12. klassi harjutused

Arvuhulgad ja reaalarvud

Lihtne kontroll

1. Millistesse arvuhulkadesse kuulub -7?
2. Kirjuta 0,125 hariliku murruna.

Rakendus

3. Too üks irratsionaalarvu näide.
4. Millistesse arvuhulkadesse kuulub $\frac56$?

Mõtlemisülesanne

5. Kas $\sqrt9$ on irratsionaalarv?
6. Millistesse hulkadesse kuulub arv $\frac{7}{2}$?
7. Kas $\frac48$ ja $\frac12$ tähistavad sama ratsionaalarvu? Põhjenda.
8. Millistesse hulkadesse kuulub arv $0$, kui sinu kokkuleppes $0\notin\mathbb{N}$?

Ava selgitused ja vastused

Võrratused ja vahemikud

Lihtne kontroll

1. Lahenda $2x-5>7$.
2. Lahenda $-3x\le12$.

Rakendus

3. Kirjuta vahemikuna “kõik arvud 2-st suuremad ja 5-st väiksemad”.
4. Rattalaenutus maksab 5 eurot ja lisaks 3 eurot iga tunni eest. Eelarve on kuni 23 eurot. Koosta aja $t$ kohta võrratus ja leia võimalik ajavahemik, kui $t\ge0$.

Mõtlemisülesanne

5. Leia $[0;8]\cap[3;10]$.
6. Leia $[0;2]\cup[2;5]$.
7. Leia $(1;6)\cap[4;8]$.
8. Lahenda $5-2x<1$ ja kirjuta vastus vahemikuna.
9. Õpilane väidab, et arv 2 kuulub hulka $(-\infty;2]\cap(2;6)$. Kas väide on õige? Leia ühisosa ja põhjenda.

Ava selgitused ja vastused

Eksponentfunktsioon ja logaritm

Lihtne kontroll

1. Leia $\log_2 16$.
2. Kirjuta logaritmina võrdus $5^3=125$.
3. 200 eurot kasvab 10% aastas. Kirjuta summa valem $A(t)$.
4. Leia 200 euro suurune summa 2 aasta pärast 10% aastase kasvuga.

Rakendus

5. Ravimit on 500 mg ja kogus väheneb 30% tunnis. Kirjuta mudel ning leia kogus kahe tunni pärast.
6. Baktereid on 40 ja nende arv kolmekordistub tunnis. Kui palju on neid kolme tunni pärast?
7. Kumb kahaneb kiiremini: $A(t)=100\cdot0{,}8^t$ või $B(t)=100\cdot0{,}9^t$? Põhjenda teguri järgi.

Mõtlemisülesanne

8. Investeeringut kirjeldab $A(t)=200\cdot1{,}15^t$. Mitme täisaasta pärast on summa esimest korda vähemalt 400 eurot? Kasuta logaritmi.
9. Võrdle hetkel $t=5$ mudeleid $P(t)=100\cdot1{,}2^t$ ja $Q(t)=150\cdot1{,}1^t$. Kumb on suurem, kuigi alguses väiksem?
10. 50 ühikut kahekordistub igal sammul. Millal jõuab väärtus esimest korda vähemalt 350-ni? Leia reaalne lahend ja tõlgenda täissammu.
11. Miks ei ole $\log_2(-8)$ reaalarvuna defineeritud?

Ava selgitused ja vastused

Logaritmireeglid, võrrandid ja võrratused

Lihtne kontroll

1. Avalda ühe logaritmina $\log_3 5+\log_3 9$.
2. Avalda $\log_2 32-\log_2 4$.
3. Arvuta $\log_2 7$ aluse vahetamise valemiga kahe komakoha täpsusega.

Rakendus

4. Kasvumudel on $N(t)=3^{t+1}$. Leia aeg $t$, mil mudeli väärtus on 27.
5. Lahenda $\log_5(x-4)=2$ ja kontrolli tingimust.
6. Lahenda $\log_2 x+\log_2(x-2)=3$.

Mõtlemisülesanne

7. Lahenda $2^x>8$.
8. Lahenda $\left(\frac13\right)^x\le\frac1{27}$ ja põhjenda märgi suunda.
9. Lahenda $\log_2(x-1)+\log_2(x-3)=3$ ning selgita, miks mõlemad algebra kandidaadid ei sobi.
10. Lahenda $\log_3(x-2)<2$ koos määramispiirkonna tingimusega.
11. Lahenda $\log_{1/2}(x-1)\le1$ ja põhjenda märgi muutumist.

