Astmed, juured ja standardkuju

Mõiste

Astendamine on võrdsete tegurite korrutise lühike kirjaviis. Näiteks

$$3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81.$$

Arv $3$ on siin astendatav ja ülemine $4$ on astendaja. Astendaja näitab tegurite arvu: korrutises on neli kolme. Korrutusmärke on kolm, mitte neli.

Üldiselt on astmes $a^n$ kokku $n$ tegurit $a$, kui $n$ on positiivne täisarv. Astendajaga 1 on $a^1=a$. Nulli ja negatiivse astendaja reeglid on allpool eraldi.

Ruutjuurimine on ruutu tõstmise pöördtehe nulli ja positiivsete arvude korral. Küsime: milline null või positiivne arv annab iseendaga korrutades 9?

$$\sqrt9=3,\qquad 3\cdot3=9.$$

Samuti $\sqrt0=0$. Kuigi ka $(-3)^2=9$, tähistab $\sqrt9$ ainult arvu 3. Negatiivsest arvust reaalarvulist ruutjuurt ei saa.

Eeldus: oskad korrutada, jagada, töötada negatiivsete arvudega ning lugeda kümnendmurde kohaväärtuste järgi.

7. klassis keskendume astmetele ja standardkujule. Ruutjuur ning üldine negatiivne astendaja on siin edasivaade.

Reeglid

Esimeses neljas reeglis on $m$ ja $n$ positiivsed täisarvud. Jagamisel peab alus olema nullist erinev. Nulli ja negatiivse astendaja reeglid vajavad samuti tingimust $a\ne0$; negatiivse astendaja reeglis on $n$ positiivne täisarv.

Positiivse arvu standardkuju:

$$a\cdot10^n,\qquad 1\le a<10.$$

Siin on $n$ täisarv. Standardkujus on esimene tegur vähemalt 1 ja väiksem kui 10. Arvu kümme astendaja näitab, mitu kohta koma liigub. Nulli selles kujus ei esitata; negatiivse arvu korral kirjutame miinusmärgi positiivse arvu standardkuju ette.

Kümne astendaja annab suurusjärgu: $10^7$ tähendab kümneid miljoneid, $10^{-4}$ väga väikest arvu.

Standardkuju leidmiseks:

1. Nihuta koma nii, et ette jääb arv vahemikus $1$ kuni $10$.
2. Loe, mitu kohta koma nihkus.
3. Kui algne arv oli suur ja koma liikus vasakule, on astendaja positiivne.
4. Kui algne arv oli väike ja koma liikus paremale, on astendaja negatiivne.

Näide

$$0,00045=4,5\cdot10^{-4}.$$

Sest koma liigub arvust $0,00045$ arvuni $4,5$ neli kohta paremale. Seetõttu on astendaja negatiivne.

Suur arv standardkujus:

$$72\,000\,000=7,2\cdot10^7.$$

Standardkujust tavakujule:

$$3,08\cdot10^5=308\,000.$$

Siin liigub koma 5 kohta paremale, sest astendaja on positiivne. Kui astendaja oleks negatiivne, liiguks koma vasakule:

$$3,08\cdot10^{-5}=0,0000308.$$

Kontrollküsimus standardkuju puhul: kas vastus on algse arvuga samast suurusjärgust? Näiteks $0,00045$ on väga väike arv, seega peab standardkujus olema negatiivne kümne astendaja.

Juurte näide:

$$\sqrt{49}=7,\qquad \sqrt{0,25}=0,5.$$

Vastus: $0,00045=4,5\cdot10^{-4}$, $72\,000\,000=7,2\cdot10^7$, $\sqrt{49}=7$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lihtsusta $2^5\cdot2^3$.
2. Lihtsusta $\frac{7^6}{7^2}$.
3. Kirjuta standardkujus $0,00082$.
4. Kirjuta tavakujus $6,4\cdot10^3$.

Rakendus

5. Leia $\sqrt{81}$.
6. Kirjuta standardkujus $53\,000\,000$.
7. Kirjuta standardkujus $0,000031$.
8. Arvuta $(-4)^2$ ja $-4^2$.

Mõtlemisülesanne

9. Kirjuta tavakujus $4,7\cdot10^{-3}$.
10. Paranda viga: $0,006=6\cdot10^3$.
11. Miks $18,2\cdot10^5$ ei ole standardkuju?
12. Maa läbimõõt on ligikaudu $12\,700$ km. Kirjuta see standardkujus.

Vastused

1. $2^8=256$, sest sama alusega astmete korrutamisel astendajad liituvad.
2. $7^4$, sest jagamisel astendajad lahutuvad: $6-2=4$.
3. $8,2\cdot10^{-4}$, sest koma liigub arvuni 8,2 neli kohta paremale.
4. $6400$, sest $10^3$ nihutab koma kolm kohta paremale.
5. $9$, sest $9^2=81$.
6. $5,3\cdot10^7$, seega arv on kümnete miljonite suurusjärgus.
7. $3,1\cdot10^{-5}$, sest arv on väiksem kui üks ja koma liigub 5 kohta paremale.
8. $(-4)^2=16$, aga $-4^2=-16$; sulud näitavad, kas ruutu tõstetakse ka miinus.
9. $0,0047$, sest $10^{-3}$ nihutab koma kolm kohta vasakule.
10. Õige on $0,006=6\cdot10^{-3}$, sest algne arv on väike.
11. Esimene tegur peab olema vähemalt 1 ja väiksem kui 10. Õige standardkuju on $1,82\cdot10^6$.
12. $1,27\cdot10^4$ km, suurusjärk on kümned tuhanded kilomeetrid.

Seosed

Astmeid kasutatakse teaduslikus kirjaviisis, geomeetrias, funktsioonides, eksponentkasvus ja logaritmides. Järgmine arvude peatükk kasutab neid ka arvuhulkade ja reaalarvude eristamisel, näiteks $\sqrt2$ kaudu.

Muutuja ja avaldis

Mõiste

Muutuja on täht, mis tähistab arvu. Avaldis kirjeldab arvutust üldisel kujul.

Tekstülesandes ütle enne avaldist, mida muutuja tähistab ja mis ühikus seda mõõdetakse. Muutuja nimi ei ole ühik: lauses "$p$ on pileti hind eurodes" on $p$ arv ja euro on ühik.

Erista kolme asja: täht on muutuja nimi, asendatav arv on muutuja väärtus ja ühik ütleb, mida see arv mõõdab.

Eeldus: oskad tehete järjekorda, negatiivsete arvudega arvutamist ja lihtsat tekstülesannet arvutuseks tõlkida.

Avaldises ei pea olema võrdusmärki. Võrrand tekib siis, kui kaks avaldist pannakse võrduma.

Avaldise väärtuse leidmiseks asenda muutujad antud arvudega ja järgi tehete järjekorda.

Asendamisel tee kolm sammu:

1. kirjuta avaldis ümber nii, et muutujate asemele tulevad sulgudes arvud;
2. arvuta astmed, sulud ja korrutised;
3. lõpuks liida ja lahuta.

Näide

Ristküliku pindala:

$$S=ab.$$

Kui $a=4$ ja $b=7$, siis

$$S=4\cdot7=28.$$

Avaldise väärtus:

$$2x+3y$$

kui $x=5$ ja $y=-2$, on

$$2\cdot5+3\cdot(-2)=10-6=4.$$

Mitmeastmeline asendamine:

$$3x^2-2y+4$$

kui $x=-2$ ja $y=5$, on

$$3\cdot(-2)^2-2\cdot5+4=3\cdot4-10+4=12-10+4=6.$$

Pane tähele, et negatiivne arv pannakse astme korral sulgudesse: $(-2)^2=4$.

Vastus: ristküliku pindala on 28, avaldise $2x+3y$ väärtus on 4 ja avaldise $3x^2-2y+4$ väärtus on 6.

Kontroll: asendamisel pannakse negatiivne arv sulgudesse, et aste rakenduks kogu arvule, mitte ainult numbrile 2.

Lihtsustamine

Sarnaseid liikmeid saab koondada:

$$3x+5x=8x.$$

Sarnased liikmed on sama muutujaga ja sama astmega liikmed:

$$4x^2+3x-2x^2+7x=2x^2+10x.$$

Sulgude avamisel korrutatakse sulgude ees olev tegur iga sulus oleva liikmega:

$$3(x+2)=3x+6.$$

Kui sulgude ees on miinusmärk, muutuvad märgid:

$$-(x-4)=-x+4.$$

Mitmeastmeline lihtsustamine:

$$2(x+3)-4x+5(x-1).$$

Kõigepealt ava sulud:

$$2x+6-4x+5x-5.$$

Seejärel koonda sarnased liikmed:

$$2x-4x+5x+6-5=3x+1.$$

Kui avaldises on mitu muutujat, koonda iga tüüpi liikmed eraldi:

$$4a-3b+2a+7b-5=6a+4b-5.$$

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia avaldise $4x-3$ väärtus, kui $x=5$.
2. Leia avaldise $2a+b$ väärtus, kui $a=-1$ ja $b=7$.
3. Lihtsusta $6x+2x-5$.
4. Lihtsusta $3y^2+4y-y^2$.

Rakendus

5. Ava sulud ja lihtsusta $2(x-3)+5x$.
6. Leia avaldise $3x^2-2x+1$ väärtus, kui $x=-2$.
7. Lihtsusta $4(a+2)-3a+5$.

Mõtlemisülesanne

8. Lihtsusta $2x-3y+5x+7y-4$.
9. Ava sulud ja lihtsusta $5-(2x-3)$.
10. Leia avaldise $ab+2a-b$ väärtus, kui $a=3$ ja $b=-4$.
11. Pilet maksab $p$ eurot ja teenustasu on 2 eurot. Kirjuta avaldis 4 pileti koguhinna jaoks.
12. Kirjuta avaldis 4 pileti hinna jaoks, kui 2-eurone teenustasu lisandub iga pileti juurde eraldi.

Vastused

1. $17$, sest $4\cdot5-3=17$.
2. $5$, sest $2\cdot(-1)+7=5$.
3. $8x-5$, sest koondada saab ainult $x$-liikmed.
4. $2y^2+4y$, sest $y^2$ ja $y$ ei ole sarnased liikmed.
5. $2x-6+5x=7x-6$, sest sulgude ees olev 2 korrutab mõlemat liiget.
6. $3\cdot(-2)^2-2\cdot(-2)+1=12+4+1=17$, sest negatiivne arv pannakse astme jaoks sulgudesse.
7. $4a+8-3a+5=a+13$, sest $a$-liikmed ja arvliikmed koondatakse eraldi.
8. $7x+4y-4$, sest $x$-liikmed ja $y$-liikmed koondatakse eraldi.
9. $5-2x+3=8-2x$, sest miinus sulgude ees muudab märgid.
10. $3\cdot(-4)+2\cdot3-(-4)=-12+6+4=-2$.
11. $4p+2$, kui teenustasu lisandub kogu ostule ühe korra.
12. $4(p+2)$, sest iga pileti hinnale lisandub 2 eurot.

Seosed

Avaldised on võrrandite, funktsioonide ja valemite keel. Järgmises peatükis kasutatakse avaldisi juba võrduste ja võrratuste koostamiseks.

Võrrandid ja võrratused

Mõiste

Võrrandis otsime tundmatu väärtust, mis teeb võrduse tõeseks. Võrratus kirjeldab, millal üks avaldis on teisest suurem või väiksem.

