12. klassi võimalikud eksimused
Need on kohad, millele lahendamisel tähelepanu pöörata, mitte eksimuste sageduse pingerida.
Arvud
- Arvuhulgad ja reaalarvudLõpmatu kümnendmurd ei ole automaatselt irratsionaalne. Näiteks $0,333\ldots=\frac13$.
Algebra
- Võrratused ja vahemikudMärgi pööramist unustatakse just siis, kui jagatakse negatiivse kordajaga.
Funktsioonid
- Eksponentfunktsioon ja logaritmEksponentkasvus ei liideta igal sammul sama arvu, vaid korrutatakse sama teguriga. Näiteks 10% võetakse iga kord uuest väärtusest.
- Logaritmireeglid, võrrandid ja võrratusedLogaritm ei jaotu summa üle: Teine tüüpviga on unustada argumendi tingimus. Algebraline teisendus võib anda kandidaadi, mille korral mõni algne logaritm puudub.
- Trigonomeetrilised funktsioonidKraadid ja radiaanid on eri mõõtühikud. Arvutis või kalkulaatoris tuleb kontrollida, kumb režiim on kasutusel.
Trigonomeetria
- Radiaanid ja perioodilisusKui kalkulaator on radiaanides, siis
sin(30)ei tähenda $\sin 30^\circ$.
Analüüs
- JadadAritmeetilises jadas liidetakse sama arv. Geomeetrilises jadas korrutatakse sama teguriga.
- Jada piirväärtus ja lõpmatu summaPiirväärtus ei ole sama mis viimane liige: lõpmatul jadal viimast liiget ei ole.
- Piirväärtus, tuletis ja integraalTuletis ei ole ainult “uus valem”. See tähendab funktsiooni hetkelist muutumiskiirust.
- Tuletise arvutusreeglidAvaldist $(x^2+1)^3$ ei tohi tuletada sama reegliga nagu $x^3$. Sulgudes olev sisemine funktsioon vajab ahelreeglit.
- Eksponent-, logaritm- ja trigonomeetriliste funktsioonide tuletisedEsimene tüüpviga on kirjutada $(a^x)'=xa^{x-1}$. See on astmefunktsiooni reegel, kuid $a^x$ on eksponentfunktsioon. Õige on $(a^x)'=a^x\ln a$.
- Tuletise rakendusedTingimus $f'(x)=0$ annab kandidaadi; eraldi tuleb otsustada, kas see on miinimum, maksimum või muu punkt.
- Teine tuletis, kõverus ja käänupunktTüüpviga on nimetada iga $f''(x)=0$ lahend käänupunktiks. Näiteks funktsioonil $f(x)=x^4$ on $f''(0)=0$, kuid $f''(x)=12x^2$ ei vaheta nulli läbides märki.
- Algfunktsioon ja määramata integraalMääramata integraali lõpus ei tohi unustada
+C. Ilma selleta on kirjas ainult üks algfunktsioon, mitte kõik võimalikud algfunktsioonid. - Määratud integraal ja pindalaIntegraal ja pindala ei ole alati sama arv. Kui funktsioon vahetab märki, tuleb pindala leidmiseks vahemik nullkohtade järgi osadeks jagada.
- Kahe kõvera vaheline pindala ja pöördkeha ruumalaEsimene tüüpviga on lahutada funktsioonid vales järjekorras. Geomeetriline pindala ei saa olla negatiivne; kontrolli jooniselt, kumb graafik on ülal.
- Integraali rakendusedTeljest allpool annab integraal negatiivse panuse. Pindala leidmisel võetakse osad positiivsena.
Süvageomeetria
- RuumigeomeetriaRuumala ja pindala valemid mõõdavad eri asju. Pindala ühik on ruutühik, ruumala ühik kuupühik.
- Püramiid ja pöördkehade arvutusedTüüpviga on kasutada püramiidi külgtahu pindalas keha kõrgust. Külgtahu kolmnurga kõrgus on apoteem. Teine tüüpviga on panna koonuse ruumala valemisse moodustaja $s$; ruumala kasutab põhjaga risti olevat kõrgust $h$.
Loogika
- Mis on tõestus?Tüüpviga on tuua kolm näidet ja nimetada seda tõestuseks. Näited võivad anda idee, aga üldväite puhul peavad kaetud olema kõik lubatud juhud.
- Loogika, hulgad ja tõestusÜks näide võib väite ümber lükata, aga üks näide ei tõesta üldist väidet.
- Matemaatiline induktsioonInduktsioon ei ole “kontrollin mõne näite peal”. Näited aitavad aimata, aga tõestuseks on vaja üldist sammu.
Modelleerimine
- Probleemilahendus ja mudelidMudel ei ole tegelikkus ise. See jätab osa asju välja, seega küsi, millal mudel sobib.
- Hinnangud ja ühikuanalüüsKui valemi tulemusel saad vale ühiku, on tõenäoliselt valem või asendus vale.
- Finantsmatemaatika5% ei ole arvutustes 5, vaid 0,05.
Kordamine ja teemade seosed
- XII klass: analüüsi, loogika ja modelleerimise sildTüüpviga on jätta vastus ainult arvuks. Kui mudelis $x=6$ tähendab sadu ühikuid, siis lõppvastus on 600 ühikut, mitte paljas arv 6.
- XII klass: eksamikordamineTüüpviga on leida tuletis või integraal, aga jätta tähendus ütlemata. Eksamivastuses peaks arvutus lõppema tõlgendusega: maksimum, pindala, kogus, kiirus, tõestatud väide või mudeli piirang.