Ava selgitused ja vastused

Trigonomeetrilised funktsioonid

Lihtne kontroll

1. Leia $\cos0^\circ$.
2. Mis on $\sin^2x+\cos^2x$ väärtus?
3. Miks $\tan90^\circ$ pole defineeritud?

Rakendus

4. Mis on ühikringil punkti koordinaadid, kui nurk on $60^\circ$?
5. Mis märgiga on $\sin220^\circ$ ja $\cos220^\circ$?
6. Vaateratta kõrgust kirjeldab $h(x)=12+10\sin x$, kus $x$ on nurk kraadides. Leia $h(30^\circ)$ ja tõlgenda arvu 12.

Mõtlemisülesanne

7. Kui $\cos x=0$, siis miks võib tangensiga probleem tekkida?
8. Leia kõik nurgad vahemikus $0^\circ\le x\le720^\circ$, mille korral $\sin x=0$.
9. Kas $\sin x$ väärtus võib olla 2? Põhjenda.

Ava selgitused ja vastused

Radiaanid ja perioodilisus

Lihtne kontroll

1. Teisenda $180^\circ$ radiaanideks.
2. Teisenda $\frac{\pi}{3}$ kraadideks.
3. Mis on siinusfunktsiooni vähim positiivne periood?

Rakendus

4. Paigal oleva keskpunktiga ratas raadiusega 3 pöördub $120^\circ$. Kui pika kaare läbib serval olev punkt?
5. Ratas pöördub $\frac{5\pi}{6}$ radiaani. Mitu kraadi ja milline osa täispöördest see on?
6. Milline väikseim positiivne radiaaninurk tuleb liita nurgale $35^\circ$, et tangensi väärtus korduks?

Mõtlemisülesanne

7. Miks $\sin(x+4\pi)=\sin x$?
8. Kas $60^\circ$ ja $\frac{\pi}{3}$ rad on sama nurga suurus? Võrdle ka nende koosinusi.
9. Kahe ratta keskpunktid püsivad paigal. Nende raadiused on 5 ja 10 ning mõlemad pöörduvad nurga $\frac{\pi}{3}$. Võrdle servapunktide läbitud kaari.

Ava selgitused ja vastused

Jadad

Lihtne kontroll

1. Leia aritmeetilise jada 4, 9, 14, 19, ... vahe $d$.
2. Leia selle jada üldliige.
3. Leia sama jada 20. liige.

Rakendus

4. Paberilehe paksus on algul 0,1 mm ja kahekordistub iga voltimisega. Mis tüüpi jada tekib ja mis on $q$?
5. Kontol on algul 1000 eurot ja summa kasvab aastas 5%. Kirjuta mudel $A(n)$, kus $n$ on aastate arv.
6. Palli esimese põrke kõrgus on 2 m ja iga järgmine põrge ulatub $\frac34$ eelmise kõrgusest. Leia neljanda põrke kõrgus.

Mõtlemisülesanne

7. Leia aritmeetilise jada 1, 4, 7, ..., 28 liikmete summa.
8. Geomeetriline jada algab liikmetega 8, -4, 2, .... Leia viies liige ja esimese viie liikme summa.
9. Õpilane säästab esimesel kuul 100 eurot ning igal järgmisel kuul 20 eurot rohkem. Põhjenda, miks kuusummad moodustavad aritmeetilise jada, ning leia 12 kuu kogusumma.

Ava selgitused ja vastused

Jada piirväärtus ja lõpmatu summa

Lihtne kontroll

1. Leia $\lim_{n\to\infty}\frac5n$.
2. Leia $\lim_{n\to\infty}\left(4+\frac2n\right)$.
3. Kas jada $2^n$ on lõpliku piirväärtusega?

Rakendus

4. Leia summa $8+4+2+1+\cdots$.
5. Leia summa $3-1+\frac13-\frac19+\cdots$.
6. Pall langeb 5 meetrit ja iga põrke kõrgus on eelmisest $\frac35$. Leia kõigi tõusude summa.

