ$, seega $\\angle ACB=90^\\circ$.\n8. Nüüd toetub nurk teisele kaarele. Näiteks $120^\\circ$ ja $240^\\circ$ kaartele toetuvad nurgad on $60^\\circ$ ja $120^\\circ$.\n\n## Seosed\n\nTõestuste alus: Eukleidese „Elemendid”, [III.20](https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/propIII20.html) ja [III.21](https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/propIII21.html). Puutuja põhjendus kasutab telgsümmeetria kauguste säilimist; klassikaline tõestus on [III.18](https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/propIII18.html).\n" }, { "id": "geomeetria-suvendus.vektorid", "title": "Vektorid", "strand": "70-geomeetria-suvendus", "order": "70.30", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 9, "main": 10, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "funktsioonid.koordinaatteljestik" ], "review_modules": [ "geomeetria-alused.teisendused-ja-summeetria", "funktsioonid.lineaarfunktsioon" ], "extension_modules": [ "geomeetria-suvendus.skalaarkorrutis-ja-vektorite-nurk" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-10" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/70-geomeetria-suvendus/70.30-vektorid.md", "source_sha256": "2753abc24d7f7ed5159724f52846c6e13611e22af9d7435255e33856635f5839", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/70.30-vektorid.html", "content_markdown": "# Vektorid\n\n## Mõiste\n\nVektor kirjeldab nihet. Vektoril on pikkus ja suund, aga tal ei ole kindlat asukohta: sama vektorit võib joonisel nihkena ümber paigutada, kui pikkus ja suund jäävad samaks.\n\nEeldus: oskad lugeda koordinaate, kasutada Pythagorase teoreemi ja eristada punkti asukohta nihkest.\n\nKoordinaatteljestikus saab vektorit kirjeldada komponentidega. Näiteks vektor `$\\vec a=(3;2)$`\n\n![Vektori komponendid tasandil](assets/vector-components.svg \"Vektor `$\\vec a=(3;2)$` tähendab nihet 3 ühikut paremale ja 2 ühikut üles.\")\n\ntähendab nihet 3 ühikut `$x$`-suunas ja 2 ühikut `$y$`-suunas.\n\nNegatiivne komponent tähendab liikumist vastassuunas: `$(4;-2)$` liigub 4 ühikut paremale ja 2 ühikut alla.\n\nKui vektor viib punktist `$A(x_1;y_1)$` punkti `$B(x_2;y_2)$`, siis\n\n$$\\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;\\ y_2-y_1).$$\n\n## Tehted\n\nKui\n\n$$\\vec a=(a_1;a_2),\\qquad \\vec b=(b_1;b_2),$$\n\nsiis\n\n$$\\vec a+\\vec b=(a_1+b_1;\\ a_2+b_2),$$\n\n$$\\vec a-\\vec b=(a_1-b_1;\\ a_2-b_2),$$\n\n$$k\\vec a=(ka_1;\\ ka_2).$$\n\nVektorite liitmisel võib mõelda nii: pane teise vektori algus esimese vektori lõppu. Summa läheb esimese algusest teise lõppu.\n\n![Kahe vektori liitmine](assets/vector-addition.svg \"Vektorite liitmisel asetatakse `$\\vec b$` vektori `$\\vec a$` lõppu; summa `$\\vec a+\\vec b$` ühendab alguse ja lõpu.\")\n\nSama mõtet saab kasutada ka mitme vektori korral. Aseta vektorid järjestikku; summa ühendab esimese vektori alguse ja viimase vektori lõpu.\n\n![Nelja vektori järjestikune liitmine](assets/vector-four-addition.svg \"Nelja kahemõõtmelise vektori järjestikune liitmine alguspunktist `(0;0)`: `(2;3)+(4;-2)+(1;4)+(2;-1)=(9;4)`.\")\n\nKontrolli pildilt: kui alustad punktist `(0;0)`, peab viimase noole lõpp olema sama punkt, mille saad komponentide summana.\n\nNäiteks\n\n$$(2;3)+(4;-2)+(1;4)+(2;-1)=(9;4).$$\n\nVõid liita järjest või rühmitada:\n\n$$(2;3)+(4;-2)=(6;1),$$\n\n$$(1;4)+(2;-1)=(3;3),$$\n\n$$(6;1)+(3;3)=(9;4).$$\n\nVektori pikkus:\n\n$$|\\vec a|=\\sqrt{a_1^2+a_2^2}.$$\n\nNullvektor on `$\\vec 0=(0;0)$`. Selle pikkus on 0 ja suunda tavaliselt ei määrata.\n\n## Kolmemõõtmeline vektor\n\nRuumis on vektoril kolm komponenti:\n\n$$\\vec v=(x;y;z).$$\n\nEsimene komponent kirjeldab liikumist `$x$`-suunas, teine `$y$`-suunas ja kolmas `$z$`-suunas.\n\nNäiteks `$(2;3;1)$` tähendab: 2 ühikut `$x$`-suunas, 3 ühikut `$y$`-suunas ja 1 ühik `$z$`-suunas.\n\n![Kolmemõõtmeline vektor](assets/vector-3d.svg \"Kolmemõõtmeline vektor `$\\vec v=(2;3;1)$` liigub kolmes suunas.\")\n\nKolmemõõtmeliste vektorite liitmine käib samuti komponentide kaupa:\n\n$$(x_1;y_1;z_1)+(x_2;y_2;z_2)=(x_1+x_2;\\ y_1+y_2;\\ z_1+z_2).$$\n\nKolmemõõtmelise vektori pikkus on\n\n$$|\\vec v|=\\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$\n\nNäiteks vektori `$(2;3;1)$` pikkus on\n\n$$\\sqrt{2^2+3^2+1^2}=\\sqrt{14}.$$\n\nJoonisel ja arvutustes loetakse komponente alati samas järjekorras: esmalt `$x$`, siis `$y$`, ruumis lisaks `$z$`.\n\n## Näide\n\nKui `$\\vec a=(2;1)$` ja `$\\vec b=(3;-2)$`, siis\n\n$$\\vec a+\\vec b=(2+3;\\ 1+(-2))=(5;-1).$$\n\nKui punktid on `$A(1;2)$` ja `$B(4;6)$`, siis\n\n$$\\overrightarrow{AB}=(4-1;\\ 6-2)=(3;4).$$\n\nVektori `(3; 4)` pikkus on\n\n$$|(3;4)|=\\sqrt{3^2+4^2}=5.$$\n\nVastus: vektorite summa on `(5;-1)`, punktide vaheline nihe on `(3;4)` ja selle pikkus on 5.\n\n## Tüüpviga\n\nPunkt ja vektor võivad olla sama koordinaatpaariga, aga tähendavad eri asja: punkt on asukoht, vektor on nihe.\n\nTeine sage viga on liita vektori pikkusi, kui on vaja liita vektoreid. Enne pikkuse leidmist liida komponendid:\n\n$$(2;1)+(3;-2)=(5;-1),$$\n\nja alles siis leia summa pikkus, kui seda küsitakse.\n\nKolmas tüüpviga on ajada segi `$\\overrightarrow{AB}$` ja `$\\overrightarrow{BA}$`. Need on vastandvektorid: suund on teine ja komponendid on vastasmärgiga.\n\n## Kui vajad abi\n\nKorda koordinaatteljestikul punkti lugemist ja kahe punkti vahe leidmist. Vaata näitest, kuidas punktidest `$A$` ja `$B$` tekib nihe `$\\overrightarrow{AB}$`. Alusta harjutustest 1 ja 3; pikkuse leidmist tee pärast seda, kui komponentide liitmine on kindel.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Leia `(2; -1)+(5; 3)`.\n2. Leia vektori `(-6; 8)` pikkus.\n3. Mis vektor viib punktist `(1; 2)` punkti `(4; 6)`?\n4. Leia `2(3; -1)`.\n\n### Rakendus\n\n5. Robot liigub ruumis nihetega `(1;2;3)` ja `(4;-2;0)`. Leia kogunihe.\n6. Drooni nihe stardipunktist on `(1;2;2)` meetrit. Kui kaugel on droon?\n7. Leia vektor punktist `$A(2;-5)$` punkti `$B(-3;4)$`.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n8. Kui `$\\overrightarrow{AB}=(2;3)$` ja `$\\overrightarrow{BC}=(4;-1)$`, leia `$\\overrightarrow{AC}$` ning põhjenda liitmist.\n9. Kas vektoritel `(5;12)` ja `(-5;-12)` on sama pikkus ja suund? Põhjenda.\n10. Leia vektorite `(2;-1;4)` ja `(-3;5;1)` summa ning selle summa pikkus.\n11. Kui `$\\overrightarrow{AB}=(4;-3)$`, siis mis on `$\\overrightarrow{BA}$`?\n\n## Vastused\n\n1. Summa on `(7;2)`, ehk nihe 7 ühikut paremale ja 2 ühikut üles.\n2. `10`, sest `$\\sqrt{(-6)^2+8^2}=\\sqrt{100}$`.\n3. `(3;4)`, sest nihe on 3 ühikut paremale ja 4 ühikut üles.\n4. Tulemus on `(6;-2)`, sest mõlemad komponendid korrutatakse arvuga 2.\n5. `(5;0;3)`, sest liitmine käib komponentide kaupa.\n6. `3`, sest `$\\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\\sqrt9$`.\n7. `(-5;9)`, sest lõpp-punktist lahutatakse alguspunkt.\n8. `(6;2)`, sest `$\\overrightarrow{AC}=\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{BC}$`.\n9. Mõlema pikkus on 13, kuid suunad on vastupidised, sest komponendid on vastasmärgiga.\n10. Summa on `(-1;4;5)` ja pikkus on `$\\sqrt{42}$`; enne pikkust liida komponendid.\n11. `(-4;3)`, sest vastassuunaline vektor muudab mõlema komponendi märgi.\n\n## Seosed\n\nVektorid seovad koordinaate, suunda ja pikkust. Järgmine koordinaatgeomeetria peatükk kasutab samu ideid sirgete, kauguste ja keskpunktide leidmisel.\n" }, { "id": "geomeetria-suvendus.skalaarkorrutis-ja-vektorite-nurk", "title": "Skalaarkorrutis ja vektorite nurk", "strand": "70-geomeetria-suvendus", "order": "70.35", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 10, "main": 10, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "geomeetria-suvendus.vektorid" ], "review_modules": [ "trigonomeetria.taisnurkse-kolmnurga-lahendamine" ], "extension_modules": [ "geomeetria-suvendus.koordinaatgeomeetria", "geomeetria-suvendus.joone-ja-ringjoone-vorrandid" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-10" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/70-geomeetria-suvendus/70.35-skalaarkorrutis-ja-vektorite-nurk.md", "source_sha256": "8b05951ed401f4826be4dc6309a1c022b1b456324e252d08054fcb5e08cda720", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/70.35-skalaarkorrutis-ja-vektorite-nurk.html", "content_markdown": "# Skalaarkorrutis ja vektorite nurk\n\n## Mõiste\n\nKahe vektori **skalaarkorrutis** on arv, mis seob nende pikkused ja vahelise nurga. Tasandil\n\n$$\\vec a\\cdot\\vec b=a_1b_1+a_2b_2.$$\n\nEeldus: oskad vektoreid komponentide kaupa liita, leida vektori pikkust ning kasutada koosinust.\n\nGeomeetriliselt\n\n$$\\vec a\\cdot\\vec b=|\\vec a|\\,|\\vec b|\\cos\\alpha,$$\n\nkus `$\\alpha$` on vektorite vaheline nurk vahemikus `$0^\\circ$` kuni `$180^\\circ$`.\n\nSeega mittenullvektorite korral\n\n$$\\cos\\alpha=\\frac{\\vec a\\cdot\\vec b}{|\\vec a|\\,|\\vec b|}.$$\n\n![Skalaarkorrutis ja vektorite nurk](assets/vector-dot-product.svg \"Mittenullvektorite skalaarkorrutise märk näitab, kas nendevaheline nurk on alla 90°, täpselt 90° või üle 90°. Samasuunaliste vektorite nurk on 0°, vastassuunalistel 180°.\")\n\n- Kui `$\\vec a\\cdot\\vec b>0$`, on `$0^\\circ\\le\\alpha<90^\\circ$`.\n- Kui `$\\vec a\\cdot\\vec b=0$`, on mittenullvektorid risti.\n- Kui `$\\vec a\\cdot\\vec b<0$`, on `$90^\\circ<\\alpha\\le180^\\circ$`.\n\nVektorid on kollineaarsed, kui üks on teise arvkordne: `$\\vec b=k\\vec a$`. Samasuunaliste korral `$k>0$`, vastassuunaliste korral `$k<0$`.\n\n## Näide\n\nOlgu\n\n$$\\vec a=(3;4),\\qquad \\vec b=(-4;3).$$\n\nSiis\n\n$$\\vec a\\cdot\\vec b=3\\cdot(-4)+4\\cdot3=0.$$\n\nMõlemad vektorid on mittenullvektorid, seega on nad risti.\n\nOlgu nüüd `$\\vec u=(1;0)$` ja `$\\vec v=(1;1)$`. Siis\n\n$$\\cos\\alpha=\\frac{1}{1\\cdot\\sqrt2}=\\frac{\\sqrt2}{2},$$\n\nseega `$\\alpha=45^\\circ$`.\n\nVastus: `$\\vec a$` ja `$\\vec b$` on risti ning `$\\vec u$` ja `$\\vec v$` moodustavad 45-kraadise nurga.\n\n## Tüüpviga\n\nTüüpviga on arvata, et skalaarkorrutis on vektor. Tulemus on arv ehk skalaar.\n\nTeine tüüpviga on järeldada võrdusest `$\\vec a\\cdot\\vec b=0$` ristseisu, kontrollimata nullvektorit. Nullvektoril pole kindlat suunda ega vektoritevahelist nurka.\n\nKolmas tüüpviga on kasutada nurga valemis ainult skalaarkorrutist ja unustada vektorite pikkused.\n\n::: teacher Õpetaja lisasoovitused\nLase enne arccos-funktsiooni kasutamist otsustada skalaarkorrutise märgi järgi, kas oodatav nurk on terav, täis- või nürinurk.\n:::\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Leia `$(2;3)\\cdot(4;-1)$`.\n2. Kas vektorid `(1;2)` ja `(2;-1)` on risti?\n3. Kas `(2;4)` ja `(-1;-2)` on kollineaarsed?\n\n### Rakendus\n\n4. Leia vektorite `(1;0)` ja `(0;5)` vaheline nurk.\n5. Jõuvektor on `$(6;8)$` njuutonit ja nihkevektor `$(3;4)$` meetrit. Leia nende skalaarkorrutis ehk tehtud töö.\n6. Leia vektorite `(1;1)` ja `(-1;1)` vaheline nurk.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Miks on vastassuunaliste mittenullvektorite skalaarkorrutis negatiivne?\n8. Leia `$k$`, et vektorid `(k;2)` ja `(4;-2)` oleksid risti.\n9. Kas sama pikkusega vektorid peavad olema võrdsed? Põhjenda skalaarkorrutise või suuna abil.\n\n## Vastused\n\n1. `$5$`, sest `$2\\cdot4+3\\cdot(-1)=5$`.\n2. Jah, sest `$1\\cdot2+2\\cdot(-1)=0$` ja kumbki pole nullvektor.\n3. Jah, sest `$(-1;-2)=-\\frac12(2;4)$`; suunad on vastupidised.\n4. `$90^\\circ$`, sest skalaarkorrutis on 0.\n5. `$50\\ \\text{J}$`, sest `$6\\cdot3+8\\cdot4=50$` ja njuutonmeeter on džaul.\n6. `$90^\\circ$`, sest skalaarkorrutis `$-1+1=0$`.\n7. Nende nurk on `$180^\\circ$` ja `$\\cos180^\\circ=-1$`.\n8. `$k=1$`, sest `$4k-4=0$`.\n9. Ei. Sama pikkusega vektorid võivad olla eri suundades; võrdsus nõuab nii sama pikkust kui ka sama suunda.\n\n## Seosed\n\nSkalaarkorrutis annab koordinaatgeomeetriale ristseisu ja nurga kontrolli. Järgmistes peatükkides kasutatakse seda sirgete asendi ning geomeetriliste mudelite kirjeldamisel.\n" }, { "id": "geomeetria-suvendus.koordinaatgeomeetria", "title": "Koordinaatgeomeetria", "strand": "70-geomeetria-suvendus", "order": "70.40", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 9, "main": 10, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "funktsioonid.koordinaatteljestik", "geomeetria-suvendus.vektorid" ], "review_modules": [ "funktsioonid.lineaarfunktsioon", "geomeetria-suvendus.pythagoras-ja-sarnasus" ], "extension_modules": [ "geomeetria-suvendus.joone-ja-ringjoone-vorrandid" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-10" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/70-geomeetria-suvendus/70.40-koordinaatgeomeetria.md", "source_sha256": "31c5016aaa4c80e2e84bb11c800ee22f8ace7dc3e5df72f9cb90c78c3d6765e7", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/70.40-koordinaatgeomeetria.html", "content_markdown": "# Koordinaatgeomeetria\n\n## Mõiste\n\nKoordinaatgeomeetria kasutab geomeetriliste objektide kirjeldamiseks arve ja võrrandeid.\n\nEeldus: oskad lugeda koordinaate, arvutada vektori pikkust ja leida lineaarfunktsiooni tõusu.\n\nPunkti asukohta kirjeldavad koordinaadid, lõigu pikkust saab arvutada Pythagorase teoreemi abil ning sirget saab kirjeldada võrrandiga.\n\nSamad arvud võivad olla eri rollis: punkt `(3;2)` ütleb asukoha, vektor `(3;2)` või nihe `(3;2)` ütleb, kui palju liikuda `$x$`- ja `$y$`-suunas.\n\nSirge võrrand ei ole sirge ise; see on tingimus, mida täidavad täpselt selle sirge punktide koordinaadid.\n\n![Sirge tõus ja algordinaat](assets/coordinate-line.svg \"Sirge võrrand `y=2x+1`: algordinaat on 1 ja tõus on 2.\")\n\n## Kaugus ja keskpunkt\n\nKahe punkti `$A(x_1;y_1)$` ja `$B(x_2;y_2)$` vaheline kaugus:\n\n$$d=\\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$$\n\nLõigu keskpunkt:\n\n$$M\\left(\\frac{x_1+x_2}{2};\\frac{y_1+y_2}{2}\\right).$$\n\nKeskpunkti mõlemas koordinaadis võetakse otspunktide vastavate koordinaatide keskmine.\n\nKauguse valem tuleb sellest, et punktide vaheline nihe on\n\n$$(x_2-x_1;\\ y_2-y_1),$$\n\nja selle komponendid moodustavad täisnurkse kolmnurga kaatetid.\n\nEnne valemi kasutamist ütle, milline on horisontaalne vahe ja milline vertikaalne vahe; siis on näha, kust kaatetid tulevad.\n\nKaugus ise on alati mittenegatiivne; suund kaob ruutu tõstes ära.\n\n## Sirge võrrand\n\nKõige sagedamini kirjutatakse sirge võrrand kujul\n\n$$y=kx+b.$$\n\nSiin `$k$` on tõus ja `$b$` on algordinaat. Sirge lõikab `$y$`-telge punktis `(0;b)`.\n\nKui sirgel on kaks punkti `$A(x_1;y_1)$` ja `$B(x_2;y_2)$`, siis tõus on\n\n$$k=\\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\\qquad x_1\\ne x_2.$$\n\nPärast tõusu leidmist saab `$b$` leida, asendades sirge võrrandisse ühe teadaoleva punkti.\n\nKui `$x_1=x_2$`, on sirge vertikaalne. Seda ei saa kirjutada kujul `$y=kx+b$`; selle võrrand on\n\n$$x=x_1.$$\n\nKui `$y_1=y_2$`, on sirge horisontaalne ja selle võrrand on `$y=y_1$`.\n\n## Näide\n\nPunktide `(1; 2)` ja `(4; 6)` kaugus:\n\n$$d=\\sqrt{3^2+4^2}=5.$$\n\nNende keskpunkt on\n\n$$M\\left(\\frac{1+4}{2};\\frac{2+6}{2}\\right)=(2{,}5;4).$$\n\nLeiame sirge võrrandi, mis läbib punkte `(1;3)` ja `(3;7)`.\n\nTõus on\n\n$$k=\\frac{7-3}{3-1}=2.$$\n\nSeega on sirge kujul `$y=2x+b$`. Asendame punkti `(1;3)`:\n\n$$3=2\\cdot 1+b,$$\n\n$$b=1.$$\n\nSirge võrrand on\n\n$$y=2x+1.$$\n\nVastus: kaugus on 5, keskpunkt `(2,5;4)` ja sirge võrrand `$y=2x+1$`.\n\n## Tüüpviga\n\nKauguse valemis ruudud kaotavad märgi. Seepärast ei ole vahet, kumb punkt enne lahutada.\n\nSirge tõusu valemis peab järjekord olema mõlemas vahes sama:\n\n$$\\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},$$\n\nmitte näiteks `$\\frac{y_2-y_1}{x_1-x_2}$`.\n\nVeel üks tüüpviga on proovida vertikaalset sirget kirjutada kujul `$y=kx+b$`. Kui kõik sirge punktid on näiteks `$x=4$`, siis sirge võrrand on `$x=4$`.\n\nNeljas tüüpviga on ajada segi horisontaalne ja vertikaalne sirge: `$y=3$` on horisontaalne, `$x=3$` on vertikaalne.\n\n### Teine seletusviis\n\nKahe punkti kaugus on peidetud täisnurkne kolmnurk: horisontaalne vahe on üks kaatet ja vertikaalne vahe teine.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Leia punktide `(0; 0)` ja `(5; 12)` kaugus.\n2. Leia lõigu otspunktidega `(-2; 4)` ja `(6; 8)` keskpunkt.\n3. Kuidas on kauguse valem seotud Pythagorase teoreemiga?\n\n### Rakendus\n\n4. Matkaraja profiil läbib punktid `(2;1)` ja `(5;7)`. Leia tõus ja selgita selle märki.\n5. Tee läbib punktid `(0;-3)` ja `(4;5)`. Leia tee sirgvõrrand ning kontrolli teise punktiga.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n6. Mis on vertikaalse sirge võrrand, kui ta läbib punkti `(6;-2)`?\n7. Leia punktide `(-1;-1)` ja `(2;3)` kaugus ning keskpunkt.\n8. Kas vertikaalset sirget `$x=6$` saab kirjutada kujul `$y=kx+b$`? Põhjenda.\n\n## Vastused\n\n1. `13`, sest vahed on 5 ja 12 ning `$\\sqrt{5^2+12^2}=13$`.\n2. `(2;6)`, sest keskpunktis võetakse mõlema koordinaadi keskmine.\n3. Punktide koordinaatide vahed on täisnurkse kolmnurga kaatetid; kaugus on hüpotenuus.\n4. `$k=\\frac{7-1}{5-2}=2$`; positiivne tõus tähendab, et `$x$` kasvades kasvab ka `$y$`.