Eeldus: oskad lihtsustada avaldisi, töötada negatiivsete arvudega ja kontrollida vastust asendamisega.

Lahendihulk on kõigi lahendite hulk. Näiteks kui võrrandi ainus lahend on $5$, siis lahendihulk on

$$L=\{5\}.$$

Võrrand võib anda ühe arvu; võrratus annab sageli terve piirkonna arvteljel.

Võrratusel võib olla lõpmatult palju lahendeid. Näiteks $x>3$ tähendab kõiki arve, mis on suuremad kui $3$.

Tekstülesande muutmine võrrandiks:

1. vali tundmatu ja ütle, mida see tähendab;
2. kirjuta tekstist avaldised;
3. pane avaldised võrrandisse või võrratusse;
4. lahenda;
5. kontrolli vastust algses olukorras.

Tekstülesandes peab vastus sobima ühiku ja piiranguga: inimeste arv ei saa olla 2,5 ning pikkus ei saa olla negatiivne.

Reegel

Võrrandi mõlemale poolele võib liita sama arvu või mõlemalt poolelt lahutada sama arvu. Mõlemad pooled võib korrutada või jagada sama nullist erineva arvuga; need teisendused säilitavad lahendihulga.

Nulliga korrutamine annab näiteks võrrandist $x=2$ võrduse $0=0$, mis sobib iga $x$ korral. Nulliga jagamine ei ole määratud. Tundmatut sisaldava avaldisega jagamisel tuleb eraldi kontrollida, millal see avaldis on null: võrrandi $x(x-1)=0$ jagamisel $x$-ga kaoks lahend $x=0$.

Võrratuse puhul pöördub märk, kui korrutada või jagada sama negatiivse arvuga.

Näiteks:

$$-2x<6.$$

Jagame mõlemad pooled arvuga $-2$. Kuna jagame negatiivse arvuga, pöördub märk:

$$x>-3.$$

Näide

$$3x-5=10 \qquad |+5$$

Liidame võrrandi mõlemale poolele 5:

$$3x-5+5=10+5$$

$$3x=15 \qquad |:3$$

Jagame võrrandi mõlemad pooled kolmega:

$$\frac{3x}{3}=\frac{15}{3}$$

$$x=5.$$

Kontroll:

$$3\cdot5-5=15-5=10.$$

Seega

$$L=\{5\}.$$

Võrratuse näide:

$$4-3x\le 13$$

$$-3x\le9$$

$$x\ge-3.$$

Kontrollime lahendihulka prooviväärtustega. Kui $x=-3$, siis

$$4-3\cdot(-3)=13,$$

seega piirpunkt sobib, sest märk on $\le$. Kui $x=0$, siis

$$4-3\cdot0=4\le13,$$

sobib. Kui $x=-4$, siis

$$4-3\cdot(-4)=16,$$

ei sobi, sest $16\le13$ on väär. Prooviarvud aitavad märgiviga leida. Kogu lahendihulga $x\ge-3$ saame eelnevate samaväärsete teisendustega, mitte ainult kolme prooviarvu kontrollimisega.

Tekstülesande mudel

Kinopilet maksab 6 eurot ja broneerimistasu on 2 eurot. Kui palju pileteid saab osta, kui raha on kuni 32 eurot?

Olgu $x$ piletite arv. Kulu on

$$6x+2.$$

Kuna raha võib kuluda kuni 32 eurot, saame võrratuse

$$6x+2\le32.$$

Lahendame:

$$6x\le30,$$

$$x\le5.$$

Kuna piletite arv peab olema täisarv ja mitte negatiivne, saab osta kuni 5 piletit.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda $2x+7=15$.
2. Lahenda $5x-3=2x+9$.
3. Lahenda $x+4>10$.
4. Lahenda $-3x\le12$.

Rakendus

5. Kontrolli, kas $x=4$ on võrrandi $3x-2=10$ lahend.
6. Lahenda $7-2x<15$ ja kontrolli lahendihulka kahe prooviväärtusega.
7. Tekstülesanne: vihik maksab 2 eurot ja pliiats 1 euro. Kui ostetakse $x$ vihikut ja üks pliiats ning kulub 11 eurot, leia $x$.
8. Tallinna klassiekskursiooni eelarves arvestatakse õpilase kinopiletiks 6 eurot ja joogipudeliks 2 eurot. Kui kulus 26 eurot ning osteti $x$ piletit ja üks joogipudel, leia $x$.

Mõtlemisülesanne

9. Tekstülesanne: bussipilet maksab 3 eurot. Sul on 20 eurot. Mitu piletit saad kõige rohkem osta?
10. Lahenda $4x+1\ge 2x+9$.
11. Kontrolli, kas $x=-5$ kuulub võrratuse $-2x\le8$ lahendihulka.
12. Lahenda $2x-5<3$ ja otsusta, kas $x=4$ kuulub lahendihulka.

Vastused

1. $x=4$, $L=\{4\}$.
2. $3x=12$, seega $x=4$ ja $L=\{4\}$.
3. $x>6$.
4. $x\ge-4$, sest negatiivse arvuga jagamisel võrratuse märk pöördub.
5. Jah, sest $3\cdot4-2=10$.
6. $-2x<8$, seega $x>-4$. Näiteks $x=0$ sobib: $7<15$; $x=-5$ ei sobi: $17<15$ on väär.
7. $2x+1=11$, seega $x=5$; vastus sobib, sest vihikute arv on täisarv.
8. $6x+2=26$, seega $x=4$; vastus sobib, sest piletite arv on täisarv.
9. $3x\le20$, seega $x\le\frac{20}{3}$. Kõige rohkem saab osta 6 piletit, sest 6 piletit maksab 18 eurot ja 7 piletit maksaks 21 eurot.
10. $2x\ge8$, seega $x\ge4$; kontrolliks $x=4$ teeb pooled võrdseks.
11. Ei. $-2\cdot(-5)=10$ ja $10\le8$ on väär.
12. $2x<8$, seega $x<4$. Arv $4$ ei kuulu lahendihulka, sest märk on range.

Seosed

Võrrandid on tekstülesannete, funktsioonide nullkohtade ja geomeetriliste mudelite põhivahend. Järgmistes algebra peatükkides lahendatakse neid avaldiste teisendamise, hulkliikmete ja tegurdamise abil.

Hulkliikmed ja tegurdamine

Mõiste

Hulkliige on üksliikmete summa. Näiteks avaldises

$$3x^2-5x+7$$

on kolm liiget: $3x^2$, $-5x$ ja $7$. Liikme ees olev arv on kordaja; märk kuulub kordaja juurde. Hulkliige on korrastatud, kui liikmed on kirjutatud astmete kahanevas järjekorras.

Eeldus: oskad avada sulge, koondada sarnaseid liikmeid ja kasutada astmete põhireegleid.

Hulkliikme väärtuse leidmiseks asenda muutuja etteantud arvuga. Kui $P(x)=3x^2-5x+7$, siis

$$P(-2)=3\cdot(-2)^2-5\cdot(-2)+7=29.$$

Tegurdamine tähendab avaldise kirjutamist korrutisena. See on sulgude avamise vastassuunaline võte.

Tegurdamisel säilib avaldise väärtus.

Põhitehted

Hulkliikmete liitmisel ja lahutamisel ava sulud ning koonda ainult sarnased liikmed:

$$\begin{aligned} (3x^2-2x+1)+(x^2+5x-4)&=4x^2+3x-3,\\ (3x^2-2x+1)-(x^2+5x-4)&=2x^2-7x+5. \end{aligned}$$

Miinus sulgude ees muudab sulgudes iga liikme märgi.

Üksliikmega korrutamisel korruta sellega hulkliikme iga liige:

$$3x(2x^2-x+4)=6x^3-3x^2+12x.$$

Hulkliikme jagamisel üksliikmega jaga iga liige eraldi. Jagaja ei tohi olla null:

$$\frac{12x^3-8x^2+4x}{4x}=3x^2-2x+1,\qquad x\ne0.$$

Kahe hulkliikme korrutamisel korruta esimese hulkliikme iga liige teise iga liikmega ning koonda tulemus:

$$\begin{aligned} (x+2)(x-3)&=x^2-3x+2x-6\\ &=x^2-x-6. \end{aligned}$$

Abivalemid

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

Näiteks

$$(x+3)^2=x^2+6x+9.$$

Tegurdamisel loetakse valemeid vastupidi:

$$x^2+6x+9=(x+3)^2.$$

Tegurdamise valik

Alusta tegurdamisel sellest järjekorrast:

1. Kas kõigil liikmetel on ühine tegur?
2. Kas avaldis sobib mõne abivalemiga?

Valikupuu tabelina:

Pärast tegurdamist kontrolli korrutades, kas saad algse avaldise tagasi.

Kas alati saab tegurdada? Mõni tegurdamine paistab kohe välja, mõni nõuab mitut sammu. Kõik hulkliikmed ei lagune madalama astme teguriteks: näiteks $x^2+1$ ei ole kahe reaalarvuliste kordajatega lineaarteguri korrutis. Tegurdamise võimalus sõltub ka lubatud kordajatest: $x^2-2$ tegurid vajavad irratsionaalarve.

Summa kuju on mugav liitmiseks ja koondamiseks; korrutiskuju nullkohtade leidmiseks ning murdavaldiste taandamiseks. Näiteks $x^2-1$ väärtuse arvutamine on lihtne, aga $(x-1)(x+1)$ näitab kohe nullkohti 1 ja $-1$. Kuju muutmisel säilita avaldise tingimused.

Ühine tegur:

$$6x^2+9x=3x(2x+3).$$

Näide

Lihtsustame avaldise ja kontrollime tulemust väärtusel $x=2$:

$$\begin{aligned} 2x(x+3)-(x^2-4x)&=2x^2+6x-x^2+4x\\ &=x^2+10x. \end{aligned}$$

Algne avaldis annab $x=2$ korral $24$, lihtsustatud avaldis samuti $4+20=24$.

Jagamise näide:

$$\frac{15x^3+10x^2-5x}{5x}=3x^2+2x-1,\qquad x\ne0.$$

Tegurdamise näide:

$$x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5).$$

Täisruudu näide:

$$x^2-10x+25=(x-5)^2.$$

Abivalemi äratundmine:

$$9x^2-25=(3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5).$$

Täisruudu kontroll:

$$4x^2+12x+9=(2x)^2+2\cdot(2x)\cdot3+3^2=(2x+3)^2.$$

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Nimeta hulkliikme $4x^2-3x+8$ liikmed ja nende kordajad.
2. Arvuta $2x^2-3x+1$ väärtus, kui $x=-2$.
3. Lihtsusta $(3x^2-2x+1)-(x^2+4x-5)$.
4. Korruta $3x(2x^2-x+4)$.

Rakendus

5. Jaga $(12x^3-8x^2+4x):(4x)$, kus $x\ne0$.
6. Korruta $(x+4)(x-2)$.
7. Ava sulud abivalemiga: $(x-5)^2$.
8. Tegurda $5x^2+10x$.

Mõtlemisülesanne

9. Tegurda $9x^2-1$.
10. Tegurda $x^2-14x+49$.
11. Ristküliku küljed on $x+2$ ja $x+5$. Avalda selle pindala hulkliikmena.
12. Selgita valemi $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ geomeetrilist tähendust ruudu pindalade abil.