Mõtlemisülesanne

7. Miks on hääbuva geomeetrilise jada summa valemi tingimus $|q|<1$?
8. Leia $\lim_{n\to\infty}\frac{2n-7}{n+3}$ ning kontrolli lähenemise suunda liikmete $a_{10}$ ja $a_{100}$ abil.
9. Selgita, miks arvud $e$ ja $\pi$ võivad tekkida piirväärtusena, kuigi nad ei ole ühegi lõpliku sammu tulemus.

Ava selgitused ja vastused

Piirväärtus, tuletis ja integraal

Lihtne kontroll

1. Mida kirjeldab piirväärtus?
2. Mida kirjeldab tuletis?
3. Mida kirjeldab määratud integraal?

Rakendus

4. Kui $f'(3)=6$, siis mida see ütleb funktsiooni kohta punktis $x=3$?
5. Kui kiirus on 12 m/s ja aeg 10 s, siis millist integraali mõtet saab siin lihtsal kujul kasutada?

Mõtlemisülesanne

6. Kui $f'(2)=0$, mida võiks see graafiku kohta vihjata?
7. Mis vahe on keskmisel muutumiskiirusel vahemikus ja tuletisel punktis?
8. Jada $a_n=\frac1n$ ei saavuta väärtust 0. Miks võib selle piirväärtus siiski olla 0?

Ava selgitused ja vastused

Tuletise arvutusreeglid

Kitsas matemaatikas: vali õige tuletamisreegel ja arvuta korrektselt. Laias matemaatikas: põhjenda reegli valikut ning tõlgenda tuletise märki või nullkohta.

Lihtne kontroll

1. Leia $(5x^2-3x+8)'$.
2. Leia $(x^4+2x^2)'$.
3. Leia ((3x-2)^2)'.

Rakendus

4. Selgita oma sõnadega, millal on vaja ahelreeglit.
5. Liikumist kirjeldab $s(t)=t^2(t+5)$ meetrites. Leia hetkeline kiirus hetkel $t=2$ s.
6. Kontsentratsioon on $C(t)=\frac{t^2}{t+1}$ mg/l. Leia $C'(1)$ ja lisa vastusele ühik.

Mõtlemisülesanne

7. Leia $((x^2+1)^5)'$.
8. Õpilane väidab, et $(4(2x-1)^3)'=12(2x-1)^2$. Leia viga ja paranda vastus.
9. Kui $f'(x)=3x^2-12$, leia ekstreemumikandidaadid ning liigita need tuletise märgi järgi.

Ava selgitused ja vastused

Eksponent-, logaritm- ja trigonomeetriliste funktsioonide tuletised

Lihtne kontroll

1. Leia $(e^x+\sin x)'$.
2. Leia $(2^x+\ln x)'$.
3. Leia $(4\cos x-3\tan x)'$.

Rakendus

4. Bakterite arv on $N(t)=500e^{0{,}2t}$. Leia $N'(t)$ ja tõlgenda $N'(0)$.
5. Helisignaali mudel on $s(t)=3\sin(4t)$. Leia hetkeline muutumiskiirus $s'(t)$.
6. Kontsentratsioon on $C(t)=\ln(t+1)$ mg/l. Leia $C'(3)$ ja lisa sobiv ühik.

Mõtlemisülesanne

7. Leia $f'(x)$, kui $f(x)=x^2e^x$, ning põhjenda kahe reegli kasutamist.
8. Võrdle funktsioonide $e^{2x}$ ja $(e^x)^2$ tuletisi. Miks saad sama tulemuse?
9. Õpilane kirjutab $(\sin(x^2))'=\cos(x^2)$. Leia viga, paranda vastus ja selgita ahelreegli rolli.

Ava selgitused ja vastused

Tuletise rakendused

Lihtne kontroll

1. Leia funktsiooni $f(x)=x^2$ tuletis punktis $x=4$.
2. Leia, kus $f(x)=x^2-4x$ tuletis on null.
3. Mida tähendab negatiivne tuletis?

Rakendus

4. Kuluindeks on $K(x)=x^2-8x+30$, kus $x$ on tootmismaht sadades ühikutes. Leia vähim kuluindeks ja tõlgenda $x$.
5. Palli kõrgus on $h(t)=-5t^2+30t$ meetrit. Millal ja kui kõrgel on pall maksimaalselt?