\n5. `$y=2x-3$`, sest tõus on 2 ja punkt `(0;-3)` annab algordinaadi; punkt `(4;5)` sobib kontrolliks.\n6. `$x=6$`, sest vertikaalsel sirgel on kõigil punktidel sama `$x$`.\n7. Kaugus on `5`, keskpunkt on `$(0{,}5;1)$`; vahed on 3 ja 4, seega kasutatakse Pythagorast.\n8. Ei. Vertikaalsel sirgel ei ole lõplikku tõusu ja ühele `$x$`-ile vastab mitu `$y$` väärtust; võrrand jääb `$x=6$`.\n\n## Seosed\n\nKoordinaatgeomeetria ühendab vektorid, lineaarfunktsiooni ja Pythagorase teoreemi. Järgmine ruumigeomeetria peatükk laiendab sama koordinaatide ja pikkuste mõtte kolmemõõtmeliseks.\n" }, { "id": "geomeetria-suvendus.joone-ja-ringjoone-vorrandid", "title": "Joone ja ringjoone võrrandid", "strand": "70-geomeetria-suvendus", "order": "70.45", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 10, "main": 10, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "geomeetria-suvendus.koordinaatgeomeetria", "geomeetria-suvendus.skalaarkorrutis-ja-vektorite-nurk" ], "review_modules": [ "funktsioonid.lineaarfunktsioon", "funktsioonid.ruutfunktsiooni-graafik-ja-mudel" ], "extension_modules": [ "opiteekond.klass-10-geomeetria-trigonomeetria-sild" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-10" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/70-geomeetria-suvendus/70.45-joone-ja-ringjoone-vorrandid.md", "source_sha256": "7cb0f5370ee12a7ba8763d7a1dec4e525ab01eb972a126f277e2738ff67fafcd", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/70.45-joone-ja-ringjoone-vorrandid.html", "content_markdown": "# Joone ja ringjoone võrrandid\n\n## Mõiste\n\nJoone võrrand on tingimus, mida täidavad täpselt selle joone punktide koordinaadid. Sirget saab kirjeldada mitmel samaväärsel kujul.\n\nEeldus: oskad leida kahe punkti vahelist vektorit, sirge tõusu ja lõigu keskpunkti ning tunned vektorite ristseisu.\n\nSirge levinud kujud:\n\n$$y=kx+b,$$\n\n$$y-y_0=k(x-x_0),$$\n\n$$Ax+By+C=0,\\qquad A^2+B^2>0.$$\n\nTingimus tähendab, et `$A$` ja `$B$` ei tohi mõlemad olla nullid.\n\nKui sirge läbib punkti `$P(x_0;y_0)$` ja tema sihivektor on `$(p;q)$`, siis sobib võrrand\n\n$$q(x-x_0)-p(y-y_0)=0.$$\n\nParalleelsetel mittevertikaalsetel sirgetel on sama tõus. Ristuvate sirgete korral on `$k_1k_2=-1$`, kui mõlemad tõusud on olemas.\n\nRingjoon keskpunktiga `$K(a;b)$` ja raadiusega `$r$`:\n\n$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.$$\n\n![Sirge ja ringjoone võrrand](assets/line-circle-equations.svg \"Sirge ja ringjoone lõikepunktide koordinaadid rahuldavad korraga mõlema joone võrrandit.\")\n\nJoonte lõikepunkti leidmiseks lahendatakse nende võrranditest moodustatud süsteem.\n\n## Näide\n\nSirge läbib punkte `$A(1;2)$` ja `$B(3;6)$`. Tõus on\n\n$$k=\\frac{6-2}{3-1}=2.$$\n\nPunkti-tõusu kuju annab\n\n$$y-2=2(x-1),$$\n\nseega `$y=2x$` ehk üldkujul `$2x-y=0$`.\n\nRingjoone keskpunkt on `$K(1;-2)$` ja raadius 3. Selle võrrand on\n\n$$(x-1)^2+(y+2)^2=9.$$\n\nRingjoone `$x^2+y^2=25$` ja sirge `$y=0$` lõikepunktid leiame asendades:\n\n$$x^2=25,$$\n\nseega lõikepunktid on `$(-5;0)$` ja `$(5;0)$`.\n\n## Tüüpviga\n\nTüüpviga on arvata, et `$y=kx+b$` kirjeldab kõiki sirgeid. Vertikaalse sirge võrrand on `$x=c$`.\n\nTeine tüüpviga on ringjoone keskpunkti märk valesti lugeda. Avaldises `$(x-4)^2+(y+1)^2=9$` on keskpunkt `(4;-1)`.\n\nKolmas tüüpviga on leida kahe joone lõikepunkt ainult ühe võrrandi järgi. Lõikepunkt peab rahuldama mõlemat võrrandit.\n\n::: student-hint Kui vajad abi\nSirge puhul märgi esmalt teadaolev punkt ja suund. Ringjoone puhul loe valemist keskpunkt ning raadiuse ruut. Lõikepunktis kehtivad mõlemad tingimused korraga.\n:::\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Kirjuta punkti `(2;3)` läbiva tõusuga 4 sirge võrrand punkti-tõusu kujul.\n2. Kirjuta ringjoone võrrand, kui keskpunkt on `(0;0)` ja raadius 5.\n3. Leia ringjoone `$(x-2)^2+(y+3)^2=16$` keskpunkt ja raadius.\n\n### Rakendus\n\n4. Leia punkte `(0;1)` ja `(2;5)` läbiva sirge võrrand.\n5. Kas sirged `$y=2x+1$` ja `$y=2x-3$` lõikuvad?\n6. Leia sirge `$y=x$` ja ringjoone `$x^2+y^2=8$` lõikepunktid.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Kirjuta punkti `(1;2)` läbiva sihivektoriga `(3;1)` sirge võrrand.\n8. Leia sirge, mis läbib punkti `(2;-1)` ja on sirgega `$y=\\frac12x+4$` risti.\n9. Selgita, miks sirgel ja ringjoonel võib olla 0, 1 või 2 lõikepunkti.\n\n## Vastused\n\n1. `$y-3=4(x-2)$`.\n2. `$x^2+y^2=25$`.\n3. Keskpunkt on `(2;-3)` ja raadius 4.\n4. `$y=2x+1$`; tõus on 2 ja algordinaat 1.\n5. Ei. Sirgetel on sama tõus ja erinev algordinaat, seega on nad paralleelsed.\n6. `(2;2)` ja `(-2;-2)`, sest asendamisel saadakse `$2x^2=8$`.\n7. `$x-3y+5=0$`, sest `$1(x-1)-3(y-2)=0$`.\n8. `$y+1=-2(x-2)$` ehk `$y=-2x+3$`; tõusude korrutis on `-1`.\n9. Sirge võib jääda ringjoonest väljapoole, puutuda seda ühes punktis või läbida seda kahes punktis.\n\n## Seosed\n\nJoonevõrrandid ühendavad vektorid, funktsioonid ja võrrandisüsteemid. X klassi lõpus saab sama joonist kirjeldada koordinaatide, vektori, sirge võrrandi ja trigonomeetria kaudu.\n" }, { "id": "geomeetria-suvendus.ruumigeomeetria", "title": "Ruumigeomeetria", "strand": "70-geomeetria-suvendus", "order": "70.50", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 7, "main": 9, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "mootmine.pindala-ja-ruumala", "geomeetria-suvendus.pythagoras-ja-sarnasus" ], "review_modules": [ "mootmine.uhikud-ja-mootmine", "geomeetria-alused.kolmnurgad-ja-nelinurgad" ], "extension_modules": [ "geomeetria-suvendus.puramiid-ja-poordkehade-arvutused" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-9", "klass-12" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/70-geomeetria-suvendus/70.50-ruumigeomeetria.md", "source_sha256": "617130364ded98972c3102ea5896d201a16db9493a8e4b64e280b8220ed785fb", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/70.50-ruumigeomeetria.html", "content_markdown": "# Ruumigeomeetria\n\n## Mõiste\n\nRuumigeomeetrias töötame kolmemõõtmeliste kehadega: prismad, püramiidid, silindrid, koonused ja kerad. Neid saab käes hoida, ehitada või joonisel kujutada.\n\nEeldus: oskad arvutada pindala ja ruumala, kasutada Pythagorase teoreemi ning eristada keha põhja, kõrgust ja külgpinda.\n\nKolmemõõtmelise keha puhul küsitakse sageli kahte asja:\n\n- pindala: kui suur on keha välispind;\n- ruumala: kui palju ruumi keha hõivab või mahutab.\n\nKeha pindala tähendab kogu välispinda kokku, mitte ainult põhja pindala.\n\n## Tahukad\n\nTahukas on keha, mille tahud on hulknurgad. Näiteks kuup, risttahukas, prisma ja püramiid on tahukad.\n\n![Tahukate näited](assets/solid-polyhedra.svg \"Risttahukas, kolmnurkne prisma ja püramiid tahukate näidetena.\")\n\nPrisma ruumala:\n\n$$V=S_p h,$$\n\nkus `$S_p$` on põhja pindala ja `$h$` on kõrgus.\n\nPüramiidi ruumala:\n\n$$V=\\frac13 S_p h.$$\n\nKuubi erijuht, kui serv on `$a$`:\n\n$$V=a^3,\\qquad S=6a^2.$$\n\nRisttahuka ruumala, kui servad on `$a,b,c$`:\n\n$$V=abc.$$\n\n## Pöördkehad\n\nPöördkeha tekib siis, kui tasandiline kujund pöörleb ümber sirge. Ristküliku pöörlemisel ümber ühe külje tekib silinder. Täisnurkse kolmnurga pöörlemisel ümber ühe kaateti tekib koonus.\n\n![Pöördkehade näited](assets/solid-round-bodies.svg \"Silinder, koonus ja kera on pöördkehad, mille ruumala sõltub raadiusest ja kõrgusest.\")\n\nOlulisemad valemid:\n\n| keha | ruumala | pindala |\n|---|---|---|\n| silinder | `$V=\\pi r^2h$` | `$S=2\\pi r^2+2\\pi rh$` |\n| koonus | `$V=\\frac13\\pi r^2h$` | `$S=\\pi r^2+\\pi rs$` |\n| kera | `$V=\\frac43\\pi r^3$` | `$S=4\\pi r^2$` |\n\nKoonuse valemis on `$s$` moodustaja ehk külgjoone pikkus.\n\n## Lõiked\n\nLõige on kujund, mis tekib, kui keha mõttes tasandiga läbi lõigata. Lõike kuju sõltub lõiketasandi asendist.\n\nNäiteks:\n\n- silindri horisontaalne lõige on ring;\n- silindri telglõige on ristkülik;\n- koonuse telglõige on võrdhaarne kolmnurk;\n- kera iga tasandlõige on ring, kui tasand kera üldse lõikab.\n\nLõigete ülesannetes aitab kõigepealt joonistada nähtavale tasandiline kujund: sageli muutub ruumiülesanne kolmnurga või ristküliku ülesandeks.\n\nMärgi abijoonisel eraldi pikkused, kõrgused ja otsitav lõik.\n\n## Näide\n\nSilindri raadius on 3 cm ja kõrgus 5 cm:\n\n$$V=\\pi\\cdot3^2\\cdot5=45\\pi.$$\n\nKui kuubi serv on 4 cm, siis\n\n$$V=4^3=64\\text{ cm}^3,$$\n\nja pindala on\n\n$$S=6\\cdot4^2=96\\text{ cm}^2.$$\n\nKui püramiidi põhja pindala on 30 cm² ja kõrgus 9 cm, siis\n\n$$V=\\frac13\\cdot30\\cdot9=90\\text{ cm}^3.$$\n\nVastus: silindri ruumala on `$45\\pi$`, kuubi ruumala `64 cm³`, kuubi pindala `96 cm²` ja püramiidi ruumala `90 cm³`.\n\n## Tüüpviga\n\nRuumala ja pindala valemid mõõdavad eri asju. Pindala ühik on ruutühik, ruumala ühik kuupühik.\n\nTeine tüüpviga on kasutada püramiidi või koonuse puhul prisma või silindri valemit. Püramiidi ja koonuse ruumala on sama põhja ja kõrgusega prisma või silindri ruumalast kolm korda väiksem:\n\n$$V=\\frac13 S_p h.$$\n\nKolmas tüüpviga on segada koonuse kõrgus ja moodustaja. Kõrgus on risti põhjaga, moodustaja kulgeb mööda külgpinda.\n\nNeljas tüüpviga on lõikeülesandes jätta tasandiline abijoonis tegemata. Sageli peitub ruumiülesandes tavaline täisnurkne kolmnurk.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Leia kuubi ruumala, kui serv on 4 cm.\n2. Leia silindri ruumala, kui `$r=2$` ja `$h=10$`.\n3. Miks kera ruumala valemis on `$r^3$`?\n\n### Rakendus\n\n4. Leia risttahuka ruumala, kui mõõtmed on 2 cm, 5 cm ja 7 cm.\n5. Leia püramiidi ruumala, kui põhja pindala on 18 cm² ja kõrgus 12 cm.\n6. Leia koonuse ruumala, kui `$r=3$` ja `$h=8$`.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Mis kujuga on silindri telglõige?\n8. Mis kujuga on kera tasandlõige?\n9. Koonusel on raadius 3 cm ja kõrgus 4 cm. Leia moodustaja.\n10. Miks tuleb koonuse külgpindala valemis kasutada moodustajat, mitte kõrgust?\n\n## Vastused\n\n1. `64 cm³`, sest kuubi ruumala on `$4^3$`.\n2. `$V=\\pi\\cdot2^2\\cdot10=40\\pi$`; kui mõõdud on sentimeetrites, siis ühik on `$\\text{cm}^3$`.\n3. Ruumala mõõdab kolmemõõtmelist suurust; raadius mõjutab pikkust, laiust ja kõrgust, seega ühik on kuupühik.\n4. `70 cm³`, sest risttahuka ruumala on `$2\\cdot5\\cdot7$`.\n5. `72 cm³`, sest püramiidi ruumala on kolmandik `$S_p h$`-st.\n6. `$24\\pi\\text{ cm}^3$`, sest koonuse ruumala on `$\\frac13\\pi r^2h$`.\n7. Ristkülik; telglõige läbib silindri telge.\n8. Ring, kui tasand kera lõikab.\n9. `$\\sqrt{3^2+4^2}=5$` cm.\n10. Külgpind kulgeb mööda koonuse külge; kõrgus on keha sees põhjaga risti ja ei mõõda külgpinna kallakut.\n\n## Seosed\n\nRuumigeomeetria kasutab pindala, ruumala, Pythagorase teoreemi ja lõikejooniseid. Järgmine ruumigeomeetria peatükk eristab kõrgust, apoteemi ja moodustajat ning ühendab need püramiidi ja pöördkehade arvutustes.\n" }, { "id": "geomeetria-suvendus.puramiid-ja-poordkehade-arvutused", "title": "Püramiid ja pöördkehade arvutused", "strand": "70-geomeetria-suvendus", "order": "70.55", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 9, "main": 9, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "skill", "application" ], "prerequisites": [ "geomeetria-suvendus.ruumigeomeetria", "geomeetria-suvendus.pythagoras-ja-sarnasus" ], "review_modules": [ "mootmine.pindala-ja-ruumala", "trigonomeetria.taisnurkse-kolmnurga-lahendamine" ], "extension_modules": [ "opiteekond.klass-10-geomeetria-trigonomeetria-sild" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-9", "klass-10", "klass-12" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/70-geomeetria-suvendus/70.55-puramiid-ja-poordkehade-arvutused.md", "source_sha256": "cc28ceed2b6538762ec87539d6a64c7d2e0ecfef4290c8f74c39e6eef5ba1650", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/70.55-puramiid-ja-poordkehade-arvutused.html", "content_markdown": "# Püramiid ja pöördkehade arvutused\n\n## Mõiste\n\nRuumilise keha arvutamisel tuleb enne valemit eristada põhi, külgpind, kõrgus ja kaldpikkus. Täispindala on põhjade ning külgpinna summa; ruumala kasutab põhjaga risti olevat kõrgust.\n\nEeldus: tunned püramiidi, silindrit, koonust ja kera ning oskad kasutada Pythagorase teoreemi.\n\nKorrapärase püramiidi apoteem on külgtahu kõrgus. See ei ole keha kõrgus. Koonusel täidab sama rolli moodustaja `$s$`.\n\n![Püramiidi kõrgus ja apoteem](assets/pyramid-measures.svg \"Püramiidi kõrgus `$h$` on põhjaga risti ning külgtahu apoteem `$m$` on kaldpikkus.\")\n\n| Keha | Täispindala | Ruumala |\n| --- | --- | --- |\n| püramiid | `$S=S_p+S_k$` | `$V=\\frac13S_ph$` |\n| silinder | `$S=2\\pi r^2+2\\pi rh$` | `$V=\\pi r^2h$` |\n| koonus | `$S=\\pi r^2+\\pi rs$` | `$V=\\frac13\\pi r^2h$` |\n| kera | `$S=4\\pi r^2$` | `$V=\\frac43\\pi r^3$` |\n\nSfäär on kera pind; kera sisaldab ka sisemust. Silindri telglõige on ristkülik, koonuse telglõige võrdhaarne kolmnurk ja kera suurringi raadius võrdub kera raadiusega.\n\n![Pöördkehade põhimõõdud](assets/solid-round-bodies.svg \"Silindril eristatakse raadiust ja kõrgust, koonusel lisaks moodustajat ning keral raadiust.\")\n\n## Näide\n\nKorrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 6 cm ja kõrgus 4 cm. Külgtahu apoteem tekib täisnurkses kolmnurgas, mille teine kaatet on pool põhiserva:\n\n$$m=\\sqrt{4^2+3^2}=5\\text{ cm}.$$\n\nPõhja pindala on `$36\\text{ cm}^2$`. Nelja külgtahu pindala kokku on\n\n$$S_k=4\\cdot\\frac{6\\cdot5}{2}=60\\text{ cm}^2.$$\n\nSeega täispindala on `96 cm²` ja ruumala\n\n$$V=\\frac13\\cdot36\\cdot4=48\\text{ cm}^3.$$\n\n## Tüüpviga\n\nTüüpviga on kasutada püramiidi külgtahu pindalas keha kõrgust. Külgtahu kolmnurga kõrgus on apoteem. Teine tüüpviga on panna koonuse ruumala valemisse moodustaja `$s$`; ruumala kasutab põhjaga risti olevat kõrgust `$h$`.\n\nKolmas tüüpviga on jätta täispindalast põhi või teine põhi välja. Silindril on kaks ringikujulist põhja, koonusel üks. Neljas tüüpviga on vastata pindalale kuupühikuga või ruumalale ruutühikuga.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Mitu põhja on silindril ja mitu koonusel?\n2. Leia kera pindala, kui `$r=3$` cm.\n3. Leia silindri ruumala, kui `$r=2$` cm ja `$h=5$` cm.\n\n### Rakendus\n\n4. Leia koonuse ruumala, kui `$r=3$` cm ja `$h=4$` cm.\n5. Koonuse raadius on 5 cm ja kõrgus 12 cm. Leia moodustaja.\n6. Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 8 cm ja kõrgus 3 cm. Leia apoteem.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Leia eelmise püramiidi täispindala ja ruumala.\n8. Silindri raadius kahekordistub, kõrgus ei muutu. Mitu korda muutub ruumala?\n9. Kumb mahutab rohkem: silinder või sama põhja ja kõrgusega koonus? Mitu korda?\n\n## Vastused\n\n1. Silindril kaks, koonusel üks põhi.\n2. `$4\\pi\\cdot3^2=36\\pi\\text{ cm}^2$`.\n3. `$20\\pi\\text{ cm}^3$`.\n4. `$\\frac13\\pi\\cdot3^2\\cdot4=12\\pi\\text{ cm}^3$`.\n5. `$s=\\sqrt{5^2+12^2}=13$` cm.\n6. `$m=\\sqrt{3^2+4^2}=5$` cm.\n7. `$S=8^2+4\\cdot\\frac{8\\cdot5}{2}=144\\text{ cm}^2$`; `$V=\\frac13\\cdot64\\cdot3=64\\text{ cm}^3$`.\n8. Neli korda, sest ruumala sisaldab tegurit `$r^2$`.\n9. Silinder mahutab kolm korda rohkem; koonuse ruumala on sama `$S_p$` ja `$h$` korral kolmandik.\n\n## Seosed\n\nRuumiliste kehade arvutused ühendavad tasandiliste kujundite pindala, Pythagorase teoreemi, trigonomeetria ja ühikud. Keerukas ruumiülesanne muutub enamasti lihtsamaks, kui joonistad telglõike või ühe külgtahu eraldi.\n" }, { "id": "trigonomeetria.trigonomeetria", "title": "Trigonomeetria", "strand": "80-trigonomeetria", "order": "80.10", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 9, "main": 9, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "geomeetria-suvendus.pythagoras-ja-sarnasus" ], "review_modules": [ "geomeetria-alused.kolmnurgad-ja-nelinurgad", "funktsioonid.vordeline-seos" ], "extension_modules": [ "trigonomeetria.taisnurkse-kolmnurga-lahendamine" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-9" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/80-trigonomeetria/80.10-trigonomeetria.md", "source_sha256": "e03acafd952c5b9214e34dd3876192237634451ad345315af86c9996e95fa7a2", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/80.10-trigonomeetria.html", "content_markdown": "# Trigonomeetria\n\n## Mõiste\n\nTäisnurkses kolmnurgas seovad siinus, koosinus ja tangens nurka külgedega.\n\nEeldus: oskad kasutada Pythagorase teoreemi, tunned täisnurkse kolmnurga külgi ja oskad lahendada lihtsat võrret.\n\nVaatleme nurka `$\\alpha$`. Selle nurga suhtes:\n\n- hüpotenuus on täisnurga vastas olev pikim külg;\n- lähiskaatet on nurga `$\\alpha$` kõrval olev kaatet;\n- vastaskaatet on nurga `$\\alpha$` vastas olev kaatet.\n\nMärgi vaadeldav nurk enne külgede nimetamist.\n\n![Täisnurkse kolmnurga küljed nurga suhtes](assets/trig-right-triangle.svg \"Täisnurkses kolmnurgas sõltuvad vastaskaatet ja lähiskaatet sellest, millist teravnurka vaadeldakse.\")\n\nJoonisel on nurga `$\\alpha$` vastaskaatet `$a$`, lähiskaatet `$b$` ja hüpotenuus `$c$`. Vaatleme teravnurka `$0^\\circ<\\alpha<90^\\circ$`; kõik küljepikkused on positiivsed.