Vastused

1. Liikmed on $4x^2$, $-3x$ ja $8$; kordajad on vastavalt 4, -3 ja 8.
2. $2\cdot(-2)^2-3\cdot(-2)+1=15$.
3. $3x^2-2x+1-x^2-4x+5$. Koondades saad $2x^2-6x+6$.
4. $6x^3-3x^2+12x$.
5. $3x^2-2x+1$, sest iga liige jagatakse $4x$-ga.
6. $x^2+2x-8$.
7. $x^2-10x+25$.
8. $5x(x+2)$, sest ühine tegur on $5x$.
9. $(3x-1)(3x+1)$, sest see on ruutude vahe.
10. $(x-7)^2$, sest avaldis on täisruutkolmliige.
11. $(x+2)(x+5)=x^2+7x+10$.
12. Küljega $a+b$ ruut jaguneb ruuduks pindalaga $a^2$, ruuduks pindalaga $b^2$ ja kaheks ristkülikuks pindalaga $ab$.

Seosed

Hulkliikmete põhitehted ja abivalemid valmistavad ette 9. klassi ruutvõrrandi ning ruutfunktsiooni. Üldise ruutkolmliikme tegurdamine ja nullkorrutise abil võrrandi lahendamine kuuluvad järgmisse õpitee ossa.

VIII klass: funktsiooni sild

Mõiste

Funktsioon kirjeldab, kuidas üks suurus sõltub teisest. VIII klassis näe seost neljal kujul:

Eeldus: oskad koostada avaldist, lahendada lihtsat võrrandit ja märkida punkte koordinaatteljestikule.

Võrrand küsib "millal on väärtus kindel?", funktsioon "kuidas väärtus muutub?".

Kontrollküsimus: kas iga sisendi kohta tekib täpselt üks väljund? Kui jah, on seos funktsioon.

Lineaarfunktsioonis $y=ax+b$ näitab $a$, kui kiiresti väärtus muutub, ja $b$ algväärtust.

Näide

Jalutaja liigub kiirusega 4 km tunnis. Teepikkus sõltub ajast:

$$s=4t.$$

Tabel:

Iga veerg annab graafikule ühe punkti samades ühikutes.

Kui küsitakse, millal teepikkus on 20 km:

$$4t=20,$$

$$t=5.$$

Vastus: 20 km saavutatakse 5 tunniga; muutumise kiirus on 4 km/h ja algväärtus 0 km.

Katseta graafikul

Ava graafikuvaatleja, sea $a=4$ ja $b=0$ ning võrdle ülaloleva tabeli paare graafikuga. Siin tähistab $x$ aega ja $y$ teepikkust; vaata osa $x\ge0$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Koosta tabel valemile $y=2x+1$, kui $x=0,1,2,3$.
2. Kui $y=2x+1$, leia $y$, kui $x=5$.

Rakendus

3. Kui $y=2x+1$ ja $y=15$, leia $x$.
4. Bussipilet maksab 2 eurot. Kirjuta valem $n$ pileti hinna kohta.

Mõtlemisülesanne

5. Sama valemi põhjal leia 7 pileti hind.
6. Kirjuta ühe lausega, mis vahe on võrrandil ja funktsioonil.
7. Kas seos "õpilasele vastab tema sünnikuu" on funktsioon? Põhjenda.
8. Kas seos "kuupäevale vastavad kõik selle päeva sünnipäevalapsed klassis" on alati funktsioon? Põhjenda.
9. Tabelis on punktid (0;3), (1;5), (2;7). Kirjuta valem kujul $y=ax+b$.
10. Valemis $y=4x-1$ nimeta muutumise kiirus ja algväärtus.

Vastused

1. Kui $x=0,1,2,3$, siis $y=1,3,5,7$.
2. $11$.
3. $x=7$.
4. $h=2n$.
5. 7 pileti hind on 14 eurot.
6. Võrrand otsib tundmatut kindlas olukorras, funktsioon kirjeldab muutuvat seost.
7. Jah, igal õpilasel on üks sünnikuu.
8. Mitte tingimata, sest samal kuupäeval võib olla mitu õpilast või mitte ühtegi.
9. $y=2x+3$, sest muutus on 2 ja algväärtus 3.
10. Muutumise kiirus on 4 ja algväärtus on -1.

Valmisolek võrrandisüsteemideks

Enne kahe tundmatuga võrrandisüsteeme kontrolli viit oskust:

1. Kas oskad tabelist valemi leida, kui muutus on ühtlane?
2. Kas eristad muutumise kiirust ja algväärtust?
3. Kas oskad graafiku teljed nimetada?
4. Kas saad funktsiooni väärtusest koostada võrrandi?
5. Kas oskad tekstülesandes öelda, mis on sisend ja mis väljund?

Segakontroll: kohviku kuukaart maksab 5 eurot ja iga lõuna 3 eurot. Kirjuta valem $y=3x+5$ tähendus sõnadega, leia hind 8 lõuna korral ning leia, mitu lõunat saab 29 euro eest.

Vastus: $x$ on lõunate arv ja $y$ kogukulu eurodes; 8 lõuna korral $y=29$; 29 euro eest saab 8 lõunat.

Seosed

Funktsiooni sild ühendab tekstülesande, tabeli, valemi ja graafiku. Järgmises peatükis kujutab kumbki kahe tundmatuga lineaarvõrrand üht sirget ning süsteemi lahend on nende ühine punkt. Ruutmudel ja parabool tulevad põhiteemana 9. klassis.

Lineaarvõrrandisüsteemid

Mõiste

Võrrandisüsteemis otsime väärtusi, mis rahuldavad korraga kõiki võrrandeid.

Kahe tundmatuga süsteemi lahend on arvupaar (x;y). See peab sobima mõlemasse võrrandisse.

Eeldus: oskad lahendada lineaarvõrrandeid, teisendada sirge võrrandit ja lugeda koordinaate.

Enne lahendamist kirjuta, mida $x$ ja $y$ tähistavad ning mis ühikus. Alles siis vali võte.

Võtte valik:

Graafiline lahendus aitab mõista. Ebatäpse joonise korral leia täpne vastus algebra abil.

Lõikepunkt sobib mõlemasse võrrandisse.

Näide

Geomeetriline tähendus

Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi graafik on sirge; süsteemi lahendile vastab sirgete lõikepunkt.

Lõikuvatel sirgetel on üks lahend, paralleelsetel sirgetel lahend puudub ja kokkulangevatel sirgetel lahendeid lõpmata palju.

Süsteemi

lõikepunkti saab leida paremaid pooli võrdsustades:

$$x+1=-x+5$$

$$2x=4,$$

$$x=2.$$

Siis $y=2+1=3$; lahend on (2;3).

Sama süsteem liitmisvõttega

Liidame sama süsteemi võrrandite vasakud ja paremad pooled:

$$y+y=(x+1)+(-x+5).$$

$$2y=6,\qquad y=3.$$

Esimesest võrrandist $3=x+1$, seega $x=2$. Teisest $3=-x+5$, samuti $x=2$. Mõlemad võtted annavad lahendi $(2;3)$.

Kui võtet pole ette antud, vali see, millega saad lahendi lihtsamalt. Kui ülesanne nõuab kindlat võtet, kasuta seda. Kontrolli lahendit mõlemas algses võrrandis.

Asendusvõte

Süsteem

Esimene võrrand annab $y$, seega asendame selle teise võrrandisse:

$$x+(2x+1)=10$$

$$3x+1=10$$

$$x=3.$$

Siis

$$y=2\cdot3+1=7.$$

Lahend on (3;7).

Liitmisvõte

Süsteem

sobib liitmisvõtteks pärast ettevalmistust. Korrutame teise võrrandi arvuga 3, et $y$ kordajad oleksid vastandarvud:

Liidame:

$$8x=36,$$

$$x=4,5.$$

Asendame algsesse võrrandisse:

$$2\cdot4,5-y=6,$$

$$9-y=6,$$

$$y=3.$$

Lahend on (4,5;3).

Katseta graafikul

Võrdle kaht sirget graafikuvaatlejas. Jäta $y=x$ mällu ja sea uus valem $y=-x+2$. Loe lõikepunkti koordinaadid ning kontrolli neid mõlemas võrrandis.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lahenda süsteem x+y=8, x-y=2.
2. Joonisel oleva süsteemi lahend on (2;3). Mida tähendab see graafiliselt? Selgita, mida näitavad arvud 2 ja 3.
3. Too näide süsteemist, millel lahend puudub.
4. Lahenda asendusvõttega: $y=x+4$, $x+y=12$.

Rakendus

5. Millal on süsteemil lõpmata palju lahendeid?
6. Lahenda liitmisvõttega: $x+y=9$, $x-y=1$.
7. Lahenda asendusvõttega: $y=3x-2$, $x+y=10$.

Mõtlemisülesanne

8. Kontrolli, kas (2;3) on süsteemi $y=x+1$, $y=-x+5$ lahend.
9. Milline võte sobib hästi süsteemile $2x+y=7$, $y=5-x$? Põhjenda.
10. Too näide süsteemist, millel on lõpmata palju lahendeid.
11. Lahenda süsteem $2x+y=5$, $4x+2y=10$. Mitu lahendit on?
12. Lahenda süsteem $2x+y=5$, $4x+2y=12$. Mitu lahendit on?

Vastused

1. Lahend on (5;3), sest $x=5$ ja $y=3$; kontroll: $5+3=8$ ja $5-3=2$.
2. Sirged $y=x+1$ ja $y=-x+5$ lõikuvad punktis (2;3): lõikepunkti $x$-koordinaat on 2 ja $y$-koordinaat 3. See arvupaar sobib süsteemi mõlemasse võrrandisse.
3. Näiteks $y=x+1$ ja $y=x+3$.
4. $x+(x+4)=12$, seega $x=4$ ja $y=8$; arvupaar (4;8) sobib mõlemasse võrrandisse.
5. Kui mõlemad võrrandid kirjeldavad sama sirget.
6. Lahenduskäik: liida võrrandid $x+y=9$ ja $x-y=1$, siis $2x=10$ ja $x=5$. Asendades saad $5+y=9$, seega $y=4$.
7. Lahenduskäik: asenda $y=3x-2$ teise võrrandisse: $x+3x-2=10$, seega $x=3$. Siis $y=7$; kontroll: $3+7=10$.
8. Jah, sest arvupaar (2;3) annab mõlemas võrrandis tõese võrduse: $3=2+1$ ja $3=-2+5$.
9. Asendusvõte, sest teine võrrand annab kohe $y=5-x$.
10. Näiteks $y=2x+1$ ja $2y=4x+2$, sest need kirjeldavad sama sirget.
11. Teine võrrand on esimese kahekordne, seega kirjeldavad need sama sirget. Lahendeid on lõpmata palju.
12. Vasak pool on esimese võrrandi kahekordne, aga parem pool peaks siis olema $10$, mitte $12$. Lahend puudub.

Seosed

Süsteemid seovad algebra ja geomeetria: sama olukorda saab kirjeldada võrrandite, graafikute või tekstülesandena. Võrratustes võib lahend olla punktide piirkond või arvude vahemik.

Võrrandisüsteemide tekstülesanded

Mõiste

Tekstülesandes ei ole süsteem ette antud: see tuleb olukorrast ise koostada. Kahe tundmatu kasutamine sobib siis, kui otsitakse kaht seotud suurust ja tekst annab nende kohta kaks sõltumatut seost.

Eeldus: oskad lahendada kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi ning kontrollida arvupaari mõlemas võrrandis.

