Lineaarfunktsioon

Enne alustamist7. klass · raskus 3/5

Mõiste

Lineaarfunktsiooni kuju on $$y=kx+b.$$

Eeldus: oskad võrdelist seost tabeli, valemi ja graafikuna kirjeldada ning lahendada lihtsat võrrandit.

Sama mõtet kirjutatakse ka kujul $f(x)=kx+b$. Täht $f$ on funktsiooni nimi ja $x$ sisend. Kui ülesandes on $h(t)=t+5$, siis nimi on $h$ ja sisend $t$; seose tüüp ei muutu.

Tabel, valem ja graafik kirjeldavad sama seost.

$k$ on tõus ja $b$ on algordinaat. Graafiku lõikepunkt $y$-teljega on $(0;b)$.

Kui $k>0$, siis sirge tõuseb vasakult paremale.
Kui $k<0$, siis sirge langeb vasakult paremale.
Kui $k=0$, siis funktsioon on konstantne: $y=b$.

Kui $x=0$, siis $y=b$. Seetõttu määrab algordinaat $b$ graafiku lõikepunkti $(0;b)$ $y$-teljega.

Tõus näitab, kui palju $y$ muutub, kui $x$ suureneb 1 võrra:

$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}.$$

Tekstülesandes on tõusul ühik: $h(t)=t+5$ korral 1 euro lisatunni kohta.

Kahe punkti $(x_1;y_1)$ ja $(x_2;y_2)$ järgi:

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\qquad x_1\ne x_2.$$

Kui $k$ on teada, leia $b$ ühe punkti asendamisega valemisse.

Näide

Funktsioon

$$y=2x-1$$

läbib punktid $(-1;-3)$; $(0;-1)$; $(1;1)$ ja $(2;3)$.

Lineaarfunktsiooni graafik — Lineaarfunktsiooni $y=2x-1$ graafik on sirge, mille tõus on 2 ja algordinaat -1.

Kontrolliks asenda graafiku punkt valemisse: pooled peavad võrduma.

Siin $b=-1$, sest graafik lõikab $y$-telge punktis $(0;-1)$. Tõus $k=2$: kui $x$ suureneb 1 võrra, suureneb $y$ 2 võrra.

Sama valemi leiame punktidest $(1;1)$ ja $(2;3)$. Tõus on $k=(3-1)/(2-1)=2$. Punkti $(1;1)$ asendamisel saame $1=2\cdot1+b$, seega $b=-1$. Teine punkt sobib, sest $3=2\cdot2-1$.

Punktide $(1;2)$ ja $(4;8)$ tõus on

$$k=\frac{8-2}{4-1}=\frac63=2.$$

Leiame nende kahe punkti järgi kogu sirge valemi.

Kasutame punktis $(1;2)$ valemit $y=2x+b$:

$$2=2\cdot1+b,$$

$$b=0.$$

Seega sirge valem on

$$y=2x.$$

Sirge läbib punkte $(-2;5)$ ja $(4;-1)$. Tõus on

$$k=\frac{-1-5}{4-(-2)}=\frac{-6}{6}=-1.$$

Seega $y=-x+b$. Kasutame punkti $(4;-1)$:

$$-1=-4+b,$$

$$b=3.$$

Sirge valem on

$$y=-x+3.$$

Vastus: $y=2x$ ja $y=-x+3$.

Võimalikud eksimused

Kui $b\ne0$, ei ole seos võrdeline. Võrdeline seos on kujul $y=kx$.

Teine tüüpviga on ajada segi algordinaat ja telje lõikepunkt. Algordinaat on arv $b$; graafiku lõikepunkt $y$-teljega on punkt $(0;b)$.

Kolmas tüüpviga on koordinaadid segamini lahutada. Kui alustad $y_2-y_1$, kasuta nimetajas sama järjekorda $x_2-x_1$.

Näiteks punktide $(1;2)$ ja $(4;8)$ korral:

$$\frac{8-2}{4-1}=2.$$

Sama järjekorra ümberpööramine annab samuti õige vastuse:

$$\frac{2-8}{1-4}=2.$$

Aga segamini järjekord annaks vale märgi.