\n\n$$\\sin\\alpha=\\frac ac,\\qquad \\cos\\alpha=\\frac bc,\\qquad \\tan\\alpha=\\frac ab.$$\n\nKuna kumbki kaatet on hüpotenuusist lühem, siis `$0<\\sin\\alpha<1$` ja `$0<\\cos\\alpha<1$`. Tangens on positiivne, kuid võib olla ka suurem kui 1.\n\n### Miks sõltub külgede suhe ainult nurgast?\n\nKahel täisnurksel kolmnurgal, mille teravnurk `$\\alpha$` on sama, on kaks võrdset nurka: täisnurk ja `$\\alpha$`. Seetõttu on kolmnurgad sarnased. Kui ühe kolmnurga küljed on `$a,b,c$`, siis teise omad on `$ka,kb,kc$`, kus `$k>0$`.\n\nSuhted ei muutu: `$\\frac{ka}{kc}=\\frac ac$`, `$\\frac{kb}{kc}=\\frac bc$` ja `$\\frac{ka}{kb}=\\frac ab$`. Seepärast saab neid suhteid kasutada nurga, mitte kolmnurga suuruse kirjeldamiseks.\n\n### Sobiva seose valimine\n\n| Tean | Kasutan | Leian |\n| --- | --- | --- |\n| `$\\alpha$` ja `$c$` | `$a=c\\sin\\alpha$` | vastaskaateti `$a$` |\n| `$\\alpha$` ja `$c$` | `$b=c\\cos\\alpha$` | lähiskaateti `$b$` |\n| `$\\alpha$` ja `$b$` | `$a=b\\tan\\alpha$` | vastaskaateti `$a$` |\n| `$\\alpha$` ja `$a$` | `$b=\\frac a{\\tan\\alpha}$` | lähiskaateti `$b$` |\n| `$\\alpha$` ja `$a$` | `$c=\\frac a{\\sin\\alpha}$` | hüpotenuusi `$c$` |\n| `$\\alpha$` ja `$b$` | `$c=\\frac b{\\cos\\alpha}$` | hüpotenuusi `$c$` |\n| `$a$` ja `$c$` | `$\\alpha=\\arcsin\\frac ac$` | nurga `$\\alpha$` |\n| `$b$` ja `$c$` | `$\\alpha=\\arccos\\frac bc$` | nurga `$\\alpha$` |\n| `$a$` ja `$b$` | `$\\alpha=\\arctan\\frac ab$` | nurga `$\\alpha$` |\n\nKui kaks külge on teada ja nurka ei küsita, kasuta Pythagorase teoreemi:\n\n$$a^2+b^2=c^2.$$\n\n## Näide\n\n### Vastaskaateti leidmine\n\nTäisnurkse kolmnurga hüpotenuus on `$c=10$` cm ja `$\\sin\\alpha=\\frac35$`. Leia vastaskaatet `$a$`.\n\n$$\\frac35=\\frac a{10}$$\n\n$$a=10\\cdot\\frac35=6.$$\n\nVastaskaatet on `$6$` cm.\n\n### Hüpotenuusi leidmine\n\nTäisnurkse kolmnurga vastaskaatet on `$a=8$` cm ja `$\\sin\\alpha=0,8$`. Leia hüpotenuus `$c$`.\n\n$$0,8=\\frac8c$$\n\n$$c=\\frac8{0,8}=10.$$\n\nHüpotenuus on `$10$` cm.\n\n### Nurga leidmine\n\nTäisnurkse kolmnurga vastaskaatet on `$a=6$` cm ja hüpotenuus `$c=10$` cm. Leia nurk `$\\alpha$`.\n\n$$\\sin\\alpha=\\frac6{10}=0,6$$\n\n$$\\alpha=\\arcsin 0,6\\approx36,9^\\circ.$$\n\n## Tüüpviga\n\nEnne valemit otsusta, milline külg on vaadeldava nurga suhtes vastas- ja milline lähiskaatet.\n\nTangensi asemele ei sobi suhe `$a/c$`: see on siinus. Tangens võrdleb kahte kaatetit:\n\n$$\\tan\\alpha=\\frac ab.$$\n\nKalkulaatoris kontrolli, kas kasutad kraade või radiaane. Selles peatükis on nurgad kraadides; radiaanides nurk märgitakse eraldi.\n\nValemi peast teadmine ei ole viga. Kontrolli siiski, kas valemis kasutatud küljed vastavad valitud nurgale. Kalkulaatori pöördfunktsioon `$\\arcsin$` leiab nurga; see ei tähenda siinuse pöördarvu `$1/\\sin\\alpha$`.\n\n::: teacher Lähenemise valik\nMiinimum: nimetab küljed. Tavarada: valib suhte. Lisaväljakutse: põhjendab lahendust. Vea korral kontrolli nurga vastas- ja lähiskaatetit.\n:::\n\n## Kui vajad abi\n\nAlusta harjutustest 1 ja 2. Märgi joonisele nurga vastas- ja lähiskaatet ning hüpotenuus. Vajaduse korral korda Pythagorase teoreemi ja võrde lahendamist.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Milline külg on täisnurkses kolmnurgas alati hüpotenuus?\n2. Kui `$\\cos\\alpha=\\frac45$` ja hüpotenuus on `$15$`, siis kui pikk on lähiskaatet?\n\n### Rakendus\n\n3. 5-meetrine redel toetub püstisele seinale ja ulatub 4 meetri kõrgusele. Maapind on horisontaalne. Leia redeli nurk maapinnaga.\n4. Kaldtee tõuseb 1,2 meetrit 6-meetrise horisontaalse vahemaa jooksul. Leia kaldtee kaldenurk.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n5. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 9 ja 12. Leia hüpotenuus ja väiksem teravnurk.\n6. Kahel sarnasel täisnurksel kolmnurgal on `$\\sin\\alpha=\\frac12$`. Hüpotenuus kasvab 10-lt 20-le. Kuidas muutub vastaskaatet? Põhjenda.\n7. Täisnurkses kolmnurgas on teada lähiskaatet `$b=7$` ja `$\\tan\\alpha=2$`. Millise külje saad kohe leida ja kui pikk see on?\n\n## Vastused\n\n1. Täisnurga vastas olev pikim külg ehk hüpotenuus.\n2. `$12$`, sest `$\\cos\\alpha=\\frac{\\text{lähiskaatet}}{\\text{hüpotenuus}}$` ja `$\\frac45\\cdot15=12$`.\n3. `$\\sin\\alpha=\\frac45$`, seega `$\\alpha=\\arcsin\\frac45\\approx53{,}1^\\circ$`.\n4. `$\\tan\\alpha=\\frac{1{,}2}{6}=0{,}2$`, seega `$\\alpha\\approx11{,}3^\\circ$`.\n5. `$c=15$`; väiksem nurk on lühema kaateti vastas: `$\\arcsin\\frac9{15}\\approx36{,}9^\\circ$`.\n6. Vastaskaatet kasvab 5-lt 10-le, sest suhe vastaskaatet/hüpotenuus jääb võrdseks arvuga `$\\frac12$`.\n7. Vastaskaateti: `$a=b\\tan\\alpha=7\\cdot2=14$`, sest tangens võrdleb kahte kaatetit.\n\n::: student-hint Enesediagnoos\nKui 1-2 läks valesti, korda külgede nimetusi ja vaata joonist. Kui 3-4 läks valesti, kirjuta enne valemit, mida tead ja mida otsid. Kui 5-7 läks valesti, korda Pythagorase teoreemi ning lihtsa võrde lahendamist.\n:::\n\n## Seosed\n\nJärgmises peatükis lahendad täisnurkseid kolmnurki, ühendades Pythagorase teoreemi trigonomeetriliste seostega.\n" }, { "id": "trigonomeetria.taisnurkse-kolmnurga-lahendamine", "title": "Täisnurkse kolmnurga lahendamine", "strand": "80-trigonomeetria", "order": "80.15", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 9, "main": 9, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "skill", "application" ], "prerequisites": [ "trigonomeetria.trigonomeetria" ], "review_modules": [ "geomeetria-suvendus.pythagoras-ja-sarnasus" ], "extension_modules": [ "trigonomeetria.siinusteoreem-ja-koosinusteoreem" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-9", "klass-10" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/80-trigonomeetria/80.15-taisnurkse-kolmnurga-lahendamine.md", "source_sha256": "92843688ee49eb277962d96f7a98ddb46fec196766654aab9fcc7e3345ab9d75", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/80.15-taisnurkse-kolmnurga-lahendamine.html", "content_markdown": "# Täisnurkse kolmnurga lahendamine\n\n## Mõiste\n\nKolmnurga lahendamine tähendab kõigi puuduvate külgede ja nurkade leidmist. Pindala ja ümbermõõt on lisasuurused: need leia siis, kui ülesanne neid küsib.\n\nTäisnurkne kolmnurk on määratud, kui lisaks täisnurgale on teada:\n\n- kaks positiivse pikkusega kaatetit;\n- hüpotenuus `$c$` ja kaatet `$a$`, kus `$00$ on vastavalt nurkade $A,B,C$ vastas; $0^\\circ1$, lahend puudub. Muidu kontrolli $B=\\arcsin s$ ning $180^\\circ-B$: sobib ainult $A+B<180^\\circ$. Kui $B=90^\\circ$, loe see üks kord.\n\nÜldise teoreemi kasutamine täisnurkses kolmnurgas ei ole viga; Pythagorase teoreem võib anda lühema lahenduse.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Millal piisab Pythagorase teoreemist?\n2. Kirjuta koosinusteoreem külje `$a$` jaoks.\n3. Mis andmeid on vaja siinusteoreemi kasutamiseks?\n\n### Rakendus\n\n4. Maamõõtja saab kolmnurkse ala külgedeks `$a=4$` m ja `$b=6$` m ning nendevaheliseks nurgaks `$C=60^\\circ$`. Leia kolmas piir `$c$`.\n5. Leia külg `$b$`, kui `$A=30^\\circ$`, `$B=80^\\circ$` ja `$a=5$`.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n6. Kolmnurga küljed on 3, 4 ja 5. Kas pikima külje vastasnurk on täisnurk? Põhjenda.\n7. Külgede 5, 7 ja 8 vastas on nurgad `$A,B,C$`. Leia suurim nurk.\n8. Teada on `$a=10$`, `$b=12$` ja nende vaheline nurk `$C=40^\\circ$`. Millist teoreemi kasutad esimesena ja miks?\n9. Teada on külg `$a$`, nurk `$A$` ja nurk `$B$`. Millist teoreemi kasutad külje `$b$` leidmiseks?\n10. Olgu $A=30^\\circ$ ja $b=10$. Mitu kolmnurka on võimalik, kui a) $a=4$, b) $a=5$, c) $a=7$?\n\n## Vastused\n\n1. Kui kolmnurk on täisnurkne ja otsitakse külgede seost; siis on Pythagoras lihtsam erijuht.\n2. `$a^2=b^2+c^2-2bc\\cos A$`, kus nurk `$A$` on külje `$a$` vastas.\n3. Vähemalt ühte külje ja vastasnurga paari ning veel üht seotud suurust, näiteks `$a,A,B$`.\n4. Koosinusteoreem, sest teada on `$a=4$`, `$b=6$` ja nende vaheline nurk `$C=60^\\circ$`: `$c^2=4^2+6^2-2\\cdot4\\cdot6\\cos60^\\circ=28$`, seega `$c=2\\sqrt7\\approx5{,}3$` m.\n5. Siinusteoreem, sest teada on vastaspaar `$a=5$`, `$A=30^\\circ$` ja nurk `$B=80^\\circ$`: `$\\frac{b}{\\sin80^\\circ}=\\frac{5}{\\sin30^\\circ}$`, seega `$b=\\frac{5\\sin80^\\circ}{\\sin30^\\circ}\\approx9{,}8$`.\n6. Jah, sest `$5^2=3^2+4^2$`; Pythagorase teoreemi pöördväite järgi on vastasnurk `$90^\\circ$`.\n7. Suurim on `$C$`, sest see on külje 8 vastas. Koosinusteoreemist `$\\cos C=\\frac{5^2+7^2-8^2}{2\\cdot5\\cdot7}=\\frac17$`, seega `$C\\approx81{,}8^\\circ$`.\n8. Koosinusteoreemi, sest teada on kaks külge `$a,b$` ja nende vaheline nurk `$C$`.\n9. Siinusteoreemi, sest teada on vastav külje ja vastasnurga paar `$a,A$` ning otsitakse paarilist `$b,B$`.\n10. a) 0: $\\sin B=5/4>1$. b) 1: $B=90^\\circ$ ja $C=60^\\circ$. c) 2: näites leitud $45{,}6^\\circ$ ning $134{,}4^\\circ$ annavad mõlemad positiivse kolmanda nurga.\n\n## Seosed\n\nTeoreemid ühendavad trigonomeetria, pindala ja koordinaatgeomeetria.\n" }, { "id": "trigonomeetria.radiaanid-ja-perioodilisus", "title": "Radiaanid ja perioodilisus", "strand": "80-trigonomeetria", "order": "80.30", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 10, "main": 11, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "gümnaasium" ], "difficulty": 5, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "funktsioonid.trigonomeetrilised-funktsioonid" ], "review_modules": [ "geomeetria-alused.ring-ja-summeetria", "trigonomeetria.trigonomeetria" ], "extension_modules": [ "trigonomeetria.trigonomeetrilised-valemid", "trigonomeetria.trigonomeetrilised-vorrandid" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-11", "klass-12" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/80-trigonomeetria/80.30-radiaanid-ja-perioodilisus.md", "source_sha256": "3a7ad9fdce0c6663df3fcb9296167d89653a628121b0cc398b43f7aa2db935ac", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/80.30-radiaanid-ja-perioodilisus.html", "content_markdown": "# Radiaanid ja perioodilisus\n\n## Mõiste\n\nRadiaan on nurga mõõtühik. Ühe radiaani suurusele kesknurgale vastava kaare pikkus võrdub ringjoone raadiusega. Täispööre on\n\n$$2\\pi\\text{ rad}=360^\\circ.$$\n\nSeega\n\n$$\\pi\\text{ rad}=180^\\circ.$$\n\nÜhe radiaani definitsioon on täpne iga raadiusega ringjoonel. Ainult selle kraadiväärtus on siin ümardatud: `$1\\text{ rad}=\\frac{180^\\circ}{\\pi}\\approx57,3^\\circ$`.\n\nKesknurga `$\\alpha\\ge0$` suurus radiaanides on `$\\alpha=s/r$`, kus `$s$` on vastava kaare pikkus ja `$r>0$` raadius samas pikkusühikus. Sama kesknurgaga sektorid on sarnased: raadiuse suurendamisel kasvab ka kaare pikkus sama teguriga, nii et suhe ei muutu.\n\nSee suhe on ühikuta arv, aga kirjutame juurde `rad`, et oleks selge, et arv mõõdab nurka.\n\nSuunatud nurga puhul märgitakse lisaks pöörde suund: vastupäeva pööre on positiivne, päripäeva pööre negatiivne.\n\nEeldus: tunned ühikringi, trigonomeetriliste funktsioonide perioodi ning kraadides mõõdetud nurki.\n\nKui nurk `$\\alpha\\ge0$` on radiaanides, siis kaare pikkus on\n\n$$s=r\\alpha,$$\n\nkus `$r$` on raadius ja `$\\alpha$` nurk radiaanides.\n\nÜhikute teisendamine:\n\n$$\\text{kraadid}\\cdot\\frac{\\pi}{180^\\circ}=\\text{radiaanid},$$\n\n$$\\text{radiaanid}\\cdot\\frac{180^\\circ}{\\pi}=\\text{kraadid}.$$\n\n## Teisendustabel\n\n| kraadid | radiaanid |\n| --- | --- |\n| `$0^\\circ$` | `$0$` |\n| `$30^\\circ$` | `$\\frac{\\pi}{6}$` |\n| `$45^\\circ$` | `$\\frac{\\pi}{4}$` |\n| `$60^\\circ$` | `$\\frac{\\pi}{3}$` |\n| `$90^\\circ$` | `$\\frac{\\pi}{2}$` |\n| `$180^\\circ$` | `$\\pi$` |\n| `$270^\\circ$` | `$\\frac{3\\pi}{2}$` |\n| `$360^\\circ$` | `$2\\pi$` |\n\n## Perioodilisus\n\nPositiivne arv `$T$` on funktsiooni periood, kui määramispiirkond säilib nihkel `$T$` mõlemas suunas ja `$f(x+T)=f(x)$` kõigi lubatud `$x$` väärtuste korral. Funktsioonil võib olla mitu perioodi; siin otsime neist vähimat positiivset.\n\nSiinuse ja koosinuse vähim positiivne periood on `$2\\pi$`:\n\n$$\\sin(x+2\\pi)=\\sin x.$$\n\n$$\\cos(x+2\\pi)=\\cos x.$$\n\nSee tähendab, et graafik kordub iga täispöörde järel.\n\nÜhikringil jõuad pärast `$2\\pi$` lisamist samasse punkti tagasi.\n\n![Perioodiline siinusgraafik](assets/sine-period.svg \"Siinusgraafikul kordub sama kuju iga `$2\\pi$` järel.\")\n\nTangensi vähim positiivne periood on `$\\pi$`. Tangens on määratud ainult siis, kui `$\\cos x\\ne0$`, s.t `$x\\ne\\frac\\pi2+k\\pi$`, `$k\\in\\mathbb Z$`. Lubatud väärtuste korral\n\n$$\\tan(x+\\pi)=\\tan x.$$\n\nPõhjus on see, et poole pöörde järel on ühikringi punkt vastaspunktis, kuid suhe `$\\frac{\\sin x}{\\cos x}$` jääb samaks:\n\n$$\\frac{-\\sin x}{-\\cos x}=\\frac{\\sin x}{\\cos x}.$$\n\nMiks ei piisa väiksemast nihkest? Siinus saavutab väärtuse 1 ainult nurkadel `$\\pi/2+2k\\pi$`, koosinus nurkadel `$2k\\pi$`. Perioodinihe viib maksimumikoha teiseks maksimumikohaks, seega on see `$2\\pi$` täisarvkordne. Tangensi nullkohad on `$k\\pi$`. Kuna perioodinihe viib nullkoha teiseks nullkohaks, on tangensi periood `$\\pi$` täisarvkordne. Siin on `$k\\in\\mathbb Z$`.\n\nPeriood on ka vähima positiivse perioodi iga positiivne täisarvkordne, näiteks siinuse puhul `$4\\pi$`.\n\n## Näide\n\n$$90^\\circ=\\frac{\\pi}{2}\\text{ rad}.$$\n\nTeisendame `$150^\\circ$` radiaanideks:\n\n$$150^\\circ\\cdot\\frac{\\pi}{180^\\circ}=\\frac{5\\pi}{6}.$$\n\nTeisendame `$\\frac{3\\pi}{4}$` kraadideks:\n\n$$\\frac{3\\pi}{4}\\cdot\\frac{180^\\circ}{\\pi}=135^\\circ.$$\n\nPerioodilisuse tõttu\n\n$$\\sin\\left(x+2\\pi\\right)=\\sin x,$$\n\nnäiteks\n\n$$\\sin\\left(\\frac{\\pi}{6}+2\\pi\\right)=\\sin\\frac{\\pi}{6}=\\frac12.$$\n\nVastus: `$150^\\circ=\\frac{5\\pi}{6}$`, `$\\frac{3\\pi}{4}=135^\\circ$` ja täispöörde lisamine ei muuda siinuse väärtust.\n\n## Tüüpviga\n\nKui kalkulaator on radiaanides, siis `sin(30)` ei tähenda $\\sin 30^\\circ$.\n\nKraadirežiimis on `$\\sin30^\\circ=0,5$`, radiaanirežiimis aga `$\\sin(30)\\approx-0,988$`. Vali nurga ühikule vastav kalkulaatorirežiim või teisenda nurk enne arvutamist.\n\nÄra aja segi perioodi ja amplituudi. Periood kirjeldab kordumise sammu `$x$`-teljel. Siinusgraafiku amplituud on suurim kaugus keskjoonest vertikaalsuunas, näiteks `$y=\\sin x$` korral 1. Tangensile samasugust amplituudi ei määrata.\n\nValemisse `$s=r\\alpha$` ei saa asetada nurga kraadiväärtust: `$\\alpha$` peab selles valemis olema radiaanides.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Teisenda $180^\\circ$ radiaanideks.\n2. Teisenda `$\\frac{\\pi}{3}$` kraadideks.\n3. Mis on siinusfunktsiooni vähim positiivne periood?\n\n### Rakendus\n\n4. Paigal oleva keskpunktiga ratas raadiusega 3 pöördub `$120^\\circ$`. Kui pika kaare läbib serval olev punkt?\n5. Ratas pöördub `$\\frac{5\\pi}{6}$` radiaani. Mitu kraadi ja milline osa täispöördest see on?\n6. Milline väikseim positiivne radiaaninurk tuleb liita nurgale `$35^\\circ$`, et tangensi väärtus korduks?\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Miks `$\\sin(x+4\\pi)=\\sin x$`?\n8. Kas `$60^\\circ$` ja `$\\frac{\\pi}{3}$` rad on sama nurga suurus? Võrdle ka nende koosinusi.\n9. Kahe ratta keskpunktid püsivad paigal. Nende raadiused on 5 ja 10 ning mõlemad pöörduvad nurga `$\\frac{\\pi}{3}$`. Võrdle servapunktide läbitud kaari.\n\n## Vastused\n\n1. `$180^\\circ=\\pi$` rad, sest pool täispööret on `$\\pi$` radiaani.\n2. `$\\frac{\\pi}{3}\\cdot\\frac{180^\\circ}{\\pi}=60^\\circ$`; `$\\pi$` taandub välja.\n3. `$2\\pi$` ehk `$360^\\circ$`; ühikringil tähendab see üht täispööret.\n4. `$120^\\circ=\\frac{2\\pi}{3}$` rad ja `$s=r\\alpha=3\\cdot\\frac{2\\pi}{3}=2\\pi$` pikkusühikut.\n5. `$150^\\circ$` ehk `$\\frac{150}{360}=\\frac5{12}$` täispöördest.\n6. `$\\pi$` rad ehk `$180^\\circ$`; tangens kordub poole pöörde järel.\n7. Sest `$4\\pi$` on kaks täispööret ja siinus kordub iga `$2\\pi$` järel.\n8. Jah, `$60^\\circ=\\frac{\\pi}{3}\\text{ rad}$`. Mõlema koosinus on `$\\frac12$`; koosinus on arv, mitte nurk.\n9. Kaared on `$\\frac{5\\pi}{3}$` ja `$\\frac{10\\pi}{3}$`; kahekordne raadius annab sama nurga korral kahekordse kaare.\n\n## Seosed\n\nRadiaanid muudavad trigonomeetria analüüsis loomulikuks: tuletiste ja integraalide valemid kehtivad standardkujul radiaanides. Järgmine analüüsi plokk kasutab funktsioonide muutumise kirjeldamiseks just seda mõõtu.\n" }, { "id": "trigonomeetria.trigonomeetrilised-vorrandid", "title": "Trigonomeetrilised põhivõrrandid", "strand": "80-trigonomeetria", "order": "80.35", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 11, "main": 11, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "gümnaasium" ], "difficulty": 5, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "funktsioonid.trigonomeetrilised-funktsioonid", "trigonomeetria.radiaanid-ja-perioodilisus", "trigonomeetria.trigonomeetrilised-valemid" ], "review_modules": [ "algebra.vorrandid-ja-vorratused" ], "extension_modules": [ "analuus.tuletise-arvutusreeglid" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-11" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/80-trigonomeetria/80.35-trigonomeetrilised-vorrandid.md", "source_sha256": "33c13d3a7d0d5085354e233c6f910522950d159ab8ef02c69ba97f212d6c19dc", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/80.35-trigonomeetrilised-pohivorrandid.html", "content_markdown": "# Trigonomeetrilised põhivõrrandid\n\n## Mõiste\n\nTrigonomeetrilisel võrrandil on perioodilisuse tõttu enamasti lõpmata palju lahendeid. Kõigepealt leitakse ühikringilt ühe täispöörde lahendid, seejärel lisatakse periood.