Tööjärjekord:

1. nimeta tundmatud koos ühikutega;
2. koosta kummagi seose kohta võrrand;
3. lahenda süsteem sobiva võttega;
4. kontrolli arvupaari mõlemas võrrandis;
5. kontrolli, kas arvud sobivad olukorda;
6. kirjuta sõnaline vastus.

Kui tekstis on „kokku”, saad sageli summa võrrandi. Hinna, teepikkuse või tehtud töö seos annab teise võrrandi.

Näide

Koolietendusele müüdi 34 piletit. Täiskasvanu pilet maksis 8 eurot ja õpilase pilet 5 eurot. Pileteid müüdi kokku 218 euro eest. Mitu kummagi hinnaga piletit müüdi?

Olgu $x$ täiskasvanupiletite ja $y$ õpilaspiletite arv.

Koguarv ja kogutulu annavad eri seosed:

Esimesest võrrandist $y=34-x$. Asendame teise:

$$8x+5(34-x)=218.$$

Avame sulud ja koondame:

$$8x+170-5x=218.$$

$$3x=48,\qquad x=16.$$

Siis $y=34-16=18$.

Kontroll: $16+18=34$ ja $8\cdot16+5\cdot18=218$.

Vastus: müüdi 16 täiskasvanupiletit ja 18 õpilaspiletit.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kahe arvu summa on 24 ja vahe 6. Tähista arvud ning koosta süsteem.
2. Klassis on kokku 28 õpilast. Tüdrukuid on poistest 4 rohkem. Koosta süsteem.
3. Selgita, miks tuleb tekstülesande lõpus kirjutada ühikuga vastus.

Rakendus

4. Muuseumisse osteti 20 piletit. Täiskasvanupilet maksis 7 eurot ja õpilaspilet 4 eurot, kokku maksti 98 eurot. Leia kummagi liigi piletite arv.
5. Ristküliku ümbermõõt on 30 cm ja pikkus laiusest 3 cm suurem. Leia küljed.
6. Kahe arvu summa on 41. Üks arv on teisest 7 võrra suurem. Leia arvud.

Mõtlemisülesanne

7. Koosta ise piletihindade ülesanne, mille lahend on 12 täiskasvanu- ja 18 õpilaspiletit.
8. Jalgrattur ja jalakäija läbisid kokku 39 km. Jalgrattur läbis jalakäijast kolm korda pikema maa. Koosta süsteem, lahenda ning hinda, kas vastus on mõistlik.
9. Miks ei piisa tekstülesandes alati ainult sellest, et arvupaar rahuldab võrrandeid?

Vastused

1. Näiteks $x+y=24$ ja $x-y=6$; lahend on $x=15$, $y=9$.
2. Kui $t$ on tüdrukute ja $p$ poiste arv, siis $t+p=28$ ning $t-p=4$.
3. Ühik näitab, mida leitud arv olukorras tähendab.
4. Süsteem on $x+y=20$ ja $7x+4y=98$; lahend on 6 täiskasvanu- ning 14 õpilaspiletit.
5. Kui pikkus on $x$ ja laius $y$, siis $x+y=15$ ning $x-y=3$; küljed on 9 cm ja 6 cm.
6. Arvud on 24 ja 17.
7. Näiteks: müüdi 30 piletit hinnaga 8 ja 5 eurot ning saadi 186 eurot.
8. Kui vahemaad on $x$ ja $y$, siis $x+y=39$ ning $x=3y$; jalgrattur läbis 29,25 km ja jalakäija 9,75 km.
9. Lahend peab lisaks sobima olukorra piirangutega, näiteks inimeste arv ei saa olla negatiivne ega murdarvuline.

Seosed

Tekstülesanne on matemaatiline mudel: sõnadest saavad muutujad ja võrrandid, kuid lõpus tuleb tulemus alati algsesse olukorda tagasi tõlgendada.

Punkt, sirge ja nurk

Mõiste

Punkt tähistab asukohta. Sirge ulatub mõlemas suunas lõpmatuseni. Lõik on sirge osa kahe otspunkti vahel.

Eeldus: oskad mõõta pikkust ja nurka ning tead, et joonisel märgitud andmed on tähtsamad kui silma järgi hinnang.

Nurk tekib kahest samast punktist lähtuvast kiirest.

Enne arvutamist märgi joonisel punktid, antud suurused ja otsitav suurus.

Põhiobjektid on sarnased, aga nende ulatus on erinev:

Kui sama tähis $AB$ esineb eri kohtades, otsusta joonise ja teksti järgi, kas mõeldakse sirget või lõiku.

Lõigu $AB$ puhul on punktid $A$ ja $B$ otspunktid. Kiire $\overrightarrow{AB}$ puhul on $A$ alguspunkt ja kiir läheb läbi punkti $B$.

Põhireeglid

• Täisnurk on $90^\circ$.
• Sirgnurk on $180^\circ$.
• Täispööre on $360^\circ$.

Nurkade liigid:

Kõrvunurgad on kaks nurka, millel on üks ühine haar ja mille teised haarad moodustavad sirge. Kõrvunurkade summa on

$$180^\circ.$$

Tippnurgad tekivad kahe sirge lõikumisel. Tippnurgad on võrdsed.

Näide

Kui kaks kõrvunurka moodustavad sirgnurga ja üks on $65^\circ$, siis teine on

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ.$$

Kui kaks sirget lõikuvad ja üks nurk on $42^\circ$, siis tema tippnurk on samuti $42^\circ$.

Sama lõikumise kõrval olev nurk on kõrvunurk:

$$180^\circ-42^\circ=138^\circ.$$

Kui ümber punkti on mitu nurka, siis nende summa on täispööre:

$$360^\circ.$$

Näiteks kui punkti ümber on nurgad $90^\circ$, $120^\circ$ ja $x$, siis

$$x=360^\circ-90^\circ-120^\circ=150^\circ.$$

Vastus: kõrvunurk on $115^\circ$, tippnurk on $42^\circ$, kõrval olev kõrvunurk on $138^\circ$ ja puuduva täispöörde nurk on $150^\circ$.

Kontroll: kõrvunurgad annavad kokku $180^\circ$, tippnurgad on võrdsed ja ümber punkti olevad nurgad annavad kokku $360^\circ$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Mis liiki nurk on $35^\circ$?
2. Mis liiki nurk on $125^\circ$?
3. Üks kõrvunurk on $73^\circ$. Leia teine.
4. Kaks sirget lõikuvad. Üks nurk on $108^\circ$. Kui suur on tema tippnurk?

Rakendus

5. Kaks sirget lõikuvad. Üks nurk on $108^\circ$. Kui suur on selle kõrval olev kõrvunurk?
6. Mis vahe on lõigul $AB$ ja kiirel $\overrightarrow{AB}$?
7. Üks kõrvunurk on $41^\circ$. Leia teine.

Mõtlemisülesanne

8. Kaks sirget lõikuvad. Üks nurk on $67^\circ$. Leia ülejäänud kolm nurka.
9. Punkti ümber on kolm nurka: $80^\circ$, $95^\circ$ ja $x$. Leia $x$.
10. Nurk $x$ ja nurk $35^\circ$ moodustavad täisnurga. Leia $x$.
11. Joonisel paistab nurk umbes $90^\circ$, aga juurde on kirjutatud $87^\circ$. Millist väärtust kasutad arvutuses ja miks?

Vastused

1. Teravnurk.
2. Nürinurk.
3. $107^\circ$, sest kõrvunurgad annavad kokku $180^\circ$.
4. $108^\circ$, sest tippnurgad on võrdsed.
5. $72^\circ$, sest kõrval olev kõrvunurk on $180^\circ-108^\circ$.
6. Lõigu $AB$ otspunktid on $A$ ja $B$. Kiir $\overrightarrow{AB}$ algab punktist $A$, läbib punkti $B$ ja jätkub samas suunas.
7. $139^\circ$, sest $180^\circ-41^\circ=139^\circ$.
8. Ülejäänud kolm nurka on $67^\circ$, $113^\circ$ ja $113^\circ$, sest tippnurk on võrdne ja kõrvunurgad annavad kokku $180^\circ$.
9. $x=360^\circ-80^\circ-95^\circ=185^\circ$.
10. $x=90^\circ-35^\circ=55^\circ$.
11. Kasutan $87^\circ$, sest arvutustes lähtutakse antud andmetest, mitte joonise silmaga hinnatud kujust.

Seosed

Sirged ja nurgad on kolmnurkade, hulknurkade, trigonomeetria ja tõestuste alus. Järgmises peatükis kasutatakse neid kolmnurga nurkade summa, hulknurkade, ümbermõõdu ja pindala leidmisel.

Kolmnurgad ja nelinurgad

Mõiste

Kolmnurgal on 3 külge ja 3 nurka; nelinurgal 4 külge ja 4 nurka.

Eeldus: tunned nurkade liike, oskad leida ümbermõõtu ja eristad pindala pikkusest.

Külgede järgi:

Nurkade järgi:

Kolm pikkust moodustavad kolmnurga ainult siis, kui kaks lühemat külge kokku on pikemad kui pikim külg. Näiteks 2 cm, 3 cm ja 6 cm ei sobi, sest $2+3<6$.

Nelinurkade erijuhud:

Rööpküliku vastasküljed ja vastasnurgad on võrdsed ning diagonaalid poolitavad teineteist. Romb on rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed; rombi diagonaalid on risti, poolitavad teineteist ja rombi nurki.

Valemid

Kolmnurga nurkade summa:

$$180^\circ.$$

Nelinurga nurkade summa:

$$360^\circ.$$

Kumera $n$-nurga sisenurkade summa:

$$S_n=(n-2)\cdot180^\circ.$$

Kolmnurga pindala:

$$S=\frac{ah}{2}.$$

Kõrgus peab olema valitud alusega risti.

Rööpküliku ja rombi pindala aluse ning kõrguse abil on $S=ah$.

Ristküliku pindala:

$$S=ab.$$

Ruudu pindala:

$$S=a^2.$$

Rombi pindala diagonaalide $d_1$ ja $d_2$ abil:

$$S=\frac{d_1d_2}{2}.$$

Pindalad joonistega

Ümbermõõt liidab küljed. Pindala mõõdab kaetud pinda.

Näide

Kolmnurga alus on 10 cm ja kõrgus 6 cm:

$$S=\frac{10\cdot6}{2}=30\text{ cm}^2.$$

Kui kolmnurga kaks nurka on $48^\circ$ ja $72^\circ$, siis kolmas nurk on

$$180^\circ-48^\circ-72^\circ=60^\circ.$$

Kui nelinurga kolm nurka on $90^\circ$, $110^\circ$ ja $80^\circ$, siis neljas nurk on

$$360^\circ-90^\circ-110^\circ-80^\circ=80^\circ.$$

Kuusnurga sisenurkade summa on

$$S_6=(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ.$$

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kolmnurga kaks nurka on $35^\circ$ ja $65^\circ$. Leia kolmas nurk.
2. Kas kolmnurk nurkadega $40^\circ, 50^\circ, 90^\circ$ on täisnurkne?
3. Leia kolmnurga ümbermõõt, kui küljed on 4 cm, 5 cm ja 6 cm.

Rakendus

4. Nelinurga kolm nurka on $100^\circ$, $80^\circ$ ja $90^\circ$. Leia neljas.
5. Millisel nelinurgal on kõik küljed võrdsed ja kõik nurgad täisnurgad?
6. Ristküliku küljed on 8 cm ja 3 cm. Leia ümbermõõt ja pindala.