Mõtlemisülesanne

6. Leia funktsiooni $f(x)=x^2+1$ puutuja punktis $x_0=1$. Kasuta puutujat väärtuse $f(1{,}1)$ hindamiseks ja võrdle täpse väärtusega.
7. Kui $f'(x)$ muutub plussist miinuseks, siis mis tüüpi ekstreemum tekib?
8. Tulu mudel on $T(x)=-x^2+10x$ piirkonnas $0\le x\le8$, kus $x$ on müük sadades ühikutes. Leia suurim tulu, kontrollides ka otspunkte.

Ava selgitused ja vastused

Teine tuletis, kõverus ja käänupunkt

Lihtne kontroll

1. Leia $f''(x)$, kui $f(x)=x^3-2x^2+5$.
2. Mida näitab tingimus $f''(x)>0$?
3. Kas $f''(x_0)=0$ tõestab alati käänupunkti olemasolu? Põhjenda.

Rakendus

4. Liikumise asukoht on $s(t)=t^3-6t^2+9t$ meetrites. Leia kiirus ja kiirendus hetkel $t=2$ s.
5. Uuri funktsiooni $f(x)=x^3-6x^2+9x$ kõveruse suunda ja leia käänupunkt.
6. Tulu mudel on $T(x)=-x^3+6x^2$ vahemikus $0\le x\le5$. Leia, kus tulu kasvab, ja otsusta teise tuletise abil, kuidas kasvu kiirus muutub.

Mõtlemisülesanne

7. Võrdle funktsioone $x^4$ ja $x^3$ punktis 0: mõlemal on $f''(0)=0$, kuid kummal on käänupunkt? Põhjenda märkidega.
8. Uuri funktsiooni $f(x)=x^4-4x^2$ ekstreemumeid ja käänupunkte ning koosta nende põhjal graafiku visand.
9. Õpilane väidab: „Kui $f''>0$, siis $f>0$.” Leia vastunäide ja selgita, mida $f''>0$ tegelikult tähendab.

Ava selgitused ja vastused

Algfunktsioon ja määramata integraal

Lihtne kontroll

1. Leia $\int 2x\,dx$.
2. Leia $\int (x^2+4)\,dx$.
3. Leia $\int (6x^2-2x+1)\,dx$.

Rakendus

4. Koguse muutumiskiirus on $V'(t)=2t$ ja $V(0)=3$. Leia $V(t)$.
5. Leia $\int \frac1x\,dx$.

Mõtlemisülesanne

6. Leia $F(x)$, kui $F'(x)=e^x+\sin x$ ja $F(0)=2$.
7. Miks on määramata integraali lõpus vaja kirjutada +C?
8. Kas $\int 2x\,dx=x^2$ on vale või puudulik vastus? Põhjenda.

Ava selgitused ja vastused

Määratud integraal ja pindala

Kitsas matemaatikas: arvuta määratud integraal ja erista märgiga tulemust pindalast. Laias matemaatikas: jaga vahemik nullkohtade järgi ja põhjenda, mida integraal mõõdab.

Lihtne kontroll

1. Leia $\int_0^2 x\,dx$.
2. Leia $\int_1^3 2x\,dx$.
3. Miks $\int_{-1}^1 x\,dx=0$, kuigi graafiku ja telje vahel on pindala?

Rakendus

4. Millal peab pindala leidmisel vahemiku osadeks jagama?
5. Leia graafiku $y=4-x^2$ ja $x$-telje vaheline pindala vahemikus [-2;2].

Mõtlemisülesanne

6. Leia geomeetriline pindala graafiku $y=x$ ja $x$-telje vahel vahemikus [-2;2].
7. Mis juhtub integraali väärtusega, kui vahetad rajad $a$ ja $b$?
8. Funktsioon on $f(x)=x^2-1$ vahemikus [-2;2]. Leia nii määratud integraal kui ka geomeetriline pindala ning selgita erinevust.

Ava selgitused ja vastused

Kahe kõvera vaheline pindala ja pöördkeha ruumala

Lihtne kontroll

1. Leia graafikute $y=x$ ja $y=x^2$ lõikepunktide $x$-koordinaadid.
2. Kumb funktsioon on vahemikus [0;1] suurem: $x$ või $x^2$?
3. Kirjuta integraal graafiku $y=2$ pööramisel ümber $x$-telje vahemikus [0;3] tekkiva ruumala jaoks.