\n\nEeldus: oskad kasutada ühikringi, radiaane, trigonomeetrilisi valemeid ning lahendada lihtsat algebralist võrrandit.\n\nPõhikujud:\n\n$$\n\\sin x=m,\\qquad\n\\cos x=m,\\qquad\n\\tan x=m.\n$$\n\nSiinuse ja koosinuse korral peab $-1\\le m\\le1$. Tähised $\\arcsin m$, $\\arccos m$ ja $\\arctan m$ annavad kalkulaatori ühe põhiväärtuse; kõik lahendid leitakse sümmeetria ja perioodi abil.\n\nNäiteks\n\n$$\n\\sin x=\\frac12\n$$\n\nannab\n\n$$\nx=\\frac\\pi6+2k\\pi\n\\quad\\text{või}\\quad\nx=\\frac{5\\pi}{6}+2k\\pi,\n\\qquad k\\in\\mathbb Z.\n$$\n\nTangensi periood on $\\pi$:\n\n$$\n\\tan x=m\n\\quad\\Longrightarrow\\quad\nx=\\arctan m+k\\pi.\n$$\n\nKui ülesanne nõuab lahendeid kindlas vahemikus, kirjutatakse üldlahendist välja ainult sinna jäävad väärtused.\n\n![Trigonomeetrilise võrrandi lahendid](assets/trig-equation-solutions.svg \"Horisontaaljoon lõikab siinusgraafikut ühe perioodi jooksul tavaliselt kahes punktis ning lahendid korduvad perioodi järel.\")\n\n## Näide\n\nLahendame vahemikus $0\\le x<2\\pi$:\n\n$$\n2\\sin x-1=0.\n$$\n\nEsmalt eraldame siinuse:\n\n$$\n\\sin x=\\frac12.\n$$\n\nÜhikringil on siinus $\\frac12$ I ja II veerandis. Seega\n\n$$\nx=\\frac\\pi6\n\\quad\\text{või}\\quad\nx=\\frac{5\\pi}{6}.\n$$\n\nVõrrand\n\n$$\n\\cos2x=0\n$$\n\nannab $2x=\\frac\\pi2+k\\pi$, seega\n\n$$\nx=\\frac\\pi4+\\frac{k\\pi}{2}.\n$$\n\n## Tüüpviga\n\nÜks kalkulaatori vastus ei ole tavaliselt kõik lahendid. Näiteks $\\arcsin\\frac12=\\frac\\pi6$, kuid samas täispöördes sobib ka $\\frac{5\\pi}{6}$.\n\nTeine tüüpviga on lisada siinusele ja koosinusele periood $\\pi$. Nende periood on $2\\pi$; ainult tangensi periood on $\\pi$.\n\nKolmas tüüpviga on unustada sisemine kordaja. Võrrandis $\\sin2x=0$ lahendatakse esmalt $2x=k\\pi$ ja alles siis jagatakse kahega.\n\n::: student-hint Kontrollsamm\nJoonista väike ühikring, märgi sobivad veerandid ning kontrolli, et kõik vastused jäävad nõutud vahemikku.\n:::\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Lahenda $\\sin x=0$.\n2. Lahenda $\\tan x=1$.\n3. Kas võrrandil $\\cos x=2$ on reaalarvulisi lahendeid?\n\n### Rakendus\n\n4. Vaateratta punkti horisontaalset asendit kirjeldab ühe pöörde jooksul $\\cos x=-\\frac{\\sqrt2}{2}$. Leia sobivad nurga $x$ väärtused vahemikus $0\\le x<2\\pi$.\n5. Lahenda $3\\sin x+3=0$ vahemikus $0\\le x\\le2\\pi$.\n6. Lahenda $\\sin2x=0$ vahemikus $0\\le x\\le2\\pi$.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Lahenda $2\\cos^2x-1=0$ vahemikus $0\\le x<2\\pi$ ning kontrolli kõik lahendid algvõrrandis.\n8. Miks annab võrrand $\\sin x=0{,}3$ ühe perioodi jooksul kaks lahendit, aga $\\sin x=1$ ainult ühe?\n9. Lahenda võrratus $\\sin x>0$ vahemikus $0\\le x\\le2\\pi$.\n\n## Vastused\n\n1. $x=k\\pi$, sest siinus on null iga poolpöörde järel.\n2. $x=\\frac\\pi4+k\\pi$, sest tangensi periood on $\\pi$.\n3. Ei, sest koosinuse väärtused jäävad vahemikku $[-1;1]$.\n4. $x=\\frac{3\\pi}{4}$ või $x=\\frac{5\\pi}{4}$; koosinus on negatiivne II ja III veerandis.\n5. $\\sin x=-1$, seega $x=\\frac{3\\pi}{2}$.\n6. $x=0,\\frac\\pi2,\\pi,\\frac{3\\pi}{2},2\\pi$; sisemine nurk $2x$ peab olema $k\\pi$.\n7. $\\cos x=\\pm\\frac{\\sqrt2}{2}$, seega $x=\\frac\\pi4,\\frac{3\\pi}{4},\\frac{5\\pi}{4},\\frac{7\\pi}{4}$. Iga väärtuse korral on $\\cos^2x=\\frac12$ ja algvõrrandi vasak pool on 0.\n8. Horisontaaljoon $y=0{,}3$ lõikab siinusgraafikut tõusvas ja langevas osas; maksimumtaset $y=1$ puudutab graafik ühe korra.\n9. $00$`, `$a\\ne1$` |\n| `$\\ln x$` | `$\\frac1x$` | `$x>0$` |\n| `$\\log_a x$` | `$\\frac1{x\\ln a}$` | `$x>0$`, `$a>0$`, `$a\\ne1$` |\n| `$\\sin x$` | `$\\cos x$` | `$x$` radiaanides |\n| `$\\cos x$` | `$-\\sin x$` | `$x$` radiaanides |\n| `$\\tan x$` | `$\\frac1{\\cos^2x}$` | `$\\cos x\\ne0$` |\n\nPõhivalemid on\n\n$$\n(e^x)'=e^x,\\qquad (\\ln x)'=\\frac1x,\n$$\n\n$$\n(\\sin x)'=\\cos x,\\qquad (\\cos x)'=-\\sin x.\n$$\n\nKui funktsiooni sees on avaldis `$g(x)$`, lisa ahelreegliga sisemise funktsiooni tuletis:\n\n$$\n(e^{g(x)})'=e^{g(x)}g'(x),\n$$\n\n$$\n(\\ln g(x))'=\\frac{g'(x)}{g(x)},\\qquad g(x)>0.\n$$\n\nSamamoodi\n\n$$\n(\\sin g(x))'=\\cos(g(x))g'(x).\n$$\n\n## Näide\n\nLeia funktsiooni\n\n$$f(x)=e^{2x}+\\ln(x+1)-3\\cos x$$\n\ntuletis.\n\nTuletame liikmete kaupa ja kasutame kahes esimeses liikmes ahelreeglit:\n\n$$\nf'(x)=2e^{2x}+\\frac1{x+1}+3\\sin x.\n$$\n\nAlgse funktsiooni määramispiirkond nõuab `$x>-1$`; sama piirang jääb ka tuletise kasutamisel oluliseks.\n\n## Tüüpviga\n\nEsimene tüüpviga on kirjutada `$(a^x)'=xa^{x-1}$`. See on astmefunktsiooni reegel, kuid `$a^x$` on eksponentfunktsioon. Õige on `$(a^x)'=a^x\\ln a$`.\n\nTeine tüüpviga on kaotada miinus: `$(\\cos x)'=-\\sin x$`.\n\nKolmas tüüpviga on jätta liitfunktsioonis sisemine tuletis lisamata. Näiteks `$(\\ln(3x-1))'=\\frac3{3x-1}$`, mitte `$\\frac1{3x-1}$`.\n\nNeljas tüüpviga on unustada määramispiirkond. Logaritmi argument peab olema positiivne ja tangens pole määratud seal, kus `$\\cos x=0$`.\n\n::: teacher Õpetaja lisasoovitused\nLase õppijal enne tuletamist märkida põhifunktsioon ja sisemine funktsioon. Trigonomeetrilise näite juures küsi eraldi, miks eeldatakse radiaane; logaritmi juures nõua määramispiirkonda.\n:::\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Leia `$(e^x+\\sin x)'$`.\n2. Leia `$(2^x+\\ln x)'$`.\n3. Leia `$(4\\cos x-3\\tan x)'$`.\n\n### Rakendus\n\n4. Bakterite arv on `$N(t)=500e^{0{,}2t}$`. Leia `$N'(t)$` ja tõlgenda `$N'(0)$`.\n5. Helisignaali mudel on `$s(t)=3\\sin(4t)$`. Leia hetkeline muutumiskiirus `$s'(t)$`.\n6. Kontsentratsioon on `$C(t)=\\ln(t+1)$` mg/l. Leia `$C'(3)$` ja lisa sobiv ühik.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Leia `$f'(x)$`, kui `$f(x)=x^2e^x$`, ning põhjenda kahe reegli kasutamist.\n8. Võrdle funktsioonide `$e^{2x}$` ja `$(e^x)^2$` tuletisi. Miks saad sama tulemuse?\n9. Õpilane kirjutab `$(\\sin(x^2))'=\\cos(x^2)$`. Leia viga, paranda vastus ja selgita ahelreegli rolli.\n\n## Vastused\n\n1. `$e^x+\\cos x$`.\n2. `$2^x\\ln2+\\frac1x$`, kus `$x>0$`.\n3. `$-4\\sin x-\\frac3{\\cos^2x}$`, kus `$\\cos x\\ne0$`.\n4. `$N'(t)=100e^{0{,}2t}$`; alghetkel kasvab bakterite arv kiirusega 100 bakterit ajaühikus.\n5. `$s'(t)=12\\cos(4t)$`, sest ahelreegel lisab sisemise tuletise 4.\n6. `$C'(t)=\\frac1{t+1}$`, seega `$C'(3)=\\frac14$` mg/l ajaühiku kohta.\n7. Korrutise reegel annab `$f'(x)=2xe^x+x^2e^x=e^x(x^2+2x)$`; vaja on astme- ja eksponentfunktsiooni tuletist.\n8. Mõlemad funktsioonid võrduvad `$e^{2x}$`; ahelreegel annab mõlemal juhul `$2e^{2x}$`.\n9. Puudu on sisemise funktsiooni tuletis `$2x$`. Õige vastus on `$2x\\cos(x^2)$`.\n\n::: student-hint Enesediagnoos\nKui 1-3 läks valesti, õpi tabelist neli põhituletist. Kui 4-6 läks valesti, märgi sisemine funktsioon ja selle tuletis. Kui 7-9 läks valesti, otsusta enne, kas avaldise väline kuju on korrutis või liitfunktsioon.\n:::\n\n## Seosed\n\nNeed põhituletised laiendavad varasemaid arvutusreegleid. Järgmistes moodulites kasutatakse neid funktsiooni kasvamise, ekstreemumite, teise tuletise ja graafiku kuju uurimiseks.\n" }, { "id": "analuus.tuletise-rakendused", "title": "Tuletise rakendused", "strand": "90-analuus", "order": "90.30", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 11, "main": 12, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "gümnaasium" ], "difficulty": 5, "module_tags": [ "skill", "application" ], "prerequisites": [ "analuus.tuletise-arvutusreeglid" ], "review_modules": [ "algebra.vorratused-ja-vahemikud", "funktsioonid.funktsioonide-teisendused" ], "extension_modules": [ "analuus.algfunktsioon-ja-maaramata-integraal" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-12" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/90-analuus/90.30-tuletise-rakendused.md", "source_sha256": "54fe4e274391bd252014abe0736bd88c053fe53d16634777dc19016a221fa506", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/90.30-tuletise-rakendused.html", "content_markdown": "# Tuletise rakendused\n\n## Mõiste\n\nTuletis kirjeldab muutumiskiirust ja graafiku puutuja tõusu.\n\nEeldus: oskad leida tuletist, lahendada võrrandit `$f'(x)=0$` ja tõlgendada funktsiooni graafikut.\n\n![Tuletis kui puutuja tõus](assets/derivative-tangent.svg \"Tuletis punktis on graafiku puutuja tõus selles punktis.\")\n\n::: student-hint Enesediagnoos\nKui tuletis on leitud, kuid järeldus ei sobi, kontrolli järjekorras määramispiirkonda, tuletise nullkohti, märki, otspunkte ja vastuse tähendust.\n:::\n\n## Kasutus\n\n- Kui `$f'(x)>0$`, siis funktsioon kasvab.\n- Kui `$f'(x)<0$`, siis funktsioon kahaneb.\n- Ekstreemumi kandidaadid on kohad, kus `$f'(x)=0$`, ning määramispiirkonda kuuluvad kohad, kus tuletist ei ole. Lõpliku otsuse annab tuletise märgi muutus või muu lisakontroll.\n\nErista: `$f(x_0)$` on funktsiooni väärtus punktis, `$f'(x_0)$` on puutuja tõus ja muutumiskiirus seal.\n\nTuletise rakendustes on tüüpiline tööjärjekord:\n\n1. Leia tuletis `$f'(x)$`.\n2. Lahenda võrrand `$f'(x)=0$` ja leia määramispiirkonda kuuluvad kohad, kus tuletist ei ole.\n3. Jaga arvtelg saadud punktide järgi vahemikeks.\n4. Kontrolli igas vahemikus tuletise märki.\n5. Tee järeldus kasvamise, kahanemise ja ekstreemumite kohta.\n6. Tõlgenda vastus algse ülesande keeles.\n\nNäiteks `$f(x)=|x|$` miinimum on kohal `$x=0$`, kuigi tuletist seal ei ole. Kinnisel lõigul suurimat ja vähimat väärtust otsides kontrolli ka lõigu otspunkte.\n\n## Kasvamine ja kahanemine\n\n### Näide\n\nOlgu\n\n$$f(x)=x^2-6x+5.$$\n\nSiis\n\n$$f'(x)=2x-6.$$\n\nEkstreemumi kandidaat:\n\n$$2x-6=0 \\Rightarrow x=3.$$\n\nKui `$x<3$`, siis `$f'(x)<0$`, seega funktsioon kahaneb.\n\nKui `$x>3$`, siis `$f'(x)>0$`, seega funktsioon kasvab.\n\nJärelikult on punktis `$x=3$` miinimum.\n\nFunktsiooni väärtus seal on\n\n$$f(3)=3^2-6\\cdot3+5=-4.$$\n\nVastus: funktsioon kahaneb enne `$x=3$`, kasvab pärast seda ja miinimumpunkt on `(3;-4)`.\n\n## Ekstreemumid\n\nKui tuletise märk muutub\n\n- plussist miinuseks, siis on lokaalne maksimum;\n- miinusest plussiks, siis on lokaalne miinimum.\n\nNäiteks funktsiooni\n\n$$g(x)=-x^2+4x+1$$\n\ntuletis on\n\n$$g'(x)=-2x+4.$$\n\nVõrrand `$g'(x)=0$` annab\n\n$$-2x+4=0,$$\n\n$$x=2.$$\n\nKui `$x<2$`, siis `$g'(x)>0$`; kui `$x>2$`, siis `$g'(x)<0$`. Funktsioon kasvab enne `$x=2$` ja kahaneb pärast seda, seega on seal maksimum.\n\nMaksimumi väärtus:\n\n$$g(2)=-4+8+1=5.$$\n\nVastus: teisel funktsioonil on maksimum punktis `(2;5)`.\n\n## Puutuja võrrand\n\nFunktsiooni `$y=f(x)$` puutuja punktis `$x=x_0$` on sirge, mille tõus on `$f'(x_0)$`.\n\nPuutuja võrrand:\n\n$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$\n\nNäiteks olgu\n\n$$f(x)=x^2.$$\n\nLeiame puutuja punktis `$x_0=2$`.\n\n$$f(2)=4,$$\n\n$$f'(x)=2x,$$\n\n$$f'(2)=4.$$\n\nSeega\n\n$$y-4=4(x-2),$$\n\nehk\n\n$$y=4x-4.$$\n\n## Tüüpviga\n\nTingimus `$f'(x)=0$` annab kandidaadi; eraldi tuleb otsustada, kas see on miinimum, maksimum või muu punkt.\n\nTeine tüüpviga on arvata, et `$f'(x)>0$` tähendab positiivset funktsiooni väärtust. Tegelikult tähendab see kasvamist; funktsioon ise võib olla allpool `$x$`-telge.\n\nKolmas tüüpviga on puutuja võrrandis kasutada tõusuna `$f(x_0)$`, mitte `$f'(x_0)$`. Puutuja tõus tuleb tuletisest.\n\nNeljas tüüpviga on jätta ekstreemumi vastus mudeli keelde tõlgendamata. Kui `$x$` tähistab aega või kogust, peab lõppvastus seda ütlema.\n\n::: teacher Õpetaja diagnostika\nPalu enne arvutust nimetada otsitav: muutumiskiirus, puutuja või ekstreemum. Kriitilise punkti järel nõua selle liigi kontrolli; mudelis ka ühikut, lubatud piirkonda ja sisulist vastust.\n\n[Graafikuvaatlejas](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=quadratic&juhtimine=parameters) võrrelge parabooli $y=x^2$ ja arvutatud puutujat $y=4x-4$. Tööriist joonestab sisestatud funktsioonid, kuid ei arvuta tuletist ega puutujat.\n:::\n\n## Katseta graafikul\n\n[Ava parabool graafikuvaatlejas](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=quadratic&juhtimine=parameters) ja salvesta $y=x^2$ mällu. Vali lineaarfunktsioon ning sea $a=4$, $b=-4$. Uuri, kuidas ülal arvutatud puutuja puutub parabooli punktis $(2;4)$.\n\n::: parent Arvutus ja pilt\n[Avage graafikuvaatleja](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=quadratic&juhtimine=parameters). Palu õppijal selgitada, kust pärineb puutuja tõus. Graafik aitab arvutust võrrelda, kuid pelk puudutamisena näiv koht pole tõestus.\n:::\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Leia funktsiooni `$f(x)=x^2$` tuletis punktis `$x=4$`.\n2. Leia, kus `$f(x)=x^2-4x$` tuletis on null.\n3. Mida tähendab negatiivne tuletis?\n\n### Rakendus\n\n4. Kuluindeks on `$K(x)=x^2-8x+30$`, kus `$x$` on tootmismaht sadades ühikutes. Leia vähim kuluindeks ja tõlgenda `$x$`.\n5. Palli kõrgus on `$h(t)=-5t^2+30t$` meetrit. Millal ja kui kõrgel on pall maksimaalselt?\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n6. Leia funktsiooni `$f(x)=x^2+1$` puutuja punktis `$x_0=1$`. Kasuta puutujat väärtuse `$f(1{,}1)$` hindamiseks ja võrdle täpse väärtusega.\n7. Kui `$f'(x)$` muutub plussist miinuseks, siis mis tüüpi ekstreemum tekib?\n8. Tulu mudel on `$T(x)=-x^2+10x$` piirkonnas `$0\\le x\\le8$`, kus `$x$` on müük sadades ühikutes. Leia suurim tulu, kontrollides ka otspunkte.\n\n## Vastused\n\n1. `$f'(x)=2x$`, seega `$f'(4)=8$`.\n2. `$f'(x)=2x-4$`, seega `$f'(x)=0$` annab `$x=2$`.\n3. Funktsioon kahaneb selles vahemikus, sest puutuja tõus on negatiivne.\n4. `$K'(x)=2x-8=0$` annab `$x=4$` ja `$K(4)=14$`. Miinimum tekib 400 ühiku tootmisel.\n5. `$h'(t)=-10t+30=0$` annab `$t=3$` s. Siis `$h(3)=45$` m; allapoole avanev parabool kinnitab maksimumi.\n6. `$f(1)=2$` ja `$f'(1)=2$`, seega puutuja on `$y=2x$`. Hinnang on `$2{,}2$`, täpne väärtus `$2{,}21$`; viga on `$0{,}01$`.\n7. Lokaalne maksimum, sest enne punkti funktsioon kasvab ja pärast kahaneb.\n8. Kandidaat on `$x=5$`: `$T(5)=25$`. Otspunktides `$T(0)=0$` ja `$T(8)=16$`, seega suurim tuluindeks on 25 müügil 500 ühikut.\n\n## Seosed\n\nTuletise rakendused näitavad, kuidas muutumiskiiruse abil teha otsuseid. Järgmine moodul pöörab küsimuse ümber: algfunktsioon ja integraal kirjeldavad kogunenud suurust.\n" }, { "id": "analuus.teine-tuletis-ja-kaanupunkt", "title": "Teine tuletis, kõverus ja käänupunkt", "strand": "90-analuus", "order": "90.32", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 12, "main": 12, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "gümnaasium" ], "difficulty": 5, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "analuus.erifunktsioonide-tuletised", "analuus.tuletise-rakendused" ], "review_modules": [ "funktsioonid.funktsioonide-teisendused" ], "extension_modules": [ "analuus.algfunktsioon-ja-maaramata-integraal" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-12" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/90-analuus/90.32-teine-tuletis-ja-kaanupunkt.md", "source_sha256": "c89cb309e4887318e98910d1708c2389cf9d124d68b654c9cddbb29181e180ad", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/90.32-teine-tuletis-koverus-ja-kaanupunkt.html", "content_markdown": "# Teine tuletis, kõverus ja käänupunkt\n\n## Mõiste\n\nTeine tuletis on tuletise tuletis:\n\nEeldus: oskad leida esimese tuletise, koostada selle märgitabeli ning kasutada tuletist kasvamise, kahanemise ja ekstreemumite uurimiseks.\n\n$$f''(x)=(f'(x))'.$$\n\nEsimene tuletis kirjeldab funktsiooni tõusu. Teine tuletis kirjeldab, kuidas see tõus muutub.\n\n- Kui `$f''(x)>0$`, siis tõus suureneb ja graafik kõverdub ülespoole.\n- Kui `$f''(x)<0$`, siis tõus väheneb ja graafik kõverdub allapoole.\n\nÕpikutes nimetatakse neid vastavalt nõgusus- ja kumerusvahemikeks. Kindla järelduse alus on siiski `$f''$` märk ja graafiku kuju.\n\n![Teise tuletise märk ja graafiku kuju](assets/second-derivative-shape.svg \"Positiivse teise tuletise korral tõus suureneb, negatiivse teise tuletise korral väheneb; käänupunktis vahetub kõveruse suund.\")\n\nKäänupunkt on graafiku punkt, kus kõveruse suund muutub. Võrrand `$f''(x)=0$` annab ainult kandidaadi; käänupunkti kinnitab `$f''$` märgi muutus.\n\nFunktsiooni tervikliku uurimise järjekord on:\n\n1. määra määramispiirkond, nullkohad ja telgede lõikepunktid;\n2. leia `$f'$`, kriitilised punktid ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud;\n3. leia `$f''$`, kõveruse vahemikud ja käänupunktid;\n4. kontrolli otspunkte, piirväärtusi või asümptoote, kui ülesanne neid vajab;\n5. visanda graafik kooskõlas kõigi järeldustega.\n\n## Näide\n\nUuri funktsiooni `$f(x)=x^3-3x$` ekstreemumeid ja käänupunkti.