Mõtlemisülesanne

7. Rööpküliku alus on 12 cm ja kõrgus 5 cm. Leia pindala.
8. Ristküliku üks külg on 7 cm ja pindala on 35 cm². Leia teine külg.
9. Kolmnurga nurgad on $x$, $2x$ ja $3x$. Leia nurgad.
10. Kas pikkustest 4 cm, 5 cm ja 10 cm saab moodustada kolmnurga?
11. Leia korrapärase kuusnurga ühe sisenurga suurus.
12. Rombi diagonaalid on 6 cm ja 10 cm. Leia rombi pindala.

Vastused

1. $80^\circ$, sest kolmnurga nurgad annavad kokku $180^\circ$.
2. Jah, sest üks nurk on $90^\circ$.
3. Ümbermõõt on $4+5+6=15\text{ cm}$.
4. $90^\circ$, sest nelinurga nurgad annavad kokku $360^\circ$.
5. Ruut, sest ruudul on võrdsed küljed ja täisnurgad.
6. Ümbermõõt $2(8+3)=22\text{ cm}$, pindala $8\cdot3=24\text{ cm}^2$; üks mõõdab äärt, teine pinda.
7. $S=12\cdot5=60\text{ cm}^2$.
8. Teine külg on $35:7=5\text{ cm}$, sest ristkülikul $S=ab$.
9. $x+2x+3x=180^\circ$, seega $x=30^\circ$; nurgad on $30^\circ,60^\circ,90^\circ$.
10. Ei, sest $4+5=9<10$; kahe lühema külje summa peab olema pikem kui pikim külg.
11. Sisenurkade summa on $(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ$. Kõik kuus nurka on võrdsed, seega üks nurk on $720^\circ:6=120^\circ$.
12. $S=\frac{6\cdot10}{2}=30\text{ cm}^2$.

Seosed

Seostub Pythagorase teoreemi, sarnasuse, trigonomeetria, ringi, sümmeetria ja teisendustega.

Ring ja sümmeetria

Mõiste

Ringjoon on kinnine piirjoon keskpunkti ümber. Kõik ringjoone punktid on keskpunktist sama kaugel; seda kaugust nimetatakse raadiuseks.

Eeldus: oskad eristada pikkust ja pindala ning tunned sirget, lõiku ja sümmeetriatelge.

Ring on kogu sisemine piirkond koos piirjoonega. Igapäevases kõnes öeldakse vahel mõlema kohta "ring", aga matemaatikas on neil vahe:

• ringjoon on piirjoon;
• ring on kogu sisemine piirkond koos piirjoonega.

Ringi olulised osad:

Valemid

Ringjoone pikkus:

$$C=2\pi r.$$

Ringi pindala:

$$S=\pi r^2.$$

Need valemid vastavad eri küsimustele:

Kui antud on diameeter, leia enne raadius või kasuta ringjoone pikkuse jaoks valemit $C=\pi d$.

Ringil on palju sümmeetriatelgi: iga keskpunkti läbiv sirge jaotab ringi kaheks võrdseks pooleks. Diameeter asub alati sellisel sümmeetriateljel.

Näide

Kui $r=5$, siis

$$S=\pi\cdot5^2=25\pi\approx78,5.$$

Ringjoone pikkus sama raadiusega on

$$C=2\pi\cdot5=10\pi\approx31,4.$$

Kui diameeter on $12$, siis raadius on

$$r=\frac{12}{2}=6.$$

Sama ringi pindala on

$$S=\pi\cdot6^2=36\pi\approx113,1.$$

Ringjoone pikkus on

$$C=\pi\cdot12=12\pi\approx37,7.$$

Kui tahad katta ümmarguse laua pinna, vajad pindala. Kui tahad panna laua serva ümber paela, vajad ringjoone pikkust.

Vastus: raadiusega 5 on pindala umbes 78,5 ja ringjoone pikkus umbes 31,4; diameetriga 12 on pindala umbes 113,1 ja ringjoone pikkus umbes 37,7.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Leia diameeter, kui raadius on 7 cm.
2. Leia raadius, kui diameeter on 18 cm.
3. Leia ringi pindala, kui $r=4$.
4. Leia ringjoone pikkus, kui $r=4$.

Rakendus

5. Mis vahe on kõõlul ja diameetril?
6. Leia ringjoone pikkus, kui diameeter on 20 cm.
7. Leia ringi pindala, kui diameeter on 14 cm.

Mõtlemisülesanne

8. Kas ülesandes “ümber lillepeenra pannakse ääris” on vaja ringjoone pikkust või pindala?
9. Kas ülesandes “ümmargune vaip katab põrandat” on vaja ringjoone pikkust või pindala?
10. Mitu sümmeetriatelge on ringil?
11. Kas sirge, mis lõikab ringi kahte võrdsesse poolde, peab läbima keskpunkti?

Vastused

1. $14\text{ cm}$, sest diameeter on kaks raadiust.
2. $9\text{ cm}$, sest raadius on pool diameetrist.
3. $16\pi\approx50,3$ ruutühikut, sest $S=\pi r^2$.
4. $8\pi\approx25,1$ pikkusühikut, sest $C=2\pi r$.
5. Diameeter on kõõl, mis läbib keskpunkti. Kõik kõõlud ei läbi keskpunkti.
6. $C=\pi d=20\pi\approx62,8\text{ cm}$.
7. $r=7\text{ cm}$, seega $S=49\pi\approx153,9\text{ cm}^2$.
8. Ringjoone pikkust, sest ääris käib ümber peenra piiri.
9. Pindala, sest vaip katab põranda osa, mitte ainult serva.
10. Lõpmata palju; iga keskpunkti läbiv sirge on sümmeetriatelg.
11. Jah. Ringi sümmeetriatelg läbib keskpunkti, sest ainult siis jäävad pooled peegeldamisel kokku.

Seosed

Ring on oluline geomeetrias, trigonomeetrias, radiaanides ja ringliikumise mudelites. Järgmises peatükis kasutatakse sümmeetriat koos peegelduse, lükke ja pööramisega.

Mis on tõestus?

Mõiste

Tõestus on põhjendus, mis näitab, miks matemaatiline väide kehtib kõigil lubatud juhtudel. Näide aitab väidet mõista, aga näide üksi ei tõesta üldist väidet.

Eeldus: oskad eristada väidet, näidet ja vastunäidet ning tunned paarisarvu ja jaguvuse mõtet.

Tõestust on vaja, sest matemaatikas ei piisa uskumisest, joonise järgi paistmisest ega mõnest õnnestunud proovist. Tõestus ütleb, millistest eeldustest alustame ja miks järeldus neist kindlasti järgneb.

Peamised tõestusviisid:

Enne meetodi valimist küsi: kas tahan väidet tõestada kõigil lubatud juhtudel või piisab selle ümberlükkamiseks ühest vastunäitest?

Tõestuse lõpus kontrolli, kas iga kasutatud samm tuleb eeldusest, definitsioonist või varem teada teoreemist.

Näide

Väide: kui täisarv $n$ jagub 4-ga, siis $n$ on paarisarv.

Otsene tõestus: kui $n$ jagub 4-ga, siis leidub täisarv $k$, nii et

$$n=4k.$$

Aga

$$4k=2(2k).$$

Kuna $2k$ on täisarv, saab $n$ kirjutada kujul $2\cdot\text{täisarv}$. Seega $n$ on paarisarv.

Sama teema vastupidine väide ei kehti: "kui arv on paarisarv, siis ta jagub 4-ga" on väär, sest $6$ on paarisarv, aga ei jagu 4-ga.

Tõlgendus: esimene väide on tõestatud, vastupidine väide on ühe vastunäitega ümber lükatud.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kas üks näide tõestab väite "kõik paarisarvud jaguvad 4-ga"?
2. Too vastunäide väitele "kõik täisarvud on positiivsed".

Rakendus

3. Tõesta otseselt: kui arv jagub 6-ga, siis ta jagub 3-ga.
4. Kas väide "kui arv jagub 3-ga, siis ta jagub 6-ga" on tõene?

Mõtlemisülesanne

5. Miks tuleb väites "parajasti siis, kui" tõestada kaks suunda?
6. Millist tõestusviisi kasutaksid väite "iga paarisarv on kujul $2k$" jaoks?
7. Millist tõestusviisi kasutaksid väite "iga algarv on paaritu" kontrollimiseks?

Vastused

1. Ei. Näiteks $8$ jagub 4-ga, aga see ei ütle midagi kõigi paarisarvude kohta.
2. Näiteks $-2$ on täisarv, aga ei ole positiivne.
3. Kui $n=6k$, siis $n=3(2k)$; seega $n$ jagub 3-ga.
4. Ei. Näiteks $9$ jagub 3-ga, aga ei jagu 6-ga.
5. Sest ekvivalents väidab, et kumbki tingimus annab teise.
6. Otsest tõestust definitsiooni abil.
7. Vastunäidet: $2$ on algarv, aga ei ole paaritu.

Seosed

See leht valmistab ette loogika, hulkade, geomeetrilise tõestamise, induktsiooni ja algoritmide korrektsuse peatükke. Küsimus ei ole ainult "mis vastus tuli?", vaid "miks see vastus peab alati nii tulema?".

Geomeetriline definitsioon ja tõestus

Mõiste

Definitsioon ütleb täpselt, mida mõiste tähendab. Teoreem on matemaatiline väide, mille tõesus tuleb tõestada. Tõestus seob antud tingimused põhjendatud sammude kaudu järeldusega.

Eeldus: oskad eristada näidet, väidet ja vastunäidet ning tunned punkti, sirget, lõiku ja nurka.

Näiteks rööpküliku definitsioon on: rööpkülik on nelinurk, mille mõlemad vastaskülgede paarid on paralleelsed. Väide „rööpküliku vastasküljed on võrdsed” on omadus, mitte definitsioon; see tuleb põhjendada.

Mõnda põhimõistet, näiteks punkti, sirget ja tasandit, kasutatakse teiste mõistete defineerimiseks. Neid nimetatakse algmõisteteks. Aksioom on lähteväide, mida selles teoorias eraldi ei tõestata. Näiteks paralleelide aksioom ütleb:

> Läbi sirgel mitte asuva punkti saab tõmmata täpselt ühe antud sirgega paralleelse sirge.

Teoreemi sõnastus: „kui ..., siis ...”. „Kui”-osa on eeldus ja „siis”-osa väide. Näiteks teoreemis „kui nelinurk on rööpkülik, siis selle vastasküljed on võrdsed” on rööpkülikuks olemine eeldus ja vastaskülgede võrdsus väide.

Ka aritmeetika põhiteoreem on teoreemi näide: iga ühest suurem naturaalarv esitatakse algarvude korrutisena üheselt, kui tegurite järjekorda mitte arvestada.

Geomeetrilise tõestuse tööjärjekord:

1. kirjuta antud andmed;
2. sõnasta tõestada olev väide;
3. märgi joonisele ainult teadaolev;
4. kirjuta iga vaheväite juurde põhjus;
5. lõpeta otsese järeldusega.

Näide

Tõestame, et kahe lõikuva sirge tippnurgad on võrdsed.

Antud: sirged lõikuvad ning tekivad nurgad $\alpha$, $\beta$ ja $\gamma$, kus $\alpha$ ja $\gamma$ on tippnurgad.