Rakendus

4. Leia graafikute $y=x$ ja $y=x^2$ vaheline pindala.
5. Anuma külgprofiili raadius on $r(x)=x+1$ cm vahemikus $0\le x\le2$. Leia ümber $x$-telje pööramisel tekkiv ruumala.
6. Maa-ala ülemist serva kirjeldab $f(x)=4-x^2$ ja alumist serva $g(x)=0$ vahemikus [-2;2]. Leia pindala ja tõlgenda ühikut.

Mõtlemisülesanne

7. Graafikud on $f(x)=x^2$ ja $g(x)=2-x^2$. Leia nende vaheline piiratud pindala ning põhjenda, kumb on ülemine graafik.
8. Võrdle sama ristküliku $0\le x\le2$, $0\le y\le3$ pööramisel ümber $x$-telje saadud ruumala integraaliga ja silindri valemiga.
9. Õpilane kirjutab pöördkeha ruumalaks $\pi\int_0^2x\,dx$, kui $y=x$ pöörleb ümber $x$-telje. Leia viga, paranda valem ja selgita ristlõike rolli.

Ava selgitused ja vastused

Integraali rakendused

Lihtne kontroll

1. Leia $\int_0^2 x\,dx$.
2. Mis on algfunktsioon funktsioonile $3x^2$?
3. Kuidas erinevad integraal ja geomeetriline pindala?

Rakendus

4. Auto kiirus on $v(t)=5t$ m/s. Kui pika tee läbib ta vahemikus 0 kuni 4 sekundit?
5. Tootmiskiirus on $r(t)=20$ tk/h. Mitu toodet valmib 3 tunniga?
6. Miks on rakendusülesandes ühikute jälgimine oluline?
7. Vee voolukiirus on $q(t)=4$ l/min. Kui palju vett lisandub 6 minutiga?

Mõtlemisülesanne

8. Tootmiskiirus on $r(t)=10+2t$ tk/h. Mitu toodet valmib esimese 3 tunniga?
9. Kiirus on $v(t)=t-1$ m/s vahemikus [0;2]. Leia nihe.
10. Sama kiiruse $v(t)=t-1$ korral leia teepikkus vahemikus [0;2], võrdle seda eelmise ülesande nihkega ja selgita erinevust.
11. Vee voolukiirus on $q(t)=6+t$ l/min. Leia nelja minutiga lisanduv veekogus ja tõlgenda ühikut.
12. Vedru venitamiseks vajalik jõud on $F(x)=20x$ njuutonit. Leia töö vahemikus $0\le x\le0{,}3$ m ja selgita integraali ühikut.

Ava selgitused ja vastused

Ruumigeomeetria

Lihtne kontroll

1. Leia kuubi ruumala, kui serv on 4 cm.
2. Leia silindri ruumala, kui $r=2$ ja $h=10$.
3. Miks kera ruumala valemis on $r^3$?

Rakendus

4. Leia risttahuka ruumala, kui mõõtmed on 2 cm, 5 cm ja 7 cm.
5. Leia püramiidi ruumala, kui põhja pindala on 18 cm² ja kõrgus 12 cm.
6. Leia koonuse ruumala, kui $r=3$ ja $h=8$.

Mõtlemisülesanne

7. Mis kujuga on silindri telglõige?
8. Mis kujuga on kera tasandlõige?
9. Koonusel on raadius 3 cm ja kõrgus 4 cm. Leia moodustaja.
10. Miks tuleb koonuse külgpindala valemis kasutada moodustajat, mitte kõrgust?

Ava selgitused ja vastused

Püramiid ja pöördkehade arvutused

Lihtne kontroll

1. Mitu põhja on silindril ja mitu koonusel?
2. Leia kera pindala, kui $r=3$ cm.
3. Leia silindri ruumala, kui $r=2$ cm ja $h=5$ cm.

Rakendus

4. Leia koonuse ruumala, kui $r=3$ cm ja $h=4$ cm.
5. Koonuse raadius on 5 cm ja kõrgus 12 cm. Leia moodustaja.
6. Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 8 cm ja kõrgus 3 cm. Leia apoteem.