\n\n$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$\n\nKriitilised punktid on `$x=-1$` ja `$x=1$`. Tuletise märk näitab maksimumi punktis `$(-1;2)$` ja miinimumi punktis `$(1;-2)$`.\n\n$$f''(x)=6x.$$\n\nVõrrand `$f''(x)=0$` annab `$x=0$`. Vasakul on `$f''<0$`, paremal `$f''>0$`, seega kõveruse suund muutub. Käänupunkt on `$(0;0)$`.\n\n## Tüüpviga\n\nTüüpviga on nimetada iga `$f''(x)=0$` lahend käänupunktiks. Näiteks funktsioonil `$f(x)=x^4$` on `$f''(0)=0$`, kuid `$f''(x)=12x^2$` ei vaheta nulli läbides märki.\n\nTeine tüüpviga on kasutada `$f''$` märki kasvamise otsustamiseks. Kasvamise määrab `$f'$`; `$f''$` kirjeldab tõusu muutumist.\n\nKolmas tüüpviga on anda vaid `$x$`-koordinaat. Ekstreemum ja käänupunkt on graafiku punktid, seega leia ka `$y=f(x)$`.\n\nNeljas tüüpviga on visandada graafik enne märgitabelite kontrollimist ning sundida hilisemad arvutused pildiga sobima.\n\n::: teacher Suuline kontroll\nPalu õppijal kirjeldada ilma valemita: kas graafiku tõus muutub järjest suuremaks või väiksemaks? See eristab esimese ja teise tuletise rolli.\n\n[Ava näite kuupfunktsioon](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=cubic&juhtimine=parameters). Seo nähtav kuju esimese ja teise tuletise märgitabelitega; rakendus ei märgi ekstreemumeid ega käänupunkti automaatselt.\n:::\n\n## Katseta graafikul\n\n[Ava $y=x^3-3x$ graafikuvaatlejas](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=cubic&juhtimine=parameters). Võrdle näites leitud ekstreemumeid ja käänupunkti graafikuga. Põhjendus jääb tuletiste märgitabelitesse.\n\n::: parent Mida tuletised ütlevad?\n[Avage kuupfunktsiooni näide](https://mapik.ee/matemaatika/interaktiivsed-harjutused/assets/graph-viewer.html?mudel=cubic&juhtimine=parameters). Palu õppijal näidata eraldi kasvamis- ja kahanemisvahemikke ning kohta, kus kõveruse suund muutub.\n:::\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Leia `$f''(x)$`, kui `$f(x)=x^3-2x^2+5$`.\n2. Mida näitab tingimus `$f''(x)>0$`?\n3. Kas `$f''(x_0)=0$` tõestab alati käänupunkti olemasolu? Põhjenda.\n\n### Rakendus\n\n4. Liikumise asukoht on `$s(t)=t^3-6t^2+9t$` meetrites. Leia kiirus ja kiirendus hetkel `$t=2$` s.\n5. Uuri funktsiooni `$f(x)=x^3-6x^2+9x$` kõveruse suunda ja leia käänupunkt.\n6. Tulu mudel on `$T(x)=-x^3+6x^2$` vahemikus `$0\\le x\\le5$`. Leia, kus tulu kasvab, ja otsusta teise tuletise abil, kuidas kasvu kiirus muutub.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Võrdle funktsioone `$x^4$` ja `$x^3$` punktis 0: mõlemal on `$f''(0)=0$`, kuid kummal on käänupunkt? Põhjenda märkidega.\n8. Uuri funktsiooni `$f(x)=x^4-4x^2$` ekstreemumeid ja käänupunkte ning koosta nende põhjal graafiku visand.\n9. Õpilane väidab: „Kui `$f''>0$`, siis `$f>0$`.” Leia vastunäide ja selgita, mida `$f''>0$` tegelikult tähendab.\n\n## Vastused\n\n1. `$f'(x)=3x^2-4x$` ja `$f''(x)=6x-4$`.\n2. Funktsiooni tõus suureneb ja graafik kõverdub ülespoole.\n3. Ei. Käänupunkt vajab kõveruse suuna ehk `$f''$` märgi muutust.\n4. `$s'(t)=3t^2-12t+9$` ja `$s''(t)=6t-12$`; hetkel 2 s on kiirus `-3 m/s` ja kiirendus `0 m/s²`.\n5. `$f''(x)=6x-12$`. See on negatiivne, kui `$x<2$`, ja positiivne, kui `$x>2$`; käänupunkt on `$(2;2)$`, sest `$f(2)=8-24+18=2$`.\n6. `$T'(x)=-3x(x-4)$`, seega tulu kasvab vahemikus `(0;4)`. `$T''(x)=12-6x$`: kasv kiireneb kuni `$x=2$` ja aeglustub pärast seda.\n7. Funktsioonil `$x^3$` vahetab `$f''(x)=6x$` märki, seega on käänupunkt. Funktsioonil `$x^4$` on `$f''(x)=12x^2\\ge0$`, märgimuutust pole.\n8. `$f'(x)=4x(x^2-2)$`: maksimum on `(0;0)` ja miinimumid `$(\\pm\\sqrt2;-4)$`. `$f''(x)=12x^2-8$` vahetab märki kohal `$x=\\pm\\sqrt{\\frac23}$`. Seal on `$f(x)=\\frac49-\\frac83=-\\frac{20}{9}$`, seega käänupunktid on `$\\left(-\\sqrt{\\frac23};-\\frac{20}{9}\\right)$` ja `$\\left(\\sqrt{\\frac23};-\\frac{20}{9}\\right)$`.\n9. Näiteks `$f(x)=x^2-10$` korral `$f''=2>0$`, kuid `$f(0)=-10$`. Teine tuletis kirjeldab tõusu muutumist, mitte funktsiooni väärtuse märki.\n\n::: student-hint Enesediagnoos\nKui 1-3 läks valesti, erista lausetes `$f$`, `$f'$` ja `$f''$`. Kui 4-6 läks valesti, tee esimese ja teise tuletise märgitabelid eraldi. Kui 7-9 läks valesti, kontrolli alati märgimuutust mõlemal pool kandidaati.\n:::\n\n## Seosed\n\nTeine tuletis lõpetab funktsiooni uurimise põhitee: arvutusest saad graafiku kuju ja mudeli muutumise selgituse. Järgmine osa pöörab tähelepanu kogunenud suurusele ning algfunktsioonile.\n" }, { "id": "analuus.algfunktsioon-ja-maaramata-integraal", "title": "Algfunktsioon ja määramata integraal", "strand": "90-analuus", "order": "90.35", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 12, "main": 12, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "gümnaasium" ], "difficulty": 5, "module_tags": [ "concept", "skill" ], "prerequisites": [ "analuus.tuletise-arvutusreeglid" ], "review_modules": [ "analuus.tuletise-rakendused", "funktsioonid.funktsioonide-teisendused" ], "extension_modules": [ "analuus.maaratud-integraal-ja-pindala" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-12" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/90-analuus/90.35-algfunktsioon-ja-maaramata-integraal.md", "source_sha256": "64e88f36d947f1eebf41601e200e6deddd82d3c3fc0afd54b37466fa28899b1a", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/90.35-algfunktsioon-ja-maaramata-integraal.html", "content_markdown": "# Algfunktsioon ja määramata integraal\n\n## Mõiste\n\nAlgfunktsioon on tuletise tagasikäik. Kui\n\n$$F'(x)=f(x),$$\n\nsiis `$F(x)$` on funktsiooni `$f(x)$` algfunktsioon.\n\nEeldus: oskad leida tuletist ja kontrollida tulemust tuletamisega.\n\n::: student-hint Vana oskus, uus suund\nTuletamise reeglid ei kao: liigud nüüd vastassuunas. Kontrolli iga leitud algfunktsiooni tuletamisega; nii peab algne funktsioon tagasi tulema.\n:::\n\nMääramata integraal tähendab kõigi algfunktsioonide hulka:\n\n$$\\int f(x)\\,dx=F(x)+C.$$\n\nKirjutis `$dx$` näitab, et algfunktsiooni otsitakse muutuja `$x$` järgi.\n\nSiin `$C$` on suvaline konstant, sest konstandi tuletis on null.\n\nKui ülesandes on antud lisatingimus, näiteks `$F(0)=3$`, saab selle abil leida konkreetse `$C$`. Ilma lisatingimuseta jääb vastuseks kogu pere.\n\nNäiteks funktsioonidel\n\n$$x^2,\\qquad x^2+5,\\qquad x^2-100$$\n\non kõigil sama tuletis `$2x$`. Seepärast kirjutame\n\n$$\\int 2x\\,dx=x^2+C.$$\n\n## Põhireeglid\n\n| funktsioon `$f(x)$` | üks algfunktsioon `$F(x)$` | määramata integraal |\n| --- | --- | --- |\n| `$0$` | `$0$` | `$C$` |\n| `$1$` | `$x$` | `$x+C$` |\n| `$x$` | `$\\frac{x^2}{2}$` | `$\\frac{x^2}{2}+C$` |\n| `$x^2$` | `$\\frac{x^3}{3}$` | `$\\frac{x^3}{3}+C$` |\n| `$x^n,\\ n\\ne-1$` | `$\\frac{x^{n+1}}{n+1}$` | `$\\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$` |\n| `$\\frac1x$` | `$\\ln\\lvert x\\rvert$` | `$\\ln\\lvert x\\rvert+C$` |\n| `$e^x$` | `$e^x$` | `$e^x+C$` |\n| `$\\cos x$` | `$\\sin x$` | `$\\sin x+C$` |\n| `$\\sin x$` | `$-\\cos x$` | `$-\\cos x+C$` |\n\nAstmefunktsiooni integreerimine:\n\n$$\\int x^n\\,dx=\\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\\qquad n\\ne -1.$$\n\nKonstantse kordaja võib ette jätta:\n\n$$\\int kf(x)\\,dx=k\\int f(x)\\,dx.$$\n\nSumma integreeritakse liikmete kaupa:\n\n$$\\int (f(x)+g(x))\\,dx=\\int f(x)\\,dx+\\int g(x)\\,dx.$$\n\n## Näide\n\nLeia\n\n$$\\int (3x^2-4x+5)\\,dx.$$\n\nIntegreerime liikmete kaupa:\n\n$$\\int 3x^2\\,dx=x^3,$$\n\n$$\\int -4x\\,dx=-2x^2,$$\n\n$$\\int 5\\,dx=5x.$$\n\nSeega\n\n$$\\int (3x^2-4x+5)\\,dx=x^3-2x^2+5x+C.$$\n\nKontroll: tuletis avaldisest `$x^3-2x^2+5x+C$` on `$3x^2-4x+5$`.\n\nVeel üks näide:\n\n$$\\int \\left(\\frac1x+\\cos x\\right)\\,dx=\\ln|x|+\\sin x+C.$$\n\n## Tüüpviga\n\nMääramata integraali lõpus ei tohi unustada `+C`. Ilma selleta on kirjas ainult üks algfunktsioon, mitte kõik võimalikud algfunktsioonid.\n\nTeine tüüpviga on kasutada astmereeglit funktsiooni `$\\frac1x$` jaoks. Kuna `$\\frac1x=x^{-1}$`, annaks astmereegel jagamise nulliga. Selle erijuht on\n\n$$\\int \\frac1x\\,dx=\\ln|x|+C.$$\n\nKolmas tüüpviga on unustada kontrollida vastust tuletamisega. Määramata integraali vastust saab alati kontrollida: tuleta saadud algfunktsioon ja vaata, kas saad tagasi algse funktsiooni.\n\nNeljas tüüpviga on segada määramata ja määratud integraal. Määramata integraal annab funktsioonide pere `$F(x)+C$`; määratud integraal annab arvu.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Leia `$\\int 2x\\,dx$`.\n2. Leia `$\\int (x^2+4)\\,dx$`.\n3. Leia `$\\int (6x^2-2x+1)\\,dx$`.\n\n### Rakendus\n\n4. Koguse muutumiskiirus on `$V'(t)=2t$` ja `$V(0)=3$`. Leia `$V(t)$`.\n5. Leia `$\\int \\frac1x\\,dx$`.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n6. Leia `$F(x)$`, kui `$F'(x)=e^x+\\sin x$` ja `$F(0)=2$`.\n7. Miks on määramata integraali lõpus vaja kirjutada `+C`?\n8. Kas `$\\int 2x\\,dx=x^2$` on vale või puudulik vastus? Põhjenda.\n\n## Vastused\n\n1. `$x^2+C$`; kontrolliks `$(x^2+C)'=2x$`.\n2. `$\\frac{x^3}{3}+4x+C$`, sest algfunktsioon tuletub tagasi kujule `$x^2+4$`.\n3. Lahenduskäik: integreeri liikmeti: `$\\int6x^2dx=2x^3$`, `$\\int-2x dx=-x^2$` ja `$\\int1dx=x$`. Vastus on `$2x^3-x^2+x+C$`.\n4. `$V(t)=t^2+C$`. Tingimus `$V(0)=3$` annab `$C=3$`, seega `$V(t)=t^2+3$`.\n5. `$\\ln|x|+C$`; see on erijuht, kus astmereeglit ei kasutata.\n6. `$F(x)=e^x-\\cos x+C$`. Kuna `$F(0)=C=2$`, siis `$F(x)=e^x-\\cos x+2$`.\n7. Sest konstandi tuletis on 0, seega sama tuletisega algfunktsioone on lõpmata palju.\n8. Määramata integraali vastusena on see puudulik, sest vaja on kogu pere `$x^2+C$`.\n\n## Seosed\n\nAlgfunktsioon valmistab ette määratud integraali. Järgmises peatükis kasutatakse algfunktsiooni väärtuste vahet, et leida arvuline pindala või kogunenud suurus.\n" }, { "id": "analuus.maaratud-integraal-ja-pindala", "title": "Määratud integraal ja pindala", "strand": "90-analuus", "order": "90.45", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 12, "main": 12, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "gümnaasium" ], "difficulty": 5, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "analuus.algfunktsioon-ja-maaramata-integraal" ], "review_modules": [ "analuus.tuletise-rakendused", "mootmine.pindala-ja-ruumala" ], "extension_modules": [ "analuus.kahe-kovera-pindala-ja-poordkeha" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-12" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/90-analuus/90.45-maaratud-integraal-ja-pindala.md", "source_sha256": "9418b32998eb6fb5ec6ff154cb16ac931a3b559d39255bade5881a70367438d7", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/90.45-maaratud-integraal-ja-pindala.html", "content_markdown": "# Määratud integraal ja pindala\n\n## Mõiste\n\nMääratud integraal\n\n$$\\int_a^b f(x)\\,dx$$\n\nkirjeldab kogunenud muutust vahemikus `$[a;b]$`. Geomeetriliselt on see märgiga pindala graafiku ja `$x$`-telje vahel.\n\nEeldus: oskad leida algfunktsiooni ja arvutada avaldise väärtust kahes rajapunktis.\n\n![Määratud integraali märgiga pindala](assets/definite-integral-area.svg \"Määratud integraal liidab `x`-teljest ülal oleva piirkonna positiivsena ja all oleva piirkonna negatiivsena.\")\n\nKui graafik on teljest ülalpool, on panus positiivne. Kui graafik on teljest allpool, on panus negatiivne.\n\nKontrolli jooniselt: kas küsitakse märgiga integraali või kogu geomeetrilist pindala.\n\n## Newtoni-Leibnizi valem\n\nKui `$F'(x)=f(x)$`, siis\n\n$$\\int_a^b f(x)\\,dx=F(b)-F(a).$$\n\nSee on arv. Määratud integraali vastusesse ei lisata `+C`, sest rajad `$a$` ja `$b$` fikseerivad tulemuse.\n\nSama valemit kirjutatakse lühendina nii:\n\n$$\\int_a^b f(x)\\,dx=[F(x)]_a^b.$$\n\n## Näide\n\nLeia pindala graafiku `$y=2x$` ja `$x$`-telje vahel vahemikus `[0;3]`.\n\nKuna vahemikus `[0;3]` on `$2x\\ge0$`, on integraal sama mis pindala:\n\n$$\\int_0^3 2x\\,dx=[x^2]_0^3=3^2-0^2=9.$$\n\nVastus: pindala on 9 ruutühikut.\n\n## Märgiga pindala\n\nKui graafik on `$x$`-teljest allpool, annab integraal negatiivse väärtuse:\n\n$$\\int_{-2}^0 x\\,dx=\\left[\\frac{x^2}{2}\\right]_{-2}^0=0-2=-2.$$\n\nGeomeetriline pindala on 2, aga määratud integraal on `-2`.\n\nKui funktsioon vahetab märki, jaga pindala leidmisel vahemik nullkohtade järgi osadeks. Näiteks `$f(x)=x$` on vahemikus `[-1;0]` allpool telge ja vahemikus `[0;1]` ülalpool.\n\nMääratud integraal:\n\n$$\\int_{-1}^1 x\\,dx=0.$$\n\nGeomeetriline pindala:\n\n$$\\left|\\int_{-1}^0 x\\,dx\\right|+\\int_0^1 x\\,dx=\\frac12+\\frac12=1.$$\n\nTõlgendus: sama joonise puhul võib määratud integraal olla 0, aga pindala 1.\n\n## Tüüpviga\n\nIntegraal ja pindala ei ole alati sama arv. Kui funktsioon vahetab märki, tuleb pindala leidmiseks vahemik nullkohtade järgi osadeks jagada.\n\nTeine tüüpviga on vahetada ülemine ja alumine rajaarv. Kui rajad ümber pöörata, muutub integraali märk:\n\n$$\\int_b^a f(x)\\,dx=-\\int_a^b f(x)\\,dx.$$\n\nKolmas tüüpviga on unustada ühik. Pindala ühik on ruutühik, aga kogunenud suuruse ühik sõltub sellest, mida funktsioon kirjeldab.\n\nNeljas tüüpviga on panna vastusesse `+C`. Määratud integraal annab arvu, mitte algfunktsioonide pere.\n\n### Kolm viisi sama mõtte jaoks\n\nMääratud integraal on pildil pindala, arvuliselt kogunenud summa ja algebraliselt algfunktsiooni väärtuste vahe.\n\n::: teacher Lähenemise valik\nKüsi enne arvutust, kas otsitakse märgiga integraali, kogunenud suurust või geomeetrilist pindala. Õpilane peab põhjendama rajad ja osadeks jagamise ning lõpetama vastuse õige ühiku ja tähendusega.\n:::\n\n## Kui vajad abi\n\nKorda algfunktsiooni leidmist ja märgiga pindala mõtet. Vaata näitest, miks nullist allpool olev osa lahutatakse, aga geomeetrilise pindala puhul võetakse absoluutväärtus. Alusta harjutustest 1 ja 2; pindala osadeks jagamist harjuta pärast ülesannet 3.\n\n## Harjutused\n\nKitsas matemaatikas: arvuta määratud integraal ja erista märgiga tulemust pindalast. Laias matemaatikas: jaga vahemik nullkohtade järgi ja põhjenda, mida integraal mõõdab.\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Leia `$\\int_0^2 x\\,dx$`.\n2. Leia `$\\int_1^3 2x\\,dx$`.\n3. Miks `$\\int_{-1}^1 x\\,dx=0$`, kuigi graafiku ja telje vahel on pindala?\n\n### Rakendus\n\n4. Millal peab pindala leidmisel vahemiku osadeks jagama?\n5. Leia graafiku `$y=4-x^2$` ja `$x$`-telje vaheline pindala vahemikus `[-2;2]`.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n6. Leia geomeetriline pindala graafiku `$y=x$` ja `$x$`-telje vahel vahemikus `[-2;2]`.\n7. Mis juhtub integraali väärtusega, kui vahetad rajad `$a$` ja `$b$`?\n8. Funktsioon on `$f(x)=x^2-1$` vahemikus `[-2;2]`. Leia nii määratud integraal kui ka geomeetriline pindala ning selgita erinevust.\n\n## Vastused\n\n1. Rajad on 0 ja 2: `$\\frac{x^2}{2}\\big|_0^2=2$`; kuna `$x\\ge0$`, on pindala 2 ruutühikut.\n2. Rajad on 1 ja 3: `$x^2\\big|_1^3=8$`; pindala on sama, sest `$2x>0$`.\n3. Negatiivne ja positiivne märgiga pindala tühistavad teineteise; geomeetriline pindala ei ole 0.\n4. Kui funktsioon vahetab vahemikus märki ehk lõikab `$x$`-telge.\n5. Funktsioon on vahemikus mittenegatiivne: `$\\int_{-2}^2(4-x^2)\\,dx=\\left[4x-\\frac{x^3}{3}\\right]_{-2}^2=\\frac{32}{3}$` ruutühikut.\n6. Lahenduskäik: funktsioon `$y=x$` vahetab märki punktis 0, seega jaga vahemik kaheks. `$\\int_{-2}^0 x\\,dx=-2$` ja `$\\int_0^2 x\\,dx=2$`; geomeetriline pindala on `$|-2|+2=4$`.\n7. Integraali märk muutub vastupidiseks, sest rajad vahetavad kogumise suuna.\n8. Märgiga integraal on `$\\frac43$`. Nullkohad on `-1` ja 1; kolme osa absoluutväärtuste summa annab geomeetrilise pindala 4 ruutühikut.\n\n::: student-hint Enesediagnoos\nKui 1-2 läks valesti, korda algfunktsiooni leidmist ja rajaarvude asendamist. Kui 3-5 läks valesti, korda märgiga pindala mõtet. Kui 6-8 läks valesti, harjuta nullkohtade järgi vahemiku osadeks jagamist ja ära lisa määratud integraali vastusesse `+C`.\n:::\n\n## Seosed\n\nMääratud integraal seob algfunktsiooni arvulise tulemuse ja graafilise pindala. Järgmine moodul laiendab sama mõtte kahe graafiku vahelisele pindalale ja pöördkeha ruumalale.\n" }, { "id": "analuus.kahe-kovera-pindala-ja-poordkeha", "title": "Kahe kõvera vaheline pindala ja pöördkeha ruumala", "strand": "90-analuus", "order": "90.48", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 12, "main": 12, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "gümnaasium" ], "difficulty": 5, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "analuus.maaratud-integraal-ja-pindala" ], "review_modules": [ "mootmine.pindala-ja-ruumala" ], "extension_modules": [ "analuus.integraali-rakendused" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-12" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/90-analuus/90.48-kahe-kovera-pindala-ja-poordkeha.md", "source_sha256": "3c2b48f6da9dcacbdf2490dd12cce0a7646851c77bfad83f1f60c68bf43a6deb", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/90.48-kahe-kovera-vaheline-pindala-ja-poordkeha-ruumala.html", "content_markdown": "# Kahe kõvera vaheline pindala ja pöördkeha ruumala\n\n## Mõiste\n\nKahe graafiku vahelise pindala leidmiseks lahuta ülemise funktsiooni väärtusest alumise funktsiooni väärtus. Rajad leitakse lõikepunktidest või antakse ülesandes.