Kõrvunurkade summa on $180^\circ$, seega

$$\alpha+\beta=180^\circ$$

ja

$$\beta+\gamma=180^\circ.$$

Järelikult $\alpha+\beta=\beta+\gamma$. Lahutades mõlemalt poolelt $\beta$, saame $\alpha=\gamma$.

Vastus: tippnurgad on võrdsed, sest mõlemad täiendavad sama nurga sirgnurgaks.

Kolmnurga abitulemused

Kolmnurga sisenurkade summa

Tõestame, et kolmnurga sisenurkade summa on $180^\circ$.

Tõmbame läbi kolmnurga tipu $C$ vastasküljega $AB$ paralleelse sirge. Kolmnurga nurkadega $A$ ja $B$ võrdsed põiknurgad paiknevad nüüd tipu $C$ juures. Need kaks nurka ja kolmnurga nurk $C$ moodustavad sirgnurga. Seega

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.$$

Siin kasutati paralleelide aksioomi, põiknurkade võrdsust ja sirgnurga suurust.

Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad

Olgu $AB=AC$ ja $AD$ tipunurga poolitaja, kus $D\in BC$. Kolmnurkades $ABD$ ja $ACD$ on $AB=AC$, $AD$ ühine ning $\angle BAD=\angle CAD$. Külg-nurk-külg tunnuse järgi on kolmnurgad võrdsed. Järelikult $\angle ABC=\angle BCA$.

Külg-nurk-külg tunnus on siin lähteomadus, mitte alusnurkade võrdsuse järeldus.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kas „kolmnurga sisenurkade summa on $180^\circ$” on definitsioon, aksioom või teoreem?
2. Sõnasta trapetsi definitsioon.
3. Sõnasta paralleelide aksioom oma sõnadega.

Rakendus

4. Kirjuta tippnurkade tõestusest välja antu ja eesmärk.
5. Nimeta kolmnurga sisenurkade summa teoreemi eeldus ja väide.
6. Leia viga põhjenduses „nurgad on võrdsed, sest nad paistavad võrdsed”.

Mõtlemisülesanne

7. Milliseid kolme varasemat seost kasutatakse kolmnurga sisenurkade summa tõestuses?
8. Kas vastunäide tõestab väite või lükkab üldväite ümber?
9. Koosta kaheveeruline väite-põhjuse tabel tippnurkade tõestusele.

Vastused

1. Teoreem, sest see on põhjendatav väide kolmnurkade kohta.
2. Trapets on nelinurk, millel on vähemalt üks paar paralleelseid vastaskülgi.
3. Läbi antud sirgel mitte asuva punkti saab tõmmata täpselt ühe selle sirgega paralleelse sirge.
4. Antud: kaks sirget lõikuvad. Eesmärk: näidata, et vastastikku asuvad tippnurgad on võrdsed.
5. Eeldus: kujund on kolmnurk. Väide: selle kolme sisenurga summa on $180^\circ$.
6. Võrdsus pole põhjendatud definitsiooni ega teoreemiga.
7. Paralleelide aksioomi, põiknurkade võrdsust ja sirgnurga suurust $180^\circ$.
8. Vastunäide lükkab üldväite ümber.
9. Näiteks „$\alpha+\beta=180^\circ$ — kõrvunurgad”; „$\beta+\gamma=180^\circ$ — kõrvunurgad”; „$\alpha=\gamma$ — võrdsetest summadest lahutati sama nurk”.

Seosed

Järgmistes peatükkides kasutatakse seda tõestuse vormi paralleelsete sirgete, kolmnurga, ringjoone ja sarnasuse omaduste põhjendamiseks.

Paralleelsed sirged ja nurgad

Mõiste

Paralleelsed sirged on kaks eri sirget, mis asuvad samal tasandil ega lõiku. Lõikaja lõikab neid kahes eri punktis.

Eeldus: tunned kõrvunurki ja tippnurki ning oskad lühikese põhjenduse sammud kirja panna.

Vastavad nurgad asuvad mõlemas lõikepunktis samas asendis. Siin vaatleme sisemisi põiknurki, mis asuvad kahe sirge vahel ja lõikaja eri pooltel. Samapoolsed sisenurgad asuvad sirgete vahel ja lõikaja samal poolel.

Kui $a\parallel b$, siis:

• vastavad nurgad on võrdsed;
• põiknurgad on võrdsed;
• samapoolsed sisenurgad annavad kokku $180^\circ$.

Iga nimetatud nurgaseos on ka paralleelsuse tunnus.

Nurgaseoste põhjendus

Kasutame paralleelide aksioomi Eukleidese kuju: kui kahe samapoolse sisenurga summa on väiksem kui $180^\circ$, lõikuvad sirged sellel pool lõikajat.

Paralleelsete sirgete korral ei saa summa olla väiksem kui $180^\circ$. Kui summa oleks suurem, oleks teise poole sisenurkade summa väiksem kui $180^\circ$, sest kõik neli sisenurka annavad kokku $360^\circ$. Ka siis sirged lõikuksid. Järelikult on summa $180^\circ$.

Joonisel on seega $\beta+\gamma=180^\circ$. Kõrvunurgad annavad $\beta+\delta=180^\circ$, mistõttu $\delta=\gamma$. Tippnurkadest $\alpha=\delta$, seega ka $\alpha=\gamma$.

Pöördväite jaoks tõmba läbi teise lõikepunkti esimese sirge paralleel. Selle nurgad rahuldavad äsja põhjendatud seoseid. Fikseeritud alguskiirest antud nurga all valitud pooltasandisse saab samast tipust tõmmata ainult ühe kiire. Seetõttu langeb teine sirge selle paralleeliga kokku.

Näide

Sirged $a$ ja $b$ on paralleelsed. Lõikaja tekitab sirgel $a$ nurga $64^\circ$.

Sellele vastav nurk sirgel $b$ on samuti $64^\circ$. Tema kõrvunurk on

$$180^\circ-64^\circ=116^\circ.$$

Sama tulemuse annab samapoolsete sisenurkade summa.

Vastus: vastav nurk on $64^\circ$ ja selle kõrval olev nurk $116^\circ$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Lõikaja lõikab kahte paralleelset sirget. Üks vastav nurk on $52^\circ$. Kui suur on teine?
2. Lõikaja lõikab kahte paralleelset sirget. Üks samapoolne sisenurk on $71^\circ$. Leia teine.
3. Kas põiknurgad on paralleelsete sirgete korral võrdsed?

Rakendus

4. Leia $138^\circ$ nurga kõrval olev kõrvunurk.
5. Lõikaja tekitab võrdse paari vastavaid nurki. Mida saab sirgete kohta järeldada?
6. Kaks paralleelset sirget lõikuvad lõikajaga. Üks põiknurk on $83^\circ$. Leia temaga paari moodustav põiknurk ja põhjenda.

Mõtlemisülesanne

7. Paralleelsete sirgete üks nurk on $x$ ja selle samapoolne sisenurk $3x$. Leia mõlemad.
8. Miks ei piisa paralleelsuse tõestamiseks sellest, et sirged joonisel ei paista lõikuvat?
9. Lõikaja lõikab kahte paralleelset sirget. Ühes lõikepunktis on nurk $47^\circ$. Leia teise lõikepunkti nürinurgad ja põhjenda.

Vastused

1. $52^\circ$, sest paralleelsete sirgete vastavad nurgad on võrdsed.
2. $109^\circ$, sest paralleelsete sirgete samapoolsed sisenurgad annavad kokku $180^\circ$.
3. Jah, põiknurgad on paralleelsete sirgete korral võrdsed.
4. $42^\circ$, sest kõrvunurkade summa on $180^\circ$.
5. Sirged on paralleelsed vastavate nurkade tunnuse järgi.
6. $83^\circ$, sest paralleelseid sirgeid lõikava sirge tekitatud põiknurgad on võrdsed.
7. $x+3x=180^\circ$, seega nurgad on $45^\circ$ ja $135^\circ$.
8. Sirged võivad lõikuda väljaspool joonise nähtavat osa; vaja on nurgaseost või muud põhjendust.
9. Vastav teravnurk on $47^\circ$ ja selle kõrvunurk $180^\circ-47^\circ=133^\circ$. Mõlemad nürinurgad on $133^\circ$, sest need on tippnurgad.

Seosed

Paralleelsete sirgete nurgaseosed annavad kolmnurga kesklõigu, trapetsi ja sarnaste kolmnurkade põhjendustele vajaliku keele.

Kolmnurga kesklõik, mediaan ja trapets

Mõiste

Kolmnurga kesklõik ühendab kahe külje keskpunkte. See on kolmanda küljega paralleelne ja sellest kaks korda lühem.

Eeldus: tunned kujundite osi ja paralleelsete sirgete nurgaseoseid.

Kui kolmnurgas $ABC$ on $M$ külje $AB$ ja $N$ külje $AC$ keskpunkt, siis

$$MN\parallel BC,\qquad MN=\frac{BC}{2}.$$

Kolmnurga mediaan ühendab tipu vastaskülje keskpunktiga. Kolm mediaani lõikuvad raskuskeskmes, mis jagab iga mediaani suhtes $2:1$: tipupoolne osa on pikem.

Trapetsi paralleelseid külgi nimetatakse alusteks. Trapetsi kesklõik ühendab haarade keskpunkte, on alustega paralleelne ja selle pikkus on aluste aritmeetiline keskmine:

$$m=\frac{a+b}{2}.$$

Trapetsi kõrgus $h$ on aluste vaheline ristkaugus. Trapetsi pindala on

$$S=\frac{(a+b)h}{2}=mh.$$

Sama haara lähisnurkade summa on $180^\circ$, sest alused on paralleelsed. Erineva pikkusega aluste ja võrdsete haaradega trapetsil on kummagi aluse lähisnurgad võrdsed: kõrguste tõmbamisel tekivad võrdsed täisnurksed kolmnurgad.

Kesklõikude põhjendused

Kolmnurk. Pikenda $MN$ üle $N$ punktini $D$, nii et $ND=MN$. Kolmnurgad $AMN$ ja $CDN$ on võrdsed külg-nurk-külg tunnuse järgi: $AN=NC$, $MN=ND$ ja nurgad $N$ juures on tippnurgad. Seega $CD=AM=MB$ ja $CD\parallel MB$. Nelinurk $MBCD$ on rööpkülik: üks vastaskülgede paar on võrdne ja paralleelne. Seetõttu $MD=BC$ ja $MD\parallel BC$. Kuna $MD=2MN$, saame $MN=BC/2$.

Lähteomadused: kolmnurkade võrdsuse ja rööpküliku tunnused; sarnasust ei eeldata.

Trapets. Olgu alused $AB\parallel CD$ ning $E,F$ haarade $AD,BC$ keskpunktid. Diagonaali $AC$ keskpunkt $K$ annab kolmnurkade kesklõigud $EK=CD/2$ ja $KF=AB/2$. Mõlemad on alustega paralleelsed ja moodustavad koos lõigu $EF$. Järelikult $EF=(AB+CD)/2$.

Sama diagonaal jagab trapetsi kaheks kolmnurgaks kõrgusega $h$. Nende pindalade summa on $ah/2+bh/2=(a+b)h/2=mh$.

Raskuskeskme põhjendus

See lisapõhjendus kasutab hilisemas peatükis õpitavat kolmnurkade sarnasust.