Mõtlemisülesanne

7. Leia eelmise püramiidi täispindala ja ruumala.
8. Silindri raadius kahekordistub, kõrgus ei muutu. Mitu korda muutub ruumala?
9. Kumb mahutab rohkem: silinder või sama põhja ja kõrgusega koonus? Mitu korda?

Ava selgitused ja vastused

Mis on tõestus?

Lihtne kontroll

1. Kas üks näide tõestab väite "kõik paarisarvud jaguvad 4-ga"?
2. Too vastunäide väitele "kõik täisarvud on positiivsed".

Rakendus

3. Tõesta otseselt: kui arv jagub 6-ga, siis ta jagub 3-ga.
4. Kas väide "kui arv jagub 3-ga, siis ta jagub 6-ga" on tõene?

Mõtlemisülesanne

5. Miks tuleb väites "parajasti siis, kui" tõestada kaks suunda?
6. Millist tõestusviisi kasutaksid väite "iga paarisarv on kujul $2k$" jaoks?
7. Millist tõestusviisi kasutaksid väite "iga algarv on paaritu" kontrollimiseks?

Ava selgitused ja vastused

Loogika, hulgad ja tõestus

Lihtne kontroll

1. Kas väide “kui $x>5$, siis $x>2$” on tõene?
2. Kas vastupidine väide “kui $x>2$, siis $x>5$” on tõene?

Rakendus

3. Too vastunäide väitele “kõik täisarvud on naturaalarvud”.
4. Selgita, mida tähendab $P\Leftrightarrow Q$.

Mõtlemisülesanne

5. Kas väide “arv on paarisarv parajasti siis, kui ta on kujul $2k$, kus $k$ on täisarv” on ekvivalents?
6. Kas “ei kehti korraga $P$ ja $Q$” tähendab sama mis “ei kehti $P$ ega $Q$”? Põhjenda.
7. Olgu $P$: arv jagub 2-ga ja $Q$: arv jagub 3-ga. Mida tähendab “$P$ või $Q$”? Too näide arvust, mis sobib.

Ava selgitused ja vastused

Matemaatiline induktsioon

Lihtne kontroll

1. Kontrolli summavalemit $n=3$ korral.
2. Miks on baassamm vajalik?
3. Mida tähendab induktsioonieeldus?

Rakendus

4. Tõesta induktsiooniga, et $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$.
5. Mis on induktsioonisammus vaja tõestada, kui väide on $P(n)$?

Mõtlemisülesanne

6. Miks ei piisa induktsioonitõestuses ainult juhtude $n=1,2,3$ kontrollimisest?
7. Väide $P(n)$ algab väärtusest $n=0$. Milline peab olema baassamm ja milline induktsioonisamm?
8. Õpilane kontrollib $P(1)$, eeldab $P(n)$ ja kirjutab kohe „järelikult $P(n+1)$”. Mis on tõestusest puudu?

Ava selgitused ja vastused

Probleemilahendus ja mudelid

Kitsas matemaatikas: kirjuta mudel, asenda arvud ja tõlgenda vastus. Laias matemaatikas: nimeta ka eeldused ja piirangud.

Lihtne kontroll

1. Telefonipakett maksab 8 eurot kuus ja 0,05 eurot iga sõnumi eest. Kirjuta mudel kogukulu jaoks.
2. Kui selles mudelis saadetakse 120 sõnumit, mis on kogukulu?

Rakendus

3. Basseini täitub kiirusega 15 liitrit minutis. Kirjuta mudel vee hulga kohta pärast $t$ minutit, kui alguses on basseinis 200 liitrit vett.
4. Millist eeldust teeb lineaarne mudel $y=3x+4$ rattalaenutuse näites?

Mõtlemisülesanne

5. Too üks kontrollküsimus, mida peaks pärast vastuse leidmist küsima.
6. Millal peaks lineaarse mudeli asemel otsima teistsugust mudelit?
7. Leia rattalaenutuse mudelis sisend, väljund ja üks eeldus.

Ava selgitused ja vastused

Hinnangud ja ühikuanalüüs

Lihtne kontroll

1. Hinda peast $49\cdot21$.
2. Mis ühik tekib, kui jagada meetrid sekunditega?
3. Kontrolli ühikut valemis $S=ab$.

Rakendus

4. Hinda, mitu minutit on ühes nädalas.
5. Koosta Fermi-hinnang: umbes mitu vihikut kasutab 25 õpilasega klass ühe õppeaasta jooksul, kui iga õpilane kasutab umbes 8 vihikut?