\n\nEeldus: oskad leida graafikute lõikepunkte, otsustada joonise või märgi abil, kumb funktsioon on ülal, ning arvutada määratud integraali.\n\nKui `$f(x)\\ge g(x)$` vahemikus `$[a;b]$`, siis\n\n$$A=\\int_a^b\\bigl(f(x)-g(x)\\bigr)\\,dx.$$\n\nKui graafikute järjestus vahetub, jaga vahemik lõikepunktides osadeks või kasuta mõtet\n\n$$A=\\int_a^b|f(x)-g(x)|\\,dx.$$\n\nGraafiku `$y=f(x)\\ge0$` pööramisel ümber `$x$`-telje tekib pöördkeha. Õhukese ristlõike pindala on `$\\pi f(x)^2$`, seega\n\n$$V=\\pi\\int_a^b[f(x)]^2\\,dx.$$\n\n![Kahe kõvera pindala ja pöördkeha](assets/area-between-curves-revolution.svg \"Vasakul integreeritakse ülemise ja alumise graafiku vahe; paremal moodustab pöörlemisel iga ristlõige ringketta.\")\n\nKontrolljärjekord on: leia rajad, otsusta ülemine graafik, koosta vahe, integreeri ja lisa õige ühik.\n\n## Näide\n\nLeia graafikute `$y=2x$` ja `$y=x^2$` vaheline pindala.\n\nLõikepunktid saad võrrandist `$2x=x^2$`, seega `$x=0$` ja `$x=2$`. Vahemikus `[0;2]` on `$2x\\ge x^2$`.\n\n$$\nA=\\int_0^2(2x-x^2)\\,dx\n=\\left[x^2-\\frac{x^3}{3}\\right]_0^2\n=\\frac43.\n$$\n\nKui graafik `$y=x$` vahemikus `[0;2]` pöörleb ümber `$x$`-telje, siis\n\n$$\nV=\\pi\\int_0^2x^2\\,dx=\\frac{8\\pi}{3}.\n$$\n\nVastus: pindala on `$\\frac43$` ruutühikut ja pöördkeha ruumala `$\\frac{8\\pi}{3}$` kuupühikut.\n\n## Tüüpviga\n\nEsimene tüüpviga on lahutada funktsioonid vales järjekorras. Geomeetriline pindala ei saa olla negatiivne; kontrolli jooniselt, kumb graafik on ülal.\n\nTeine tüüpviga on võtta rajad nullkohtadest, kuigi vaja on graafikute lõikepunkte. Lahenda `$f(x)=g(x)$`.\n\nKolmas tüüpviga on unustada ruumala valemis ruut: ristlõike pindala on `$\\pi r^2$`, kus `$r=f(x)$`.\n\nNeljas tüüpviga on kasutada sama ketta valemit pööramisel ümber mõne muu sirge või kahe graafiku vahelise piirkonna puhul. Siis tuleb ristlõike välis- ja siseraadius eraldi määrata.\n\n::: teacher Õpetaja lisasoovitused\nNõua enne integraali kolme märget: rajad, ülemine funktsioon ja ristlõike kuju. Nii ilmneb mudeliviga enne arvutamist.\n:::\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Leia graafikute `$y=x$` ja `$y=x^2$` lõikepunktide `$x$`-koordinaadid.\n2. Kumb funktsioon on vahemikus `[0;1]` suurem: `$x$` või `$x^2$`?\n3. Kirjuta integraal graafiku `$y=2$` pööramisel ümber `$x$`-telje vahemikus `[0;3]` tekkiva ruumala jaoks.\n\n### Rakendus\n\n4. Leia graafikute `$y=x$` ja `$y=x^2$` vaheline pindala.\n5. Anuma külgprofiili raadius on `$r(x)=x+1$` cm vahemikus `$0\\le x\\le2$`. Leia ümber `$x$`-telje pööramisel tekkiv ruumala.\n6. Maa-ala ülemist serva kirjeldab `$f(x)=4-x^2$` ja alumist serva `$g(x)=0$` vahemikus `[-2;2]`. Leia pindala ja tõlgenda ühikut.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Graafikud on `$f(x)=x^2$` ja `$g(x)=2-x^2$`. Leia nende vaheline piiratud pindala ning põhjenda, kumb on ülemine graafik.\n8. Võrdle sama ristküliku `$0\\le x\\le2$`, `$0\\le y\\le3$` pööramisel ümber `$x$`-telje saadud ruumala integraaliga ja silindri valemiga.\n9. Õpilane kirjutab pöördkeha ruumalaks `$\\pi\\int_0^2x\\,dx$`, kui `$y=x$` pöörleb ümber `$x$`-telje. Leia viga, paranda valem ja selgita ristlõike rolli.\n\n## Vastused\n\n1. `$x=x^2$` annab `$x=0$` ja `$x=1$`.\n2. `$x\\ge x^2$`; näiteks vahe `$x-x^2=x(1-x)\\ge0$`.\n3. `$V=\\pi\\int_0^3 2^2\\,dx$`.\n4. `$\\int_0^1(x-x^2)\\,dx=\\frac16$` ruutühikut.\n5. `$V=\\pi\\int_0^2(x+1)^2\\,dx=\\frac{26\\pi}{3}\\text{ cm}^3$`.\n6. `$\\int_{-2}^2(4-x^2)\\,dx=\\frac{32}{3}$` ruutühikut.\n7. Lõikepunktid on `$x=\\pm1$`; nende vahel on `$g\\ge f$`. Pindala on `$\\int_{-1}^1(2-2x^2)\\,dx=\\frac83$`.\n8. Integraal annab `$\\pi\\int_0^2 3^2\\,dx=18\\pi$`. Silindri valem annab sama: `$\\pi r^2h=\\pi\\cdot3^2\\cdot2=18\\pi$`.\n9. Ristlõige on ringketas pindalaga `$\\pi x^2$`, sest selle raadius on `$x$`. Seega on õige valem `$V=\\pi\\int_0^2x^2\\,dx=\\frac{8\\pi}{3}$`.\n\n::: student-hint Enesediagnoos\nKui 1-3 läks valesti, leia esmalt lõikepunktid ja tee väike visand. Kui 4-6 läks valesti, kirjuta integraali ette sõnadega „ülemine miinus alumine”. Kui 7-9 läks valesti, joonista üks pöördkeha ristlõige ja märgi selle raadius.\n:::\n\n## Seosed\n\nSee moodul ühendab integraali tasandigeomeetria ja ruumalaga. Järgmine moodul kasutab sama kogunemise mõtet liikumise, tootmise, voolu ja töö mudelites.\n" }, { "id": "analuus.integraali-rakendused", "title": "Integraali rakendused", "strand": "90-analuus", "order": "90.50", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 12, "main": 12, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "gümnaasium" ], "difficulty": 5, "module_tags": [ "skill", "application" ], "prerequisites": [ "analuus.kahe-kovera-pindala-ja-poordkeha" ], "review_modules": [ "analuus.tuletise-rakendused", "mootmine.pindala-ja-ruumala" ], "extension_modules": [ "opiteekond.klass-12-eksamikordamine" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-12" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/90-analuus/90.50-integraali-rakendused.md", "source_sha256": "a7f5e9574f18890ea74acec7d511344d5dc3fc8ff8fd94980ed0fcf6fb469d7f", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/90.50-integraali-rakendused.html", "content_markdown": "# Integraali rakendused\n\n## Mõiste\n\nMääratud integraal kirjeldab kogunenud suurust. Geomeetriliselt on see märgiga pindala graafiku ja `$x$`-telje vahel.\n\nEeldus: oskad leida algfunktsiooni, arvutada määratud integraali ja jälgida ühikuid.\n\nRakenduse tähenduse otsustavad küsimus ja ühikud: integraal võib anda nihke, teepikkuse, koguse või pindala.\n\n::: student-hint Enesediagnoos\nKui vastus ei sobi, kirjuta integreeritava suuruse ja muutuja ühikud. Märki vahetava kiiruse korral otsusta, kas otsid nihet või teepikkust.\n:::\n\n## Põhiseos\n\nKui `$F'(x)=f(x)$`, siis määratud integraal on arv:\n\n$$\\int_a^b f(x)\\,dx=F(b)-F(a).$$\n\nRakenduse tähendus sõltub ühikutest:\n\n| Integreeritav suurus | Muutuja | Integraali tulemus |\n| --- | --- | --- |\n| kiirus `m/s` | aeg `s` | nihe meetrites |\n| kiiruse absoluutväärtus `m/s` | aeg `s` | teepikkus meetrites |\n| tootmiskiirus `tk/h` | aeg `h` | toodete arv |\n| voolukiirus `l/min` | aeg `min` | vedeliku kogus liitrites |\n| tihedus `kg/m` | pikkus `m` | mass kilogrammides |\n| jõud `N` | teepikkus `m` | töö džaulides |\n\nIntegraali ühik on integreeritava suuruse ühik korrutatud muutuja ühikuga.\n\nEnne arvutamist kirjuta üks lause: \"integraal annab ...\" ja lisa oodatav ühik.\n\nKui kiirus võib olla negatiivne, tuleb eristada:\n\n$$\\text{nihe}=\\int_a^b v(t)\\,dt,$$\n\naga\n\n$$\\text{teepikkus}=\\int_a^b |v(t)|\\,dt.$$\n\nNihe arvestab suunda. Teepikkus loeb kogu liikumise pikkuse kokku.\n\nKui liikumissuunaline jõud `$F(x)$` sõltub asukohast, siis tehtud töö on\n\n$$W=\\int_a^b F(x)\\,dx.$$\n\nKonstantse jõu `$F=12$` N korral 5-meetrisel teel on töö `$W=12\\cdot5=60$` J. Muutuva jõu korral liidab integraal lühikeste teelõikude tööd.\n\n## Näide\n\n$$\\int_0^3 2x\\,dx=[x^2]_0^3=9.$$\n\nNäiteks kui keha kiirus on\n\n$$v(t)=2t$$\n\nmeetrit sekundis ja aeg `$t$` on sekundites, siis vahemikus `[0;3]` läbitud teepikkus on\n\n$$\\int_0^3 2t\\,dt=9\\text{ m}.$$\n\nKui tootmise hetkekiirus on `$r(t)=50+10t$` toodet tunnis, siis esimese 4 tunni kogutoodang on\n\n$$\\int_0^4 (50+10t)\\,dt=[50t+5t^2]_0^4=280.$$\n\nVoolukiirus\n\n$$q(t)=3+2t$$\n\nliitrit minutis annab viie minutiga\n\n$$\\int_0^5 (3+2t)\\,dt=[3t+t^2]_0^5=15+25=40\\text{ l}.$$\n\nNihe ja teepikkus võivad erineda. Kui keha kiirus on\n\n$$v(t)=t-2$$\n\nvahemikus `[0;4]`, siis nihe on\n\n$$\\int_0^4 (t-2)\\,dt=\\left[\\frac{t^2}{2}-2t\\right]_0^4=8-8=0.$$\n\nTeepikkus kasutab absoluutväärtust:\n\n$$\\int_0^2 (2-t)\\,dt+\\int_2^4 (t-2)\\,dt=2+2=4.$$\n\nVastus: tulemused on 9 m, 280 toodet ja 40 l; viimase liikumise nihe on 0, teepikkus 4.\n\n## Tüüpviga\n\nTeljest allpool annab integraal negatiivse panuse. Pindala leidmisel võetakse osad positiivsena.\n\nTeine tüüpviga on ühikuid mitte jälgida: `$(\\mathrm{m/s})\\cdot\\mathrm{s}=\\mathrm{m}$` ja `$(\\mathrm{tk/h})\\cdot\\mathrm{h}=\\mathrm{tk}$`.\n\nKolmas tüüpviga on nimetada iga kiiruse integraali teepikkuseks. Kui kiirus on suunaga ja võib olla negatiivne, annab integraal nihke. Teepikkuse jaoks tuleb liita liikumise pikkused ilma märgita.\n\nNeljas tüüpviga on unustada, et integraali rajad peavad vastama küsimusele. Kui küsitakse esimese 3 tunni kogust, ei tohi integreerida 0 kuni 4.\n\n::: teacher Õpetaja diagnostika\nPalu enne arvutust lõpetada lause \"Integreerin ... järgi, et leida ...\". Lõpus nõua tulemust koos ühiku ja tähendusega; nii eristuvad vale mudel, valed rajad ja arvutusviga.\n:::\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Leia `$\\int_0^2 x\\,dx$`.\n2. Mis on algfunktsioon funktsioonile `$3x^2$`?\n3. Kuidas erinevad integraal ja geomeetriline pindala?\n\n### Rakendus\n\n4. Auto kiirus on `$v(t)=5t$` m/s. Kui pika tee läbib ta vahemikus `0` kuni `4` sekundit?\n5. Tootmiskiirus on `$r(t)=20$` tk/h. Mitu toodet valmib 3 tunniga?\n6. Miks on rakendusülesandes ühikute jälgimine oluline?\n7. Vee voolukiirus on `$q(t)=4$` l/min. Kui palju vett lisandub 6 minutiga?\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n8. Tootmiskiirus on `$r(t)=10+2t$` tk/h. Mitu toodet valmib esimese 3 tunniga?\n9. Kiirus on `$v(t)=t-1$` m/s vahemikus `[0;2]`. Leia nihe.\n10. Sama kiiruse `$v(t)=t-1$` korral leia teepikkus vahemikus `[0;2]`, võrdle seda eelmise ülesande nihkega ja selgita erinevust.\n11. Vee voolukiirus on `$q(t)=6+t$` l/min. Leia nelja minutiga lisanduv veekogus ja tõlgenda ühikut.\n12. Vedru venitamiseks vajalik jõud on `$F(x)=20x$` njuutonit. Leia töö vahemikus `$0\\le x\\le0{,}3$` m ja selgita integraali ühikut.\n\n## Vastused\n\n1. `$2$`.\n2. `$x^3+C$`.\n3. Integraal on märgiga summa; geomeetriline pindala loeb kõik osad positiivsena.\n4. `$\\int_0^4 5t\\,dt=\\frac52\\cdot16=40$` m, sest $(m/s)\\cdot s=m$.\n5. `$\\int_0^3 20\\,dt=60$` toodet.\n6. Ühikud näitavad, kas tulemus on meeter, liiter, toodete arv või muu kogus.\n7. `$\\int_0^6 4\\,dt=24$` l.\n8. `$\\int_0^3 (10+2t)\\,dt=[10t+t^2]_0^3=39$` toodet.\n9. `$\\int_0^2 (t-1)\\,dt=\\left[\\frac{t^2}{2}-t\\right]_0^2=0$` m; see on nihe.\n10. `$\\int_0^1 (1-t)\\,dt+\\int_1^2 (t-1)\\,dt=\\frac12+\\frac12=1$` m. Teepikkus on nihkest suurem, sest teepikkus liidab mõlemad liikumissuunad positiivsena, aga nihkes need tasakaalustavad teineteist.\n11. `$\\int_0^4(6+t)\\,dt=\\left[6t+\\frac{t^2}{2}\\right]_0^4=32$` l; voolukiiruse ja aja korrutamisel saadakse veekogus.\n12. `$W=\\int_0^{0{,}3}20x\\,dx=[10x^2]_0^{0{,}3}=0{,}9$` J. Ühik on `N·m`, mis on üks džaul.\n\n## Seosed\n\nIntegraali rakendustes muutub määratud integraal mudeli vastuseks. See peatükk kasutab eelneva määratud integraali peatüki arvutusvõtteid ning viib edasi modelleerimise juurde: mida funktsioon mõõdab, mis on rajad ja millises ühikus vastus tuleb.\n" }, { "id": "loogika.mis-on-toestus", "title": "Mis on tõestus?", "strand": "100-loogika", "order": "100.05", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 7, "main": 8, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 3, "module_tags": [ "concept", "skill" ], "prerequisites": [ "arvud.jaguvus-algarvud-sut" ], "review_modules": [ "algebra.muutuja-ja-avaldis", "algebra.vorrandid-ja-vorratused" ], "extension_modules": [ "geomeetria-suvendus.geomeetriline-definitsioon-ja-toestus" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-8", "klass-10", "klass-12" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/100-loogika/100.05-mis-on-toestus.md", "source_sha256": "0478cf8cd46aa27ad58955378ea764e3dcd5bbf26e4e34c541c7c797065186e6", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/100.05-mis-on-toestus.html", "content_markdown": "# Mis on tõestus?\n\n## Mõiste\n\nTõestus on põhjendus, mis näitab, miks matemaatiline väide kehtib kõigil lubatud juhtudel. Näide aitab väidet mõista, aga näide üksi ei tõesta üldist väidet.\n\nEeldus: oskad eristada väidet, näidet ja vastunäidet ning tunned paarisarvu ja jaguvuse mõtet.\n\nTõestust on vaja, sest matemaatikas ei piisa uskumisest, joonise järgi paistmisest ega mõnest õnnestunud proovist. Tõestus ütleb, millistest eeldustest alustame ja miks järeldus neist kindlasti järgneb.\n\nPeamised tõestusviisid:\n\n| Viis | Millal kasutada? | Mõte |\n| --- | --- | --- |\n| otsene tõestus | kui eeldusest saab kohe järelduseni liikuda | alusta eeldusest ja arvuta või teisenda |\n| vastunäide | kui tahad üldväidet ümber lükata | leia üks lubatud juht, kus väide ei kehti |\n| vastuväiteline tõestus | kui otse on raske | eelda vastupidist ja jõua vastuoluni |\n| kahe suuna tõestus | kui väites on \"parajasti siis, kui\" | tõesta mõlemad suunad eraldi |\n| induktsioon | kui väide käib kõigi naturaalarvude kohta | tõesta algus ja samm järgmiseni |\n\nEnne meetodi valimist küsi: kas tahan väidet tõestada kõigil lubatud juhtudel või piisab selle ümberlükkamiseks ühest vastunäitest?\n\nTõestuse lõpus kontrolli, kas iga kasutatud samm tuleb eeldusest, definitsioonist või varem teada teoreemist.\n\n::: teacher Õpetaja lisasoovitused\nKüsi: \"Kas eesmärk on väide tõestada või ümber lükata ning miks valitud viis selleks piisab?\" Nõua eelduste, lubatud juhtude hulga ja otsustava järeldussammu nimetamist; üks näide ei ole üldine põhjendus.\n:::\n\n## Näide\n\nVäide: kui täisarv `$n$` jagub 4-ga, siis `$n$` on paarisarv.\n\nOtsene tõestus: kui `$n$` jagub 4-ga, siis leidub täisarv `$k$`, nii et\n\n$$n=4k.$$\n\nAga\n\n$$4k=2(2k).$$\n\nKuna `$2k$` on täisarv, saab `$n$` kirjutada kujul `$2\\cdot\\text{täisarv}$`. Seega `$n$` on paarisarv.\n\nSama teema vastupidine väide ei kehti: \"kui arv on paarisarv, siis ta jagub 4-ga\" on väär, sest `$6$` on paarisarv, aga ei jagu 4-ga.\n\nTõlgendus: esimene väide on tõestatud, vastupidine väide on ühe vastunäitega ümber lükatud.\n\n## Tüüpviga\n\nTüüpviga on tuua kolm näidet ja nimetada seda tõestuseks. Näited võivad anda idee, aga üldväite puhul peavad kaetud olema kõik lubatud juhud.\n\nTeine tüüpviga on tõestada vale suunda. Väide \"kui `$P$`, siis `$Q$`\" ei tähenda sama mis \"kui `$Q$`, siis `$P$`\".\n\nKolmas tüüpviga on kasutada joonist tõestusena ilma põhjenduseta. Joonis võib anda vihje, aga arvutus või loogiline seos peab ütlema, miks asi alati kehtib.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Kas üks näide tõestab väite \"kõik paarisarvud jaguvad 4-ga\"?\n2. Too vastunäide väitele \"kõik täisarvud on positiivsed\".\n\n### Rakendus\n\n3. Tõesta otseselt: kui arv jagub 6-ga, siis ta jagub 3-ga.\n4. Kas väide \"kui arv jagub 3-ga, siis ta jagub 6-ga\" on tõene?\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n5. Miks tuleb väites \"parajasti siis, kui\" tõestada kaks suunda?\n6. Millist tõestusviisi kasutaksid väite \"iga paarisarv on kujul `$2k$`\" jaoks?\n7. Millist tõestusviisi kasutaksid väite \"iga algarv on paaritu\" kontrollimiseks?\n\n## Vastused\n\n1. Ei. Näiteks `$8$` jagub 4-ga, aga see ei ütle midagi kõigi paarisarvude kohta.\n2. Näiteks `$-2$` on täisarv, aga ei ole positiivne.\n3. Kui `$n=6k$`, siis `$n=3(2k)$`; seega `$n$` jagub 3-ga.\n4. Ei. Näiteks `$9$` jagub 3-ga, aga ei jagu 6-ga.\n5. Sest ekvivalents väidab, et kumbki tingimus annab teise.\n6. Otsest tõestust definitsiooni abil.\n7. Vastunäidet: `$2$` on algarv, aga ei ole paaritu.\n\n## Seosed\n\nSee leht valmistab ette loogika, hulkade, geomeetrilise tõestamise, induktsiooni ja algoritmide korrektsuse peatükke. Küsimus ei ole ainult \"mis vastus tuli?\", vaid \"miks see vastus peab alati nii tulema?\".\n" }, { "id": "loogika.loogika-hulgad-toestus", "title": "Loogika, hulgad ja tõestus", "strand": "100-loogika", "order": "100.10", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 7, "main": 10, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "concept", "application" ], "prerequisites": [ "algebra.muutuja-ja-avaldis", "loogika.mis-on-toestus" ], "review_modules": [ "arvud.arvuhulgad-ja-reaalarvud", "algebra.vorrandid-ja-vorratused" ], "extension_modules": [ "loogika.matemaatiline-induktsioon" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-10", "klass-12" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/100-loogika/100.10-loogika-hulgad-toestus.md", "source_sha256": "0f37672d389ce8d63c4a5de69ce872515b4c80412e90b59fa07e980327d6f9dd", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/100.10-loogika-hulgad-ja-toestus.html", "content_markdown": "# Loogika, hulgad ja tõestus\n\n## Mõiste\n\nLoogikas kontrollime, kas järeldus tuleb eeldustest päriselt välja. Hulk on objektide kogum. Tõestus näitab, miks väide kehtib kõigil lubatud juhtudel.\n\nEeldus: oskad kasutada muutujaid, lihtsaid arvuhulki ja näha, kas näide vastab väitele.\n\n## Märgid\n\n- `$\\in$` tähendab “kuulub hulka”.\n- `$\\subset$` tähendab “on alamhulk”.