Olgu $M,N$ vastavalt külgede $AB,AC$ keskpunktid ja $G$ mediaanide $CM,BN$ lõikepunkt. Kesklõik $MN\parallel BC$ ja $MN=BC/2$. Kolmnurgad $GBC$ ja $GNM$ on sarnased vastavate nurkade võrdsuse tõttu. Seega $GB/GN=GC/GM=BC/NM=2$. Kolmas mediaan lõikab sama põhjenduse järgi $CM$ suhtes $2:1$, seega läbib samuti punkti $G$.

Näide

Kui $BC=14$ cm, on kolmnurga kesklõik $MN=14/2=7$ cm.

Trapetsi alused on 8 cm ja 16 cm ning kõrgus 5 cm. Leiame kesklõigu ja pindala:

$$m=\frac{8+16}{2}=12\text{ cm},\qquad S=mh=12\cdot5=60\text{ cm}^2.$$

12 cm pikkusel mediaanil on tipupoolne osa $12\cdot2/3=8$ cm ja küljepoolne $12\cdot1/3=4$ cm. Kontroll: $8+4=12$ ja $8:4=2:1$.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kolmnurga külg $BC=18$ cm. Leia sellega paralleelne kesklõik.
2. Trapetsi alused on 6 cm ja 10 cm. Leia kesklõik.
3. Milliste trapetsi külgedega on kesklõik paralleelne?
4. Milliseid punkte ühendab kolmnurga mediaan?

Rakendus

5. Kolmnurga kesklõik on 9 cm. Leia paralleelse kolmanda külje pikkus.
6. Trapetsi kesklõik on 13 cm ja üks alus 8 cm. Leia teine alus.
7. Trapetsi alused on 9 cm ja 15 cm ning kõrgus 6 cm. Leia pindala.
8. Mediaan on 15 cm. Leia raskuskeskme tekitatud kahe osa pikkused.

Mõtlemisülesanne

9. Trapetsi alused on $x$ cm ja $(x+6)$ cm, kesklõik 12 cm. Leia alused.
10. Miks on kolmnurga kesklõigu paralleelsus oluline nurgaseoste jaoks?
11. Trapetsi üks alus suureneb 4 cm ja teine ei muutu. Kui palju muutub kesklõik?
12. Trapetsi alused on eri pikkusega ja haarad võrdsed. Üks alumine alusnurk on $68^\circ$. Leia ülejäänud kolm nurka.

Vastused

1. 9 cm, sest kesklõik on kolmanda külje pool.
2. 8 cm, sest $(6+10):2=8$.
3. Mõlema alusega.
4. Kolmnurga tippu ja vastaskülje keskpunkti.
5. 18 cm, sest kolmas külg on kesklõigust kaks korda pikem.
6. $26-8=18$ cm, sest aluste summa on $2m=26$ cm.
7. $S=(9+15)\cdot6:2=72$ cm².
8. Tipupoolne osa on 10 cm ja küljepoolne osa 5 cm.
9. $(x+x+6):2=12$, seega $x=9$; alused on 9 cm ja 15 cm.
10. Paralleelsus tekitab võrdsed vastavad ja põiknurgad, mida saab põhjendustes kasutada.
11. 2 cm, sest kesklõigus jagatakse aluste summa kahega.
12. Alumised alusnurgad on mõlemad $68^\circ$ ja ülemised mõlemad $112^\circ$.

Seosed

Kesklõik seob paralleelsuse ja sarnasuse. Raskuskese on ühtlase kolmnurkse plaadi tasakaalupunkt.

Ringjoone nurgad ja korrapärane hulknurk

Mõiste

Kesknurga tipp on ringi keskpunktis. Piirdenurga tipp on ringjoonel. Kui mõlemad toetuvad samale kaarele, on kesknurk piirdenurgast kaks korda suurem:

$$\alpha_{\text{kesk}}=2\alpha_{\text{piire}}.$$

Eeldus: tunned ringjoone osi, kolmnurga nurkade summat ja põhjenduse põhietappe.

Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Diameetrile toetuv piirdenurk on $90^\circ$.

Kõõl ühendab ringjoone kaht punkti ja kaar on nende punktide vaheline ringjoone osa. Lõikaja läbib ringjoont kahes punktis. Puutuja puudutab ringjoont ühes punktis ning on selles punktis raadiusega risti. Ühest ringjoonevälisest punktist tõmmatud kahe puutujalõigu pikkused on võrdsed.

Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad ümberringjoone keskpunktis. Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad siseringjoone keskpunktis. Esimene punkt on kõigist tippudest, teine kõigist külgedest võrdsel kaugusel.

Korrapärasel hulknurgal on kõik küljed ja kõik nurgad võrdsed. Kui hulknurgal on $n$ külge, on keskpunkti ümber tekkiv kesknurk

$$\frac{360^\circ}{n}.$$

Ühe sisenurga suurus on

$$\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}.$$

Korrapärase hulknurga apoteem on keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik. Kui ümbermõõt on $P$ ja apoteem $r$, saab hulknurga jagada võrdseteks kolmnurkadeks ning

$$S=\frac{Pr}{2}.$$

Näide

Piirdenurk toetub samale kaarele kui kesknurk $124^\circ$. Piirdenurk on

$$124^\circ:2=62^\circ.$$

Korrapärase kuusnurga kesknurk on

$$360^\circ:6=60^\circ,$$

ja üks sisenurk

$$\frac{(6-2)\cdot180^\circ}{6}=120^\circ.$$

Ringjoone puutepunkti tõmmatud raadiuse ja puutuja vaheline nurk on alati $90^\circ$.

Korrapärase ruudu külg on 8 cm ja apoteem 4 cm. Selle ümbermõõt on 32 cm ning pindala

$$S=\frac{32\cdot4}{2}=64\text{ cm}^2.$$

Vastus: piirdenurk on $62^\circ$; korrapärase kuusnurga kesk- ja sisenurk on vastavalt $60^\circ$ ning $120^\circ$; ruudu pindala on 64 cm².

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kesknurk on $90^\circ$. Leia sama kaare piirdenurk.
2. Piirdenurk on $38^\circ$. Leia sama kaare kesknurk.
3. Leia korrapärase kaheksanurga kesknurk.
4. Kui suur on puutuja ja puutepunkti tõmmatud raadiuse vaheline nurk?

Rakendus

5. Kaks piirdenurka toetuvad samale kaarele. Üks on $52^\circ$. Leia teine.
6. Leia korrapärase viisnurga ühe sisenurga suurus.
7. Miks on diameetrile toetuv piirdenurk täisnurk?
8. Milliste sirgete lõikepunkt annab kolmnurga ümberringjoone keskpunkti?
9. Korrapärase hulknurga ümbermõõt on 40 cm ja apoteem 5 cm. Leia pindala.

Mõtlemisülesanne

10. Korrapärase hulknurga kesknurk on $30^\circ$. Mitu külge hulknurgal on?
11. Korrapärase hulknurga üks sisenurk on $135^\circ$. Mitu külge sellel on?
12. Punktist $P$ on ringjoonele tõmmatud puutujad puutepunktidega $A$ ja $B$. Kui $PA=7$ cm, leia $PB$.
13. Selgita, miks korrapärase hulknurga kesknurkade summa on $360^\circ$.

Vastused

1. $45^\circ$, sest piirdenurk on sama kaare kesknurgast poole väiksem.
2. $76^\circ$, sest kesknurk on kaks korda suurem.
3. $45^\circ$, sest $360^\circ:8=45^\circ$.
4. $90^\circ$.
5. $52^\circ$, sest samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed.
6. $108^\circ$, sest $(5-2)\cdot180^\circ:5=108^\circ$.
7. Diameetrile vastav kesknurk on $180^\circ$, seega piirdenurk on $90^\circ$.
8. Kolmnurga külgede keskristsirgete lõikepunkt.
9. $S=40\cdot5:2=100$ cm². Sellised mõõtmed on ruudul küljega 10 cm.
10. 12 külge, sest $360^\circ:30^\circ=12$.
11. 8 külge, sest $180^\circ-360^\circ:n=135^\circ$, millest $n=8$.
12. $PB=7$ cm, sest ühest punktist tõmmatud puutujalõigud on võrdsed.
13. Need paiknevad ühise keskpunkti ümber ja moodustavad täispöörde.

Seosed

Ringjoone nurgad, puutuja ning sise- ja ümberringjoon valmistavad ette Thalese teoreemi põhjalikku tõestust. Apoteem seob korrapärase hulknurga ringjoone, kolmnurkade ja pindalaga.

Tõestamine ja ringjoone teoreemid

Mõiste

Tõestus põhjendab, miks väide kehtib kõigil tema eeldusi rahuldavatel juhtudel. Ringjoonega on seotud keskpunkt, kaared, kõõlud, nurgad, puutujad ja lõikajad. Käsitleme nelja nurgateoreemi, mitte kõiki omadusi.

Eeldus: tunned ringjoone osi, paralleelsete sirgete nurgaseoseid ja kolmnurkade võrdsuse külg-nurk-külg tunnust. Kolmnurga nurgasumma ja võrdhaarse kolmnurga alusnurkade tõestused on varasemas tõestamispeatükis.

Ringjoone põhiteoreemid

Punktid $A$, $B$ ja $C$ on ringjoonel ning paarikaupa erinevad; $O$ on keskpunkt. Piirdenurk $\angle ACB$ toetub kaarele $AB$, millel $C$ ei asu.

Teoreem kesk- ja piirdenurgast

Samale kaarele toetuv kesknurk on piirdenurgast kaks korda suurem. Tähistame kesknurka $\theta$ ja piirdenurka $\alpha$: $\theta=2\alpha$. Ka üle $180^\circ$ ulatuva kaare puhul tuleb valida just sellele kaarele vastav kesknurk.

Teoreem samale kaarele toetuvatest piirdenurkadest

Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Tõestus: mõlemad on pool samale kaarele vastavast kesknurgast. Ainult ühistest otspunktidest ei piisa: tipud peavad asuma samal kaarel, nurgad toetuvad teisele kaarele.

Thalese teoreem

Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk. Olgu $AB$ diameeter ja $C$ ringjoonel, kus $C\ne A$ ning $C\ne B$.

Thalese teoreemi tõestus

Kaar $AB$, millel $C$ ei asu, on poolring. Selle kesknurk on $180^\circ$. Kesk- ja piirdenurga teoreemist järeldub $\angle ACB=180^\circ:2=90^\circ$.

Teoreem puutujast ja raadiusest

Puutuja on puutepunkti tõmmatud raadiusega risti.

Näide

Piirdenurk on $35^\circ$. Leia samale kaarele toetuv kesknurk ja teine piirdenurk, mille tipp asub ringjoone teises punktis.

Lahendus: kesknurk on $2\cdot35^\circ=70^\circ$, teine piirdenurk aga $35^\circ$. Need tulemused kehtivad teoreemide, mitte joonise mõõtmise tõttu.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Kesknurk on $124^\circ$. Leia samale kaarele toetuv piirdenurk.
2. Kaar vastab kesknurgale $240^\circ$. Leia sellele kaarele toetuv piirdenurk.
3. Miks ei tohi Thalese teoreemis võtta $C=A$?

Rakendus

4. Piirdenurk on $48^\circ$. Leia samale kaarele toetuv teine piirdenurk ja kesknurk.
5. Raadius $OT$ lõpeb puutepunktis $T$. Kui suure nurga moodustab ta puutujaga?
6. Põhjenda Thalese teoreemi kesk- ja piirdenurga seose abil.