Neljas tüüpviga on oletada, et iga kasvav seos on lineaarne. Lineaarse seose tunnus on püsiv muutus: iga sama $x$-sammu kohta muutub $y$ sama palju.

Katseta graafikul

Võrdle sirgeid graafikuvaatlejas. Rakenduses on tõusu tähis $a$, siin $k$. Jäta $y=x$ mällu, muuda esmalt ainult tõusu ja seejärel ainult algordinaati.

Ennusta enne muutmist

Ava kordajate vaade. Palu ennustada, mis jääb $a$ muutmisel paigale ning milline omadus säilib $b$ muutmisel. Kontrollige üht punkti ka valemiga.

Tõus ja algordinaat

Avage sirge vaade. Küsige: „Millal sirge langeb?” ja „Kust leiame $b$ graafikult?” Las õppija näitab vastust ühe muutuse kaupa.

Harjutused

Prindi selle teema harjutusleht

Lihtne kontroll

Mis on funktsiooni $y=3x+5$ tõus?
Mis on funktsiooni $y=3x+5$ algordinaat?
Kas funktsioon $y=-2x+1$ tõuseb või langeb?
Leia tõus punktide $(0;4)$ ja $(2;10)$ järgi.

Rakendus

Millises punktis lõikab $y=4x-7$ graafik $y$-telge?
Leia tõus punktide $(2;3)$ ja $(6;11)$ järgi.
Leia tõus punktide $(-1;4)$ ja $(3;-4)$ järgi.
Kujuteldavas Tartu rattalaenutuses maksab päevapilet 5 eurot ja iga lisatund 1 euro. Kirjuta hinna valem $h(t)$, kui $t$ on lisatundide arv.

Mõtlemisülesanne

Sirge tõus on $k=3$ ja ta läbib punkti $(2;7)$. Leia $b$.
Leia sirge valem, kui sirge läbib punkte $(0;-2)$ ja $(4;6)$.
Leia sirge valem, kui sirge läbib punkte $(1;5)$ ja $(3;9)$.
Rong liigub ühtlase kiirusega. Kell 10.00 on ta Tallinnast 40 km kaugusel ja kell 11.00 130 km kaugusel. Kirjuta kauguse valem tundide arvu $t$ järgi pärast kella 10.00.
Tabelis on $x$-väärtused 1; 2; 3; 4 ja neile vastavad $y$-väärtused 4; 7; 10; 13. Kas seos on lineaarne? Põhjenda.
Valemis $h(t)=2t+5$ kirjeldab $h$ hinda eurodes ja $t$ aega tundides. Mida tähendab tõus 2?

Vastused

Tõus on $3$: kui $x$ kasvab 1 võrra, kasvab $y$ 3 võrra.
Algordinaat on $5$, sest $x=0$ korral on $y=5$.
Langeb, sest tõus $k=-2$ on negatiivne.
$k=\frac{10-4}{2-0}=3$.
$(0;-7)$, sest $y$-teljel on $x=0$ ja siis $y=-7$.
$k=\frac{11-3}{6-2}=2$.
$k=\frac{-4-4}{3-(-1)}=-2$.
$h(t)=t+5$; $t$ on sisend ja $h(t)$ hind eurodes.
$7=3\cdot2+b$, seega $b=1$; kontrolliks annab punkt $(2;7)$ valemis õige väärtuse.
Tõus $k=\frac{6-(-2)}{4-0}=2$, algordinaat on $-2$, seega $y=2x-2$.
$k=\frac{9-5}{3-1}=2$. Kasutades punkti $(1;5)$: $5=2\cdot1+b$, seega $b=3$ ja $y=2x+3$.
Kiirus on $90$ km/h, seega $s(t)=90t+40$.
Jah, sest $y$ suureneb iga kord 3 võrra, kui $x$ suureneb 1 võrra.
Tõus 2 tähendab, et iga lisatund kasvatab hinda 2 euro võrra; ühik on eurot tunnis.

Seosed

Lineaarfunktsioon on mudel püsiva muutumiskiirusega olukordadele: hind, teepikkus, palk, temperatuurimuutus. Järgmine pöördvõrdeline seos näitab teistsugust sõltuvust, kus korrutis püsib, aga muutumiskiirus ei ole püsiv.