\n- `$\\Rightarrow$` tähendab “sellest järeldub”.\n- `$\\Leftrightarrow$` tähendab “parajasti siis, kui”.\n\n| märge | loetakse | tähendus |\n| --- | --- | --- |\n| `$x\\in A$` | `$x$` kuulub hulka `$A$` | objekt on hulga liige |\n| `$A\\subset B$` | `$A$` on hulga `$B$` alamhulk | kõik `$A$` elemendid on ka `$B$` elemendid |\n| `$P\\Rightarrow Q$` | kui `$P$`, siis `$Q$` | implikatsioon |\n| `$P\\Leftrightarrow Q$` | `$P$` parajasti siis, kui `$Q$` | mõlemad suunad kehtivad |\n\n## Implikatsioon\n\nImplikatsioon\n\n$$P\\Rightarrow Q$$\n\ntähendab: kui eeldus `$P$` kehtib, siis järeldus `$Q$` peab kehtima.\n\nEeldus on lähtekoht; järeldus on see, mida sellest lähtekohast põhjendusega saadakse.\n\nNäide:\n\nKui arv jagub 4-ga, siis ta jagub 2-ga.\n\n$$4\\mid n\\Rightarrow 2\\mid n.$$\n\nVastupidine suund ei pruugi kehtida:\n\n$$2\\mid n\\not\\Rightarrow 4\\mid n,$$\n\nsest `$6$` jagub 2-ga, aga ei jagu 4-ga.\n\nSeega kontrolli alati, kummast eeldusest alustad ja millise järelduseni pead jõudma.\n\n## Ekvivalents\n\nEkvivalents\n\n$$P\\Leftrightarrow Q$$\n\ntähendab, et mõlemad suunad kehtivad:\n\n$$P\\Rightarrow Q$$\n\nja\n\n$$Q\\Rightarrow P.$$\n\nNäide:\n\nTäisarv `$n$` on paarisarv parajasti siis, kui leidub täisarv `$k$`, nii et\n\n$$n=2k.$$\n\nSiin toimivad mõlemad suunad:\n\n- kui `$n$` on paarisarv, saab teda kirjutada kujul `$2k$`;\n- kui `$n=2k$`, siis `$n$` on paarisarv.\n\n## Vastunäide\n\nÜldväite ümberlükkamiseks piisab ühest vastunäitest.\n\nÜldväite tõestamiseks peab põhjendus katma kõik lubatud juhud, mitte ainult mõne näite.\n\nVäide: “Kõik paarisarvud jaguvad 4-ga.”\n\nVastunäide: `$6$` on paarisarv, aga `$6$` ei jagu 4-ga.\n\nSeega väide on väär.\n\n## Näide\n\nKui arv jagub 4-ga, siis ta jagub 2-ga. Vastupidine väide ei kehti: 6 jagub 2-ga, aga ei jagu 4-ga.\n\nHulkade näide:\n\n$$\\mathbb{N}\\subset\\mathbb{Z}\\subset\\mathbb{Q}\\subset\\mathbb{R}.$$\n\nKui `$x\\in\\mathbb{N}$`, siis kindlasti `$x\\in\\mathbb{Z}$`. Vastupidine ei kehti: `$-3\\in\\mathbb{Z}$`, aga `$-3\\notin\\mathbb{N}$`, kui naturaalarvud algavad 1-st.\n\nTõlgendus: hulkade sisaldumine annab ühe suuna; vastupidist suunda peab eraldi kontrollima.\n\n## Tüüpviga\n\nÜks näide võib väite ümber lükata, aga üks näide ei tõesta üldist väidet.\n\nTeine tüüpviga on segada implikatsioon ja ekvivalents. Väide “kui arv jagub 4-ga, siis jagub 2-ga” ei tähenda automaatselt, et “kui arv jagub 2-ga, siis jagub 4-ga”.\n\nKolmas tüüpviga on kasutada sõna “või” ja mõelda “ja”. Matemaatikas tähendab “`$P$` või `$Q$`” tavaliselt, et vähemalt üks neist kehtib.\n\nNeljas tüüpviga on pidada vastupidist väidet automaatselt tõeseks. Iga implikatsiooni puhul kontrolli eraldi ka vastupidist suunda.\n\n## Kui vajad abi\n\nKorda hulkadesse kuulumise märke ja vahet väitel ning selle vastupidisel väitel. Vaata näitest, kuidas üks vastunäide lükkab üldise väite ümber. Alusta harjutustest 1 ja 2; tõestuse kirjutamise juurde mine siis, kui implikatsiooni suund on selge.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Kas väide “kui `$x>5$`, siis `$x>2$`” on tõene?\n2. Kas vastupidine väide “kui `$x>2$`, siis `$x>5$`” on tõene?\n\n### Rakendus\n\n3. Too vastunäide väitele “kõik täisarvud on naturaalarvud”.\n4. Selgita, mida tähendab `$P\\Leftrightarrow Q$`.\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n5. Kas väide “arv on paarisarv parajasti siis, kui ta on kujul `$2k$`, kus `$k$` on täisarv” on ekvivalents?\n6. Kas “ei kehti korraga `$P$` ja `$Q$`” tähendab sama mis “ei kehti `$P$` ega `$Q$`”? Põhjenda.\n7. Olgu `$P$`: arv jagub 2-ga ja `$Q$`: arv jagub 3-ga. Mida tähendab “`$P$` või `$Q$`”? Too näide arvust, mis sobib.\n\n## Vastused\n\n1. Jah, sest `$x>5$` korral on kindlasti `$x>2$`.\n2. Ei. `$x=3$` on vastunäide.\n3. Näiteks `-1` on täisarv, aga ei ole naturaalarv.\n4. Mõlemad suunad kehtivad: `$P\\Rightarrow Q$` ja `$Q\\Rightarrow P$`.\n5. Jah: paarisarvust saab kirjutada `$n=2k$` ja iga `$2k$` kujuline täisarv on paarisarv.\n6. Ei. Kui `$P$` on tõene ja `$Q$` väär, ei kehti need korraga, kuid väide „kumbki ei kehti” on väär.\n7. Arv jagub 2-ga või 3-ga või mõlemaga; matemaatiline \"või\" lubab ka mõlemat korraga. Näiteks 8 sobib, 9 sobib ja 6 sobib mõlemaga.\n\n## Seosed\n\nLoogika on tõestuste, võrratuste, funktsioonide omaduste ja kõrgema matemaatika alus. Järgmine matemaatilise induktsiooni peatükk kasutab loogilist järeldamist lõpmatu hulga väidete tõestamiseks.\n" }, { "id": "loogika.matemaatiline-induktsioon", "title": "Matemaatiline induktsioon", "strand": "100-loogika", "order": "100.20", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 10, "main": 11, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "gümnaasium" ], "difficulty": 5, "module_tags": [ "skill", "application" ], "prerequisites": [ "loogika.loogika-hulgad-toestus", "analuus.jadad" ], "review_modules": [ "arvud.astmed-juured-standardkuju", "algebra.muutuja-ja-avaldis" ], "extension_modules": [], "used_directly_in_class_books": [ "klass-11", "klass-12" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/100-loogika/100.20-matemaatiline-induktsioon.md", "source_sha256": "38b606bf8ab70f94b99862624b05ede5861c4b69bd5d70be4e2a4ff387feb74b", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/100.20-matemaatiline-induktsioon.html", "content_markdown": "# Matemaatiline induktsioon\n\n## Mõiste\n\nMatemaatiline induktsioon on tõestusviis väidetele, mis sõltuvad naturaalarvust `$n$`.\n\nEeldus: oskad lugeda väiteid kujul `$P(n)$`, teha algebralisi teisendusi ja kasutada jadade summasid.\n\nIntuitsioon on nagu doominorida:\n\n- esimene doomino kukub;\n- iga doomino lükkab järgmise ümber.\n\nKui mõlemad tingimused kehtivad, kukuvad kõik doominod. Induktsioonis tähendab see:\n\n- väide kehtib esimese `$n$` väärtuse jaoks;\n- kui väide kehtib mingi `$n$` jaoks, siis kehtib see ka `$n+1$` jaoks.\n\n## Skeem\n\n1. Baassamm: tõesta väide esimese väärtuse jaoks.\n2. Induktsioonisamm: eelda, et väide kehtib `$n$` korral, ja tõesta, et siis kehtib see `$n+1$` korral.\n\nInduktsioonisammus ei tõestata väidet uuesti nullist. Seal kasutatakse induktsioonieeldust.\n\nKui väidet tähistada `$P(n)$`, siis tõestuse kuju on:\n\n$$P(1)\\quad\\text{ja}\\quad P(n)\\Rightarrow P(n+1).$$\n\nKontrolli lõpus kolme asja: kas baassamm on olemas, kas induktsioonieeldus on selgelt öeldud ja kas `$P(n+1)$` tõestamisel seda eeldust kasutati.\n\nKui mõni neist puudub, ei ole väidete ahel veel katkematu.\n\n## Näide\n\nVäide:\n\n$$1+2+\\cdots+n=\\frac{n(n+1)}2.$$\n\nBaassamm `$n=1$`:\n\n$$1=\\frac{1\\cdot2}{2}.$$\n\nBaassamm kehtib.\n\nInduktsioonieeldus: oletame, et mingi naturaalarvu `$n$` korral kehtib\n\n$$1+2+\\cdots+n=\\frac{n(n+1)}2.$$\n\nTahame tõestada, et siis kehtib väide ka `$n+1$` korral:\n\n$$1+2+\\cdots+n+(n+1)=\\frac{(n+1)(n+2)}2.$$\n\nAlustame vasakust poolest ja kasutame induktsioonieeldust:\n\n$$1+2+\\cdots+n+(n+1)=\\frac{n(n+1)}2+(n+1).$$\n\nViime ühise nimetaja alla:\n\n$$\\frac{n(n+1)}2+\\frac{2(n+1)}2.$$\n\nVõtame `$(n+1)$` sulgude ette:\n\n$$\\frac{(n+1)(n+2)}2.$$\n\nSee on täpselt see, mida pidime tõestama. Seega kehtib valem kõigi naturaalarvude `$n$` korral.\n\nTõlgendus: baassamm alustab ahela ja induktsioonisamm kannab tõestuse igalt `$n$`-lt järgmisele.\n\n## Veel üks lihtne näide\n\nTõesta, et\n\n$$2+4+6+\\cdots+2n=n(n+1).$$\n\nBaassamm `$n=1$`:\n\n$$2=1\\cdot2.$$\n\nInduktsioonieeldus:\n\n$$2+4+\\cdots+2n=n(n+1).$$\n\nLisame järgmise liikme `$2(n+1)$`:\n\n$$2+4+\\cdots+2n+2(n+1)=n(n+1)+2(n+1).$$\n\nVõtame `$(n+1)$` ette:\n\n$$(n+1)(n+2).$$\n\nSee on sama valem `$n+1$` jaoks:\n\n$$(n+1)((n+1)+1).$$\n\nTõlgendus: baassamm ja induktsioonisamm koos näitavad, et valem kehtib kõigi naturaalarvude `$n$` korral.\n\n## Tüüpviga\n\nInduktsioon ei ole “kontrollin mõne näite peal”. Näited aitavad aimata, aga tõestuseks on vaja üldist sammu.\n\nTeine tüüpviga on unustada baassamm. Ilma esimese doomino kukkumiseta ei piisa teadmisest, et iga doomino lükkaks järgmise.\n\nKolmas tüüpviga on võtta induktsioonisammus väide `$n+1$` kohta juba tõesena. Eeldada tohib väidet `$n$` kohta; järgmine juht tuleb tõestada. Kui suudad väite `$n+1$` kohta tõestada ilma induktsioonieelduseta, on ka see korrektne.\n\nNeljas tüüpviga on tõestada ainult üleminekut, aga mitte öelda, millisest väärtusest tõestus algab. Kui väide algab näiteks `$n=0$` korral, peab ka baassamm olema `$n=0$`.\n\n### Teine seletusviis\n\nInduktsiooni võib mõelda redelina: esimene aste peab kandma ja iga astme pealt peab saama järgmisele.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Kontrolli summavalemit `$n=3$` korral.\n2. Miks on baassamm vajalik?\n3. Mida tähendab induktsioonieeldus?\n\n### Rakendus\n\n4. Tõesta induktsiooniga, et `$1+3+5+\\cdots+(2n-1)=n^2$`.\n5. Mis on induktsioonisammus vaja tõestada, kui väide on `$P(n)$`?\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n6. Miks ei piisa induktsioonitõestuses ainult juhtude `$n=1,2,3$` kontrollimisest?\n7. Väide `$P(n)$` algab väärtusest `$n=0$`. Milline peab olema baassamm ja milline induktsioonisamm?\n8. Õpilane kontrollib `$P(1)$`, eeldab `$P(n)$` ja kirjutab kohe „järelikult `$P(n+1)$`”. Mis on tõestusest puudu?\n\n## Vastused\n\n1. `$1+2+3=6$` ja `$\\frac{3\\cdot4}{2}=6$`.\n2. See käivitab tõestuse, nagu esimene doomino.\n3. Oletame, et väide kehtib mingi `$n$` korral, et selle abil tõestada järgmine juht.\n4. Baassamm: `$1=1^2$`. Eeldus: `$1+3+\\cdots+(2n-1)=n^2$`. Lisame järgmise paaritu arvu `$2n+1$`: `$n^2+2n+1=(n+1)^2$`. Seega kehtib väide kõigi naturaalarvude `$n$` korral.\n5. Tuleb tõestada, et `$P(n)\\Rightarrow P(n+1)$`.\n6. Sest üksikud näited ei tõesta väidet kõigi naturaalarvude kohta; vaja on ka üleminekusammu `$P(n)\\Rightarrow P(n+1)$`.\n7. Baassamm on `$P(0)$`. Induktsioonisammus eeldatakse `$P(n)$` ja tõestatakse `$P(n+1)$`.\n8. Puudu on põhjendus, kuidas `$P(n)$` abil saadakse `$P(n+1)$`; eeldus üksi järgmist juhtu ei tõesta.\n\n## Seosed\n\nInduktsioon toetub loogilisele järeldusele ja on lähedane rekursioonile: rekursioon arvutab järgmise väärtuse varasemate põhjal, induktsioon tõestab järgmise juhu varasema põhjal. Järgmine peatükk kasutab sama mõtet algoritmide ja rekursiivsete kirjelduste juures.\n" }, { "id": "loogika.algoritmid-ja-rekursioon", "title": "Algoritmid ja rekursioon", "strand": "100-loogika", "order": "100.30", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 7, "main": 11, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "concept", "skill", "application" ], "prerequisites": [ "arvud.jaguvus-algarvud-sut", "analuus.jadad" ], "review_modules": [ "loogika.loogika-hulgad-toestus", "algebra.muutuja-ja-avaldis" ], "extension_modules": [], "used_directly_in_class_books": [ "klass-11" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/100-loogika/100.30-algoritmid-ja-rekursioon.md", "source_sha256": "bf35fd9d9e2309f76b22239f7a4cccba59d52a603eb71babf1264a5bf5cc113e", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/100.30-algoritmid-ja-rekursioon.html", "content_markdown": "# Algoritmid ja rekursioon\n\n## Mõiste\n\nAlgoritm on täpne sammude jada probleemi lahendamiseks. Rekursioon tähendab, et objekt või arvutus määratletakse eelmiste väärtuste kaudu.\n\nEeldus: oskad kasutada jaguvust, jääki, lihtsaid tingimuslauseid ja jadade esimesi liikmeid.\n\nHea algoritm kirjeldab:\n\n- sisendit: millised andmed antakse;\n- samme: mida nendega tehakse;\n- väljundit: mis tulemus saadakse;\n- lõpetamistingimust: millal töö lõpeb.\n\nAlgoritmi kontrollimisel küsi alati: kas sisend on selge, kas sammud on üheselt mõistetavad ja kas arvutus jõuab lõpuni?\n\nLõppemise kontrolliks otsi suurust, mis igal sammul liigub peatustingimuse poole. Eukleidese algoritmis muutub jääk väiksemaks; rekursioonis peab iga järgmine alamülesanne olema eelmisest lihtsam.\n\n## Pseudokood\n\nPseudokood on inimloetav kirjeldus, mis sarnaneb programmile, aga ei sõltu ühestki programmeerimiskeelest.\n\nNäide: kahe arvu summa.\n\n```text\nsisend: arvud a ja b\nsumma = a + b\nväljund: summa\n```\n\nNäide: leia loendist suurim arv.\n\n```text\nsisend: mittetühi arvude loend\nsuurim = esimene arv loendis\niga järgmise arvu kohta:\n kui arv > suurim:\n suurim = arv\nväljund: suurim\n```\n\n## Eukleidese algoritm\n\nKahe arvu suurima ühisteguri saab leida jääkide abil.\n\n```text\nsisend: positiivsed täisarvud a ja b\nkuni b ei ole 0:\n jääk = a jagamisel b-ga tekkiv jääk\n a = b\n b = jääk\nväljund: a\n```\n\nNäiteks `$SÜT(48,18)$`:\n\n$$48=2\\cdot18+12,$$\n\n$$18=1\\cdot12+6,$$\n\n$$12=2\\cdot6+0.$$\n\nKui jääk on 0, on viimane nullist erinev jagaja 6. Seega `$SÜT(48,18)=6$`.\n\n## Rekursioon\n\nFibonacci jada:\n\n$$F_1=1,\\qquad F_2=1,$$\n\n$$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}.$$\n\nSiin on peatustingimused `$F_1=1$` ja `$F_2=1$`. Ilma nendeta ei teaks, kust arvutamist alustada.\n\nRekursiivne pseudokood Fibonacci arvu jaoks:\n\n```text\nF(n):\n kui n = 1 või n = 2:\n tagasta 1\n muidu:\n tagasta F(n-1) + F(n-2)\n```\n\nPeatustingimus on rida\n\n```text\nkui n = 1 või n = 2:\n tagasta 1\n```\n\nSee takistab lõputut tagasikutsumist.\n\nRekursioonis peab iga samm liikuma lihtsama juhu poole: `$F_6$` vajab `$F_5$` ja `$F_4$`, need vajavad veel varasemaid liikmeid, kuni jõutakse väärtusteni `$F_1$` ja `$F_2$`.\n\n## Näide\n\nLeia `$F_6$`.\n\nAlustame teadaolevatest algväärtustest:\n\n$$F_1=1,\\quad F_2=1.$$\n\nSeejärel kasutame reeglit `$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$`:\n\n$$F_3=F_2+F_1=1+1=2,$$\n\n$$F_4=F_3+F_2=2+1=3,$$\n\n$$F_5=F_4+F_3=3+2=5,$$\n\n$$F_6=F_5+F_4=5+3=8.$$\n\nVastus: `$F_6=8$`.\n\nKontroll: iga uus liige on kahe eelmise summa, nii et jada algus on `$1,1,2,3,5,8$`.\n\n## Tüüpviga\n\nRekursiivsel kirjeldusel peab olema algväärtus. Muidu ei saa arvutust alustada.\n\nTeine tüüpviga on kirjutada rekursioon nii, et see ei liigu peatustingimuse poole. Näiteks kui `$F(n)$` kutsub uuesti `$F(n)$`, ei muutu ülesanne väiksemaks ja arvutus ei lõpe.\n\nKolmas tüüpviga on ajada algoritmi kirjeldus ja üks konkreetne arvutus segi. Algoritm peab töötama kõigi lubatud sisendite jaoks, mitte ainult ühe näite jaoks.\n\nNeljas tüüpviga on jätta sisendipiirid ütlemata. Näiteks Eukleidese algoritmi juures peab olema selge, et sisendiks on positiivsed täisarvud.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Leia Fibonacci jada kuues liige.\n2. Kirjelda algoritm kahe arvu suurima ühisteguri leidmiseks.\n\n### Rakendus\n\n3. Miks vajab rekursioon lõpetamistingimust?\n4. Mis on sisend ja väljund Eukleidese algoritmis?\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n5. Kirjuta pseudokood, mis kontrollib, kas täisarv `$n$` on paarisarv.\n6. Mis juhtub rekursiooniga, kui peatustingimus puudub?\n7. Milline on sisend, väljund ja lõpetamistingimus algoritmis, mis loendab arvud 1-st `$n$`-ni?\n8. Miks on oluline, et rekursiivne samm liiguks lihtsama juhu poole?\n\n## Vastused\n\n1. `$F_6=8$`.\n2. Jaga suuremat väiksemaga, asenda arvud jagaja ja jäägiga, korda kuni jääk on 0; viimane nullist erinev jagaja on SÜT.\n3. Et arvutus lõpeks ja jõuaks teadaoleva algväärtuseni; iga samm peab liikuma sellele lähemale.\n4. Sisend on kaks positiivset täisarvu, väljund on nende suurim ühistegur.\n5. Näiteks:\n\n```text\nsisend: täisarv n\nkui n jagamisel 2-ga jääk on 0:\n väljund: paarisarv\nmuidu:\n väljund: paaritu arv\n```\n\n6. Arvutus võib jätkuda lõputult või kuni arvutil ressursid otsa saavad.\n7. Sisend on positiivne täisarv `$n$`; väljund on arvud `$1,2,\\ldots,n$`; lõpetamistingimus on see, et loendur jõuab väärtuseni `$n$`, seega järgmine samm enam uut arvu ei lisa.\n8. Siis jõuab arvutus lõpuks algväärtuse või peatustingimuseni; rekursiivne sisend peab igal sammul lihtsamaks muutuma.\n\n## Seosed\n\nAlgoritmid seovad matemaatika informaatika, tõestuste, jadade ja modelleerimisega. Järgmine modelleerimise plokk kasutab sama mõtet: päris olukord tuleb muuta selgete sisendite, reeglite ja väljundiga matemaatiliseks mudeliks.\n" }, { "id": "modelleerimine.probleemilahendus-ja-mudelid", "title": "Probleemilahendus ja mudelid", "strand": "110-modelleerimine", "order": "110.10", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 4, "main": 8, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "II kooliaste", "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 3, "module_tags": [ "application" ], "prerequisites": [ "arvud.protsendid-suhted-vorded", "algebra.vorrandid-ja-vorratused", "funktsioonid.lineaarfunktsioon" ], "review_modules": [ "andmed.tabelid-diagrammid-keskmised", "mootmine.uhikud-ja-mootmine" ], "extension_modules": [ "modelleerimine.hinnangud-ja-uhikuanaluus" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-8", "klass-9", "klass-10", "klass-12" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/110-modelleerimine/110.10-probleemilahendus-ja-mudelid.md", "source_sha256": "c6ad271a9fd1faeb35437d9d52bb8dc2a9c77a31dbfa53539a86a5261664313d", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/110.10-probleemilahendus-ja-mudelid.html", "content_markdown": "# Probleemilahendus ja mudelid\n\n## Mõiste\n\nMatemaatiline mudel on päriselulise olukorra lihtsustatud kirjeldus: valem, tabel, graafik, võrrand või simulatsioon.