Mõtlemisülesanne

7. Tõesta Thalese teoreem teisiti: ühenda $C$ keskpunktiga $O$. Kasuta võrdhaarseid kolmnurki $AOC$ ja $BOC$ ning kolmnurga $ABC$ nurgasummat.
8. Kõõlu otspunktid on $A$ ja $B$. Piirdenurga tipp liigub ühelt kaarelt teisele. Miks ei pruugi nurk samaks jääda?

Vastused

1. $124^\circ:2=62^\circ$.
2. $240^\circ:2=120^\circ$; piirdenurk võib olla nürinurk.
3. Üks haar kaob ja kolmnurka ei teki.
4. Teine piirdenurk on $48^\circ$, kesknurk $96^\circ$.
5. $90^\circ$, sest puutuja on puutepunkti raadiusega risti.
6. Poolringi kesknurk on $180^\circ$, piirdenurk sellest pool ehk $90^\circ$.
7. Kuna $OA=OB=OC$, on kolmnurgad võrdhaarsed. Olgu nende alusnurgad punktis $C$ vastavalt $\alpha$ ja $\beta$. Siis $\angle BAC=\alpha$, $\angle ABC=\beta$ ja $\angle ACB=\alpha+\beta$. Nurgasumma annab $2\alpha+2\beta=180^\circ$, seega $\angle ACB=90^\circ$.
8. Nüüd toetub nurk teisele kaarele. Näiteks $120^\circ$ ja $240^\circ$ kaartele toetuvad nurgad on $60^\circ$ ja $120^\circ$.

Seosed

Tõestuste alus: Eukleidese „Elemendid”, III.20 ja III.21. Puutuja põhjendus kasutab telgsümmeetria kauguste säilimist; klassikaline tõestus on III.18.

Sarnasus ja kaudne mõõtmine

Mõiste

Sarnased kujundid saadakse üksteisest kõigi pikkuste korrutamisel sama positiivse arvuga ning vajaduse korral nihutamisel, pööramisel või peegeldamisel. Sarnastel hulknurkadel on vastavad nurgad võrdsed ja vastavate külgede pikkused võrdelised.

Eeldus: oskad koostada võrret, tunned paralleelsete sirgete nurgaseoseid ning loed kolmnurkade tippude järjekorda.

Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, siis vastavad tipud samas järjekorras:

$$A\leftrightarrow D,\quad B\leftrightarrow E,\quad C\leftrightarrow F.$$

Sarnasustegur esimeselt kolmnurgalt teisele on $k=DE/AB=EF/BC=DF/AC>0$. Vastupidises suunas on tegur $1/k$. Kui $k<1$, kujund väheneb; kui $k=1$, on kujundid võrdsed.

Kolmnurkade sarnasuse põhitunnused:

• kaks vastavat nurka on võrdsed;
• kolm vastavate külgede suhet on võrdsed;
• kahe vastava külje suhted ja nendevahelised nurgad on võrdsed.

Kui pikkused muutuvad $k$ korda, muutuvad ümbermõõdud $k$ ja pindalad $k^2$ korda.

Sarnasuse põhjendused

Ühtlane suurendamine või vähendamine säilitab nurgad ja korrutab kõik pikkused sama positiivse teguriga. Vali tegur nii, et üks vastavate külgede paar muutuks võrdseks. Kahe võrdse nurga korral on võrdsed ka kolmandad nurgad: nüüd rakendub kolmnurkade võrdsuse nurk-külg-nurk tunnus. Kolme küljesuhte või kahe küljesuhte ja nendevahelise nurga korral rakendub vastavalt külg-külg-külg või külg-nurk-külg tunnus. Seega on saadud kolmnurk teisega võrdne ning algsed kolmnurgad sarnased.

Ümbermõõt on külgede summa, seega $P'=kP$. Kolmnurga alus ja kõrgus muutuvad mõlemad $k$ korda:

$$S'=\frac{(ka)(kh)}2=k^2\frac{ah}2=k^2S.$$

Hulknurga saab jagada kolmnurkadeks; nende pindalade liitmisel säilib sama tegur $k^2$.

Näide

Püstise 1,5 m pikkuse lati vari on 2 m ja püstise puu vari 8 m. Mõõdame samal ajal horisontaalsel maal ning käsitleme päikesekiiri paralleelsetena. Kolmnurkadel on täisnurk ja võrdne päikesekiire kaldenurk, seega on need kahe nurga järgi sarnased:

$$\frac{h}{8}=\frac{1{,}5}{2}.$$

Siit

$$h=8\cdot\frac{1{,}5}{2}=6\text{ m}.$$

Vastus: mudeli järgi on puu kõrgus 6 m. Kaldus puu või maapinna korral ei saa sama võrret ilma lisapõhjenduseta kasutada.

Harjutused

Lihtne kontroll

1. Vastavad küljed on 4 cm ja 10 cm. Leia sarnasustegur väiksemalt suuremale.
2. Kui $\triangle ABC\sim\triangle DEF$, millisele küljele vastab $BC$?
3. Kui pikkused suurenevad 3 korda, mitu korda suureneb pindala?

Rakendus

4. Sarnasustegur on 2,5 ja väiksema kujundi külg 6 cm. Leia vastav suurem külg.
5. Püstise posti vari on 6 m ja püstise 1 m pikkuse lati vari 1,5 m. Varjud mõõdetakse samal ajal horisontaalsel maal. Leia posti kõrgus paralleelsete päikesekiirte mudelis.
6. Plaani mõõtkava on $1:500$. Kui pikk on plaanil 3 cm lõik tegelikkuses?

Mõtlemisülesanne

7. Väiksema kujundi pindala on 12 cm² ja sarnasustegur 2. Leia suurema pindala.
8. Punkt $A$ on vastaskaldal, punktid $B,C,D$ selles järjekorras sirgel kaldal ning $AB$ on kaldaga risti. Olgu $BC=6$ m ja $CD=3$ m. Märgi maismaale punkt $E$ nii, et $DE$ on kaldaga risti ja $A,C,E$ ühel sirgel. Kui $DE=4$ m, leia jõe laius $AB$. Joonesta skeem ja põhjenda sarnasust.
9. Miks tuleb varjumeetodil mõõta lati ja objekti vari samal ajal?

Vastused

1. $k=10:4=2{,}5$.
2. Küljele $EF$, sest tipud vastavad samas järjekorras.
3. 9 korda, sest pindala tegur on $3^2$.
4. $6\cdot2{,}5=15$ cm.
5. $h:6=1:1{,}5$, seega $h=4$ m.
6. $3\cdot500=1500$ cm ehk 15 m.
7. $12\cdot2^2=48$ cm².
8. Kolmnurgad $ABC$ ja $EDC$ on sarnased: nurgad $B,D$ on täisnurgad ning nurgad $ACB,ECD$ tippnurgad. Vastavus on $A\leftrightarrow E$, $B\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow C$. Seega $AB/DE=BC/DC=6/3=2$ ja $AB=8$ m.
9. Päikese kõrgus ja seega kiirte nurk muutub ajas; eri ajal mõõdetud kolmnurgad ei pruugi olla sama mudeli järgi sarnased.

Seosed

Sarnasus on mõõtkava, maa-ala plaanistamise, Pythagorase teoreemi rakenduste ja trigonomeetria oluline eeldus.

Probleemilahendus ja mudelid

Mõiste

Matemaatiline mudel on päriselulise olukorra lihtsustatud kirjeldus: valem, tabel, graafik, võrrand või simulatsioon.

Eeldus: oskad kasutada protsente, võrdeid, lihtsaid võrrandeid ja lineaarfunktsiooni.

Mudelil on sisend ja väljund. Sisend on suurus, mille mudelisse paned; väljund on arvutatud vastus. Täht saab tähenduse alles siis, kui ütled tema rolli ja ühiku.

Andmetest mudelini

Mudeli valik algab eeldusest, mitte valemist: punktid -> tabel, ruumiline olukord -> joonis, tundmatu -> võrrand, napid andmed -> hinnang.

Kontrollküsimused

Enne vastuse lõplikuks lugemist küsi:

• Kas vastasin sellele, mida küsiti?
• Kas ühikud on õiged?
• Kas tulemus on realistlik?
• Kas mudeli eeldused sobivad ka väga väikese või väga suure sisendi korral?
• Kas on vaja ümardada ning kuidas seda päriselus tõlgendada?

Näide

Kui rattalaenutus maksab 4 eurot alustasu ja 3 eurot tunnis, siis

$$y=3x+4.$$

Siin $x$ on sisend ehk tunnid ja $y$ on väljund ehk hind eurodes.

Kui küsitakse, mitu tundi saab sõita 19 euro eest, siis lahendame võrrandi

$$3x+4=19.$$

$$3x=15,$$

$$x=5.$$

Vastus: 19 euro eest saab sõita 5 tundi.

Kontroll:

• ühik on tund;
• $3\cdot5+4=19$;
• vastus on mõistlik, sest alustasu võtab 4 eurot ja ülejäänud 15 eurot katab 5 tundi.

Teine näide

Klass tellib märkmikke. Ühe märkmiku hind on 2,50 eurot ja kohaletoimetamine maksab 6 eurot. Kui tellitakse $n$ märkmikku, siis

$$C=2{,}50n+6.$$

Kui klassis on 24 õpilast ja igaüks saab ühe märkmiku, siis

$$C=2{,}50\cdot24+6=66.$$

Eeldus: tükihind on püsiv ja kohaletoimetamine ühekordne.

Harjutused

Kitsas matemaatikas: kirjuta mudel, asenda arvud ja tõlgenda vastus. Laias matemaatikas: nimeta ka eeldused ja piirangud.

Lihtne kontroll

1. Telefonipakett maksab 8 eurot kuus ja 0,05 eurot iga sõnumi eest. Kirjuta mudel kogukulu jaoks.
2. Kui selles mudelis saadetakse 120 sõnumit, mis on kogukulu?

Rakendus

3. Basseini täitub kiirusega 15 liitrit minutis. Kirjuta mudel vee hulga kohta pärast $t$ minutit, kui alguses on basseinis 200 liitrit vett.
4. Millist eeldust teeb lineaarne mudel $y=3x+4$ rattalaenutuse näites?

Mõtlemisülesanne

5. Too üks kontrollküsimus, mida peaks pärast vastuse leidmist küsima.
6. Millal peaks lineaarse mudeli asemel otsima teistsugust mudelit?
7. Leia rattalaenutuse mudelis sisend, väljund ja üks eeldus.

Vastused

1. $C=8+0{,}05s$, kus $s$ on sõnumite arv.
2. $C=8+0{,}05\cdot120=14$ eurot.
3. $V=200+15t$, kus $t$ on minutites ja $V$ liitrites.
4. Iga lisatund maksab sama palju ja alustasu on ainult üks kord, seega sobib lineaarmudel.
5. Näiteks: kas ühikud on õiged ja kas vastus on realistlik?
6. Siis, kui muutus ei ole püsiv, näiteks kasv kiireneb või aeglustub.
7. Sisend on tundide arv $x$, väljund on hind $y$; eeldus on, et iga lisatund maksab 3 eurot.

Seosed

Modelleerimine ühendab arvud, algebra, funktsioonid, geomeetria, statistika ja analüüsi. Järgmine peatükk tugevdab mudeli kontrolli: ühikud ja suurusjärk näitavad, kas vastus on päriselus võimalik ja mõistlik.