Mõtlemisülesanne

6. Mis ühik tekib, kui korrutada kiirus km/h ajaga h?
7. Miks ei ole Fermi-ülesandes liiga täpne vastus tavaliselt usaldusväärne?
8. Hinda, kas 3 kg õunu hinnaga 1,95 eurot/kg maksab pigem 4, 6 või 10 eurot.
9. Kui vastuse ühik on eurot kuus, mida peab tegema, et saada aastane kogukulu?

Ava selgitused ja vastused

XII klass: analüüsi, loogika ja modelleerimise sild

Lihtne kontroll

1. Millise meetodi valiksid funktsiooni maksimumi leidmiseks?
2. Millise meetodi valiksid pindala leidmiseks graafiku all?

Rakendus

3. Miks peab mudeli vastust tõlgendama algse olukorra keeles?
4. Funktsioon $f(x)=x^2-4x$. Leia kriitiline punkt.

Mõtlemisülesanne

5. Kui kiirus on $v(t)=3t$, mida annab integraal vahemikus 0 kuni 2?
6. Too näide väitest, mida saab ümber lükata ühe vastunäitega.
7. Kui ülesandes küsitakse "millal kasv peatub?", millist matemaatilist tingimust otsid?
8. Miks ei pruugi funktsiooni mudel kehtida väga suurte $x$ väärtuste korral?
9. Ülesandes küsitakse, kas väide kehtib kõigi naturaalarvude korral. Kas alustad tuletisest, integraalist või tõestusest? Põhjenda.
10. Funktsioon $g(x)=x^2-6x+5$. Leia kriitiline punkt ja otsusta, kas see on miinimum või maksimum.

Ava selgitused ja vastused

Finantsmatemaatika

Lihtne kontroll

1. Leia 200 eurost 12%.
2. Arvuta lihtintressiga 1000 eurot 4% juures 2 aastaks.
3. Miks liitintress kasvab kiiremini kui lihtintress?

Rakendus

4. Arvuta liitintressiga 500 eurot 3% aastas 4 aastaks.
5. Kui hinnad kasvavad 5% aastas, kui palju maksab 80-eurone ese ühe aasta pärast?
6. Eesti pere paneb lapse huvihariduse fondi 40 eurot kuus. Kui palju koguneb ilma intressita ühe aastaga?

Mõtlemisülesanne

7. Laen on 600 eurot ja see makstakse tagasi 6 võrdse maksena ilma intressita. Kui suur on üks makse?
8. Miks ei piisa laenu hindamisel ainult kuumakse vaatamisest?
9. Kui 120-eurose elektriarve hind kasvab 15%, kui suur on uus arve?
10. Kui maksad 18 kuud iga kuu 35 eurot, mis on kogukulu enne intressi ja teenustasusid?

Ava selgitused ja vastused

XII klass: eksamikordamine

Lihtne kontroll

1. Leia funktsiooni $f(x)=x^2-6x+5$ tuletis.
2. Leia $\int_0^2 3x^2\,dx$.
3. Millist meetodit kasutaksid pindala leidmiseks graafiku ja $x$-telje vahel?

Rakendus

4. Leia funktsiooni $f(x)=x^2-6x+5$ kriitiline punkt.
5. Leia funktsiooni $f(x)=x^2-6x+5$ vähim väärtus.
6. Ülesanne küsib: "Millal on tootmiskulu kõige väiksem?" Millist matemaatilist meetodit kaalud esimesena?

Mõtlemisülesanne

7. Kiirus on $v(t)=4t$ m/s. Kui pikk tee läbitakse vahemikus 0 kuni 3 sekundit?
8. Too vastunäide väitele “kui funktsiooni tuletis on ühes punktis 0, siis seal on alati maksimum”.
9. Tootmiskiirus on $r(t)=12-2t$ tk/h vahemikus $0\le t\le4$. Leia toodang ja põhjenda, miks mudelit ei saa lõputult jätkata.
10. Funktsiooni $f(x)=\frac{1}{x-2}$ uurimisel, mis tingimus tuleb enne arvutusi kirja panna?
11. Miks võib mudeli kriitiline punkt olla matemaatiliselt õige, aga ülesande vastusena sobimatu?

Ava selgitused ja vastused