\n\nEeldus: oskad kasutada protsente, võrdeid, lihtsaid võrrandeid ja lineaarfunktsiooni.\n\nMudelil on sisend ja väljund. Sisend on suurus, mille mudelisse paned; väljund on arvutatud vastus. Täht saab tähenduse alles siis, kui ütled tema rolli ja ühiku.\n\n## Andmetest mudelini\n\n| samm | küsimus | tulemus |\n| --- | --- | --- |\n| olukord | mis päriselt toimub? | lühike kirjeldus |\n| andmed | millised arvud on antud? | nimekiri koos ühikutega |\n| muutujad | mis on tundmatu või muutuv? | näiteks `$x$`, `$y$`, `$t$` |\n| eeldused | mida lihtsustame? | näiteks hind on igas tunnis sama |\n| seos | kuidas suurused omavahel sõltuvad? | valem, tabel või võrrand |\n| kontroll | kas vastus sobib olukorraga? | ühikud, suurusjärk, piirangud |\n\nMudeli valik algab eeldusest, mitte valemist: punktid -> tabel, ruumiline olukord -> joonis, tundmatu -> võrrand, napid andmed -> hinnang.\n\n::: teacher Õpetaja lisasoovitused\nEnne arvutust lase täita: sisend ..., väljund ..., eeldus ... ja valin selle mudeli, sest .... Lõpus küsi ühikut, kehtivuspiirkonda ja realistlikkust.\n:::\n\n## Kontrollküsimused\n\nEnne vastuse lõplikuks lugemist küsi:\n\n- Kas vastasin sellele, mida küsiti?\n- Kas ühikud on õiged?\n- Kas tulemus on realistlik?\n- Kas mudeli eeldused sobivad ka väga väikese või väga suure sisendi korral?\n- Kas on vaja ümardada ning kuidas seda päriselus tõlgendada?\n\n## Näide\n\nKui rattalaenutus maksab 4 eurot alustasu ja 3 eurot tunnis, siis\n\n$$y=3x+4.$$\n\nSiin `$x$` on sisend ehk tunnid ja `$y$` on väljund ehk hind eurodes.\n\nKui küsitakse, mitu tundi saab sõita 19 euro eest, siis lahendame võrrandi\n\n$$3x+4=19.$$\n\n$$3x=15,$$\n\n$$x=5.$$\n\nVastus: 19 euro eest saab sõita 5 tundi.\n\nKontroll:\n\n- ühik on tund;\n- `$3\\cdot5+4=19$`;\n- vastus on mõistlik, sest alustasu võtab 4 eurot ja ülejäänud 15 eurot katab 5 tundi.\n\n## Teine näide\n\nKlass tellib märkmikke. Ühe märkmiku hind on 2,50 eurot ja kohaletoimetamine maksab 6 eurot. Kui tellitakse `$n$` märkmikku, siis\n\n$$C=2{,}50n+6.$$\n\nKui klassis on 24 õpilast ja igaüks saab ühe märkmiku, siis\n\n$$C=2{,}50\\cdot24+6=66.$$\n\nEeldus: tükihind on püsiv ja kohaletoimetamine ühekordne.\n\n## Tüüpviga\n\nMudel ei ole tegelikkus ise. See jätab osa asju välja, seega küsi, millal mudel sobib.\n\nTeine tüüpviga on valida muutujad, aga mitte öelda, mida nad tähendavad. `$x$` üksi ei ole piisav; kirjuta “`$x$` on tundide arv”.\n\nKolmas tüüpviga on unustada ühikud. Valem `$y=3x+4$` ei ütle ainult arve: `$x$` on tunnid ja `$y$` on eurod.\n\nNeljas tüüpviga on kasutada mudelit väljaspool mõistlikku piirkonda. Rattalaenutuse valem ei pruugi sobida negatiivse aja, väga pika rendi või päevapileti erihinna korral.\n\n### Teine seletusviis\n\nMudelit saab alustada tabeli, joonise, võrrandi või hinnanguga. Vali kuju, mis teeb seose nähtavaks.\n\n## Harjutused\n\nKitsas matemaatikas: kirjuta mudel, asenda arvud ja tõlgenda vastus. Laias matemaatikas: nimeta ka eeldused ja piirangud.\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Telefonipakett maksab 8 eurot kuus ja 0,05 eurot iga sõnumi eest. Kirjuta mudel kogukulu jaoks.\n2. Kui selles mudelis saadetakse 120 sõnumit, mis on kogukulu?\n\n### Rakendus\n\n3. Basseini täitub kiirusega 15 liitrit minutis. Kirjuta mudel vee hulga kohta pärast `$t$` minutit, kui alguses on basseinis 200 liitrit vett.\n4. Millist eeldust teeb lineaarne mudel `$y=3x+4$` rattalaenutuse näites?\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n5. Too üks kontrollküsimus, mida peaks pärast vastuse leidmist küsima.\n6. Millal peaks lineaarse mudeli asemel otsima teistsugust mudelit?\n7. Leia rattalaenutuse mudelis sisend, väljund ja üks eeldus.\n\n## Vastused\n\n1. `$C=8+0{,}05s$`, kus `$s$` on sõnumite arv.\n2. `$C=8+0{,}05\\cdot120=14$` eurot.\n3. `$V=200+15t$`, kus `$t$` on minutites ja `$V$` liitrites.\n4. Iga lisatund maksab sama palju ja alustasu on ainult üks kord, seega sobib lineaarmudel.\n5. Näiteks: kas ühikud on õiged ja kas vastus on realistlik?\n6. Siis, kui muutus ei ole püsiv, näiteks kasv kiireneb või aeglustub.\n7. Sisend on tundide arv `$x$`, väljund on hind `$y$`; eeldus on, et iga lisatund maksab 3 eurot.\n\n## Seosed\n\nModelleerimine ühendab arvud, algebra, funktsioonid, geomeetria, statistika ja analüüsi. Järgmine peatükk tugevdab mudeli kontrolli: ühikud ja suurusjärk näitavad, kas vastus on päriselus võimalik ja mõistlik.\n" }, { "id": "modelleerimine.hinnangud-ja-uhikuanaluus", "title": "Hinnangud ja ühikuanalüüs", "strand": "110-modelleerimine", "order": "110.20", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 5, "main": 8, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "II kooliaste", "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 3, "module_tags": [ "application" ], "prerequisites": [ "mootmine.uhikud-ja-mootmine", "arvud.kumnendsusteem-ja-umardamine" ], "review_modules": [ "arvud.protsendid-suhted-vorded", "mootmine.mootkava-ja-proportsioon" ], "extension_modules": [ "modelleerimine.finantsmatemaatika" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-12" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/110-modelleerimine/110.20-hinnangud-ja-uhikuanaluus.md", "source_sha256": "99a528eb8eb5d2a1c20f2b8057d414741b709073263153df2ec0044955d901aa", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/110.20-hinnangud-ja-uhikuanaluus.html", "content_markdown": "# Hinnangud ja ühikuanalüüs\n\n## Mõiste\n\nHinnang aitab kontrollida, kas vastus on mõistlik. Ühikuanalüüs kontrollib, kas valem annab otsitava suuruse.\n\nEeldus: oskad ühikuid teisendada, ümardada ja teha peast lihtsaid korrutamisi-jagamisi.\n\nHinnangus ei otsita alati täpset vastust. Sageli piisab suurusjärgust: kas vastus on umbes 10, 100, 1000 või miljon?\n\nEnne täpset arvutust küsi: mis suurusjärku vastus peaks olema ja mis ühik lõpuks peab jääma?\n\nPärast arvutust võrdle täpset vastust hinnanguga. Kui need erinevad mitu korda, kontrolli ühikuid, koma asukohta ja eeldusi.\n\nMõistlikkust aitab kontrollida võrdlus tuttava suurusega: inimese pikkus, koolipäeva kestus, liitrise pudeli maht või tavaline hind.\n\nMudeli usaldusväärsust kontrolli küsimusega: milline eeldus muudaks vastust kõige rohkem?\n\n::: teacher Õpetaja lisasoovitused\nPalu enne arvutust nimetada kaks eeldust ja ennustada suurusjärk. Lõpus kontrolli eraldi arvutust, ühikuid ning seda, millise eelduse muutmine mõjutaks vastust kõige rohkem.\n:::\n\nHea hinnang:\n\n- ümardab andmed lihtsamaks;\n- kasutab mõistlikke eeldusi;\n- hoiab ühikud alles;\n- kontrollib, kas tulemus sobib päriseluga.\n\n## Ühikuanalüüs\n\nÜhikuid saab arvutada nagu tegureid. Seepärast näitab ühik juba enne lõppu, kas mudeli rollid on õiged.\n\nNäiteks kiiruse valemis\n\n$$v=\\frac{s}{t}$$\n\non teepikkuse ühik meetrites ja aja ühik sekundites:\n\n$$\\frac{\\text{m}}{\\text{s}}=\\text{m/s}.$$\n\nKui valem peaks andma aja, aga ühikuks tuleb `m²`, siis on midagi valesti.\n\nÜhikuanalüüs ei tõesta, et arv on õige, aga aitab kiiresti märgata valesid tehteid.\n\nÜhik aitab ka otsustada, mida vastus tähendab. Kui arvutuse lõpus tuleb eurot kuus, ei saa seda tõlgendada kogukuluna kogu aasta kohta.\n\n## Näide\n\nKui sõita 120 km kiirusega 60 km/h, siis aeg on\n\n$$t=\\frac{s}{v}=\\frac{120\\text{ km}}{60\\text{ km/h}}=2\\text{ h}.$$\n\nÜhikud kinnitavad, et vastus on aeg.\n\nPeastarvutuse hinnang:\n\n$$49\\cdot21\\approx50\\cdot20=1000.$$\n\nTäpne väärtus on 1029, seega hinnang oli mõistlik.\n\nVastus: sõiduaeg on 2 h ja korrutise hinnang on umbes 1000.\n\n## Fermi-ülesande näide\n\nKüsimus: umbes mitu liitrit vett joob üks koolitäis õpilasi koolipäeva jooksul?\n\nTeeme eeldused:\n\n- koolis on umbes 600 õpilast;\n- üks õpilane joob koolipäeva jooksul umbes 0,5 liitrit vett.\n\nSiis hinnang on\n\n$$600\\cdot0{,}5=300.$$\n\nVastus: umbes 300 liitrit vett päevas.\n\nSee ei ole täpne mõõtmine. See on mõistlik hinnang, mida saab parandada, kui meil on paremad andmed.\n\nNimeta ka, milline eeldus muudaks vastust kõige rohkem.\n\nÜhikukontroll:\n\n$$\\text{õpilast}\\cdot\\frac{\\text{liitrit}}{\\text{õpilane}}=\\text{liitrit}.$$\n\nÕpilaste ühik taandub välja ja tulemus on liitrites.\n\n## Tüüpviga\n\nKui valemi tulemusel saad vale ühiku, on tõenäoliselt valem või asendus vale.\n\nTeine tüüpviga on anda hinnang liiga täpselt. Kui andmed on hinnangulised, ei ole mõtet vastata “302,7 liitrit”; parem on “umbes 300 liitrit”.\n\nKolmas tüüpviga on eeldused välja kirjutamata jätta. Fermi-ülesandes on eeldused pool lahendusest.\n\nNeljas tüüpviga on ümardada liiga vara. Kui arvutuses on mitu sammu, tee hinnang eraldi, aga täpsem vastus arvuta võimalusel enne lõplikku ümardamist.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Hinda peast $49\\cdot21$.\n2. Mis ühik tekib, kui jagada meetrid sekunditega?\n3. Kontrolli ühikut valemis `$S=ab$`.\n\n### Rakendus\n\n4. Hinda, mitu minutit on ühes nädalas.\n5. Koosta Fermi-hinnang: umbes mitu vihikut kasutab 25 õpilasega klass ühe õppeaasta jooksul, kui iga õpilane kasutab umbes 8 vihikut?\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n6. Mis ühik tekib, kui korrutada kiirus `km/h` ajaga `h`?\n7. Miks ei ole Fermi-ülesandes liiga täpne vastus tavaliselt usaldusväärne?\n8. Hinda, kas 3 kg õunu hinnaga 1,95 eurot/kg maksab pigem 4, 6 või 10 eurot.\n9. Kui vastuse ühik on eurot kuus, mida peab tegema, et saada aastane kogukulu?\n\n## Vastused\n\n1. Umbes `1000`.\n2. `m/s`, kiiruse ühik.\n3. Kui `$a$` ja `$b$` on pikkused, siis ühik on pikkus korda pikkus ehk ruutühik.\n4. `$7\\cdot24\\cdot60=10080$`, seega umbes `10000` minutit.\n5. `$25\\cdot8=200$` vihikut.\n6. Kilomeetrid, sest `$\\frac{\\text{km}}{\\text{h}}\\cdot\\text{h}=\\text{km}$`.\n7. Sest algandmed on ligikaudsed; liiga palju komakohti jätab vale täpsuse mulje.\n8. Pigem 6 eurot, sest `$3\\cdot1{,}95\\approx3\\cdot2=6$`.\n9. Tuleb korrutada kuude arvuga, tavaliselt 12-ga: `$\\text{eurot/kuu}\\cdot12\\text{ kuud}=\\text{eurot}$`.\n\n## Seosed\n\nHinnang ja ühikuanalüüs on modelleerimise kvaliteedikontroll. Järgmises finantsmatemaatika peatükis aitavad need märgata, kas intress, protsent ja rahaühik on õigesti tõlgendatud.\n" }, { "id": "modelleerimine.finantsmatemaatika", "title": "Finantsmatemaatika", "strand": "110-modelleerimine", "order": "110.30", "content_role": "core_reference", "recommended_levels": { "start": 7, "main": 10, "end": 12, "basis": "Mapiku project recommendation", "source": "docs/klasside-teemajaotus.md" }, "school_stages": [ "III kooliaste", "gümnaasium" ], "difficulty": 4, "module_tags": [ "application" ], "prerequisites": [ "arvud.protsendid-suhted-vorded", "arvud.astmed-juured-standardkuju" ], "review_modules": [ "modelleerimine.hinnangud-ja-uhikuanaluus", "funktsioonid.lineaarfunktsioon" ], "extension_modules": [ "funktsioonid.eksponent-ja-logaritm", "funktsioonid.logaritmireeglid-ja-vorrandid", "analuus.jadad" ], "used_directly_in_class_books": [ "klass-11", "klass-12" ], "verification": { "status": "automated_checks_only", "human_subject_review": "not_recorded", "learner_pilot": "not_recorded" }, "curriculum_alignment": { "status": "project_mapped_not_certified", "note": "Recommended grades are a documented Mapik placement, not a claim that the national curriculum mandates one exact grade." }, "source_file": "modules/110-modelleerimine/110.30-finantsmatemaatika.md", "source_sha256": "729d0746e835569f2d2c15965be2dd9231e0dcaa083254871bf99785fcc9c0d3", "public_url": "https://mapik.ee/matemaatika/referents-kogu/teema/110.30-finantsmatemaatika.html", "content_markdown": "# Finantsmatemaatika\n\n## Mõiste\n\nFinantsmatemaatika kasutab protsente, astmeid ja funktsioone raha ajas muutumise kirjeldamiseks.\n\nEeldus: oskad protsenti kümnendmurruks muuta, astmeid kasutada ja ligikaudset suurusjärku hinnata.\n\nFinantsülesandes tuleb eristada algsummat, intressimäära, aega, maksete arvu ja kogukulu.\n\nKontrolli enne arvutust ajasammu: aastaintress käib aastate, kuuintress kuude kohta.\n\n## Lihtintress\n\n$$A=P(1+rt),$$\n\nkus `$P$` on algsumma, `$r$` intressimäär aastas ja `$t$` aeg aastates.\n\nLihtintressi korral arvutatakse intress ainult algsummalt.\n\n## Liitintress\n\n$$A=P(1+r)^t.$$\n\nLiitintressi korral lisandub intress juba kasvanud summale. Seetõttu kasvab summa aja jooksul kiiremini.\n\nValemis peavad `$r$` ja `$t$` olema samas ajasammus: kui `$r$` on aastaintress, siis `$t$` on aastate arv.\n\n## Inflatsioon\n\nInflatsioon tähendab, et hinnatase tõuseb ja sama rahasumma ostujõud väheneb.\n\nKui aastane inflatsioonimäär on `$i$`, siis hinna ligikaudne kasv `$t$` aasta jooksul on\n\n$$H=H_0(1+i)^t.$$\n\nKui kaup maksab praegu 100 eurot ja inflatsioon on 4% aastas, siis 3 aasta pärast on sama kauba hinnanguline hind\n\n$$100\\cdot1,04^3\\approx112,49.$$\n\nSee tähendab, et 100 euro ostujõud on väiksem kui varem.\n\n## Laenumakse\n\nLaenumakse sõltub laenusummast, intressist ja tagasimakse ajast. Täpne annuiteetmakse valem on\n\n$$M=P\\cdot\\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1},$$\n\nkus:\n\n- `$P$` on laenusumma;\n- `$i$` on perioodi intressimäär;\n- `$n$` on maksete arv;\n- `$M$` on ühe perioodi makse.\n\nKui maksed on kuised, peab `$i$` olema kuuintress ja `$n$` kuude arv.\n\nValem eeldab `$i>0$` ning positiivset täisarvulist maksete arvu `$n$`. Nullintressi korral on iga makse `$M=P/n$`; annuiteetvalemisse nulli asendades tekiks määramata jagatis `$0/0$`.\n\nKontrolli alati kogukulu: kuumakse tuleb korrutada maksete arvuga ning lisada teenustasud.\n\nKoolis on tihti kõige olulisem aru saada suurusjärgust: sama laenusumma ja sama aastaintressi korral vähendab pikem tagasimakse aeg kuumakset, kuid suurendab intressikulu kaudu kogukulu.\n\n## Näide\n\nKui 1000 eurot kasvab 5% aastas liitintressiga 3 aastat, siis\n\n$$A=1000\\cdot1,05^3\\approx1157,63.$$\n\nLihtintressiga oleks sama olukord:\n\n$$A=1000(1+0,05\\cdot3)=1150.$$\n\nKolme aasta jooksul on vahe väike, kuid pikema aja jooksul liitintressi mõju suureneb.\n\nLaenu lihtsustatud näide: kui laenad 1200 eurot ja maksad selle 12 kuuga tagasi ilma intressita, on kuumakse\n\n$$\\frac{1200}{12}=100\\text{ eurot}.$$\n\nKui lisandub intress ja teenustasud, on tegelik kogukulu suurem kui 1200 eurot.\nKogukulu tähendab kõigi maksete summat, mitte ainult algset laenusummat.\n\nVastus: liitintressiga on summa umbes 1157,63 eurot, lihtintressiga 1150 eurot ja intressita kuumakse 100 eurot.\n\n## Tüüpviga\n\n5% ei ole arvutustes 5, vaid 0,05.\n\nTeine tüüpviga on võrrelda ainult kuumakset. Väike kuumakse võib tähendada pikemat perioodi ja suuremat kogukulu.\n\nKolmas tüüpviga on inflatsiooni ignoreerida. Kui raha seisab ja hinnad tõusevad, võib sama summa eest tulevikus vähem osta.\n\nFinantsülesannetes tuleb alati tähele panna, kas intressimäär on aasta, kuu või mõne muu perioodi kohta.\n\nNeljas tüüpviga on ajada investeeringu tulevane väärtus ja ostujõud segi. Kui summa kasvab 5%, aga hinnad kasvavad samal ajal 5%, ei tähenda see suuremat ostujõudu.\n\n## Harjutused\n\n### Lihtne kontroll\n\n1. Leia 200 eurost 12%.\n2. Arvuta lihtintressiga 1000 eurot 4% juures 2 aastaks.\n3. Miks liitintress kasvab kiiremini kui lihtintress?\n\n### Rakendus\n\n4. Arvuta liitintressiga 500 eurot 3% aastas 4 aastaks.\n5. Kui hinnad kasvavad 5% aastas, kui palju maksab 80-eurone ese ühe aasta pärast?\n6. Eesti pere paneb lapse huvihariduse fondi 40 eurot kuus. Kui palju koguneb ilma intressita ühe aastaga?\n\n### Mõtlemisülesanne\n\n7. Laen on 600 eurot ja see makstakse tagasi 6 võrdse maksena ilma intressita. Kui suur on üks makse?\n8. Miks ei piisa laenu hindamisel ainult kuumakse vaatamisest?\n9. Kui 120-eurose elektriarve hind kasvab 15%, kui suur on uus arve?\n10. Kui maksad 18 kuud iga kuu 35 eurot, mis on kogukulu enne intressi ja teenustasusid?\n\n## Vastused\n\n1. `$200\\cdot0,12=24$` eurot.\n2. `$1000(1+0,04\\cdot2)=1080$` eurot; siin on 4% aastaintress ja aeg 2 aastat.\n3. Sest intress teenib järgmisel perioodil omakorda intressi.\n4. `$500\\cdot1,03^4\\approx562,75$` eurot.\n5. `$80\\cdot1,05=84$` eurot.\n6. `$40\\cdot12=480$` eurot ühe aastaga; siin on 12 kuumakset.\n7. `$600/6=100$` eurot makse kohta; kogukulu on endiselt 600 eurot, kui intressi ja teenustasusid ei lisandu.\n8. Sest tähtis on ka tagasimakse aeg, intress, teenustasud ja kogukulu: kuumakse tuleb korrutada maksete arvuga.\n9. `$120\\cdot1,15=138$` eurot.\n10. `$18\\cdot35=630$` eurot kogukulu enne intressi ja teenustasusid.\n\n## Seosed\n\nFinantsmatemaatika kasutab protsente, funktsioone, hinnanguid ja ühikuanalüüsi. Sama mudelipõhine mõtlemine aitab võrrelda pakkumisi, laene ja säästmist: kirjuta eeldused välja ning kontrolli kogukulu.\n" } ] }